Interférences lumineuses

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1 1 Interférences lumineuses 1) Frange achromatique: F 1 et F 2 sont deux fentes d Young très fines, distantes de a, éclairées sous incidence normale par une source ponctuelle de longueur d onde o, placée au foyer objet d une lentille F convergente on observe les interférences sur 1 un placé dans le plan focal image d une lentille L de distance focale f. 1) Décrire la figure d interférences F 2 observée et calculer l interfrange. On donne F 1 F 2 = a = 1 mm ; f = 50 cm ; o = 600 nm 2) Une lame de verre d épaisseur e = 0,01mm et d indice n = 1,500 est placée avant F 1. Déterminer la nouvelle position de la frange centrale. De combien d interfranges s est-elle déplacée? 3) On remplace la source monochromatique par une source de lumière blanche L indice du verre varie suivant la loi de Cauchy : n( o ) = A + B o 2 avec A = 1,489 et B = 0,004 μm 2. On appelle frange achromatique celle pour laquelle Δφ = 0 pour om = 600 nm. Déterminer o la position de la frange achromatique. Donner en interfrange, l écart entre la frange achromatique et la frange centrale trouvée à la question précédente. 4) Pour mesurer l épaisseur e d une lame à face parallèles d indice n, l écart sur l entre les positions de l unique frange blanche avant et après introduction de la lame, quelle erreur commet-on sur la mesure de e si on considère n = 1,500 indépendamment de la longueur d onde? 2) Mesure de l indice de l air : Une source ponctuelle monochromatique = 589 nm est placée au foyer objet d une lentille convergente. L est placé dans le plan focal image d une deuxième lentille convergente de longueur d onde f. Deux tubes T 1 et T 2 de même longueur l = 20 cm sont placés devant des trous d Young distants de a. Lorsque les deux tubes sont remplis d air, le montage est symétrique et on observe la frange brillante d ordre 0 au centre de l. T 2 étant toujours rempli d air, on fait progressivement le vide dans T 1. Expliquer pourquoi les franges défilent sur l. Dans quel sens? Pendant le pompage, 98 franges brillantes défilent en F et lorsque le vide est établi, on observe en F une frange sombre. En déduire l indice de l air. 3) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : T 1 T 2 f f

2 2 Une lentille mince convergente précédée de deux trous d Young T 1 et T 2 distants de d, vise les deux composantes de même luminosité d une étoile double E 1 et E 2 dans les directions α et α + Δα. On observe la figure d interférences dans le plan focale image de la lentille convergente. T 1 1) Monter qu en faisant varier d, on α peut mesurer Δα de façon précise. E 1 2) Si la valeur maximale de d est T 2 30 cm et la radiation utilisée d'une longueur d onde = 500 nm, calculer en seconde E 2 f d arc la valeur minimale de Δα mesurable. 4) Interférences avec deux miroirs parallèles : On considère le montage représenté ci-contre. M 1 et M 2 sont des miroirs plans distants de 2L. S et S sont des sources ponctuelles D monochromatiques, distantes de 2a, de même miroir1 longueur d onde et de même intensité. x L opaque E supprime la lumière S directe, les rayons lumineux issus des sources se réfléchissent forcément sur un des deux miroirs 2L 2a Déterminer l intensité lumineuse I(x) S sur l, ainsi que le contraste des franges. miroir 2 5) Lever d une étoile : Un détecteur d ondes radio muni d un filtre sélectionnant la longueur d onde = 21 cm est placé près d un lac à H = 0,5 m au-dessus de la surface de l eau. Une étoile se lève lentement à l horizon. Le détecteur indique des maxima et des minima successifs d intensité lumineuse. À quel angle θ au-dessus de l horizon l étoile est-elle située lorsque le premier maximum est détecté? La réflexion sur l eau d un rayon issu de l air entraîne un déphasage de π. 6) Biprisme de Fresnel : Une source ponctuelle S o est placée au foyer objet de la lentille convergente. Il s'agit d'une source supposée monochromatique (longueur d'onde dans le vide ). Le biprisme présente un angle α égal à 10 d'arc. Qu'observe-t-on sur l' E placé à une S o = F α n O distance D de O. Commenter les résultats. f D 7) Demi-lentilles de Billet : On coupe en deux par un plan diamétral une lentille convergente de distance focale f = 0,5 m et de rayon d ouverture R = 2 cm. On écarte les deux demi-lentilles obtenues symétriquement de e = 1,2 mm perpendiculairement à l axe de révolution initial de la lentille unique. Sur cet axe, à une distance d = 1 m en avant de la position initiale du centre optique de la lentille unique, on place une fente source infiniment fine Sémettant une lumière de longueur d onde = 550 nm.

