Equations Différentielles

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 1 Equations Différentielles I- Définitions élémentaires. On appelle Equation Différentielle Ordinaire (EDO) toute équation (E) du type (E) : y (n) (t) = F (t; y(t); y (t); y (t);... ; y (n 1) (t)) où l inconnue est une fonction suffisamment régulière y : I R (y C n (I)) et où F : D R est une fonction de (n + 1) variables (F est définie sur un domaine D R n+1 ). L entier n est appelé ordre de l EDO considérée.

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 2 L EDO (E) sera dite linéaire lorsque F dépend linéairement de y, y,..., y (n 1), non-linéaire sinon. (E) sera dite autonome si la fonction F ne dépend pas de la variable t. (E) sera dite homogène si y 0 est sol. de (E), inhomogène sinon. Exemples: 1. L Equation du Pendule y (t) = ω 2 sin(y(t)) est non-linéaire, autonome, d ordre 2, homogène. 2. L Equation logistique y (t) = y(t) (a by(t)) est non-linéaire, autonome, d ordre 1, homogène.

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 3 Exemples (suite): 3. L Equation ty (t) + y(t) = cos t est linéaire d ordre 1 et inhomogène. 4. L Equation (satisfaite par l intensité dans un circuit RLC) Ly (t) + Ry (t) + 1 y(t) = K cos ωt C est linéaire d ordre 2 et inhomogène, à coefficients constants. 5. L Equation ty (t) + 2y (t) ty(t) = 0 est linéaire d ordre 2 et homogène, à coefficients non constants.

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 4 Propriétés importantes des EDO linéaires: On considère une EDO linéaire (E) donnée par y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + a n 2 (t)y (n 2) (t) +... + a 0 (t)y(t) + f(t), les fonctions f, a 0,..., a n 1 : I R étant définies et continues sur l intervalle ouvert I. L Equation homogène associée à (E) est alors l Eq. (E H ) donnée par y (n) (t) = a n 1 (t)y (n 1) (t) + a n 2 (t)y (n 2) (t) +... + a 0 (t)y(t), et les solutions de (E) et (E H ) vérifient 1. Existence d une solution: L Equation (E) admet au moins une solution y P C n (I). 2. Principe de superposition: si y P C n (I) est solution de (E) et si y H est solution de l équation homogène associée (E H ), alors (y P + y H ) est solution de (E).

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 5 3. Solutions de (E H ): l espace S H de toutes les solutions de (E H ) est un sous-espace vectoriel de C n (I) de dimension n. Etant donnés t 0 I et B = (e 1, e 2,..., e n ) base de R n, il existe des solutions y 1, y 2,..., y n : I R de (E H ) satisfaisant respectivement 0 B @ y 1 (t 0 ) y 1(t 0 )... y (n 1) 1 (t 0 ) 1 0 = e 1,..., C B A @ y k (t 0 ) y k(t 0 )... y (n 1) k (t 0 ) 1 0 = e k,..., C B A @ y n (t 0 ) y n(t 0 )... y (n 1) n (t 0 ) et ces solutions constituent une base (y 1, y 2,..., y n ) de S H. Exemple dans le cas du circuit RLC: 1 C A = e n,

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 6 II- Cas des EDO linéaires d ordre 1. Rappelons qu une telle EDO se présente sous la forme (E) : y (t) = a(t)y(t) + f(t) et que l équation homogène associée s écrit (E H ) : y (t) = a(t)y(t) (Les fonctions a et f sont définies et continues sur l intervalle ouvert I). A supposer qu une solution y C(I) ne s annule pas sur I, on aura c est à dire puis d dt y (t) y(t) = a(t) ln ( y(t) ) = a(t), y(t) = Ke A(t) R t a(s)ds t = Ke 0

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 7 pour une certaine constante K 0, A désignant une primitive de a. Réciproquement, étant donné K R arbitraire, la fonction R t t y(t) = Ke a(s)ds 0 = Ke A(t) est bien de classe C 1 sur l intervalle I et solution de (E H ). En fait: { R t } t S H = y K : t Ke a(s)ds 0 ; K R Remarquons que pour tout K R, y K est la solution de (E H ) satisfaisant la condition y(t 0 ) = K. Pour trouver une solution particulière y P art. de l équation inhomogène (E), il reste à appliquer la méthode de la Variation de la Constante: si y(t) = k(t)e A(t) = k(t)y 1 (t) est solution, on a y (t) = k (t)y 1 (t)+k(t)y 1(t) = k (t)y 1 (t)+k(t)a(t)y 1 (t) = a(t)y(t)+f(t)

