Étude d' une bobine en régime sinusoïdal forcé

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1 SP-lec-C6-problème pour s'entraîner PCSI Étude d' une bobine en régime sinusoïdal forcé Un générateur sinusoïdal alimente un circuit RLC constitué d un condensateur de capacité C.μF d une bobine réelle d inductance L et de résistance r inconnues, placés en série avec une résistance R48Ω. Le générateur est un générateur basse fréquence délivrant un signal sinusoïdal de pulsation : e cos( t). L'intensité dans le circuit est de la forme : i cos( t+φ i ), la tension aux bornes du condensateur : m cos( t+φ C ) et la tension aux bornes de la résistance u R U Rm cos( t+φ R ). Le montage est représenté sur la figure. Figure (L,r) u R R e ~ C Générateur i. Donner l expression des amplitudes complexes associées aux tensions e, u R et ainsi que celle associée à l'intensité i.. Préciser les expressions des impédances complexes de la bobine, du résistor R et du condensateur. 3. Préciser le comportement limite de ces différents composants en haute et basse fréquence. n déduire qualitativement le comportement des tensions et u R en haute et basse fréquences. 4. xprimer l'impédance Z du circuit sous la forme : Z R (+ j Q( )). Identifier R, et Q en fonction de, L, R, r et C. 5. Donner l expression théorique de l amplitude complexe I associée à l intensité du courant traversant le circuit en fonction de R,,Q, et. A 6. n déduire l'amplitude sous la forme : () +B ( ). Précise A et B en fonction de R, Q et. 7. Montrer que () passe par un maximum pour r. Préciser r et ax ). Calculer φ i ) et commenter le résultat obtenu. 8. On appelle bande passante l intervalle de pulsation Δ max min pour laquelle () ax. Montrer que : Δ Q 9. On donne ci-dessous les graphes de ( f ) et m ( f ) où f est la fréquence du générateur. L échelle de gauche est celle de m celle de droite est celle de. Identifier, en justifiant votre choix, les courbes () et ().

2 . Déduire de l'expression de I celle de l amplitude complexe associée à la tension aux bornes du condensateur, A' mettre sous la forme canonique : ( ) et identifier A' en fonction des données du problème. + j Q. n déduire l'amplitude m ( ) ainsi que φ C ( ) en fonction Q et.. Quelle remarque importante peut-on faire à propos de la tension aux bornes du condensateur? 3. Déterminer à partir de ces courbes : la tension du générateur, la fréquence propre f et le facteur de qualité Q du circuit, les limites de la bande passante et ax. 4. n déduire les valeurs de r et de L. Dans les questions qui suivent, R48Ω, C,μF, est modifiée et on utilise une bobine différente de la précédente caractérisée par les valeurs L' et r'. 5. Comment peut-on accéder expérimentalement à la mesure de i avec un oscilloscope? On réalise l expérience suivante sur le circuit. À l aide d un oscilloscope, on mesure la tension e (t )sur la voie et la tension U R aux bornes de la résistance R sur la voie. On fait varier la fréquence du générateur sinusoïdal et on constate que la voie passe par un maximum pour une fréquence f. 6. Interpréter la présence de ce maximum aux bornes de R. 7. Présenter sur un schéma les branchements de l'oscilloscope. Le générateur doit-il être à masse flottante? xpliquer.

3 On se place dorénavant à la fréquence f. On s arrange maintenant pour mesurer sur la voie la tension aux bornes du condensateur C en gardant e sur la voie. 8. Les deux oscillogrammes suivants ont été enregistrés : L un pour la voie aux bornes de C L autre pour la voie aux bornes de R. Déterminer le déphasage entre la voie et la voie pour chacun des oscillogrammes. Préciser, en justifiant votre choix, à quel composant correspond la voie de chacun des oscillogrammes. 9. n déduire la nouvelle valeur de et les valeurs L' et r' de la nouvelle bobine. 3

4 Solution U e ; m e j φ C ; U R U Rm e j φ R ; I e j φ i 3 Z L r+ jl ; Z R R ; Z C jc n basse fréquence : Z L r ; Z R R et Z C (interrupteur ouvert) donc u R (t )R i et (t ) e(t ). n haute fréquence : Z L (interrupteur ouvert); Z R R et Z C (fil) donc u R (t )R i et (t ). 4 Z(r+R)+ j(l C )(r+r)(+ j L R+r ( LC ))R (+ jq( )) Par identification : R R+r ; LC et Q L R+r R+r L C. 5 I Z, donc I R (+ jq( )) 6 A I R (+Q ( ) ) R (+Q ( ) ) (+B ( ) ). Par identification : A R et BQ. 7 8 Im est maximum quand son dénominateur est minimum, c'est à dire quand : r. On a alors ) R. I ) R φ i )arg (I )). A la résonance e et i sont en phase. ( max ) ( min ) R après résolution on obtient : min ( Q + + 4Q ) et R (+Q ( ) ) max et min vérifient l'équation : Q max ( Q + + 4Q ) d'où Δ Q. 9 Théoriquement on a vu que () on en déduit que : la courbe () correspond à m et la courbe () à. déduit I jc d'où U C j C R (+ jq( )) or Q L d'où R C R R C Q j Q (+ jq( )) ( ) + j Q par identification A'. on en ( ) Q j On en déduit mq et φ C π Si Q>> la tension aux bornes du condensateur peut devenir très grande pour! 4

5 La résonance aux bornes du condensateur n'a pas lieu en même temps que la résonance d'intensité. m ()5V, ( f )ax on en déduit : f,6 khz, m ( )Q 9V on en déduit 3 Q 9 5,8 I. max 9. 3 A. ( f max ) ( f min ) ax ,4. 3 A, on en déduit f min,4 khz et f max, khz. 4 ax R R+r On en déduit r R ax AN : r ,5 Ω 3. 4π f LC on en déduit L 4 π f C AN : L,99 H 4 π 6 6,. 5 Il suffit de visualiser la tension aux bornes de la résistance. 6 Sur la voir on visualise la résonance d'intensité pour f f. 7 Il faut connecter la masse du générateur à la résistance. La masse du générateur est la même que celle de l'oscillo, on n'a pas besoin d'un générateur à masse flottante. Voie e Figure ~ Générateur (L,r) Masse i R C u R Voie 8 Sur l'oscillogramme (a) la voie et la voie sont en phase, la voie correspond à u R. Sur l'oscillogramme (b) la voie est en avance de π par rapport à la voie, la voie correspond à. 9 D'après la voie,9 5,8 V. D'après la voie de l'oscillogramme (a) U Rmax,4 4,8V or U Rmax R ax R on en déduit r ' R R 48 5,9 48 Ω R+r ' U Rmax 4,8 max D'après la voie de l'oscillogramme (b) max Q L' π f d'où L'( R+r ') R+r ' π f. Pour faire l'application numérique il faut déterminer f. T 5,5,5 ms on en déduit T,5 ms d'où f,5. 8Hz 3 ainsi L'(48+) π 8 5,8,39 H 5

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