Chapire 10 Placemens à inérês simples ou composés Annuiés Sommaire 10.1 Inérês simples........................................ 118 10.1.1 Valeur acquise par un capial placé.......................... 118 10.1.2 Calcul d un aux proporionnel............................. 118 10.2 Inérês composés...................................... 118 10.2.1 Valeur acquise par un capial placé.......................... 118 10.2.2 Valeur acuelle d un capial placé........................... 119 10.2.3 Taux équivalen...................................... 119 10.3 Annuiés............................................ 119 10.3.1 Définiions e noaions................................. 119 10.3.2 Valeur acquise par une suie d annuiés consanes de placemen........ 120 10.3.3 Valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de remboursemen d un emprun............................................ 120 10.3.4 Amorissemen d un emprun par annuiés consanes.............. 121 10.4 Exercices............................................ 122 10.4.1 Inérês simples ou composés............................. 122 10.4.2 Annuiés.......................................... 125 10.5 Travaux dirigés........................................ 127 117
10.1 Inérês simples BTS Compabilié Gesion 10.1 Inérês simples Dans le cas de cerains placemens à cour erme (inférieur à un an) ou pour des empruns d Éa, on praique des inérês simples, proporionnels à la durée du placemen. 10.1.1 Valeur acquise par un capial placé Définiion 10.1. Placer un capial C 0 avec inérês simples au aux sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.), signifie que, pour chaque période, l inérê perçu es le même e égal à C 0. Propriéé 10.1. Soi le aux d inérês simples sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.). La valeur acquise C n du capial pour le placemen d un capial C 0 sur une durée de n périodes es C n = C 0 (1+ n). L inérê acquis I n par ce capial es I n = C n C 0 = C 0 n. Remarque. Les capiaux disponibles successifs au bou d une période, de deux périodes,..., de n périodes : C 1, C 2,..., C n son les ermes successifs d une suie arihméique de premier erme C 0 e de raison C 0. Exemple 10.1. On place un capial de 2 500 à inérês simples au aux mensuel de 0,5 %. Calculer le monan du capial e l inérê perçu au bou d un an. 10.1.2 Calcul d un aux proporionnel Propriéé 10.2. Placer une somme aux aux annuel a, revien à placer cee somme à inérês simples au aux mensuel proporionnel m = a 12. Exemple 10.2. On place 1 500 à inérês simples pour une période de 2 mois au aux annuel de 3 %. Calculer l inérê perçu au bou de 2 mois si l on applique un aux proporionnel. 10.2 Inérês composés Dans le cas de placemens à long erme, on praique des inérês composés. 10.2.1 Valeur acquise par un capial placé Définiion 10.2. Placer un capial C 0 avec inérês composés au aux sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.), signifie que les inérês d une période s ajouen au capial e que, la période suivane, ils rapporen eux aussi des inérês. Propriéé 10.3. Soi le aux d inérês composés sur une période (un jour, un mois, un rimesre, ec.). La valeur acquise C n du capial pour le placemen d un capial C 0 sur une durée de n périodes es C n = C 0 (1+ ) n. L inérê acquis par ce capial es I n = C n C 0 = C 0 [(1+ ) n 1]. 118 hp://perpendiculaires.free.fr/
