Qu est-ce que la Mécanique?

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1 Unité d Enseignement LA 101 Qu est-ce que la Mécanique? Renée Gatignol Université Pierre et Marie Curie 2010

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3 Table des matières 1 Introduction Qu est-ce que la «mécanique»? La Mécanique? La Mécanique au travers de grands champs disciplinaires Plan du Cours L esprit du cours Mécanique des structures Objet de la résistance des matériaux Loi fondamentale de la statique Notion de forces Principe fondamental de la statique Théorème de l action et de la réaction Quelques exemples Liaisons parfaites dans l espace Liaisons parfaites dans le plan Problème plan Liaisons parfaites dans le plan Appui fixe, appui mobile Relations contraintes - déformations Phénomène de traction - compression Élasticité, plasticité, élasticité, rupture Dilatation thermique Mécanique des structures : Exercices avec correction Exercice 1 : Seau suspendu à un câble Exercice 2 : Seau et système de mouflage Exercice 3 : Portique plan constitué de deux barres soudées Exercice 4 : Portique plan constitué de deux barres articulées Exercice 5 : Loi de l élasticité linéaire de Hooke appliquée à un poteau en compression Exercice 6 : Trombone en traction Exercice 7 : Poteau en compression de section droite non constante Exercice 8 : Travé de pont Exercice 9 : Balustrade en acier Mécanique du vol Généralites sur les profils d ailes Qu est ce qu un profil d aile? Vitesse propre de l avion. Vitesse de l avion par rapport au sol. Incidence Écoulement autour d un profil et distribution des pressions i

4 ii TABLE DES MATIÈRES Effets de viscosité et couche limite Le décollement de la couche limite et le décrochage de l aile Analyse quantitative : portance et traînée Définitions et premières remarques Coefficient de portance et coefficient de traînée Polaire du profil Avion complet Coefficient de traînée et coefficient de portance pour l avion complet Polaire de l avion Avion en vol sur une trajectoire rectiligne Facteur de charge Les effets tridimensionnels Le décrochage, l hypersustentation Le décrochage L hypersustentation Mécanique du vol : Exercices avec correction Exercice 1 : Vol de croisière (en palier stabilisé) Exercice 2 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion Exercice 3 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion et puissance utile Exercice 4 : Avion en montée ou en descente Énergétique Introduction Premier principe de la thermodynamique Observation : action mécanique résultant d un échauffement Système fermé, système ouvert Qu est-ce que l énergie? Chaleur, puissance calorifique Premier principe de la thermodynamique Dimensions - Unités - Exemples de conversion de l énergie Dimensions Unités Exemples d ordre de grandeur pour l énergie Conversion d énergie - Exemples Transformations thermodynamiques de base Observation. Variables d état. Lois d état Relations entre travail, chaleur, énergie et variables d état pour un gaz parfait Transformations thermodynamiques de base, dans le cas d un gaz parfait avec c p et c v constants Transformations dans un turbo-propulseur Transformations dans un turbo-propulseur Calcul des énergies mises en jeu dans chaque transformation Calcul du travail que doit fournir le compresseur Puissance mécanique récupérée sur l arbre Rendement d un turbo-propulseur - Cycles réels Calcul du rendement thermodynamique du turbo-propulseur Cycles réels Ordres de grandeur pour des turbo-propulseurs industriels Exercices avec correction

5 TABLE DES MATIÈRES iii Exercice 1 : Transfert et conversion d énergie Exercice 2 : Loi d état Exercice 3 : Transformations thermodynamiques Acoustique Introduction Historique Notion d onde mécanique Grandeurs caractéristiques d une onde Transmission acoustique Mouvements acoustiques - Domaine audible Ordres de grandeur de la pression acoustique Équations des ondes dans une corde Fonctions de deux variables et dérivées partielles Équation des ondes transversales dans une corde Ondes dans une corde, modes propagatifs Onde progressive sinusoïdale Application : propagation d une onde sismique à la surface de la terre Conditions aux limites Ondes stationnaires Application aux cordes de piano Équation des ondes dans un tube Équation des ondes dans un tube Conditions aux limites Calcul des modes stationnaires dans un tube Équation des ondes dans l espace à trois dimensions Quelques définitions dans le domaine de l acoustique Source ponctuelle Intensité acoustique, niveau sonore Notions sur la gêne due au bruit Acoustique : Exercices avec correction Exercice 1 : Vibration transversale d une corde fixée en ses deux extrémités Exercice 2 : Bruit d un aéroport A Vecteurs et repères de l espace 141 A.1 Vecteurs libres. Orientation de l espace A.1.1 Vecteurs liés, vecteurs libres A.1.2 Orientation de l espace A.1.3 Plan orienté. Angles algébriques A.2 Opérations sur les vecteurs libres A.2.1 Opérations des espaces vectoriels A.2.2 Produit scalaire de deux vecteurs A.2.3 Produit vectoriel de deux vecteurs libres A.3 Bases et composantes d un vecteur A.3.1 Base orthonormée A.3.2 Composantes d un vecteur sur une base orthonormée A.3.3 Expression des opérations en fonction des composantes A.4 Repères dans l espace physique A.4.1 Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes A.4.2 Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires dans le plan

6 iv TABLE DES MATIÈRES A.4.3 Coordonnées cylindriques A.5 En résumé

7 Chapitre 1 Introduction 1.1 Qu est-ce que la «mécanique»? La Mécanique? «La Mécanique? Vous connaissez bien sûr cette inconnue familière. Elle est tellement présente dans chacun de nos mouvements et dans notre environnement que nous finirions par l oublier si, dissimulée et imprévisible, elle ne se révélait souvent comme la cause de nos échecs. Cette science est parmi les plus anciennes qui soient. Parfois éclipsée par les progrès rapides de sciences plus récentes, elle ressurgit brillamment à l occasion de nos grandes réalisations : construction de la Tour Eiffel en 1888, avènement des vols supersoniques à la fin du XX e siècle (avion Concorde), conception d appareils modernes (avion Airbus A 380), vols spatiaux actuels (station orbitale Colombus, Station Spatiale Internationale (ISS)), robots intelligents,...». Extrait de «Le courrier du CNRS», N 71, La Mécanique comme «industrie» joue un rôle central. Citons les industries mécaniques au sens traditionnel du terme, complétées par la conception et fabrication assistée par ordinateur (CFAO), les ateliers flexibles et l intelligence artificielle. Citons aussi les industries des transports (sur route, sur voie ferrée, sur l eau, dans l air), les industries aérospatiales, les industries nucléaires, les industries d extraction (génie pétrolier, génie minier), les industries du génie civil,... Associée à d autres disciplines, la Mécanique est présente dans de très nombreux domaines : météorologie, océanographie, biomécanique, génie biomédical, acoustique, robotique, La Mécanique au travers de grands champs disciplinaires Le contenu de ce paragraphe est extrait de la revue «Le courrier du CNRS», N 71, 1988 L image que l on se fait de la Mécanique se limite souvent à celle des mécanismes ou assemblages de points et corps rigides. Mais la Mécanique, telle que l affrontent actuellement les chercheurs et les ingénieurs, fait apparaître des grands champs disciplinaires. Nous allons donner un aperçu des principaux grands champs. La mécanique des fluides L amélioration des performances aérodynamiques d un avion ou d une voiture nécessite une excellente connaissance de l écoulement de l air autour du véhicule. C est le rôle de la mécanique des fluides de comprendre et de maîtriser cet écoulement. On doit aussi étudier le comportement des gaz dans les réacteurs ou les moteurs, leur compression, leur combustion et leur éjection, facteurs essentiels d un bon rendement. Mais même dans un avion, la mécanique des fluides ne 1

8 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION se préoccupe pas que de gaz : les écoulements de liquide dans les tuyauteries ne sont pas un problème mineur. La mécanique des structures Les diverses structures du génie civil, barrages, plates-formes en mer, murs de soutènement, gros oeuvre de bâtiment, ont pour objet principal de supporter des charges sans rupture ni déformation excessive. Les différentes parties d un avion sont soumises à des efforts, et donc subissent des déformations dont les limites acceptables doivent être parfaitement déterminées. Les problèmes d interaction entre un fluide et une structure constituent une préoccupation pour les ingénieurs et les chercheurs, par exemple le comportement au vent d ouvrages souples tels que les ponts à haubans. La mécanique des matériaux Qu il s agisse d éléments de structures, du train d atterrissage ou des pièces de moteur d un avion, la résistance mécanique dépend du choix des matériaux employés dont on doit très bien connaître le comportement sous diverses sollicitations (vibrations, température,... ). Ceci est particulièrement vrai pour les matériaux nouveaux (composites, superalliages,... ). Ces sollicitations peuvent provoquer des endommagements par «fatigue» du matériau ou bien le développement de fissures. Dans le cas des installations nucléaires, des moyens considérables sont consacrés pour améliorer l ensemble de nos connaissances et établir des règles valables pour les décennies à venir. L acoustique Science du son, l acoustique en étudie la production, la transmission, la détection et les effets sur l environnement. Notons que la notion de son n est pas seulement attachée à la sensation auditive, mais aussi à tous les autres phénomènes gouvernés par des principes physiques analogues. C est ainsi que les infrasons et les ultrasons, la propagation acoustique dans les milieux denses liquides ou solides, et les vibrations relèvent de la notion générale d acoustique. Citons quelques domaines de prédilection de l acoustique : le contrôle non destructif, l acoustique sousmarine, l acoustique médicale (échographie), l acoustique musicale (analyse et synthèse des sons, fonctionnement des instruments de musique), l acoustique architecturale, l acoustique de l environnement (lutte contre le bruit), etc. Les mécanismes et la tribologie L équipement mécanique d un avion (train d atterrissage, systèmes de fermeture des portes, actionneurs des volets d essuie-glaces,... ), comme de toute machine complexe (machine agricole, robot,... ), est un monde de «mécanismes». On peut définir les «mécanismes» comme des outils inventés par l homme pour accroître sa force ou effectuer des tâches qu il ne pourrait réaliser par lui-même. Ce sont des assemblages de corps indéformables ou déformables reliés entre eux par des liaisons. La tribologie regroupe tout ce qui touche à la lubrification, au frottement et à l usure. Elle a pour but de faire fonctionner les mécanismes et elle cherche à diminuer le frottement et l usure qui sont des sources principales de gaspillage de l énergie. L énergétique Le problème de l énergie est à l heure actuelle, un problème vital que les chercheurs et les ingénieurs ont à résoudre. Notons que les activités liées à l énergie font appel à de nombreux secteurs de la mécanique. Il y a l étude des sources d énergie et de leur exploitation (sources

