REGIME VARIABLE Presser la ouche F5 pour faire apparaîre les signes qui favorisen la navigaion dans le documen. Sommaire 1 Généraliés... 1 2..Définiions e relaions de base... 1 2.1 Convenions récepeur e généraeur... 1 2.2 Lois d'ohm généralisées... 2 3..Méhodes d'éude des circuis... 2 3.1 Loi des mailles... 2 3.2 Loi des noeuds... 3 3.3 Théorème de superposiion... 3 3.4 Théorème de Thévenin...3 3.5 Théorème de Noron... 4 3.6 Théorème de Millman...4 4..Régime périodique permanen... 5 4.1 Valeur moyenne... 5 4.2 Valeur efficace X... 5 4.3 Faceur de forme Taux d'ondulaion Coefficien d'ondulaion... 5 4.4 Puissance... 6 5 Régimes ransioires... 7 5.1 Généraliés... 7 5.2 Sysème du premier ordre...7 5.3 Sysème du deuxième ordre... 9 Exercices d'applicaion... 11
RV 1 REGIME VARIABLE 1 Généraliés On enend par régime variable ous les cas où les grandeurs du sysème considéré évoluen avec le emps. Il englobe bien enendu les régimes ransioires, mais égalemen ous les régimes permanens périodiques, don, bien sûr, le régime sinusoïdal. Nous nous limierons ici aux cas des sysèmes linéaires, c'es à dire ceux don le foncionnemen es régi par une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans, ce qui a en pariculier pour conséquence qu'en régime permanen, les grandeurs de sorie son des foncions linéaires des grandeurs d'enrée. Cee resricion es due au fai qu'à quelques excepions près, ou ce qui sui n'es valable que dans ce conexe. 2..Définiions e relaions de base 2.1 Convenions récepeur e généraeur Rappelons que: L'inensié du couran élecrique dans un conduceur es la mesure à un insan donné du débi dq() de la quanié d'élecricié qui raverse une secion droie de ce conduceur: i() =. d La ension es la mesure de la différence de poeniel enre les deux poins d'un circui. i() i() u() Dipôle figure 1 u() Dipôle figure 2 Ces deux grandeurs son algébriques. A priori, on peu les oriener indifféremmen l'une par rappor à l'aure. Dans la praique, on disingue deux cas: Le couran e la ension son fléchés en sens conraire. Ceci condui à la convenion récepeur, cf. figure 1, mais on obien évidemmen la même en inversan simulanémen les deux. Le couran e la ension son fléchés dans le même sens. Ceci condui à la convenion généraeur, cf. figure 2. Là encore, on obien la même en inversan simulanémen les deux. Le choix de la convenion es arbiraire ( e n'a évidemmen aucune influence sur le foncionnemen du circui! ). Par conre, en ermes d'éude de ce circui, il fau noer les deux poins suivans: Comme on le verra plus loin, en convenion généraeur, les relaions enre la ension e le couran pour un récepeur élémenaire comporen un signe supplémenaire. Le sens de ransfer de la puissance dépend de la convenion. Elle es considérée comme absorbée par le dipôle en convenion récepeur e fournie par ce dernier en convenion généraeur. En pariculier, pour connaîre la naure, récepeur ou généraeur, d'un dipôle, il faudra
