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1 SERIE 8 : INDUCTION-AUTOINDUCTION ET DIPOLES RL TS Exercice 8.1: Rails de Laplace horizontaux Deux rails conducteurs AA' et CC', parallèles, de résistance négligeable, séparés par une distance l = 25 cm, sont placés dans un plan horizontal. Une tige métallique rigide, de masse négligeable, perpendiculaire au plan des rails, peut glisser sans frottement dans une direction parallèle aux rails. La tige de longueur l a une résistance R = 0,8 Ω. L'ensemble est placé dans un champ magnétique B perpendiculaire au plan des rails et d'intensité B =1T. On déplace la tige à la vitesse constante V = 10 m.s -1, de gauche à droite. 1) Choisir sur le circuit un sens de parcours arbitraire et déterminer le vecteur surface S puis calculer le flux du champ magnétique à travers ce circuit pour une position quelconque de la tige MN. (poser AM = x) 2) En utilisant la loi de FARADAY 2.a- Calculer la force électromotrice induite e qui apparaît dans le circuit. 2.b- Calculer l'intensité du courant induit. Quel est son sens? 3) Retrouver le sens du courant induit en utilisant la loi de LENZ. 4) Représenter la force électromagnétique créée au cours du déplacement de la tige. Exercice 8.2: Rails de Laplace horizontaux (Extrait Santé militaire) Page 1

2 Exercice 8.3: Cadre mobile dans un champ magnétique uniforme Un cadre indéformable ACDE, de largeur a = 8,0 cm et de longueur b = 25,0 cm, comportant N = 10 spires, peut tourner autour d'un axe Δ passant par les milieux des côtés AC et DE. Les spires sont orientées dans le sens ACDE. Ce cadre est placé dans un champ magnétique uniforme B à orthogonal à Δ. La normale au plan du cadre fait un angle θ, orienté autour de l'axe (Δ,k ), avec la direction du champb. Données : B = 318 mt, θ = ωt =100π.t ( en rad), R = 10 Ω. 1) Calculer le flux du champ magnétique à travers une spire, puis à travers l'ensemble de la bobine. 2) La bobine tourne à la vitesse angulaire constante ω autour de Δ. Montrer qu'il apparaît dans la bobine une f. e. m. induite sinusoïdale. Préciser l'amplitude de cette f. e. m.. 3) Calculer l intensité maximale et la fréquence N du courant induit. 4) Le cadre, en cours de rotation, est relié aux bornes d un oscilloscope afin de visualiser la tension UKM à ses bornes. Les réglages de l oscilloscope sont : - Balayage horizontal : 5 ms par division, - Sensibilité verticale : 10 V par division. Dimensions de l écran de l oscilloscope : Représenter l oscillogramme observé sur l écran. - hauteur : 6 cm, - largeur : 8 cm, - une division de l écran = 1 cm. Exercice 8.4: Rails reliés par un générateur On considère le système suivant : deux rails parallèles et horizontaux peuvent être, soit branchés sur un générateur de f.é.m. E = 2 volts (interrupteur K en position 1), soit mis en court-circuit (K en position 2). Les rails sont distants de l = 0,25 m et baignent dans un champ magnétique vertical B dirigé vers le haut et d'intensité B =0,5T. Une tige métallique AA', de masse m = 10 g peut glisser sans frottement sur les rails et sa résistance entre les deux rails vaut R = 0,5 ohm. Toutes les autres résistances sont négligeables. Il en est de même de l'auto-inductance du circuit. 1) Calculer l'intensité I du courant qui traverse AA', la d.d.p. e entre les points A et A', et l'intensité de la force électromagnétique qui s'exerce sur la tige métallique dans les deux cas suivants 1.a - K en position 1 et la tige est immobile. 1.b - K en position 2 et la tige se déplace avec la vitesse v = 10 m.s -1. 2) L'interrupteur K étant en position 1, la tige AA' a une vitesse constante et imposée v (en m.s -1 ), dont la direction et le sens sont indiqués sur la figure. 2.a - Déterminer la fonction I = f(v). Représenter le graphe de cette fonction. 2.b- Calculer I pour les valeurs, v1 = 10 m.s -1 et V2 = 22 m.s -1. 3) A la date t = 0, la tige est immobile et on ferme l'interrupteur en position 1. A une date t quelconque, appliquer le théorème du centre d inertie à la tige. En déduire que la vitesse v obéit à l'équation suivante : 3.a - Vérifier que v donnée ci dessus est solution de cette équation. 3.b -Calculer la vitesse limite VL atteinte par la tige. 3.c - Montrer que cette vitesse limite peut se déduire de la question 2). Page 2