9 1.2. L ESPRIT DU COURS 3 solaire, éolienne, géothermique, nucléaire,... ). Un second domaine concerne la transformation de l énergie d un type donné en un autre type, et plus particulièrement d une énergie dégradée (chaleur) en une énergie noble (mécanique, électrique). Enfin, le transport et le stockage de l énergie, en particulier le stockage thermique, constituent un autre domaine d étude. Comme exemples de stockage mécanique, on peut citer le volant à inertie, la mise sous pression d un gaz, l utilisation de la gravité (barrage hydraulique), Plan du Cours Ce document intitulé «Qu est-ce que la Mécanique?» a pour objectif de présenter différentes facettes de la Mécanique, dans ses techniques comme dans ses secteurs d applications. Le polycopié comprend quatre thèmes qui illustrent chacun un aspect de la Mécanique. Une Annexe intitulé «Vecteurs et repères de l espace» complète le document. Les quatre thèmes sont : Mécanique des structures (Chapitre 2) Mécanique du vol (Chapitre 3) Énergétique (Chapitre 4) Acoustique (Chapitre 5) Annexe Le document est organisé suivant les quatre thèmes indiqués, avec pour chacun d eux, une partie de cours et des exercices corrigés. Une Annexe intitulée «Vecteurs et repères de l espace» complète le document. 1.2 L esprit du cours Le contenu de ce paragraphe est extrait du polycopié «Mécanique», Ph. Gatignol et C. Potel, Université de Technologie de Compiègne, La Mécanique classique La Mécanique, dans le cadre de ce cours, peut être définie comme la science de l équilibre et du mouvement. Certes, le terme Mécanique intervient dans diverses branches de la Physique : mécanique quantique, mécanique statistique, mécanique relativiste. Il s agit alors de domaines concernés par des situations extrêmes : l infiniment petit et la structure intime de la matière, ou les grandes échelles d espace et de temps. Nous nous intéressons pour notre part aux phénomènes qui se produisent à l échelle humaine. On parle alors de mécanique classique. Son champ d application est cependant encore très vaste puisqu il s adresse aussi bien au mouvement des petites particules qu à celui des astres du système solaire, en passant par l étude des objets terrestres, qu ils soient naturels (le corps humain par exemple) ou fabriqués par l homme (tels que les machines). Observation et modélisation La Mécanique, comme la plupart des sciences physiques, repose actuellement sur deux démarches complémentaires : l observation et la modélisation. Observation - Expérimentation L observation est de loin la démarche la plus ancienne. Sans doute remonte-t-elle aux premiers pas de l Homme sur la Terre. Par nécessité vitale, l homme doit maîtriser,

10 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION c est-à-dire comprendre et prévoir, les effets de l attraction terrestre pour contrôler son équilibre ou pour préciser la trajectoire d un projectile. On peut donc penser que l observation de ces phénomènes élémentaires a fait partie de tout temps du quotidien de l homme. Lorsque l observation devient organisée, réfléchie, répétée, avec la recherche de liens entre causes et effets, on passe au stade plus évolué de l expérimentation. Celleci implique en général des actions de comparaison entre diverses causes ou divers effets. On pénètre alors dans le domaine de la mesure, donc de l instrumentation, conduisant à la quantification des observations : on obtient ainsi des résultats de mesures. Très vite alors, l introduction d outils mathématiques s impose : l usage des nombres, entiers puis fractionnaires, pour chiffrer la mesure ; des éléments de géométrie et de repérage dans l espace (théorie des vecteurs) pour décrire les formes ou les mouvements simples ; les nombres irrationnels (liés à la forme du carré), transcendants (inhérents au cercle) ; les opérations élémentaires sur ces nombres sitôt que l on doit ajouter ou multiplier des grandeurs ; l algèbre enfin, qui règle ces opérations. Ces outils, une fois construits, permettent en retour de décrire la réalité observée pourvu que l on accepte de la simplifier quelque peu. Ainsi, la chute d un corps peut être considérée comme rectiligne si l on néglige la rotation de la Terre et les effets visqueux de l air. Avec les mêmes simplifications, la durée de la chute apparaît comme proportionnelle à la racine carrée de la hauteur parcourue. Des lois commencent alors à se dégager et les liens peu à peu établis entre causes et effets ouvrent la voie à une démarche prédictive. Modélisation - Simulation Apparaissent ainsi très naturellement les prémices de la modélisation. La modélisation peut être définie comme la démarche qui consiste à construire des schémas plus ou moins simplifiés du réel, à distinguer voire à séparer les différents phénomènes physiques mis en jeu, à en dégager les lois essentielles, à traduire ces lois sous une forme mathématique permettant le calcul et à bâtir ainsi des modèles physicomathématiques suffisamment simples pour que leur étude permette d enrichir la compréhension et ensuite, connaissant les causes, d en prédire les effets. Cette démarche peut en somme se résumer par les deux termes schématisation et rationalisation (au sens de l étude par le raisonnement et le calcul). On conçoit, par l esquisse qui vient d être donnée, que l idée du modèle était certainement présente dans l esprit des savants depuis les premières observations systématiques des phénomènes naturels. Mais la modélisation n a vraiment pris son plein essor qu avec les progrès des mathématiques, notamment avec les théories du calcul infinitésimal introduites par Newton et par Leibniz au 17 e siècle et avec elles les premières résolutions d équations différentielles, puis au 18 e siècle grâce à la théorie moderne des fonctions et à l apparition des équations aux dérivées partielles (Euler, Cauchy, d Alembert). Un nouveau pas a été franchi à la fin du 19 e siècle avec la mise au point des premières méthodes asymptotiques, c est-à-dire approchées (par Poincaré notamment) inspirées à l origine par l observation des phénomènes de perturbations dans le mouvement des planètes. Enfin, au 20 e siècle et jusqu à nos jours, les progrès gigantesques du calcul numérique et des outils informatiques ont donné à la modélisation une place de tout premier plan dans l activité scientifique, au point que le terme modélisation est à présent parfois utilisé dans le sens de modélisation numérique.

11 1.2. L ESPRIT DU COURS 5 Grâce au développement du calcul numérique, la modélisation devient un outil de prédiction de plus en plus élaboré. Si la démarche première de simplification des objets, d isolation des phénomènes pour mieux les comprendre, demeure une activité scientifique essentielle, ne serait-ce que sur le plan pédagogique, les performances du calcul permettent aujourd hui, dans un esprit un peu contraire, de prendre en compte une description des objets étudiés la plus détaillée possible. On introduit ainsi des effets physiques de plus en plus nombreux, et éventuellement couplés, afin de «coller au mieux» à la réalité et de pouvoir prédire des comportements avec une grande précision. On parle alors de simulation. La simulation, nécessairement numérique, intervient souvent comme une démarche de recherche industrielle. Elle s introduit de plus en plus dans les activités de la conception. Grâce à elle, les constructeurs peuvent à présent faire l économie de nombreux essais qui nécessitaient l élaboration longue et coûteuse de prototypes. Observation et modélisation : une complémentarité Il serait erroné d en conclure que l expérimentation a été reléguée au rang des accessoires, et probablement utopique de croire que cela puisse arriver un jour. La mise au point des grands codes de calculs prédictifs, associés à une démarche de simulation de plus en plus complexe, ne peut se faire sans un retour vers l observation directe des phénomènes, sur la base d expériences précises permettant d obtenir des résultats de mesure les plus fiables possibles : c est l étape dite de «validation» de la méthode numérique. Les résultats expérimentaux permettent de corriger ou même d enrichir les modèles de la simulation (en précisant par exemple des valeurs de constantes physiques, ou des lois de comportement de matériaux) : c est le «recalage» du modèle. À l inverse, les résultats de calcul fournis par la simulation permettent de revoir l expérimentation soit au niveau de la mesure (où placer les capteurs?), soit même au niveau de sa définition (quelles données ou quelles géométries considérer?). Ainsi, observation et expérimentation d une part, modélisation et simulation d autre part, sont devenues aujourd hui deux démarches scientifiques indissociables et complémentaires. La figure 1.1 présente un diagramme qui résume cette complémentarité et ce couplage entre ces deux approches. L apprentissage de la modélisation Face à un objet, naturel ou manufacturé, existant ou à construire, l ingénieur scientifique doit être capable d effectuer les opérations qui vont lui permettre d obtenir un «bon modèle». Schématisation et rationalisation, nous l avons dit, résument les diverses étapes qui vont le conduire à ce résultat. C est le but essentiel de ce cours que d apprendre, sur des objets simples de la mécanique quotidienne, à franchir ces différentes étapes. C est donc la schématisation de ces objets et l écriture des équations permettant d en prédire le mouvement ou le comportement qui seront au centre de nos préoccupations. La résolution (analytique) des équations obtenues, lorsqu elle sera possible, permettra ensuite d accéder à un certain nombre de résultats tels que des calculs d efforts à l équilibre ou des descriptions, au moins qualitatives, de comportements. Il ne sera pas possible, dans le cadre de l UE, d effectuer des confrontations expérimentales, mais on ne manquera pas à chaque fois de faire appel à son intuition et à son sens pratique pour analyser le bien fondé des résultats obtenus.

12 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Modélisation ou simulation MODELES Outils mathématiques Lois physiques EQUATIONS Résolution analytique ou numérique RESULTATS de calculs OBJET existant ou à construire Comprendre ou prévoir RETOUR CONFRONTATION MAQUETTES ESSAIS MESURES Bancs expérimentaux RESULTATS d expériences Observation ou expérimentation Fig. 1.1 Observation et modélisation : une complémentarité Mais la démarche essentielle demeurera l élaboration de modèles physico-mathématiques corrects, sous des hypothèses physiques clairement formulées. En ce sens, l apprentissage de la modélisation est une école de rigueur. On ne saurait écrire d équations justes sur la base d un schéma mal précisé. On portera une attention toute particulière à la représentation géométrique des objets et au repérage de leurs positions dans l espace. Également, on aura le souci constant de l analyse dimensionnelle des grandeurs physiques introduites et l on veillera, de ce point de vue, à l homogénéité des équations écrites. Les étapes de la modélisation La construction d un modèle en mécanique peut être vue comme la succession d un certain nombre d étapes à mesure que les grandeurs physiques élémentaires sont introduites. Le tout premier stade consiste à décrire la forme des objets, leurs dimensions, leur aptitude à se déformer, leurs positions relatives lorsque plusieurs constituants sont considérés,... Les grandeurs physiques essentielles sont ici la longueur (L) et la notion d angle. Le concept de vecteur est fondamental. Il conviendra avant toute chose de préciser soigneusement dans l espace physique les repères qui permettront de définir les grandeurs algébriques (coordonnées, abscisses et angles). De plus, on fait en général sur l objet considéré un certain nombre d hypothèses simplificatrices : on supposera par exemple l indéformabilité (solide rigide), on négligera certaines épaisseurs, schématisant une barre par un segment de droite ou une plaque par un élément de surface.