confroner le signe obenu pour la puissance avec la convenion uilisée comme indiqué dans le ableau ci-dessous: Convenion uilisée récepeur généraeur Signe de la puissance posiif négaif posiif négaif Naure du dipôle Récepeur Généraeur Généraeur Récepeur RV 2 2.2 Lois d'ohm généralisées En régime variable, excepion faie du cas du résisor, les ensions e courans dans les récepeurs élémenaires son liés par des relaions différenielles, conséquences des phénomènes physiques mis en jeu ( ex. la d.d.p. aux bornes d'une bobine es due à la variaion de flux résulan, elle même, de la variaion du couran ). Nous n'y reviendrons pas en déail, nous conenan de donner les relaions pour les deux convenions. Type de récepeur Convenion récepeur Convenion généraeur Résisor R u() = R.i() u() = R.i() Inducance L u L di () () = u L di () () = d d Condensaeur C i C du () () = i C du () () = d d Remarques: Les relaions précédenes impliquen en pariculier qu'une inducance s'oppose aux variaions insananées du couran qui la raverse e qu'un condensaeur s'oppose aux variaions insananées de la ension à ses bornes. Les muuelles donnen des relaions semblables à celles fournies par les inducances. 3..Méhodes d'éude des circuis La plupar d'enre-elles on déjà éé vues lors d'éudes anérieures. Nous les rappelons esseniellemen pour insiser sur le fai qu'elles resen applicables dans les régimes variables. u 1 3.1 Loi des mailles u 2 u 4 figure 3 u 3 La somme des ensions, compées algébriquemen suivan un sens d'orienaion de la maille choisi au dépar, es égale à zéro. Par exemple, pour le schéma ci-conre, on a u 1 + u 2 + u 3 + u 4 = 0
RV 3 3.2 Loi des noeuds i 1 i 2 i 3 i 2 i 3 i 1 i 4 figure 4 figure 5 La somme algébrique des courans arrivan à un poin de joncion ( ou paran de celui-ci ), es égale à zéro. Ainsi, pour le schéma ci-conre, on a i 1 + i 2 i 3 + i 4 = 0 On peu noer que ceci se généralise à la somme des courans arrivan sur un conour fermé engloban une parie de circui. C'es le cas, en pariculier, de la somme algébrique des courans en ligne arrivan sur une charge riphasée: i 1 + i 2 + i 3 = 0. 3.3 Théorème de superposiion Il énonce que la réponse d'un circui à un ensemble de signaux d'aaque es la somme des réponses à chacun d'enre-eux pris isolémen, les aures éan remplacés: Par des cours-circuis s'il s'agi de sources de ensions. Par des circuis ouvers s'il s'agi de sources de couran. Son uilisaion es pariculièremen inéressane dans le cas d'un circui aaqué par une source consiuée de plusieurs élémens de naure différene ( ex. ension coninue en série avec une ension alernaive ou somme de ensions alernaives de fréquence différene ). 3.4 Théorème de Thévenin Pour celui-ci ( ainsi que les deux qui von suivre ), comme nous sommes ici en régime variable, nous nous limierons au cas où les élémens passifs mis en jeu son puremen résisifs. En ce qui concerne les aures, on pourra leur éendre les énoncés dès que l'on aura la possibilié de remplacer les relaions différenielles par des relaions de proporionnalié, ce qui sera en pariculier le cas en régime sinusoïdal permanen, où on fai apparaîre la noion d'impédance. Dipôle acif linéaire i A v AB B figure 6 R i I E figure 7 A v AB B R T E T i A v AB B Cela di, le héorème s'énonce de la façon suivane: Tou dipôle peu êre remplacé par une source de ension E T en série avec un résisor R T : E T es égal à la d.d.p. à vide enre les bornes A e B du dipôle e R T es égal à la résisance vue enre ces bornes lorsque les sources indépendanes inernes au dipôle son annulées ( i.e. remplacées par des courcircuis pour les sources de ension e des circuis ouvers pour les sources de couran ). A ire d'exemple, on peu donner le schéma de Thévenin équivalen au dipôle ci-conre.
