Mathématiques. Ch. 1 Suites : Exercices

Transcription

1 1 BTS CGO - LYCÉE LOUIS PAYEN - Mathématiques Ch. 1 Suites : Exercices Cours J-L NEULAT 1 Suites et tableurs EXERCICE 1 Un grand magasin estime que chaque année sa clientèle de l année précédente satisfaite lui apportait 5% de nouveaux clients, mais que par contre elle en perdait 100 d insatisfaits. 1. En 2012, elle a eu 2188 clients. On appelle u n le nombre de clients qu elle aura en l année 2012+n. Expliquer comment est définie la suite (u n ) et calculer à l aide d un tableur ses 21 premiers termes. 2. Représenter graphiquement sur le tableur les 21 premiers termes de la suite (u n ). 3. Chaque client achète en moyenne 220ede marchandises. On appelle r n la recette qu elle prévoit de faire en l année 2012+n. Expliquer comment est définie la suite (r n ) et calculer à l aide d un tableur ses 21 premiers termes. 4. Représenter sur le tableur les termes de la suite (r n ). 5. Calculer avec l aide du tableur le nombre prévisible de clients qui vont rentrer dans ce grand magasin entre le 1 janvier 2012 et le 31 décembre EXERCICE 2 En 2010, la population d une ville s élevait à d habitants. On estime que sa population va croître chaque année de 5 % et qu elle accueillera chaque année habitants supplémentaires. On note u n son nombre d habitants en millions l année 2010+n. On a donc : u 0 = Calculer u 1 et u Démontrer que u n+1 = 1,05u n + 0,03 3. Utiliser un tableur pour déterminer les 20 premiers termes de la suite. 4. Représenter sur le tableur les termes de la suite (u n ). Interpréter le graphique pour en déduire des conclusions sur l évolution de la population. 5. En quelle année la population aura-t-elle doublé? 6. En 2010, les dépenses globales de la municipalité s élevaient à Elles augmentent chaque années de 8% par rapport à celles de l année précédente et il s y ajoute 16epar habitant supplémentaire. On appelle d n le montant des dépenses en millions d euros l année 2010+n. (a) Calculer d n+1 en fonction de d n, u n et u n+1. (b) Utiliser le tableur pour calculer les 20 premiers termes de la suite (d n ). (c) En quelle année le montant des dépenses globales va-t-il doubler ( par rapport à celui de l année 2010)? (d) Quel sera le montant des dépenses globales de la municipalité entre les années 2010 et 2020 incluses? (Utiliser le tableur pour répondre à cette question.)

2 2 2 SUITES ARITHMÉTIQUES EXERCICE 3 Le mathématicien toscan Fibonnacci, appelé aussi Léonard de Pise, pose en 1202 le célèbre problème suivant : il fait l hypothèse qu un couple de lapins donne naissance à un nouveau couple de lapins chaque mois dès qu il a atteint l âge de deux mois et il demande de calculer le nombre u n de couples de lapins qu un seul couple de lapins aura produit au bout de n mois. 1. Justifier que : u 0 = 1 ; u 1 = 1 ; u 2 = 2 ; u 3 = Calculer u 4 ; u 5 ; u Justifier que u n+2 = u n + u n+1 4. Utiliser un tableur pour calculer les 25 premiers termes de la suites (u n ) 5. Représenter sur le tableur les termes de la suite (u n ). Interpréter le graphique pour en déduire des conclusions sur l évolution de la population de lapins. EXERCICE 4 Le montant des d investissements d une entreprise qui vient de démarrer se sont élevés la première année à e et la seconde années à e. Les dirigeants ont pour objectif de réduire de moitié l évolution des investissement d une année sur l autre à partir de la troisième année. On appelle u n le montant des investissements en milliers d euros de la n e année. On a donc : u 1 = 100 et u 2 = Justifier que pour tout entier n 3 : u n+2 u n+1 = 1 2 (u n+1 u n ). 2. En déduire u n+2 en fonction de u n et u n Calculer u 3 ; u Utiliser un tableur pour calculer les 25 premiers termes de la suites (u n ) 5. Quel sera le montant des investissements pendant les 10 premières années? (Utiliser le tableur pour répondre à cette question.) 6. Représenter graphiquement cette suite. Lire graphiquement le sens de variation de (u n ). 7. Quelle remarque pouvez-faire concernant le montant des investissements de cette entreprise dans les années à venir? 2 Suites arithmétiques 2.1 Calcul du terme d rang n EXERCICE 5 L exercice comptable annuel d un grand magasin s étend du 1 er janvier au 31 décembre. A la fin de chaque mois, ses cahiers de comptes sont mis à jour. Le 31 juillet 2012, la rubrique vol à l étalage (depuis le 1 er janvier) fait apparaître une perte de e. Des études statistiques ont permis d établir qu elle perdait en moyenne tous les jours 200epour vol à l étalage. On appelle p n le montant estimé ene des pertes pour vol à l étalage au bout de n jours depuis le 1 er janvier Quelle est la nature de la suite (p n )? 2. Calculer, pour tout entier naturel n tel que 213<n 366, p n en fonction de n. 3. Dans la mise à jour des cahiers de comptes du 31 octobre 2012, quel montant apparaîtra dans la rubrique vol à l étalage? EXERCICE 6 Une entreprise démarre la production d un nouveau produit le 1 er septembre Elle en fabrique 2800 le premier mois. Elle prévoit d augmenter chaque mois sa production de 100 exemplaires. On appelle u n le nombre d exemplaires produits le n e mois après le mois de septembre 2012.