13 Chapitre 2 Mécanique des structures 2.1 Objet de la résistance des matériaux Les divers ouvrages et machines, que l on rencontre dans la vie courante, doivent posséder en plus de beaucoup d autres propriétés et qualités, celles de la «résistance». On entend par «résistance» la propriété de résister à la destruction sous l action des forces extérieures. On notera qu en «Résistance des Matériaux», (RDM), on utilise la terminologie charges ou chargements au lieu de forces extérieures. Avant d aller plus en avant, on va donner quelques exemples d ouvrages ou de machines où la connaissance de sa «résistance» est absolument indispensable. Les premiers exemples présentés sont très schématisés, mais les derniers issus du monde réel sont plus complexes. 1. Ouvrage de Bercy 126 m Piliers de soutien de la toiture Vanne Vue de dessus de la toiture eau 77 m (a) (b) Fig. 2.1 a) Ouvrage de Bercy - b) Vanne de retenue d eau Les quatre piliers cylindriques sont identiques, en béton et de hauteur : H = 24 m (Fig. 2.1a). Connaissant les caractéristiques mécaniques du béton, les calculs de RDM doivent permettre de déterminer, d une part le rayon minimal des piliers pour soutenir la toiture, et d autre part leur raccourcissement. 2. Vanne de retenue d eau Une vanne schématisée par un secteur circulaire ferme une retenue d eau (Fig. 2.1b). L eau exerce sur la vanne des efforts de pression. Les calculs de RDM doivent permettre de calculer sa résistance. 3. Pont roulant 7

14 8 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Pont roulant Pilier Pilier Fig. 2.2 Pont roulant Un pont roulant repose sur deux piliers (on dit que le pont repose sur deux appuis) (Fig. 2.2). Les calculs de RDM doivent permettre de déterminer la charge maximum que peut supporter le pont roulant. 4. Potence, toit de ferme Dans le cas d une potence (Fig. 2.3a), les calculs de RDM doivent permettre de déterminer la charge maximum qu elle peut supporter. Dans le cas d un toit de ferme (Fig. 2.3b), connaissant les efforts dus au vent et le poids du toit, les calculs doivent permettre de prévoir le dimensionnement de la charpente. Vent (a) (b) Fig. 2.3 a) Potence - b) Toit de ferme 5. Exemples d ouvrages réels Nous présentons maintenant quelques exemples d ouvrages réels, donc plus complexes. Un robot industriel utilisé pour le déplacement de pièces à partir d un poste de travail A représenté sur la figure 2.4 (dessin extrait du livre de P. Agati et N. Mattera, Mécanique 1 : Modélisation, Cinématique, Statique, Dunod, 1994, page 215). Un pantographe du T.G.V. (Fig. 2.5) et sa schématisation (Fig. 2.6) pour le captage du courant à grande vitesse. Il s agit d un mécanisme très complexe. Le mouvement de montée et de descente du pantographe est assurée par des ressorts et un vérin pneumatique. (Photo et dessin extraits du livre de P. Agati et N. Mattera, Mécanique 1 : Modélisation, Cinématique, Statique, Dunod, 1994, pages 248 et 250).

15 2.1. OBJET DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 9 articulation du «coude» articulation du «poignet» pince bras supérieur manchette contrepoids bras inférieur articulation de «l épaule» bâti mobile embase fixe Fig. 2.4 Robot industriel Fig. 2.5 Photo d un pantographe L objet de la RDM (Résistance Des Matériaux) est de présenter des méthodes de calcul pour déterminer la résistance des éléments de la construction. On verra que l on sera aussi amené à déterminer les changements de forme et de dimension (déformations) des différents éléments de la construction sous l effet des charges. Notons que dans beaucoup de cas concrets, les déformations en question sont très petites ; elles ne peuvent être détectées qu avec des appareils spéciaux appelés «extensiomètres». Ces déformations n affectent alors pas l étude de l équilibre de la construction d où l intérêt de la mécanique du corps solide indéformable. Dans ce qui suit nous présentons l équilibre statique d un ou plusieurs corps avec : l énoncé du principe fondamental de la statique, l étude des liaisons entre deux corps solides. Nous présenterons ensuite quelques exemples de déformations avec : le phénomène de traction - compression sous l effet d un chargement, le phénomène de dilatation thermique.

16 10 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Fig. 2.6 Schématisation d un pantographe 2.2 Loi fondamentale de la statique Notion de forces On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir le corps au repos (ou de créer son mouvement). Les actions mécaniques peuvent être à distance (pesanteur, champ électro-magnétique,... ) ou de contact (chargement ponctuel (c est-à-dire en un point), liaisons surfaciques,... ). Le but de ce paragraphe est de choisir une représentation mécanique pour les actions mécaniques. a) Force exercée sur un point matériel Les actions mécaniques s exerçant sur un point matériel peuvent être schématisées (c est-àdire caractérisées) par un vecteur glissant (ou glisseur) : voir A Ce vecteur glissant est parfaitement défini par un point de son support et un vecteur libre. Notons M le point matériel et F le vecteur libre (Fig. 2.7a). On dira : force F appliquée au point M. On dira aussi glisseur et on écrira : {M, F }. On peut avoir sur un point matériel M plusieurs forces F 1, F 2, F 3 (Fig. 2.7b). F = F 1 + F 2 + F 3 est la résultante des trois forces F 1, F 2, F 3. b) Moment en point A d une force exercée sur un point matériel On définit le moment en A de la force F appliquée au point M (c est-à-dire le glisseur {M, F }) par la quantité : M A M A ({M, F }) = AM F Remarque Soit δ la droite support de {M, F } (Fig. 2.7c). Alors (voir A.2.3.2) : A δ AM F = 0 M A ({M, F }) = 0

17 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 11 F 3 F 2 A F F1 (a) M (b) M F 3 F 1 F (c) A δ M M 2 (d) M 3 M 1 F 2 M 4 F 4 Fig. 2.7 Forces schématisées par des vecteurs glissants c) Forces exercées sur un ensemble de points matériels On considère un ensemble de points matériels M 1, M 2,..., M n, sur lesquels s exercent respectivement les forces F 1, F 2,..., F n (Fig. 2.7d). On appelle T l ensemble des forces {M i, F i }, i = 1, 2,..., n. Définitions On appelle résultante de T le vecteur : i=n R(T ) = On appelle moment en A de T le vecteur : M A (T ) = i=1 F i i=n AM i F i i=1 R(T ) est un vecteur libre. M A (T ) est défini en chaque point A de l espace : on dit que l on a un champ de vecteurs. Soit B un second point. Cherchons la relation entre M A (T ) et M B (T ) : M B (T ) = i=n BM i F i=n i = i=1 i=1 ( ) BA + AM i Fi = i=n BA i=1 i=n F i + AM i F i i=1 soit : M B (T ) = BA R(T ) + MA (T ) (2.1) La formule (2.1) est dite formule de transport pour les vecteurs du champ de moment.

18 12 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Propriétés En général, il n existe pas de point A tel que M A (T ) = 0. Si A et B appartiennent à une même droite parallèle à R(T ), alors : M A (T ) = M B (T ). En effet dans ce cas, BA R(T ) = 0 (voir A.2.3.2), et l égalité M A (T ) = M B (T ) en résulte. Si R(T ) = 0, on voit sur la formule (1) que M A (T ) = M B (T ), A et B. On dit que T est un couple. d) Forces réparties en volume Les forces exercées sur un système matériel occupant un volume V peuvent être réparties dans le volume V avec une densité volumique r(m). Autour de chaque point M de V, on considère un petit volume V et la force F exercée sur ce petit volume est F = r(m) V appliquée en M (Fig. 2.8a). Soit T l ensemble de ces forces. On appelle résultante de T le vecteur obtenu en ajoutant tous les petits vecteurs F = r(m) V. Autrement dit : R(T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs r(m) V. Nous avons ici la notion d intégrale sur le volume V et nous écrirons en remplaçant V par l élément de volume infiniment petit dv : R(T ) = V r(m) dv On appelle moment en A de T, le vecteur obtenu en sommant tous les moments en A des petits vecteurs F = r(m) V. Autrement dit, M A (T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs AM r(m) V. Comme ci-dessus, nous avons ici la notion d intégrale sur le volume V et nous écrirons : M A (T ) = AM r(m) dv V Exemple : Champ de la pesanteur uniforme On note g le vecteur accélération de la pesanteur supposé constant. On introduit ρ(m) la masse volumique en chaque point M de V, c est-à-dire la masse de l unité de volume en M. La masse totale de V est m(v), et le centre d inertie de V est noté G. Par définition on a : m(v) = V ρ(m) dv ; Le vecteur r(m) précédent est ici égal à ρ(m) g (Fig. 2.8b). V ρ(m) GM dv = 0 Ainsi R(T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs ρ(m) g V. Comme g est constant, on peut écrire : R(T ) = V ρ(m) g dv = g V ρ(m) dv = m(v) g De manière similaire, M A (T ) est égal à la somme sur V des petits vecteurs AM (ρ(m) g) V.

19 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 13 A V F G A V M (a) V g (b) F = r(m) S M S l M F = r(m) l S (c) l (d) Sachant que AM = AG + GM, on a : M A (T ) = car l intégrale V Fig. 2.8 Forces volumiques, surfaciques et linéiques = V V ( = ( AM) (ρ(m) g) dv = AG (ρ(m) g) dv + V ) ( ρ(m) dv AG g + V V V ( AG + GM) (ρ(m) g) dv GM (ρ(m) g) dv = m(v) AG g = AG (m(v) g) = AG R(T ) ) GM ρ(m) dv g GM ρ(m) dv = 0 d après la définition du centre d inertie G de gravité de V. Résultat (très important) Les efforts de pesanteur sur le volume V, dans un champ de pesanteur uniforme, sont donc équivalents pour leur résultante et leur moment en un point A, à une force unique m(v) g appliquée au centre d inertie G de V. En d autres termes, les efforts de pesanteur sur V sont équivalents au glisseur {G, m(v) g}. e) Forces réparties en surface, forces réparties en ligne On a pour les forces réparties en surface et les forces réparties en ligne, les mêmes définitions et propriétés que pour les forces réparties en volume. Les petites forces s exercent ici, soit sur des petites surfaces S (Fig. 2.8c), soit sur des petits arcs l (Fig. 2.8d). Les intégrales de volume sont à remplacer par des intégrales sur une surface ou sur une ligne. Exemples Les forces de contact entre un pneu et la chaussée correspondent à des forces réparties en surface. Les efforts de pression d un liquide sur une paroi correspondent aussi à des forces réparties en surface. Un rideau suspendu à une tringle exerce sur celle-ci des efforts répartis en ligne.

20 14 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Principe fondamental de la statique Les objets dans l espace physique sont repérés par rapport à un repère (voir Annexe). Si on s intéresse au mouvement de ces objets, il faut introduire le temps. On appelle «Référentiel» l ensemble d un repère et d un temps. À chaque instant, un objet en mouvement, ou au repos, est repéré par sa position par rapport au repère donné dans l espace. Énoncé du principe fondamental de la statique Il existe un référentiel R 0 dit galiléen (ou absolu) tel que tout système matériel Σ est en équilibre (c est-à-dire au repos) dans R 0 si et seulement si les efforts extérieurs T s exerçant sur Σ ont une résultante nulle et un moment en un point donné quelconque, nul, et ceci quel que soit l instant considéré. Σ est en équilibre dans R 0 R(T ) = 0 et M A (T ) = 0 (2.2) Remarque D après (1) : M A (T ) = 0 en un point A M B (T ) = 0 en tout point B de l espace Remarque Existence des repères galiléens : en toute rigueur, un repère galiléen n existe pas. L énoncé donné ici (et de même l énoncé analogue dans le cas du mouvement) l est dans le cadre de la Mécanique newtonnienne (Mécanique de Newton). On sait, avec les théories de la relativité de Einstein, que la mécanique newtonnienne n est qu une approximation. Mais cette approximation est très bonne et même excellente pour de nombreux phénomènes et en particulier pour les problèmes de RDM. Pour ces derniers on admet que le référentiel lié à la terre est galiléen. À noter les dates suivantes : Newton ( ) et Einstein ( ). Remarque Il faut bien noter que l énoncé du principe fondamental de la statique pour un système matériel Σ en équilibre ne fait intervenir que les forces extérieures au système Σ Théorème de l action et de la réaction Soient Σ 1 et Σ 2 deux systèmes matériels sans partie matérielle commune (Σ 1 Σ2 = ) (Fig. 2.9a). Les forces extérieures à Σ = Σ 1 Σ 2 ne sont pas en général la réunion des forces extérieures à Σ 1 et de celles extérieures à Σ 2, comme ceci est expliqué ci-après. Notons Ext tout ce qui est extérieur à la fois à Σ 1 et à Σ 2. Soient T 1 et T 2 les efforts extérieurs respectivement à Σ 1 et à Σ 2 et exercés par Ext. La somme T 1 + T 2 représente les efforts extérieurs à Σ = Σ 1 Σ 2 exercés par Ext (Fig. 2.9b). Soient enfin T 1 2 les efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, et T 2 1 les efforts exercés par Σ 2 sur Σ 1 (Fig. 2.9a). Notons que les efforts T 1 2 et T 2 1 sont des efforts intérieurs au système Σ 1 Σ 2. D après les définitions données pour les résultantes et pour les moments en un point A, on a : R(T1 ) + R(T 2 = R(T 1 ) + T 2 ), M A (T 1 ) + M A (T 2 = M A (T 1 ) + T 2 )