A vide, v AB = E + R.I E T = E + R.I RV 4 Si E es cour-circuié e I es remplacé par un circui ouver, il ne subsise enre les bornes A e B que le résisor R. Il s'ensui que R T = R. 3.5 Théorème de Noron L'énoncé es le même que pour le héorème de Thévenin, à cela près qu'on modélise le dipôle par une source de couran I N en parallèle avec un résisor R N : Dipôle acif linéaire i A v AB B figure 8 I N I N es égal au couran circulan enre les bornes A e B lorsque celles-ci son mises en cour-circui e R N es égal à la résisance vue enre ces bornes lorsque les sources indépendanes inernes au dipôle son annulées ( donc, comme précédemmen, remplacées par des cours-circuis pour les sources de ension e des circuis ouvers pour les sources de couran ). Pour illusrer ceci, on peu reprendre l'exemple de la figure 7. E En cour-circui, i = R + I I E N = R + I Si E es cour-circuié e I es remplacé par un circui ouver, il ne subsise, de même, que le résisor R enre les bornes A e B. Il s'ensui que R N = R. Remarque: Il n'y a pas de différence de fond enre le schéma de Thévenin e celui de Noron. On peu d'ailleurs facilemen passer de l'un à l'aure en remarquan que I N = E T /R T e que R N = R T. A priori, le choix de l'un ou de l'aure es donc indifféren. Dans la praique, il es généralemen condiionné par la srucure du circui "exérieur" placé enre les bornes de sorie. 3.6 Théorème de Millman i R N A v AB B R 1 E 1 R 2 E 2 E 1 I 1 R n I 2 I m E n figure 9 R 1 R 2 R V E 2 V Il perme de calculer le poeniel d'un noeud en foncion des différens élémens qui y son raccordés. C'es en fai une formulaion différene de la loi des noeuds. Cf. schéma de la figure 9, on a: V = E R 1 1 E2 En + + Λ + + I1+ I2 + Λ + I R2 Rn 1 1 1 + + Λ + R R R 1 2 n m figure 10 On peu noer que, souven, le circui ne compore pas de sources de couran, ce qui simplifie l'énoncé du héorème. Par ailleurs, si un résisor es relié direcemen à la ligne de référence commune, la ension correspondane es nulle, donc disparaî du numéraeur; par conre, la
RV 5 résisance correspondane subsise bien évidemmen au dénominaeur. A ire d'exemple, pour E1 E2 + R1 R2 le schéma de la figure 10, on a V = 1 1 1. + + R R R 4..Régime périodique permanen 1 2 Ce mode de foncionnemen éan revu à maines reprises, en pariculier en élecronique de puissance, nous nous conenerons ici de rappeler les grandeurs caracérisiques qui lui son associées ainsi que les méhodes de mesure permean de les obenir. Dans ce qui sui, x() désigne indifféremmen une ension ou un couran e on noe T la période de ces grandeurs. 4.1 Valeur moyenne Plusieurs noaions son possibles, pour nore par, nous l'écrirons sous la forme X C, l'indice C, pour coninu, rappelan que la valeur moyenne se compore vis à vis des circuis comme une grandeur coninue. 1 T Par définiion XC = xd T () 0 La valeur moyenne se mesure à l'aide d'un appareil de mesure magnéo-élecrique ou élecronique, placé sur la posiion "coninu". 4.2 Valeur efficace X 1 T Par définiion X = x d T ²() 0 La valeur efficace d'une grandeur non sinusoïdale se mesure à l'aide d'appareils don la déviaion es proporionnelle à la valeur moyenne du carré de la grandeur à mesurer ( appareils ferromagnéiques, élecrodynamiques ou à hermocouple ) ou d'un appareil élecronique placé sur la posiion "coninu + alernaif". Cas pariculier des grandeurs sinusoïdales: Le rappor enre la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale e la valeur moyenne de la sinusoïde redressée éan une consane, cela perme d'uiliser des appareils magnéoélecriques munis de disposiifs redresseurs pour mesurer la valeur efficace de la sinusoïde. Ces appareils son gradués direcemen en valeur efficace, mais la lecure n'es évidemmen valable que pour des signaux sinusoïdaux. 