BTS Compabilié Gesion 10.3 Annuiés Remarque. Les capiaux disponibles successifs au bou d une période, de deux périodes,..., de n périodes : C 1, C 2,..., C n son les ermes successifs d une suie géomérique de premier erme C 0 e de raison 1+. Exemple 10.3. On place 250 à inérês composés au aux annuel de 3,5 %. Calculer le monan du capial e l inérê perçu au bou de 10 ans. 10.2.2 Valeur acuelle d un capial placé Définiion 10.3. La valeur acuelle d un capial C n, obenu après n périodes, «au aux d acualisaion», es le capial C 0 qu il fau placer au aux avec inérês composés, pendan n périodes, pour obenir une valeur acquise C n du capial. Propriéé 10.4. La valeur acuelle C 0 d un capial C n obenu après n périodes, «au aux d acualisaion», es C 0 = C n (1+ ) n. Exemple 10.4. Déerminer la valeur acuelle C 0 d un capial placé à inérês composés aujourd hui au aux annuel de 1,25 % qui aura la valeur acquise de 12 000 dans 5 ans. 10.2.3 Taux équivalen Propriéé 10.5. Dans le cas d un inérê mensuel m, le aux d inérê correspondan à un placemen annuel es le aux équivalen a. De la même façon, à un aux annuel a correspond un aux mensuel m équivalen. Le passage de l un à l aure s effecue à l aide de la formule : 1+ a = (1+ m ) 12. Remarque. Si 1+ a = (1+ m ) 12, alors 1+ m =........................................................ Ainsi m es le aux..................................................................................... Exemple 10.5. On place un capial à inérês composés. 1. Calculer le aux annuel équivalen à un aux mensuel de 0,3 %. 2. Calculer le aux mensuel équivalen à un aux annuel de 8 %. 10.3 Annuiés 10.3.1 Définiions e noaions Définiion 10.4. Une annuié es une somme d argen versée chaque période, en général d un an : par un épargnan pour se consiuer une épargne; par un empruneur pour rembourser un emprun ou une dee. Une annuié a es consane lorsque la somme d argen versée chaque période es la même. Remarque. Par définiion du erme la période de versemen de l annuié es d un an. Si la période de versemen es d un mois, par exemple, on devrai rigoureusemen parler alors d une mensualié mais pour simplifier les choses pour la suie on ne parlera que d annuiés (de période un an, un mois, ec.). David ROBERT 119
10.3 Annuiés BTS Compabilié Gesion 10.3.2 Valeur acquise par une suie d annuiés consanes de placemen Pour consiuer un capial, on place à la fin de chaque période, pendan n périodes, une annuié consane a à inérês composés (ou capialisés) au aux. Après n périodes on calcule la valeur acquise par chaque annuié versée Période 1 2 3... n 1 n Versemen a a a... a a Valeur acquise par ce versemen après n périodes a(1+ ) n 1 a(1+ ) n 2 a(1+ ) n 3... a(1+ ) 1 a Numéroaion u n u n 1 u n 2... u 2 u 1 Les valeurs acquises par ces annuiés son les ermes d une suie géomérique (u n ) de premier erme (en les rangean dans l ordre inverse) u 1 = a e de raison q = 1+. La valeur acquise v n par cee suie d annuiés es donc v n = u 1 + u 2 +...+u n = a 1 q n 1 q 1 (1+ )n = a 1 (1+ ) = a (1+ )n 1 Propriéé 10.6. La valeur acquise par le capial placé, au momen du dernier versemen, es L annuié consane de placemen es v n = a (1+ )n 1 a= v n (1+ ) n 1 Exemple 10.6. On place pendan 8 ans, à la fin de chaque année, une somme égale à 3 500, soi une annuié consane sur un compe rémunéré à 3,5 % par an avec inérãªês composés. Quelle es la valeur acquise de cee suie d annuiés? 