3 2.2 Somme de termes consécutifs 3 1. Quelle est la nature de la suite (u n )? 2. Calculer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. 3. Quel sera le nombre d exemplaires produits au mois de mai 2013? EXERCICE 7 Un capital de 25000eest placé à intérêt simple annuel au taux de 2,75%. 1. Quel sera le capital récupéré dans 20 ans? 2. Au bout de combien d années le capital aura-t-il doublé? EXERCICE 8 Un capital de 10000eest placé à intérêts simples au taux annuel de 5%. On appelle K n le capital récupérable au bout de la n e année. 1. Quelle est la nature de la suite (K n )? Calculer K n en fonction de n. 2. Au bout de combien d années le capital aura-t-il dépassé 17500? EXERCICE 9 Un capital de C 0 euros est placé à intérêts simples au taux annuel de 3,2%. Au bout de 3 ans, la somme récupérée s élève à e. 1. On appelle C n le capital récupéré au bout de n années. Quelle est la nature de la suite (C n )? Calculer C 3 en fonction de C Quel était le montant du capital initial? EXERCICE 10 Dans les mois qui ont suivis sa création, le capital d une entreprise a augmenté de 7000 euros tous les mois. Au bout de 18 mois, le capital était de e. 1. Quel était le capital initial de l entreprise? 2. Au bout de combien de mois a-t-il doublé? 2.2 Somme de termes consécutifs EXERCICE 11 Une entreprise a entreposé des tuyaux cylindriques de même dimension de la façon suivante : au sol reposent 10 tuyaux côte à côte ; on forme une seconde rangée en posant chacun des nouveaux tuyaux sur deux tuyaux de la première rangée ; on procède ainsi de suite jusqu à ce que l on ne puisse plus continuer :... Calculer le nombre de tuyaux entreposés.

4 4 3 SUITES GÉOMÉTRIQUES EXERCICE 12 La production d une entreprise de 1995 à 2005 a été en progression arithmétique. En 1995, elle a produit 50 unités et en 2005, elle a produit 130 unités. 1. Quelle a été l augmentation annuelle de la production? 2. Quelle a été la quantité d unités produites sur la période? EXERCICE 13 Une entreprise a embauché le premier janvier 2000 une personne en augmentant chaque année le premier janvier son salaire mensuel de 75e. On appelle s n le salaire ene la n e année, la première année étant l année Quelle est la nature de la suite (s n )? 2. Calculer, pour tout entier naturel n, s n en fonction de n et s Le montant de tous les salaires perçus par cette personne les 5 premières années s élève à e. Quel était le salaire mensuel de cette personne en 2000? EXERCICE 14 Le chiffre d affaire d une entreprise a augmenté régulièrement chaque année de 2002 à 2011 de la même somme r. Son chiffre d affaire en 2011 a été de e. Le total des chiffres d affaires des dix années s élève à On appelle c n la production de l entreprise en 2002+n. 1. Quelle est la nature de la suite c n? 2. Calculer, pour tout entier naturel n, c n en fonction de n, r et c Calculer la somme S des chiffres d affaires des dix années en fonction de c En déduire quel était le chiffre d affaire en 2002 et quelle a été l augmentation constante de ce chiffre d affaire d une année sur l autre pendant la période Suites géométriques 3.1 Calcul du terme d rang n EXERCICE 15 Une entreprise propose le contrat d embauche suivant : 1 200epar mois la première année ; 2 % d augmentation chaque année par rapport au salaire de l année précédente. On appelle s n le salaire en euros la n e année. Quelle est la nature de la suite (s n )? Calculer en fonction de n le salaire mensuel s n de la n e année. En déduire le salaire mensuel au bout de 20 ans. EXERCICE 16 Le chiffre d affaire d une société a progressé de 10 % chaque année pendant 20 ans. La première année, il s élevait e. On appelle c n le chiffre d affaire la n e année. Calculer c n en fonction de n. En déduire le chiffre d affaire au bout de 10 ans. Au bout de 20 ans. EXERCICE 17 Un capital de eest placé à intérêt composé annuel au taux de 2,5 %. Quel sera le capital récupéré dans 10 ans? EXERCICE 18 Un arbre mesure 1 m de haut. On estime que sa taille augmente de 5 % par an. Au bout de combien d années aura-t-il atteint 10 m?