3 3 d D S O 1 e/2 O 2 1) Déterminer les positions des images S 1 et S 2 de S à travers les demi-lentilles. 2) Expliquer l existence de franges d interférences sur un (E) perpendiculaire à l axe de révolution. 3) Déterminer la distance minimale D des demi-lentilles à l pour laquelle il y a interférences. 4) L est placé à D = 2 m des demi-lentilles. Calculer l interfrange, la largeur du champ d interférences et le nombre de franges brillantes. 8) Une expérience de TP : 1) Un élève travaille sur un interféromètre de Michelson éclairer par une source étendue monochromatique de longueur d onde = 546 nm; en manipulant une des vis de l appareil il observe la succession d images ci-contre suivantes sur un : Déterminer le réglage de l interféromètre ; comment l élève a-t-il pu obtenir ces figures? Quelle vis a-t-il manipulée et dans quel sens. Argumenter les réponses. 2) On se place dans la situation du deuxième : l a une largeur de 10 cm et se situe à 1 m d une lentille convergente. Quelle est l épaisseur e entre les deux miroirs? Donner un encadrement. 3) On suppose que la valeur de e correspond à la plus grande valeur de l encadrement précédent. On diminue la valeur de e. Calculer la valeur e de e pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon r 1 du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de l anneau qui a disparu. 9) Anneaux d égale inclinaison : Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d air. Il est éclairé par une lampe au mercure devant laquelle on a placé un diaphragme largement ouvert et un filtre interférentiel isolant la raie verte de longueur d onde o = 546,1nm. 1) Où doit-on placer l pour observer des anneaux bien contrastés? 2) La distance entre les miroirs est e = 1,4 mm et la lentille de projection a une distance focale image f = 1m. Déterminer l ordre d interférence p o au centre de la figure. Calculer les rayons r 1 et r 2 des deux premiers anneaux brillants. 3) Cherchant à atteindre le contact optique, on diminue la valeur de e jusqu à voir sur l une tache de diamètre égal à 10 cm dont l éclairement, maximal au centre, est uniforme à 10% près. Quelle est alors la limite supérieure pour la valeur de e?

4 4 10) Etude d une figure d interférences : On dispose d un Michelson réglé en coin d air. Ses miroirs sont circulaires de diamètre 20 mm. On l éclaire à l aide d une lampe à vapeur de sodium. On suppose qu il s agit d une onde monochromatique de longueur d onde = 589 nm. On projette l image sur un à l aide d une lentille. L est placé à 1,25 m des miroirs. 1) Parmi ces deux figures d interférences, laquelle obtient-on? On précise que sur l l image des miroirs fait 8 cm. 2) Quel type de lentille est utilisé? Déterminer sa position et sa focale. 3) Calculer l angle α du coin d air. 4) On suppose la présence d une bosse sur l un des miroirs. Elle est de 8 mm de diamètre et d épaisseur maximale. Détailler son influence sur la figure d interférences. 4 5) L expérimentateur prend son briquet et envoie du gaz devant l un des miroirs. Que serait-il pertinent de mesurer pour obtenir l indice du gaz? 11) Franges d égale épaisseur : Un interféromètre de Michelson est réglé pour observer les franges du coin d air. Il est éclairé par une source étendue à l infini. La figure d interférences est projetée sur un à l aide d une lentille de distance focale f = 20 cm; la distance entre la lentille et l est D = 1,30m. La lumière est monochromatique de longueur d onde o = 546,1 nm. Les miroirs ont un diamètre d = 2cm. On joue sur l orientation des miroirs pour élargir les franges, jusqu à voir un éclairement uniforme à 10% près avec un maximum d éclairement au milieu. Quel est alors l angle maximal entre les miroirs? 12) Mesure de l épaisseur d une lame : Un interféromètre de Michelson, réglé en lame à faces parallèles d épaisseur e, est éclairé en lumière monochromatique par une source étendue. Les angles d incidences sur la lame et sur les miroirs sont supposés petits. Le contact optique étant réalisé (e = 0), on place sur le bras 1, juste avant le miroir M 1, une lame de mica d indice n = 1,596, d épaisseur l, perpendiculaire à l axe du bras. Pour rétablir un éclairement uniforme de l, il faut déplacer M 1 de e = 20 μm. En déduire la valeur de l. 13) Interféromètre de Michelson avec un miroir sphérique : Un interféromètre de Michelson est est monté en lame d air avec e = 20 μm mais un de ces deux miroirs n est plus plan, mais s est déformé. On l assimile à un miroir sphérique convexe de rayon de courbure R = 10,0 m. L interféromètre est éclairé par une source étendue de longueur d onde o = 630 nm. On utilise une lentille convergente pour projeter l image sur un. Le schéma est le ci-dessous, l échelle entre e et R n étant pas respectée. :

