Docteur de l ENS Cachan - Antenne de Bretagne

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1 Ludovic Goudenège ENS Cachan - Antenne de Bretagne Avenue Schumann, Campus de Ker Lann Bruz Célibataire, 26 ans Sous la tutelle de l IRMAR - UMR 6625 du CNRS Né le 10 novembre 1983 Campus de Beaulieu Rennes Nationalité française tél : +33 (0) Adresse personnelle : 6, allée des Alysses Massy http ://w3.bretagne.ens-cachan.fr/math/ tél : +33 (0) people/ludovic.goudenege/ Docteur de l ENS Cachan - Antenne de Bretagne spécialité Mathématiques Appliquées Formation : Thèse en Mathématiques Appliquées (soutenue le 27 novembre 2009). Allocataire de recherche à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne, dans l équipe de Processus stochastiques et dans l équipe d Analyse numérique de l Institut Mathématiques de Rennes (IRMAR) à l université de Rennes 1 - UMR 6625 du CNRS ( ) Moniteur à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne ( ) Quatrième année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne (2006) : Troisième année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne. Master Recherche de Mathématiques Analyse et Application à l Université de Rennes 1, mention Bien. Concours d Agrégation Externe de mathématiques, Rang : Deuxième année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne. Maîtrise de mathématiques à l Université de Rennes 1, mention Bien : Première année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne. Licence de mathématiques à l Université de Rennes 1, mention Très bien : Classes Préparatoires aux Grandes Écoles au lycée Blaise Pascal, à Orsay : Baccalauréat scientifique, série S, spécialité Mathématiques, mention Bien.

2 Collaborations scientifiques Arnaud Debussche, directeur du département de mathématiques de l ENS Cachan - Antenne de Bretagne (directeur de thèse) : Analyse des EDP stochastiques. Unicité et existence. Simulations numériques déterministes et stochastiques. (1 article soumis, 2 articles en préparation). Gregory Vial, agrégé préparateur à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne : Étude numérique de l équation de Cahn-Hilliard stochastique et déterministe. (1 article en préparation). Daniel Martin, maître de conférence à l Université de Rennes 1 : Développement d une bibliothèque d éléments finis de hauts degrés pour la simulation numérique. (1 article en préparation). Travaux de thèse Titre : Quelques résultats sur l équation de Cahn-Hilliard stochastique et déterministe. Mots-clés : équations aux dérivées partielles, équation de Cahn-Hilliard, équations stochastiques, singularité logarithmique, mesures de réflexion, mesures invariantes, formule d intégration par parties en dimension infinie, méthode d éléments finis de hauts degrés, ergodicité, simulations numériques, contact de singularité. Directeur : Arnaud Debussche (ENS Cachan - Antenne de Bretagne) Soutenance : le 27 novembre 2009 à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne : M. Franck Boyer PU, Université Paul Cézanne, Marseille Président M. Tadahisa Funaki PU, Université de Tokyo Rapporteur M. Nicolas Fournier PU, Université Paris Est Rapporteur M. Lorenzo Zambotti PU, Université Pierre et Marie Curie Examinateur M. Daniel Martin MC, Université de Rennes 1 Examinateur M. Ying Hu PU, Université de Rennes 1 Examinateur M. Arnaud Debussche PU, ENS Cachan - Antenne de Bretagne Directeur Mention : Très honorable. Thèmes de recherche Processus stochastiques : Analyse des équations aux dérivées partielles stochastiques de type Cahn-Hilliard. Singularité logarithmique et en puissance négative x α. Mesures de réflexion. Mesures invariantes. Formule d intégration par parties en dimension infinie. Formes de Dirichlet. Mesures de Revuz. Ergodicité. Simulations stochastiques. Études des états stationnaires. Contacts avec les singularités pour l équation de la chaleur et l équation de Cahn-Hilliard. Évolutions en temps long. Grandes déviations. Analyse Numérique : Méthode d élements finis. Calculs en haut degré polynomial. Étude des états stationnaires. Décomposition spinodale. Étude des interfaces et des énergies des états stables. Calcul d ordre de convergence temporelle et spatiale. Étude des bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien. Études de multiples domaines. Évolutions en temps long.