4.3 Faceur de forme Taux d'ondulaion Coefficien d'ondulaion Dans la plupar des applicaions en coninu, on uilise acuellemen de simples ensions ou courans à valeur moyenne non nulle à la place des grandeurs sricemen consanes, issues, par
exemple, de générarices à couran coninu. Il es cependan inéressan de quanifier l'écar par rappor à la grandeur "idéale", ceci se fai à l'aide d'un ou plusieurs de ces ermes. RV 6 valeur efficace X On défini le faceur de forme F par la relaion F = = valeur moyenne X C Sa déerminaion se fai de façon indirece, par mesure de X C e de X comme indiqué dans les deux paragraphes précédens. Dans le cas où la grandeur es faiblemen ondulée, le faceur de forme es rop voisin de 1 pour que la mesure de F puisse donner des résulas significaifs. On préfère dans ce cas comparer la valeur efficace de l'ondulaion résiduelle ( après suppression de la valeur moyenne ) à la valeur moyenne de la grandeur. On défini alors le aux d'ondulaion par la relaion: valeur efficace de l'ondulaion résiduelle = valeur moyenne de la grandeur Le aux d'ondulaion s'obien en mesuran la valeur moyenne de x e la valeur efficace de son ondulaion résiduelle. Cee dernière s'obien à l'aide d'un appareil "efficace" en série avec un condensaeur C qui se charge sous la valeur moyenne e ne ransme que l'ondulaion à l'appareil de mesure ( afin que l'ondulaion soi correcemen ransmise, il fau que la réacance de C soi négligeable devan la résisance inerne du volmère; on choisira donc C de elle sore que 1/(C2πf 0 ) << R v, avec f 0 fréquence de l'ondulaion ). Sur les appareils élecroniques acuels, ceci es réalisé auomaiquemen en uilisan la posiion "alernaif". Remarque: On peu monrer facilemen que F = 1+ ². Lorsqu'on effecue des calculs héoriques, il es souven plus facile de déerminer la valeur efficace de la grandeur que de calculer X r. Dans ce cas, on uilisera la relaion = F² 1 pour déerminer le aux d'ondulaion. x X M X C X Une alernaive à la mesure du aux d'ondulaion consise à observer le signal à l'oscilloscope e à comparer son ondulaion crêe à crêe à sa valeur moyenne. Cf. figure 11, on défini le coefficien d'ondulaion k par la relaion X m figure 11 X XM X k = = 2X 2X C C m 4.4 Puissance 1 T Elle rese définie par P = uid T ()() 0 Sa mesure se fai, bien sûr, à l'aide d'un wamère. Il fau cependan vérifier que sa bande passane es suffisane, surou si la fréquence des signaux es élevée.
RV 7 5 Régimes ransioires 5.1 Généraliés Un sysème éan dans un éa donné, le régime ransioire se produi à chaque fois qu'on provoque une modificaion de ses condiions de foncionnemen ( le cas le plus ypique éan la mise sous ension d'un circui élecrique ). Pour les sysèmes linéaires ( là encore, seuls envisagés ici ), l'évoluion es régie par un sysème de relaions différenielles linéaires. Si, comme c'es usuellemen le cas, un seul paramère es modifié, la résoluion du sysème condui à une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans, de la forme a ds n() b de m() n = n m m d, où s() désigne la grandeur de sorie ( celle d don on veu éudier l'évoluion ) e e() le paramère qui vien de se modifier. L'éude mahémaique monre alors que la soluion