Vibrations des milieux discrets et continus. Luc Jaouen

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1 Vibrations des milieux discrets et continus Luc Jaouen Version datée du 9 avril 5

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3 Table des matières Introduction iii Un Degré De Liberté. Oscillations libres Réponse à une excitation harmonique Théorème de superposition Réponse à une excitation périodique quelconque Réponse à une excitation quelconque n degrés de liberté 9. Méthode de la base modale Systèmes avec amortissement visqueux Réponses forcées Vibration transversale des cordes 3 4 Vibrations des poutres 9 4. Définition d une poutre Vibrations longitudinales Champ de déplacement Fonctionnelle de Hamilton Vibrations de flexion Champ de déplacement Fonctionnelle de Hamilton Vibrations de torsion Champ de déplacement Fonctionnelle de Hamilton Vibrations des plaques 9 5. Définition d une plaque Hypothèses de condensation Vibrations longitudinales des plaques minces Vibrations de flexion des plaques minces Champ de déplacement Fonctionnelle de Hamilton Introduction à l analyse modale Définition de l analyse modale Théorème de réciprocité Différentes formes de FRF Estimateurs de FRF Amortissements visqueux et structural Méthodes d extraction de paramètres Exemple : cas d une poutre en flexion

4 ii Table des matières A Formalisme de Lagrange et équations d Euler 43 A. Rappel sur le formalisme de Lagrange A. Equations d Euler A.. Fonctionnelle de Hamilton pour les vibrations longitudinales de poutres droites minces.. 43 A.. Autres formes de fonctions d Euler

5 Introduction Ce cours est fortement inspiré, dans son contenu et sa rédaction, de divers autres sources d enseignement, particulièrement : Le cours de mécanique du DEA d Acoustique Appliquée (Université du Maine, France) réalisé par Bernard Castagnède. Le cours de vibrations de l ENSIM (Université du Maine) de Jean-Claude Pascal. Le cours de rayonnement acoustique des structures (GMC 7, Université de Sherbrooke, Qc, Canada) d Alain Berry. Ces ouvrages, souvent écrits dans des contextes plus larges ou connexes au présent document, peuvent constituer une bonne source d information complémentaire ou alternative. Merci de me faire part des éventuelles erreurs ou incohérences que vous releverez au cours de ces quelques pages, ainsi que vos critiques et suggestions à :

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7 Un Degré De Liberté Ce chapitre présente rapidement les résultats importants pour le cas d un système mécanique linéaire à ddl avec amortissement. L analogie avec un système électrique est évidente, la littérature sur le sujet n en est que plus fournie.. Oscillations libres Soit l oscillateur harmonique amorti par effet visqueux (proportionnel à la vitesse) de la figure.. k c m x Fig.. Représentation schématique d un oscillateur amorti simple L équation de son mouvement est : mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = (.) En supposant une dépendance en temps de la forme e rt, on peut écrire l équation caractéristique associée à cette équation du mouvement : mr + cr + k = Les solutions de l équation caractéristique sont : En introduisant les termes : r, = c m ± c 4km m ω = k m c cr 4km = = c cr = km = mω ξ = c = c c cr mω pulsation naturelle non amortie amortissement critique facteur d amortissement visqueux on peut alors ré-écrire l équation du mouvement sous la forme : ẍ + ω ξẋ + ω x = La solution générale de cette équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients constants s écrit (cf cours math.) : x(t) = Ae rt + Be rt où A et B sont des constantes arbitraires déterminées d après les conditions initiales. 3 cas sont observés suivant le signe de = c 4km (cf figures.,.3 et.4) :

