GCI Méthodes expérimentales. Chapitre 10 Éléments et analyse des systèmes électriques

Transcription

1 GCI Méthodes expérimentales Chapitre 10 Éléments et analyse des systèmes électriques Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 1 Contenu 10.1 Éléments d un circuit électrique Notions de base et définition Les types d éléments Sources de tension et de courant Éléments passifs 10.2 Lois de Kirchhoff Définitions topologiques d un circuit électrique Loi de Kirchhoff relative aux tensions Loi de Kirchhoff relative aux courants Diviseur de tension Diviseur de courant Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 2 1

2 Contenu 10.3 Théorèmes fondamentaux Introduction Théorème de Thévenin Théorème de Norton Équivalence entre Thévenin et Norton Transfert maximal de puissance Théorème de superposition 10.4 Analyse des circuits Méthode des mailles Méthode des noeuds Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Notions de base et définitions Différence de potentiel ou tension, E Se mesure par le travail nécessaire pour déplacer une charge unitaire d un point à l autre, en présence d un champ électrique Variation d énergie (W) par unité de charge (Q) dw E = dq Le Volt (Q) est la différence de potentiel entre 2 points lorsque le travail nécessaire pour déplacer une charge de 1 C (Coulomb: 6,24 x électrons) d un point à un autre est égal à 1 J (Joule) 1 J 1V = 1C Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 4 2

3 Notions de base et définitions Courant électrique, I Existe dans un conducteur chaque fois qu une charge Q se déplace d un point à un autre dans ce conducteur Il se définit comme la variation de charge par unité de temps I = dq dt Si la charge se déplace d une façon uniforme à raison de 1 C/s, le courant qui circule dans le conducteur est de 1 A (ampère) 1C 1 A = 1 s Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Notions de base et définitions Puissance électrique instantanée, p Variation d énergie par unité de temps Produit de la tension instantanée et du courant instantané dw dw dq pt () = = = et () it () dt dq dt On obtient la puissance électrique moyenne, P en intégrant la puissance instantanée T 1 p = et () it () dt T 0 En courant continu, la puissance P est égale à E. I L unité de la puissance est le watt (W) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 6 3

4 Notions de base et définitions L énergie, W correspond à l intégrale de la puissance pendant un temps donné L unité de l énergie est le joule (J) Convention de lettres W = p dt 1W On utilise les lettres minuscules e, i et p pour représenter des valeurs instantanées de tension, de courant ou de puissance Les lettres E et I représentent des valeurs continues (indépendantes du temps) ou efficaces de tension ou de courant La lettre P représente une valeur continue ou moyenne de puissance t 2 t1 1J = 1 s Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Les types d éléments Il existe deux types d éléments Un élément est passif lorsqu il ne peut pas fournir d énergie Résistance, inductance ou un condensateur non chargé Un élément est actif lorsqu il peut fournir de l énergie Source de tension ou source de courant Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 8 4

5 Sources de tension et de courant Source de tension idéale Une source de tension est dite idéale lorsqu elle fournit une tension constante à une charge variable Théoriquement, une source de tension idéale devrait fournir un courant infini si elle était court-circuitée La résistance de charge Rc est nulle Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Sources de tension et de courant Source de tension réelle Elle possède une résistance interne en série, appelée résistance de source, Rs La caractéristique tension-courant est une droite de pente négative: m= -Rs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 10 5

6 Sources de tension et de courant On représente schématiquement les sources de tension réelles comme les piles, accumulateurs, blocs d alimentation par une source idéale et une résistance de source Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Sources de tension et de courant Sources de courant idéale et réelle Une source de courant idéale peut fournir un courant constant quelle que soit la valeur de la charge Rc branchée à ses bornes Un représente les imperfections d une source de courant réelle par une résistance shunt (R sh ) placée en parallèle Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 12 6

