Filtrage d'un signal RMN

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1 PCSI_Brizeux Description simplifiée de la MN Filtrage d'un signal MN (d'après XENS 07 PSI)) La résonance magnétique nucléaire est une propriété de certains noyaux atomiques (possédant un «spin nucléaire» non nul). Lorsqu ils sont placés dans un champ magnétique et soumis à un rayonnement électromagnétique de fréquence variable (du domaine des radiofréquences), ils sont susceptibles, si les conditions sont réunies, de rentrer en résonance en absorbant l énergie du rayonnement (Figure ). L énergie mise en jeu dépend de l intensité du champ magnétique B 0 appliqué, mais aussi de l environnement (autres atomes présents) du noyau considéré. Les atomes étudiés par spectroscopie MN peuvent être aussi bien en phase liquide que solide ou plus rarement gazeuse. L'entrée en résonance des atomes placés à l'intérieur de la bobine génère dans le circuit comportant celle-ci une force électromotrice e(t) à la fréquence ω r du signal radio utilisé. On étudie dans ce problème le circuit comportant la bobine représenté figure 3, destiné à filtrer la pulsation de résonance ω r des atomes. Figure 3 : Circuit LC de filtrage On note C la capacité du condensateur, L l'inductance de la bobine, r sa résistance interne, la résistance d entrée du détecteur qui ne sera pas étudié ici et on pourra noter +r la résistance totale du circuit série. On étudie la réponse de ce filtre, en régime permanent sinusoïdal, à une excitation notée u e (t)e(t )cos(ω t ), ω étant une pulsation quelconque. La tension de sortie est u s (t).. En admettant que les dimensions du circuit de filtrage sont inférieures au décimètre et que les fréquences à filtrer sont de l'ordre du MHz, les conditions de validité de l approximation des régimes quasi-stationnaires sont-elles remplies pour ce circuit?. En étudiant rapidement les comportements limites aux basses et hautes fréquences, déterminer la nature du filtre constitué par ce circuit.

2 3. Déterminer la fonction de transfert H ( j ω) U s U e en fonction de, r,(ou ), L, C et ω. 4. Montrer que H ( j ω) a 5. Étude du maximum de la fonction de transfert : + j b(s s ) avec sω L C, a et où b est une constante à déterminer. a) Exprimer H, quelle est sa signification physique? Quelle est sa valeur maximum H max? Quelle est la valeur s 0 de s correspondante? En déduire la pulsation ω 0 de ω correspondante. b) Déterminer l'écart Δ ω entre les deux pulsations dites de coupure telles que H H max fonction de ω 0 et b.. Exprimer votre résultat en c) On caractérise l acuité de ce filtre par le quotient Q ω 0, nommé facteur de qualité du filtre (ou aussi coefficient de Δ ω surtension propre). Exprimer Q en fonction de, L et C. 6. Le diagramme de Bode correspondant à la fonction H ( j ω) est donné ci-dessous en figure 4. Figure 4 : Diagramme de Bode (simulé) du circuit de filtrage, avec zoom du gain en dessous

3 a) Interpréter le diagramme de Bode de ce circuit d après la fonction de transfert obtenue précédemment. b) Quelle est la valeur du gain (en db) aux pulsations de coupure? Le circuit est dit accordable, ce qui signifie que l on peut faire varier la capacité du condensateur de telle sorte que l on puisse atteindre l égalité ω 0 ω r désignant la fréquence de résonance des atomes. 7. Expliquer l intérêt de cette opération d accord. 8. Valeur des composants du modèle électrique a) Déterminer graphiquement f 0. En supposant Q 00 et de l ordre de l ohm, calculer les valeurs de L et de C. b) Commenter ces résultats. 9. Étude du courant : a) Établir l équation différentielle vérifiée par l intensité i(t) du courant définie dans le circuit de la figure 3. En déduire que l équation différentielle vérifiée par i(t) peut se mettre sous la forme : d i(t) + ω 0 d i(t ) +ω Q 0 i(t) d u e (t ) L b) En tenant compte de la valeur de Q, montrer que la solution générale de l équation homogène associée peut être Q approximée par l expression suivante : i h (t )e t [ A cos(ω 0 )t+b sin(ω 0 )t ] ω 0 0. On cherche à tester le circuit en régime transitoire. Pour tout t < 0, u e (t) 0 et le condensateur totalement déchargé. Pour t > 0, u e (t) E a) Déterminer i(0 + ) et d i d t (0+ ) b) En déduire i(t) et tracer i(t). 3