21 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 15 T 1 Ext. Σ 1 T 2 1 Ext. Σ 2 T 2 A T 1 2 (a) Ext. Ext. T 1 Σ 1 Σ 2 T 2 A Σ 1 Σ 2 Fig. 2.9 Théorème de l action et de la réaction (b) Écrivons la loi fondamentale de la statique successivement pour Σ 1, Σ 2 et Σ 1 Σ 2 : R(T1 ) + R(T 2 1 ) = 0 R(T2 ) + R(T 1 2 ) = 0 R(T1 + T 2 ) = 0 et et et M A (T 1 ) + M A (T 2 1 ) = 0 M A (T 2 ) + M A (T 1 2 ) = 0 M A (T 1 + T 2 ) = 0 En faisant la combinaison (1, 1, -1) d une part pour les résultantes et d autre part pour les moments, il vient : R(T2 1 ) + R(T 1 2 ) = 0 M A (T 2 1 ) + M A (T 1 2 ) = 0 La démonstration est valable quel que soit le point A. On a le théorème suivant : Théorème de l action et de la réaction Les efforts T 1 2 exercés par Σ 1 sur Σ 2 et les efforts T 2 1 exercés par Σ 2 sur Σ 1 sont tels que : R(T1 2 ) = R(T 2 1 ) (2.3) M A (T 1 2 ) = M A (T 2 1 ) A (2.4) Quelques exemples La démarche pour appliquer le principe fondamental de la statique est la suivante : 1- Il faut définir le système Σ auquel on veut appliquer le principe fondamental. La définition du système Σ est essentiel. 2- Il faut faire très soigneusement l inventaire des forces extérieures exercées sur le système Σ. 3- Enfin il faut appliquer le principe fondamental de la statique à Σ. Ce n est que dans cette troisième étape que l on écrit que la résultante des efforts extérieurs appliqués à Σ est nul, et que le moment de ces mêmes efforts, en un point A que l on choisit le mieux possible, est nul.

22 16 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Exemple 1 : Seau suspendu à un câble Le seau représenté sur la figure 2.10a est suspendu à un câble. La masse de l anse est supposée négligeable et est prise égale à 0. La masse du seau et de son contenant est M. Le centre d inertie du seau et de son contenant est le point G. On admet que les actions entre l anse et le seau (liaisons en A et en B) ont pour résultante R(anse seau) et pour moment en A le vecteur M A (anse seau). De plus les efforts exercés par le câble sur l anse sont schématisés par un glisseur F (câble anse) appliqué en C (voir Fig. 2.10a). Si on choisit pour système Σ, le seau muni de son anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors : le glisseur F (câble anse) appliqué en C, le glisseur M g appliqué en G représentant le poids du seau et de son contenant. Si on choisit pour système Σ, le seau et son contenant sans l anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors : les efforts exercés par l anse sur le seau, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau), le glisseur M g appliqué en G représentant le poids du seau. Si on choisit pour système Σ, l anse seule, les efforts extérieurs à Σ sont : le glisseur F (câble anse) appliqué en C, les efforts exercés par le seau sur l anse, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau). Les signes viennent de l application du théorème de l action et de la réaction. A C câble B anse g A G 2 B anse g G (a) seau sol G 1 O seau (b) Fig Seau tenu et seau posé Exemple 2 : Seau vide posé sur un sol horizontal Le seau est représenté sur la figure 2.10b. La masse de l anse n est plus supposée négligeable et vaut m ; le centre d inertie de l anse seule est le point G 2. La masse du seau est M ; le centre d inertie du seau (sans l anse) est le point G 1. On admet que les actions entre l anse et le seau (liaisons en A et en B) ont pour résultante R(anse seau) et pour moment en A le vecteur M A (anse seau). De plus les efforts exercés par le sol sur le seau sont schématisés par un glisseur F (sol seau) appliquée en O, centre de la base du seau (Fig. 2.10b). Si on choisit pour système Σ, le seau muni de son anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors :

23 2.3. LIAISONS PARFAITES DANS L ESPACE 17 le glisseur F (sol seau) appliqué en O, le glisseur m g appliqué en G 2 représentant le poids de l anse, le glisseur M g appliqué en G 1 représentant le poids du seau. Si on choisit pour système Σ, l anse seule, les efforts extérieurs à Σ sont alors : le glisseur m g appliqué en G 2 représentant le poids de l anse, les efforts exercés par le seau sur l anse, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau). 2.3 Liaisons parfaites dans l espace On va dans ce paragraphe s intéresser à la réalisation et aux propriétés de quelques liaisons simples entre deux corps solides indéformables. On commence par donner quelques exemples de liaisons entre corps solides : une roue de bicyclette (solide 1) tournant autour de son moyeu (solide 2), une porte (solide 1) reposant sur des gongs liés au mur (solide 2), un levier de vitesse mobile dans la boîte de vitesse, un système bielle-manivelle, un seau (solide 1) posé sur le sol (solide 2), Définition Une liaison est un dispositif mécanique qui a pour fonction d apporter une restriction à l ensemble de tous les mouvements relatifs d un solide par rapport à un autre. Les liaisons que nous allons considérer sont réalisées par contact entre deux surfaces rigidement liées aux deux solides en question. Les surfaces de contact sont indéformables et elles sont lisses avec un plan tangent variant continûment. De plus les liaisons que nous allons considérer sont supposées sans frottement. Nous donnons, ci-après, pour cette notion une approche intuitive. Notion de liaisons parfaites (ou liaisons sans frottement) Soient deux solides en contact le long de la surface S (Fig. 2.11). On admet que les actions mécaniques du premier solide Σ 1 sur le second Σ 2 prennent place le long de la surface S et que l on a une densité surfacique de forces r 1 2 (M). En d autres termes la force r 1 2 (M) S est la force exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S autour du point M (Fig. 2.11). L ensemble des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2 a pour résultante et pour moment en A, les quantités suivantes données par des intégrales sur la surface S (on ajoute toutes les petites forces) : R(1 2) = r 1 2 (M) dv M A (1 2) = S S AM r 1 2 (M) dv Naturellement les efforts exercés par Σ 2 sur Σ 1 sont, d après le théorème de l action et de la réaction, tels que : R(2 1) = R(1 2) ; MA (2 1) = M A (1 2) Le contact est dit être sans frottement si r 1 2 (M) est perpendiculaire à la surface S en chaque point M. On dit alors que la liaison est sans frottement ou bien que la liaison est parfaite.

24 18 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES A S Σ 1 M r 1 2 (M) S Σ 2 Fig Deux solides en contact C est en fait une hypothèse sur la liaison, car dans celle-ci, même s il n est pas souhaité, il y a toujours un peu de frottement. Dans certains mécanismes, on cherche au contraire à avoir le maximum de frottement, comme par exemple dans le contact frein - jante de la roue d un vélo. Nous allons maintenant étudier quelques liaisons simples (en fait 6). a) Liaison ponctuelle Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison ponctuelle si au cours de leur mouvement relatif, les deux solides restent en contact (Fig. 2.12). Sur la figure 2.12, les deux solides sont notés Σ 1 et Σ 2, et le point de contact est noté O. De plus, on suppose que les deux solides ont le même plan tangent en O. y Plan tangent à Σ 1 et Σ 2 en O Σ 2 O x z Σ 1 Fig Liaison ponctuelle Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, y) étant normal en O au plan tangent en O à Σ 1 et à Σ 2. Dans le repère (O; x, y, z), les mouvements de Σ 2 par rapport à Σ 1 peuvent être des rotations (rotations autour des trois axes (O, x), (O, y) et (O, z)) et des translations (translations parallèlement à l axe (O, x) et parallèlement à l axe (O, z)). Il s agit

25 2.3. LIAISONS PARFAITES DANS L ESPACE 19 en fait de petits mouvements, le point de contact des deux solides restant au voisinage du point O initial. Naturellement, il ne peut pas y avoir de translation parallèlement à l axe (O, y) sans rompre le contact. Nous voyons que la liaison ponctuelle a 5 degrés de liberté (2 de translation et 3 de rotation). Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, en adoptant l approximation de la liaison parfaite et sachant que la surface de contact est ici réduite à un point, on a : R(1 2) = Y y ; MO (1 2) = 0 Le vecteur y est le vecteur unitaire de l axe (O, y). Il faut bien noter que le moment est pris au point O. Le vecteur R (1 2) est normal au plan tangent en O à Σ 1 et à Σ 2. Sur les 6 composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), 5 sont déterminées et valent 0, à savoir les trois composantes de M O (1 2) et les deux composantes de R(1 2). b) Liaison glissière Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison glissière si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une translation rectiligne suivant un axe lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.13). y Σ 1 Σ 2 O x z y Figure dans le plan (O; x, z) Σ 1 Σ 2 O x Fig Liaison glissière Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, x) étant l axe de translation. Le seul mouvement possible de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une translation parallèle à l axe (O, x). Nous voyons que la liaison glissière a un seul degré de liberté (translation parallèle à (O, x)). La surface S de contact est une surface cylindrique de génératrices parallèles à (O, x). La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à (O, x), car la petite surface S est parallèle à (O, x). D où : R(1 2) = Y y + Z z ; MO (1 2) = L x + M y + N z

26 20 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Les vecteurs x, y, z sont les vecteurs unitaires des axes (O, x), (O, y), (O, z). Les quantités Y, Z et L, M, N sont les composantes de R(1 2) et de M O (1 2) dans la base orthonormée ( x, y, z). Comme précédemment, il faut noter que le moment est pris au point O. Enfin, remarquons que sur les 6 composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), une seule est déterminée et vaut 0, la composante de R(1 2) sur l axe (O, x). c) Liaison rotule (dite aussi liaison sphérique) Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison rotule si les seuls mouvements relatifs possibles de l un par rapport à l autre sont des rotations autour d un point O lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.14). y Σ 2 Σ 1 O x z r 1 2 Fig Liaison rotule Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1. Le mouvement de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une rotation quelconque autour de O. Nous voyons que la liaison rotule a 3 degrés de liberté (les 3 rotations autour des 3 axes (O, x), (O, y) et (O, z)). La surface S de contact est une surface sphérique de centre O. La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à S ; comme conséquence le support de r 1 2 (M) S passe par le point O. D où : R(1 2) = X x + Y y + Z z ; MO (1 2) = 0 Il faut noter que le moment est pris au point O, centre de la liaison rotule. Remarquons que sur les six composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), trois sont déterminées et valent 0, les trois composantes de M O (1 2). d) Liaison pivot Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison pivot si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une rotation autour d un axe lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.15).