7 Sources de tension et de courant La résistance shunt court-circuite une partie du courant débité par la source et destiné à la charge La résistance série d une source de tension réelle doit être la plus petite possible la résistance shunt d une source de courant réelle doit être la plus grande possible Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs Certains dissipent de l énergie Certains emmagasinent de l énergie pour la restituer par la suite (condensateur) Résistance Tous les éléments de la nature opposent une résistance au passage du courant électrique Ces éléments sont isolants, semi-conducteurs ou bons conducteurs selon leur degré de résistance Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 14 7

8 Éléments passifs La loi d Ohm relie le courant, la résistance et la tension E = R I Convention des signes du courant et de la tension pour une résistance Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs La résistance transforme l énergie électrique en chaleur (effet Joule). La puissance dissipée, P est: 2 2 P = E I = R I = E R Résistances en série et en parallèles Elles sont en série lorsqu un même courant les traverse Elles sont en parallèle lorsqu elles ont la même tension à leurs bornes Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 16 8

9 Éléments passifs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs La résistance équivalente Req de N résistances en série est: Req = R1 + R RN La résistance équivalente Req de N résistances en parallèle est: = R R R R eq 1 2 L énergie dissipée, WR dans une résistance durant une période t: t1 t1 W = P () t dt = etit ()() dt R R t2 t2 N Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 18 9

10 Éléments passifs Condensateur Cet élément emmagasine de l énergie sous forme de champ électrique On peut construire un condensateur élémentaire en réunissant deux plaques conductrices séparées par un isolant de permitivité, e L unité de capacité d un condensateur est le farad, F Dans le cas de deux plaques de même surface: A C = e A= la surface de laplaque d d = la distance entre les deux plaques Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs La relation tension-courant pour un condensateur est: dec ic = C dt Convention de signe du courant et de la tension pour un condensateur Un courant circule dans le condensateur seulement lorsque la tension à ses bornes varie Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 20 10

11 Éléments passifs On peut remanier l expression de la relation tensioncourant du condensateur de façon à mettre en évidence la tension e c t1 1 ec() t = ic() t dt + et ( 1) C t 2 e(t 1 ): La tension aux bornes du condensateur au début de l intervalle considéré Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs Énergie emmagasinée ou fournie par un condensateur Un condensateur ne dissipe pas d énergie comme le fait une résistance, il reçoit ou restitue de l énergie provenant d une source La quantité d énergie qu un condensateur peut emmagasiner à un temps t est: 1 W () = 2 C t C ec() t 2 Si le courant et la tension du condensateur sont de même signe, le condensateur reçoit de l énergie, si les signes sont contraires, le condensateur fournit de l énergie Un condensateur «s oppose» aux variations de tension Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 22 11

12 Éléments passifs Condensateurs en parallèle et condensateurs en série La capacité équivalente de N capacités en parallèle s obtient en additionnant les valeur des N capacités: Céq = C1 + C C La capacité équivalente de N capacités en série s obtient de la même façon que la résistance équivalente de N résistances en parallèles: = C C C C éq 1 2 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 23 N N Éléments passifs Inductance Une inductance est un élément qui emmagasine de l énergie sous forme de champ magnétique L unité de mesure de l inductance est le henry, H L inductance, L d un solénoïde de longueur l et de surface A constitué d un nombre N de tours de fil enroulé autour d un noyau de perméabilité µ est donnée par: 2 L = m N A l Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 24 12

13 Éléments passifs La relation tension-courant pour une inductance s exprime par: dil el = L dt Convention de signe du courant et de la tension pour une inductance Une tension apparaît aux bornes d une inductance seulement lors d une variation de courant dans celleci Une inductance «s oppose» aux variations de courant Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs On peut remanier l expression de la relation tensioncourant d une inductance de façon à mettre la courant en évidence t 2 1 il() t = el() t dt + it ( 1) L t1 Énergie emmagasinée ou fournie par une inductance 1 W () = 2 L t L IL() t 2 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 26 13

14 Éléments passifs Inductances en série et inductances en parallèle Elles s additionnent lorsqu elles sont en série Lorsqu elles sont en parallèles, on obtient l inductance équivalente à l aide de l expression suivante: = L L L L éq 1 2 N Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 28 14