s() de l'équaion es la somme de deux ermes: La soluion générale s 1 () de l'équaion sans second membre qui dépend, en pariculier, des condiions iniiales exisan au momen de l'appariion de la modificaion ( A noer qu'il en fau auan que l'ordre de l'équaion différenielle, c'es à dire n ). Une soluion pariculière s 2 () de l'équaion avec second membre, qui, elle, ne dépend pas des condiions iniiales. Si le sysème es sable ( hypohèse que nous supposerons réalisée dans ou ce qui sui ), s 1 () fini par disparaîre au bou d'un laps de emps don la durée es foncion de ce que l'on appelle les consanes de emps du sysème. Ensuie, il ne resera plus que s 2 (), qui rappelons-le, ne dépend pas des condiions iniiales, donc de l'insan d'appariion de la modificaion. A ire d'exemple, à la mise sous ension sinusoïdale d'un circui inducif, il apparaî, sauf excepion, un couran non sinusoïdal don l'allure dépend du momen où on applique la ension. Par conre, une fois le régime ransioire erminé, le couran devien sinusoïdal, sa valeur efficace e son déphasage par rappor à la ension éan, eux, indépendans de l'insan de la mise sous ension. Ce qui vien d'êre di es vrai quel que soi l'ordre n de l'équaion différenielle ( par associaion, on parle de sysème d'ordre n ). Cependan, l'éude héorique n'éan aisée que pour les ordres faibles, on se limiera donc aux cas des sysèmes du premier e du deuxième ordre. D'aure par, comme e() e les coefficiens b m son connus, le deuxième membre se rédui sysémaiquemen à une foncion du emps enièremen connue. 5.2 Sysème du premier ordre L'équaion qui régi son évoluion peu se mere sous la forme ds () + s () = y (). Avec d cee écriure, la soluion générale vau s1( )= Ae. Le rese es affaire de cas pariculiers.
RV 8 A ire d'exemple, éudions l'évoluion du couran dans un circui LR lors de sa mise sous ension. Après la fermeure de l'inerrupeur K, on a E L di () K i L = +Ri( ), soi, d E après division par R e réarrangemen L di() E R + i () =. On pose R d R figure 12 alors = L/R pour rerouver la forme "sandard", ainsi que I 0 = E/R pour facilier l'exploiaion ulérieure. Compe enu de ceci, il vien di () + i () = I 0 d La résoluion de l'équaion se fai alors en rois emps: Comme di, la soluion générale es i1( )= Ae Le second membre éan une consane, la soluion pariculière l'es égalemen. Sa dérivée éan, de ce fai, nulle, la soluion pariculière vau simplemen I 0, d'où i()= Ae + I Il ne rese plus qu'à enir compe des condiions iniiales pour déerminer la valeur de A. L'inducance s'opposan à oue disconinuié du couran, on a i(0 ) = i(0 + ). Comme i(0 ) es. 0. forcémen nul ( l'inerrupeur K éan encore ouver à ce momen ), on a 0 = Ae + I0, soi A = I 0, d'où l'expression de i(): i ()= I0 1e Ce ype d'évoluion éan renconré assez souven, on peu en préciser quelques pariculariés. i() I 0 0,63I 0 angene à l'origine 0,95I 0 3 figure 13 Cf. racé ci-conre, la pene de la angene à l'origine coupe la valeur en régime éabli à l'insan =. Pour =, i vau I0 1 e, soi 0,63I 0. Ceci es fréquemmen uilisé pour déerminer à parir d'un relevé expérimenal, car, dans ce cas, la angene à l'origine es souven plus difficile à déerminer avec précision. Pour = 3, i vau environ 95% de I 0. Remarque 1: Lors de l'éude des régimes, on uilise souven comme crière le emps de réponse du sysème, emps au bou duquel la sorie aein la valeur d'équilibre à ±5%. Compe enu de ce qui précède, ce emps vau 3 pour un sysème du premier ordre. Remarque 2: Lorsque le poin de dépar de l'évoluion n'es pas connu avec précision, on remplace la mesure du emps de réponse par celle du emps de monée, défini comme éan le emps nécessaire à la sorie pour passer de 10% à 90% de l'ampliude oale de la variaion. Dans le cas éudié ci-dessus, ce emps vau Ln9, soi environ 2,2. 0
