THERMODYNAMIQUE ET INDUCTION

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1 THERMODYNAMIQUE ET INDUCTION CALCULATRICES AUTORISÉES I. Étude d une pince ampère-métrique à induction Une pince ampèremétrique est un instrument de mesure de l intensité électrique dans un conducteur. La pince est disposée autour du conducteur parcouru par le courant dont on souhaite mesurer l intensité. La pince ainsi positionnée permet d accéder à l intensité étudiée. On considère une pince constituée d un tore de section carrée de côté a d axe Oz et de rayon moyen 5a 2 (figures ci-dessous) sur lequel sont bobinées régulièrement un grand nombre N de spires carrées de côté a disposées en série. Ce circuit de résistance totale R est fermé sur un ampèremètre de résistance interne négligeable. Vue de dessus. Vue transversale. Le conducteur enserré par la pince ampèremétrique est considéré comme un fil infini confondu avec l axe Oz. Il est parcouru par un courant d intensité I(t) = I m cos(ωt) de pulsation ω et créée un champ magnétique noté B e (M) au point M 1. Justifier qualitativement l existence d un courant i(t) dans le bobinage torique de la pince ampèremétrique. Dans la suite on suppose que ce courant est de la forme i(t) = i m cos(ωt + ϕ) en régime sinusoïdal forcé. On note B = B e + B p le champ magnétique total qui résulte du champ créé par le courant I(t) dans le fil rectiligne ( B e ) et par le courant i(t) dans la pince ( B p ). 2. En utilisant les propriétés de symétrie de la distribution de courant, montrer que le champ B est nécessairement orthoradial. Dans la suite on admet les expressions suivantes valables au sein du tore : B e = µ 0I 2πr e θ et Bp = µ 0Ni 2πr e θ. 1

2 3. Établir l expression du flux Φ du champ magnétique total à travers une spire du tore en fonction de µ 0, I(t), i(t), N et a. En déduire le flux total Φ tot à travers l ensemble des N spires du tore. 4. Rappeler les définitions respectives du coefficient d auto-inductance L du tore et du coefficient d inductance mutuelle M entre les deux circuits. Déduire des calculs précédent les expressions respectives de L et de M 5. Écrire la force électromotrice induite dans le tore en fonction de i et I. 6. On définit la fonction de transfert complexe de la pince par H = i I. En utilisant la notation complexe, déterminer l expression de la fonction de transfert. 7. Quel est son comportement fréquentiel en module? Quel domaine fréquentiel est à privilégier pour les mesures? Peut-on mesurer des intensités en courant continu? 8. Quel est l intérêt de la pince ampèremétrique par rapport à un ampèremètre classique? II. Etude d une plaque à induction Une plaque à induction rayonne un champ magnétique. Nous allons supposer, pour simplifier, que ce champ magnétique est analogue à celui créé par une bobine (P) circulaire comportant N spires d axe Oz, filiformes, jointives et de rayon a. L épaisseur des spires est négligeable, de sorte que les centres des spires peuvent être considérés comme superposés au même point O. Cette bobine (P) est parcourue par un courant sinusoïdal d intensité I(t) = I 0 sin(ωt) et de fréquence f = ω 2π. La casserole métallique, de masse m, posée sur la plaque à induction, est le siège de courants de Foucault dans son fond. Elle sera modélisée par une spire (S) circulaire de rayon b < a et d axe Oz, et repérée par sa cote constante z = z 0 > 0. Elle est parcourue par un courant induit d intensité i(t). Les sens des courants électriques sur le schéma ci-dessus donnent les sens d orientation des spires. Pour simplifier les calculs, nous admettrons les hypothèses simplificatrices suivantes : (P) rayonne un champ magnétique uniforme suivant l axe Oz de la forme B = B 0 sin(ωt) u z où B 0 est une constante, la spire (S), dont on néglige l inductance propre, possède une résistance électrique notée R. 1. Donner l expression du flux du champ magnétique rayonné par (P) à travers (S). 2. En déduire l expression de la tension induite e apparaissant dans (S). 3. En déduire l expression du courant induit i(t). 4. En déduire l expression de la puissance instantanée P J (t) dissipée par effet Joule par (S), puis de sa valeur moyenne P Jm (t). 5. Expliquer pourquoi certaines casseroles ne peuvent pas être utilisées avec ce mode de chauffage par induction. 2