15 Éléments passifs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 30 15

16 Éléments passifs Notes sur les sources de tension Une source de tension peut fournir ou absorber de la puissance en fonction du sens du courant qui la traverse Si le courant la traverse en circulant de la borne négative vers la borne positive, alors la source fournit de la puissance Si le courant la traverse en circulant de la borne positive vers la borne négative alors la source absorbe de la puissance Comme dans le cas d une batterie qu on recharge! Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Éléments passifs Dans le cas de circuits simples, on peut souvent déterminer, sans calcul, si une source absorbe ou fournit de la puissance Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 32 16

17 Éléments passifs Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Lois de Kirchoff Deux lois très importantes pour l analyse des circuits ont été établies par le physicien allemand Gustave Kirchoff Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 34 17

18 Définitions topologiques d un circuit électrique Le nœud Un point de connexion reliant deux ou plusieurs éléments Un nœud principal relie au moins trois éléments Une branche Une portion du circuit comprise entre 2 nœuds et contenant au moins un élément Une boucle Un ensemble de branches formant un chemin fermé sur luimême Une maille Une boucle simple qui n est pas traversée par d autres branches Le circuit précédent comporte: 5 noeuds, 8 branches, 13 boucles et 4 mailles Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Loi de Kirchhoff relative aux tensions La loi de Kirchhoff relative aux tension est aussi appelée loi des boucles La somme algébrique de toutes les tensions aux bornes des éléments d une boucle est nulle Dans le cas particulier de circuits composés de sources de tension, de sources de courant et de résistances La somme algébrique des tensions des sources est égale à la somme des chutes de tension dans les résistances Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 36 18

19 Loi de Kirchhoff relative aux tensions Exemple 1 Dans le circuit suivant, l équation des tensions dans la boucle est: E R I R I E = 0 ou E E = R I + R I Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Loi de Kirchhoff relative aux tensions Exemple 2 On peut établir un système de deux équations à deux inconnues (I 1 et I 2 ) Maille de gauche + E R I + E R ( I I ) = Maille de droite R ( I I ) E ( R + R ) I + E = Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 38 19

20 Loi de Kirchhoff relative aux courants La loi de Kirchhoff relative aux courants est aussi appelée loi des nœuds La somme des courants qui entrent dans un nœud doit être égale à la somme des courants qui en sortent Au nœud N, on a : IA = IB + IC Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Loi de Kirchhoff relative aux courants Exemple Au nœud 1: I I I I = 0 S S I = I + I + I I E E E E E S = R R 2 R3 Au nœud 2: I + I I = I + I = I E1 E 2 E1 E 2 E 2 + = R R R Le sens des courants I 1, I 2, I 3 et I 4 est arbtitraire On obtient les valeurs de E 1 et E 2 en résolvant ces deux équations Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 40 20

21 Loi de Kirchhoff relative aux courants Exemple d application des lois de Kirchhoff Determiner la tension aux bornes de R A, le courant dans R B, le courant fourni par la source de 10V et la tension aux bornes de la source de 10A Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Loi de Kirchhoff relative aux courants Tension aux bornes de R A E RA = 10 V La résistance est directement raccordée aux bornes de la source de 10V! Le courant dans R B I RB = 10 A Le courant de la source de 10 A traverse la résistance R B! Le courant dans la source de 10 V I1 = 10V RA + 10A= 20 A La tension aux bornes de la source de 10 A E2 = 10V RB 10A = 0V Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 42 21

22 Diviseur de tension Des résistances en série placées aux bornes d une source de tension forment un diviseur de tension Considérons un circuit électrique comprenant trois résistances en série et une source de tension D après la loi des boucles, on a que: E = E + E + E S Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Diviseur de tension Pour obtenir les tensions aux bornes des résistances Déterminer le courant circulant dans le circuit Appliquer la loi d Ohm à chaque résistance Le courant est donné par: ES ES I = = Réq R + R + R Les tensions aux bornes: RE = = = S 1 E1 R1 I ES R1+ R2 + R3 R1+ R2 + R3 RE = = = 2 S 2 E2 R2 I ES R1+ R2 + R3 R1+ R2 + R3 RE 3 S 3 E3 = R3 I = = ES R1+ R2 + R3 R1+ R2 + R3 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 44 R R R 22