10.3.3 Valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de remboursemen d un emprun Dans le cas d un emprun de n annuiés consanes égales à a, au aux sur une période, le capial empruné v 0 es la valeur acuelle, au aux d acualisaion, de la suie des n annuiés consanes (égales à a), avan le versemen de la 1 ère annuié. Période 1 2 3... n 1 n Versemen a a a... a a Valeur acuelle de ce a(1+ ) 1 = a versemen 1+ a(1+ ) 2 a(1+ ) 3... a(1+ ) n+1 a(1+ ) n Numéroaion v 1 v 2 v 3... v n 1 v n Les valeurs acuelles de ces annuiés son les ermes d une suie géomérique (v n ) de premier erme v 1 = a 1+ = a(1+ ) 1 e de raison q = 1 1+ = (1+ ) 1. La valeur acquise v 0 par cee suie d annuié es donc v 0 = v 1 + v 2 +...+ v n. v 0 = v 1 1 qn 1 q = a 1 (1+) n = a 1+ 1 (1+) n 1 (1+) 1 = a 1+ 1 (1+) n 1 1 1+ = a 1+ 1 (1+) n 1+ 1 1+ = a 1+ (1 (1+ ) n ) 1+ 120 hp://perpendiculaires.free.fr/
BTS Compabilié Gesion 10.3 Annuiés Propriéé 10.7. La valeur acuelle du capial empruné une période avan le premier versemen es L annuié consane de remboursemen es 1 (1+ ) n v 0 = a a= v 0 1 (1+ ) n Exemple 10.7. On a empruné 100 000 au débu 2014, pour acheer un logemen aux aux d inérês annuel de 3,95 % sur 15 ans. Ce emprun es à annuiés consanes. 1. Vérifier que le monan de l annuié, arrondi au cenime, es de 8 962,69. 2. Calculer le monan oal des inérês versés à l organisme de crédi après le versemen de la dernière annuié, c es-à-dire le coû du crédi. 10.3.4 Amorissemen d un emprun par annuiés consanes Le remboursemen d une dee implique le versemen, à chaque échéance, de l annuié qui se compose de deux élémens : Le remboursemen d une parie de la somme emprunée, appelée amorissemen ; L annuié es donc la somme de l amorissemen e des inérês pour la période considérée. Tableau d amorissemen Période Dee en débu de période Inérê dû (1) Les inérês poran sur le capial resan dû, calculés en uilisan le aux d inérê de l emprun. Amorissemen (capial remboursé) (2) Annuié (monan versé) (3) Dee en fin de période 1 v 0 I 1 = v 0 A 1 = a I 1 a v 1 = v 0 A 1 2 v 1 I 2 = v 1 A 2 = a I 2 a v 2 = v 1 A 2.................. n v n 1 I n = v n 1 A n = v n 1 a v n = 0 - - Coû du crédi Monan oal Monan oal remboursé v 0 versé - - - I 1 + I 2 +...+ I n A 1 +A 2 +...+A n n a - (1) Inérê pour une période = dee de débu de période aux d inérê. (2) Amorissemen du capial = annuié d une période inérês dus pour la période concernée. (3) Annuié consane. (4) Dee en fin de période = dee en débu de période amorissemen du capial. Vérificaions La dee doi êre oalemen remboursée à la fin du plan de remboursemen, soi v n = 0. La somme des amorissemens es égale au monan de la dee, soi v 0 = A 1 + A 2 +...+ A n. La somme des inérês + la somme des amorissemens = la somme des annuiés. David ROBERT 121
10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion Exemple 10.8. On reprend les données de l exemple précéden. On adme que les amorissemens son les ermes d une suie géomérique (A n ) de premier erme A 1 = a(1+ ) n e de raison (1+ ). 1. Calculer la somme S = A 1 + A 2 +...+ A 15. Arrondir à l euro. 2. Quelle remarque peu-on faire? 10.4 Exercices 10.4.1 Inérês simples ou composés EXERCICE 10.1. On place un capial C 0 = 150 000 en empruns d Éa à 1,18 % annuel par inérês simples. On noe C n le capial obenu ou «valeur acquise», au bou de n années. 1. Calculer C 1, C 2, C 3. 