3 III. Étude d un réfrigérateur à compresseur Le réfrigérateur est supposé être une machine cyclique et ditherme, au contact avec deux thermostats que sont l air intérieur d une part, et l air extérieur d autre part (cf figure ci-dessous). L écoulement du fluide réfrigérant est stationnaire, de débit massique D m. Les variations d énergies cinétique et potentielle du fluide seront négligées. Nous supposerons également que le fluide réfrigérant décrit le cycle suivant (on note (T i, P i ) le couple température-pression relatif à l état i du fluide) : Avant d entrer dans le compresseur, le fluide est un gaz surchauffé (état A(T A, P A )). Le compresseur impose une compression adiabatique et irréversible. Le fluide reste à l état gazeux (état B(T B, P B )). Le fluide circule ensuite dans le condenseur où il opère un refroidissement isobare puis une liquéfaction complète isobare à la pression P B. On obtient un liquide saturant (état C(T C, P C )). Le liquide subit une détente isenthalpique (détente de type Joule-Thomson sans travail utile et sans transfert thermique) faisant apparaître un mélange diphasé après avoir traversé le détendeur (état D(T D, P D )). Le fluide pénètre dans l évaporateur et évolue de manière isobare jusqu à l état A. On prendra les valeurs suivantes : P A = 2, 0 bar, P B = 7, 0 bar, T A = 5 C, T B = 55 C et D m = 1, kg.s 1. Une tolérance de ±2 kj.kg 1 sur la lecture de l enthalpie massique sera acceptée. Une tolérance de ±1 C sur la lecture des températures sera acceptée. 1. On considère un fluide en écoulement dans une conduite avec un débit massique D m, recevant une puissance thermique P th et une puissance mécanique utile P m (mise en jeu par les éventuelles parties mobiles d une machine présente dans la conduite). On note h e et h s les enthalpies massiques du fluide à l entrée et à la sortie de la conduite. Donner sans démonstration la relation du premier principe industriel entre ces grandeurs. 2. Sur le diagramme entropique fourni en document réponse en annexe (à rendre avec la copie), repérer les domaines liquide (L), diphasique (L+G) et gazeux (G). Justifier. 3. Reporter la position des points A, B, C, et D sur le document réponse fourni en annexe. Indiquer les coordonnées (T i, p i ) de chaque point en justifiant. 4. Donner, par lecture sur le diagramme entropique, la température T l de liquéfaction du fluide réfrigérant observée pour le cycle étudié. 5. Donner, par lecture sur le diagramme entropique, la température T v de vaporisation du fluide réfrigérant observée pour le cycle étudié. 6. Exprimer puis calculer la puissance P th,2, reçue par le fluide pendant la transformation menant de l état D à l état A. 7. Exprimer puis calculer la puissance P m reçue par le fluide pendant la transformation menant de l état A à l état B. 8. Exprimer puis calculer la puissance P th,1, reçue par le fluide pendant la transformation menant de l état B à l état C. 9. Les résultats précédents, aux incertitudes de lecture près, permettent d écrire P m (P th,1 +P th,2 ). Commenter cette relation. 3

4 10. En déduire l expression puis une estimation de la valeur de l efficacité η. 11. Déterminer par ailleurs l expression et la valeur numérique de l efficacité théorique maximale du réfrigérateur, notée η max, en fonction de T ext = 25 C et T int = 5 C. Commenter la différence avec η. 12. Lors d un processus adiabatique entre un état A et un état B, on peut déterminer, à l aide du diagramme entropique, le travail massique w f des forces de viscosité du fluide car ˆ B w f = T ds. A Estimer la puissance P f associée à ces forces de viscosité lors de la compression (pour ce calcul la représentation de la transformation menant de l état A à B sera linéarisée et donc assimilée à un simple segment reliant les points A et B). Commenter ce dernier résultat. * * * Fin de l épreuve * * * (pensez à détacher et rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom) 4

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