3 Exercice 8.5 : Rails inclinés Une barre de cuivre MN, homogène, de masse m et de longueur L, peut glisser, sans frottement, le long de deux rails métalliques AC et A C contenus dans un plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal (figure a). Pendant tout le mouvement, la barre MN reste perpendiculaire aux rails AC et A'C' et maintient avec eux le contact électrique en M et N. On donne : L= 10-1 m, g=9,8 m.s -2, m= kg, α=20. 1) La barre MN est lâchée sans vitesse initiale sur le plan incliné. Après un parcours de longueur L, sa vitesse v vaut 2,80 m.s -1. Calculer L. 2) Les points A et A' sont maintenant reliés par un fil de résistance R = 0,2 Ω, les résistances électriques des rails et de la barre étant négligeables. Lorsque la barre a parcouru la distance L, elle pénètre, à l'instant t =0, avec la vitesse v = 2,8 m.s -1 dans une région de l'espace où règne un champ magnétique uniforme, vertical, ascendant, d'intensité B=1T. (fig. b). 2.a- Quelle est l'intensité I0 du courant qui apparaît dans Réponse partielle le circuit A'AMN à l'instant t = 0? Indiquer sur un schéma très clair le sens de ce courant. 2.b- Quelles sont les caractéristiques de la force électromagnétique F0 qui s'exerce sur la barre à l'instant t = 0? 2.c- Faire le bilan des forces qui s'exercent sur la barre à l'instant t = 0 et montrer que l'accélération a est de sens Opposé à v. Expliquer qualitativement comment varie l'intensité du courant lorsque la barre continue à se déplacer dans le champ magnétique et comment évolue le mouvement, les rails étant supposés suffisamment longs. 3) La barre, toujours sur ses rails inclinés de α =20 acquiert maintenant dans le champ B un mouvement rectiligne uniforme de vitesse V 1. 3.a- Quelle est alors l'intensité de la force électromagnétique F1qui agit sur la barre? 3.b- Calculer l'intensité I1 du courant induit et la valeur V1 de la vitesse. Exercice 8.6 : Rails horizontaux (Extrait Santé militaire) Page 3

4 Exercice 8.7 : Rails de Laplace et ressort Une tige métallique mn, homogène, de masse m, peut glisser sans frottements sur deux rails métalliques, parallèles et horizontaux, PP et QQ. La distance entre les rails est l. Un conducteur ohmique de résistance R relie les extrémités P et Q des rails ; les résistances électriques des rails, de la tige MN et des contacts en M et N sont négligeables par rapport à R. Le milieu G de la tige est lié à l extrémité isolée électriquement, d un ressort, de masse négligeable, à spires non jointives, de raideur k ; l autre extrémité A est fixée à un support immobile ; l axe du ressort est parallèle aux rails. Lorsque la tige MN est en équilibre, G se trouve en O. Soit Ox un axe confondu avec l axe du ressort.. L ensemble du dispositif est placé dans un champ magnétique uniforme, vertical, ascendant. On écarte la tige de sa position d équilibre et on l abandonne sans vitesse initiale. 1_ Déterminer l expression algébrique de l intensité i du courant induit dans le circuit NMPQ en fonction de B, R, l et de la vitesse de la tige. Le courant a-t-il toujours le même sens? 2_ Etablir l expression de la force électromagnétique qui s exerce sur la tige MN. On notera la valeur algébrique de cette force et on exprimera en fonction de B, R, l et (valeur algébrique de la vitesse de la tige). 3_ A partir du bilan des forces appliquées à la tige, établir l équation différentielle de son mouvement. 3. a. Décrire qualitativement le mouvement de la tige. 3. b. Quelle est l influence d une diminution de R. N.B : On ne demande pas de résoudre cette équation différentielle. 4_ Soit dw l énergie dissipée par effet Joule pendant le temps dt. 4. a. Exprimer dw en fonction de B, R, l, et dt. La tige s arrête dans sa position d équilibre après avoir effectué un certain nombre d oscillations. 4. b. Calculer l énergie totale W dissipée par effet Joule pendant la durée du mouvement. On donne k = 50 N.m -1, xmax = 0,2 m. Exercice 8.8: Bobine dans un solénoïde (Extrait BAC S2 2007) Une bobine circulaire PQ de résistance R2 = 8 ohms comportant N2= 50 spires de diamètre d2= 5 cm est placée comme indiqué sur la figure à l intérieur d un solénoïde de longueur l1= 50 cm, comportant N1= 1000 spires. L axe de la bobine est parallèle à celui du solénoïde. 