DEVOIR DE SCIENCES PHYSIQUES 4

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1 DEVOIR DE SCIENCES PHYSIQUES 4 Nom : Prénom : Exercices n 1 : Modélisation d un résonateur à quartz (22 points) C A R Com Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz Un cristal de quartz est taillé sous forme de pastille cylindrique mince. La base circulaire présente un diamètre d = 1cm et l épaisseur de la pastille est e = 0,2 mm. Des électrodes métalliques (en or généralement) sont déposées sur chacune des faces circulaires du quartz (on suppose que ces faces sont totalement métallisées) (figure 1). On parle d électrodes de connexion. On a ainsi réalisé un condensateur plan. D un point de vue mécanique, lorsque l on soumet le disque piézo-électrique à une tension sinusoïdale V(t) = Vcos(ωt), il va être, dans le cadre d une approximation linéaire, le siège d une vibration mécanique sinusoïdale sous l effet d une force extérieure proportionnelle à cette tension. Modélisation proposée : un élément de masse m du corps piézo-électrique, placé à une distance x de son point de repos, est soumis aux forces suivantes, toutes orientées selon un axe (Ox) que l on ne précise pas ici : une force de rappel type élastique kx avec k > 0 qui a pour origine la rigidité du matériau, des frottements supposés proportionnels à la vitesse et de la forme h dx avec h > 0, dt une force due à l effet piézo-électrique βv(t) avec β > 0, le poids est négligé. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au petit élément de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, on obtient l équation m d2 x + h dx + kx = βv(t). dt² dt D un point de vue électrique, la charge totale q apparaissant sur les électrodes planes a deux origines : les deux faces planes du disque forment un condensateur de capacité C P, d où une charge q 1 (t), l effet piézo-électrique provoque l apparition d une charge q 2 proportionnelle à x : q 2 (t) = γx(t). 1. On montre que la capacité d un condensateur plan vaut C p = ε 0ε r S où S est la surface d une électrode, e l épaisseur du condensateur, ε 0 la permittivité du vide (sa valeur est ε 0 = 8, F. m 1 ) et ε r une constante valant pour le quartz ε r = 2,3. - Estimer alors la capacité C p appelée capacité de connexion. - Quelle est la relation entre la charge q 1, la capacité C p et la tension V(t)? 2. En reprenant l équation différentielle obtenue pour x(t), écrire l équation différentielle vérifiée par la charge q 2 (t). 3. Considérons le circuit représenté sur la figure 2 ci-dessous. e Montrer que la charge q 2 (t) est équivalente à la charge d un condensateur de capacité C s dans le circuit série R, L, C s dont la tension aux bornes est V(t). On donnera alors les expressions de R, L et C s en fonction de m, h, β, γ et k.

2 Etude de l impédance équivalente du quartz Dans cette partie, on néglige la résistance R du quartz. Le schéma électrique simplifié est alors donné sur la figure 3. Pour les applications numériques, on prendra L = 500 mh, C S = 0,08 pf et C P = 8 pf. On se placera toujours en régime sinusoïdal forcé (les grandeurs dépendront de la pulsation ω). 4. Calculer alors l impédance complexe du quartz, vue entre les bornes A et B. On l écrira sous la forme Z AB = ( j αω ) 1 ω² ωr² 1 ω² ωa² où j est le nombre imaginaire pur tel que j² = 1. On donnera, en fonction de L, C P et C S les expressions de α, ω a ² et ω r ². Montrer aussi que ω a 2 > ω r ². On pourra admettre les résultats de cette question pour poursuivre la résolution du problème. 5. Donner les valeurs numériques des fréquences f a et f r correspondant respectivement aux pulsations ω a et ω r. 6. Etudier le comportement inductif ou capacitif du quartz en fonction de la fréquence. On rappelle qu un dipôle a un comportement inductif (respectivement capacitif) si la partie imaginaire de son impédance est positive (respectivement négative). 7. Tracer l allure de Z AB = Z AB, module de l impédance complexe du quartz, en fonction de la fréquence. Etude expérimentale de la résonance d un quartz. On veut tracer expérimentalement la courbe donnant l impédance du quartz en fonction de la fréquence d excitation. On dispose d un générateur basses fréquences pouvant délivrer une tension sinusoïdale d amplitude réglable. Le GBF possède une résistance interne R g. On dispose d une résistance R V variable, d un quartz et d un oscilloscope. On réalise alors le montage de la figure 4 suivante. 8. Calculer le rapport de la tension de sortie V S à celle d entrée V E : H = V S V E en fonction de R V et de Z AB. 9. On choisit, pour chaque fréquence, la résistance R V de telle façon que H = 1. Que vaut 2 alors le module de l impédance du quartz en fonction de R V? 10. Autour du pic de résonance d intensité situé vers 796 khz, on mesure une bande passante de 50 Hz. Quelle est la valeur numérique du facteur de qualité Q du quartz défini comme le rapport de la fréquence de résonance sur la largeur de la bande passante? Commenter cette valeur. En supposant que le facteur de qualité soit donné par la relation Q = Lω 0 (ω R 0 étant la pulsation de résonance), estimer la valeur de la résistance R du quartz.