3 Publications Revues internationales : L. Goudenège, Stochastic Cahn-Hilliard equation with singular nonlinearity and reflection, publié dans Stochastic processes and their applications, Volume 119, Issue 10, October 2009, pages Articles soumis : A. Debussche and L. Goudenège, Stochastic Cahn-Hilliard equation with double singular nonlinearities and two reflections. Articles en préparation : L. Goudenège, D. Martin and G. Vial, High order finite element calculations for the deterministic Cahn-Hilliard equation. A. Debussche, L. Goudenège and G. Vial, High order finite element calculations for the stochastic Cahn-Hilliard equation. Compétences Informatique Systèmes Langages Logiciels Langues Anglais Unix, Windows, Mac OS X C, C++, Pascal, Delphi, FORTRAN, C-Shell, L A TEX, Beamer Matlab, Scilab, Maple, R, Bureautique lu, écrit, parlé. Communications orales Groupes de travail internationaux : 11 juil Numerical Simulations about Large Deviation principle with weak self potential, Tokyo - Japon. Groupes de travail nationaux : 19 jan Séminaire triangulaire des universités du Grand Ouest, Université de Rennes mai 2009 Ateliers Mélina 2009, Dinan - France. Exposés dans des congrès nationaux : nov Doctoriales Bretagne 2008, Université de Brest. Récompensé par le prix du Jury mai 2009 Congrès SMAI, La Colle-sur-Loup (Communication orale en sessions parallèles).

4 Séminaires : mai 2008 mars 2009 octobre 2009 novembre 2009 décembre 2009 février 2010 Séminaire de l équipe de Processus Stochastiques de l IRMAR, Rennes. Séminaire des doctorants de l association Jacques Binet, Rennes. Séminaire de l équipe d Analyse Numérique de l IRMAR, Rennes. Séminaire LANDAU des doctorants de l IRMAR, Rennes. Séminaire des doctorants de l Université Pierre et Marie Curie, Paris VI. Séminaire de mathématiques appliquées de l Université de Nantes, Laboratoire Jean Leray, Nantes. février 2010 Séminaire des doctorants du MAP5 de l Université Paris Descartes, Paris V. février 2010 Exposé au groupe de travail : Probabilités, statistique, et applications de l Université de Marne-la-Vallée, Paris XII. Participation juillet 2007 École d été de probabilités de Saint Flour, Saint Flour mai 2008 Congrès CANUM, Saint Jean de Monts nov Conférence Jeunes Chercheurs en Europe, Université de Rennes 1. avril 2009 septembre 2009 Groupe de travail de l ARC HYBRID, Rennes. Groupe de travail MOAD, Fréjus mars 2010 Exposé aux journées DYNAMO : Dynamique Non-Lineaire, Asymptotique modelisation avril 2010 Participation au semestre (janvier-juillet) Stochastic Partial Differential Equations de l Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. 28 juin-2 juillet 2010 Exposé au Workshop : Stochastic Partial Differential Equations : Approximation, Asymptotics and Computation de l Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Enseignements Moniteur (64 h par an pendant trois ans) en mathématiques à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne, à l ENSAI, à l Université de Rennes 1. Préparation à l Agrégation Externe de mathématiques T.P. Matlab pour l option Calcul Scientifique, Encadrement de leçon avec Daniel Martin et Grégory Vial, Rédaction d un texte de modélisation sur la leçon Courbes et Surfaces, Exemple de leçon d analyse, Exemple de leçon de modélisation pour l option Calcul Scientifique. Niveau Licence 3 Section Mathématiques

