Plan du cours - physique 102

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1 Plan du cours - physique 102 Ch. I Ch. II Ch. III Ch. IV Ch. V Ch. VI Ch. VII Cinématique Principe fondamentale de la dynamique Systèmes oscillatoires ou amortis Référentiels non-galiléens Dynamique de deux corps Mouvement céleste - gravitation Mécanique du solide rigide

2 Quelques observations : Les systèmes libres, initialement dans un état hors d équilibre (excité), tendent spontanément vers un état d équilibre. Le temps caractéristique τ dépend de la dissipation de l énergie du système mécanique (frottements). Certains systèmes excités et libres peuvent osciller spontanément autour de la position d équilibre. En général ces oscillations s atténuent progressivement avec le temps : c est l oscillateur amorti. Deux temps caractéristiques

3 Définition de l oscillateur harmonique (OH): sa période ne dépend pas de l amplitude. Les oscillations de faible amplitude sont très souvent harmoniques. Cherchez un exemple! Ce chapitre concerne l OH libre amorti puis l OH soumis à une force périodique (non libre). Les résultats sont d une vaste généralité en physique. Nous supposons que les systèmes traités sont linéaires et par conséquent non chaotique.

4 États et dynamique des systèmes linéaires

5 États Comportement Etat d'équilibre ou stationnaire "constant" Contraintes imposées ou relâchées (conditions initiales) Etat hors d'équilibre Évolution spontanée du système (transitoire) Nouvel état stationnaire Régime permanent

6 Systèmes simples et équations de la dynamique associées Frottement visqueux dans l eau v v l -b v C.I.! τ t m g g Équation du premier ordre Un temps caractéristique τ

7 Systèmes simples et équations de la dynamique associées Oscillation libre : système masse-ressort v k t g x(t) Équation du second ordre Un temps caractéristique Τ

8 Systèmes simples et équations de la dynamique associées Oscillation libre et amortie v k t x(t) M g Force de frottement : Équation du second ordre Deux temps caractéristique Τ, β 1

9 Oscillateur libre deux comportements distincts 1 x(t) t ω 0 > β -1 1 x(t) t ω 0 < β -1

10 Évolution vers un état stationnaire le circuit R-L V R R ε L V L V V R ε V L O τ t

11 Lois de Kirchoff V n 1 Σ V n V n-1 = 0 V n-1 boucle Σ ΔV n = 0 boucle I n 2 Σ I n = 0 noeud

12 Résistances en série ou en parallèle V A R 1 R 2 R n V B =? V A R eq V B V A V B R 1 R 2 R n =? V A R eq V B

13 Autres dipôles passifs Le condensateur E q -q I V A V B q q = C (V A -V B ) La bobine I B I V A V B V A -V B = L di/dt

14 Etude de l oscillateur libre sans amortissement x 0 (t) - Position du ressort au repos x eq (t) - Position d équilibre masse-ressort g k x x 0 x eq x(t) Conditions initiales :

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16 Étude de l oscillateur électrique K Équation différentielle C L Le condensateur est initialement chargé : q(0) = q 0 Solution : q(t) I(t)

17 Solution graphique avec ou sans amortissement? Jusqu à t=0,2 sec Jusqu à t=2 sec

18 Étude détaillée de l OH amorti

19 Dissipation R C L Dissipation k M x q(t) I(t) x(t) v(t) Oscillateur libre

20 R F(t) C L k ~ e(t) M q(t) I(t) x(t) v(t) Oscillateur forcé périodiquement

21 Analyse détaillé de l oscillateur libre Équation à résoudre : Conditions initiales : Fonction essaie : Valeurs propres :

22 Régime sous-critique Régime oscillatoire-amorti Ou Cas critique

23 Régime oscillatoire-amorti amortissement oscillation Pseudo-pulsation : Temps d amortissement : Facteur de qualité :

24 a b c

25 Amortisseur d une motocyclette ressort amortisseur

26 Considérations énergétiques cas sans amortissement E g k E mec x eq x(t) x <E> T/2 T E p E c t

27 Considérations énergétiques cas avec amortissement Avec l amortissement, l énergie est dissipée vers le milieu extérieure : La variation d énergie ne dépend pas du temps t d amortissement!

28 Considérations énergétiques puissance dissipée La puissance dissipée dépend explicitement du temps : Force de frottement :

29 Étude détaillée de l OH forcée périodiquement

30 Oscillateur forcé périodiquement système résonant : équivalence mécanique - électrique R F(t) C ε(t) ~ L k M q(t) I(t) x(t) v(t)

31 Analyse de l équation différentielle On cherche uniquement le régime permanent sinusoïdale. Fonctions réelles Fonctions complexes associées Propriétés

32 Solution à l aide des complexes Module = amplitude Argument = déphasage

33 10 8 Courbe de l amplitude : x(ω) Q = Courbe du déphasage φ (ω)

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37 Relations concernant le facteur de qualité Temps d amortissement Largeur de bande Amplitude de x 0

38 Considérations énergétiques Puissance fournie par la force externe : Puissance dissipée par le frottement : Moyenne dans une période : A calculer en T.D.

39 Circuit RLC V R V C ~ ε (t) ~ V L

40 V R ε 0 1 Résonance RLC 1/ 2 ϕ O ω 0 ω π/2 ω ω ω + - π/2

41 Pourquoi l étude des fonctions harmoniques? V(t) t

42 F(x) = sin(x) /3 sin(3x)

43 /5 sin(5x) /7 sin(7x)

44 /101 sin(101x)