Algèbre multilinéaire

Algèbre multilinéaire arc SAGE Table des matières Produit tensoriel de A-modules 2 Introduction 2 Problème de factorisation des applications bilinéaires 2 2 Construction 3 3 Propriétés basiques 5 2 Produit direct et somme directe de modules 9 2 Distributivité du produit tensoriel sur les sommes directes 9 22 Produit tensoriel de modules libres 23 Produit tensoriel de matrices 3 Dual le morphisme de Kronecker N! L (; N) 3 4 Passage des caractères injectif et surjectif au produit tensoriel 5 4 Produit tensoriel de suites exactes 5 42 Produit tensoriel de quotients 5 Restriction et extension des scalaires 9 5 Restriction des scalaires 2 52 Extension des scalaires 2 53 Propriétés de l extension 2 2 Algèbre tensorielle, symétrique et extérieure d un A-module 23 2 Produit tensoriel d algèbres 24 2 Produit tensoriel d algèbres 24 22 Produit tensoriel d algèbres graduées 2 23 Algèbres anticommutatives et alternées 32 22 Algèbre tensorielle d un A-module 33 22 Dé nitions 33 222 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres 35 223 Tenseurs symétriques et antisymétriques 36 23 Algèbre symétrique d un A-module 3 23 Préliminaires sur les idéaux homogènes 3 232 Dé nitions 3 233 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres commutatives 4 234 Algèbre symétrique d une somme directe nie 4 235 Lien avec les applications multinéaires symétriques 42 236 Lien avec les tenseurs symétriques 43 24 Algèbre extérieure d un A-module 43 24 Dé nitions 43 242 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres alternées 45 243 Algèbre extérieure d une somme directe nie 46 244 Lien avec les applications multilinéaires alternées 4 245 Déterminant 49 3 Annexe 5 3 Le morphisme ( Q i ) ( Q N j )! Q ( i N j ) n est en général ni injectif ni surjectif 5 32 Le morphisme de Kronecker n est en général ni injectif ni surjectif 52 33 Représentation d un foncteur, problème universel 54

Sur les notations des classes d équivalences Sans contexte, une classe d équivalence sera noté avec un symbole chapeautant, par exemple x, ea ou b L isomorphisme chinois sera par exemple noté ba; b! e ab ou plus simplement a; b! ab s il n est pas besoin de distinguer toutes les classes Sur les notations des isomorphismes Nous utiliserons systématiquement les notations ' et = pour désigner des isomorphismes La première ne signi e rien de particulier, juste qu il existe un isomorphisme, elle est donc très lâche La seconde, plus rigide, précise qu un tel isomorphisme a été xé, ce qui permet de voir comment est transformé un élément à travers cet isomorphisme Par exemple, tout K-espace vectoriel de dimension n est ' K n, mais ne sera = K n qu après le choix d une base De même, en termes ensemblistes, on écrira R ' P (N) mais fg = Par ailleurs, les isomorphismes seront à l occasion données explictement avec leur réciproque sous la forme <! Y x! f (x) g (y) y La èche du bas doit être comprise comme une èche! renversée Produit tensoriel de A-modules On se place dans le cadre d un A-module où A est un anneau commutatif unitaire Pour les principales applications, on ne considérera que des espaces vectoriels Introduction Problème de factorisation des applications bilinéaires Soit ; N; R des A-modules On regarde les applications A-bilinéaires ' de N vers R, i e qui véri ent < ' (am; n) = ' (m; an) = a' (m; n) ' (m + m ; n) = ' (m; n) + ' (m ; n) ' (n; n + n ) = ' (m; n) + ' (m; n ) On note Bil A (; N; R) ou Bil (; N; R) l ensemble des applications A-bilinéaires de N dans R, et L (; N) les homomorphismes de A-modules de dans N, i e les applications A-linéaires de dans N Nous allons représenter linéairement les applications bilinéaires Pour ce faire, étant donnés deux modules et N, nous allons construire un module P (dépendant de et N) de façon à pouvoir identi er Bil (; N; ) et L (P; ) pour tout module but Plus précisément, on s intéresse au problème suivant étant donnnés et N, trouver un A-module P et une application A-bilinéaire N! P telle que, pour tout A-module R et pour toute application A-bilinéaire ' N! R, il existe une unique application A-linéaire ' P! R telle que ' = ' '! N # % ' P Le procédé '! ' donnera l application linéaire Bil (; N; R) R! L (P; R) cherchée Observons déjà que, si un tel couple (P; ) existe, alors P est unique isomorphisme près P comme «produit tensoriel» 2

Soit (P ; ) un autre tel couple est une application bilinéaire de N dans P, donc d après les propriétés de (P; ) il existe une application linéaire P! P telle que = De même, est une application bilinéaire de N dans P, donc d après les propriétés de (P ; ) il existe une application linéaire P! P telle que = Nous représentons les quatre applications,, et sur le diagramme suivant N &! P P On y lit les égalités = = = = = = Or, est une application bilinéaire de N dans P, donc d après les propriétés de (P; ), il existe une unique application linéaire e P! P telle que = e Puisque l identité convient et que =, on en déduit = Id P ; on a de même = Id P On en déduit que est bijectif, d où un isomorphisme de P sur P L isomorphisme ci-dessus est en fait unique si 2 l on impose qu il commute avec et En e et, si f P! P est un morphisme véri ant = f, alors f est l unique application dé nie ci-dessus Remarque Pour les lecteurs connaisseurs des catégories, on présente en annexe une approche plus générale du problème ci-dessus Sachant à présent qu une solution (P; ) à notre problème est unique à unique isomorphisme commutant aux morphismes près, construisons une telle solution 2 Construction Soit E le A-module libre de base N, i e l ensemble des combinaisons formelles P m;n (m; n) à support ni Soit F le sous-a-module de E engendré par les (m + m ; n) (m; n) (m ; n) (m; n + n ) (m; n) (m; n ) (am; n) a (m; n) (m; an) a (m; n) et considérons le A-module quotient E F En notant la classe d un élément, on a alors et (am; n) = (am; n) a (m; n) + a (m; n) = (am; n) a (m; n) + a (m; n) = + a(m; n) = a(m; n), (m + m ; n) = (m + m ; n) (m; n) (m ; n) + (m; n) + (m ; n) = (m + m ; n) (m; n) (m ; n) + (m; n) + (m ; n) = + (m; n) + (m ; n) = (m; n) + (m ; n) avec des propriétés similaires à droite La projection canonique N E F (m; n)! (m; n) 2 Sinon, c est faux! Sur un corps, notre module P devient un espace vectoriel, lequel admet autant d automorphismes que de permutation des vecteurs d une base donnée 3

est donc une application bilinéaire Soit ensuite ' N! R bilinéaire Elle détermine une application linéaire E! R e' P nie m;n (m; n)! P m;n ' (m; n) via les images de la base et, puisque ' est bilinéaire, e' s annule sur F, i e F Ker e', donc e' passe au quotient, d où une application linéaire E F! R ' (m; n)! e' (m; n) Par construction, on a bien ' (m; n) = ' (m; n) = e' ((m; n)) = ' (m; n), d où ' = ' comme voulu De plus, ' est unique car on connaît les images des (m; n) qui engendrent E F On notera E F = N ou A N, A ce que l on prononce «tensoriel N» ou «tenseur N» Le A en indice est juste là pour rappeler l anneau de base 3, mais on l omettra si le contexte est assez explicite Le module A N est ainsi une solution à notre problème universel, et on l appellera le produit tensoriel de par N (au-dessus de A) Noter que, en tant que A-module, le produit tensoriel A N = (E) = (h Ni) = h ( N)i est engendré par les (m; n) = (m; n) On notera désormais (m; n) = m A n ou m n pour ces générateurs, que l on appellera également tenseurs purs Compléments Il n est pas bien di cile d adapter la construction ci-dessus pour construire le produit tensoriel d un nombre quelconque ( ni) de modules On dé nira n comme le quotient du module libre h n i par un idéal choisi pour être annulé par toute application n-linéaire La propriété universelle subsiste, ce qui permet de représenter linéairement toutes les applications n-linéaires L associativité du produit tensoriel démontrée plus bas assure que l on retombe sur nos pieds, au sens où l on pourra identi er a b c avec (a b) c ou bien a (b c) Le lecteur notera à ce propos l analogie avec les propriétés du produit cartésien Le lecteur est également invité à véri er que le produit tensoriel d un seul module est le module lui-même Remarque pour les tétratomistes ontrons que le produit tensoriel vide vaut l anneau de base (et non le module nul) Il s agit de trouver une application partant d une produit direct (vide) de modules (i e le module nul), qui soit -linéaire (donc sans condition aucune), vers l anneau A et qui satisfasse aux conditions de la propriété universelle '! fg # % ' A On se donne donc une application -linéaire (i e sans condition) ' fg! vers un module quelconque que l on cherche à factoriser par l application En prenant =, ' est linéaire sur une droite, donc est entièrement déterminée par l image de = () Ceci montre existence et unicité du ' cherché lequel sera dé ni par a! a' () 3 on pourra parler du produit tensoriel de et N au-desssus de A 4

3 Propriétés basiques N! N Puisque est bilinéaire, on a immédiatement les propriétés suivantes (m; n)! m n < (m + m ) n = (m n) + (m n) m (n + n ) = (m n) + (m n ) (am) n = m (an) = a (m n) On en déduit n = ( A m) n = A (m n) =, i e n = m = Si l on reprend le problème que l on s était posé en début de chapitre, étant donnée une application bilinéaire ' N! R (m; n)! ' (m; n), on a bien une unique application linéaire ' N! R m n! ' (m; n), i e telle que ' (m; n) = ' (m; n) pout tout (m; n) de N L unicité de ' vient de sa linéarité et de ce que les m n engendrent N, le point important est surtout son existence En e et, si l on voulait dé nir ' «à la main», il faudrait véri er que ' (m; n) ne dépend pas du représentant m n choisi, et donc redire à chaque fois que ' passe au quotient par l idéal F, ce qui passe au mieux pour une tâche rébarbative C est ce que l on appelle la propriété universelle du produit tensoriel On dit aussi que ' se factorise en ' '! N # % ' N R On remarquera de plus que le produit tensoriel ne dépend que de la structure des modules considérés, en cela que ' N ' N =) N = N! En e et, si N! N sont des isomorphismes, l application N! N (m; n)! (m) (n) est bilinéaire, donc la propriété universelle nous donne une application linéaire N! N m n! (m) (n) De même, l application N! N (m ; n )! (m ) (n ) est bilinéaire, donc la propriété universelle nous donne une application linéaire N! N m n! (m ) (n ) 5

Il est alors clair que et sont réciproques l une de l autre, donc sont des isomorphismes D autre part, l application L ( N; R)! Bil (; N; R)! (m; n)! (m n) est bien dé nie, linéaire, injective (la connaissance des images par des éléments de la base m n de N détermine uniquement ), et surjective (tout ' de Bil (; N; R) a un antécédent '), donc est un isomorphisme En n, l application L (; L (N; R))! Bil (; N; R)! (m; n)! [ (m)] (n) est bien dé nie, linéaire, injective, surjective (tout ' de Bil (; N; R) a un antécédent m! ' (m; )), donc est un isomorphisme On en conclut que 4 L ( N; R) = Bil (; N; R) = L (; L (N; R)) Remarque Les tenseurs purs m n engendrent le module N, mais tous les éléments de N ne sont pas des tenseurs purs ce sont une somme de tenseurs purs D autre part, en général les tenseurs purs non nuls ne sont pas libres et donc ne forment pas une base Prendre par exemple = N = A, auquel cas tous les tenseurs purs sont colinéaires cd (a b) = abcd ( ) = ab (c d) On montre plus tard que A A ' A, donc si A est un anneau non nul, mettons A = Z, alors il y a au moins deux tenseurs purs non nuls colinéaires, ce qui empêche la liberté de ces derniers = Exemple On considère les Z-modules Z az N = Z où a et b sont des entiers bz Puisque x y = xy ( N ), le produit tensoriel Z az Z bz est monogène Il est de plus ni car image de l ensemble ni Z az Z bz par la projection canonique Il est par conséquent cyclique, donc isomorphe à un groupe additif Z kz De plus, Bézout donne (a ^ b) ( N ) = (ua + vb) ( ) = ua ( ) + vb ( ) = u (a ) + v ( b N ) = u ( ) + v ( ) = + =, donc k divise a ^ b Dans le cas particulier où a et b sont premiers entre eux, on en déduit On peut montrer plus généralement 5 que Z az Z bz ' fg Z az Z bz = Z (a^b)z Propriétés (commutativité, associtativité, et élément neutre 6 pour le produit tensoriel) Soient ; N; R des A-modules 4 Bien sûr, on montrerait de même que L ( n; R) = L n ( ; ; n; R) 5 Ce sera immédiat lorsqu on saura calculer des produits tensoriels de quotients 6 On comprend ici d une autre manière pourquoi le produit tensoriel vide doit valoir l anneau de base 6

Les A-modules N et N sont canoniquement identi ables via l isomorphisme N g! N m n! n m 2 Les A-modules ( N) R et (N R) sont canoniquement identi és via l isomorphisme ( N) R g! (N R) (m n) p! m (n p) 3 Les A-modules, A et A sont canoniquement identi és via les isomorphismes g! A m! m et g! A m! m Démonstration On considère l application bilinéaire ' N! N (m; n)! n m Par la propriété universelle, il existe une application linéaire N! N ' m n! ' (m; n) = n m Un tel ' est bijectif car involutif et est unique car les images des m n déterminent entièrement une application linéaire sur N 2 À r xé on considère l application bilinéaire ' r N! (N R) (m; n)! m (n r) Par la propriété universelle, il existe une application linéaire ' r N! (N R) m n! m (n r) On remarque alors que r! ' r est linéaire, donc l application ( N) R! (N R) r! ' r () est également linéaire, avec ((m n) r) = m(n r) De façon analogue, en se xant m, l application bilinéaire N R! ( N) R m (n; r)! (m n) r se factorise en puis m! m est linéaire, donc m N R! ( N) R n r! (m n) r (N R)! ( N) R m! m () est également linéaire, avec (m (n r)) = (m n) r On voit alors facilement que et sont réciproques l une de l autre, donc sont des isomorphismes Concernant l unicité, il su t de dire que les images des tenseurs purs déterminent entièrement une application linéaire mais l on s abstiendra de faire cette identi cation sans raison,

