Problème 1 THERMODYNAMIQUE. DM 9 pour le 31 mai

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1 DM 9 pour le 3 mai THERMODYNAMIQUE Problème L objectif de ce problème est l étude de différentes détentes d un gaz réel et d un gaz parfait. Les parties B et C d une part, D et E d autre part ne sont pas indépendantes. La partie A, l ensemble (B + C) et l ensemble (D + E) peuvent être traités séparément. A - Fonctions d état d un système fermé A.. On peut écrire les expressions des différentielles du et d H des fonctions d état énergie interne U (T,V ) et enthalpie H(T, p) d un système fermé sous la forme générale suivante : du = C v dt + (l p)dv ;d H = C p dt + (k+v )d p A... Définir les capacités thermiques à volume constant C v, et à pression constante C p à partir des fonctions U (T,V ) et H(T, p). A..2. Etablir les valeurs des coefficients calorimétriques l et k pour un système dont l énergie interne et l enthalpie ne sont fonctions que de la température. A.2. Dans le cas général, on peut démontrer que : l=t relation dans le cas d un gaz parfait. ( ) p T. Vérifier cette V B - Détente de Joule et Gay Lussac d un gaz réel Dans un certain domaine de température et de pression, l équation d état d une mole de gaz réel s écrit : (p+ a/t V 2 )(V b)=rt dans laquelle a, b et R sont des constantes (R = constante des gaz parfaits). ( B.. On admettra la relation générale : = T 2 p. Vérifier son exactitude dans le cas d un gaz parfait monoatomique. T V B.2 Etablir l expression de la capacité thermique à volume constant C v (T,V ) du gaz sachant qu elle tend vers une valeur C 0, indépendante de T, lorsque V tend vers l infini. B.3 Etablir l expression de l énergie interne U de ce gaz en fonction de T, de V et de constantes. B.4. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay Lussac qui fait passer son volume de V à V 2 = 2V. B.4.. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette détente. En déduire la variation d énergie interne U du fluide. ( Cv V ) T 2 ) B.4.2. On note T la température initiale du gaz et T la variation de température qu il subit au cours de cette détente. Sachant que l on peut considérer T T exprimer T en fonction de T, V et de constantes. B.4.3. Que peut-on dire, a priori, de la variation d entropie du gaz? Justifier votre réponse. B.4.4. Application numérique : a = 00 SI ; R = 8,3 J.mol l.k ; T = 300 K ; C 0 = 29, J.mol l.k l ; V = 0 L. B Calculer T. B Quelle valeur de T aurait-on obtenu avec un gaz parfait? Justifier votre réponse. C - Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d un gaz réel Aux faibles pressions, l équation d état du gaz réel défini ci-dessus peut se mettre sous la forme suivante : pv = RT + B(T )p avec B(T )=b a/rt 2 C.. Compte-tenu d une approximation que l on peut faire aux basses pressions, montrer que l enthalpie H du gaz peut s écrire, en fonction des variables T et p : H = (C 0 + R)T + (b 3a/RT 2 )p C.2.Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe d une zone où il se trouve à la température T sous la pression p dans une zone où la pression est p 2 = p /2. C.2.. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de Joule Thomson. C.2.2. Exprimer la variation de température T du gaz dans le cadre des hypothèses ci-dessus en fonction de T, p et de constantes. On considèrera encore T T. C.2.3. Application numérique : a = 00 SI ; R = 8,3 J.mol l.k ; T = 300 K ; C 0 = 29, J.mol l.k l ; b= 22,8.0 6 m 3.mol ; p = 2 bar. Calculer T. D - Application des principes de la thermodynamique à un système fermé en mouvement

2 Page 2 DM 9 pour le 3 mai Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3 L objectif de cette étude est d établir une expression générale permettant de calculer les variations des grandeurs thermodynamiques caractéristiques d un gaz qui s écoule dans un élément mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc. L évolution d un fluide gazeux dans une installation industrielle est schématisée par la Figure ci-dessous. Le fluide gazeux s écoule dans la direction et le sens de l axe horizontal x x. Le volume v délimité par les plans A B et CD constitue un volume de contrôle qui peut, éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc. Le