UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

UNIVERSITE PRIS PNTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MTHEMTIQUES PPLIQUEES L ECONOMIE ET L GESTION LICENCE nnée Cours de Thierry LFY TRVUX DIRIGES semestre 7-8

Thème n : Rppels Eercice Déterminez l ensemble de définition, de dérivbilité et l fonction dérivée des fonctions suivntes : ) ( X ) ( X ) Eercice f b) g ( X ) X Clculez Lim X f ( X ) pour l fonction f ( X ) X X X X Eercice Étudier et représenter grphiquement l fonction : f : R R ln( ) Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n : lgèbre Linéire Eercice ) Les vecteurs (,-5,), (,-,) et (,5,) sont-ils liés? Quel est le rng de l fmille qu ils forment? b) Est-ce que l ensemble {,);(, );(,) } Eercice Dns bse de R? ( est un système générteurs de R muni de l bse cnonique, considérons les vecteurs suivnts : X (,, ) Y (,, ) Z (,, ) ) Ces trois vecteurs forment-ils une bse de R? b) Le vecteur T (,, ) se décompose-t-il de mnière unique sur { X Y, Z} Eercice epliciter cette décomposition. Soit f l ppliction suivnte : f (, y, z) ( y, y z) ) Est-elle linéire? b) Déterminer le rng et le noyu de f c) L ppliction f est-elle injective? surjective? Eercice Soit f une ppliction de R vers R définie pr : f (, y) (,, y) R? Est-ce une,? Si oui, ) Rppeler dns le cs générl, l définition précise de chcun des termes suivnts : Une ppliction linéire églement ppelée homomorphisme d espces vectoriels Le rng d une ppliction linéire Le noyu d une ppliction linéire b) Vérifier que f est une ppliction linéire c) Déterminer le rng de f d) Déterminer le noyu de f, noté Ker [ f ] e) En déduire si f est injective f) Ker [ f ] est-il un sous-espce vectoriel de R Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n : Les mtrices Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE Eercice Clculez lorsque cel est possible : ) ( ) 8 6 b) c) 8 6 Eercice Soit E le R-espce vectoriel de polynômes de degré u plus. Soit E E u : l ppliction linéire donnée pr ( ) p p p u Remrque : p est l dérivée de p ) Montrez que ( ),,,, X X X X de E est une bse qui convient pour E. Clculez l mtrice représenttive de u pour cette bse u déprt et à l rrivée. b) Montrez que Id u est nilpotente. Déterminer le plus petit entier > n tel que ( ) n Id u. c) Clculez le vleurs propres de u. Eercice Clculez B et B....6 6 B Comment ppelle-t-on et B? Eercice Résoudre : ) ( ) ( m z my z y m m z m y Eercice 5 Soit l mtrice M Pour quelles vleurs du prmètre réel l mtrice M est inversible? Clculez l mtrice inverse pr l méthode du pivot.

Thème n : Les mtrices Eercice 6 Soit l mtrice M b b b b b b ) Cette mtrice est-elle digonlisble? b) Trouver les vleurs propres de M c) Trouver une bse de R composée de vecteurs propres de M d) Trouver des mtrices de pssge P et Eercice 7 P et l mtrice digonle D. fin d en finir vec le villge des irréductibles gulois, Césr fit ppel à un sorcier qui prétend être cpble de rendre invulnérble l rmée romine. Le sorcier indique que pour vincre les gulois, les soldts devront bsorber trois préprtions : l forcum, l hbilum et l plstrum. L fbriction de ces préprtions nécessite trois ressources rres : l herblum, l hrrissum et l moutrdum. L fbriction d un litre de forcum nécessite : feuilles d herblum 5 grmmes d hrrissum grmmes de moutrdum L fbriction d un litre d hbilum nécessite : feuilles d herblum 6 grmmes d hrrissum grmmes de moutrdum L fbriction d un litre de plstrum nécessite : feuilles d herblum grmmes d hrrissum Césr est en mesure de mettre à disposition u vieu sorcier : 7 feuilles d herblum 85 grmmes d hrrissum 5 grmmes de moutrdum Résolvez le progrmme de production pr l méthode des déterminnts (méthode des mtrices déduites ou encore de Crmer), l méthode des cofcteurs et pr l méthode du pivot. Eercice 8 Soit l mtrice ) Montrer que est singulière. En déduire une vleur propre de. b) Trouver les utres vleurs propres de. c) est-elle digonlisble? Si oui, donner une mtrice réduite digonle D de et déterminer l mtrice de pssge P. d) Clculer n Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n : Les mtrices 5 Eercice 