A! 3 On considère d une part l application (a; m)! am bilinéaire qui se factorise en A! a m! am, d autre part l application linéaire! A m! m, lesquelles sont clairement linéaires et réciproques l une de l autre Pour montrer l unicité, quitte à se répéter, on n oublie pas que les images des tenseurs purs déterminent entièrement une application linéaire Une façon de voir le produit tensoriel N est de l identi er à N en tant que -module dans le A-module N, on remplace les scalaires de A par des éléments de Puisque le produit tensoriel est commutatif, on peut aussi voir N ' N comme le A-module où l on a remplacé les scalaires par des éléments de N Par exemple, si E est un R-espace vectoriel, on peut le voir comme un C-espace vectoriel en considérant le produit C E Ce point sera plus largement étudié au paragraphe Restriction et extension des scalaires Dé nition f! Soient ; N; ; N des modules, et g N! N des applications linéaires On appelle produit tensoriel de f et g l unique application linéaire N! f eg N m n! f (m) g (n) Démonstration de l existence et de l unicité de f eg N! L application N se factorise en (m; n)! f (m) g (n) N! N m n! f (m) g (n), d où l existence de f eg L unicité vient (comme toujours) de ce que les m n engendrent N La notation f eg n est pas anodine En e et, l application L (; ) ><! L @ L (N; N ) > N (f; g)! f eg ; N A est bilinéaire (il su t d utiliser les propriétés de bilinéarité de m n sur N en évaluant f g en un m n), donc se factorise en un morphisme >< > L (; ) L (N; N )! L @ N f g! f eg appelé morphisme de Kronecker On notera alors par commodité f g au lieu de f eg ; on prendra garde à ne pas confondre les deux notions, mais le contexte nous guidera dans la plupart des cas C étant bien sûr vu comme R-espace vectoriel ; N A,

Remarque Le morphisme de Kronecker n est ni injectif, ni surjectif dans le cas général 9 Cependant, on a l injectivité si les modules considérés sont libres sur un anneau nœthérien, ce qui est le cas des espaces vectoriels Propriétés @ f Id N A @ @ Id g f f g g A = A = @ f g @ f g A = A @ Id g @ f g A A @ f Id N A, Démonstration On véri e les égalités sur les tenseurs purs Remarque Nous avons utilisé les deux dimensions de la feuille pour distinguer deux opérations le produit tensoriel (vertical) et la composition (horizontale) Le lecteur notera l avantage commun avec l écriture des lois d un produit cartésien sous la forme a + a b + b a = b a + b 2 Produit direct et somme directe de modules 2 Distributivité du produit tensoriel sur les sommes directes Q = Soient ( i ) i2i et (N j ) j2j deux familles de A-modules On pose i2i i N = Q j2j N On peut former le j produit cartésien Q i;j ( i N j ) On dispose via la propriété universelle d une application A-linéaire N! Q i;j i N j (x i ) (y j )! (x i y j ) Remarque n est en général ni injectif, ni surjectif La non-surjectivité est montrée via un argument de dualité et la non-injectivité à l aide de calculs de produits tensoriels de quotients Pour les détails, voir l annexe n est donc sûrement pas bijectif, ce qui s écrit aussi Y Y i Nj Y ( i N j ) Par conséquent, le produit tensoriel ne se distribue pas sur le produit cartésien En revanche, si l on ne regarde dans les produits cartésiens que les familles à support ni, i e si l on remplace les Q par des L, on va obtenir un isomorphisme i Nj = (i N j ) C est l objet de la proposition suivante Proposition (distributivité de sur ) 9 voir l annexe pour des contre-exemples cf Algèbre et théories galoisiennes de R & A Douady, pages 4-5 9

Il y a un isomorphisme canonique de A-modules L L i2i i j2j N j g! L i;j ( i N j ) ( P x i ) ( P y j )! P i;j (x i y j ) Démonstration = L Notons i2i i N = L j2j N les sous-modules de et N des familles à support ni j On dispose d une injection canonique (linéaire) N,! N, (x i ) (y j )! (x i ) (y j ) qui, composée avec donne une application linéaire N! Q i;j i N j (x i ) (y j )! (x i y j ), N! L i;j ( i N j ) (x i ) i (y j ) j! (x i y j ) i;j bien dé nie puisque l image d un élément (x i ) (y j ) de N par est une famille à support ni dans I J On construit une réciproque à sur chacune des composantes de L i;j ( i N j ) À (i; j) xé, on a (par la propriété universelle) une application linéaire i;j i N j! N x y! x y En recollant les i;j, on obtient une application linéaire Li;j ( i N j )! N P i;j (x i y j )! P i;j i;j (x i y j ) Le terme P i;j i;j (x i y j ) ci-dessus se simpli e en utilisant la bilinéarité de dans N i;j i;j (x i y j ) = i;j En se rappelant, ce qui conclut x i y j = j x i y j = i j N! L i;j ( i N j ) ( P x i ) ( P y j )! P i;j (x i y j )! x i y j = i i x i! i y j!, on voit clairement que est la réciproque de Remarque Une récurrence immédiate couplée à l associativité du produit tensoriel permet de généraliser la distributivité à un nombre quelconque ( ni) de sommes directes On pourra donc calculer comme dans les anneaux, en regroupant les termes comme souhaité 22 Produit tensoriel de modules libres Corollaire Soient et N deux A-modules Si N est libre de base (f j ) j2j, alors tout élément de N s écrit de façon unique nie m j f j j2j N se comporte ainsi comme un -espace vectoriel

2 Si de plus est libre de base (e i ), alors N est libre de base (e i f j ), et rg ( N) = rg () rg (N) Démonstration Puisque N = L Af j, on peut calculer N grâce à la proposition précédente N = Af j = ( Afj ) Par ailleurs, un tenseur pur dans Af j s écrit m af j = am f j, donc les éléments de Af j sont tous (par sommation de tenseurs purs) de la forme m j f j A fortiori, les éléments de L ( Af j ) s écrivent tous sous la forme d une somme nie P j m j f j, image de la somme nie P j m j f j de N par l isomorphisme ci-dessus Ainsi, tout élément 2 N est envoyé sur un P L j m j f j de ( Afj ), donc s écrit (dans N) sous la forme = P j m j f j Concernant l unicité, si P m j f j = dans N, on observe que l isomorphisme ci-dessus transforme le P en une somme directe, d où la nullité de toutes les composantes m j f j L = 2 On applique la proposition précédente à i Ae i N = L j Af, ce qui donne j! Ae i @ Af j A = (Ae i Af j ) = A (e i f j ), i j i;j i;j d où une base (e i f j ) i;j pour N, et son rang o rg ( N) = # n(e i f j ) i;j = # (I J) = #I #J = rg rg N (valable même si I ou J in ni, d après les propriétés sur les cardinaux) Application Le morphisme de Kronecker n est en général pas injectif 23 Produit tensoriel de matrices Intéressons-nous maintenant à l e et du produit tensoriel sur les matrices Cela suppose de considérer des modules libres de type ni Proposition = Ae Ae Soient m N = Af Af n = at (ei)f = (a i;j ) Y = at (fj)g = (b i;j ) deux modules libres de type ni, Si on ordonne lexicographiquement la base canonique de N en on a alors, dans cette base e f ; e f 2 ; ; e f n ; e 2 f ; e 2 f 2 ; ; e 2 f n ; at (f g) = e m f ; e m f 2 ; ; e m f n, B @ a ; Y a ;m Y a m; Y a m;m Y f 2 L () g 2 L (N) (on part de la matrice, et on multiplie chacun de ses coe cients par Y ) C A deux endomorphismes et cf annexe

2 Si on ordonne anti-lexicographiquement 2 la base canonique de N en e f ; e 2 f ; ; e m f ; e f 2 ; e 2 f 2 ; ; e m f 2 ; e f n ; e 2 f n ; ; e m f n, on a alors, dans cette base b ; b ;n B at (f g) = @ C A b n; b n;n (on part de la matrice Y, et on multiplie chacun de ses coe cients par ) Démonstration Notons Z la matrice de f g dans la base considérée (ordre lexicographique) et xons un couple d indices (i ; j ) Si l on regarde la matrice n n extraite de Z correspondant aux lignes (e i f k ) k=;;n et aux colonnes (e j f l ) l=;;n, que nous noterons Z i;j, on a d où Z i;j = a i;j Y Z i ;j k;l = coef en (e i f k ) dans [f g] (e j f l ) = coef en (e i f k ) dans f (e j ) g (f l ) = m n coef en (e i f k ) dans a p;j e p b q;l f q p= = coef en (e i f k ) dans p;q = a i;j b k;l, q= a p;j b q;l (e p f q ) 2 Notons Z la matrice de f g dans la base considérée (ordre anti-lexicographique) et xons un couple d indices (k ; l ) Si l on regarde la matrice n n extraite de Z correspondant aux lignes (e i f k ) i=;;m et aux colonnes (e j f l ) j=;;m, que nous noterons Z k;l, on a d où Z i;j = b k;l Z k ;l i;j = coef en (e i f k ) dans [f g] (e j f l ) = coef en (e i f k ) dans f (e j ) g (f l ) = m n coef en (e i f k ) dans a p;j e p b q;l f q p= = coef en (e i f k ) dans p;q = a i;j b k;l, q= a p;j b q;l (e p f q ) Corollaire 3 tr (f g) = tr (f) tr (g), det (f g) = det (f) rg N det (g) rg 2 Il ne s agit pas de l ordre opposé à l ordre lexicographique! 3 Pour le déterminant, on prendra garre à ce que les modules en exposant ne sont pas ceux associés à l application linéaire en-dessous ; la correspondance s e ectue en croix N f g 2

Démonstration On évalue la trace dans une des deux bases précédemment considérées a ; B a ;m B B tr (f g) = tr (A B) = tr @ C A a m; B a m;m B m m = tr (a i;i B) = a i;i tr (B) = tr A tr B, et on procède de même pour le déterminant en utilisant les deux bases i= det (f g) = det (f Id Id g) = det (f Id) det (Id g) [I n ] ; A [I n ] ;n A [I m ] ; B [I m ] ;m B B = det @ C B A det @ C A [I n ] n; A [I n ] n;n A [I m ] m; B [I m ] m;m B A B B = det @ C B A det @ C A = (det A) n (det B) m A B i= Compléments Des calculs précédents ressort un produit matriciel dé ni 4 par a ; Y a ;m Y B Y = @ C A où (a i;j ) = a m; Y a m;m Y Il s agit du produit de Kronecker, dont les premières propriétés découlent de celles du produit tensoriel Par ailleurs, on montre aisément t ( Y ) = t t Y, puis que pour deux matrices et Y de même taille les matrices Y et Y sont conjuguées par une matrice de permutation (on a vu que ces dernières représentent un même endomorphisme dans une même base dont on a réordonné les vecteurs) 3 Dual le morphisme de Kronecker N! L (; N) Soit un A-module ; on regarde son dual = L (; A) On rappelle que si est libre de type ni, mettons de base (e i ), alors est aussi libre de type ni, de base (e i ) dé nie par e i (e j) = j i ; (e i ) est appelée base duale de (e i ) Soit et N deux modules On a (toujours et encore par la propriété universelle) une application linéaire 5 N N! L (; N) l n! l () n ontrons que permet sous certaines conditions d identi er N et L (; N) Proposition (bijectivité de ) 4 A n de laisser et Y dans le même ordre que celui des coe cients de Y, on ne considérera pas le produit associé à l ordre anti-lexicographique 5 Il s agit en fait d un cas particulier du morphisme de Kronecker où un module source et l autre module but sont égaux à A L (; A) On obtient un morphisme de = N vers L @ A ; A = L (; N) Le lecteur est encouragé à tout expliciter L (A; N) A N pour retrouver le morphisme 3

Si ou N est libre de type ni, alors est un isomorphisme Démonstration L idée est d exprimer toute application linéaire u! N de façon unique sous la forme u = P l i () n i Si l on y parvient, il su ra de considérer l application L (; N)! N P li () n i! P l i n i qui est clairement une réciproque de, d où l isomorphisme recherché Si est libre de type ni, disons = Ae Ae m, on considère la base duale (e ; ; e m) Soit u! N linéaire u est entièrement déterminée par les u (e i ), et on a plus précisément u = P m i= e i () u (e i) avec unicité par liberté des e i Si N est libre de rang ni, on peut écrire N = L n j= Af j Soit u! N linéaire alors u (x) se décompose (de façon unique) en P n j= l j (x) f j, et la linéarité de u entraine celle des l j, d où une écriture u = P n j= l j () f j avec l j 2 Pour avoir l unicité des l j, on remarque que si = P n j= l j () f j, alors tous les l j sont nuls par liberté des f j Cas particuliers Pour des espaces vectoriels de dimension nie E F = L (E; F ) Cela se comprend bien une application linéaire est une combinaison linéaire d applications linéaires l () x de rang (on peut le voir de façon matricielle) auxquelles correspondent dans E F les l x Si de plus F = E de base (e i ), alors e i e j vu dans L (E) est e i () e j et donc a pour matrice E j;i Le lecteur montrera aisément que le nombre minimal de tenseurs purs nécessairement pour écrire un 2 E F est le rang de () Cet argument permet d exhiber un contre-exemple 6 à la surjectivité de la èche naturelle ( Q i ) ( Q N j )! Q ( i N j ) 2 Si on prend = N dont on xe une base (e ; ; e n ), on a une correspondance L ()!, n Id! e i e i, f! i= n e i f (e i ) 3 Sur, on a une forme linéaire bien privilégiée, appelée contraction i=! A l x! l (x) Vue en tant que forme linéaire e de L (), on a! n n n e (f) = ( (f)) = e i f (e i ) = (e i f (e i )) = e i (f (e i )) = tr f, i= i= i= et donc la contraction vue dans L () est tout simplement la trace Compléments sur la trace Soit un module Comment dé nir la trace d un endomorphisme f 2 L ()? On dispose d un morphisme de Kronecker = et d une contraction On dé nit la trace d un f 2 Im par tr f = () où est un tenseur antécédent de f par ; sous l hypothèse Ker Ker, cette dé nition bien indépendant de l antécédent 6 cf annexe l élément P e i e i est indépendant de la base (e i ) choisie, il est appelé élément de Casimir toujours véri ée pour les espaces vectoriels car le morphisme de Kronecker est alors injectif 4