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 8 puis Ainsi: y P art. (t) = k (t) = f(t) y 1 (t) = f(t)e A(t) { t } f(u)e A(u) du t 0 e A(t) définit une solution particulière de (E), et l ensemble de toutes les solutions de (E) s obtient en ajoutant à cette solution particulière n importe quelle solution y K de (E H ): { t } y(t) = K + f(u)e A(u) du e A(t) t 0

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 9 Exemples: 1. (2 + t)y (t) = 2 y(t) 2. t 3 y (t) t 2 y(t) = 1 3. ty (t) + y(t) = cos t

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 10 III- EDO linéaires à coeff. constants. On considère maintenant (E) donnée par (E) : a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) +... + a 1 y (t) + a 0 y(t) = f(t), (où a 0, a 1,..., a n R, a n 0, f C 0 (I)) ainsi que l équation homogène associée (E H ) : a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) +... + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0 Rappelons que l ensemble S H des solutions de (E H ) constitue un espace vectoriel de dimension n (ordre de l équation).

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 11 Ansatz pour la résolution de (E H ): essayons de trouver une solution y de la forme y(t) = e λt. Puisque y (t) = λy(t), y (t) = λ 2 y(t),..., y (n) (t) = λ n y(t) et que y ne s annule pas, on obtient a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ + a 0 = 0, soit χ E (λ) = 0, si l on introduit le polynôme caractéristique de l équation (E). χ E (X) = a n X n + a n 1 X n 1 +... + a 1 X + a 0

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 12 Réciproquement: si λ R est racine d ordre k de χ E, càd (X λ) k χ E (X), (X λ) k+1 χ E (X), alors on vérifie que y λ;0 : t e λt, y λ;1 : t te λt,..., y λ;k 1 : t t k 1 e λt constituent k solutions linéairement indépendantes de (E H )! Question: qu en est-il si λ = α + iω est une racine complexe du polynôme caractéristique χ E (avec ω 0)?

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 13 y λ;0 : t e λt = e αt e iωt = e αt (cos ωt + i sin ωt) est une fonction à valeurs complexes satisfaisant de même que a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) +... + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0 y λ;1 : t te λt, y λ;2 : t t 2 e λt,..., y λ;k 1 : t t k 1 e λt si λ est racine d ordre k du pol. car. χ E. En combinant ces solutions avec leurs conjuguées complexes, on pourra obtenir en tout 2k solutions à valeurs réelles et linéairement indépendantes sur R, à savoir ainsi que t e αt cos ωt, t te αt cos ωt,..., t t k 1 e αt cos ωt, t e αt sin ωt, t te αt sin ωt,..., t t k 1 e αt sin ωt.

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 14 Cas des EDO linéaires à coeff. constants d ordre 2: (E) se présente alors sous la forme ay + by + cy = f, où a, b, c sont des constantes réelles (a 0) et f C(I). Le pol. caractéristique associé est donné par χ E (X) = ax 2 + bx + c, et l on distinguera trois cas de figure: 1. Si E = (b 2 4ac) > 0: χ E a deux racines réelles distinctes λ 1, λ 2, donc t e λ 1t et t e λ 2t fournissent deux solutions linéairement indépendantes de (E H ).

Cours optionnel S4 - Maths Renforcées 15 2. Si E = (b 2 4ac) = 0: χ E a une seule racine réelle λ qui est double, t e λt et t te λt fournissent deux solutions linéairement indépendantes de (E H ). 3. Si E = (b 2 4ac) < 0: χ E a deux racines complexes conjuguées λ 1 = α + iω, λ 2 = λ 1 = α iω, donc t e αt cos ωt et t e αt sin ωt fournissent deux solutions linéairement indépendantes de (E H ). Ensuite: pour résoudre l équation inhomogène (E) (avec second membre f C(I)), on cherchera une solution particulière y P art., à laquelle n importe quelle solution y de (E H ) pourra être ajoutée!