5 3.2 Somme de termes consécutifs 5 EXERCICE Un capital de 5000eest placé à intérêt composé au taux mensuel de 1,75% pendant un an. Quel est le capital récupéré au bout d un an? 2. Un capital de C 0 e est placé à intérêt composé au taux mensuel de 1,75% pendant un an. Calculer en fonction de C 0 le capital récupéré au bout d un an? A quel taux annuel ce taux de 1,75% mensuel correspondt-il? 3. Un capital de C 0 euros est placé à intérêt composé au taux mensuelθ (0<θ< 1) pendant un an. Calculer en fonction de C 0 etθle capital récupéré au bout d un an. En déduire, en fonction deθ, la valeur du taux de placement annuelθ auquel correspond ce taux mensuelθ. 4. Déterminer, dans un placement à intérêts composés, à quel taux annuel correspond un taux mensuel de 1,25%? EXERCICE 20 Un capital C 0, exprimé en euros, est placé à intérêt composé à un taux annuel égal àθ (avec 0<θ< 1) pendant n années (où n N). On note C n le capital récupéré au bout de n années. 1. On donne : C 0 = 7000 ;θ= 0,06 ; n= 8. Calculer C n. Arrondir au centime près. 2. On donne : C n = 10110,35 ; θ= 0,11 ; n= 5. Calculer C 0. Arrondir au centime près. 3. On donne : C 0 = 5000 ; C n = 7178,15 ; n= 5. Calculerθ. Rappel : pour tous réels a et b positifs : a n = b b= a 1/n. Le nombre a 1/n est appelé racine n e de a, on le note aussi : n a. 4. On donne : C 0 = 5000 ; C n = 7419,46 ;θ= 0,058. Calculer n. Indication : on pourra utiliser la fonction ln qui vérifie la relation : ln ( a n) = n ln(a). 3.2 Somme de termes consécutifs EXERCICE 21 Le premier jour, René parcourt 10 km. Puis chaque jour suivant, il effectue un trajet dont la longueur excède de 2% celui de la veille. Quelle est la distance qu aura parcourue René au bout de 3 mois (91 jours)? EXERCICE 22 Le premier jour d une foire, un exposant effectue ede vente. Puis chaque jour suivant, pendant toute la période de la foire qui dure 15 jours, il fait 5% de vente en plus que la veille. Quel est le montant des ventes réalisées par cet exposant pendant la foire? EXERCICE 23 Au mois de janvier 2011, la demande d un produit fabriqué par une entreprise a été de 87 unités. On a constaté que sur les 4 premiers mois de l année la demande avait augmenté d environ 2% par tous les mois. On suppose qu il en sera ainsi jusqu à la fin de l année On appelle d n la demande du n e mois de l année Démontrer que (d n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme (rang et valeur). 2. Exprimer d n en fonction de n. 3. Quelle a été la demande au mois de mai 2011? 4. Quelle quantité de produits l entreprise devra-t-elle au moins fabriquer au mois d octobre 2011pour satisfaire à la demande du mois? 5. Quelle sera la quantité de produits qu aura dû fabriquer au minimum l entreprise pendant toute l année 2011 pour répondre à la demande?