Lorsque est libre de type ni, le calcul ci-dessus montre que la trace de f est la somme des coe cients diagonaux de n importe quelle matrice représentant f Dans le cas général, on retrouve la formule classique tr (f g) = tr (g f) Pour que l égalité précédente fasse sens, il faut déjà que les traces sur Im L () Im N N L (N) soient bien dé nies, ce qui impose Ker Ker Ker N N Ker N g f 2 Im Ensuite, il faut que f g 2 Im N, ce qui sera le cas dès que l un des morphismes f ou g est dans l image N du correspondant En e et, si par exemple f s écrit P i () n i avec ( i ; n i ) 2 N, les composées f g et g f vaudront respectivement f g = i (g ()) n i = (i g) n i et g g = i () g (n i ) = i g (n i ), et l on voit alors que leur trace commune vaut P i (g (n i )) On montrera l invariance de la trace par extension des scalaires au paragraphe correspond 4 Passage des caractères injectif et surjectif au produit tensoriel 4 Produit tensoriel de suites exactes Que se passe-t-il lorsqu on tensorise une application A-linéaire u! N par un troisième A-module R? Il s agit d étudier R! N R u Id R m r! u (m) r Remarque u peut très bien être injective sans que u Id R le soit En e et, le fait de tensoriser ne consiste pas seulement à raisonner composante par composante (il y a un produit direct pour ça) puisque les scalaires de l anneau considéré peuvent se balader par linéarité d une composante à l autre et ainsi tuer des gens qui étaient non nuls aux départ = Z Par exemple, considérons les Z-modules N = nz, R = Z nz, et prenons pour u! N la multiplication par n Alors i hu Id (k; m) = nk m = k nm = k mn = k =, R donc u Id R est l application nulle Comme de plus Z Z nz = Z Z Z nz = Z nz qui est non réduit à fg pour n 2, u Id R est bien non injective Remarque Les A-modules tels que uid R est injective pour tout A-module R dès que u est injective sont appelés modules plats 9 Cependant, la surjectivité passe bien au produit tensoriel, au sens de la proposition suivante Proposition (produit tensoriel d une suite exacte par un module xé) Soit une suite exacte u v!! ( i e Ker v = Im u et v surjective) Alors la suite R uid! R vid R! 9 Comme vu dans l exemple ci-dessus, la platitude est empêchée par des phénomènes de torsion Plus généralement, si A est un anneau principal, alors un module de type ni sur A est plat ssi il est sans torsion Ceci justi e la terminologie de platitude introduite par Serre 5

est encore exacte, i e Ker (v Id) = Im (u Id) et v Id surjective Remarque Une autre façon de dire que la suite u! v!! est exacte, est de dire que Im u Ker v, puis que l application linéaire v Im u! m! v (m) est un isomorphisme En e et, on a alors = Im v = Im v, i e v surjective, et m 2 Ker v =) v (m) = =) v (m) = =) m 2 Ker v = =) m = = Im u =) m 2 Im u, i e Ker v Im u (on a déjà l autre sens) Démonstration La composée (v Id) (u Id) = (v u) Id = Id =, donc on a déjà l inclusion Im (u Id) Ker (v Id) Considérons ensuite l application R f Im(uId)! R m r! [v Id] (m r) qui véri e f (m r) = v (m) r On veut un inverse pour f Remarquons tout d abord que, étant xé r 2 R, si m et m 2 ont même image par v, alors m r et m 2 r ont même classe dans R Im(uId) ; en e et, v (m m 2 ) =, i e (m m 2 ) 2 Ker v = Im u, donc 9m 2 tq m m 2 = u (m ), d où L application m r m 2 r = (m m 2 ) r = u (m ) Id (r) = [u Id] (m r) 2 Im (u Id) ' Im v R! R Im(uId) (v (m) ; r)! m r est donc bien dé nie, bilinéaire, d où (propriété universelle, et car Im v = ) une application linéaire ' R! R Im(uId) m r! ' (m ; r) On a bien f ' (m r) = f ' (m ; r) = f ' (v (m) ; r) = f (m r) = v (m) r = m r, et ' f (m r) = ' (v (m) r) = ' (v (m) ; r) = m r, d où l inverse recherché Corollaire (produit tensoriel de deux suites exactes) Soient deux suites exactes ( u v!! N s t! N N! Alors v t N N est surjective de noyau Ker (v t) = Ker (v Id N ) + Ker (Id t) = Im (u Id N ) + Im (Id s) 6

Démonstration D après la proposition précédente, v Id N et Id t sont surjectives, donc leur composée v t l est aussi [v IdN ] [Id On peut toujours écrire vt = t] Ker (v IdN ) Ker (v t), d où les inclusions [Id t] [v Id N ] Ker (Id t) Ker (v t), donc la somme Ker (v Id N ) + Ker (Id t) est bien incluse dans Ker (v t) Réciproquement, soit z 2 Ker (v t) dans N On a h i h i = [v t] (z) = v Id Id t (z), N d où h i Id t (z) 2 Ker v Id N = Im d après la proposition précédente, donc s écrit h i h i Id t (z) = u Id N (y) u Id N pour un y dans N Or, toujours d après la proposition précédente, Id t est surjective de N sur N, donc y est atteint par un x 2 N, mettons h i y = Id t (x) On a donc h i h i h i Id t (z) = u Id (y) = u Id N N h i h i i Id t (x) = [u t] (x) = Id t hu Id (x), N d où z 2 h i i Id t z hu Id (x) =, N i hu Id (x) 2 Ker Id t = Im Id s, N Id s Im u Id + Im N z i hu Id (x) + Im N Id s, ce qui achève de montrer la seconde inclusion Ker (v t) Im u Id + Im Id s N Pour conclure, on utilise les égalités entre images et noyaux fournies par la proposition précédente Ker (v IdN ) = Im (u Id N ) Ker (Id t) = Im (Id s) 42 Produit tensoriel de quotients Corollaire (calcul de produits tensoriels de quotients) Si est un sous-module de N, alors on a un isomorphisme canonique est un sous-module de N N N g! N N+N m n! m n Démonstration Les suites ( N i,!! j,! N N N!

sont exactes, où i et j sont les injections canoniques et et les projections canoniques, donc peut appliquer la proposition qui précède N N = Im ( ) = N Ker() = N Im(iIdN )+Im(Id j) = N N+N L action de l isomorphisme vient de la factorisation Im ' = Ker ' où ' P laquelle envoie ' (x) sur la classe de x modulo Ker '! R est un morphisme linéaire, Corollaire Soient I, J des idéaux de A Alors il y a un isomorphisme canonique A I A J g! A I+J x y! xy Démonstration On applique la formule précédente à = I,! A = N = J,! A = N, en utilisant l isomorphisme ' A A! A a a! aa A I A J = AA IA+AJ = '(AA) '(IA+AJ) = A IA+AJ = A I+J Un tenseur xy est envoyé sur x y par le premier isomorphisme, puis x y est envoyé par ' sur ' (x y) = xy Il en résulte immédiatement le calcul du produit tensoriel de modules cycliques Z (a) Z (b) = Z (a)+(b) = Z (a^b) Corollaire 2 (changement d anneau de base) Si est un A-module quelconque et I un idéal de A, alors il y a un isomorphisme canonique A I g! I m a! am Ainsi, pour passer d un A-module à un A I -module, on tensorise par A I Démonstration On applique la formule précédente à = fg,! N = I,! A = N à l aide de l isomorphisme ' A! m a! am A I = fg A I = A fga+i = A I = '(A) '(I) = I Un tenseur pur m a est successivement envoyé sur m a, m a, ' (m a) = am On remarque ensuite que le groupe additif I est naturellement muni d une structure de A I -module via la loi scalaire a em = fam puisque pour deux scalaires a et b de même classe a = b, i e di érant d un élément i de I, on a fbm = ^ (a + i) m = ^ am + im = fam Les lois usuelles d un module se véri ent aisément en passant tout sous le signe ~ ; par exemple a em + fm = a m ^ + m = a (m ^ + m ) = am ^+ am = fam + gam = a em + a fm Ainsi, tensoriser par A I permet de passer du A-module à un un changement d anneau de base A I -module I, ce qui revient à faire

Application 2 La èche n est en général pas injective Remarque Lorque l idéal I est inclus dans l annulateur du A-module, dé ni par Ann = fa 2 A ; a = fgg, devient naturellement un A I -module pour la loi scalaire a m = am puisque pour deux scalaires a et b de même classe a = b, i e di érant d un élément i de I, on a bm = (a + i) m = am + {z} im = am = Si N est un autre A-module, le produit tensoriel N peut alors être vu comme un A I -module Proposition Soient, N deux A-modules et I un idéal de A inclus dans Ann Il y a un isomorphisme canonique de A I -modules ( N g! N IN A A I m n! m n Démonstration Puisque I annule A, les modules et A N peuvent être vus comme un ensuite l application A I -linéaire A I -modules On considère ( N IN! N A I A m n! m n est bien dé nie, car pour deux éléments n et n de même classe n = n, i e di érant d un élément i de IN, on a m A n = m (n + i) = m n + m i = m n + {z} im = m A n = On considère ensuite l application A I -linéaire ( N! A A I m n! m n N IN, et il est alors trivial que et L unicité est immédiate sont réciproques l une de l autre 5 Restriction et extension des scalaires Soient A et B deux anneaux (commutatifs) unitaires, et A! B un morphisme d anneaux (par exemple, B une extension de corps sur A, B un quotient de A par un idéal) 2 cf annexe 9

5 Restriction des scalaires Si est un B-module, alors il peut être considéré comme un A-module via a m = (a) m (les véri cations sont immédiates en passant tout dans le, par exemple a(a m) = (a) (a )m = (aa )m = aa m) Dans l exemple où A,! B est injectif, par exemple une extension de corps, le A-module ainsi obtenu est «moins riche» que celui de départ, c est pourquoi on parle plus généralement de restriction Par exemple, on peut considérer n (C) comme un Z-module (on «perd» la structure de C-espace vectoriel) En particulier, B peut être considéré comme A-module, autrement dit comme algèbre sur A 52 Extension des scalaires Si est un A-module, = A A se comporte comme un A-espace vectoriel, et de même B A peut être vu comme le même espace vectoriel où l on a remplacé les scalaires de A par ceux de B On peut ainsi transformer en un B-module en le tensorisant par (le A-module) B puis en munissant B A de la loi b (b m) = (b b) m Pour montrer l existence de la loi ci-dessus, on considère à b xé dans B l application A-linéaire 2 et on pose b B! B b m! bb m b = b () ; les véri cations d usage sont immédiates Par exemple, si V est un R-espace vectoriel, on peut «étendre» ses scalaires dans C en considérant V R C Une autre possibilité est de prendre A A I la projection canonique modulo un idéal I On retrouve le fait bien connu que A I est un A-module pour la loi scalaire a a = (a) a = aa = aa, et que A I N = N IN est un A I -module (cf calculs de quotients) 53 Propriétés de l extension Pour alléger les notations, le B-module B A sera noté B Si u est un endomorphisme de, on notera de même B u l endomorphisme Id B u de B Proposition Si est A-libre de base (e i ), alors B est B-libre de base ( e i ) 2 Si est en outre de type ni, étant donné un endomorphisme u 2 L (), on peut écrire at B u = at u (e i) (e i) Démonstration 2 comme «multiplication» 2

L hypothèse permet d écrire = L Ae i Puisque B A Ae i = B ( e i ), on a un isomorphisme canonique B = B Ae i = (B A Ae i ) = B ( e i ) mettant en correspondance b P a i e i et P directe (a i b) ( e i ) La proposition découle de cette correspondance 2 Notons (a i;j ) = at (ei) u Alors le coe cient (p; q) de at B (ei) u se lit en récupérant la coordonnée en ( e p ) de B u ( e q ) = u (e q ) = i a i;q e i = i ( a i;q e i ) = i (a i;q e i ) Ainsi, lorsque est injectif, on pourra identi er at (e i) B u = at (e i) u Par exemple, un endomorphisme d un espace vectoriel réel ne verra pas sa matrice changer si l on étend les scalaires aux complexes En particulier, sa trace sera inchangée On montre à la n de cette section que cela tient encore dans le cas général Il est légitime de se demander si, en étendant puis en restreignant les scalaires, on retombe sur nos pieds En termes formels, la loi scalaire induite sur B par restriction des scalaires est-elle la loi scalaire usuelle sur le A-module B A? La réponse est oui Pour montrer cela, notons systématiquement les lois usuelles et les lois induites par restriction des scalaires En souvenant que B est un A-module pour la loi a b = a b, on a alors a (b m) = (a) (b m) = ( (a) b) m = (a b) m = (a b) m = a (b m) Il n y aura donc aucune ambiguïté à parler de l application A-linéaire! B m! B m Observer que, pour parler de B = B A, il faut parler du A-module B, ce qui se fait par le biais de, d où une dépendance de en Plus précisément, est -linéaire, au sens où (faire b = dans le calcul précédent) (am) = (a) (m) Proposition (surjectivité et injectivité de ) Si est surjective, alors est aussi surjective 2 Si est injective, alors devient injective sous l hypothèse 22 «libre» Démonstration Soit b 2 B que l on écrit b = (a) par surjectivité de Pour un m 2, on a b m = (a) m = (a B ) m = a ( B m) = am = (am) 2 Soit (e i ) une A-base de et m dans Par implications (m) = =) m = =) i a i e i = =) i (a i ) ( e i ) = =) i; (a i ) = par liberté de la B-base ( e i ) =) i; a i = par injectivité de =) m = 22 toujours véri ée pour un espace vectoriel 2