3 Principe d une montre à quartz Une horloge est composée d un oscillateur plus ou moins stable dans le temps et d un système de comptage des oscillations. Le quartz utilisé présente une fréquence de résonance de Hz. Cela signifie que fois par seconde une impulsion électrique est émise par le circuit oscillant. Un dispositif électrique doit compter les impulsions. Ces compteurs fonctionnent dans la technologie binaire (suite de 0 et de 1). Une impulsion électrique correspond à la valeur 1. La valeur 0 correspond à aucun signal électrique. 11. Compteur modulo 2. Un tel compteur délivre une impulsion de sortie dès qu il a compté 2 impulsions à son entrée. Si en entrée d un tel compteur on envoie le signal à Hz délivré par le circuit à quartz, quelle est la fréquence du signal de sortie du compteur modulo 2? 12. Succession de compteurs modulo 2. Ecrire le nombre sous la forme 2 k où k est un entier naturel. Combien de compteurs modulo 2 faut-il alors mettre en cascade pour commander le chiffre des secondes? Exercice 2 : Pickup de guitare électrique (26 points) C A R Com On étudie le comportement fréquentiel d un «pickup» de guitare électrique, ie du composant qui génère le signal électrique reproduisant les vibrations mécaniques de la corde. Étude générale On considère un filtre amplificateur de tension dont le diagramme de Bode du gain en décibel est représenté sur la figure 1. Figure 1 Diagramme de Bode d un filtre. 1. Déterminer sa nature et son ordre. 2. Donner les équations de ses asymptotes (G db en fonction de log(f)) à haute et basse fréquence. 3. Déterminer parmi les fonctions de transfert suivantes laquelle peut correspondre au diagramme précédent. On justifiera soigneusement les réponses en donnant la nature de chacun des filtres correspondants. Dans ces expressions Q et H 0 sont des réels positifs sans dimension, ω 0 est une pulsation positive. H = H 0 1+j ω ω0 H = H 0 1+j ω Qω0 ( ω ω0 )2 H = 1 + ω ω 0 ( ω Qω 0 ) 2 H = H 0 ω ω0 1+ ω ω0 jq( ω ω0 )2