4 Solution. L'approximation des régimes quasi-stationnaires est valable si les dimensions du circuit de détection sont très inférieures à la longueur d'onde λ c f m 6 c'est le cas si les dimensions sont inférieures au décimètre. 0. En basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, donc u s (t ) i(t)0. En haute fréquence, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert, donc u s (t ) i(t)0. Conclusion : le filtre est un filtre passe-bande. 3. Pour déterminer la fonction de transfert, on utilise la formule du pont diviseur de tension : U s U e + j( L ω. C ω ) 4. H + j( L ω C ω ) d'après l'énoncé ω s LC donc H + j( H tot a + j L C (s s ) + j b( s. Par identification : b L s ) C. 5. Étude du maximum de la fonction de transfert : a a) H est le rapport des amplitudes de u s (t ) et u e (t) H +b( s s ) s cad ωω 0 LC. b) On pose H H max d'où a Deux cas sont à envisager : +b( s s) a ( d'où +b s s) Ls LC LC donc C s ), H H max a pour d'où b ( s d'où s) b s s. er cas : s >0 cad s > s b s s conduit au polynôme du nd degré : s s b 0 Δ b +4. La solution physiquement acceptable est : b + b +4 s (l'autre solution étant négative). ème cas : s <0 cad s < s b s s conduit au polynôme du nd degré : s + s b 0 Δb +4. La solution physiquement acceptable est : s b + b +4 (l'autre solution étant négative). Δ ss s b d'où Δ ω L C b Δ ω ω 0 b. 4

5 c) Qb L C 6. Le diagramme de Bode correspondant à la fonction H ( j ω) a) Le diagramme de Bode correspond bien à un filtre passe bande. Le filtre est très sélectif b) Aux pulsations de coupure le gain vaut -0 db. 7. L'intérêt est de pouvoir ajuster la fréquence de résonance du circuit à celle des atomes pour pouvoir isoler cette fréquence. 8. Valeur des composants du modèle électrique a) f 0 ω 0 π 500 MHz. De plus f 0 π LC membre, on obtient : f 0 Q () et Q L C L C π LC π C d'où C π f 0 Q. AN : C π ,.0 F3, pf ; L 4π f 0 C. AN : L H 4π ( ) 3,.0 3,.0 8. b) Les valeurs des deux composants sont très faibles. 9. Étude du courant (). En multipliant les deux équations membre à a) On écrit la loi des mailles en complexe : U e I + jlω I + I on multiplie cet équation par j ω : jc ω j ωu e j ω I + j ω jlω I + I j ω. On transpose en notation réelle en considérant que multiplier par j ω jc ω revient à dériver. On obtient : du e (t) d i (t) + L d i (t) + i (t) C. En ordonnant et en divisant toute l'expression par L, on obtient : d i(t) + ω 0 Q ω 0 LC et Q Lω 0. d i(t ) +ω 0 i(t) du e (t ) où : L b) Pour déterminer i h (t ) on associe l'équation caractéristique à l'équation homogène : r + ω 0 Q r+ω 00. Son discriminant est : Δω 0( Q 4) or Q >> donc Δ 4ω 0.Les racines sont r ω 0 Q + j Δ ω 0 Q + j ω 0 et r ω 0 Q j Δ ω 0 Q j ω ω 0 Q i h (t )e t ( Acosω 0 t+ B sinω 0 t ) 0. Détermination de i(t) a) A t 0 + i (0 + )i (0 - )0 par continuité de l'intensité dans la bobine. Le condensateur étant déchargé en t 0-, on en déduit que la tension aux bornes du condensateur est nulle en t0+. En appliquant la loi des mailles en t0 +, on obtient L ( di ) (0+ )E d'où : ( di ) (0+ ) E L. b) du (t ) e u e (t) E implique 0 l'équation à résoudre est : d i(t) + ω 0 d i(t ) +ω Q 0 i(t)0 donc ω 0 Q i(t)i h (t)e t ( Acos ω 0 t+ Bsin ω 0 t). On applique maintenant les conditions initiales : i(0 + )0 A et ( di ) (0+ ) E L B ω 0 d'où ( di ) (0+ )B E E C L ω 0 L. Finalement : i h (t ) E C ω L e 0 Q t sin ω 0 t. 5

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