Remarque Si est injective, sans l hypothèse «libre», n est pas injective en général Considérer par exemple le Z-module = Z nz où l on étend les scalaires par Z,! Q Q = Q Z nz = fg En d autres termes même si l on étend l anneau des scalaires, il se peut très bien que B n étende pas à proprement parler Remarque au passage Noter dans le contre-exemple ci-dessus que tensoriser par Q tue les phénomènes de torsion Par exemple, pour les modules libres de type ni sur un anneau principal, tensoriser par Q tue les composantes en Z az et récupère la partie Z n Bien qu étendre les scalaires puisse modi er de manière notoire la structure d un A-module, lorsque l on regarde les applications A-linéaires de dans un B-module N quelconque, i e les f! N telles que f (ax + y) = (a) f (x) + f (y), il n y aucune di érence à remplacer par B, au sens suivant Proposition (comportement des applications linéaires par extension des scalaires à la source) Soit N un B-module quelconque Il y a un isomorphisme canoniques de B-modules < L A (; N) g! L B B ; N f! b m! bf (m) g ( ) g L = Aei 2 On suppose que N = L sont libres et de type ni Pour tout u $ v élément de L Bf A (; N) = j B ; N, on a l égalité matricielle L B at v = at u (e i);(f j) (e i);(f j) Démonstration On véri e que les applications B-linéaires données LA (; N)! L B B ; N f! [b m! bf (m)] LB B ; N! L A (; N) g! g ( ) sont réciproques l une de d autre D une part, on a d autre part, on a [( ) (f)] (m) = ( (f)) (m) = (f) ( m) = f (m) = f (m) d où ( ) (f) = f en faisant varier m, donc = Id L A (;N) en faisant varier f, [( ) (g)] (b m) = ( (g)) (b m) = b (g) (m) = bg ( m) = g (b m), d où ( ) (g) = g en faisant varier b m, = Id L B ( B ;N) en faisant varier g 22

2 Le coe cient d indice (p; q) dans at (ei);(f j) v est la coordonnée en f p de v ( e q ) = (u (e q )), i e le coe cient d indice (p; q) dans at (ei);(f j) u, CQFD Complément ontrons que la trace est invariante par extension des scalaires Pour alléger les notations, les Kronecker et contractions seront notés < (; ) = ; B ; B = B B ; B Proposition (invariance de la trace par extension des scalaires) Soit f 2 L () dans l image du Kronecker Sous les conditions d existence traces de f et B f sont alors bien dé nies et égales Ker Ker Ker B Ker B, les tr B f = (tr f) Démonstration Pour montrer que B f est bien dans l image de B, il su t de montrer que le diagramme suivant est commutatif! L () # # B B B! L B où les èches verticales sont induites par = On regarde ce qui se passe sur un tenseur pur () m, en représentant les éléments de L B et B par les images des (ils sont B-linéaires donc entièrement déterminés par ces derniers) () m! () m # # [ ()] [m ]! [ ()] (m ), CQFD Calculons ensuite les traces Si f est l image par de P i () m i, l endomorphisme B f est image par B de P [ i ()] [m i ] On en déduit tr B f = h i (m i ) = i (m i )i = (tr f) = (tr f), CQFD 2 Algèbre tensorielle, symétrique et extérieure d un A-module Soit A un anneau commutatif unitaire Tous les modules, algèbres et applications multilinéaires considérés seront pris sur l anneau A Notre but est de prolonger la structure d un module en une algèbre La loi de multiplication sera naturellement donnée par le produit tensoriel Selon les propriétés que l on souhaite imposer à l algèbre d arrivée, on sera amené à construire l algèbre tensorielle d un module pas de propriétés spéci ques, son algèbre symétrique si l on souhaite la commutativité et son algèbre extérieure en vue de l alternance et de ses nombreux aspects (dont le déterminant) Nous aurons besoin avant tout d introduire deux structures d algèbres que l on peut mettre sur le module formé d un produit tensoriel d algèbres La seconde vient tordre la première très naturelle (qui raisonne coordonnée par coordonnée) à l aide de considérations de signes en étroit lien avec l alternance 23

2 Produit tensoriel d algèbres Soient B et C des algèbres (pas forcément commutatives) On dispose donc de morphismes d algèbres A! B A! C B et a! a C B a! a C Attention, contrairement aux algèbres sur des corps, il n y a pas forcément injectivité en général (considérer la Z-algèbre Z 2Z ) 2 Produit tensoriel d algèbres Proposition Il existe une unique structure d algèbre sur B C prolongeant les lois du module B C et telle que @ b A @ b b b A = @ A c c c c unie de ces lois, B C est appelée algèbre produit tensoriel de B par C On a deux morphismes d algèbres B! B C C! B C et b! b C c! B c, faisant que B et C commutent dans B C, au sens où (b ) ( c) = b c = ( c) (b ) Démonstration On considère l application bilinéaire B C! >< B C ' (b;c ) (b; c)! @ b b A > c c qui se factorise en une unique application linéaire B C! >< B C b ' (b;c ) b b c! @ A > c c On considère ensuite l application bilinéaire B C! L (B C) (b; c)! ' (b;c) qui se factorise en une unique application linéaire B C! L (B C) b c! ' (b;c) On dé nit alors une loi multiplicative sur B C par = () () 24

(en particulier, @ b c A @ b c A = (b c) (b c ) = ' (b;c) (b c ) = bb cc comme voulu) La distributivité à gauche de vient de la linéarité de, la distributivité à droite de la linéarité de ' Quand à l associativité, puisque il revient à montrer l identité ( ) = () ( ) = () () () = () () () et ( ) = ( ) () = () () (), () () = () () Or, est clairement associative sur les tenseurs purs, d où (par linéarité des ()) puis (par linéarité de et de (b c)) donc (par linéarité de ) (b c) (b c ) = (b c) (b c ), (b c) () = (b c) (), () () = () (), comme souhaité En n, la linéarité de et de () donne la dernière propriété a ( ) = a () (a) () = (a ) () =, () (a) = (a ) Ainsi B C est bien une algèbre pour les lois +,, Son unicité vis-à-vis de la propriété b b b b @ A @ A = @ A c c c c vient de ce que la loi est (par distributivité) entièrement déterminée par ses valeurs sur les tenseurs purs Les autres propriétés de la proposition sont alors immédiates Remarque En d autres termes, il y a une unique structure d algèbre sur B C telle que la projection canonique (b; c)! b c soit multiplicative On observera à ce propos que la donnée d une application bilinéaire multiplicative sur l algèbre produit B C est la même chose que la donnée de deux morphismes d algèbres, l un sur B l autre sur C, qui commutent à l arrivée Le lecteur véri era en e et que l application suivante est bijective f 2 Bil (B C; D) (; ) 2 Hom (B; D) Hom (C; D) ; >< g! multiplicative (b; c) 2 B C; (b) (c) = (c) (b) f! (f (; ) ; f (; )) > (b; c)! (b) (c) (; ) Lorsque l on cherche à factoriser les applications bilinéaires multiplicatives sur B C vues à travers la bijection ci-dessus, on tombe sur la propriété universelle suivante Propriété universelle du produit tensoriel d algèbres 'B B! D Soient deux morphismes d algèbres qui commutent à l arrivée, i e véri ant pour tout ' C C! D b 2 B et c 2 C ' B (b) ' C (c) = ' C (c) ' B (b) 25

Alors il existe un unique morphisme d algèbres ' B C! D prolongeant ' B et ' C, au sens où ' (b) = ' (b ) = 'B (b) ' (c) = ' ( c) = ' C (c), et ce morphisme agit sur les tenseurs purs par multiplication des composantes tensorielles après action de ' B et ' C ' (b c) = ' B (b) ' C (c) Démonstration Concernant l unicité, si ' est un morphisme prolongeant ' B et ' C, on doit avoir ' (b c) = ' ((b ) ( c)) = ' (b ) ' ( c) = ' B (b) ' C (c), d où l action nécessaire de ' sur les tenseurs purs action qui est clairement su sante pour prolonger ' B et ' C B C! D On considère l application bilinéaire que l on factorise en une application (b; c)! ' B (b) ' C (c) linéaire B C! D ' b c! ' B (b) ' C (c) On déjà trivialement que ' (b c) = ' B (b) ' C (c) De plus, on a 23 ' ((b c) (b c )) = ' (bb cc ) = ' B (bb ) ' C (cc ) = ' B (b) ' B (b ) ' C (c)' C (c ) = ' B (b) ' C (c) ' B (b )' C (c ) = ' ((b c)) ' ((b c )), et, comme ' est déjà linéaire, ' est un morphisme d algèbres L unicité découle de celle dans la propriété universelle du produit tensoriel de modules Remarques En d autres termes, toute application bilinéaire multiplicative f B C! D se factorise d une unique manière sous la forme f = f où f B C! D est un morphisme d algèbres On retrouve la formulation plus «classique» de la propriété universelle On aurait pu reformuler le fait que ' prolonge ' B et ' C en disant que ' fait commuter le diagramme B Id Id! B C & ' B # ' 'C D C On se souvient que tensoriser un module par une algèbre B permet d étendre les scalaires du module Ce principe reste valable pour étendre les scalaires d une algèbre, en particulier des algèbres polynomiales Extension des scalaires d une algèbre de polynômes Pour toute A-algèbre B, on a un isomorphisme canonique d algèbres < B A A [] g! B [] b i! b i i i Démonstration On dispose d une injection canonique B,! B [] Par ailleurs, la èche A! B dé nissant l algèbre B donne lieu à une èche naturelle A []! B [] Les deux èches qui précèdent sont des morphismes d algèbres qui commutent à l arrivée, donc la propriété universelle du produit tensoriel d algèbres s applique Il est immédiat de véri er que la réciproque proposée en est bien une 23 les quantités soulignées sont égales d après l hypothèse de commutativité sur B et C 26

Corollaire (produit tensoriel d algèbres de polynômes) On a un isomorphisme canonique d algèbres A [] A [Y ] g! A [; Y ] p Y q! p Y q Démonstration On applique ce qui précède à B = A [Y ] Le tenseur Y p q sera alors transformé en Y p q, ce qui conclut en échangeant les lettres et Y Compléments On peut sans aucune di culté étendre ce qui précède au cas d un nombre quelconque ( ni) d algèbres B ; ; B n Le produit sur B B n agira sur les tenseurs purs composante par composante et les B i commuteront deux à deux dans N B i L associativité de et la distributivité de sur s écriront exactement de la même manière que pour les modules 24, sauf que l on aura des isomorphismes (canonique) d algèbres et non juste de modules 25 Par exemple, la dernière propriété se généralise aisément par récurrence en invoquant l associativité < A [] A [] A [] {z } n fois g! A [ ; ; n ] i in n! i in n Concernant la propriété universelle, des morphismes d algèbres un sur chaque B i commutant deux à deux à l arrivée 26 se prolongeront de façon unique sur N B i en agissant sur un tenseur pur par multiplication des composantes tensorielles après action de chacun des morphismes 22 Produit tensoriel d algèbres graduées Dé nition Une algèbre graduée B est une algèbre B munie d une suite de sous-modules (B n ) n2n telle que B = n2n B n et B n B m B n+m ( B est donc un sous-anneau de B que prendrons toujours égal à A) Les B n sont appelées composantes homogènes de degré n On dit qu un élément b de B est homogène ( de degré n) s il appartient à une composante homogène B n de B Le degré d un b 2 B n est noté par et véri e la propriété deg b = @ (b) = @b = n @ (bb ) = @ (b) + @ (b ) Par exemple, pour B = A [ i ], la n-ième composante homogène B n est formée des polynômes homogènes de degré exactement n 24 cf première section 25 Par exemple, pour véri er que l isomorphismes de modules Bi Cj = (Bi C j ) respecte les produits des algèbres mises en jeu, il su t (par linéairité) de le faire sur les éléments de la forme b i c j, mais c est alors immédiat 26 donc de même algèbre but 2

Proposition Soient B = L B n et C = L C n des algèbres graduées Alors B C est graduée de composante homogènes de degré n [B C] n = B p C q, et pour tous éléments homogènes b, c, on a p+q=n @ (b c) = @b + @c Démonstration On a B C = Bn Cm = n;m B n C m = n p+q=n et l isomorphisme devientl une égalité en considérant des sommes directes internes x 2 p+q=n De plus, pour B P p C q x = y 2 L p+q=m B i+j=n, i e b i c j p C q y = P i +j =m b i, on a c j xy = 2 @ i+j=n i+j=n i +j =m b i c j A @ i +j =m B i+i C j+j b i c A j = p+q=m+n B p C q = b i b i {z} i+j=n i +j 2B =m i+i p+q=m+n B p C q, c j c j {z} 2C j+j B p C q Remarque Nous laissons au lecteur le soin de montrer qu un produit tensoriel de plusieurs algèbres graduées B i = L Bn i est gradué par B B p = B n n Bn p p n ++n p=n et que le degré d un élément homogène s exprime par @ (b b n ) = @b + + @b n Nous allons maitenant tordre la loi de l algèbre produit tensoriel, qui est graduée par ce qui précède, à l aide des degré des éléments multipliés, ce a n de la rendre anticommutative Proposition Dé nition Il existe sur B C une unique structure d algèbre prolongeant les lois du module B C et telle que, pour des éléments homogènes b, b, c, c, on ait @ b c A @ b c A = ( ) @c@b @ On l appelle produit tensoriel gradué 2 des algèbres B et C, et on le note B g C ou B g C bb cc A Démonstration 2 Les anglicistes parleront de super-produit 2

On dé nit la loi (presque) comme la loi multiplicative d une algèbre tensorielle Le seul point non trivial à véri er sera son associativité A b, c homogènes xés, on considère l application bilinéaire ' (b;c ) ( B C! B C i b i ; c! P nie i ( ) @bi@c (b i b cc ) P nie qui se factorise en une unique application linéaire ( B C! B C ' (b;c ) P nie i b i c j! P nie i ( ) @bi@c (b i b cc ) On considère ensuite l application bilinéaire B C! L (B C) (b; c)! ' (b;c) qui donne une unique application linéaire Puis on dé nit alors une multiplication sur B C par B C! L (B C) b c! ' (b;c) = () () (en particulier, @ b c A @ b c A = (b c) (b c ) = ' (b;c) (b c ) = ( ) @c@b (bb cc ) comme voulu) La distributivité à gauche de vient de la linéarité de, la distributivité à droite de la linéarité de ' Quand à l associativité, comme pour la loi multiplicative d une algèbre tensorielle, il revient à montrer l identité () () = () () Or, est associative sur les éléments homogènes de base en e et, on a et ((b c) (b c )) (b c ) = ( ) @c@b (bb cc ) (b c ) = ( ) @c@b ( ) @(cc )@b (bb b cc c ) = ( ) @c@b +@c@b +@c @b (bb b cc c ) (b c) ((b c ) (b c )) = (b c) ( ) @c @b (b b c c ) qui sont bien des quantités égales en regardant les puissances du On en déduit alors = ( ) @c @b ( ) @c@(b b ) (bb b cc c ) = ( ) @c @b +@c@b +@c@b (bb b cc c ), @c@b + @c@b + @c @b {z } = @c @b {z } +@c@b + @c@b () () = () () comme pour la loi multiplicative d une algèbre tensorielle, d où l associativité de En n, la linéarité de et de () donne la dernière propriété a ( ) = a () (a) () = (a ) () = () (a) = (a ) 29