RV 9 5.3 Sysème du deuxième ordre L'équaion qui régi son évoluion peu se mere sous la forme ds ²() () ² + 2 m ds + s () = y () d² d Ici, l'éude se complique car la forme de la soluion générale n'es plus unique mais dépend de m. On disingue 3 cas: 0 < m < 1: () = ( cosω + sinω ) s A A e 1 1 0 2 0 régime pseudopériodique m = 1: ()=( + ) s1 A1 A2 e régime criique 1 1 m > 1: s ()= A e 1 + A e régime apériodique 2 2 avec 1 1 avec 1 = m e ω 1 m² 0 = = m+ m² 1 e 2 = m m² 1 Signalons enfin le cas m = 0, qui condui à s1() = A1cosω0+ A2sinω 0, c'es à dire à une évoluion puremen sinusoïdale. Pour un circui passif, il es physiquemen impossible, mais on peu s'en approcher si m es pei e si on limie l'observaion à une durée faible devan 1. Là encore, le rese es affaire de cas pariculiers. A ire d'exemple, on peu éudier la décharge d'un condensaeur, iniialemen chargé sous une ension V 0, dans un circui inducif. Cf. schéma ci-conre, l'évoluion es régie par le sysème de relaions K i L v L di () () = + Ri() C v R d i () C dv () = figure 14 d le signe dans la deuxième provenan de la convenion généraeur. Par éliminaion de i() enre les deux relaions, on obien v () LC dv ² ( ) RC dv () =, soi d² d LC dv ² ( ) RC dv () + + v () =0, d'où, après idenificaion avec la forme sandard, = LC e d² d RC R C m = =. Le ype de régime dépend des valeurs respecives de R, L e C. En se 2 LC 2 L L plaçan par exemple dans le cas du régime criique, soi m = 1, qui correspond à R = 2, la C soluion générale s'écri v1()= ( A1+ A2) e. Comme il n'y a pas de second membre, c'es aussi l'expression de v(). Les consanes se déduisen des condiions iniiales. Il en fau 2 ici.
RV 10 La première es donnée par v(0) = V 0, coninuié de la ension aux bornes de C. La deuxième es donnée par i(0) = 0, coninuié du couran dans L, ce dernier éan forcémen nul avan la fermeure de l'inerrupeur. A1 + A2 e = V0 soi A 2 = V 0. De i C dv () () =, on dédui que i(0) = 0 d v(0) = V 0 ( 0 ) qui vau A v() V 0 i() I M 1 0 dv d () = =0 0. Or dv d () A A + A = 1 2 1 e A 2 pour = 0. On a donc A A 2 V 0 1 = =, d'où, finalemen, v V ()= 0 + 1 e 2 3 4 5 figure 15 Par ailleurs, i C dv () C d () = = V + e d d 0 1 CV 0 i () = e. On peu vérifier facilemen que i() ² CV0 présene un maximum IM = pour =. e Les allures correspondanes de v() e i() figuren ciconre.
RV 11 1 I 1) Déerminer les expressions liérales des élémens E T e R T du A schéma de Thévenin équivalen au dipôle ci-conre. A.N.: E = 10V, R 1 R 2 V AB R 1 = 100Ω, R 2 = 220Ω, R 3 = 100Ω, calculer E T e R T. 2) On branche enre A e B un résisor R = 470Ω, calculer I e V AB. B E 1 R 3 2 Un signal périodique x(), de période T e de valeur moyenne X C, présene une ondulaion résiduelle x r (), de valeur efficace X r. 1) Soi X la valeur efficace de x(). En paran de son inégrale de définiion, e en remplaçan 2 x() par X C + x r (), monrer que X= XC + X 2 r. 2) Donner les expressions du faceur de forme F de x() e de son aux d'ondulaion en foncion de X C e de X r. En déduire que F = 1+ ². 3 v() V M La ension v() issue d'un redresseur double alernance ( cf. figure ci-conre ) peu s'écrire v() = V M sinω 0 avec ω 0 = 2π/T. 1) En faisan le changemen de variable θ = ω 0, déerminer les T/2 T expressions de la valeur moyenne V C e de la valeur efficace V de v(). 