8 Un Degré De Liberté x x x t t t Fig.. Sur amorti. Fig..3 Critique Fig..4 Sous amorti Si >, ξ >, r, = ξω ± ω ξ, l oscillateur est dit sur amorti. x(t) = C e rt + C e rt (.) Si =, ξ =, r, = ξω = ω, l amortissement est critique. C est ce qu on recherche dans le cas d une suspension automobile par exemple. x(t) = (C t + C )e ξωt (.3) Si <, < ξ <, r, = ξω ± jω ξ, l oscillateur est dit sous amorti. C est le cas de la plupart des oscillateurs mécaniques courants. x(t) = [ ( ) ( C cos ξ ω t + C sin ξ ω t) ] e ξωt (.4) ( ) ou x(t) = A sin ξ ω t φ e ξωt Ce dernier résultat est celui d un régime pseudo-périodique dont on remarque que la pseudo pulsation ω p = ω ξ diffère de la pulsation naturelle non amortie ω par le terme ξ lui même fonction de l amortissement ξ ; ω p ω (cf fig..5)..4. ξ =. ξ =.5 ξ = Amplitude X.8.6 Phase φ/π ω / ω. ξ =. ξ =.5 ξ = 3 ω / ω Fig..5 Influence de l amortissement sur la position de la résonance d une système à ddl. m = kg, k = 4 N.m.

9 Réponse à une excitation harmonique 3. Réponse à une excitation harmonique L équation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti soumis à une force extérieure F (t) s écrit : mẍ + cẋ + kx = F (t) (.5) Le cas le plus simple est celui d une force harmonique, ie F (t) = F cos(ωt + θ). La solution générale de l équation du mouvement est alors une combinaison linéaire de la solution générale de l équation sans second membre (régime des oscillations libres, cf.), et d une solution particulière de l équation avec second membre. Comme précédemment, on peut ré-écrire.5 comme : et passer en notation complexe : ẍ + ξω ẋ + ω x = F (t) m F (t) = F cos(ωt + θ) soit en notation complexe ˆF (t) = Fe jωt, F (t) = Re[ ˆF (t)] On considère une solution particulière sous la forme : x(t) = A cos(ωt + θ + φ) soit en notation complexe ˆx(t) = Xe jωt, x(t) = Re[ˆx(t)] (.6) L équation.5 s écrit alors en notation complexe : ( ) ω + jξωω + ω Xe jωt = F m ejωt (.7) A partir de cette dernière notation, l amplitude complexe X de la solution particulière s obtient facilement : X = F/m ω ω + jξω ω On peut exprimer le module et la phase du déplacement x(t) comme : X = F /m (ω ω ) + (ξω ω) = A φ = arctan ξω ω ω ω On peut d ores et déjà exprimer la fonction de transfert H(ω) qui sera étudiée plus en détail dans le chapitre d analyse modale : H(ω) = X F = m(ω ω + jξω ω) = (k mω ) + jcω Cette fonction de transfert peut être représentée suivant son amplitude et sa phase ou suivant ses parties réelle et imaginaire (cf fig..)..3 Théorème de superposition Si x (t) est solution de l équation.5 et si x (t) l est également, alors x(t) = x (t) + x (t) est aussi solution de.5 : { mẍ + cx + kx = F (t) mẍ + cx + kx = F (t) = mẍ + cẋ + kx = F (t) avec F = F + F Le théorème de superposition tient au fait que l équation différentielle de l oscillateur harmonique est linéaire. Dans le cas d une équation différentielle non linéaire, il ne s applique plus. Les grandeurs en gras représentent des grandeurs complexes

10 4 Un Degré De Liberté Amplitude X / F ω / ω ω / ω 3 Phase φ/π Re(H) Im(H) ω / ω 3 ω / ω Fig..6 Représentations de la fonction de transfert H pour m = kg, k = 4 N.m et c = 4 N.s.m..4 Réponse à une excitation périodique quelconque Lorsque la force extérieure est quelconque mais périodique, de période T, elle peut s écrire sous la forme d une série de Fourier : F (t) = a + n= a n cos(nωt) + b n sin(nωt) où Ω = π/t a n = T avec b n = T T/ T/ T/ T/ F (t) cos(nωt)dt F (t) sin(nωt)dt La solution à cette excitation est alors déterminée en faisant usage du théorème de superposition (cf.3) et les résultats à une excitation harmonique. Exemple Calculer la réponse forcée de l ocillateur harmonique, sans amortissement, à la fonction créneau. +F F(t) T/ t F Fig..7 Fonction créneau De l observation de la fonction créneau, on déduit rapidement que n, a n = (la fonction créneau est impaire alors que la fonction cosinus est paire).