5.1 Un générateur de courant continu débite un courant d intensité I = 4A à travers le solénoïde. Déterminer alors les caractéristiques du champ magnétique B créé à l intérieur du solénoïde et représenter ce vecteur sur un schéma. On donne: perméabilité du vide : µ0 = 4 π.10-7 SI 5.2 Sans modifier le circuit, on réunit les extrémités P et Q de la bobine, puis on ouvre l interrupteur K Justifier le passage d un courant induit dans la bobine PQ pendant l ouverture du circuit et préciser son sens sur un schéma (le sens positif d orientation de PQ est indiqué sur le schéma du montage) Calculer la quantité d électricité induite qui traverse la bobine PQ. 5.3 Le générateur linéaire est remplacé par un générateur basse fréquence qui délire une intensité variable i (t) = 5 sin 100 π. t, expression où i est exprimée en ampère et t en seconde Montrer que l expression de la f.e.m d induction qui apparaît dans la bobine est relation où di est la dérivée par rapport au temps de l intensité i du courant. dt (0,50 point) Page 4

5 5.3.2 On sépare les bornes P et Q de la bobine puis on relie la borne Q à la masse d un oscilloscope, la borne P à la voie de déviation verticale YY afin de visualiser la tension UPQ. Représenter la courbe observée sur l écran en tenant compte des données ci-après : (0,75 point) - largeur de l écran : 10 cm balayage horizontal : 5 ms/cm. - hauteur de l écran : 08 cm sensibilité verticale : 0,2 V/cm. Exercice 8.9 : Rails de Laplace et tige soutenant un solide On considère le système constitué par un générateur de f.e.m E, de résistance interne r, relié à deux rails parallèles Ax et By horizontaux. Une tige MN conductrice, de résistance r placée perpendiculairement aux rails, ferme le circuit ANMB. Cette tige est reliée en son milieu G à un solide de masse m par l intermédiaire d un fil sans masse, parallèle aux rails passant par la poulie P et pouvant glisser sans frottement sur les rails.( fig 1) L ensemble est plongé dans un champ magnétique B uniforme : B = 0,5 T. 1) L interrupteur k étant fermé, l ensemble reste immobile. 1.a) Donner les caractéristiques du vecteur champ magnétique B.On représentera celui-ci clairement. 1.b) Calculer l intensité du courant I passant dans la tige lorsque le solide est en équilibre. 2) On branche un conducteur ohmique de résistance R = 10 dans une branche CD parallèle à la tige. Le point C est placé entre les points B et M, le point D entre A et N.(fig 2) 2.a) Indiquer le sens des courants I (entre B et M), I1 (entre C et D) et I2 ( entre M et N ) sur le schéma. 2.b) Exprimer en fonction de R, r, r et I, la f.e.m E nécessaire à l équilibre de la tige MN. Calculer E. c). Calculer les intensités des courants I1, I2 et I Exercice 8.10: Dipôle RL (Extrait BAC S2 2012) Les bobines sont des composants électriques de très grande utilité sur lesquels le fabricant mentionne les caractéristiques (L, N, Imax), pour une utilisation optimale et sécuritaire. L et N représentent respectivement l inductance et le nombre de spires de la bobine tandis qu Imax correspond à l intensité maximale du courant électrique qui peut traverser la bobine Un groupe d élèves, sous la supervision de leur professeur, se propose de vérifier quelques caractéristiques d une bobine de leur laboratoire. Cette bobine est assimilée a un solénoïde de longueur l= 0,5 m, comportant N spires de rayon R = 5 cm. Pour ce faire, ils disposent la bobine horizontalement, son axe (Δ) étant orthogonal au plan méridien magnétique. Au centre de cette bobine est placée une petite aiguille aimantée horizontale mobile autour d un axe vertical (Δ ). Le groupe d élèves lance un courant électrique d intensité I dans le solénoïde et constate que l aiguille dévie d un angle α Faire un schéma où seront représentés la bobine en indiquant le sens du courant, le vecteur champ magnétique B V créé par le courant, le vecteur B H composante horizontale du champ magnétique terrestre, la position finale de l aiguille et l angle α Exprimer tan α en fonction de BH, N, l, l et μ0 (perméabilité magnétique du vide) 4-2. Le groupe fait varier l intensité I du courant dans le circuit et mesure la valeur de l angle α pour chaque valeur de I. Les résultats obtenus permettent de tracer la courbe tanα = f(i).