Ainsi B C est bien une algèbre pour les lois +,, Son unicité vis-à-vis de la propriété b b bb @ A @ A = ( ) @c@b @ A c c cc vient de ce que la loi est (par distributivité) entièrement déterminée par ses valeurs sur les tenseurs purs Propriété Si B et C sont des algèbres graduées, alors B g C est anticommutative sur les plongés de B et C, dans le sens où c b = ( ) @b@c b c Démonstration c b = ( c) (b ) = ( ) @b@c (b ) ( c) = ( ) @b@c b c Remarque Une application f bilinéaire sur B C véri ant pour tous éléments homogènes b; b ; c; c b b b b f c c = ( ) @c@b f f c c sera dite antimultiplicative La structure de l algèbre B g C est ainsi la seule qui rende la projection canonique (b; c)! b c antimultiplicative Comme pour le produit tensoriel d algèbres B C, on observera que les applications bilinéaires antimultiplicatives sur l algèbre produit B C sont en bijection avec les couples de morphismes d algèbres, l un sur B l autre sur C, qui anticommutent à l arrivée considérer la bijection 2 >< > f 2 Bil (B C; D) antimultiplicative g! < 9 = (; ) 2 Hom (B; D) Hom (C; D) ; p; q; (b; c) 2 B p C q ; (b) (c) = ( ) pq (c) (b) ; f! (f (; ) ; f (; )) (b; c)! (b) (c) (; ) Chercher à factoriser les applications bilinéaires antimultiplicatives sur B C mène à la propriété universelle suivante Propriété universelle du produit tensoriel gradué 'B B! D Soient B et C deux algèbres graduées et ' C C! D à l arrivée, i e véri ant pour tous b; c homogènes deux morphismes d algèbres qui anticommutent ' B (b) ' C (c) = ( ) @b@c ' C (c) ' B (b) Alors il existe un unique morphisme d algèbres ' prolongeant ' B et ' C à B g C B Id Id! B g C & ' B # ' 'C D C et ce morphisme agit sur les tenseurs purs par multiplication des composantes tensorielles après action de ' B et ' C ' (b c) = ' B (b) ' C (c) 2 Toutes les véri cations sont bien sûr laisées au soin du lecteur 3

Si de plus ' B et ' C sont gradués 29, alors ' est gradué Démonstration L application A-bilinéaire B C! D (b; c)! ' B (b) ' C (c) fournit une unique application linéaire ' B C! D b c! ' B (b) ' C (c) On considère ensuite B C muni de sa structure d algèbre graduée B g C On a déjà trivialement que ' (b c) = ' B (b) ' C (c) De plus, on a 3 ' ((b c) (b c )) = ' ( ) @c@b bb cc = ( ) @c@b ' B (bb ) ' C (cc ) = ( ) @c@b ' B (b) ' B (b ) ' C (c)' C (c ) = ( ) @c@b ( ) @b @c ' B (b) ' C (c) ' B (b )' C (c ) = ' ((b c)) ' ((b c )), donc la linéarité de ' entraine son caractère de morphisme d algèbres L unicité est évidente d après l unicité dans la propriété universelle du produit tensoriel de modules Lorsque ' B et ' C sont gradués, il est aisé de montrer que ' préserve le degré pour b 2 B et c 2 C homogènes, ' (b c) = ' B (b) ' C (c) est homogène de degré @' B (b) + @' C (c) = @b + @c = @ (b c) Remarque Comme pour le produit tensoriel d algèbres usuel, on observera que la donnée de deux B! D morphismes d algèbres qui anticommutent à l arrivée revient à se donner une application bilinéaire C! D sur B C qui est antimultiplicative considérer la bijection Compléments Encore une fois tout se prolonge aux cas de n algèbres graduées Le produit «tordu» sur l algèbre graduée B g g B n sera dé ni composante par composante avec un signe donné à l aide du schéma ci-dessous b b 2 b n b b 2 b n b b 2 b n on fait le produit des degrés des éléments reliables par un trait oblique (verticales exclues) et on somme le tout, ce qui donne (pour le cas de trois algèbres) un signe P i<j @b i @b j + @b i @b j + @b i j @b Les algèbres Bi vont alors anticommuter deux à deux dans g N Bi Comme pour le produit tensoriel (usuel) d algèbres, on dispose de l associativité de g et de la distributivité de g sur, lesquelles donnent lieu à des isomorphismes (canoniques) d algèbres graduées 3 Une récurrence étendra la distributivité à un produit de plusieurs algèbres graduées Côté propriété universelle, si l on se donne des morphismes d algèbres un pour chaque B i qui anticommutent deux à deux à l arrivée, alors on pourra les prolonger d une unique façon sur g N Bi et le prolongement agira sur un tenseur pur par multiplication des composantes tensorielles après action de chacun des morphismes 29 Si B et C sont deux algèbres graduées, un morphisme d algèbres ' B! C est dit gradué si ' (B n) C n pour tout n Cela revient à dire que l image de tout élément homogène est homogène et de même degré 3 on permute les quantités soulignées en faisant apparaître un signe, ce qui est permi par hypothèse d anti-commutativité sur B et C 3 Il est trivial qu une somme directe d algèbres graduées est graduée 3

23 Algèbres anticommutatives et alternées On étudie ici plus précisément la notion d anticommutativité telle qu elle nous est apparue en étudiant une algèbre produit tensoriel gradué Dé nition Une algèbre graduée B est dite anticommutative si bb = ( ) @b@b b b pour tous éléments homogènes b et b Une algèbre graduée B est dite alternée si elle est anticommutative et si de plus pour tout élément homogène b de degré impair b 2 = Remarque Si b ou b est de degré nul, c est un scalaire, donc commute avec l autre, d où l identité bb = ( ) @b@b b b puisque l une des puissances de est paire On ne véri era donc l anticommutativité que sur les éléments de degré Remarque Si B est anticommutative, pour tout b homogène de degré impair, on a b 2 = ( ) @b@b b 2 = b 2 car (@b) 2 reste impair Ainsi, dès que 2 est simpli able dans l anneau de base, l anticommutativité implique automatiquement l alternance Proposition Le produit tensoriel (usuel) d algèbres commutatives est une algèbre commutative 2 Le produit tensoriel (gradué) d algèbres anticommutatives est une algèbre anticommutative 3 Le produit tensoriel (gradué) d algèbres alternées est une algèbre alternée Démonstration Soit B et C les algèbres dont on forme le produit tensoriel B C Supposons B et C commutatives Alors est clairement commutative sur les tenseurs purs (donc partout par distributivité) (b c) (b c ) = (bb cc ) = (b b c c) = (b c ) (b c) 2 Supposons B = L n2n B n et C = L m2n C m anticommutatives On se place dans l algèbre graduée B g C Pour des éléments homogènes b, b, c, c, on a (b c) (b c ) = ( ) @c@b (bb cc ) = ( ) @c@b ( ) @b@b b b = ( ) @c@b +@b@b +@c@c b b cc ( ) @c@c c c = ( ) @c@b +@b@b +@c@c (b c ) (b c) ( ) @c @b = ( ) @b@b +@c@b +@c @b+@c@c (b c ) (b c) = ( ) (@b+@c)(@b +@c ) (b c ) (b c) = ( ) @(bc)@(b c ) (b c ) (b c) Soient ensuite et des éléments homogènes de B g C = n2n ( p+q=n B p C q = P nie et s écrivent i i = P nie où les j i, j sont des tenseurs purs d éléments homogènes, donc qui j véri ent (d après le calcul ci-dessus) i j = ( ) @ i @ j j i 32

On notera également que les i sont dans L p+q=@ B p C q comme, donc ont même degré @ i = @ ; bien sûr, on a de même @ j = @ On a alors =! nie nie i @ i j j nie = ( ) @@ j i = ( i;j nie nie nie A = i j = ( ) @ i @ j j i = ( ) @@ j i i;j ) @@ i;j nie @ j j A i;j! nie i = ( ) @@, CQFD 3 Supposons B = L n2n B n et C = L m2n C m alternées On se place dans l algèbre graduée B g C On a déjà vu qu elle était anticommutative De plus, tout élément homogène de B g C de degré impair s écrit P nie i b i c i où b i et c i sont homogènes et où l un au moins est de carré nul car de degré impair (puisque @b i + @c i = @ (b i c i ) = @ est impair) On a alors i 2 = = =! nie 2 nie nie b i c i = (b i c i ) (b j c j ) = ( ) @ci@bj (b i b j ) (c i c j ) i i;j nie ( ) @ci@bi (b i b i ) (c i c i ) {z } i = i<j nie + i;j ( ) @ci@bj (b i b j ) (c i c j ) nie nie ( ) @ci@bj (b i b j ) (c i c j ) + ( ) @ci@bj (b i b j ) (c i c j ) i6=j i>j L idée est maintenant de bidouiller le terme de droite pour intervertir les indices i et j tout en faisant sortir une puissance impaire de (i e un signe moins), de sorte que la somme résultante 2 vaille zéro comme voulu Puisqu on veut transformer @c i @b j en @c j @b i, il est naturel de remplacer @c i par @ @b i et @b j par @ @c j dès que possible Après modi cation du tenseur (b i b j ) (c i c j ) = ( ) @bi@bj b j b i ( ) @ci@cj c i c j = ( ) @bi@bj+@ci@cj (b j b i ) (c j c i ), la puissance de dans le second terme P nie i>j ( )@ci@bj (b i b j ) (c i c j ) vaut (modulo 2) @c i @b j + @b i @b j + @c i @c j = (@ @b i ) (@ @c j ) + @b i (@ @c j ) + (@ @b i ) @c j = ( + @b i ) ( + @c j ) + @b i ( + @c j ) + ( + @b i ) @c j = + 2@b i + 2@c j + 3@b i @c j = + @b i @c j, CQFD 22 Algèbre tensorielle d un A-module Comme annoncé, nous allons transformer un module en une algèbre en prenant pour multiplication interne le produit tensoriel Cette première construction ne confère pas de propriété particulière à l algèbre ainsi obtenue 22 Dé nitions Soit un module On pose T n () = An = A A A {z } n fois 33

(on souviendra que T () = A et T () = ) puis T () = n T n () Proposition Dé nition Il existe une unique structure d algèbre unitaire sur T () telle que (x x p ) (y y q ) = x x p y y q a (y y q ) = a (y y q ) (x x p ) a = a (x x p ) unie de cette structure, T () est appelée l algèbre tensorielle du module T () est graduée de composantes homogènes les T n () et engendrée en tant qu algèbre par la partie = T () Démonstration Concernant l unicité, connaître le produit sur des générateurs linéaires revient à le connaître partout par distributivité Il reste à le construire Fixons un p-uplet! m 2 p avec p Les applications q-linéaires (pour q ) q! T () (x ; ; x q )! m m p x x q se factorisent en des applications linéaires dé nies sur les q = T q () Pour les recoller, on n oublie pas le cas q =, pour lequel on considère T () = A! T () a! a (m m p ) On obtient ainsi une application linéaire < T ()! T () m x x q! m m p x x q a! a (m m p ) p! L (T ()) aintenant, à p xé, l application est multilinéaire (comme on le véri e sur les m! m tenseurs de bases), donc se factorise en une application linéaire sur p, lesquels se recollent en une application linéaire < T ()! L (T ()) m m p! m a! a Id Nous pouvons à présent dé nir la multiplication dans T () par = [ ()] () qui satisfait par construction les trois propriétés recherchées La distributivité provient de la linéarité de, et tout le reste est évident en regardant ce qui se passe sur les tenseurs purs l associativité, le neutre A, la propriété a (x y) = (a x) y = x (a y), et la graduation (x; y) 2 T n () T m () =) x y 2 T n+m () Pour le caractère générateur, il su t de noter que les éléments de T () = engendrent (pour le produit) les tenseurs purs, lesquels engendrent (linéairement) tous les T n (), donc T () 34