11 Réponse à une excitation quelconque 5 b n = T F = 4F T = 4F nωt [ T/ T/ [ cos seules les composantes impaires sont non nulles : b p+ = 4F (p + )π La solution à l ordre p vérifie donc l équation : ] sin(nωt)dt sin(nωt)dt T/ sin(nωt)dt ( nω T ) ] soit F (t) = 4F π mẍ + kx = 4F π [ p + sin p= [ ] p + sin π (p + )t T ] π (p + )t T On considère une solution particulière, à l ordre p, sous la forme : [ ] π x p+ (t) = X p+ sin (p + )t T = X p+ = 4F π p + k m ( π T ) (p + ) On écrit alors la solution générale en utilisant le théorème de superposition : [ ] π x(t) = 4F sin (p + )t T ( ) π p + p= π k m (p + ) T.5 Réponse à une excitation quelconque Avant de déterminer la réponse à une excitation quelconque, il faut déterminer la réponse à une impulsion : h(t). L excitation, infiniment brêve communique au système une certaine quantité de mouvement initiale p sans que le système n ait encore le temps de se déplacer. L oscillateur continue sur un mouvement de vibrations libres. En prenant le cas d un oscillateur sous amorti (cf eq..4), pour lequel : [ ( ) x(t) = C cos ξ ω t ( ) ] + C sin ξ ω t e ξωt les conditions initiales précédentes se traduisent comme : x(t = ) = = C = mẋ(t = ) = p = C = p mω p La réponse impulsionnelle h(t) est donc (x(t) = h(t) t p δ(t)dt) : h(t) = e ξωt sin(ω p t) mω p t h(t) = t < (réponse causale) (.8)

12 6 Un Degré De Liberté Nous pouvous maintenant déterminer la réponse q(t) à une excitation quelconque Q(t) causale (Q(t) = < t = ). Cette solution s écrit sous la forme d un produit de convolution : q(t) = h(t) Q(t) = = Q(t) h(t) = t h(τ)q(t τ)dτ h(t τ)q(τ)dτ En reportant l expression de h(t) (.8), on aboutit à l intégrale de Duhamel : q(t) = e ξωt mω p t Pour un système très faiblement amorti, ξ et ω p ω : q(t) mω t [ ] e ξωτ Q(τ) sin ω p (t τ) dτ (.9) [ ] Q(τ) sin ω (t τ) dτ (.) Exemple Déterminons la réponse d un oscillateur faiblement amorti à une fonction échelon 3 en t = τ : { pour t < τ mẍ + cẋ + kx = constante = F pour t τ De., on en déduit que : x(t) = F mω p e ξωt t τ [ ] e ξωτ sin ω p (t τ) dτ Après intégration, on obtient : x(t) = F k F [ ] k ξ cos ω (t τ) φ avec φ = arctan ξ ξ pour t τ En l absence d amortissement, le système oscille indéfiniment : ( x(t) = F k cos [ ] ) ω (t τ) Quand < ξ < et t τ, on tend vers la réponse stationnaire du système : x(t) = F k Nota Bene : Il peut être plus simple d utiliser des transformées de Laplace pour déterminer les équations de mouvements à diverses excitations, le calcul de la convolution s avérant complexe (cf TD). Le produit de convolution est commutatif 3 Aussi appelée fonction de Heaviside

13 Réponse à une excitation quelconque F(t) x(t).5 F k Temps t (s) Fig..8 Solution de l exemple pour le cas m = kg, k = 4 N.m, c = 3 N.s.m (ξ =.8), F = 4 N, τ = s