27 2.3. LIAISONS PARFAITES DANS L ESPACE 21 y r 1 2 Σ 1 O Σ 2 x z Fig Liaison pivot Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, x) étant l axe de rotation. Le seul mouvement possible de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une rotation autour de l axe (O, x). Nous voyons que la liaison pivot a un seul degré de liberté (rotation autour de l axe (O, x)). La surface S de contact est une surface de révolution autour de l axe (O, x). La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à cette surface. Comme conséquence, le support de r 1 2 (M) S rencontre l axe (O, x). Le moment en O de r 1 2 (M) S est par suite normal à l axe (O, x). D où : R(1 2) = X x + Y y + Z z ; MO (1 2) = M y + N z Comme précédemment, il faut noter que le moment est pris au point O situé sur l axe de rotation. Enfin, remarquons que sur les six composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), une seule est déterminée et vaut 0, la composante de M O (1 2) sur l axe (O, x). e) Liaison pivot glissant Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison pivot glissant si les seuls mouvements relatifs possibles de l un par rapport à l autre sont une translation rectiligne suivant un axe lié aux solides Σ 1 et Σ 2, et une rotation autour de ce même axe (Fig. 2.16). y r 1 2 Σ 1 O Σ 2 x z Fig Liaison pivot glissant Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, x) étant l axe à la fois de translation et de rotation. Les seuls mouvements possibles de Σ 2 par rapport à Σ 1 sont une

28 22 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES translation parallèle à l axe (O, x) et une rotation autour de l axe (O, x). On peut remarquer que la liaison pivot glissant est la combinaison des deux liaisons, liaison pivot ey liaison glissière. Nous voyons que la liaison pivot glissant a un deux degrés de liberté (translation parallèle à (O, x) et rotation autour de (O, x)). La surface S de contact est une surface cylindrique de révolution de génératrices parallèles à (O, x). La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à cette surface et son support rencontre l axe (O, x). Comme conséquence, le moment en O de r 1 2 (M) S est normal à l axe (O, x), et la résultante R(1 2) est normal à l axe (O, x). D où : R(1 2) = Y y + Z z ; MO (1 2) = M y + N z Comme précédemment, il faut noter que le moment est pris au point O situé sur l axe de rotation. Enfin, remarquons que sur les six composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), deux sont déterminées et valent 0, les composantes de R(1 2) et de M O (1 2) sur l axe (O, x). f) Liaison encastrement Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison d encastrement si aucun mouvement relatif de l un par rapport à l autre n est possible (Fig. 2.17). Ce n est pas, à proprement parler, une liaison car il n y a aucune mobilité. z Σ 1 y O x Σ 2 Fig Liaison encastrement La liaison encastrement n a aucun degré de liberté. Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1. La surface S de contact entre Σ 1 et Σ 2 n a aucune géométrie particulière et les efforts r 1 2 (M) S exercés par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S n ont aucune propriété particulière. Les vecteurs R(1 2) et M O (1 2) sont complètement indéterminés. Soit : R(1 2) = X x + Y y + Z z ; MO (1 2) = L x + M y + N z Dans le cas présent, le point O où est calculé le moment n a pas une position particulière. Pour finir, remarquons que, sur les six composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), aucune n est déterminée.

29 2.4. LIAISONS PARFAITES DANS LE PLAN 23 Remarque Pour chaque liaison décrite précédemment, en même temps que nous l avons définie, nous avons imaginé et représenté sur une figure une réalisation technologique possible. Mais il faut bien noter qu un mouvement donné d un solide Σ 1 par rapport à un second solide Σ 2 peut être réalisé de plusieurs façons différentes. Par exemple, la liaison entre une roue de bicyclette et son moyeu, la liaison entre le balancier et le support d une horloge, la liaison entre l axe sur lesquels sont fixés les fouets et le corps d un batteur pour la cuisine,... sont des liaisons pivot. Tableau récapitulatif Liaison Mouvements de translation possibles Mouvements de rotation possibles R (1 2) MO (1 2) Ponctuelle (O, x), (O, z) (O, x), (O, y), (O, z) Y y 0 Glissière (O, x) Y y + Z z L x + M y + N z Rotule (O, x), (O, y), (O, z) X x + Y y + Z z 0 Pivot (O, x) X x + Y y + Z z M y + N z Pivot glissant (O, x) (O, x) Y y + Z z M y + N z Encastrement X x + Y y + Z z L x + M y + N z Remarque Pour chaque liaison, le nombre d inconnues de liaison (à savoir X, Y, Z et L, M, N) augmenté du nombre de degrés de liberté est égal à Liaisons parfaites dans le plan Dans ce paragraphe, on va considérer des objets plans. La modélisation des liaisons entre deux objets s en trouvera simplifiée, par rapport à celle vue précédemment pour deux solides dans l espace. La description géométrique des objets plans est aussi plus simple Problème plan Considérons un objet solide plan Σ (par exemple une plaque, ou le plateau d une table dont on néglige l épaisseur) situé dans le plan (P ) (Fig. 2.18a). Nous faisons les hypothèses suivantes : toutes les forces considérées, et aussi leur résultante, sont dans le plan (P ) tous les moments des forces en un point A du plan (P ) sont perpendiculaires au plan (P ) pour deux solides plans Σ 1 et Σ 2 situés dans le plan (P ) et en liaison l un avec l autre, les mouvements possibles sont tels que Σ 1 et Σ 2 restent situés dans le plan (P ). Sous l ensemble de ces hypothèses, le système mécanique considéré est dit plan, et le problème est dit problème plan.

30 24 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES y F est parallèle à P M A est perpendiculaire à P y Σ Σ 1 O Σ 2 A plan (P ) x x (a) (b) Fig Problème plan Liaisons parfaites dans le plan Considérons deux solides plans Σ 1 et Σ 2 situés dans le plan (P ) en liaison l un avec l autre. Certaines liaisons spatiales décrites dans le paragraphe précédent conservent le caractère plan d un problème. Le caractère plan demeure, par exemple, dans le cas de la liaison glissière d axe (O, x) avec le point O et l axe (O, x) dans le plan (P ) (Fig. 2.19b). Pour les problèmes plans on retiendra les quatre liaisons suivantes : y y Σ 1 Σ 2 x O Σ 2 Σ 1 x O plan (P ) plan (P ) (a) Contact ponctuel (b) Liaison glissière y Σ 1 y Σ 2 Σ 2 Σ 1 O x O x plan (P ) plan (P ) (c) Liaison pivot (d) Encastrement Fig Liaisons parfaites dans le plan a) Liaison ponctuelle Dans le plan (P ), les deux solides Σ 1 et Σ 2 demeurent en contact. Le repère (O; x, y, z) orthonormé direct est lié à Σ 1 ; l axe (O, z) est normal à (P ) et l axe (O, y) est normal à la

31 2.4. LIAISONS PARFAITES DANS LE PLAN 25 droite tangente en (O) aux deux solides (Fig. 2.19a). Par rapport au repère (O; x, y) dans le plan (P ), les mouvements de Σ 2 par rapport à Σ 1 peuvent être une rotation autour de l axe (O, z) et une translation parallèlement à l axe (O, x). La liaison ponctuelle a deux degrés de liberté. Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, en adoptant l approximation de la liaison parfaite, on a : R(1 2) = Y y ; MO (1 2) = 0 On voit donc que l action de Σ 1 sur Σ 2 est une force unique Y y appliquée en O. En d autres termes, c est un glisseur : {O, Y y}. b) Liaison glissière Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison glissière si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une translation rectiligne suivant un axe (O, x) lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.19b). Le repère (O; x, y, z) orthonormé direct est lié à Σ 1 ; l axe (O, z) est normal à (P ) et l axe (O, x) est lié aux deux solides. Par rapport au repère (O; x, y) dans le plan (P ) le seul mouvement possible de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une translation parallèle à l axe (O, x). La liaison glissière a un degré de liberté. Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, en adoptant l approximation de la liaison parfaite, on a : R(1 2) = Y y ; MO (1 2) = Z z c) Liaison pivot Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison pivot si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une rotation autour de l axe (O, z) (Fig. 2.19c) lié aux deux solides. Le repère (O; x, y, z) orthonormé direct est lié à Σ 1 ; l axe (O, z) est normal à (P ). Par rapport au repère (O; x, y) dans le plan (P ) le seul mouvement possible de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une rotation autour de l axe (O, z). La liaison pivot a un degré de liberté. Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, en adoptant l approximation de la liaison parfaite, on a : R(1 2) = X x + Y y ; MO (1 2) = 0 On voit donc que l action de Σ 1 sur Σ 2 est une force unique X x + Y y appliquée en O. En d autres termes, c est un glisseur : {O, X x + Y y}. d) Liaison encastrement Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison d encastrement si aucun mouvement relatif de l un par rapport à l autre n est possible (Fig. 2.19d). Ce n est pas, à proprement parler, une liaison car il n y a aucune mobilité. Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, on a : R(1 2) = X x + Y y ; MO (1 2) = N z

32 26 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Tableau récapitulatif Remarque Liaison Mouvements de translation possibles Mouvements de rotation possibles R (1 2) MO (1 2) Ponctuelle (O, x) (O, z) Y y 0 Glissière (O, x) Y y N z Pivot (O, z) X x + Y y 0 Encastrement X x + Y y N z Pour chaque liaison, le nombre d inconnues de liaison (X, Y et/ou N) augmenté du nombre de degrés de liberté est égal à Appui fixe, appui mobile Très souvent, pour les problèmes plans et pour certaines liaisons, on utilise la terminologie d appuis : appuis fixes ou appuis mobiles. On a les définitions suivantes : Appui fixe en O Les deux solides Σ 1 et Σ 2 du plan (P ) ont une liaison pivot parfaite (voir le sous-paragraphe c) ci-dessus) d axe (O, z) perpendiculaire au plan (P ). Une telle liaison est appelée «appui fixe en O». Elle est représentée par le schéma donné sur la figure 2.20a. Naturellement, on a : R(1 2) = X x + Y y et MO (1 2) = 0 L action de Σ 1 sur Σ 2 est un glisseur {O, R(1 2)} = {O, X x + Y y}. Appui mobile dans la direction (O, x) Les deux solides Σ 1 et Σ 2 du plan (P ) sont liés par la réalisation successive de deux liaisons : une liaison pivot parfaite d axe (O, z) perpendiculaire au plan (P ), et une liaison glissière parfaite d axe (O, x) (voir les sous-paragraphes c) et b) ci-dessus). Une telle liaison est appelée «Appui mobile dans la direction (O, x)». Elle est représentée par le schéma donné sur la figure 2.20b. Naturellement, on a : R(1 2) = Y y et MO (1 2) = 0 L action de Σ 1 sur Σ 2 est un glisseur {O, R(1 2)} = {O, Y y}. 2.5 Relations contraintes - déformations L observation d un corps solide soumis à un chargement montre, en général, que le solide subit une déformation. Celle-ci peut être très importante (étirement d un morceau de caoutchouc, froissement d une tôle de voiture suite à un accident) ou très faible (effort dû à un vent modéré sur un mur, déformations des pieds d une chaise dues au poids d un enfant). Tous les cas