222 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres Propriété universelle de l algèbre tensorielle Toute application f linéaire sur un module à valeurs dans une algèbre B se prolonge d une unique façon sur T () en un morphisme d algèbres f Ce prolongement véri e f T ()! B m m i! f (m ) f (m i ) Démonstration Si f est un tel prolongement, on doit pouvoir écrire f (m m i ) = f (m m i ) = f (m ) f (m i ), ce qui détermine entièrement f sur les T k () par linéarité connaissant f Pour avoir f ja, il su t d écrire f (a) = f (a ) = a f () = a, ce qui montre que f ja est la èche canonique A! B On construit donc, pour tout k, une application linéaire (grâce à la propriété universelle) T f k k ()! B, m m k! f (m ) f (m k ) et on pose f = L k f k avec f A! B la èche canonique Les véri cations sont immédiates Remarque Si l algèbre B = L B n est graduée, alors le prolongement f n est pas nécessairement gradué il faut en e et que f () = f T () B Réciproquement, sous cette condition, on a bien pour tout n f @ {z A } f () f () {z } n fois n fois d où par linéarité f ( n ) B n, CQFD = f () f () B B B n, {z } n fois Le corollaire suivant montre que l extension de la structure de module à celle d algèbre passe au niveau des morphismes Corollaire Pour toute algèbre B, l on dispose d un isomorphisme canonique d algèbres ( Hom (T () ; B)! Hom (; B) algèbres modules f! f j Démonstration L application ci-dessus est bien dé nie, surjective d après l existence de la proposition précédente (le prolongement f est envoyé sur f), injective d après l unicité, et est un morphisme d algèbres On généralise la propriété universelle ci-dessus en transformant le module but en son algèbre tensorielle Proposition (fonctorialité de T ) Soient ; N des modules et u! N linéaire Alors il existe un unique morphisme d algèbres T ()! T (N) T (u), m m n! u (m ) u (m n ) 35

et le diagramme suivant commute u! N # # T () T (u)! T (N) De plus, si u! N v! P, alors 32 T (v u) = T (v) T (u) Démonstration On construit T (u) sur les parties homogènes de T () en posant (grâce à la propriété universelle) T k T (u) k ()! T k (N), m m k! u (m ) u (m k ) l unicité de T (u) de découlant de celle des T k (u) Pour avoir T (v u) = T (v) T (u), il su t d invoquer l unicité en remarquant que T (v) T (u) fonctionne Le corollaire suivant montre que l extension des structures ne se voit pas au niveau des morphismes Corollaire On a un isomorphisme canonique de modules ( Hom (; N) modules! Hom (T () ; T (N)) algèbres u! T (u) Démonstration L application ci-dessus est bien dé nie, linéaire, et a pour réciproque f! f j puisque engendre l algèbre T () 223 Tenseurs symétriques et antisymétriques Soit un module Pour tout n, on a une action du groupe S n sur n dé nie par 33 (m m n ) = m () m (n) Dé nition Soit n Un tenseur 2 T n () est dit symétrique si 2 S n, () = ; on note S n () l ensemble des tenseurs symétriques sur n ; antisymétrique si 2 S n, () = " () ; on note A n () l ensemble des tenseurs antisymétriques sur n Par exemple, m n + n m est symétrique m n n m est antisymétrique Proposition (symétrisation d un tenseur) Pour n, l application linéaire n! S P n n ()! P 2S n () 32 on dit que T est un foncteur covariant 33 On prolongera volontiers l action sur = A en dé nissant (a) = a pour 2 36

est bien dé nie et, si n! est inversible dans A, alors p n = n! P n est un projecteur d image les tenseurs symétriques Démonstration La dé nition de P n (avec n comme ensemble but) découle de la propriété universelle Pour être sûr de tomber dans les tenseurs symétriques, on véri e que pour 2 n et 2 S n on a! (P n ()) = () = () = () = P n (), 2S n 2S n 2S n d où Im P n S n () comme voulu Si n! est inversible, pour tenseur symétrique, on a P n n! = n! = () = = n! =, n! n! n! 2S n 2S n 2S n d où S n () Im P n et Im P n = S n () On a montré au passage que, pour symétrique, on a P n n! = Par conséquent, d où p n idempotent comme voulu p 2 n () = n! P B n @ n! P C n () A = {z } n! (P n ()) = p n (), 2S n() Proposition (antisymétrisation d un tenseur) Pour n, l application linéaire n! A Q n n ()! P 2S n " () () est bien dé nie et, si n! est inversible dans A, alors q n = n! Q n est un projecteur d image les tenseurs antisymétriques Démonstration La dé nition de Q n (arrivant dans n ) découle de la propriété universelle Pour tomber dans A n (), on véri e que pour 2 n et 2 S n on a! (Q n ()) = " () () = " () () = " () 2S n 2S n 2S n = " () " () () = " () " () () = " () Q n (), 2S n 2S n d où Im Q n A n () Si n! est inversible, pour tenseur antisymétrique, on a Q n n! = " () n! = " () " () = = n! =, n! n! n! 2S n 2S n 2S n d où A n () Im Q n et Im Q n = A n () On a montré au passage que, pour antisymétrique, on a Q n n! = Par conséquent, d où n! Q n idempotent comme voulu qn 2 () = n! Q B n @ n! Q C n () A = {z } n! (Q n ()) = q n (), 2A n() 3

23 Algèbre symétrique d un A-module Le problème originel du produit tensoriel était de représenter linéairement les applications multilinéaires Nous nous intéressons à présent à représenter linéairement les applications multilinéaires symétriques ou alternées 23 Préliminaires sur les idéaux homogènes Dé nition Soit B une algèbre graduée et I un idéal de B On dit que I est un idéal homogène s il est somme directe de ses intersections avec les composantes homogènes de B, i e si I = n (I \ B n ) Propriété Soit I un idéal homogène d une algèbre graduée B Alors, si un élément P b n tombe dans I, toutes ses composantes également Démonstration L élément P b n se décompose dans I = L I \ B n en P i n où i n 2 I \ B n Par unicité de la décomposition dans L B n, on en déduit b n = i n 2 I pour tout n A n d éclaicir la structure d algèbre graduée de S () que nous allons construire, nous aurons besoin du lemme suivant Lemme Soit B = L B n une algèbre graduée et I = L I n un idéal homogène de B Alors l algèbre B I est graduée selon les Bn I, lesquels sont chacun canoniquement isomorphe à Bn In via x! ex Démonstration Puisque B = P B n et que la somme passe modulo I, il est clair que B I = P B n I De plus, si une somme de P B n I est nulle, mettons P b n 2 I, alors par la propriété précédente tous les b n sont dans I, autrement dit sont nuls modulo I, ce qui montre que la somme P B n I est directe Par ailleurs, la relation Bp Bq I I B p+q I est immédiate vue la graduation de B et vu que le produit de B passe modulo I En n, vue l inclusion des idéaux I n I, on une projection canonique Bn In Bn I Si un élément b n (pris modulo I n ) est annulé par cette projection, b n est dans I, donc dans I \ B n = I n, donc était déjà nul modulo I n ; ceci montre que la projection précédente est injective, donc est un isomorphisme 232 Dé nitions Dans tous ce qui suit, désigne un module Par commodité, on pourra laisser tomber les dépendences en Soit I k le sous-module de T k () engendré par les () où décrit S k et les tenseurs purs de T k Remarquer par exemple que I = I = fg On pose I = k I k 3

Proposition I est un idéal bilatère homogène de T Plus précisément, on a T r I s I r+s et I \ T n = I n Démontration I est déjà stable par + et contient Il su t pour conclure de montrer les identités T r I s I r+s pour r et s 2 En e et, pour r =, on veut AI s I s, ce qui est clair, et les cas s = ; sont trivialisés en remarquant que I = I = fg Soit donc r et s 2 Puisque T r est engendré par les et I s par les = m m s = m m r m () m (s) (où 2 S s), il su t de montrer que, pour de tels et, les éléments et tombent dans I r+s Or, en posant m r+i = m i pour i = ; ; s et en dé nissant une permutation r r + r + s b = 2 S r r + () r + (s) r+s, on a = m m r m r+ m r+s m b() m b(r+s) qui est envoyé dans I r+s Évidemment, cela marche aussi avec en modi ant b Le caractère homogène de I est évident Dé ntion On appelle algèbre symétrique de l algèbre quotient S () = T () I Le produit dans S () ne sera pas noté particulièrement, de sorte que l on écrira volontiers m m n = m m n = m m n Cela revient à considèrer, dans T (), les tenseurs purs indépendemment de l ordre de leurs composantes En d autres termes, S () est une algèbre commutative 34 Propriétés S () est une algèbre commutative engendrée par et graduée par les 2 La projection canonique S k () = T k () I = fm m k g! m2 k = T k () Ik T () S () m m k! m m k est un morphisme gradué qui injecte naturellement dans S (),! S () 34 Et il n y a rien d autre à comprendre pour obtenir un élément de S (), juxtaposer des vecteurs de (l ordre n importe pas) et prendre une combinaison linéaire de telles juxtapositions 39

Démonstration Il est clair que S () est une algèbre commutative engendrée par les tenseurs simples m 2 La graduation annoncé est donnée par le lemme de structure 2 Par dé nition du produit sur S (), la projection canonique envoie clairement T n () dans S n (), donc est un morphisme gradué On peut reformuler en ces termes S () est une algèbre sur S = A engendrée par S = 233 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres commutatives Propriété universelle de l algèbre symétrique Toute application f linéaire sur un module à valeurs dans une algèbre B commutative se prolonge d une unique façon sur S () en un morphisme d algèbres f Ce prolongement véri e f S ()! B m m i! f (m ) f (m i ) Si B n est pas commutative, la même conclusion tient si f commute à l arrivée, i e si m; m 2 ; f (m) f (m ) = f (m ) f (m) Démonstration Pour k, on dispose de l application k-linéaire k! B (m ; ; m k )! f (m ) f (m k ) qui se factorise en une application linéaire T f k k ()! B m m k! f (m ) f (m k ) En posant f A! B la èche canonique, on peut recoller les f k pour dé nir une application T ()! B m m k! f (m ) f (m k ) Cette application s annule sur I car f commute à l arrivée, donc passe au quotient et dé nit une application S ()! B f m m k! f (m ) f (m k ) qui véri e ce qu on veut Son unicité vient de ce que S () est engendrée par les m m k Proposition (fonctorialité de S) Soient, N des modules, u! N linéaire Alors il existe un unique morphisme d algèbres S (u) S ()! S (N) m m k! u (m ) u (m k ), et alors le diagramme suivant commute u! N # # S () S(u)! S (N) 4

De plus, si u! N v! P, alors 35 S (v u) = S (v) S (u) Démonstration On construit S (u) sur les composantes homogènes S k () de S () On part de l application linéaire T k ()! S (N) m m k! u (m ) u (m k ) qui s annule sur I n (car S (N) commutative), donc passe au quotient en S k (u) S k ()! S (N) m m k! u (m ) u (m k ) On dé nit alors S (u) sur S () par les S k (u) L unicité vient toujours du caractère générateur des m m k Pour avoir S (v u), il su t d invoquer l unicité en remarquant que S (v) S (u) fonctionne 234 Algèbre symétrique d une somme directe nie Proposition Soient ; ; n des modules On a un isomorphisme canonique d algèbres < S ( n )! S ( ) S ( n ) m i! m i m m n m m n Démonstration Fixons un i Le module i s injecte naturellement dans = n par un ' i, d où un morphisme d algèbres S (' i ) S ( i ),! S () Comme S () est commutative, on en déduit (par la propriété universelle du produit tensoriel d algèbres) un morphisme d algèbres S ( ) S ( n )! S () m m n! m m n Inversement, pour construire un morphisme d algèbres S ()! N S ( i ), en remarquant que chaque S ( i ) est commutatif, N S ( i ) l est aussi, donc il su t (par la propriété universelle de l algèbre symétrique) de construire un morphisme! N S ( i ) Comme = L i, il su t de construire des morphismes i! N S ( i ) On considère N i,! S ( i )! S (i ) m! m Véri ons que le morphisme S ()! N S ( i ) ainsi construit est inverse de Il s agit de montrer = Id N S( i) et = Id S() ontrons que = Id sur un système de générateurs de N S ( i ), par exemple ses tenseurs purs Comme i engendre l algèbre S ( i ), il su t de véri er l égalité = Id sur les tenseurs m m n où m i 2 i pour tout i (m m n ) = (m m n ) = Y (m i ) = Y ( m i ) = m m n, CQFD 35 Comme pour la correspondance! T (), on dira que S est un foncteur covariant 4

De même, on montre = Id sur des générateurs de S () Les éléments de sont candidats, mais sont déjà engendrés (linéairement) par les i On regarde donc (m i ) = ( m i ) = m i = m i, CQFD Proposition Si = Ae Ae n est libre de type ni, alors S () est libre de base et est donc isomorphe à une algèbre de polynômes (e a ean n ) (a;;a n)2n n S (Ae Ae n ) ' A [ ; ; n ] Démonstration! A [ ; ; On dispose d un morphisme de modules n ] qui, par commutativité de A [ e i! ; ; n ], i S ()! A [ ; ; se prolonge un morphisme d algèbres n ] Par ailleurs, on dispose également d un e i! i morphisme d algèbres 36 A [ ; ; n ]! S () i! e i Il est trivial que ces deux morphismes sont réciproques l un de l autre Remarque On aurait pu aussi traiter le cas n = comme ci-dessus puis invoquer la proposition précédente, ce qui aurait donné S () = S (Ae Ae n ) ' no S (Ae i ) ' i= no A [] ' A [ ; ; n ] i= Exemple important Lorsque est un espace vectoriel V de dimension nie, on dispose d une base (e i ) de V, d où une base duale (e i ) de V, ce qui permet d écrire les éléments de S (V ) comme des polynômes en les fonctions coordonnées, i e comme des fonctions polynomiales en les vecteurs de V (identi és à leurs vecteurs coordonnées dans la base (e i )) Une fois oubliée la base de départ, on obtient une description canonique des fonctions polynomiales sur l espace V l algèbre S (V ) Nous utiliserons cette description dans des chapitres ultérieurs 235 Lien avec les applications multinéaires symétriques Dé nition Une application ' n! N multilinéaire est dite symétrique 3 si ' m () ; m (n) = ' (m ; m n ) pour toute permutation de S n On notera LS n (; N) l ensemble des applications n-linéaires symétriques de n dans N De même que les applications multilinéaires sont représentées par les applications linéaires depuis un produit tensoriel, les applications multilinéaires symétriques sont représentées par les applications linéaires depuis une algèbre symétrique 36 Et oui, il n y pas que les produits tensoriels qui jouissent d une propriété universelle, les algèbres de polynômes aussi! 3 En particulier, une application n-linéaire pour n = ou n = est toujours symétrique 42

Proposition On a un isomorphisme canonique de modules < LS n (; N)! L (S n () ; N) '! x x n! ' (x ; ; x n ) (x ; ; x n )! f (x x n ) f Démonstration Les applications linéaires sus-décrites sont clairement réciproques l une de l autre 236 Lien avec les tenseurs symétriques Soit n, et supposons n! inversible dans A On dispose alors du projecteur «symétrisateur» p n = n! P n dé ni par T p n n () S n ()! P n! 2S n () Comme tout projecteur qui se respecte, p n a son image et son noyau en somme directe On sait déjà que ontrons alors que 3 Im p n = S n () Ker p n = I n En e et, pour n =, on a directement I = fg = Ker Id = Ker p n ; pour n 2, on a déjà clairement I n Ker p n, et pour 2 Ker p n, on a = () = B C @ () A n! n! {z } 2S n 2S n 2I n On en déduit et donc n = S n () I n S n () = n In = S n () Finalement, les tenseurs symétriques de «longueur» n consituent exactement la partie homogène de degré n de l algèbre symétrique S () 24 Algèbre extérieure d un A-module Voyons à présent comment représenter linéairement les applications multilinéaires alternées 24 Dé nitions Soit J n le sous-module de T n () engendré par les tenseurs purs x x n ayant au moins deux composantes x i = x j égales Noter au passage que J = J = fg (pas possible d avoir deux composantes, a fortiori deux composantes égales) On pose J = n J n 3 Rappelons que I n est l idéal engendré par les () pour tenseur pur de n et permutation de n 43