14 8 Un Degré De Liberté

15 n degrés de liberté Ce chapitre présente rapidement la méthode de résolution et les résultats importants pour des systèmes mécaniques à plusieurs degrés de liberté. Il est également une seconde introduction au chapitre d analyse modale.. Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d un système à n degrés de liberté est la méthode de la base modale qui consiste à ramener le problème de n ddl couplés, à un ensemble de systèmes à ddl découplés en normalisant l équation du mouvement par rapport à la masse. en réalisant une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale où les équations du mouvement sont découplées. Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle : Mẍ(t) + Kx(t) = dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions initiales : x() vecteur des déplacements initiaux à t = ẋ() vecteur des vitesses initiales à t = La première étape consiste à normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de variable x = M / q et en multipliant le système d équations du mouvement par M / : On remarque alors que : M / MM / q(t) + M / KM / q(t) = M / MM / = I matrice unitaire/identité M / KM / = K Finalement, le système peut s écrire : I q + Kq = Les conditions initiales se ré-écrivent : q() = M / x() et q() = M / ẋ() La deuxième étape est le calcul des valeurs et vecteurs propres. En cherchant une solution de la forme x(t) = we jωt soit q(t) = ve jωt le système devient : ( ω I + K)ve jωt = En posant λ = ω et en dehors de la solution triviale (v = ), on remarque qu on se ramène à un problème typique de recherche de valeurs propres : Kv = λv Les grandeurs en gras représentent des tenseurs : d ordre pour les vecteurs, pour les matrices qui, comme la matrice raideur, est carrée, de dimension n n et généralement symétrique. La matrice masse est de plus souvent diagonale ; c est le cas de figure que nous supposons ici.

16 n degrés de liberté Les n valeurs propres sont obtenues en cherchant les solutions λ de l équation caractéristique : det(λi K) = Les n vecteurs propres sont les solutions des n équations associées à chaque valeur propre λ i : (λ i I K)v i = Les vecteurs propres v forment un ensemble de vecteurs linéairement indépendants (ie orthogonaux, c est ce qui implique la relation d orthogonalité entre les vecteurs propres). Ils ne sont pas, à priori, normés. On note u i le vecteur normé de v i. Les vecteurs u sont donc othonormaux et on peut définir une matrice orthogonale P telle que : P = [u u... u n ] D après les propriétés des vecteurs u, on montre que : P T P = I P T KP = diag(λ) P = P La projection dans la base modale constitue la troisième étape : On opère le dernier changement de variable suivant : q(t) = Pr(t) et on multiplie le système d équations du mouvement par P T à : P T P r(t) + P T KPr(t) = En tenant compte des propriétés énoncées plus haut et en considérant λ i = ωi, cette transformation conduit I r(t) + diag(ω i )r(t) = qui représente un système de n équations indépendantes (ie découplées) : r (t) + ω r (t) = r (t) + ω r (t) = Les condition initiales s expriment dans la base modale comme :... q(t) = Pr(t) = r(t) = P q(t) = P T q(t) r() = P T q() et ṙ() = P T q() La solution pour r i (t) est celle d un système à un degré de liberté que l on peut mettre sous la forme : ω r i (t) = i ri + ( ṙ i sin ω i t + arctan ω ) ir i ω i ṙ i en déterminant les constantes amplitude et phase à partir des conditions initiales. La quatrième étape est la transformation inverse. En utilisant les équations précédentes, il est possible de calculer le vecteur des déplacements x à partir des solutions dans la base modale r : x = M / q = M / Pr = Sr La matrice S = M / P est constituée de vecteurs colonnes notés φ : S = [φ φ φ n ] tels que φ i = M / u i. φ i est le vecteur de la déformée modale du mode i, ie le vecteur des déplacements unitaires (φ i ) j de chaque masse j. Les déplacements peuvent s écrirent : x(t) = Sr(t) = n r i (t)φ i i=