2. (a) Donner pour ou enier naurel n, l expression de C n+1 en foncion de C n. (b) En déduire que la suie (C n ) son les ermes consécuifs d une suie arihméique de premier erme C 0 e don on précisera la raison. (c) Donner l expression de C n en foncion de n. (d) Au bou de combien d années le capial iniial aura--il augmené de 20 %? EXERCICE 10.2. On place un capial C 0 = 2 000 en «obligaions» à 3,41 % par an, avec inérês simples, pendan 10 ans. Calculer le capial disponible au bou des 10 ans. EXERCICE 10.3. On place un capial C 0 = 1 000 à 4 % par an avec inérês composés. On noe C n le capial obenu ou «valeur acquise», au bou de n années. 1. Calculer C 1, C 2, C 3. 2. (a) Donner pour ou enier naurel n, l expression de C n+1 en foncion de C n. (b) En déduire que les nombres C 0, C 1, C 2,..., C n son les ermes consécuifs d une suie géomérique de premier erme C 0 e don on précisera la raison. (c) Donner l expression de C n en foncion de n. Calculer C 17 e C 18. 3. Au bou de combien d années le capial iniial aura--il doublé? EXERCICE 10.4. 1. Calcul de la valeur acquise (a) Calculer la valeur acquise par un capial C de 2 500 placé à inérês composés pendan 4 ans au aux rimesriel de 1 %. (b) En déduire le monan des inérês acquis. Arrondir au cenime d euros. 2. Calcul de aux Déerminer à quel aux annuel il fau placer, à inérês composés, une somme de 10 000 pour que sa valeur acquise au bou de rois ans de placemen soi de 12 000. 122 hp://perpendiculaires.free.fr/
BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices EXERCICE 10.5. Deux sociéés A e B proposen à ses cliens les placemens suivans : A propose des inérês composés de 4,8 % par an; B propose des inérês composés de 0,40 % par mois. Dans les deux cas, les inérês son ajoués au capial à la fin de chaque période de référence : année pour A e mois pour B. 1. Si un clien place un capial de 100 000, que sera devenu ce capial au bou d une année dans les deux cas? 2. Laquelle des deux sociéés offre le placemen le plus avanageux pour les cliens? EXERCICE 10.6. Déerminer la somme d argen S, en euros, qu il fallai placer au 01/01/2006, au aux annuel de 3,75 % avec inérês composés, pour disposer d un capial C de 100 000 au bou de 10 ans, le 01/01/2016. Arrondir au cenime d euro. S es la valeur acuelle, au aux annuel de 3,75 %, d un capial disponible de 100 000 dans 10 ans. EXERCICE 10.7. Déerminer la valeur acuelle C 0 du capial C 10 qui, placé à inérês composés aujourd hui au aux annuel de 3,70 %, vaudra 5 000 dans 10 ans. EXERCICE 10.8. On a placé 1 500 sur un compe épargne il y a quare ans, jour pour jour à inérês composés, au aux annuel de 3,25 %. On souhaie disposer d une somme de 2 000 dans rois ans. 1. Déerminer la somme S 1 don on dispose aujourd hui sur le compe épargne, inérês compris. 2. Déerminer le monan des inérês perçus au bou de quare ans. 3. Déerminer la somme S 2 qu il fau déposer aujourd hui sur le compe épargne pour disposer sur ce compe de 2 000 dans deux ans. EXERCICE 10.9. On place un capial iniial C 0 = 10 000 à inérês composés au aux annuel i. On noe C n le capial disponible au bou de n années. On recherche un algorihme permean de déerminer la plus peie valeur de l enier n pour laquelle le capial disponible C n es supérieur ou égal à 20 000. 1. On suppose dans cee quesion que le aux d inérê annuel es de 4 %, c es-à-dire i = 0,04. Calculer C 1 e C 2. 2. Soi i un nombre réel posiif. (a) Exprimer C 1 en foncion de i, puis C 2 en foncion de C 1 e de i. (b) Soi n un nombre enier non nul. Exprimer C n+1 en foncion de C n e i. Quelle es la naure de la suie (C n )? 3. On considère l algorihme suivan : David ROBERT 123