23 Diviseur de courant Des résistances en parallèles placées aux bornes d une source de courant constituent un diviseur de courant Considérons un circuit composé de 2 résistances en parallèles Puisque R 1 et R 2 sont en parallèles, elles ont la même tension à leurs bornes: E = R1I1 = RI 2 2 = RéqIS Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Diviseur de courant La résistance équivalente est donnée par: Donc: R éq On trouve alors que: RR 1 2 = R + R 1 2 RR 1 2 E = RI 1 1 = RI 2 2 = IS R1+ R2 I I 1 2 = I s = I s R2 R + R 1 2 R1 R + R 1 2 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 46 23

24 10.3 Théorèmes fondamentaux Introduction Dans cette section, on présente trois théorèmes qui permettent de simplifier l analyse des circuits électriques Permettent de remplacer une partie ou la totalité du circuit par un circuit équivalent composé d une résistance et d une source de courant ou de tension Permet l étude d un circuit alimenté par plusieurs sources Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Thévenin Le théorème de Thévenin Tout circuit contenant des éléments linéaires actifs ou passifs et compris entre deux bornes peut être remplacé par une source de tension dite de Thévenin (E th ), en série avec une résistance dite de Thévenin (R th ) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 48 24

25 Théorème de Thévenin Procédure pour obtenir l équivalent de Thévenin Tracer le circuit de Thévenin Mesurer ou claculer la tension en circuit ouvert entre les bornes A et B du circuit C est la tension de Thévenin (E th ) Attention à la polarité de la source Après avoir annulé toutes les sources du circuit, mesurer ou calculer la résistance équivalente aux bornes A et B du circuit C est la résistance de Thévenin (R th ) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Thévenin Exemple À l aide du théorème de Thévenin, calculer la tension aux bornes de la résistance R c ainsi que la puissance dissipée par cette dernière Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 50 25

26 Théorème de Thévenin Première étape Enlever les éléments qui ne doivent pas faire partie du circuit de Thévenin (ici la résistance R c ) et qui seront remis en place lorsqu on aura déterminé l équivalent Thévenin Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Thévenin Les résistances de 3 Ω et de 7 Ω n ont qu un seule borne raccordée Aucun courant n y circule La tension à la borne flottante est la même que celle à la borne racordée On peut donc négliger ces 2 résistances pour l instant La tension entre les points A et B est la même que celle entre les bornes de la résistance de 9 Ω Les résistances de 1 Ω et de 9 Ω forment un diviseur de tension On trouve alors la tension de Thévenin E th = 4,5 V Eth 9 = 5 = 4,5 V 1+ 9 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 52 26

27 Théorème de Thévenin Deuxième étape On détermine la résistance de Thévenin en remplaçant la source de tension par un court-circuit Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Thévenin Les résistances de 3 Ω et de 7 Ω et les résistances de 1 Ω et de 9 Ω sont en parallèles En les regroupant, on obtient deux résistances en série de 2,1 Ω et 0,9 Ω On peut ensuite les remplacer par une seule résistance de 3 Ω C est la résistance de Thévenin R th = 3 W Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 54 27

28 Théorème de Thévenin Le circuit de Thévenin est maintenant entièrement défini Si on raccorde la résistance de charge de 6 W, on peut déterminer la tension, le courant et la puissance de la charge Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Thévenin Calcul de la tension aux bornes de la résistance R c Le circuit est un diviseur de tension 6 E = 4,5 = 3V 3+ 6 Calcul de la puissance dissipée par R c P 2 E 9 = = = 1,5 V R 6 c Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 56 28

29 Théorème de Norton Le théorème de Norton Tout circuit contenant des éléments linéaires actifs ou passifs et compris entre deux bornes peut être remplacé par une source de courant dite de Norton (I N ) en parallèle avec une résistance dite de Norton (R N ) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Norton Procédure pour obtenir l équivalent de Norton Tracer le circuit de Norton Mesurer ou calculer le courant circulant dans le court-circuit obtenu en joignant les bornes A et B du circuit C est le courant de Norton (I N ) Attention au sens de la source Après avoir annulé toutes les sources du circuit, mesurer ou calculer la résistance équivalente aux bornes A et B du circuit C est la résistance de Norton (R N ) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 58 29