17 Systèmes avec amortissement visqueux soit pour une masse j : avec : x j = n r i (t)(φ i ) j = i= n A i sin(ω i t + θ i )(φ i ) j i= ω A i = i ri + ṙ i et θ i = arctan ω ir i ω i ṙ i Une présentation graphique peut-être faite de ce que l on vient de voir. Si on imagine une cloche frappée par un marteau à l instant t. A un instant t + t, le mouvement complexe de la cloche est un mouvement d oscillations libres que l on peut décomposé en formes modales indépendantes (et plus simples). La physique de ces formes modales nous permet de leur donner des équivalents mathématiques d oscillateurs à ddl : Changement de base n x = Sr = r i φ i i= = + + n équations découplées I r + diag(ω i )r = = + +. Systèmes avec amortissement visqueux Les systèmes réels sont amortis mais on ne connait pas bien, dans la plupart des cas, le modèle d amortissement. Souvent, le modèle d amortissement visqueux est utilisé pour des raisons de simplicité. La méthode consiste à considérer un amortissement modal ξ i < inclus dans les équations découplées de la base modale : dont les solutions sont : r i + ω i ξ i ṙ i + ω i r i = (.) r i (t) = A i e ξiωit sin(ω pi t + θ i ) avec ω pi = ω i ξ i L amortissement modal ξ i devra être soit déterminé expérimentalement, soit identifié à partir de la matrice des coefficients d amortissement C qui entre dans le système d équations du mouvement : Mẍ(t) + Cẋ(t) + Kx(t) = En règle générale, il n est pas possible de diagonaliser en même temps les 3 matrices M, C et K par décomposition sur la base modale, des méthodes numériques sont alors utilisées. Cependant, il existe un cas permettant de découpler les n équations : si la matrice C peut être approchée par une combinaison linéaire des matrices masse et raideur : C = αm + βk α et β constants Cette forme d amortissement est appelé amortissement visqueux proportionnel. Le système d équations du mouvement s écrit alors : Mẍ(t) + [αm + βk]ẋ(t) + Kx(t) = en utilisant les mêmes changements de variables que dans le cas non amorti : x = M / q, q = Pr et en multipliant le système par, successivement, M / et P T, on obtient : I q(t) + [αi + β K] q(t) + Kq(t) = I r(t) + [αi + β diag(ω i )]ṙ(t) + diag(ω i )r(t) = Cette dernière équation ne comporte que des matrices diagonales, donc correspond à n équations modales découplées : r i + [α + βω i ]ṙ i + ω i r i = En rapprochant cette équation de celle utilisant l amortissement modal ξ i (.), on obtient l équivalence ξ i ω i = α + βωi d où : ξ i = α + βω i ω i

18 n degrés de liberté.3 Réponses forcées Le système forcé se met sous la forme : Mẍ(t) + Cẋ(t) + Kx(t) = F(t) où F(t) est le vecteur des forces appliquées à chaque masse : F = [F F ] T En suivant toujours la même démarche : on pose x = M / q et on multiplie le système par M / : I q(t) + C q(t) + Kq(t) = M / F(t) avec C = M / CM /, puis en posant q(t) = Pr(t) et en multipliant par P T : I r(t) + diag(ξ i ω i )ṙ(t) + diag(ω i )r(t) = PT M / F(t) où ξ i est obtenu de la méthode d amortissement proportionnel. f(t) = P T M / F(t) est le vecteur des forces modales dont les éléments f i (t) sont des combinaisons linéaires des forces F i (t). Finalement, l équation modale découplée est de la forme : r i + ω i ξ i ṙ i + ω i r i = f i dont la solution est celle du système à ddl de déplacement r i (t) : r i (t) = A i e ξiωit sin(ω pi t + θ i ) + f i h i (t) = A i e ξiωit sin(ω pi t + θ i ) + τ e ξiωit ω pi f i (τ)e ξiωiτ sin[ω pi (t τ)]dτ Les coefficients A i et θ i de la solution générale sont déterminés en utilisant les conditions initiales. En régime stationnaire (harmonique permanent), la solution particulière pour F i (t) = F i cos(ωt) est : ( f i r i (t) = (ω i ω ) + (ξ i ω i ω) cos ωt arctan ξ ) iω i ω ωi ω avec f = P T M / F. Le vecteur déplacement s écrit comme précédemment : x(t) = Sr(t) = n r i (t)φ i i=