2) Calculer les valeurs du faceur de forme F, du aux d'ondulaion e du coefficien d'ondulaion k de v(). 4 v() Pour le signal périodique ci-conre, calculer: 1 la valeur moyenne V C e la valeur efficace V 1 2 le faceur de forme F e le aux d ondulaion le coefficien d ondulaion k 5 v() Un dipôle, alimené par la ension en créneau symérique V M ci-conre, consomme un couran i() = I 2sin(2π/T). Déerminer l'expression de la puissance P absorbée par le T/2 T dipôle en foncion de V M e I. V M A.N.: V M = 30V, I = 1A, calculer P. 6 R 1 K Dans le monage ci-conre, le condensaeur es iniialemen déchargé. E R 2 C v() A l'insan = 0, pris comme origine, on ferme l'inerrupeur K. 1) Déerminer les élémens E T e R T du schéma de Thévenin équivalen au diviseur poeniomérique formé par E, R 1 e R 2. 2) En uilisan ce schéma équivalen, éablir l'équaion différenielle régissan l'évoluion de v() e la mere sous la forme dv () + v () = E T en donnan l'expression de en foncion de R T e d de C. Résoudre ensuie cee équaion compe enu de la condiion iniiale pour obenir l'expression de v() e esquisser son allure. A.N.: E = 10V, R 1 = R 2 = 1kΩ, C = 1µF. Calculer E T, R T, ainsi que le emps 0 que me v()
RV 12 pour aeindre 99% de E T. 7 Soi le monage ci-dessous pour lequel le condensaeur es supposé enièremen déchargé à l'insan pris pour origine. I C v() 1) Ecrire la relaion différenielle lian I à v(). Inégrer cee équaion compe enu de la condiion iniiale pour obenir l'expression de v(). 2) Vers quelle valeur end héoriquemen v() lorsque end vers l'infini? Qu'es-ce qui limie physiquemen l'évoluion de la ension? 8 i Une source de ension S ( figure 1 ) présene la caracérisique en couran S figure 1 v coninu V = f(i) représenée sur la figure 2. Pour les applicaions numériques, on prendra E 0 = 30V, I 0 = 1A e I 1 = 1,1A. I)1) Que vau V quel que soi I compris enre 0 e I 0? En déduire que, sur ce inervalle, S se compore comme une f.e.m. de valeur E 0. V E 2) Sur l'inervalle I 0 I I 1 0, on modélise la parie de courbe V = f(i) correspondane sous la forme V = E T R T I. En uilisan le fai que cee relaion es vérifiée pour les deux poins exrêmes [I 0 ;E 0 ] e [I 1 ;0], commencer par consaer que le rappor E T /R T es égal à I 1, puis déerminer les expressions de E T e de R T en foncion de E 0, I 0 e I 1. A.N.: Calculer E T e R T. I 0 I 1 I figure 2 II) A un insan pris pour origine, on branche une inducance L = 0,1H S i() v() L enre les bornes de sorie de la source ( figure 3 ). 1) Dans un premier emps i() rese inférieur à I 0. En uilisan le résula du I)1), écrire la relaion différenielle lian E 0 à i() puis l'inégrer pour obenir l'expression de i(). Soi 0 le emps au bou duquel i() aein la figure 3 valeur I 0. Donner l'expression de 0 en foncion de L, I 0 e E 0. A.N.: Calculer 0. 2) On considère mainenan l'évoluion pour supérieur à l'insan 0, pris comme nouvelle origine. a) En uilisan le résula du I)2), éablir l'équaion différenielle régissan l'évoluion de i() e la mere sous la forme di () + i () = I 1 en donnan l'expression de en foncion de L e de R T. d Résoudre ensuie cee équaion pour obenir l'expression de i(). A.N.: Donner l'expression numérique de i() puis, pour 0 2ms, afficher la courbe i() sur une calculee graphique. b) Vers quelle valeur end i() lorsque end vers l'infini. Jusifier physiquemen le résula.