30 Théorème de Norton Exemple À l aide du théorème de Norton, déterminer le courant et la puissance dans la résistance de 3 W en exprimant le reste du circuit, compris entre les points A et B, par son équivalent de Norton Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Norton Première étape Enlever les éléments qui ne doivent pas faire partie du circuit de Norton (ici la résistance de 3 Ω) et relier les bornes A et B par un court-circuit Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 60 30

31 Théorème de Norton La résistance de 10 Ω est en parallèle avec un court-circuit Elle n influence pas la répartition du courant On peut l ingnorer On peut remplacer les résistances de 4,7 Ω et de 3,3 Ω par une seule de 8 Ω Les résistances 2Ω de 2 Ω et IN = (8 A) = 1,6 A de 8 Ω qui 2Ω+ restent 8Ω forment un diviseur de courant Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de Norton Deuxième étape On détermine la résistance de Norton en remplaçant la source de courant de 8 A par ce qui l annule, c est à dire un circuit ouvert On procède à la simplification du circuit On trouve la résistance de Norton R N = 5 W Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 62 31

32 Théorème de Norton On transpose le courant de Norton (I N ) et la résistance de Norton (R N ) dans le circuit de Norton et on raccorde la résistance de 3 Ω Le courant dans la résistance de 3 Ω (diviseur de courant) 5 I = 1,6 = 1,0 A 5+ 3 La puissance dans la résistance de 3 Ω 2 2 P = R I = 3 1,0 = 3W Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Équivalence entre Thévenin et Norton Des relations simples permettent de transformer un circuit de Thévenin en un circuit de Norton et vice versa Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 64 32

33 Équivalence entre Thévenin et Norton On les obtient en appliquant le théorème de Norton à un circuit de Thévenin I N = E R th th On obtient la résistance de Norton en remplaçant, par un court circuit, la source de tension du circuit de Thévenin R N = R th Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Équivalence entre Thévenin et Norton On peut passer à volonté d un circuit équivalent de Thévenin à son équivalent de Norton ou vice versa On peut remplacer en tout temps, dans un circuit, une résistance reliée en série à une source de tension par une résistance reliée en parallèle à une source de courant ou l inverse R N E = Rth = I th N Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 66 33

34 Transfert maximal de puissance Puissance dissipée dans une résistance Nulle lorsque cette résistance est égale à zéro Nulle lorsque cette résistance tend vers l infini Entre ces deux extrêmes, la puissance dissipée dans une résistance R C est non nulle et atteint un maximum Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Transfert maximal de puissance Puisque et que on obtient P = R I Eth I = R + R th C C 2 2 ( Eth) R P = ( R + R ) th C 2 C On peut obtenir la valeur de la résistance R C pour laquelle la puissance est maximale en posant dp/dr C = 0 dp 1 2R dr R R R R 2 C = ( Eth ) = C ( th + C) ( th + C) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 68 34

35 Transfert maximal de puissance En résolvant, on trouve: Le transfert maximal de puissance (puissance max dissipée dans R C ) survient lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance équivalente du circuit alimentant la charge 1 2 R = ( R R ) ( R R ) C 2 3 th + C th + C 2 R = R + R R C C th C = R th P ( E ) R ( E ) 2 2 th th th max = = 2 ( Rth + Rth) 4 Rth Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de superposition Très utile pour résoudre un circuit linéaire contenant plusieurs sources d énergie Le courant et la tension relatifs à un élément quelconque d un circuit linéaire à plusieurs sources d énergie sont les sommes algébriques des effets produits par chaque source agissant séparéement Pour connaître les effets d une source agissant seule: Annuler les autres sources du circuit Analyser le circuit normalement On répète le processus autant de fois qu il y a de sources Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 70 35

