DM8 ELM-Aides TIPE TSI2 Exercice 1 : Les courants de Foucault (aide pour le TIPE de Paul S.)

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1 Exercice 1 : Les courants de Foucault (aide pour le TIPE de Paul S.) A. Chauffage par courants de de Foucault Un cylindre métallique de rayon et de longueur est immobile dans un champ magnétique. En repérage cylindrique, ce champ < = cos magnétique est tel que. est donc = localement parallèle à l axe du cylindre et varie sinusoïdalement dans le temps à la pulsation. Le métal est non magnétique, de perméabilité magnétique µ assimilable à celle du vide et de conductivité. On se place dans l approximation des régimes quasi-stationnaires et on négligera l effet de peau (réponse auto-inductive du matériau). 1) Rappeler l équation de Maxwell-Faraday en régime variable. 2) A l aide d arguments de symétrie et d invariances clairement énoncés et corroborés par un schéma, justifier que le champ électromoteur associé à soit telle que = 3) Déterminer l expression du champ électromoteur dans le cylindre en utilisant le théorème de Stokes. 4) Rappeler la loi d Ohm locale reliant le vecteur densité de courant à. 5) Exprimer la puissance volumique en fonction de et 6) En déduire alors la puissance moyenne < > dissipée par effet Joule dans le cylindre. Résolution de problème : Pour la question 7), il est attendu une mise en équation rigoureuse conduisant tout d abord à la manipulation de grandeurs littérales clairement définies permettant ensuite d aboutir à une analyse énergétique. 7) On remplace cylindre métallique précédent par un autre cylindre de même dimension mais constitué de tiges cylindriques identiques et isolées entre elles. On note < > la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans ce cylindre. Quelle relation existe-t-il entre < > et < >? B. Freinage par courants de Foucault Un frein magnétique à disque est constitué d un disque métallique de rayon et d épaisseur fixé sur l arbre d une machine tournant à une vitesse angulaire, et d un électroaimant produisant un champ magnétique quasi-uniforme et perpendiculaire au disque sur un secteur d angle situé entre et <. Dans cette situation, un conducteur mobile dans un champ magnétique stationnaire est soumis à un champ électromoteur donné par = où est la vitesse du conducteur par rapport au référentiel lié à l électroaimant. On note la conductivité électrique du disque. 8) Exprimer en fonction de la distance radiale, et (norme de ) 9) En déduire l expression de la densité volumique de la force de Laplace en précisant bien son orientation dans un système de repérage clairement dessiné sur votre copie. 1) Calculer le moment résultant exercé sur le disque. Commenter

2 Exercice 2 : Détecteur de véhicules à boucle inductive (aide pour le TIPE de Dorian V.) Le principe de fonctionnement d un détecteur de véhicules à boucle inductive est le suivant : un enroulement de fil électrique placé dans une tranchée en travers la chaussée est relié à une borne contenant le reste de l équipement électrique. Ce dernier génère un courant sinusoïdal qui crée au-dessus de la boucle un champ électromagnétique sinusoïdal de même pulsation. Lorsqu un véhicule passe au-dessus de la boucle, ce champ magnétique induit des courants de Foucault sous le châssis. Ces courants ont pour effets de modifier l inductance de la boucle et donc la fréquence électrique des oscillations. Un fréquencemètre permet ensuite de détecter le passage d un véhicule. A- Inductance propre On souhaite connaître dans un 1 e temps l inductance de la boucle seule. La boucle est constituée de segments conducteurs. On considère alors chaque segment du cadre comme équivalent à un cylindre infini de rayon (et ). Chaque segment est parcouru par un courant d intensité réparti uniformément en surface. 1) A l aide du théorème d Ampère (et des analyses de symétrie et d invariances préalables) exprimer le champ magnétique créé en tout de l espace par un segment seul. On note µ la perméabilité magnétique des milieux (ici assimilée à celle du vide). On considère l association parallèle de deux cylindres équivalents, parallèles, identiques à celui qui vient d être étudié et distants de. Le rayon est tel que, le flux propre linéique est alors évalué en calculant le flux linéique délimité par l espace compris entre = et = (avec la distance radiale mesuré depuis l axe d un des deux cylindre). ε 2) Exprimer l inductance propre linéique en fonction de µ, et La géométrie du cadre est telle que =. De plus le cadre est constitué de enroulements (l épaisseur de la structure reste négligeable). 3) Justifier que l inductance totale est donnée par 2 µ ln. 4) Calculer si = 9, = 1 et = 3.