fluide entre dans v par une conduite cylindrique dont l aire de la section droite est notée Σ et dont l axe, parallèle à x x, est situé à l altitude z dans le champ de pesanteur. Il en ressort par une conduite cylindrique, dont la section droite a une aire Σ 2 et dont l axe, parallèle à x x, est situé à l altitude z 2 dans le champ de pesanteur. On désigne par w le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la viscosité du fluide est négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d un plan de section droite perpendiculaire à l écoulement. On désigne par m, p, T, E, E c, E p, U, H et S, respectivement, la masse, la pression, la température, l énergie totale, l énergie cinétique macroscopique, l énergie potentielle de pesanteur, l énergie interne, l enthalpie et l entropie du fluide. Les valeurs massiques des différentes grandeurs extensives seront représentées par des lettres minuscules. Ces grandeurs seront affectées de l indice ou de l indice 2 suivant qu elles caractériseront l état du gaz à l entrée ou à la sortie du volume v. D.. Définir l énergie totale E d un système thermodynamique. D.2. Ecrire le premier principe de la thermodynamique, sous sa forme générale, pour un système fermé, en mouvement dans le champ de pesanteur, qui, au cours d une transformation ouverte, reçoit les quantités d énergie Q par transfert thermique et W par transfert mécanique. D.3. A l instant t le système fermé considéré, désigné par S(t ) sur la figure, occupe le volume compris entre les plans AB et CD. Il comprend le fluide contenu dans v à cet instant et le fluide qui va entrer dans v pendant la durée d t. Son énergie totale est notée E(t ). A l instant t + d t ce même système, désigné par S(t+ d t ), occupe le volume délimité par les plans A B et C D. Il comprend le fluide contenu dans v à l instant t+ d t et le fluide qui est sorti de v pendant la durée d t. Son énergie totale est notée E(t+ d t ). Entre les instants t et t+ d t le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques d énergie δq par transfert thermique (chaleur), δw par transfert mécanique dû au travail des forces de pression d entrée et de sortie et δw par transfert mécanique avec une machine qui se trouve dans v. On suppose que le régime stationnaire est atteint et on admet que les pressions p et p 2, respectivement en amont de l entrée dans v et en aval de la sortie de v, restent constantes au cours du transfert du fluide. Les vitesses w et w 2 du fluide, dans les conduites d entrée et de sortie, sont constantes. D.3.. ρ, w, Σ ; ρ 2, w 2, Σ 2 désignent la masse volumique, la vitesse du fluide et l aire de la section droite des conduites, respectivement, à l entrée et à la sortie de v. Montrer, à partir d un bilan de masse sur le système fermé considéré, entre les instants t et t+ d t, que l on a : ρ Σ w = ρ 2 Σ 2 w 2 L expression ρσw représente le flux de masse à travers la section droite Σ d une conduite dans laquelle le fluide s écoule avec la vitesse w, c est-à-dire le débit massique q m du fluide exprimé en kg.s. D.3.2. On désigne par δm la masse de fluide qui traverse le volume V pendant la durée d t. On note g l intensité du champ de pesanteur et on fixe l origine de l énergie potentielle de pesanteur au niveau z = 0. Par application du premier principe de la thermodynamique au fluide ga-

3 Page 3 DM 9 pour le 3 mai Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3 zeux, entre les instants t et t + d t, établir la relation : {[ ] [ ]} δm 2 w g z 2 h 2 2 w 2 + g z h = δq+ δw D.3.3. A partir de l expression établie à la question D.3.2, définir les conditions expérimentales qui permettent de faire subir au fluide une détente de JOULE THOMSON. E - Détente d un fluide gazeux dans une tuyère Le fluide gazeux se détend, de manière adiabatique, dans une tuyère dans laquelle sa vitesse varie. La tuyère est constituée d un tube de révolution autour d un axe horizontal x x (voir Figure 2). On désigne par M la masse molaire du gaz et par ρ(x) sa masse volumique à l abscisse x. w, p, T I, H, ρ ; w 2, p 2, T 2, H 2, ρ 2 désignent, respectivement, les valeurs de : w(x), p(x), T (x), H(x), ρ(x) dans la section droite d entrée de surface Σ et dans la