5 5 1)Comment placer la lentille et l pour obtenir des interférences? Préciser les conditions expérimentales qu impose ce montage. 2) Qu observe-ton sur l? M 1 M 2 L Indications 1) Frange achromatique: 1) question de cours ; 2) L introduction de la lame modifie la différence de marche. Là où le chemin optique était n air e, il devient ne. L interfrange n est pas modifiée; 3) Il suffit de dériver la différence de phase entre les deux trajets, la différence de phase étant celle calculée à la question précédente ; 4) L erreur est donnée par x o x o. x o 2) Mesure de l indice de l air : La différence de marche entre les deux trajets n est plus symétrique. Là où le chemin optique était n air l, il devient nl, n variant de n air à 0. Pour trouver n air il faut raisonner à la fin de l expérience en x = 0. 3) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : Les deux étoiles sont incohérentes ; il faut sommer les éclairements ; pour une certaine valeur de d on aura brouillage de la figure ce qui permet une mesure de l écart angulaire. 4) Interférences avec deux miroirs parallèles : Il faut tout de suite remarquer que les sources S et S sont incohérentes ; trouver les images S 1 et S 2 de S à travers les deux miroirs et reprendre le calcul des trous d Young pour S 1 et S 2 ; attention à la position de l axe optique ; faire de même pour S. 5) Lever d une étoile : Le détecteur reçoit de l étoile une onde arrivant directement d intensité I 1 et une onde arrivant après réflexion sur le lac d intensité I 2 inférieure à I 1 ; (le coefficient de réflexion de l eau est inférieur à 1. Ces ondes vont interférer. Pour déterminer la différence de marche en tre les deux rayons, il faut faire un dessin clair, un des rayons subissant une réflexion sur l eau et l autre pas. 6) Biprisme de Fresnel : Faire une figure pour mettre en évidences un champ d interférences ; il ne faut surtout pas chercher à calculer les chemins optiques en évaluant les distances ; il s agit d interférences d ondes planes et le point O est un point commun aux deux ondes planes qui sortent des prismes ; exprimer les vecteurs d ondes k 1 et k 2 des deux ondes planes et sommer les amplitudes complexes de ces deux OPPH : s(m) = s o expjk 1. OM + s o expjk 2. OM. 7) Demi-lentilles de Billet : 1) Pour chaque demi lentille, l axe optique a été décalé de e/2 ; faire un dessin avec deux nouveaux axes optiques, passant par les centres optiques de chacune de demi-lentilles ; 2) Faire

6 6 un dessin pour représenter le champ d interférence ; les rayons issus de S doivent passer par S 1 et S 2 ; 3) Il faut placer l dans le champ d interférences ; 4) Les dispositifs est équivalent à un dispositif de fentes d Young placées en S 1 et en S 2 ; le champ d interférences est limité par les rayons issus de S qui passent par les bords des demi-lentilles ; comme d = 2f ces rayons recoupent l axe optique en f ; pour compter le nombre de franges brillantes, travailler sur un demi, la frange centrale étant brillante. 8) Une expérience de TP : 2) La largeur de l donne le rayon du quatrième anneau brillant; 3) L ordre du premier anneau brillant de la première expérience devient l ordre au centre de la deuxième ; en déduire e, puis trouver l ordre du premier anneau brillant pour trouver son rayon 9) Anneaux d égale inclinaison : 2) il faut trouver l ordre p du premier anneau brillant, le deuxième anneau est à l ordre p 1 ; 3) on voit sur l une tache de diamètre d ; en déduire l angle maximal i max des rayons lumineux ; on veut que l éclairement pour i max soit 90% de l éclairement pour i = 0. 10) Etude d une figure d interférences : 2) Il faut calculer le grandissement, en déduire OA et OA puis appliquer la formule de conjugaison de Descartes ; attention aux signes ; 3) exprimer la relation entre l interfrange et l angle entre les miroirs ; utiliser la figure pour calculer l interfrange ; 4) calculer la différence de marche au niveau de la bosse et comparer avec le cas sans bosse ; 5) cette fois l interfrange est modifiée. 11) Franges d égale épaisseur : Il faut que l éclairement en r = d/2 soit 90% de l éclairement central ; en déduire la valeur de la différence de marche correspondant à d/2, puis l angle entre les miroirs. 12) Mesure de l épaisseur d une lame : Pour le calcul de la différence de marche introduite par la lame) il faut faire le schéma suivant : S lame Miroir 2 e Miroir 1 Ne pas oublier d utiliser les lois de Descartes ; la teinte plate est obtenue lorsque δ est indépendant de i. 13) Interféromètre de Michelson avec un miroir sphérique : Il s agit de franges du coin d air ; évaluer la différence de marche pour des rayons sous incidence normale. Solutions 1) Frange achromatique: 1) i = of = 0,3mm ; 2) le déplacement est x o n air a i frange située en x o = (A n air + 4B 2 ) ef om 2) Mesure de l indice de l air : ; x o n air a i = (n n air ) e = 8,3 ; 3) Δφ = 0 pour une o o = 0,56 ; 4) x o x o x o = 6,7%