Proposition J est un idéal bilatère homogène de T () Démontration J est déjà stable par + et contient D autre part, puisque T () est engendré par A et les et J par les = m m k (k ) = m m k (k 2, 9y i = y j ), il su t de montrer que, pour de tels et, et restent dans J Or, c est évident puisque les coordonnées identiques de sont conservées par multiplication (on concatène) Le caractère homogène de J est évident Dé ntion On appelle algèbre extérieure de l algèbre quotient On notera ^ le produit dans (), de sorte que () = T () J m m n = m ^ ^ m n Remarque Dans l algèbre (), un produit d éléments de s annulera dès que l un de ces éléments est répété ais attention on peut également multipler dans () par des scalaires, lesquels échappent à cette règle! Le produit suivant n a ainsi aucune raison de s annuler 2 ^ 3 ^ 2 ^ m = 2m Contrairement à l algèbre symétrique, l algèbre extérieure ne sera pas commutative On montre plus bas que changer l ordre dans un produit ne fait que changer le signe du produit Propriétés () est une algèbre engendrée par et graduée par les k () = T k () J = fm ^ ^ m k g! m2 k = T k () Jk 2 La projection canonique T () () m m n! m ^ ^ m n est un morphisme gradué qui injecte naturellement dans (),! () Démonstration Il est clair que () est une algèbre engendrée par les tenseurs simples m 2 La graduation annoncé est donnée par le lemme de structure 2 Par dé nition du produit sur (), la projection canonique envoie clairement T n () dans n (), donc est un morphisme gradué 44

On peut reformuler en ces termes () est une algèbre sur = A engendrée par = Proposition Pour tous x et y dans, on a y ^ x = x ^ y Démonstration Il su t d écrire = (x + y) ^ (x + y) = x ^ y + y ^ x Corollaire Soient x ; ; x n dans, dans S n Alors x () ^ ^ x (n) = " () x ^ ^ x n Démonstration Évident car S n est engendrée par les transpositions Corollaire 2 () est une algèbre alternée Démonstration = m ^ ^ m Véri ons déjà que () est anticommutative Soit r = m ^ ^ m deux tenseurs purs homogènes s de () Pour transformer le produit en, il faut décaler s fois d un pas vers la droite le bloc formé de r termes Chaque décalage correspond (au niveau des permutations) à un (r + )-cycle Le signe obtenu est donc le produit de s signatures d un (r + )-cycle, soit ( ) r ( ) r = ( ) rs, CQFD L identité 2 = est clairement véri ée pour tenseur pur de n () pour n (deux composantes se répètent) De plus, pour tous ; dans (), on a ^ = ^ Ainsi, en écrivant un élément homogène x 2 () de degré comme une somme de tenseurs purs, disons x = P n i= i, on aura x 2 =! 2 n i = i= n i= 2 i {z} = + i<j i ^ j + j ^ i =, CQFD {z } = 242 Prolongement des applications linéaires en des morphismes d algèbres alternées Propriété universelle de l algèbre extérieure Toute application f linéaire sur un module à valeurs dans une algèbre B alternée se prolonge d une unique façon sur () en un morphisme d algèbres f Ce prolongement véri e f ()! B m ^ ^ m n! f (m ) f (m n ) Si B n est pas alternée, la même conclusion tient si f est de carré nul à l arrivée, i e si m 2 ; f (m) 2 = 45

Démonstration Comme pour l algèbre symétrique, on construit une application linéaire T ()! B m m k! f (m ) f (m k ) Cette application s annule sur l idéal J grâce à la condition f 2 =, donc passe au quotient et dé nit une application ()! B f m ^ ^ m k! f (m ) f (m k ) qui véri e ce qu on veut Son unicité vient de ce que () est engendrée par les m ^ ^ m k Proposition (fonctorialité de ) Soient, N des modules et u! N linéaire Alors il existe un unique morphisme d algèbres ()! (N) (u), m ^ ^ m n! u (m ) ^ ^ u (m n ) et le diagramme suivant commute u! N # # () (u)! (N) De plus, si u! N v! P, alors 39 (v u) = (v) (u) Démonstration On construit (u) sur les composantes homogènes k () de () On part de l application linéaire T k ()! (N) m m k! u (m ) ^ ^ u (m k ) qui s annule sur J k, donc qui passe au quotient en k (u) k ()! (N) m ^ ^ m k! u (m ) ^ ^ u (m k ) On dé nit alors (u) sur () par les k (u) L unicité vient toujours du caractère générateur des m ^ ^m k Pour avoir (v u), il su t d invoquer l unicité en remarquant que (v) (u) fonctionne 243 Algèbre extérieure d une somme directe nie Théorème Soient ; ; n des modules On a un isomorphisme canonique d algèbres < ( n ) g! ( ) g g ( n ) m i! m i m m n m m n Démonstration Posons = L n i= i On va reprendre exactement le calcul de l algèbre symétrique d une somme directe 39 est, comme T et S, un foncteur covariant 46

Fixons un i Le module i s injecte naturellement dans par un ' i, d où un morphisme d algèbres (' i ) ( i ),! () Comme () est alternée, on en déduit (par la propriété universelle du produit tensoriel d algèbres gradué) un morphisme d algèbres ( ) g g ( n )! () m m n! m ^ ^ m n Inversement, pour construire un morphisme d algèbres ()! Ng ( i ), en remarquant que chaque ( i ) est alternée, le produit Ng ( i ) l est aussi, donc il su t (par la propriété universelle de l algèbre extérieure) de construire un morphisme! Ng ( i ) Comme = L i, il su t de construire des morphismes i! Ng ( i ) On considère N g i,! ( i )! ( i ) m! m Véri ons que le morphisme ()! Ng ( i ) ainsi construit est inverse de Il s agit de montrer = Id Ng ( i) et = Id () ontrons que = Id sur un système de générateurs de Ng ( i ), par exemple ses tenseurs purs Comme i engendre l algèbre ( i ), il su t de véri er l égalité = Id sur les tenseurs m m n où m i 2 i pour tout i (m m n ) = (m ^ ^ m n ) = = ny i= ny ( m i ) i= (m i ) = ( ) d m m n avec d entier Pour conclure, il su t de montrer que d est pair Pour obtenir ce dernier, on peut expliciter le produit Q n i= (m i) de manière verticale Y ( mi ) = m m 2 m n Pour calculer d, on met tous les traits obliques possibles entre deux composantes des tenseurs purs du produit ci-dessus On voit que tous contiennent un (la seule obstruction serait un trait oblique dans le mauvais sens reliant deux m i ), lequel est de degré nul, d où d = qui est pair, CQFD De même, on montre = Id sur des générateurs de () Les éléments de sont candidats, mais sont déjà engendrés (linéairement) par les i On regarde donc 4 (m i ) = ( m i ) = ^ ^ ^ m i ^ ^ ^ = m i, CQFD Corollaire Soit = Ae + + Ae n un module libre de rang n Alors (e j ^ ^ e jk ) j<<j k n est une base de k () et En particulier, rg k () = n k rg n () = et rg k>n () = 4 se souvenir que 2 ^ 3 ^ m fait 6m et non 4

Démonstration Pour un module libre de rang on a (Ae) = A Ae (en e et, pour k 2, les tenseurs purs de k (Ae) contiennent un e ^ e qui est nul) On en déduit 4 () = (Ae e n ) ' ' ' = n k= fj ;;j k gf;;ng n k= fj ;;j k gf;;ng n k= j <<j k n go i=;;n (Ae i ) modules ' O i=;;n (A Ae i ) A A Ae j A A Ae jk A A Ae j Ae jk Ae j Ae jk, donc k () est libre de base (e j ^ ^ e jk ) j<<j k n, donc de rang n k 244 Lien avec les applications multilinéaires alternées Dé nition Une application n-linéaire ' n! N est dite alternée 42 si ' (; m; ; m; ) = On notera LA n (; N) l ensemble des applications n-linéaires alternées Proposition Si ' est n-linéaire alternée, alors ' (; x i ; ; x j ; ) = ' (; x j ; ; x i ; ) Démontration Il su t d écrire = ' (; x i + x j ; ; x i + x j ; ) = ' (; x i ; ; x i ; ) + ' (; x j ; ; x j ; ) + ' (; x i ; ; x j ; ) + ' (; x j ; ; x i ; ) {z } {z } = = Corollaire Si ' est n-linéaire alternée, alors ' m () ; ; m (n) = " () ' (m ; ; m n ) Démontration Déjà fait S n est engendré par les transpositions 4 On oubliera les g en exposant car ils ne concernent pas la structure de module celle qui nous intéresse ici 42 En particulier, une application n-linéaire pour n = ou n = est toujours alternée 4

On en vient à la représentation des applications multilinéaires alternées par l algèbre extérieure Proposition On a un isomorphisme canonique de modules < LA n (; N)! L ( n () ; N) '! x ^ ^ x n! ' (x ; ; x n ) (x ; ; x n )! f (x ^ ^ x n ) f Démonstration Les applications linéaires sus-décrites sont clairement réciproques l une de l autre 245 Déterminant Soit = Ae Ae 2 Ae n un module libre de rang n On rappelle que n () est alors de rang En particulier, tout endomorphisme de L ( n ()) est une homothétie Dé nition On appelle déterminant d un endomorphisme u 2 L () le rapport de l homothétie n (u), noté det u 2 A Proposition Soit u 2 L () et (a i;j ) les coe cients de at (e;;e n) u Alors 43 det u = 2S n " () a (); a (n);n = 2S n " () a ;() a n;(n) Démonstration On regarde l image d un vecteur de base par n (u) [ n (u)] (e ^ ^ e n ) = u (e ) ^ ^ u (e n ) = n n a i; e i ^ ^ a i;n e i = = i= = fi ;;i ng=f;;ng i= n i ;;i n= a i; a in;n (e i ^ ^ e in ) + i2s n a i; a in;n (e i ^ ^ e in ) = = a i; a in;n (e i ^ ^ e in ) 2S n a (); a (n);n (" () e ^ ^ e n ) = fi ;;i ng f;;ng 2S n a (); a (n);n a i; a in;ne i ^ ^ e in {z } e () ^ ^ e (n) 2S n " () a (); a (n);n Reste à voir l égalité des deux sommes en faisant un changement de variables!! = car 9i k =i l e ^ ^ e n Le calcul ci-dessus peut se généraliser à un terme x ^ ^ x p où p n est pas nécessairement le rang de Introduisons pour cela quelques notations Pour k on pose P k l ensemble des parties de f; ; ng de cardinal k 43 Le lecteur notera bien que les termes de droite sont indépendants de la base choisie vu que le déterminant l est 49

I f; ; pg Si = (x i;j ) est une matrice de p;q (A) et J f; ; qg, on pose I;J = (x i;j ) i2i j2j la matrice extraite de selon les lignes d indice 2 I et les colonnes d indice 2 J En n, pour I = fi < < i k g 2 P k, on pose e I = e i ^ ^ e ik Proposition Soient x ; ; x p 2 et 2 n;p (A) la matrice des x i dans la base (e i ) Alors x ^ ^ x p = det I;f;;pg ei I2P p Démonstration Notons a i;j les coe cients de On a alors, suivant le calcul précédent x ^ ^ x p = = = = = fi ;;i pgf;;ng #fi ;;i pg=p i <<i p 2S fi ;;ipg i <<i p 2S fi ;;ipg i <<i p @ a i; a ip;p 2S(fi ;;i pg) e i ^ ^ e ip a (i); a (ip);p e (i) ^ ^ e (ip) a (i); a (ip);p" () e i ^ ^ e ip " () a (i); a (ip);pa e i ^ ^ e ip det fi;;i pg;f;;pg ei ^ ^ e ip i <<i p = det I;f;;pg ei I2P p Observer que la formule est aussi valable pour p > n, auquel cas il n y a pas de I f; ; ng de cardinal p > n et donc la somme de droite est nulle, toute comme x ^ ^ x p Proposition Soit u 2 L () de matrice = at (ei) u Alors la matrice de k (u) dans la base (e I ) I2Pk at k (u) = (det ( I;J )) I;J2Pk (e I ) I2Pk est Démonstration Soit J = fi < < i k g Alors f;;ng;j est la matrice des u (e i ) ; ; u (e ik ) dans la base (e ; ; e n ) En appliquant la proposition précédente, on obtient k (u) (e J ) = u (e i ) ^ ^ u (e ik ) = f;;ng;j e I;J I = det ( I;J ) e I I2P k I2P k det Proposition 5

Pour u 2 L () et ; 2 A, on a n det ( Id +u) = tr k (u) k n k = k= k= n @ det ( I;I ) A k n k I2P k Démonstration Pour avoir le coe cient d homothétie de n ( Id +u), il faut calculer n [ n ( Id +u)] (e ^ ^ e n ) = (e + u (e )) ^ ^ (e n + u (e n )) = A k n k= k k où les A k 2 k () sont à déterminer Fixons k 2 f; ; ng Pour obtenir la partie en n k k, on prend k termes en u (e i ) et n k termes en e i, mettons u (e i ) ; ; u (e ik ) avec I = fi < < i k g 2 P k En notant I le complémentaire de I dans f; ; ng, la contribution d un tel I sera alors, à un signe près " (I) correspondant au réordonnement des e il, de e I ^ k u (e I ) = e I ^ @ det ( J;I ) e J A = e I ^ det ( I;I ) e I J2P k car e I ^ e J est non nul ssi I \ J = ;, i e ssi J = I Ainsi A k = " (I) e I ^ det ( I;I ) e I = det ( I;I ) (e ^ ^ e n ) I2P k I2P k = @ det ( I;I ) A e ^ ^ e n = tr k u e ^ ^ e n I2P k Application Calcul du polynôme caractéristique A = det ( Id u) = n ( ) k @ det (A I;I ) A n k I2P k k= 3 Annexe 3 Le morphisme ( Q i ) ( Q N j )! Q ( i N j ) n est en général ni injectif ni surjectif On note la èche naturelle Q ( i ) ( Q N j )! Q i;j i N j (m i ) (n j )! (m i n j ) La èche n est en général pas surjective On remarque judicieusement que, pour des espaces vectoriels de dimension nie, il faut au moins n tenseurs V purs pour représenter un endomorphisme de rang n via l isomorphisme W! L (V; W ) On va l w! l () w donc chercher un produit Q m;n E m F n où apparait une composante L (V ) avec dim V aussi grand que l on veut 5