6 6 4 SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES EXERCICE 24 On veut se constituer un capital C (exprimé en euros) en versant chaque année une annuité fixe a. 1. Le placement est à intérêts composés au taux annuel de 2,5%. (a) En versant chaque année une somme de 5000e, quel capital récupère-t-on au bout de 10 ans? (b) Quelle annuité fixe a doit-on verser chaque année pour récupérer au bout de 10 ans euros? 2. On appelle θ (0 <θ < 1) le taux annuel du placement à intérêts composés et n le nombre d annuités a versées chaque année pendant n années. (a) Démontrer que le capital C récupéré au bout de n années est : C = a [(1+θ)+(1+θ) 2 + (1+θ) (1+θ) n] (b) En déduire que : C = a(1+θ) (1+θ)n 1 θ (c) Vous placez le premier janvier pendant 12 ans 500e sur un compte épargne à intérêts composés au taux annuel de 1,75%. Quel capital allez-vous récupérer au bout de ces 12 années? (d) Vous voulez vous constituer un capital de 15000een plaçant pendant 8 ans à date fixe la même annuité sur un compte assurance vie à intérêts composés au taux annuel de 4,75%. Quel doit-être le montant de chaque annuité? 4 Suites arithmético-géométriques EXERCICE 25 Un artisan demande de rembourser l argent qu il a emprunté pour ses études sur plusieurs années. Il rembourse 3000e au début de l année Les années suivantes, en début d année, il effectue un versement dont le montant est de 20% inférieur au remboursement précédent et un versement supplémentaire fixe de 2000e. On appelle u n le montant du remboursement en euros au début de l année 2000+n. Ainsi : u o = Calculer u 1 et u Démontrer que pour tout entier naturel n : u n+1 = 0,8.u n On introduit la suite auxiliaire (v n ) définie pour tout entier n par : v n = u n. (a) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v o = (b) En déduire l expression de v n en fonction de n. (c) Calculer : v o + v 1 + v v (a) Calculer l expression de u n en fonction de n. (b) Calculer le montant de l ensemble des remboursements effectués pendant les dix premières années. EXERCICE 26 Un entrepreneur remarque qu il lui reste, chaque mois, 2000 euros sur le compte courant de son entreprise. Il décide donc, en 2000, de réaliser une épargne prudente de la façon suivante : Le 28 de chaque mois, il verse 50 % du solde de son compte courant sur un plan d épargne. Le solde est nul le 28 décembre Le 28 janvier 2000, le solde de son compte courant est S o = 2000 euros, il verse donc la somme e o = 1000 euros sur son plan d épargne et laisse 1000 euros sur son compte courant. Le 28 février 2000, le solde S 1 de son compte courant est égal à 3000 euros, c est-à-dire 1000 euros restants, plus 2000 euros d économies mensuelles. Il verse donc e 1 = 1500 euros sur son plan d épargne.

7 7 1. Calculer e 2 et e 3, versements respectifs de son compte courant à son plan d épargne le 28 mars et le 28 avril On désigne par e n le montant théorique du versement du compte courant au plan d épargne, le 28 du n e mois qui suit le mois de janvier On a donc : e n+1 = 1 2 (e n+ 2000). Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite (v n ) par : v n = 2000 e n. (a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v o = (b) En déduire l expression de v n en fonction de n. (c) Calculer v o + v 1 + v v (a) Exprimer e n en fonction de n. (b) Trouver le montant de la somme capitalisée sur le plan d épargne au 29 décembre Algorithmes EXERCICE 27 On considère la suite définie par : { u0 = 2000 u n+1 = 2 u n 1 1. Ecrire un algorithme qui prend un entrée un entier naturel n et donne en sortie le terme de rang n de la suite. 2. Programmer cet algorithme en Visual basic. 3. Reprendre le premier exercice. Modifier l algorithme et le programme Visual Basic pour qu il donne en sortie le terme de rang n de la suite définie dans cet exercice. 4. Même question pour l exercice 2. EXERCICE 28 On considère la suite définie par : On admet que (u n ) est croissante. { u0 = 1 u n+1 = 5 u n 3 1. Ecrire un algorithme qui prend un entrée un nombre réel K et donne en sortie le rang n du premier terme u n > K. 2. Programmer cet algortihme en Visual basic. 3. Reprendre le premier exercice. Modifier l algorithme et le programme Visual Basic pour qu il donne en sortie le rang n du premier terme u n > K de la suite définie dans cet exercice. 4. Même question pour l exercice 2.