NOTE SUR LA SPECTROSCOPIE INTERFERENTIELLE DES LAMPES HP ET BP DU MERCURE

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1 Préparation à l agrégation de Montrouge Note sur la spectroscopie interférentielle des lampes HP et BP du mercure Clément Sayrin clement.sayrin@ens.fr NOTE SUR LA SPECTROSCOPIE INTERFERENTIELLE DES LAMPES HP ET BP DU MERCURE Comme il est proposé dans le Sextant, il est possible d obtenir le profil, et donc la largeur, d une raie atomique (ici, la raie verte du mercure à 546 nm) par spectroscopie interférentielle, grâce à un Michelson. Il est notamment suggéré de comparer ce que l on obtient avec des lampes haute pression (HP) ou basse pression (BP) pour lesquelles on s attend à des profils respectivement lorentzien (largeur typique ν 5 GHz) et gaussien (largeur typique ν 3 GHz). Nous verrons ici pourquoi on s abstiendra de mesurer la largeur spectrale d une lampe BP! La taille finie du photodétecteur fausse en et la mesure via un et d augmentation ective de la largeur spectrale de la source qui, combiné à la très faible luminosité d une telle lampe, empêche la mesure de largeurs de l ordre du GHz, comme c est le cas pour une lampe BP. Une mauvaise interprétation du phénomène mène à des conclusions erronées de plus d un ordre de grandeur! Protocole expérimental On suit le même protocole que celui décrit dans le polycopié Interféromètres (méthode avec enregistrement) pour l étude du doublet jaune du mercure avec un Michelson réglé pour observer des anneaux d égale inclinaison. On s intéresse cependant ici à la raie verte et on choisira donc le filtre en conséquence. On notera e l épaisseur de la lame d air et f la focale de la lentille placée en sortie de l interféromètre. On rappelle que l expérience consiste à enregistrer l intensité au centre des anneaux d égale inclinaison pour différentes épaisseurs de la lame d air. On peut alors : Enregistrer toute la figure en une seule fois, en laissant le moteur tourner. Pour une lampe HP, il faut charioter sur une distance de l ordre de mm et cette méthode et envisageable, quoique un peu longue. Pour une lampe BP, il faut charioter sur plus de cm, ce qui prendrait bien trop de temps au moteur (à raison de mm par heure, je vous laisse calculer!). On peut aussi être gêné par une perte du parallélisme des miroirs. On préférera donc la méthode suivante ; Charioter à la main sur de grandes distances, puis mesurer localement au moteur le contraste (un enregistrement de quelques secondes suffit), après re-réglage éventuel du parallélisme. Résultats attendus On note λ = σ = c/ν = 546 nm la longueur d onde moyenne de la raie considérée. Lampe BP Dans une lampe BP, la largeur spectrale de la source est limitée par l et Doppler, lié à la répartition en vitesse du gaz atomique observé. À l équilibre thermodynamique à la température T, typiquement 7 K dans une lampe BP, cette répartition est gaussienne (loi de Boltzmann), et le profil spectral prend également la forme d une gaussienne de variance : k B T Σ ν = ν =, GHz. m Hg c Comme expliqué dans le Sextant, la variation du contraste mesuré avec le Michelson est la transformée de Fourier du profil spectral, soit ici une gaussienne de largeur à mi-hauteur : ln c e =, 37 c = cm. π Σ ν Σ ν Lampe HP Dans une lampe HP, la largeur spectrale de la source est limitée par le temps de vie du niveau excité, du fait de la grande densité du gaz et donc du plus grand nombre de collisions que dans une lampe BP. Le profil spectral est alors lorentzien, et de largeur à mi-hauteur, pour une lampe typiquement sous 5 atmosphères et 5 K : ν = 7 GHz. Le contraste des interférences est alors exponentiellement décroissant de largeur à mi-hauteur : e = ln π c c, ν ν =, 9 mm.