19 3 Vibration transversale des cordes L étude des vibrations libres d un corde constituera notre première approche au cas des milieux continus (D). On s intéresse ici au cas de la vibration transversale des cordes sans raideur (souples) mais possédant une élasticité finie (ce qui modélise plus une chaîne constituée de très petits maillons plutôt qu une corde monofilament). De nombreuses hypothèses sont souvent émises sur le comportement du système afin de simplifier les calculs. Il n est pas toujours évident de donner un sens physique à ces hypothèses. Pour rappel, cette étude des milieux continus est réalisée sous l hypothèse des petites déformations (petits angles). La vibration des cordes, de façon beaucoup plus large fait l objet du livre de C. Valette et C. Cuesta[]. y y x x dx T(x+dx) α β T(x) x L équation du mouvement de la corde peut-être obtenue simplement à partir de l équation d équilibre dynamique (RFD) ou d une considération énergétique. A partir de la relation fondamentale de la dynamique (RFD) : mÿ = F ext (3.) En notant ρ la masse linéique de la corde (de dimension [kg.m ]) et T la tension de la corde, on écrit la projection suivant l axe y de 3. comme : ρdx y = T sin β + T sin α (3.) t (En projetant la RFD sur l axe x on montre facilement qu on peut faire l hypothèse que les tensions en x et x + dx sont équivalentes en module pour des petits angles α et β). sin β tan β = y x or x sin α tan α = y x de quoi l on peut ré-écrire l équation 3. : y y t = T x y x+dx x x ρ dx y t = T y ρ x (3.3) x+dx En introduisant la constante c = T/ρ, de même dimension qu une vitesse, on aboutit à : c y x = y t (3.4)

20 4 Vibration transversale des cordes A partir de l équation de Lagrange : En notant l la longueur de la corde au repos et l sa longueur en vibration, on a : l l = ds ( + ) y,x dx = l + l = l l = + y,xdx y,xdx y,x dx Les expressions des énergies cinétique totale E c et potentielle totale E p du système sont respectivement : L équation d Euler-Lagrange, qui s écrit : E c = ρ y,tdx E p = T l = T d dt s applique en tout point x, pour lequel on a alors : D où finalement : E c = ρ y,t = E c ẋ ( ) d Ec dt ẋ E p = T y,x = E p x y,x dx ( ) Ec E p ẋ x = = E c ẏ = ρ y y x t On retrouve la même solution qu en appliquant la RFD. ẏ ẋ = E c y ẏ x = ρ y x = T y y x x = T y y x x y t = T y ρ x (3.5) Dans le cas d une corde infinie (de grande dimension par rapport aux autres dimensions du problème), la solution des équations (3.3) et (3.5) représente la propagation de deux ondes : y(x, t) = g (x ct) } {{ } + g (x + ct) } {{ } propagation vers les x > propagation vers les x < Si de plus, on suppose une excitation harmonique, l équation peut se mettre sous une forme semblable à celle de l équation d Helmholtz : y(x) x + k y(x) = avec k = ω c La solution à cette dernière équation est y(x) = Ae jkx + Be jkx (la dépendance temporelle en e jωt étant implicite). Pour une corde de dimension finie, le déplacement y(x, t) dépendra des conditions de fixation aux extrémités (ie les conditions limites). La technique de séparation des variables est privilégiée pour obtenir les solutions du mouvement avec conditions limites particulières. On suppose une solution s écrivant sous la forme : y(x, t) = X(x) T (t) (où T est une fonction et ne doit pas être confondue avec l amplitude de la force de tension) y t

21 5 En remplaçant dans l équation du mouvement 3.3, on a : soit : c d X dx T (t) = d T dt X(x) X (x) X(x) = c T (t) T (t) = constante = k (3.6) en effet, Les deux équations différentielles en X et T ayant des variables différentes indépendantes x et t, elles ne peuvent être égales qu à une constante que l on choisie de noter k pour la simplification des calculs futurs. L équation 3.6 aboutit à la résolution de deux équations séparées : { X (x) + k X(x) = dont les solutions sont : T (t) + k c T (t) = { X(x) = α sin(kx) + β cos(kx) T (t) = σ sin(ωt) + γ cos(ωt) avec ω = kc On a donc finalement, pour expression de la solution du mouvement des équations 3.3 ou 3.5 : [ ][ ] y(x, t) = α sin(kx) + β cos(kx) σ sin(ωt) + γ cos(ωt) avec ω = kc les constantes α et β seront déterminées des conditions aux limites, σ et γ des conditions initiales. Exercice Calculer le champ de déplacement d une corde pincée en son milieu.