3 B- Courant de Foucault Lorsqu un véhicule est placé juste au-dessus de la boucle, le dessous de la carcasse métallique (châssis en acier de conductivité électrique = 6 1. et situé à une hauteur h de 25cm de la boucle), subissant le champ magnétique variable créé par la boucle, est le siège de courants de Foucault présents sur une épaisseur de l ordre de. On note la fréquence du courant sinusoïdal circulant dans la boucle enterrée lors de son fonctionnement. On admet que l épaisseur dépend des trois seuls paramètres, et µ sous la forme = 5) Déterminer les valeurs des exposant, et par analyse dimensionnelle. 6) Calculer pour = 5. C- Etude électrique µ Les courants de Foucault qui s établissent dans la carcasse métallique de la voiture modifie le flux magnétique totale à travers le cadre du détecteur. L inductance équivalente est alors modifiée de et vaut alors. Le cadre enterré et la borne de détection constitue le filtre ci-dessous. Le reste du circuit auquel est relié ce filtre oscille à la fréquence propre de ce filtre : R R C Leq' Résolution de problème : Pour cette question, il est attendu une mise en équation rigoureuse conduisant tout d abord à la manipulation de grandeurs littérales clairement définies et aboutisssant ensuite à une application numérique. 7) Le détecteur utilisé permet d apprécier des variations de fréquences d oscillation de 1%. Quelle doit être la valeur de associée?

4 Exercice 3 : Principe du train magnétique (Aide pour le TIPE de Bastien M.) Avec une pile, un conducteur en cuivre et des aimants néodymes puissants nous pouvons mettre en évidence l action de la force magnétique de Laplace. On va : - Assimiler les aimants à des petits dipôles magnétiques de même moment dipolaire constant (boucles de courant d intensité constante) - La pile, si ses bornes sont mises en contact avec l enroulement en cuivre, génère un courant traversant le cuivre et générant à son tour un champ magnétique. Envisageons le déplacement d un des aimants dans le champ magnétique stationnaire mais non uniforme créé par le bobinage. Ce mouvement est initié par l action de la force de Laplace. On note = un élément de longueur du dipôle magnétique, = le déplacement élémentaire du dipôle pendant l intervalle de temps. La base cylindrique (,, ) sera donc retenue par la suite, ainsi =. Au niveau du dipôle (de rayon «faible»), on pourra conssidérer : ( =, ) é ï é ô à ô + à +

5 A- Force magnétique 1) Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur l élément de longueur pour le déplacement est =. 2) Montrer alors que = où = 2 > est le flux coupé élémentaire c est-àdire le flux du champ magnétique à travers la surface ouverte balayée par le dipôle lors de son déplacement. 3) Enoncer l équation de Maxwell-Flux 4) Effectuer un bilan de flux à travers la surface fermée balayée par le dipôle magnétique et montrer que = ( + ) + 2 5) Montrer, à l aide d un bilan de flux de à travers la surface cylindrique fermée décrite par le dipôle au cours de son déplacement, que =. où est la norme du moment dipolaire du dipôle magnétique. 6) La force magnétique totale s exerçant sur le dipôle est suivant. Montrer que =. B- Champ magnétique On donne l expression du champ magnétique créé par un bobinage de longueur,de spires jointives sur son axe et parcouru par un courant d intensité : = µ 2 ( ) 7) On se place à une côte telle que et on suppose. L abscisse pouvant être positive ou négative. Montrer que : C- Discussion : = ( = ) On donne le graphe de la fonction = / Résolution de problème : Pour cette question, il est attendu une réponse précise et quantitative issue d une réflexion utilisant les résultats précédents. 8) Comment faut-il orienter les aimants pour que le train magnétique puisse se déplacer?

6 Exercice 4 : Lévitation magnétique d une grenouille Une grenouille est principalement constituée d eau qui présente un comportement diamagnétique et donc une réponse inductive potentielement observable. Cet exercice cherche à apprécier les conditions expérimentales qui permettent la lévitation magnétique d une grenouille par effet inductif dans un champ magnétique variable. Dans toute la suite, on se place en ARQS. La grenouille sera assimilée à une simple spire de rayon = 5, de résistance, d inductance et parcourue par un courant induit = cos ( + ) ( et étant des constantes). baigne dans le champ magnétique rayonné par une autre spire notée, de même axe que et aussi de rayon. est parcourue par un courant = cos cos générant un champ magnétique donné par (,, ) = cos tch?v=a1vyb-o5i6e en repérage cylindrique. est donnée par = µ / 1) Tracer sur votre copie l allure de quelques lignes de champ magnétique créées par puis justifier l existence de la composante radiale de par une analyse de symétrie de la distribution. 2) Rappeler l équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux). 3) Montrer que le champ magnétique proposé au voisinage de est bien à flux conservatif. On pourra utiliser la divergence en coordonnées cylindriques : = + + 4) Dessiner le circuit électrique équivalent de la spire dans lequel ont lieux les phénomènes d induction. 5) Montrer que l équation différentielle dont est solution est : + = sin où = et est une constante que l on exprimera en fonction des données du sujet. La linéarité du problème permet l utilisation de la notation complexe, cette écriture permet d effectuer les transformations suivantes : sin = cos ( + ) = 6) On se place expérimentalement dans le cas où. Montrer que 7) Exprimer la force de Laplace s exerçant sur en fonction de, et. 8) En déduire alors que la moyenne temporelle de est < > µ / et.. Résolution de problème : Pour cette question, il est attendu une réponse précise et quantitative issue d une réflexion utilisant les résultats précédents. 9) On donne ci-dessous la représentation graphique de en fonction de. On prend = 2 et =,1. Justifier que la lévitation d une grenouille est effectivement possible.