4 On travaille dans toute la suite avec la fonction de transfert choisie. 4. Déterminer les équations de ses asymptotes à haute et basse fréquence (G db en fonction de log ( ω ω 0 )) ainsi que la valeur de H pour ω = ω 0. En déduire les valeurs de Q et de f 0 = ω 0 pour le diagramme de la figure 1. 2π Filtrage d un signal On envoie en entrée du filtre de la figure 1 un signal sinusoïdal noté u e (t), d amplitude notée U e = 1V et de fréquence variable. 5. Déterminer l amplitude, notée U s, de la tension en sortie, notée u s (t), pour : f = 300Hz, f = 3kHz, f = 8kHz. On considère un signal électrique périodique dont le spectre est donné sur la figure 2, caractéristique de la vibration d une corde de guitare. Figure 2 Spectre d une corde de guitare. L abscisse représente la fréquence de ses composantes sinusoïdales et l ordonnée représente 20 log(u = U ref ) avec U l amplitude et U ref = 10mV. On ne prêtera pas attention aux différences entre les deux courbes correspondant à deux manières différentes de gratter la corde. 6. Déterminer la fréquence du mode fondamental. 7. Tracer schématiquement l allure du spectre de ce signal s il est filtré par le filtre de la figure 1. On donnera en particulier les amplitudes (en db) du fondamental et des harmoniques les plus proches de 3 khz et de 8 khz. Modèle électrocinétique du pickup On peut modéliser le «pickup» branché sur un amplificateur de guitare par le circuit de la figure 3 dans lequel la source de tension sinusoïdale e génère un signal d amplitude constante E quelle que soit la fréquence. On s intéresse à la fonction de transfert U s = E, avec U s l amplitude du signal u s en sortie. La bobine L, le résistor R et le condensateur C caractérisent le «pickup» ; le condensateur C c caractérise la capacité du câble reliant la guitare à l amplificateur et le résistor R a caractérise la résistance d entrée de l amplificateur. 8. Vérifier (il n est pas nécessaire de calculer la fonction de transfert) que ce circuit a la même nature que le filtre dont le gain est donné à la figure 1.

5 9. La figure 4 représente les diagrammes de Bode du circuit précédent, quand on fait varier R a (avec C c = 470 pf) pour l une et quand on fait varier C c (avec R a = 10 MΩ) pour l autre. Proposer des valeurs pour R a et C c donnant une résonance à 2,5 khz (le son est alors dit «brillant») avec une surtension d un facteur 5 à la résonance. 10. Établir l expression de la fonction de transfert du circuit de la figure 3 et la mettre sous la forme choisie à la question Simplifier les expressions du facteur de qualité Q et de la pulsation propre ω 0 pour retrouver les ordres de grandeur de Q et ω 0 sur les diagrammes correspondant à R a = 10 MΩ. On utilisera le fait que R = R a est alors très petit devant Justifier également le sens de variation de ω 0 avec C c. 13. Comment modifier le montage précédent avec un potentiomètre pour faire varier l amplitude du signal de sortie sans changer la réponse fréquentielle. Données : Capacité du pickup C = 100pF ; autoinductance du pickup L = 5H, résistance du pickup R = 6 kω. Figure 4 Modifications des diagrammes de Bode quand on varie la résistance R a et la capacité C c. Résolution de problème : Déparasité un signal (6 points) C A R Com A partir des documents présentés et du questionnaire l accompagnant, répondre à la problématique ci-dessous. Toute démarche constructive, même inachevée, sera prise en compte dans l évaluation. Il faut justifier vos affirmations. Un capteur délivre une tension subissant un parasitage du fait de l alimentation du secteur à 50 Hz (fréquence EDF). On cherche à concevoir un filtre adapté permettant d obtenir le signal souhaité, c est-à-dire déparasité. On détaillera la réponse. Signal parasité :

6 Signal corrigé : Exercices n 4 : Entité chimique mystère (6 points) C A R Com Donner les 3 première lignes de la classification périodique. On donne des caractéristiques d entité chimique : - Entité 1 : je suis une entité du bloc s possédant la plus grande électronégativité. - Entité 2 : je suis une entité de nombre quantique principal égal à 2 et appartenant à la famille des halogènes. - Entité 3 : je suis l ion le plus stable tel que Z = Entité 4 : je suis la particule alpha, un nucléon et un ion. C A R Com Nombres d étoiles obtenues : Nombres d étoiles totales : Appréciations : Note : C = Connaissance ; A = Application ; R = Raisonnement ; Com = Communication Rendre le sujet avec la copie