9 On étudie l ppliction linéire suivnte : f α (,y,z) (y-z,yαz,y-z) ) Justifiez rpidement mis clirement l linérité de f b) Déterminez le noyu de f α en fonction de α. c) Déterminez si f α est injective, surjective bijective en fonction de α. Pour l suite on suppose α d) Déterminez M l mtrice représenttive de f. M est-elle inversible? e) Déterminez les vleurs propres de M (Vérifiez vos résultts vec les méthodes hbituelles). f) L mtrice est-elle digonlisble? (Justifiez). Clculez les vecteurs propres (on choisir des vecteurs propres dont l ere composnte non nulle ville ). g) Clculez les mtrices de l décomposition sous l forme P.D.P - h) Clculez eplicitement M n pout tout n. Puis clculez f 6 (,,). i) Donnez l solution du système suivnt : X n Xn Yn Zn X Yn Xn Yn Zn vec pour conditions initiles Y Zn Xn Yn Z n Z Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n : Les fonctions de plusieurs vribles 6 Eercice Rppeler le théorème de Rolle et le vérifier sur l fonction f ( ) Rppeler le théorème des ccroissements finis et le vérifier sur l fonction f ( ) définie sur l intervlle fermé [, ]. Eercice Rppeler les dérivées des fonctions usuelles Eercice Clculer les dérivées prtielles des fonctions suivntes : y ) Log b) y Eercice Clculer les dérivées prtielles secondes des epressions suivntes : y y y ) b) c) e y Eercice 5 Soit (, y) f y Ln Vérifier que cette fonction définit une fonction homogène de deu vribles et y. Clculer son degré d homogénéité et monter qu elle vérifie le théorème d Euler Eercice 6 b Soit l fonction F (, y) y;ln y; y Déterminer l mtrice jcobienne de cette fonction. Eercice 7 ) Soit l fonction de production suivnte où et y représentent respectivement les quntités KL positives et non nulles de trvil et de cpitl : f ( L, K ) L K b) Déterminer l nture des rendements d échelle. f vérifie-t-elle le théorème d Euler? c) Étblir l éqution de l courbe de niveu pour un volume de production de V d) Déterminer le tu mrginl de substitution technique de K à L. e) Si V, clculer le TMS u point des coordonnées (6, ). Epliquer. f) Retrouver le TMS en utilisnt l courbe de niveu. g) Soit r K L et T TMS( K, L) de K à L. On ppelle élsticité de substitution de K à L l dr dt quntité notée σ définie pr le rpport : σ. Clculer σ et interpréter. r T Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n : Les fonctions de plusieurs vribles 7 Eercice 8 Une étude mrketing permis d étblir vec précision l fonction de demnde d un bien sur un mrché oligopolistique, où deu concurrents commercilisent les biens B et C.... Soit l fonction : D P P P B C Clculer les élsticités prtielles de l demnde du bien pr rpport u pri du bien, du bien B puis du bien C. Commenter. Eercice 9 Soit f (, y) pour (, y) (,) et f (,) y y Montrer que f dmet des dérivées prtielles à l origine mis qu elle n est ps continue en ce point. Eercice Écrire le développement limité à l ordre, u voisinge de, des fonctions suivntes : f ) ( ) ( ) b) g ( ) e e c) Déduire l limite de f ( ) Eercice g ( ) qund tend vers. Écrire le développement de Tylor u voisinge de à l ordre P pour les fonctions suivntes : ) f ( ) Ln( ) b) g( y) cos y Eercice On considère l fonction f définie pr f (, y) ln( ).5ln( y) On note ˆf l pproimtion ffine de f ( X ) u voisinge de (,) ~ f l pproimtion qudrtique de ( X ) On note f u voisinge de (,) ) Écrire le développement limité à l ordre u voisinge de (,) de f. b) En déduire ˆf ~ et f c) Déduire les pproimtions correspondntes pour (.;. ) Eercice vleur ecte donnée pr votre clcultrice. Trouver tous les polynômes ( y) vérifint : P (, y) P ( y) y, y X puis comprer vec l P, homogènes de degré n des deu vribles et y Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 5 : Optimistion 8 Eercice Soit l fonction f (, y) y y y ) f est-elle de clsse C sur R² b) Clculer les dérivées prtielles premières de f en X (, y) c) Clculer les dérivées prtielles secondes de f en X (, y) d) Former l mtrice hessienne de f. f est-elle convee ou concve sur R²? Eercice Rechercher les etrem des fonctions suivntes : ( Z) y y f ( Z ) y ln( y ) f Eercice Soit f y ( )( y ) f ( Z ) y y ) Optimiser l fonction f b) Les solutions trouvées sont-elles des solutions globles du problème? Eercice On suppose que C est une fonction de coût telle que : C( X ) y z y z yz Où X est un vecteur de production. R dont les composntes sont, y et z, quntités des fcteurs de On noter l mtrice ssociée à l forme qudrtique C ( X ). Soient W et W deu vecteurs de R. W W ) Montrer que les vecteurs W et W sont orthogonu b) L mtrice est-elle digonlisble? c) Déterminer les vleurs propres de pr ordre croissnt d) Déterminer les vecteurs propres V,V et V tel que : - L dernière composnte de chque vecteur propre soit égle à - Les vecteurs propres soient deu à deu orthogonu e) Déduire le noyu de l ppliction linéire que l mtrice représente, puis le rng de. Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 5 : Optimistion 9 f) Déterminer l mtrice P orthonormée telle que P D P où D est l mtrice digonle portnt les vleurs propres g) Déterminer les composntes i f du vecteur F pour que l on it : ( X ) t C λ h) En déduire l nture de l forme qudrtique C ( X ) i) Déterminer les points cndidts à l optimum pour l fonction C ( X ) Eercice 5. Conclure sur leur nture près voir déterminé l mtrice hessienne des dérivées secondes. b Soit une fonction Cobb-Dougls : f ( ) c z, où et y sont les quntités de fcteurs utilisés, et, b et c sont des nombres réels strictement positifs. On ppelle p le pri d une unité produite, et p ( p ) le pri d une unité de fcteur ( ). Ces pri sont évidemment positifs. i i f i Le profit lié à cette production est donné pr l fonction π ( ) pz ( p p ) π., Quelles conditions doivent vérifier et b pour qu il y it une production donnnt un profit mimum? Eercice 6 Monsieur Ydéhoydéb possède un portefeuille boursier constitué uniquement d ctions X et Y dns des proportions h et (-h). Son fils étudint en IUP finnce, près lui voir indiqué qu une bonne gestion de portefeuille impliquit une meilleure diversifiction, lui signle que l rentbilité de son portefeuille boursier peut-être mesurée de l mnière suivnte : R h R ( h) R et que le risque de son portefeuille équivut à l éqution suivnte : p X ( R ) h Vr( R ) ( h) Vr( R ) h( h) Cov( R R ) Vr, p X Déterminer l proportion d ctions X et Y que doit posséder Monsieur Ydéhoydéb de mnière à ce que le risque de son portefeuille soit miniml. Quelle(s) hypothèse(s) doit-on fire? Remrque : Ru est l rentbilité de l ctif U ; VR (U ) est le risque de l ctif U ; Cov ( U,U ) correspond à l covrince entre deu ctifs. Eercice 7 Monsieur Fricsset possède un portefeuille boursier uniquement constitué d ctions et B en proportions et b. Un pseudo cbinet de «conseil» mesure l espérnce de l rentbilité moyenne du portefeuille de l mnière suivnte : R p.5 b b Déterminer les proportions et b pour que l rentbilité moyenne soit mimle. Y Y X Y Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 5 : Optimistion Eercice 8 On considère une économie simplifiée composée de deu individus et B consommnt deu biens X et Y. Leurs fonctions d utilité sont respectivement : U U B ( X, Y ) X Ln B B B B X Y B B ( X, Y ) Ln Ln, X, Y Y Ln, X, Y Les stocks de biens X et Y disponibles pour l consommtion sont égu respectivement à et à. On suppose que les stocks de biens sont intégrlement consommés. Un optimum de distribution u sens de Preto est un étt de l économie ssocint à tout niveu d utilité rélisble d un consommteur le niveu mimum d utilité rélisble pour l utre consommteur. Pr illeurs, on ppelle courbe des contrts de l économie le lieu géométrique de ces optim dns l espce des consommtions. insi dns cet eercice, vous B B B B llez chercher à obtenir Y en fonction de X en mimisnt l utilité U vec U U fié comme contrinte (non unique). ) Écrire le progrmme de mimistion. b) Déterminer l courbe des contrts de cette économie à l'ide du lgrngien. c) L hypothèse concernnt l consommtion complète des stocks -t-elle une incidence sur le progrmme de mimistion? Remrque : l lgrngien ne prendr ps en compte les contrintes de non négtivité Eercice 9 Soit f (, y, z) z ) Optimiser f sous les contrintes b) Optimiser f