22 6 Vibration transversale des cordes y h x x = x = l Sitôt la corde lachée, elle entre en vibrations libres. Ces vibrations sont déterminées des résultats précédents et des conditions initiales. Ces conditions initiales (au temps t = ) sont un déplacement imposé, sans vitesse de la corde et une vitesse initiale nulle : et ẏ(x, ) =. y(x, ) h x l h ( x l ) x l l x l En appliquant les conditions limites y(, t) = y(l, t) =, t (extrémités encastrées), on obtient : β = sin(kl) = = kl = nπ, n N Il existe donc une infinité de solutions telles que k = nπ/l. Chaque solution correspond à un état privilégié de vibration de la corde appelé également mode de vibration. Mathématiquement, la réponse générale est une combinaison linéaire de tous ces modes : y(x, t) = ( nπx ) [ sin A n cos l n= ( nπc l ) t + B n sin ( nπc Il nous reste à calculer les termes A n et B n. D après les conditions initiales, la relation (3.7) qui impose pour la vitesse de la corde : ẏ(x, t) = ( nπx sin l n= la condition ẏ(x, ) = se ré-écrit : ce qui implique que B n = n. ẏ(x, ) = ) ( nπc ) [ A n sin l n= ( nπc ) t + B n cos l ( nπc ) ( nπx ) B n sin = l l En multipliant la condition sur y(x, ) par le terme sin(nπx/l), et en intégrant sur la longueur de la corde, on a : ( A n sin nπx ) dx = l l A n / hx ( nπx sin l l = h [ / ( nπx x sin l l Les deux intégrales s intègrent par parties et s expriment : l/ / ( nπx ) x sin dx = (n l l nπ cos π ( nπx ) l (l x) sin dx = (n l nπ cos π ) dx + ) dx + ) ( l + nπ ) ( l nπ l/ l/ l ) ] t ( nπc ( h x ) sin l l ) ] t ( nπx l ( nπx ) ] (l x) sin dx l ) ( sin n π ) ) sin(nπ) + ( l nπ ) dx ) ( sin n π ) (3.7)

23 7 d où : A n = 4h ( l l nπ ) nπ sin ( ) 8h A n = ( ) (n )/ n π avec n impair et finalement : y(x, t) = n=,3,... ( ) 8h ( ) (n )/ n π sin ( nπx l ) cos ( nπc l ) t Références [] C. Valette et C. Cuesta, Mécanique de la corde vibrante, Hermes, 993

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25 4 Vibrations des poutres Ce chapitre présente les vibrations longitudinales, de flexion et de torsion des poutres. Il décrit également de façon plus rigoureuse la mise en oeuvre de l approche variationnelle pour le cas de matériaux continus (D). Les termes qui ne sont pas définis ici sont présentés dans tout bon cours de Résistance Des Matériaux. 4. Définition d une poutre On nomme poutre un milieu continu ayant une dimension très grande par rapport aux deux autres. b O h S 3 l Fig. 4. Représentation d une poutre droite dans le repère (,,, 3) On note (x, x, x 3 ) les coordonnées, dans le repère (,,, 3), d un point M de la poutre dont on cherche à exprimer le champ de déplacement u i (M, t) : u i (M, t) u (x, x, x 3, t) u (x, x, x 3, t) u 3 (x, x, x 3, t) La géométrie particulière qui a été définie va permettre de simplifier le champ de déplacement u i (M, t) qui dépend par ailleurs du type de matériau, de l excitation et des conditions limites. Ces simplifications ou hypothèses sur le champ de déplacement sont aussi appelées hypothèses de condensation. D autres hypothèses simplificatrices apparaîtront plus tard. Liées au type d excitation elles impliqueront des études séparées pour les vibrations longitudinales, de torsion ou de flexion des poutres. Les hypothèses de condensation pour les poutres consistent à effectuer un développement en série de Taylor de u i (x, x, x 3, t) par rapport à x et x 3 : u i (x, x, x 3, t) = u i (x,,, t) + x u i x (x,,, t) + x 3 u i x 3 (x,,, t) + x u i x (x,,, t) + x 3 + x x 3 u i x x 3 (x,,, t) + u i x (x,,, t) 3