36 Théorème de superposition On obtient l effet global en calculant la somme des effets particuliers pour chacune des sources E effet global = E effet1 + E effet2 + I effet global = I effet1 + I effet2 + Ce théorème ne peut pas être utilisé pour calculer la puissance dissipée dans une résistance (non linéaire) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de superposition Exemple Déterminer la tension aux bornes de la résistance de 7 W à l aide du théorème de superposition Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 72 36

37 Théorème de superposition Pour connaître E 1 due à la source de tension de 16 V, il faut éliminer la source de courant de 2 A en la remplaçant par un circuit ouvert Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de superposition Les résistances de 1 Ω, de 2 Ω et de 4 Ω peuvent être négligées On peut trouver E 1 (diviseur de tension) 7 E1 = 16V Ω = 11,2 V 7Ω+ 3Ω Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 74 37

38 Théorème de superposition Pour connaître E 2, due à la source de courant de 2 A, il faut remplacer la source de tension par un courtcircuit Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Théorème de superposition Les résistances de 3 Ω et de 7 Ω forment un diviseur du courant I = 2 A 3 I2 = 2A Ω = 0,6 A 3Ω+ 7Ω On trouve la tension E 2 E = (7 Ω ) I = 7 0,6 = 4,2 V 2 2 On trouve finalement: E = E1+ E2 = 11,2 4,2= 7,0 V 7,0 V I = = 1,0 A 7Ω Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 76 38

39 10.4 Analyse des circuits Les théorèmes de Thévenin et de Norton sont utiles pour analyser un élément ou un groupe d éléments car ils permettent de synthétiser le reste du circuit sous forme d une source de tension ou de courant et d une résistance Cependant, lorsqu on souhaite calculer toutes les tensions et tous les courants dans un circuit, il est laborieux de ce servir de ces théorèmes À partir des lois de Kirchhoff, on peut développer deux méthodes générales pour l analyse des circuits plus complexes Méthode des mailles Méthode des noeuds Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles Une maille est une boucle simple Elle ne contient aucune autre boucle L application de la loi des mailles permet de caractériser chaque boucle par un courant circulatoire particulier L ensemble des courants circulatoires forme un système d inconnues La résolution de ce système de N équations à N courants circulatoires permet de calculer le courant circulant dans chaque branche du circuit Application du théorème de superposition Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 78 39

40 Méthode des mailles Exemple (circuit avec des résistances et des sources de tension uniquement) Calculer les courants à travers chaque résistance du circuit Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles On suppose un sens de courant (normalement horaire) dans chacune des trois mailles I 1, I 2 et I 3 L application de la loi des boucles à ces trois mailles permet d écrire un système de trois équations à trois inconnues: (2 Ω)( I I ) + (3 Ω)( I I ) = 12 V (2 Ω)( I I ) + (1 Ω )( I ) + (4 Ω)( I I ) = (3 Ω)( I I ) + (4 Ω)( I I ) + (5 Ω )( I ) = 6V Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 80 40

41 Méthode des mailles En résolvant, on trouve: I I I = 3,55 A = 1,52 A = 0,90 A On peut trouver les courants de branche dans chaque résistance à l aide du théorème de superposition Courant dans la résistance de 1 Ω = I 2 = 1,52 A Courant dans la résistance de 3 Ω = (I 1 -I 3 ) = 2,65 A Courant dans la résistance de 4 Ω = (I 2 -I 3 ) = 0,62 A Quand on connaît les courants, on peut ensuite déterminer les différentes tensions Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles Pour pouvoir utiliser la méthodes des mailles, le circuit doit être planaire Si le circuit est non planaire, les équations décrivant les courants circulatoires ne sont pas indépendantes Un circuit est planaire s il peut être dessiné dans un plan sans que des branches indépendantes ne se touchent Circuit non planaire Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 82 41

42 Méthode des mailles Ce circuit apparaît non planaire à première vue Il peut cependant être redessiné sous forme planaire et résolu par la méthode des mailles Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles Application de la loi des mailles à des circuits contenant des sources de courant Lors de l application de la loi des boucles aux mailles d un circuit, on doit tenir compte des tensions aux bornes de chaque élément La tension aux bornes d une source de courant réelle peut prendre n importe quelle valeur Il faut convertir toutes les sources de courant réelles en sources de tension réelles On utilise alors: R série = R sh sh E = R I Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 84 42