10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion ENTREE : Saisir i INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 C prend la valeur 10 000 Tan que C < 20 000 n prend la valeur n+1 C prend la valeur (1+i)*C Fin Tan que SORTIE : Afficher n (a) Quel es le es d arrê de la boucle de ce algorihme? Quand on sor-on de la boucle? (b) Compléer le ableau suivan, en indiquan les valeurs de la variable C e du es lorsqu on saisi dans l algorihme i = 0,04. C C < 20 000 Iniialisaion n = 0 10 000 Vrai Boucle n=... n=... 4. Programmer ce algorihme sur la calcularice e le faire foncionner. Vérifier que pour i = 0,04, l affichage en sorie es n= 18. 5. Au bou de combien d années le capial iniial es-il doublé lorsque le aux de placemen à inérês composés es 3,5 %? 4,5 %? EXERCICE 10.10. On possède un capial de 20 000 que l on place à inérês composés au aux annuel de 2,5 %. On considère l algorihme suivan : ENTREE : Saisir S INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 C prend la valeur 20 000 Tan que C<S n prend la valeur n+1 C prend la valeur 1,025*C Fin Tan que SORTIE : Afficher n 1. (a) Jusifier la ligne : C prend la valeur 1,025*C (b) Quelle es la naure de la suie des valeurs de la variable C? (c) À quoi correspond la variable C dans l algorihme? (d) À quelle condiion sor-on de la boucle? 2. Programmer ce algorihme avec la calcularice, e vérifier que, lorsqu on enre pour S la valeur 30 000, l algorihme affiche en sorie la valeur 17. Quel es le rôle de l algorihme? 3. Déerminer, à l aide de l algorihme, le nombre d années nécessaires pour au moins doubler le capial iniial. 124 hp://perpendiculaires.free.fr/
BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices 1. Pour un placemen à inérês simples aux aux annuel T a, le aux mensuel proporionnel T m-prop = T a 12. On place 1 500 à inérês simples pour une période de 80 jours au aux annuel de 3 %. Calculer l inérê perçu au bou de 80 jours si l on applique un aux proporionnel. EXERCICE 10.11. 2. Pour un placemen à inérês composés aux aux d inérê mensuel m, le aux d inérê annuel correspondan es le aux annuel équivalen a. De la même façon, à un aux annuel a correspond un aux mensuel équivalen m. Le passage de l un à l aure s effecue à l aide de la formule : 1+ a = (1+ m ) 1 2. On place un capial à inérês composés. (a) Calculer le aux annuel équivalen à un aux mensuel de 0,5 %. (b) Calculer le aux mensuel équivalen à un aux annuel de 10 %. 3. Compléer le ableau suivan pour un aux annuel de 10 % : 10.4.2 Annuiés Formulaire Taux semesriel Taux rimesriel Taux bimensuel Taux mensuel Taux proporionnel Taux équivalen v n = a (1+)n 1 a= v n (1+) n 1 v 0 = a 1 (1+) n a= v 0 1 (1+) n EXERCICE 10.12. Une personne verse chaque année pendan 5 ans 150 sur un compe épargne rémunéré à 2,1 % par an. Calculer la valeur acquise au momen du dernier versemen. EXERCICE 10.13. Compléer le ableau suivan donnan la valeur acquise v n au momen du dernier versemen d un placemen réalisé par une suie d annuiés consanes a, au aux d inérês annuel pendan n années. a n v n 500 4 ans 2 % 1 300 9 ans 1 % 10 000 2 ans 3,75 % EXERCICE 10.14. Une personne veu se consiuer un capial en effecuan un versemen de 50 au débu de chaque mois pendan rois ans au aux annuel de 3,1 % (la capialisaion es mensuelle). 1. Calculer à 0,001 % le aux mensuel équivalen e le nombre de mensualiés. 2. (a) Calculer la valeur acquise au débu du 6 è mois pour les six premiers versemens. (b) Calculer la valeur acquise oale au momen du dernier versemen. EXERCICE 10.15. Quel monan aura--on épargné dans un an en versan chaque mois 200 sur un compe épargne rémunéré à 4 % par an (la capialisaion es mensuelle). On arrondira le aux mensuel équivalen à 0,001 % près. David ROBERT 125