5 T.D. F01 : Méthodes numériques de résolution des EDOs, pour les élèves de 1ère année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne, Cours accélérés - Compléments : Quelques résultats sur les pavages, Actions de groupes en géométrie, Fondements de la géométrie affine, Quelques idées de la géométrie projective, Introduction à la théorie des distributions. Section Mécatronique Cours et T.P. Outils Mathématiques pour la mécatronique, pour les élèves de 1ère année à l ENS Cachan - Antenne de Bretagne, T.P. d initiation à L A TEX. ENSAI T.D. Optimisation : Optimisation en analyse, T.P. Optimisation : Utilisation du logiciel R pour l optimisation. Rédaction de polycopiés L. Goudenège, M. Leroy-Lerêtre, G. Vial, Initiation à L A TEX et à la classe Beamer. Activités de vulgarisation Participation à l organisation de la fête de la science à Rennes. Stand de présentation Activités de vulgarisation des mathématiques dans les collèges et lycées de la région Ileet-Vilaine. Encadrement : Rozenn Texier-Picard. Détail de mes activités de recherche Motivations : L équation de Cahn-Hilliard déterministe et stochastique L équation de Cahn-Hilliard permet de modéliser les mélanges de fluides. Elle permet entre autres de modéliser des phénomènes physiques importants comme la décomposition spinodale, les états stationnaires et les comportements des interfaces. Le modèle complet présente des singularités de type logarithmique au niveau des bords du domaine physiquement admissible. Précisément, si on note u [ 1, 1] le ratio de concentration entre les deux fluides, l équation a la forme suivante : t u = 1 2 ( u + f(u) + η η + ) + ξ, sur Ω R d, u ν = 0 = ( u) ν, sur Ω, où ν est une normale extérieure au domaine, ξ représente le terme de bruit additif, et où les mesures η ± vérifient la condition de contact : (1 + u)dη = (1 u)dη + = 0. (2) Les simulations numériques doivent pouvoir rendre compte de ces phénomènes avec précision. De plus, avec l ajout d un terme stochastique : le bruit, on modélise les micro-fluctuations thermiques. (1)

6 C est l équation de Cahn-Hilliard-Cook. L étude théorique et numérique de cette équation pose de nombreux problèmes dont la résolution permet de mieux comprendre la structure de l équation. Modèles avec réflexion Le modèle de Cahn-Hilliard possède des singularités logarithmique au bords du domaine physiquement admissible [ 1, 1]. Plus exactement, on est amené à considérer dans l équation (1) la fonction ( ) 1 u f : u log. 1 + u En premier lieu, on considére des modèles avec une seule réflexion et des singularités logarithmiques log(u) ou u α pour α > 0. Pour cela, on démontre l existence de solutions pour des équations approchées Lipschitziennes et la convergence de ces solutions. L étude des solutions stationnaires et des mesures invariantes permet de montrer l éxistence et l unicité de solutions pour toute donnée initiale positive dans L 2 (Ω). Une formule d intégration par parties est nécessaire pour étudier les mesures de réflexion à travers leur correspondance avec les mesures de Revuz. Lorsque α 3, on démontre même que les mesures de réflexion sont identiquement nulles. Enfin on considère le modèle complet avec une double réflexion. Par des méthodes similaires, mais pour des équations approchées polynomiales, on démontre l existence et l unicité des solutions pour toute donnée initiale dans L 2 (Ω) à valeur dans [ 1, 1]. L étude fine des mesures invariantes permet de montrer des résultats d ergodicité et de mélange exponentiel. Simulations numériques déterministes Les simulations par une méthode d éléments finis de hauts degrés, rendues possibles par l utilisation de la librairie d éléments finis MELINA, permettent de montrer la pertinence du choix d éléments finis de hauts degrés. Pour le modèle déterministe, diiverses études ont été menées pour valider la méthode : Recherches d interfaces, calculs des énergies, comparaisons polynôme-logarithme étude en temps long. A travers l étude des états stationnaires, on a pu mettre en évidence les résultats théoriques récents sur les bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien. Ces calculs ont été réalisés sur de multiples domaines en dimension 1, en dimension 2 : carré, rectangle, cercle, ellipse, trapèze... et en dimension 3. Simulations numériques stochastiques L ajout d un bruit de type gaussien oblige la solution à sortir de l intervalle admissible [ 1, 1]. Les mesures de réflexion permettent de neutraliser cet effet. Les simulations numériques doivent donc pouvoir rendre compte de ces mesures de réflexion. De plus, la présence d un bruit permet à la solution de rejoindre les états stationnaires de plus faible énergie pour une donnée initiale quelconque. En outre, si le bruit est assez fort, on peut sortir des puits de potentiels de faible énergie pour rejoindre des puits d énergies plus élevées. Ces deux phénomènes sont impossibles lorsqu on considère le modèle déterministe. En particulier, on peut étudier les évolutions en temps long pour étudier les grandes déviations, ainsi que les comportements de la solution vis-à-vis de singularités. On retrouve en particulier les résultats théoriques pour l équation de la chaleur sur le nombre de contacts.

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