section droite de sortie de surface Σ 2. E..On considère l évolution d une mole de gaz entre son entrée dans la tuyère et son passage dans la tranche d abscisse x. A partir de la relation générale établie à la question D.3.2 et compte tenu des conditions de fonctionnement de la tuyère, établir la relation que vérifient M, w, w(x), H, H(x). E.2. Aucune hypothèse n est faite sur l équation d état du gaz. On admet que chaque élément de volume du gaz subit, dans la tuyère, une détente adiabatique réversible. Montrer que, dans ces conditions : 2 w 2 (x) p(x) 2 w 2 + d p p ρ(x) = 0 La section droite d abscisse x, de la tuyère à une aire Σ(x) variable le long de l axe x x. On admet que cette variation est assez lente pour que le vecteur vitesse des éléments de volume du gaz qui s écoule reste, pratiquement, parallèle à x x, de même sens et que sa composante w(x) ait la même valeur pour tous les éléments de volume situés dans une tranche de gaz, d abscisse x, perpendiculaire à x x. On suppose que le régime d écoulement stationnaire est atteint et on néglige toute perte d énergie, par frottement, le long des parois de la tuyère. On note H(x) l enthalpie d une mole de gaz sous la pression p(x), à la température T (x). E.3. On suppose, maintenant, que le gaz est un gaz parfait pour lequel le rapport γ = C p /C v est indépendant de la température et on admet que son évolution, dans la tuyère, se produit de manière adiabatique et réversible. On pose ǫ = p(x)/p et on désigne par C p la capacité thermique molaire à pression constante du gaz. E.3.. Exprimer w 2 (x) en fonction de : w, C p, T, M, γ et ǫ. E.3.2. Exprimer le débit massique q m du gaz, à l abscisse x, en fonction de : ρ, ǫ, γ, Σ(x) et w(x). E.3.3. On suppose que la section d entrée de surface Σ de la tuyère est très grande. On peut alors considérer w 0. E Montrer que, dans ces conditions, le débit massique s écrit : q m = K σ(x)f (ǫ), expression dans laquelle K ne dépend que des caractéristiques du gaz et des valeurs des paramètres relatifs à l entrée de la tuyère et f (ǫ) est une fonction de ǫ. On explicitera K et f (ǫ). E On admet que p(x) décroît de manière monotone quand x croît. Après avoir étudié les variations de la fonction f (ǫ) pour 0 < ǫ < montrer que : E Si p 2 /p est supérieur à une valeur ǫ 0 que l on précisera, la section Σ(x) de la tuyère doit être une fonction décroissante de x (tuyère convergente).

4 Page 4 DM 9 pour le 3 mai Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3 E Si p 2 /p est inférieur à ǫ 0, la section de la tuyère doit, d abord, être une fonction décroissante de x puis devenir une fonction croissante de x (tuyère convergente - divergente). Dans ce cas on note w 0 et p 0 les valeurs de w(x) et p(x) dans la section la plus étroite de la tuyère. Exprimer p 0 en fonction de p et γ et w 0 en fonction de γ, R, T et M. E Application numérique : Le gaz parfait considéré est de l air pour lequel γ=,4 ; M = 29 g.mol. On rappelle que R = 8,3 J.mol.K. E Sachant que p = 20 bar et T = 2000 K, calculer w 0 et p 0. E Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse du gaz, à la sortie de la tuyère, où p 2 = bar. Problème 2 Etude du système liquide-vapeur L équilibre entre l eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes températures, par les données suivantes : θ C p s bar v L m 3.kg h L kj.kg v G m 3.kg h G kj.kg 35 0,056, ,34 25, , ,23, ,96 2, ,42 00,03, ,42, ,44 85,238, ,7 0, , ,200, , 0, ,83 θ : température en degré Celsius p s : pression de vapeur saturante v L : volume massique du liquide saturant h L : enthalpie massique du liquide saturant v G : volume massique de la vapeur saturante h G : enthalpie massique de la vapeur saturante I - Diagramme de Clapeyron (P, v) du système liquide-vapeur de l eau On désigne par P la pression du système liquide-vapeur et par v son volume massique. I.. Représenter l allure du diagramme de Clapeyron (P, v) de l eau. On prendra soin de préciser la position du point critique C, les domaines liquide (L), liquide + vapeur (L+V ), et vapeur (V ). I.2. Représenter, sur le diagramme précédent : L allure de l isotherme critique T C et préciser ses caractéristiques. L allure d une isotherme T < T C et justifier