33 2.5. RELATIONS CONTRAINTES - DÉFORMATIONS 27 Σ 1 Σ 1 O O Σ 2 Σ 2 y Plan (P ) Plan (P ) y x (a) Appui fixe en O x (b) Appui mobile en O Fig Appui fixe - Appui mobile dans la direction (O, x) intermédiaires de déformations sont naturellement possibles. Dans ce paragraphe, nous allons préciser ce que l on entend par matériau solide en traction ou en compression. Nous décrirons ensuite les comportements les plus classiques des matériaux : comportement élastique, comportement plastique, Phénomène de traction - compression a) Description de l essai de traction - compression Le matériau à étudier constitue l éprouvette : c est un fût cylindrique (la partie utile) et deux têtes qui permettent de l amarrer à un porte-éprouvette (Fig. 2.21). Cette éprouvette est placée dans la machine décrite sur la figure dynamomètre dispositif d amarrage fût capteur de déplacement éprouvette jauge générateur de force Éprouvette sol Fig Machine de traction - compression

34 28 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES La machine, appelée «machine de traction - compression», permet d imposer une force dans la direction de l axe de l éprouvette. En fait, on réalise deux forces égales et opposées sur chacune des deux têtes. La machine permet de contrôler l allongement. Les forces sont mesurées avec un dynamomètre et les allongements à l aide d un capteur de déplacement (ou extensiomètre). d 0 d Fig Repères permettant de mesurer la déformation Pour l allongement, on mesure la distance d 0 entre deux repères tracés sur l éprouvette libre (Fig. 2.22), puis la distance d entre ces deux mêmes repères sur l éprouvette tractée (les forces tendent à l étirer) ou comprimée (les forces tendent à la raccourcir). On appelle déformation la quantité ɛ correspondant à l allongement relatif : ɛ = d d 0 d 0 (2.5) Si l éprouvette est bien calibrée, ɛ ne dépend ni de d 0, ni de la place occupée par les deux repères sur le fût de l éprouvette. Suivant le signe de ɛ, on utilisera la terminologie de traction ou de compression : ɛ 0 TRACTION ɛ 0 COMPRESSION b) Notion de contrainte On suppose que les efforts exercés sur une tête de l éprouvette sont schématisés par une force F x dans la direction de l axe de l éprouvette et appliquée en un point de cet axe. Sur l autre tête on aura la force F x (Fig. 2.23a). Considérons une section normale A du fût et par la pensée ôtons la partie gauche (G) de l éprouvette (Fig. 2.23b). Afin de maintenir la partie droite (D) en équilibre, il faut imaginer que des efforts s exercent sur toute la surface de la section A. On admet que l on a une densité surfacique uniforme d efforts normaux à la section A : σ x. On pose : N = S σ où S désigne l aire de la section A. L équilibre du tronçon (D) impose : F x N x = 0 soit N = F. De même l équilibre du tronçon (G) impose : F x + N x = 0 avec le même N et le même σ que dans l étude du tronçon (D) (voir Fig. 2.23c).

35 2.5. RELATIONS CONTRAINTES - DÉFORMATIONS 29 (a) F x (G) A (D) F x x (b) N x A (D) F x σ x (D) (c) F x (G) A N x (G) σ x Fig Notion de contrainte Définition σ s appelle la contrainte normale. Au niveau du signe de σ, σ 0 correspond à un phénomène de traction, et σ 0 correspond à un phénomène de compression. Remarquons que ( σ) serait une pression. N s appelle la tension. On a : N = σs. La contrainte σ est positive pour une traction et est négative pour une compression. La tension N est positive pour une traction et est négative pour une compression. Remarque S est l aire de la section de l éprouvette sur laquelle on exerce la force F, c est-à-dire l éprouvette déformée. Cette aire S est généralement différente de l aire S 0 de l éprouvette sur laquelle ne s exerce aucune force. Les deux aires S et S 0 sont en général très voisines. c) Types d essais. Notion de lois de comportement La machine de traction - compression impose, au cours du temps t, soit la force F c est-à-dire σ, soit la déformation c est-à-dire l allongement relatif ɛ. On mesure alors, soit la déformation ɛ, soit la contrainte σ. Autrement dit, à chaque instant t, on obtient une valeur σ(t) pour σ et une valeur ɛ(t) pour ɛ. L essai de traction - compression donne lieu à deux courbes σ et ɛ en fonction du temps t, c est-à-dire σ = σ(t) et ɛ = ɛ(t) (Fig. 2.24a et Fig. 2.24b). On peut aussi mettre sur un même graphe σ(t) et ɛ(t) comme ceci est montré sur la figure 2.24c. σ(t) σ ɛ σ(t) σ ɛ(t) 0 t t 0 t t 0 (a) (b) (c) ɛ(t) ɛ Fig Courbes de réponse suite à un essai de traction-compression

36 30 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Définition On appelle loi de comportement du matériau constituant l éprouvette, la loi qui donne l une des fonctions σ(t) ou ɛ(t) en fonction de l autre ɛ(t) ou σ(t). Nous donnerons plus loin quelques exemples de lois de comportement. Dans certaines expériences de traction - compression, les éprouvettes du matériau sont soumises à des essais poussés parfois jusqu à la rupture. Afin de permettre des comparaisons, les essais doivent être bien précisés et reproductibles. Ci-après, nous donnons deux essais types. Chacun d eux caractérise un phénomène physique. Essai de fluage L essai est réalisé en maintenant la contrainte σ constante : σ = cste = σ 0. On appelle fluage la propriété qu a le matériau de voir son allongement croître à contrainte fixée dans un essai de traction. Sur la figure 2.25, les courbes (1) et (2) sont deux exemples de réponse. σ ɛ (1) σ 0 (2) t 0 0 σ = σ 0 pour t positif Fig Essai de fluage Les courbes (1) et (2) sont deux exemples de réponse. t Essai de relaxation L essai est réalisé en maintenant la déformation ɛ constante : ɛ = cste = ɛ 0, après une croissance liéaire en t (Fig. 2.26). On appelle relaxation la propriété qu a le matériau de voir sa contrainte décroître à déformation fixée dans un essai de traction. Sur la figure 2.26, les courbes (1) et (2) sont deux exemples de réponse. ɛ σ ɛ 0 (1) (2) t t 0 0 t 0 t 0 ɛ = ɛ 0 pour t > t 0 Les courbes (1) et (2) sont deux exemples de réponse. Fig Essai de relaxation

37 2.5. RELATIONS CONTRAINTES - DÉFORMATIONS 31 Remarque On peut vérifier que le comportement (1) dans les deux essais, est bien décrit par une loi de la forme dɛ dt = 1 dσ E M dt + σ (E M et η constants) η appelée loi de comportement viscoélastique de Maxwell (par exemple comportement d un polyéthylène fondu). De même, on peut vérifier que le comportement (2) dans les deux essais, est bien décrit par une loi de la forme σ = E KV ɛ + η dɛ dt (E KV et η constants) appelée loi de comportement viscoélastique de Kelvin Voigt (par exemple pâte silicone (connu sous le terme de silly-putty), certaines résines,... ) Élasticité, plasticité, élasticité, rupture a) Loi de comportement de l élasticité Une loi de comportement largement utilisée et qui est correcte pour beaucoup de matériaux, est celle de l élasticité : la valeur de σ à l instant t ne dépend que de la valeur de la déformation ɛ au même instant. La loi est indépendante de t. Autrement dit, on a : σ = f(ɛ) Un tel comportement est donné sur la figure 2.27a. Si de plus, la fonction f(ɛ) est linéaire (Fig. 2.27b), on dit que la loi de comportement est celle de l élasticité linéaire, dite loi de Hooke (Robert Hooke ( )). σ = E ɛ (E = cste, Loi de Hooke) (2.6) Le coefficent E s appelle module d Young (Thomas Young ( )). Il dépend du matériau. Nous donnons dans le tableau ci-après quelques valeurs numériques pour E. La loi de Hooke (2.6) est vérifiée expérimentalement pour de très nombreux matériaux mais à condition de considérer des petites déformations ɛ. σ σ ɛ 0 0 ɛ (a) Élasticité non linéaire (b) Élasticité linéaire Fig Comportement plastique

38 32 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Remarque sur les unités La tension N est une force : elle s exprime en newton La contrainte σ est une force par unité de surface : elle s exprime en pascal noté «Pa». La déformation ɛ est un allongement relatif. Elle n a pas d unités. Le module d Young E s exprime comme σ (voir (6)) : il s exprime en pascal (Pa). On a : 1 kpa = 10 3 Pa, 1 MPa = 10 6 Pa Quelques valeurs numériques pour le module E d Young : Acier Cuivre Béton Bois Caoutchouc E = MPa E = 10 5 MPa E = MPa E = MPa E = 2 MPa Exemples simples d application de la loi de Hooke Soit un barreau de longueur l 0 = 1 m et de section S = 1 cm 2 sur lequel on exerce une force de traction F = 100 N. On va déterminer l allongement l du barreau. On a : D où : Pour un barreau en acier : l = Pour un barreau en bois : l = σ = F S, ɛ = σ E (Loi de Hooke), l = l 0 ɛ l = F l 0 S E ( ) = m = 5 µm ( ) = m = 0.06 mm Pour un barreau en caoutchouc, le même calcul que ci-dessus conduit à : l = = 0.5 m Dans ce dernier cas, l allongement est important : la loi de Hooke peut être mise en doute. En général, la loi de Hooke est être utilisée pour des petites déformations (ɛ petit avec par exemple ɛ < b) La plasticité Nous décrivons ci-après ce que l on entend par un comportement plastique. Le matériau décrit est dit : solide élastique parfaitement plastique. La machine de traction - compression impose, au cours du temps, la déformation ɛ(t) décrite sur la figure 2.28a : ɛ(t) croît linéairement avec le temps t, puis est maintenue constante et enfin décroît linéairement avec t. D où les trois segments OA 1 A 2, A 2 A 3 et A 3 A 4. Le diagramme de la réponse σ(t) est donné sur la figure 2.28b, les points B 1, B 2, B 3 et B 4 correspondant aux quatre points A 1, A 2, A 3 et A 4. On admet que la réponse est la suivante :

39 2.5. RELATIONS CONTRAINTES - DÉFORMATIONS 33 ε(t) A 2 A 3 σ(t) B 1 B 2 B 3 σ L A 1 A 4 O (a) t 1 t 2 t 3 t 4 t O t 1 t 2 t 3 t 4 (b) σ B 4 t σ L C 1 C 2 = C 3 σ L est le seuil de plasticité (c) O C 4 ε Fig Comportement plastique dans la phase OB 1, σ croît linéairement avec t ; sur la phase B 1 B 2 B 3, σ demeure constant et égal σ L ; enfin sur la phase B 3 B 4, σ décroît linéairement avec t. De plus dans les deux phases de croissance (phase OB 1 ) et de décroissance (phase B 3 B 4 ), et on admet que le rapport σ/ ɛ est le même au signe près. Il est à noter qu entre les instants t 1 et t 2, l allongement ɛ croît linéairement avec t et la contrainte σ demeure constante et égale à σ L. Dessinons maintenant le graphe de σ en fonction de ɛ (Fig. 2.28c). Les points C 1, C 2, C 3, C 4 correspondent naturellement à A 1, A 2, A 3, A 4 et à B 1, B 2, B 3, B 4. Sur OC 1, ɛ et σ croissent tous les deux ; sur C 1 C 2, ɛ croît et σ reste égal à σ L ; sur C 2 C 3, ɛ et σ sont constants et les deux points C 2 et C 3 sont confondus : enfin sur C 3 C 4, ɛ et σ décroissent tous les deux. Le cas que nous venons de décrire correspond au fait que σ plafonne à un seuil σ = σ L dit seuil de plasticité. Le seuil de plasticité est caractérisé par les propriétés suivantes : tant que le seuil de plasticité n est pas atteint, le comportement du matériau est réversible ; on parcourt le segment OC 1 dans les deux sens. Cette partie est la partie élastique du matériau. Sur le segment OC 1 la déformation et la contrainte sont, en réalité, relativement «petites». si le seuil de plasticité est atteint avec σ = σ L, on a encore un allongement : on dit que l on est dans un domaine d écoulement plastique. si ensuite on relache la contrainte, on quitte la courbe horizontale C 1 C 2 C 3 et on suit le trajet C 3 C 4. Pour une contrainte σ nulle (σ = 0), le matériau conserve un allongement donc reste déformée. Exemples de matériaux très plastiques : cuivre, aluminium, laiton,... Remarque Naturellement les lois de comportement pour des matériaux réels ne sont pas aussi simples que celles que nous avons schématisées ci-dessus. Cependant, ces lois constituent de bonnes approximations pour de très nombreux problèmes de Résistance des Matériaux.