(figure 1) Déterminer a partir de cette courbe la relation entre tan α et I NB : Il n est pas demandé de rendre la courbe avec la copie En déduire la valeur de N que l on notera No. On donne : μ0 = 4 π 10-7 SI ; BH= T Déterminer l inductance L du solénoïde (on prendra N = 1195 spires) Afin d étudier le comportement de la bobine dans un circuit, les élèves réalisent avec ce solénoïde le montage ciaprès (figure 2). La bobine est branchée en série avec un résistor de résistance Ro = 10 Ω. Ils utilisent un générateur de courant continu G (E = 12 V ; r = 5 Ω). La résistance interne du solénoïde est r = 5 Ω. Le nombre de spires est N = 1195 spires. L interrupteur est dans la position Déterminer l intensité Io du courant dans le circuit en régime permanent En un temps très bref et a t = 0, on bascule l interrupteur de la position (1) a la position (2). a) Etablir l équation différentielle à laquelle obéit l intensité i du courant dans le circuit. b) Vérifier que i = A e - t/τ est solution de cette équation différentielle, A et τ étant des constantes à exprimer en fonction des caractéristiques des composants du circuit. Donner l allure de la courbe i = f(t). Page 5

6 Exercice 8.11: Dipôle RL et analogie entre grandeurs électriques et mécaniques (Extrait BAC S1 S3 2007) NB : les deux parties de l exercice sont indépendantes. Première partie : circuit LC et Analogie Dans cette partie on se propose de comparer le fonctionnement d un oscillateur électrique avec celui d un oscillateur mécanique pour faire ressortir des analogies. 4.1 On réalise un circuit comprenant une bobine d inductance L dont la résistance est supposée nulle et un condensateur de capacité C; initialement l interrupteur K est ouvert [figure (a)]. Le condensateur est d abord chargé sous une tension constante U par un dispositif non représenté sur la figure. On ferme ensuite l interrupteur K Etablir l équation différentielle traduisant les oscillations électriques qui se déroulent dans le circuit en prenant comme variable la charge q d une armature du condensateur. [Le circuit est orienté comme indiqué sur la figure (a)] En déduire la période des oscillations. Applications numériques : L = 0,10H ; C =1, F. 4.2 On considère un solide A de masse m pouvant glisser sans frottement sur un support horizontal. Le solide est lié à l une des extrémités d un ressort de masse négligeable et de raideur k ; l autre extrémité du ressort étant fixée en un point E (figure b).on déplace le solide A de façon à provoquer l allongement du ressort et on l abandonne sans vitesse initiale Etablir l équation différentielle du mouvement du solide A en prenant comme variable l élongation x du solide, le mouvement étant rapporté au repère X X dont l origine coïncide avec la position du centre d inertie G du solide à l équilibre [figure (b)] En déduire la période des oscillations. Applications numériques : m = 0,50kg ; k = 25 N/m. 4.3 Recopier puis compléter le tableau ci-dessous pour faire apparaître les analogies entre les grandeurs électriques de la question 4.1 et les grandeurs mécaniques de la question 4.2 Deuxième partie : circuit RL Un générateur BF maintenant entre ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence N, alimente un circuit contenant en série une bobine d inductance L = 36 mh et de résistance R1 et un résistor de résistance R2= 12,5 Ω. La tension efficace aux bornes du générateur est U = 64 V. On mesure l intensité efficace du courant, on trouve I = 3,2A. Puis l on mesure la tension efficace U1 aux bornes de la bobine et la tension efficace U2 aux bornes du résistor, on trouve U1 = U Montrer que les impédances Z1 de la bobine et Z2 du résistor sont égales. Donner la valeur numérique commune. 4.5 Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit. On posera : i = I 2sin ωt et u = U 2sin (ωt +φ) respectivement pour l intensité instantanée i du courant et la tension instantanée u aux bornes du générateur. (0,50 point) 4.6 Calculer les valeurs numériques de φ, de R1 et du produit Lω. Calculer alors la valeur de la fréquence. Page 6