7 7 Les franges se déplacent vers le bas en x = 0, δ = (n air 1)l = 98,5 ce qui donne n air = 1 + 0, ) Mesure de l écart angulaire d une étoile double : I(x = βf ) = 2I o (1 + cos ( 2πd(α β) ) cos ( πdδα )) ; le contraste est C = cos (πdδα ) ; le premier brouillage aura lieu pour Δα =. 2d 4) Interférences avec deux miroirs parallèles : I(x) = 4I o (1 + cos ( 8πlx ) cos (8πla )) D D 5) Lever d une étoile : I = I 1 + I 2 2 I 1 I 2 cos ( 4πhsinθ ), avec θ la direction de l étoile par rapport à l horizon ; premier maximum sinθ = soit θ = 6. 4h 6) Biprisme de Fresnel : i = i =. 2α(n 1) 2 ( n 1) 7) Demi-lentilles de Billet : 1) S 1 et S 2 se situent de part et d autre de l axe optique, à une hauteur ±e de cet axe et à une distance d = 2f en aval des demi lentilles ; 3) D > d ; 4) i = (D d) = 0,23 mm ; la largeur du champ d interférences est H ; N = 2E ( H ) + 1 = 159 franges brillantes. 2i 8) Une expérience de TP : 1) L élève est en train d augmenter la distance e entre les miroirs ; 2) Si l ordre au centre de l est 2e = p o + ε, pour le quatrième anneau brillant de rayon 5 cm = r 4, on a e = 3 ε r 2 /f 2 soit 0,4368 µm < e < 0,6552 µm ; 3) Avant ordre au centre p o = 2400, rayon du premier anneau brillant r 1 = 2,88 cm: Après diminution de e : l ordre au centre est maintenant de 2399 ; e = 0,654 μm ; rayon du premier anneau brillant r 1 = 4,08 cm 9) Anneaux d égale inclinaison : 1) Ecran dans le plan focal image d une lentille CV ; 2) L ordre du premier anneau brillant op1 estp 1 = E ( 2e ) d où r 1 = f 2(1 2e ) = 17 mm ; l ordre du deuxième anneau brillant est o p 1 1 d où r 2 = 28 mm 10) Etude d une figure d interférences : 1) coin d air = franges ; 2) γ = 4; f = (γ 1)2 γd = 20 cm ; OA = = 100 cm ; 3) on lit 9 γd γ 1 interfranges sur l ; α =.γ = 2i 1, rd ; 4) la bosse va décaler les franges d une demi interfrange, ce qui décale les franges d ordre 0, ±1, en revanche la frange d ordre 2 n est plus concernée vues les dimensions de la bosse ; l interfrange n est pas modifiée ; 5) i = 11) Franges d égale épaisseur : α = arco(0,8) = 2, rd 2πd e 2α(n 1). 12) Mesure de l épaisseur d une lame : On trouve δ = 2ecosi + 2l(ncosr cosi) soit pour des angles petits δ = 2e + 2l(n 1) i 2 2l ne (2e + 2l) ; l = = 53,6 μm 2 n n 1 13) Interféromètre de Michelson avec un miroir sphérique : Il s agit d un montage en coin d air ; les rayons incidents sont sous incidence quasi normale ; l est dans le plan conjugué des miroirs ; on observe des anneaux car δ(r) = 2e + r 2 /R