26 Vibrations des poutres La théorie des poutres minces consiste à négliger les termes du ème ordre et d ordres supérieurs dans ce développement : On notera par la suite : soit : u i (x, x, x 3, t) u i (x,,, t) + x u i x (x,,, t) + x 3 u i x 3 (x,,, t) u i (x, x, x 3, t) u i (x, t) + x u i (x, t) + x 3 u 3 i (x, t) u (x, x, x 3, t) u (x, t) + x u (x, t) + x 3 u 3 (x, t) u (x, x, x 3, t) u (x, t) + x u (x, t) + x 3 u 3 (x, t) u 3 (x, x, x 3, t) u 3 (x, t) + x u 3 (x, t) + x 3 u 3 3 (x, t) } {{ } rotations Physiquement, le déplacement dans chaque direction, ou 3 se compose d un mouvement d ensemble (u i ) et de deux rotations (x u i + x 3u 3 i ) (4.) 3 u x u x x 3 u x u 3 3 La théorie des poutres minces suppose que les sections droites restent planes après la déformation : c est l hypothèse de Bernoulli. L ensemble du champ de déplacement est connu si les déplacements et les rotations sont connus le long d un axe moyen de la poutre : cet axe est appelé axe neutre, ou fibre neutre. L hypothèse de condensation, pour une poutre mince consiste à réduire le milieu tridimensionnel en un milieu unidimensionnel équivalent. Les inconnues du problème après condensation sont les neufs fonctions u, u, u 3, u, u, u 3, u 3, u 3, u 3 3. Ces neuf fonctions ne dépendent que d une seule variable d espace x et du temps t. A ce stade, pour résoudre un problème de vibrations de poutre mince, on peut utiliser le champ de déplacement donné par l expression 4., l injecter dans la fonctionnelle de Hamilton et trouver l extrémum de cette fonctionnelle par rapport aux 9 fonctions inconnues. Une telle démarche est encore compliquée, on préfère réduire encore le nombre de fonctions inconnues pour décrire le déplacement. Ces simplifications supplémentaires sont possibles si l on étudie séparément les vibrations longitudinales (en traction-compression) des vibrations de flexion ou de torsion. traction compression flexion torsion 4. Vibrations longitudinales 4.. Champ de déplacement Pour les vibrations longitudinales, on suppose que les déplacements se font de façon privilégiée le long de l axe neutre de la poutre, ce qui correspond à une excitation dans l axe de la poutre. On peut alors simplifier le champ de déplacement général 4. en imposant : u (x, x, x 3, t) u (x, t) u (x, x, x 3, t) u 3 (x, x, x 3, t) La seule fonction inconnue u (x, t) correspond au déplacement d ensemble dans la direction de chaque section droite. (4.)

27 Vibrations longitudinales Nota Bene : on a, ici, négligé l effet de Poisson (contraction de la section droite) consécutif à la déformation axiale. L effet de Poisson correspond aux termes x u (x, t) et x 3 u 3 3 (x, t) de 4.. Il faut garder en tête qu il s agit d une hypothèse de simplification du problème par rapport à la théorie des milieux continus 3D dont il faudra vérifier le bien fondé par rapport aux observations expérimentales. 4.. Fonctionnelle de Hamilton Les hypothèses cinématiques (champ de déplacement) étant définies pour la géométrie et le type d excitation étudiés, l approche variationnelle comprend systématiquement les points suivants :. Calculs des déformations. Construction de la fonctionnelle de Hamilton 3. Extrémalisation de la fonctionnelle de Hamilton 4... Calculs des déformations Par définition : ε ij = [ ] u i,j (x, x, x 3, t) + u j,i (x, x, x 3, t) Ce qui donne pour le cas présent (cf 4.) ε (x, t) = u (x, t) x ε = ε 33 = ε = ε 3 = ε 3 = (4.3) 4... Construction de la fonctionnelle de Hamilton Pour un matériau isotropique sous état de contrainte unidimensionnelle, le tenseur d élasticité est : C ijkl = E νe νe νe E νe νe νe E E ( + ν) Pour rappel, l expression de la fonctionnelle de Hamilton est : E ( + ν) E ( + ν) (4.4) avec : H(u i ) = T = V = W = t t (T V + W )dt (4.5) v v v ( ) ρ ui dv t ε ij C ijkl ε kl dv f i u i dv Compte tenu de 4., 4.3 et 4.4 on obtient : T = V = W = ρs ES ( ) u dx t ( ) u dx x f Su dx

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