40 34 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES c) La rupture Naturellement un matériau qui est trop fortement sollicité ou trop souvent sollicité peut être amené à se rompre. Nous introduisons ici la notion de rupture fragile et de rupture par fatigue. σ σ M σ m 0 t Exemple de succession de cycles Fig Essai pour la rupture par fatigue Rupture fragile Le matériau est en apparence élastique, mais à un certain seuil de contrainte, il se rompt avec un aspect de rupture lisse. Le matériau se casse. Exemples : la fonte, la pierre, le béton, le verre,... Les contraintes de rupture à la traction sont de l ordre de 30 MPa = Pa pour la fonte et de 0.5 MPa = Pa pour le béton. Rupture par fatigue On envisage une succession de cycles où la contrainte (en traction) varie entre deux valeurs σ m et σ M (Fig. 2.29). Le matériau n étant pas parfaitement élastique, il reste après chaque cycle, une déformation (allongement) infinitésimale mais résiduelle. Au bout d un très grand nombre de cycles, la somme de toutes ces déformations infinitésimales peut entraîner la rupture du matériau. Remarques On peut envisager d autres types de rupture. Un matériau plastique sollicité trop longtemps par la contrainte égale au seuil de plasticité peut se rompre. Pour des raisons de vieillissement, un matériau sollicité un très grand nombre de fois par de la traction et de la compression peut se détériorer. 2.6 Dilatation thermique On n a pas pris en compte, dans tout ce qui précède, le terme d énergie cinétique lié à l agitation thermique des molécules et des atomes au sein du matériau considéré. En effet, on peut supposer qu un atome vibre entre des positions extrêmes dont la moyenne détermine l évolution des positions d équilibre avec la température. C est l origine de la dilatation thermique. On peut écrire pour un barreau de longueur l 0 à la température T 0, et de longueur l à la température T, que la dilatation thermique l = l l 0 vaut : l = l 0 α T (2.7)

41 2.6. DILATATION THERMIQUE 35 où α est le coefficient de dilatation thermique que nous supposons constant dans ce qui suit, et où T = T T 0 est la variation de température par rapport à la température de référence T 0. On déduit de cette équation la dilatation thermique relative (appelée aussi déformation thermique) : l = α T l 0 Remarques sur les unités Le rapport l/l 0 n a pas d unités. On dit que c est une grandeur sans dimension. Le coefficient de dilatation thermique α a pour unité K 1 (K pour Kelvin). La loi l = l 0 α T avec α constant, est vérifiée expérimentalement pour des variations de température T modérées. Nous donnons ci-après quelques valeurs numériques pour α, la température de référence étant de l ordre de la température ambiante (20 degrés Celsius). Aluminium Cuivre Acier Platine Bore α = K 1 α = K 1 α = K 1 α = K 1 α = K 1 Contrainte d origine thermique Rappelons la loi de l élasticité linéaire de Hooke reliant contrainte et déformation (formule (2.6)) : σ = E ɛ avec ɛ = l/l 0 Lorsque l allongement provient d une variation de température T comme cela a été vu ci-dessus avec la relation (2.7), on a : Dans (2.8) l origine de la contrainte σ est thermique. Contrainte d origine thermique et mécanique σ = E α T (2.8) Dans le cas général d une sollicitation à la fois mécanique et thermique, on a l addition des deux effets soit : l l 0 = l th l 0 + l m l 0 Les indices «th» et «m» se réfèrent à thermique et à mécanique. On a toujours la loi de Hooke. Ainsi : σ = E l { lth = E + l } m = E α T + E ɛ m avec ɛ m = l m l 0 l 0 l 0 l 0 À partir de ce type de relation, et évidemment de données sur les matériaux, il est possible de justifier le dimensionnement de structures simples de type poteaux.

42 36 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES 2.7 Mécanique des structures : Exercices avec correction Dans ce paragraphe, les exercices avec corrigés présentés sont des applications directes du cours. Ils illustrent les quatre points suivants : 1. Principe fondamental de la statique appliqué à un corps solide isolé (exercices 1, 2 et 3) 2. Système de plusieurs corps solides (exercice 4) 3. Loi de l élasticité linéaire de Hooke (exercices 5 et 6) 4. Contraintes (exercices 7, 8 et 9) D après des énoncés proposés par Y. Berthaud en Exercice 1 : Seau suspendu à un câble Le but est l application du principe fondamental de la statique à un corps isolé. On a le seau et le câble de la figure (Fig. 2.30a). Calculer la valeur de l effort F c en fonction de l intensité de la pesanteur g et de la masse du seau M. Le terme «seau» représente l ensemble du récipient, de son contenu et de l anse. Le câble est supposé sans masse. z F c Fc A g A G M g (a) (b) Fig Seau suspendu Corrigé Il s agit d appliquer le principe fondamental de la statique (paragraphe 2.2.2) à un corps isolé. La démarche est la suivante : 1. Il faut définir le système Σ auquel on veut appliquer le principe fondamental. 2. Il faut ensuite faire très soigneusement l inventaire des forces exercées sur le système Σ. 3. Enfin il faut appliquer le principe fondamental de la statique à Σ. Ici on choisit le seau comme système Σ. Les efforts extérieurs exercés sur le seau sont : 1. la force F c appliquée en A et verticale (Fig. 2.30a) due au câble. Cette force correspond au glisseur {A, F c }. 2. la force de pesanteur appliquée en G, centre de gravité du seau. Cette force correspond au glisseur {G, M g}, g étant le vecteur accélération de la pesanteur.

43 2.7. MÉCANIQUE DES STRUCTURES : EXERCICES AVEC CORRECTION 37 Le principe fondamental de la statique appliqué au seau conduit à : {A, F c } + {G, M g} = 0 Le premier membre est la somme de deux glisseurs (paragraphe 2.2.1). L équation ci-dessus conduit donc à deux équations vectorielles, la première exprimant la nullité de la somme des deux résultantes des deux glisseurs, et la seconde la nullité du moment de ces deux glisseurs, par exemple au point A : F c + M g = 0 AA F c + AG M g = 0 c est-à-dire : F c = M g et AG g = 0 En conclusion F c est égale à l opposé du poids M g et les points A et G sont sur la même verticale. En effet, pour que le produit vectoriel AG g soit nul, il est nécessaire que le vecteur AG soit parallèle à g ou nul (voir Annexe). Notons enfin que : F c = F c = M g (Fig. 2.30b) Exercice 2 : Seau et système de mouflage On reprend le seau de l exercice précédent, mais on modifie légèrement le système de suspension en adoptant un système de type mouflage simple. En d autres termes, une courroie attachée à un bâti est enroulée sur une poulie et est tenue par la main en A (Fig. 2.31). On suppose la poulie et la courroie de masses négligeables devant celle du seau. Calculer la valeur de l effort F c nécessaire pour soulever le seau et le maintenir en équilibre. g T B A F c O seau M g Fig Seau et poulie Corrigé Il s agit d appliquer le principe fondamental de la statique (paragraphe 2.2.2) à un système matériel Σ. Ici le système Σ considéré est «la poulie + le seau + le morceau de courroie AB» (Fig. 2.31). Les efforts extérieurs exercés sur le système Σ sont : 1. la force de pesanteur appliquée en G, centre de gravité du seau, 2. la force F c appliquée en A et verticale,

44 38 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES 3. la force T exercée en B par la courroie sur le système Σ. En effet au point B, la partie de la courroie située au-dessus du point B exerce sur la partie de la courroie située au-dessous de B, un effort de traction T dirigés vers le haut. La quantité T = T est la tension dans la courroie. Le principe fondamental appliqué au système Σ conduit à : {B, T } + {A, F c } + {G, M g} = 0 Le premier membre est la somme de trois glisseurs. L équation ci-dessus conduit donc à deux équations vectorielles, la première exprimant la nullité de la somme des trois résultantes des trois glisseurs, et la seconde la nullité du moment de ces trois glisseurs par exemple au point O, où O est le centre de la poulie. Il vient : T + F c + M g = 0 OB T + OA F c + OG (M g) = 0 Pour la courroie, on admettra que la tension tout le long de la courroie est la même ; les deux forces T et F c sont parallèles et dirigées vers le haut ; on a donc : T = F c. Comme T = F c et OA + OB est un vecteur vertical, on a : OB T + OA T = ( OB + OA) T = 0 d où : 2 F c = M g et OG (M g) = 0 soit : F c = (M/2) g et OG g = 0 En conclusion F c est égale à l opposé de la moitié du poids M g et les points O et G sont sur la même verticale. Remarquons que dans cet exercice, F c = F c = 1 2 M g : la force nécessaire pour soulever le seau a été divisée par 2, par rapport à celle nécessaire dans l exercice Exercice 3 : Portique plan constitué de deux barres soudées Dans cet exercice, nous allons étudier un système «plan» représentatif d un portique (Fig. 2.32), constitué : d un mur noté 0, parallèle à l axe (O, z), de deux barres OA et AB rectilignes, métalliques, de section faible et soudées en B. Le système ABO est lié au mur avec un appui mobile en O et un appui fixe en A (voir le paragraphe 2.4.3). Les vecteurs OA et OB valent respectivement h z et h y où y et z sont les vecteurs unitaires des deux axes (O, y) et (O, z). Les liaisons en A et en O sont supposées parfaites. Nous négligerons l action de la gravité sur la système ABO devant les autres efforts mis en jeu. L objectif est de calculer les actions mécaniques en O et A (c est-à-dire les efforts exercés par le système OAB sur le mur) en fonction de F, sachant que F représente l effort extérieur appliqué au système au point C tel que OC = d y (Fig. 2.32). On dessinera ensuite les vecteurs modélisant les actions en O et A dans le cas d = L/4.