2 Figure Traits pleins : spectre ectif d une source monochromatique, avec et sans pondération en (σ /σ)3 (voir 5) Pointillés : spectre d une raie atomique. 3 Figure Modulation du contraste induite par la largeur ective (traits pleins) ou la largeur naturelle (pointillés) de la source. Élargissement spectral ectif de la source Jusqu à présent, nous avons oublié que la photodiode utilisée est de taille finie et ne mesure donc pas seulement l intensité au centre des anneaux, mais intègre le signal sur toute sa surface. Nous verrons ci-dessous pourquoi ceci se révèle être une contrainte particulièrement sévère pour la spectroscopie d une lampe BP. Les photodiodes dont nous disposons sont des carrés de surface s5 = 5 mm ou s7 = 7 mm selon le modèle (consulter la notice). Pour simplifier, nous considérerons cependant qu on utilise une photodiode circulaire de diamètre d de diamètre la diagonale du carré. photodiode Première approche Pour une source monochromatique à σ = /λ, et pour une différence de marche δ, l intensité à la sortie de l interféromètre est : I I(δ) = [ + cos(πσ δ)]. lentille r(i) i d différence de marche Pour des faisceaux ayant un angle d incidence i sur les miroirs, la différence de marche est δ(i) = e cos i. Dans le plan focal de la lentille, i.e. là où doit être placée la photodiode, ils correspondent à des anneaux de rayon : e cos i f r(i) = f tan i. Pour une photodiode que l on suppose être un disque de diamètre d et placée au centre des anneaux, le signal enregistré correspond à la somme des intensités reçues aux différents points de la photodiode, i.e. la somme sur δ(i) de I(δ). En considérant une lampe de flux surfacique φ indépendant de la direction d émission, on mesure donc : It (e) = d/ [ + cos(πσ δ(i))] φ πr(i) dr(i). Plus que sur la différence de marche δ(i), l intégration porte en fait sur l argument du cosinus, soit le déphasage δφ(i) = πσ δ(i) entre les deux bras du Michelson. Plutôt que de considérer que l on enregistre le signal correspondant à plusieurs différences de marche δ(i) à nombre d onde σ fixé, on peut alors imaginer qu on enregistre le signal correspondant à plusieurs nombres d onde σ(i), à différence de marche δ = e fixée : δφ(i) = πσ(i) δ. Finalement, tout se passe comme si la photodiode était ponctuelle, i.e. n enregistrait que l intensité au centre des anneaux, et la source avait une largeur spectrale non nulle, le nombre d onde prenant des valeurs entre σ, pour lequel la différence de phase vaut δφ() = πσ δ = 4πσ e, et σ cos imax pour lequel δφ(imax ) = 4πσ e cos imax, où imax = arctan d/ f.

3 Vue par la photodiode de taille d, la source parfaitement monochromatique à σ se comporte comme une source de spectre g(σ), dont l allure est donnée FIG., fonction porte en première approximation de largeur σ = σ ( cos i max ) (les différents nombres d onde ne sont en fait pas tout à fait équiprobables, voir 5.). La variation du contraste dans l expérience ci-dessus est alors la transformée de Fourier du spectre g, soit ici le sinus cardinal : g(e) sinc [πe σ ] = sinc [πeσ ( cos i max )] de largeur σ = λ cos i max, de largeur à mi-hauteur e, 6 σ. Ordres de grandeur On donne dans le tableau suivant les largeurs ectives en nombre d onde, longueur d onde et fréquence d une source à λ = 546 nm vue par une photodiode de diamètre d = s 7 = 3, 7 mm avec une lentille de focale f = 5cm ou m. On donne également la largeur à mi-hauteur e de la fonction contraste correspondante, ainsi que les largeurs ν HP et ΣνBP des lorentziennes et gaussiennes respectivement qui induiraient le même e : f = 5 cm f = m σ = σ ( cos i max ), 4 cm, 3 cm ν = c σ 4 GHz GHz λ = λ σ, 4 nm, nm e, 6 σ 4 mm cm Σν BP, 6 ν 5 GHz, 6 GHz ν HP, 3 ν 5 GHz, 35 GHz Ceci implique que par cette méthode, on ne pourra pas mesurer des largeurs spectrales plus petites que 5 à 5 GHz avec une focale de 5 cm, que, 5 GHz avec une focale de m! C est en et la structure de plus grande largeur spectrale qui dicte la forme de la fonction contraste enregistrée. On représente par exemple FIG. la variation du contraste induite en traits pleins par la taille finie de la photodiode, en pointillés par une source dont le spectre est représenté FIG., de largeur plus faible que σ. La variation totale du contraste est alors le produit des deux fonctions représentées, et on comprend bien que le sinus cardial seul en contrôle la forme : la modulation induite par la largeur naturelle de la source se fait sur des échelles de e bien plus grandes. 4 En pratique Les résultats obtenus sont à comparer aux prédictions de la partie : ν = 7 GHz pour une lampe HP et Σν = GHz pour une lampe BP. Pour une lampe HP, la taille de la photodiode n est pas un facteur limitant de l expérience. On préférera alors utiliser des focales petites (5 à cm) pour avoir le plus de lumière sur la photodiode. On observe alors une variation notable du contraste pour un chariotage sur une distance de l ordre du millimètre, alors que celle due aux ets ici considérés ne se fait que sur une distance de l ordre de 4 mm pour f = 5 cm, 7 mm pour f = cm. Pour une lampe BP, la situation est bien plus compliquée! On voit notamment que la principale cause de variation du contraste avec une focale de 5 cm est due à la taille de la photodiode et non pas à la largeur spectrale de la source! On pourrait alors être tenté de choisir une photodiode de diamètre plus petit, de sorte à réduire la largeur : ν = ν ( cos i max ) ν ( ) d. f Par exemple, pour avoir ν BP, Σ ν, avec f = 5cm, il faudrait une photodiode de diamètre dix fois plus petit! On pourrait aussi utiliser la focale de m, pour laquelle l élargissement dû à la photodiode est deux fois plus faible que la largeur Doppler. Malheureusement, du fait de la trop faible luminosité de la lampe BP, l un ou l autre de ces choix rend l expérience irréalisable : le signal devient beaucoup trop faible pour pouvoir être exploité, voire enregistré!. Dans les deux cas, on réduit l angle solide intercepté en sortie du Michelson. 3