43 Méthode des mailles Exemple (circuit contenant des sources de courant) Avant d appliquer la méthode des mailles, on doit convertir en sources de tension toutes les sources de courant qu il est possible de convertir Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles On ne peut convertir la source de 1 A car elle ne possède pas de R sh. On désigne alors par E x la tension inconnue aux bornes de cette source Attention à la polarité des sources de tension équivalentes! Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 86 43

44 Méthode des mailles Selon la loi des boucles, on peut poser: (1 Ω )( I ) + (5 Ω)( I I ) = 6V + 10V E (1 Ω )( I ) + (3 Ω)( I I ) = 3V + E (2 Ω )( I ) + (5 Ω)( I I ) + (3 Ω)( I I ) = 10V X X Si on isole E x dans la 1 ere équation et si on le remplace dans la 2 e, les deux dernières équations deviennent: 6I + 4I 8I = I 3I + 10I = Notez que dans la branche centrale on doit avoir: 1A= I I 2 1 I = I + 1A 2 1 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles Si on remplace I 2 par (I 1 +1) dans les deux équations précédentes on obtient: 10I 8I = I + 10I = Et on trouve: I I = 0,944A = 1,944 A I = 0,056 A Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 88 44

45 Méthode des mailles On peut utiliser la méthode des mailles avec l approche matricielle Pour un circuit à N mailles et à N courants circulatoires on obtient: + R11 R12... R1 N I1 E11 R12 R22... R 2N I 2 E + 22 = Où: RN1 RN RNN IN ENN R ii = somme des résistances de la maille i R ij = somme des résistances communes aux mailles i et j (R ji =R ij ) E ii = somme algébrique des sources de tension de la maille i La valeur d une source de tension est positive si elle produit un courant dans le sens du courant circulatoire et négativement autrement Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des mailles La forme matricielle fournit un moyen rapide de calculer les courants circulatoires Exemple Expression matricielle: I I = I 3 20 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 90 45

46 Méthode des mailles Étapes à suivre pour la méthode des mailles Vérifier que la circuit est planaire Transformer toutes les sources de courant ayant une R sh en parallèle en sources de tension ayant une R s en série. Dans le cas d une source de courant idéale, poser la tension aux bornes comme étant une tension inconnue E X Définir un courant circulatoire dans chaque maille suivant le sens horaire Appliquer la loi des boucles à chaque maille N équations à N inconnues Équations matricielles de dimension N x N Déduire les courants de branche par superposition des courants circulatoires À partir des courants de branches, calculer les tensions aux nœuds Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des noeuds En appliquant la loi de Kirchhoff relative aux courants à chaque nœud principal d un circuit, on peut déterminer les courants et les tensions de tous les éléments du circuit. Un nœud principal est un point de connexion où se raccordent au moins trois éléments Après avoir identifié les N nœuds principaux, on assigne à chacun d eux une tension E 1, E 2,, E N On doit désigner l un d entre eux comme nœud de référence Habituellement, le nœud relié à la masse est choisi comme nœud de référence On obtient un système de N-1 équations à N-1 inconnues (N = nb de nœuds principaux) On doit transformer toutes les sources réelles de tension en sources réelles de courant La valeur des éléments résistifs doit être exprimée en siemens (conductance) plutôt qu en ohms (siemens = 1 / ohms) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 92 46

47 Méthode des noeuds Exemple Ce circuit comporte 3 nœuds principaux Nœud de référence Nœud E 1 Nœud E 2 Il faut convertir les sources tension en sources de courant Remplacer les résistances par des conductances Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des noeuds Le circuit comporte deux nœuds principaux et deux tensions inconnues Deux équations - deux inconnues L analyse des courants aux nœuds principaux donne: ( E 0)(13S+ 14 S) + ( E E )(16 S) = 5A ( E 0)(1S + 12 S) + ( E E )(16 S) = 4A On trouve: E = 6,3V 1 E = 1,77V 2 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 94 47