10.4 Exercices BTS Compabilié Gesion EXERCICE 10.16. Pour consiuer un capial de 3 000 en 4 ans, une personne effecue des versemens annuels consans au aux annuel de 0,9 %. Calculer le monan de chaque versemen. EXERCICE 10.17. Compléer le ableau suivan donnan le monan de chaque versemen effecué a pendan n années. On noe v n la valeur acquise, le aux annuel. a n v n 3 ans 3 % 700 12 ans 3,8 % 8 000 7 ans 2,9 % 25 000 EXERCICE 10.18. Pour obenir un capial de 30 000 dans 15 ans avec un aux annuel proposé de 3,4 %, quelle somme arrondie à l euro près fau-il épargner chaque mois sachan que la capialisaion es mensuelle? On arrondira le aux mensuel équivalen à 0,001 % près. EXERCICE 10.19. Pour rembourser un emprun, on verse 24 annuiés de 1 139,74, le premier versemen inervenan avan 1 an après la remise des fonds. Le aux annuel du crédi es 8 %. Calculer, à l euro près, le monan de l emprun conracé. EXERCICE 10.20. Compléer le ableau suivan donnan le monan d une dee v 0 remboursée par annuiés consanes a en n versemens annuels au aux d inérê annuel, le premier versemen s effecuan un an après l emprun. v 0 n a 2 ans 5 % 198,99 3 ans 6 % 190,18 4 ans 14 % 343,20 EXERCICE 10.21. Une dee es remboursée en 72 mensualiés de 200,88, le premier versemen inervenan 1 mois après la remise des fonds. Le aux annuel de crédi es 15 %. 1. Calculer le aux mensuel proporionnel au aux annuel. 2. Calculer le monan de la dee. EXERCICE 10.22. Un emprun de 15 000 es remboursé par annuiés consanes au aux annuel de 4 % sur une durée de 5 ans. Calculer le monan de l annuié consane. EXERCICE 10.23. Compléer le ableau suivan donnan le monan de l annuié consane a versée pour rembourser un prê v 0 en n versemens annuels au aux d inérê annuel. v 0 n a 2 500 4 ans 2,8 % 8 000 5 ans 4,3 % 40 000 6 ans 3,6 % 126 hp://perpendiculaires.free.fr/
BTS Compabilié Gesion 10.4 Exercices EXERCICE 10.24. Un emprun de 11 000 es remboursé par mensualiés consanes au TEG (aux effecif global prenan en compe le aux global de crédi e en y incluan les frais de dossier, d assurance e de garanie) mensuel de 0,18 %. Calculer le monan de la mensualié si le remboursemen s effecue en : 1. 6 mois 2. 1 an 3. 5 ans EXERCICE 10.25. Un emprun de 9 000 es remboursé sur 3 ans par mensualiés consanes au aux annuel de 2,4 %. 1. Calculer le nombre de mensualiés de remboursemen e le aux d inérê mensuel proporionnel. 2. Calculer le monan de la mensualié consane. EXERCICE 10.26. Une personne effecue un placemen sur n mois avec un prélèvemen auomaique d une somme de 150 euros par mois afin de se consiuer un capial de 5 000 euros. Le aux d inérê mensuel fixe es de 0,2 % e la capialisaion es mensuelle. On souhaie déerminer le nombre de mois n nécessaires à l aide l algorihme suivan : ENTREE : Saisir a e INSTRUCTIONS : n prend la valeur 0 Tan que V < 5 000 n prend la valeur n+1 V prend la valeur a*((1+)^n-1)/ Fin Tan quel SORTIE : Afficher n 1. Que représenen les variables e V? 2. Quel es le es d arrê de la boucle de ce algorihme? Quand sor-on de la boucle? 3. Que doi-on saisir pour répondre à la quesion posée? 4. Programmer ce algorihme sur la calcularice e le faire foncionner. David ROBERT 127