4 Figure 3 Variation du contraste en fonction de l épaisseur de la lame d air : courbes obtenues par intégration numérique pour une raie parfaitement monochromatique à λ ( f = 5cm et f = m) ou pour une raie élargie par et Doppler de largeur Σν = GHz ( f = 5cm). Points : mesures obtenues avec une lampe BP et une focale de 5cm. On trace également l ajustement gaussien de ces données. 5 Pour aller un peu plus loin Récrivons dans un premier temps l expression du signal It (e) enregistré par la photodiode : It (e) = π f φ imax sin i [ + cos(4πσ e cos i)] di = π f φ cos3 i cos imax [ + cos(4πσ e cos i)] d cos i cos3 i du [ + cos(4πσ eu)] 3 = π f φ u cos imax σ 3 π f φ σ [ + cos(4πσe)] = dσ σ σ σ cos imax On retrouve via la dernière forme de l intégrale l interprétation proposée paragraphe 3 : tout se passe comme si la source n était pas monochromatique mais émettait tous les nombres d onde compris entre σ cos imax et σ, à différence de marche fixe à e, i.e. celle au centre des anneaux. On a en plus ici le poids respectif de chaque nombre d onde, à savoir : σ 3, p(σ) σ que l on avait choisi constant en première approximation (FIG. ). On peut vérifier numériquement que faire cette approximation ne change cependant rien à l allure des courbes obtenues ci-après. En et, la largeur de la porte est faible devant σ : σ 4 σ σ, et p(σ) varie donc peu à son échelle. On calcule numériquement l intégrale It (e) pour une focale de m et de 5 cm et on trace FIG. 3 le contraste des oscillations obtenues en fonction de l épaisseur de la lame d air. On trace en plus pour f = 5cm la courbe obtenue en prenant en compte la largeur Doppler attendue de la raie. La différence entre ces deux dernières courbes est négligeable pour les premiers lobes du sinus cardinal, mettant ainsi en évidence le fait qu avec un tel dispositif, l élargissement Doppler de la raie est complètement écranté par l élargissement ectif dû à la taille de la photodiode. On trace également les résultats expérimentaux obtenus avec une lampe BP et une focale de 5 cm, après renormalisation. Aux erreurs près, on trouve un bon accord avec les prédictions théoriques.. Le contraste maximum mesuré est de l ordre de 6%. 4

5 On ajoute enfin sur la figure ce que donnerait un ajustement gaussien des données. On voit alors que si l on n y prend pas garde, l ajustement semble plutôt bien marcher, et l on pourrait être tenté de conclure que l on a ectivement trouvé la forme attendue pour une raie atomique gaussienne! Deux remarques viennent mettre à mal cette conclusion : D une part, l ajustement n est relativement bon qu avec une asymptote non nulle... difficilement interprétable! Pour les très grandes épaisseurs de la lame d air, le contraste doit tendre vers, et ce paramètre devrait donc être fixé comme nul lors de l ajustement ; D autre part, la largeur à mi-hauteur de la gaussienne obtenue est e 4 mm. Si cela était dû uniquement à l élargissement Doppler de la raie spectrale, celle-ci aurait une variance Σν 3 GHz. C est plus d un ordre de grandeur au-dessus de la largeur attendue! Un tel écart est difficilement acceptable. 6 En conclusion La mesure de la largeur de la raie verte du mercure avec une lampe HP est donc tout à fait réalisable avec le matériel proposé, en utilisant une focale de cm par exemple. La grande luminosité d une telle lampe permet d obtenir un bon rapport signal sur bruit, et les résultats obtenus sont proches de ceux attendus. On ne peut en revanche pas faire simplement cette même mesure avec une lampe BP, du fait de sa trop grande finesse spectrale et de sa trop faible luminosité. Il faudrait utiliser un photodétecteur plus sensible que la photodiode, mais suffisamment petit pour ne pas avoir à travailler avec des focales trop grandes, tout en éliminant autant que faire se peut toute lumière parasite. Une solution consisterait à utiliser, avec une focale de m, un tube photomultiplicateur monté avec une fibre optique. Ceci rend l expérience bien plus délicate. Références pour le paragraphe : Berkeley, Quantum Physics ; Cagnac, Physique atomique ; Thorne, Spectrophysics 5