la présence d un palier sur cette isotherme. L allure d une isotherme T > T C. I.3. On désigne, respectivement par : v m et h m, le volume massique et l enthalpie massique du système liquide-vapeur. Montrer que le titre massique en vapeur x est donné par l une quelconque des relations ci- dessous : x= (v m v L )/(v G v L ) ; x = (h m h L )/(h G h L ) I.4. On désigne par l v (T ) la chaleur latente massique de vaporisation à la température T. Rappeler la relation reliant l v (T ) à h G (T ) et h L (T ). II - Détente adiabatique réversible d un système liquidevapeur On dispose d un cylindre indéformable muni d un piston. Le cylindre et le piston ont des parois calorifugées. On note c l la capacité thermique massique du liquide saturant. Le piston est, initialement, fixé dans une position qui délimite un volume V = 0 L dans le cylindre. L introduction d une masse m = 0g d eau dans le cylindre permet d obtenir un système liquide-vapeur en équilibre à la température θ= 00 C. II.. Calculer le titre massique en vapeur x de ce système. On fait subir au système liquide-vapeur défini ci-dessus une détente adiabatique réversible de la température θ à la température θ = 50 C. II.2. Sachant que c l reste constante au cours de cette détente et égale à 4,8k J.k g.k, calculer le titre massique en vapeur x? du système liquidevapeur à la fin de la détente. II.3. Quel titre massique en vapeur x" aurait-on dû avoir, à la température

5 Page 5 DM 9 pour le 3 mai Lycée Clemenceau Nantes MPSI 3 θ = 00 C, pour qu au cours de la détente définie ci-dessus (2.) ce titre reste constant? Dans la suite du problème tous les calculs se rapporteront à une masse m= k g de fluide. La capacité thermique massique c l 4,8k J.k g.k. du liquide est constante et vaut III - Modèle de fonctionnement d une turbine à vapeur. Cycle de Rankine Le circuit secondaire d une centrale nucléaire comporte les éléments suivants : un générateur de vapeur, une turbine, un condenseur et une pompe d alimentation. Les transformations subies par l eau dans ce circuit sont modélisées par le cycle de Rankine décrit ci-dessous. AB : compression adiabatique réversible, dans la pompe d alimentation, de la pression P = 0,056bar à la pression P 2 = 69,200bar, du liquide saturant sortant du condenseur à la pression P (état A). BD : échauffement isobare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène le liquide de l état B à l état de liquide saturant sous la pression P 2 (état D). DE : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression P 2. EF : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de P 2 à P. F A : liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression P, de la vapeur présente dans l état F. III.. Représenter le cycle décrit par l eau dans le diagramme de Clapeyron (P, v). III.2. Le liquide étant supposé incompressible, montrer qu au cours de l évolution AB la température est constante, soit T B = T A = T. III.3. Calculer le titre x F et l enthalpie massique h mf du système liquidevapeur sortant de la turbine (état F). III.4. Calculer les quantités de chaleur Q et Q 2 reçues par kg d eau, respectivement, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur. III.5. Calculer le travail W reçu, par kg de fluide, au cours du cycle. III.6. Calculer l efficacité e (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette efficacité à celle e C d un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures extrêmes T et T 2. IV - Préparation du combustible nucléaire Actuellement 90% des réacteurs nucléaires utilisent l oxyde d uranium UO 2(s) comme combustible. Une des étapes du processus de sa préparation est la réduction de UO 3(s) par un flux d hydrogène provenant de la décomposition du gaz ammoniac dans un four à 500 K. IV.. Ecrire la réaction du trioxyde d uranium UO 3(s) avec l ammoniac N H 3(g ). IV.2. Calculer l enthalpie standard de la réaction à 298 K. Exprimer r H en fonction de la température pour T < 773 K (température de fusion de UO 2. IV.3. Calculer l enthalpie standard de la réaction à la température à laquelle se fait la réduction. Est-elle endo- ou exothermique? UO 2(s) UO 3(s) N H 3(g ) H 2 O (g ) N 2(g ) f H298 0 (kj.mol ) C 0 P (J.K.mol )