En = Fn Prendre par exemple F n = R n Le produit Q m;n E m F n contient des E n F n = L (R n ), donc on peut piocher dedans un élément dont la coordonnée selon E n E n soit de rang n exactement Si est l image par d une somme de p tenseurs purs, alors la composante selon L R p+ est engendrée par p termes, donc est de rang au plus p, ce qui est absurde La èche n est en général pas injective On se place dans l anneau A = R[x;x;x2;] (xix j) i6=j On considère l idéal I = (x ) dans A et on s intéresse aux produits La èche s exprime donc par < Q Q i2fg I j2n A = I A N Q i2fg I A = (I A) N = A N j2n I A N! (I A) N g! I N () (a n )! ( a n )! (a n ) et envoie l élément = x (x ; x 2 ; ) sur (x x n ) n = On va montrer que est non nul, ce qui prouvera la non-injectivité de Considérons la multiplication par x dans A, d image I Pour déterminer son noyau, on introduit l idéal J = (x ; x 2 ; ) On a clairement IJ = ; l inclusion J Ker est donc immédiate De plus, on voit aisément que A = I +J = AAx Ax 2 J, donc si un élément k = P a n x n +j est dans Ker, alors P a n x n+ = modulo (x p x q ) p6=q, d où (a n ) = (en faisant x i = pour tout i ) et k 2 J Finalement, induit un isorphisme I = A J D après les calculs de quotients, on peut en déduire I A N Regardons notre au travers de ces d isomorphismes Id = A J A N = A N JA N = x (x ; x 2 ; )! ( mod J) (x ; x 2 ; )! (x ; x 2 ; ) mod JA N Pour avoir non nul, il su t donc de montrer que la suite (x ; x 2 ; ) n est pas dans JA N Supposons que ce soit le cas, disons (x ; x 2 ; ) = js où s 2 A N j se décompose selon les x ; x 2 ;, mettons j = P n p= a px p On a donc n n (x ; x 2 ; ) = js = a p x p s = s p x p où s p = a p s ais alors x n+ = P n p= sp n+ x p, ce qui manisfestement impossible p= Observer le mal qu on s est donné pour montrer qu un tenseur pur était non nul ce n est vraiment pas évident en général p= 32 Le morphisme de Kronecker n est en général ni injectif ni surjectif On notera l homomorphisme de Kronecker L (; ) L (N; N )! L @ N ; N A Soit I un ensemble On rappelle que, en notant i est la famille «Dirac en i», le dual du A-module A (I) est explicitement A I selon l isomorphisme canonique < A (I) g! A I f! (f ( i ))! i! i 52

À l aide de ce rappel, montrons que, pour (; ) = (N; N ) = A (N) ; A, notre s identi e à la èche ( A N A N! A N2!!! p q p;q On commence par expliciter le module d arrivée >< N! L @ A ; A g! ( N) N A > f g! f eg! x y! f (x) g (y) < A (N) g! A N Le dual de s explicite selon l isomorphisme f! (f ( n )),d où un isomorphisme! n! n A N A N g! N! u! v! [n! n ] [ n! n ] Par ailleurs, on peut calculer!! N N N = A (N) A (N) = A A = NN A A = N 2 A = A (N2 ) Pour voir comment agit l isomorphisme ci-dessus, regardons son action sur les générateurs p q En se rappelant que le Dirac en k n est autre que le réel plongé à l indice k dans la somme L N A ou L N2 A (ce que nous noterons k ), on voit que nos deux isomorphismes successifs ont pour action On peut donc expliciter ( p q = p q! [ ] p;q! p;q = p;q N g! A (N2 ) p q! p;q Lorsque l on passe dans le dual, on obtient un isomorphisme ( ( N) g! A ) (N2 g! A N2 f! p;q! f ( p q )! (f ( p;q )) p;q Finalement, en recollant ; ;, on obtient une èche explicite ( A N A N g! N! ( N) g! A N2!!! [p! p ] q! q! p q! p q! p q p;q, CQFD La èche n est en général pas surjective Considérons la suite diagonale q p à l arrivée Si était surjective, p;q q p p;q serait atteinte par une somme de r tenseurs purs! i! i, mettons P r i= i p i q = q p pour tout (p; q) 2 N 2 En ne regardant que les relations pour p; q r et en faisant varier q, on obtient e p = P i i p i où (e ; ; e r ) désigne la base canonique de R r+ On en déduit Vect p=;;r (e p ) Vect i=;;r i, d où la contradiction en passant au dimensions La èche n est en général pas injective On considère (presque) le même anneau A = R[x;x;x2;] (xix j) qu au paragraphe prédécent et on s intéresse à l élément = (x ; x ; ) de A N L élément est clairement annulé par la èche ci-dessus puisque d image (x p x q ) p;q = dans A N2 On va montrer que est non nul en construisant une forme linéaire l envoyant sur dans C Construisons pour commencer une forme linéaire ' sur le C-espace vectoriel C N nulle sur C (N) et envoyant x = (; ; ) sur Dans C N, le vecteur x n est pas lié à C (N), donc on peut écrire (en considérant un supplémentaire S) C N = C (N) Cx S = Cx T 53

où T est un sev contenant C (N) En prenant une base de ce dernier, la forme linéaire coordonée x dans cette base (à laquelle on a rajouté x) convient Observons à présent qu un élément de A s écrit + P nie nx n (modulo (x i x j )) où les n sont uniques On peut donc parler des formes linéaires coordonnées x n sur A pour tout n ontrons que ces dernières sont A-linéaires où C est vu comme le module A J avec J l idéal (x ; x 2 ; ) (on récupère simplement le «terme constant» d un polynôme de A) Les x n étant additives car C-linéaires, il s agit de montrer que x n (ab) = ax n (b) pour tous a; b 2 A Par additivité, on se ramène au cas où a et b sont éléments de la base ; x ; x 2 ; Si a = ou b =, la C-linéarité conclut Pour (a; b) = (x p ; x q ), le produit ab est nul, tout comme le résultat a (?), CQFD On dé nit ensuite l application diagonale A-linéaire < A N! C N '! C g! A J (a n )! (x n (a n ))! ' (x n (a n ))! (; ; )!! Prendre son carré tensoriel donne une application linéaire A N A N! A J A J g! A J+J = A J g! C!!!, CQFD Encore une fois, ce n a pas été une mince a aire de montrer que le tenseur était non nul 33 Représentation d un foncteur, problème universel On généralise ici le problème posé par la recherche d un produit tensoriel On supposera connues les notions de catégories et de foncteurs Le lecteur pourra se reporter pour plus de détail au second chapitre de l ouvrage Algèbres et théories galoisiennes de R et A Douady On xe pour la suite C une catégorie et F C ensembles! EN S un foncteur (covariant) vers la catégorie des Dé nition On dit que F est représentable s il est isomorphe au foncteur Hom C (R; ) induit 44 par un certain objet R de C On dit alors que l objet R représente 45 le foncteur F En d autres termes, R représente F ssi on a des bijections F () ' Hom (R; ) qui commutent aux morphismes F (') induits par les morphismes ' de C F (O) ' Hom (R; O) # F (') ' # F (O ) ' Hom (R; O ) Par exemple, lorsque C est la catégorie des modules, nous avons rencontré plusieurs foncteurs représentables Bil ( N; ) >< L F () = n ( Q n i= i; ) avec ; N; LS n (; ) i des modules xés > LA n (; ) Les deux premiers sont représentés par N et N i, les deux derniers par S () et () 44 On aurait pris Hom (; R) pour représenter les foncteurs contravariants 45 R comme «représente» 54

Proposition Suivant les notations ci-dessus, un tel objet R est unique à isomorphisme près Démonstration Soient R et S deux tels objets On a donc des bijections Hom (S; O) ' F (O) ' Hom (R; O) Prendre O = R permet d écrire Hom (R; O) = End R, dans lequel nous avons un élément distingué l identité Notons son image dans Hom (S; R) par la bijection ci-dessus De même, faire O = S permet de regarder Id S comme un élément de Hom (R; S) En appliquant le foncteur F sur R! S, on obtient un diagramme commutatif End R ' F (R) ' Hom (S; R) # # # Hom (R; S) ' F (S) ' End S Regardons l image de Id R dans End S Id! # #! Id = Un argument de symétrie immédiat nous donne = Id, d où un isomorphisme R! S, CQFD Évidemment, dès que C = EN S, les automorphismes deviennent vite très nombreux, ce qui empêche de croire une seule seconde à l unicité de l isomorphisme ci-dessus On s en sort en particularisant un élément de F (R) Dé nition Soit r 2 F (R) On dit que le couple (R; r) représente F si O; y 2 F (O) ; 9!' R! O; r F (')! y La terminologie est cohérente le foncteur F est alors représentable par < F ()! Hom (R; ) y! ' y F ( ) (r) Pour véri er la commutativité du diagramme Hom (R; O) en haut à droite F (O) = Hom (R; O) # F (f) f # F (O ) = Hom (R; O ), on regarde l image d un 2 F ( ) (r) # # F (f) (F ( ) (r))? f = F (f ) (r), ok car F est un foncteur La recherche d un couple (R; r) représentant un foncteur F est appelée problème universel Si l on dispose d une solution (R; r) au problème universel, la donnée de la bijection ci-dessus est appelée propriété universelle Avant de regarder les sept propriétés universelles que nous avons énoncées dans ce cours, nous allons montrer l unicité d une solution au problème universel Soient (R; r) et (S; s) représentent F Puisque (R; s) représente F, on applique la dé nition à O = S et y = s qui est bien dans F (O) il y a un unique morphisme ' R! S tel que r F! (') s Ce dernier est en fait un isomorphisme Proposition Dé nition Le morphisme ' ci-dessus est un isomorphisme, appelé morphisme canonique de R sur S 55

Si (T; t) représente F et si R '! S! T sont les morphismes canoniques, alors R! ' T est le morphisme canonique Démonstration Le second point découle trivialement de l unicité des morphismes On l applique ensuite à (T; t) = (R; r) dans le cas R '! S! R, on obtient ' = Id S, dans le cas S! R '! S, on obtient ' = Id R, CQFD Passons maintenant aux exemples Produit tensoriel de modules La catégorie C est celle des modules, le foncteur F est Bil ( N; ) où et N sont des modules xés, il est représenté par N et l on dispose d une projection canonique 2 Bil ( N; N) tout est là Véri ons que le couple ( N; ) est solution au problème universel Il su t de réécrire la dé nition de «( N; ) représente F» en explicitant tout P module; f 2 Bil (; N; P ) ; 9!f N! P; F f ( f Bil (; N; N)! Bil (; N; P ),! f ce qui est manifestement juste puisqu un tel f se factorise d une unique manière en f 2 Produit tensoriel d algèbres La catégorie C est celle des algèbres, le foncteur F est ff 2 Bil (B C; ) multiplicativ où B et C sont des algèbres xées, il est représenté par B C et l on dispose d une projection canonique 2 Bil (B C; B C) multiplicative Véri ons que le couple (B C; ) est solution au problème universel en revenant à la dé nition de «(B C; ) représente F» D algèbre; f 2 Bil (B; C; D) multiplicative; 9!f B C! D; F f < ' 2 Bil (B; C; B C) f ' 2 Bil (B; C; D)! multiplicatif multiplicatif! f, ce qui est juste au vu de la factorisation (unique) f = f 3 Produit tensoriel d algèbres graduées La catégorie C est toujours celle des algèbres, le foncteur F est ff 2 Bil (B C; ) antimultiplicativeg où B et C sont des algèbres graduées xées, il est représenté par B g C et l on dispose d une projection canonique 2 Bil (B C; B g C) antimultiplicative Pour véri er que le couple (B C; ) est solution au problème universel, on réécrit «(B g C; ) représente F» D algèbre; f 2 Bil (B; C; D) antimultiplicative; 9!f B g C! D; F f < ' 2 Bil (B; C; B g C) f ' 2 Bil (B; C; D)! antimultiplicatif antimultiplicatif,! f ce que nous savons vrai Bonus dans la catégorie des algèbres graduées, on sait que le morphisme d algèbres f est gradué (puisque f (; ) et f (; ) le sont), donc tout fonctionne encore 4 Algèbre tensorielle La catégorie C est celle des algèbres, le foncteur F est L (; ) où est un module xé, F est représenté par T () et l on a une injection canonique 2 L (; T ()) Dire «(T () ; ) représente F», c est dire B algèbre; f 2 L (; B) ; 9!f T () (! B; F f f L (; T ())! L (; B)! f, ce qui est est vrai puisque prolonger f s écrit f = f et que le f du cours est unique à véri er cela 56

5 Algèbre symétrique La catégorie C est celle des algèbres commutatives (ou celle des algèbres dont les morphismes sont les morphismes d algèbres commutant à l arrivée), le foncteur F est L (; ) où est un module xé 46, F est représenté par S () et l on a une injection canonique 2 L (; S ()) Véri er que (S () ; ) est solution au problème universel se fait comme ci-desssus B algèbre, f 2 L (; B) commutant à l arrivée, 9!f S ()! B commutant à l arrivée, F f ( f L (; S ())! L (; B),! f 6 Algèbre extérieure La catégorie C est celle des algèbres alternées (ou celle des algèbres dont les morphismes sont les morphismes d algèbres de carré nul à l arrivée), le foncteur F est L (; ) où est un module xé 4, F est représenté par () et l on a une injection canonique 2 L (; ()) On véri e comme pour S () que ( () ; ) est solution au problème universel Algèbre polynomiale On l a brièvement évoquée, mais elle apparaît! La catégorie est celle des algèbres commutatives, le foncteur F est I où I est un ensemble d indices, F est représenté par l algèbre A ( i ) i2i et l on une famille canonique I! A (i ) i2i qui à un i 2 I associe i Il est aisé de véri er que A ( i ) i2i ; représente I B algèbre, (b i ) 2 B I, 9!f A ( i ) i2i! B, F f ( A I f! ( i ) i2i B I, ok pour f i! b i! (b i ) Le lecteur se rendra compte que beaucoup d autres constructions usuelles masquent autant de problèmes universels strucutures quotients, modules libres, algèbres d un monoïde, complétion d un evn 46 Si l on ne considère pas des algèbres commutatives, les applications linéaires doivent commuter à l arrivée 4 Si l on ne considère pas des algèbres alternées, les applications linéaires doivent être de carré nul à l arrivée 5