48 Méthode des noeuds I 1 = (E E 1 ) / 4 = ( ,3 ) / 4 = 3,4 A (part de E 0 ) I 2 = (E 0 - E 1 ) / 3 = (0-6,3) / 3 = - 2,1 A (arrive vers E 0 ) I 3 = (E 1 - E 2 ) / 6 = (6,3 - (-1,77)) / 6 = 1,4 A (part de E 1 ) I 4 = (E 0 - E 2 ) / 2 = (0-8 - (-1,77)) / 2 = - 3,1 A (arrive vers E 0 ) I 5 = (E 0 - E 2 ) / 1 = (0 - (-1,77)) / 1 = 1,8 A (part de E 0 ) Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des noeuds On peut utiliser la méthode des nœuds avec l approche matricielle L équation matricielle comprend une matrice des conductances de dimensions (N-1) x (N-1) où N est le nombre de nœuds principaux: + G11 G12... G1 N E1 I11 G12 G22... G 2N E 2 I + 22 = Où: GN1 GN GNN EN INN G ii = somme des conductances au nœud i G ij = somme des conductances communes aux nœuds i et j (G ji =G ij ) I ii = somme algébrique des sources de courant reliées au nœud i La valeur d une source de courant est positive si le courant circule de la source vers le nœud Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 96 48

49 Méthode des noeuds La méthode des nœuds est un outil plus puissant que la méthode des mailles Elle permet de résoudre les circuits non planaires Exemple On identifie 4 nœuds principaux et un nœud de référence Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des noeuds On obtient le système matriciel suivant: E E 2 3 = E E 3 4 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques 98 49

50 Méthode des noeuds Étapes à suivre pour la méthode des nœuds Transformer toutes les sources de tension ayant une R s en série en sources de courant ayant une R sh en parallèle. Dans le cas d une source de tension idéale, poser le courant égal à I X Choisir un nœud de référence et définir la tension à chaque nœud principal par rapport à cette référence Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud principal N-1 équations à N-1 inconnues Équations matricielles de dimension (N-1) x (N-1) Déduire les tensions aux bornes d un élément quelconque en soustrayant les tensions des deux nœuds principaux auxquels l élément est raccordé Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des nœuds Exemple synthèse Résoudre le circuit suivant en posant les équations matricielles correspondant à: La méthode des nœuds La méthode des mailles Vérifier la concordance des résultats Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques

51 Méthode des nœuds Méthode des nœuds G1+ G2 + G3 G2 G3 E1 IA IC G G + G + G G E = I B G3 G4 G3 + G4 + G 6 E 3 I C E E = E Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des nœuds Sous forme abrégée, cette équation peut s écrire: [ G][ E] = [ I] Donc: 1 [ E] G [ I] = Où: 0,179 0,109 0,134 1 G 0,109 0,185 0,116 = 0,134 0,116 0,252 On trouve: E E = 2,02 V = 2,93 V E = 3,13 V Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques

52 Méthode des nœuds Méthode des mailles Toutes les sources de courant doivent devenir des sources de tension Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques Méthode des nœuds I I = I 3 2 [ R][ I] = [ E] [ I] R 1 [ E] = 1,39 0,401 0,547 1 R 0,401 0,748 0,474 = 0,547 0,474 1,39 I = 0,073 A I = 3,14 A I = 3,55 A Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques

53 Méthode des nœuds Vérifions la concordance des 2 méthodes Courant circulant dans R 2 I = ( E E ) R = (2,02 2,93) 0,25= 3,64 A [ E E ] R I = I I = 0,073 3,55= 3,64 Aantihoraire [ ] R2 1 3 Courant circulant dans R 4 I = ( E E ) R = (2,93 3,14) 0,5 = 0,42 AE [ E ] R I = I I = 3,14 3,55= 0,42 A[ antihoraire] R Courant circulant dans R 6 I = E E R = (0 3,14) 1= 3,14 AE [ E ] R I = I = 3,14 Ahoraire [ ] R6 2 Automne 2001 GCI Éléments et analyse des systèmes électriques