sous les contrintes y y z y y z z Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 6 : Les Complees Eercice Écrivez sous forme lgébrique les nombres complees suivnts : Z Z Eercice ( i)( 5 i) ; Z ( 7i) it t i ( t iy; et y réels) Trouvez les prties réelles et imginires des nombres complees suivnts : Z Eercice ( 6 7i) ( i) ; Z 5 ( i) ( i 5) Déterminez le module des nombres complees Z, Z, Z et Z5 insi qu une vleur pprochée de leurs rguments. Eercice Trouvez l forme lgébrique des solutions des équtions suivntes : ( i) t t 5i ; t ( 5 i) t t 5i Eercice 5 Déterminer Z 6 et 7 Eercice 6 Déterminez le complee 8 Eercice 7 Z pour que leur somme soit égle à [ 5 i] et leur produit à [ i ] Z de telle sorte que Z ( ) et ( Z )., ient le même module. Z Déterminer le module, l rgument, l prtie réelle et l prtie complee des nombres suivnts : iπ / i π / Z9 i e, Z e, Z i Eercice 8, Z(Z)^ Résoudre les équtions suivntes dns l ensemble des complees et représenter les solutions dns le pln complee : t 7 ; t t 5 Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 7 : Les Suites Eercice Étudier l suite { U n } définie pr l reltion de récurrence suivnte : ) U U, n n 6 U b) U Ln( U ), Eercice n n U > Nous souhitons étudier le pri du cfé qui résulte de l confronttion de l offre et de l demnde. On dmet que les producteurs déterminent l quntité produite de l mnière suivnte : S t P t. L demnde est donnée pr l fonction Dt 5, 5Pt. On suppose que le pri d équilibre est tel que l offre église l demnde. Étudier l stbilité du pri. Eercice On considère l suite récurrente d ordre définie pr : U ( U U ) n n n, U Un ) Montrer que U n est définie pour tout b) Montrer pr récurrence que si < déduire pour { } n * R, lors U n < n pour tout n N. Que peut-on en U lorsque <? c) Dresser le tbleu de vrition de l fonction : f ( ) f dns * R. et construire le grphe de d) l ide de l question précédente étudier l convergence de l suite { } n En déduire que e est le seul équilibre de ce système. e) Étudier l stbilité locle de e U converge vers lorsque < < f) Montrer grphiquement que { } n g) Déterminer l ensemble de stbilité de e, noté S ( e) U lorsque >. Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 8 : Équtions de récurrence linéires Eercice ) Veuillez résoudre l éqution de récurrence suivnte : X X X t t t On vous indique églement que X 5 et X 9. b) L équilibre est-il stble? c) Quelle est l nture du mouvement? Eercice Résolvez le système d équtions de récurrence suivnt pr l méthode de digonlistion des mtrices : X Yt t X t 5 Yt Remrque: ucune indiction n'est délivrée concernnt les vleurs initiles de notées respectivement X et Y X t et Y t Eercice Résolvez les équtions de récurrence de deuième ordre : ) U U U U ; U n n n b) U U U U ; U n n n c) ( ) n 9 U n 6 U n U n U ; U d) U n 9 U U 6 U ; U 9 n n n e) U U U n n n n f) n U n U n U n Eercice Soit l suite [ T n] définie pr l reltion de récurrence suivnte : T e, 7 et ( ) T ( ) n Tn Tn T e ) En posnt U Ln( ) montrez que l suite ( ) n T n récurrence linéire. b) Trouvez l epression du terme générl de l suite ( U n ) c) En déduire l epression du terme générl de l suite ( T n ) d) titre de vérifiction, clculez T de deu mnières différentes. U est définie pr une reltion de n Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE

Thème n 8 : Équtions de récurrence linéires Eercice 5 Soit le système suivnt: X t X t Yt Yt X t Yt ) Quel est l équilibre de ce système? b) Construire le digrmme des phses Eercice 6 : l oscillteur de Smuelson Supposons que les équtions du modèle soient les suivntes : Yt Ct It G Ct c Yt It β t t ( C C ) Où Yt, Ct et It représentent respectivement le revenu ntionl, l consommtion et l investissement de l période t. Où β et I sont des constntes positives. ) D un point de vue économique, que représentent c et β? b) Écrivez l éqution de récurrence vérifiée pr le revenu ntionl. c) Donnez l solution générle de l éqution homogène ssociée. d) Donnez l solution d équilibre. e) Discutez de l évolution de Y t suivnt les vleurs du coefficient β et c. Thierry Lfy nnée Universitire 7/8 LICENCE