45 2.7. MÉCANIQUE DES STRUCTURES : EXERCICES AVEC CORRECTION 39 z A (0) O C B y Fig Portique avec deux barres soudées F Corrigé Pour commencer analysons les différentes liaisons (voir paragraphe 2.4.2). Appui fixe en A : les actions du mur 0 sur la barre sont schématisées par le glisseur {A, R A } où R A a deux composantes : R A = Y A y + Z A z ; Appui mobile en O : les actions du mur 0 sur la barre sont schématisées par le glisseur {O, R O } où R O a une seule composante : R O = Y O y. Le système considéré est constitué d un seul solide à savoir le système ABO, que nous appelons Σ. Le système Σ est soumis à trois forces schématisées par les trois glisseurs {A, Y A y + Z A z}, {O, Y O y} et {C, F }. Nous lui appliquons le principe fondamental de la statique. Il vient pour la résultante et le moment en O : (Y A y + Z A z) + Y O y + F = 0 OA (Y A y + Z A z) + OO (YO y) + OC F = 0 Posons F = F z (sur la figure F est positif). Par ailleurs OA = h z, OB = h y et OC = d y. Les deux équations précédentes conduisent à : La première équation conduit à : Y A y + Z A z + Y O y F z = 0 OA (Y A y + Z A z) + OO (YO y) OC (F z) = 0 Y A + Y O = 0 ; Z A F = 0 et la seconde à : h z (Y A y + Z A z) + d y (F z) = 0 h Y A + d F = 0 où l on a utilisé les égalités z y = y z et z z = 0. En conclusion, il vient : Z A = F ; Y A = d h F ; Y O = d h F

46 40 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Ainsi, nous avons déterminé les actions en O et A en fonction des données. Dans le cas où d = L/4, on a (Fig. 2.33) : Z A = F ; Y A = F/4 ; Y O = F/4 R A z A R O O C B y F Fig Efforts en A et O Exercice 4 : Portique plan constitué de deux barres articulées Nous allons étudier un système «plan» représentatif d un portique (Fig. 2.34), constitué : d un mur noté 0, parallèle à l axe (O, z), d une première barre métallique de faible section, notée 1, en appui mobile sur le mur en O, d une seconde barre métallique, de faible section, notée 2, en appui fixe sur le mur en A et aussi en liaison pivot en B avec la barre 1. En fait au niveau de la liaison en B, on imagine que l on a un petit solide sur lequel sont articulées les deux barres 1 et 2. Nous appellerons ce petit solide «nœud» (Fig. 2.35). z A (0) 2 O 1 B y F Fig Portique avec deux barres articulées

47 2.7. MÉCANIQUE DES STRUCTURES : EXERCICES AVEC CORRECTION 41 Les vecteurs OA et OB valent respectivement h z et h y, où y et z sont les vecteurs unitaires des deux axes (O, y) et (O, z). Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Le tirant 2 et la barre 1 étant de section faible, nous négligerons l action de la gravité sur ces barres devant les autres efforts mis en jeu. L objectif est de calculer les actions mécaniques en O, A et B en fonction de F qui représente l effort extérieur appliqué au système en B. Il faut imaginer que la force F est appliquée sur le nœud B (Fig. 2.35) et non sur les barres OB et AB. On dessinera ensuite les vecteurs modélisant les actions en O, A et B. tige 1 nœud B tige 2 Fig Nœud B Corrigé Pour commencer analysons les différentes liaisons (voir paragraphe 2.4). Appui fixe en A (paragraphe 2.4.3) : les actions du mur 0 sur la barre 2 sont schématisées par un glisseur {A, R A } où R A a deux composantes : R A = Y A y + Z A z ; Appui mobile en O : les actions du mur 0 sur la barre 1 sont schématisées par un glisseur {O, R O } où R O a une seule composante : R O = Y O y ; Liaison pivot en B : les actions de la barre 1 sur le nœud B sont schématisées par un glisseur {B, R 1B } où R 1B a deux composantes : R 1B = Y 1B y+z 1B z. Les actions de la barre 2 sur le nœud B sont schématisées par un glisseur {B, R 2B } où R 2B a deux composantes : R 2B = Y 2B y + Z 2B z. L objectif de l exercice est de déterminer les efforts de liaison, c est-à-dire Y A, Z A, Y O, Y 1B, Z 1B, Y 2B et Z 2B en fonction des données. Le système considéré est constitué de trois corps solides : la barre 1, la barre 2 et le nœud B. Nous allons appliqué trois fois le principe fondamental. Une fois au système complet «barre 1 + barre 2 + nœud B», une fois au «nœud B» seul et une fois à la «barre 2» seule. Remarque : on aurait pu choisir trois autres systèmes, comme par exemple : «(barre 1 + barre 2 + nœud B)», «(barre 1 + nœud B)» et «(barre 2 + nœud B)», ou bien encore : «(barre 1, barre 2 et nœud B)». On notera, qu en général, lorsqu on a un système matériel constitué de n solides, la loi fondamentale de la statique appliquée n fois à n sous-systèmes indépendants, donne le maximum d information. 1) Principe fondamental appliqué aux deux barres 1 et 2 et au nœud B : ce système est soumis à trois forces schématisées par les trois glisseurs {A, Y A y + Z A z}, {O, Y O y} et {B, F }. Remarquons bien que les actions des barres sur le nœud B et du nœud B sur les

48 42 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES z R A A R 2B O R O B R1B y F Fig Efforts en A, O et B barres ne sont pas des efforts extérieurs au système considéré ici. On a : d où : {A, Y A y + Z A z} + {O, Y O y} + {B, F } = 0 (Y A y + Z A z) + Y O y + F = 0 OA (Y A y + Z A z) + OO (YO y) + OB F = 0 en écrivant que le moment en O des trois glisseurs est nul. Posons F = F z (sur la figure F est positif). Les deux équations relatives à la résultante et au moment en O conduisent à : Y A + Y O = 0, Z A F = 0 et h Y A + h F = 0 où l on a utilisé, dans l équation pour le moment, les égalités z z = 0 et z y = y z. Il vient : Z A = F ; Y A = F ; Y O = F (S4.1) 2) Principe fondamental appliqué au nœud B. Le nœud B est soumis à trois forces schématisées par les trois glisseurs {B, Y 1B y + Z 1B z}, {B, Y 2B y + Z 2B z} et {B, F }. D où : (Y 1B y + Z 1B z) + (Y 2B y + Z 2B z) + F = 0 Remarquons que l équation relative au moment en B est trivialement vérifiée. Y 1B + Y 2B = 0 ; Z 1B + Z 2B F = 0 (S4.2) 3) Principe fondamental appliqué à la barre 2 : ce système est soumis à deux forces schématisées par les deux glisseurs {A, Y A y + Z A z} et {B, Y 2 y Z 2B z}. Remarquons que l on a appliqué le théorème de l action et de la réaction (paragraphe 2.2) entre la barre 2 et le nœud B. Il vient pour la résultante et le moment en B : soit : (Y A y + Z A z) (Y 2B y + Z 2B z) = 0 BA (Y A y + Z A z) + BB ( Y2B y Z 2B z) = 0 Y A = Y 2B ; Z A = Z 2B ; Y A + Z A = 0 (S4.3)

49 2.7. MÉCANIQUE DES STRUCTURES : EXERCICES AVEC CORRECTION 43 En conclusion, les équations (S4.1), (S4.2) et (S4.3) conduisent à : Y A = F, Z A = F, Y O = F, Y 2B = F, Z 2B = F, Y 1B = F, Z 1B = 0 Ces efforts sont représentés sur la figure L étudiant peut reprendre cet exercice en considérant les trois systèmes «(barre 1 + barre 2 + nœud B)», «(barre 1)» et «(barre 2)» et constater que le résultat final est inchangé Exercice 5 : Loi de l élasticité linéaire de Hooke appliquée à un poteau en compression Calculer la contrainte σ dans un poteau vertical en compression (Fig. 2.37). On néglige le poids de ce poteau et on imagine qu il supporte le poids F = F z d un bâtiment. Calculer le rétrécissement du poteau, sachant que F = N, que la section S du poteau est constante et égale à 0.5 m 2, que le module d Young du béton E vaut MPa et que la hauteur du poteau est h = 15 m. z F poteau O sol Fig Poteau en compression Corrigé D après la loi de Hooke (paragraphe 2.5.2, formule (2.6)), on a : σ = E ɛ où ɛ est l allongement relatif (ou déformation). Par ailleurs, σ = F/S (paragraphe 2.5.1). Il vient : σ = E ɛ = F/S, soit : ɛ = F/(E S). Avec les données numériques, on trouve : ɛ = /( ) 0.5 = (4/3) Enfin le rétrécissement du poteau est : ɛ h = (4/3) = m = 0.2 mm Exercice 6 : Trombone en traction Peut-on se suspendre dans le vide à un trombone en acier? La masse de l individu considéré est 60 kg et l accélération de la pesanteur est prise égale à 10 m.s 2. La limite d élasticité de l acier à la traction est de l ordre de 1000 MPa (par limite d élasticité il faut comprendre la valeur la plus grande que l on peut donner à la contrainte σ tout en conservant un comportement d élasticité linéaire pour le matériau considéré). On assimile le trombone à un petit fil métallique de section S = 1 mm 2.

50 44 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Corrigé On a : σ = F/S (paragraphe 2.5.1). Avec les données numériques, on trouve σ = 600/10 6 Pa soit σ = Pa = 600 MPa. Cette valeur est inférieure à la valeur donnée pour la limite d élasticité de l acier. On peut donc se suspendre à un trombone. Naturellement, la réponse ne sera pas la même pour un individu de 120 kg! Remarque : 1 MPa = 10 6 Pa, 1 atmosphère 10 5 Pa = 0.1 MPa Exercice 7 : Poteau en compression de section droite non constante On cherche à déterminer la surface S(z) de la section droite du poteau de la figure 2.38 de telle sorte que la contrainte soit constante et égale à σ 0 le long du poteau avec σ 0 = 50 N/cm 2. Le poteau est de révolution avec pour axe, l axe (O, z) vertical. À la hauteur z, la section droite est un cercle d aire S(z) (fig. 38). Le matériau constituant le poteau est du béton. La masse volumique du béton est constante et vaut ρ = 2300 kg.m 3. Le poteau supporte le poids F = F z d un bâtiment. Le poids F est F = N et la hauteur du poteau est h = 15 m. Déterminer S(z). z F z = h S(z) S(z 0 ) sol z = 0 O Fig Poteau de section droite non constante Corrigé L axe Oz vertical ascendant est tel que la base du poteau soit en z = 0. Soit une section droite S(z 0 ). Au niveau de cette section, cherchons les efforts exercés par la partie supérieure sur la partie inférieure. Ce sont : la force F = F z et le poids de la partie du poteau située entre z = z 0 et z = h. Ce poids est ρ g h z 0 S(z) dz Il faut remarquer que l intégrale est le volume de la partie du poteau située au-dessus de la surface S(z 0 ). Les efforts exercés par la partie au-dessus de S(z 0 ) sur la partie en dessous de

51 2.7. MÉCANIQUE DES STRUCTURES : EXERCICES AVEC CORRECTION 45 S(z 0 ) est donc : [ h ] F ρ g S(z) dz z z 0 (S6.1) D après la définition des contraintes (paragraphe 2.5.1), et sachant que la contrainte doit être égale à σ 0, les efforts exercés par la partie au-dessus de S(z 0 ) sur la partie en dessous de S(z 0 ) est σ 0 S(z 0 )( z). En égalant cette expression avec (S6.1), on a : F + ρ g h z 0 S(z) dz = σ 0 S(z 0 ) (S6.2) F ρ g z0 h S(z) dz = σ 0 S(z 0 ) Dérivons cette dernière égalité par rapport à z 0. Il vient : ρ g S(z 0 ) = σ 0 S (z 0 ) (On a dérivé l intégrale par rapport à sa borne supérieure). L équation ci-dessus est vraie pour tout z 0. On remplace z 0 par z et on a : S (z) S(z) = ρ g σ 0 ln(s(z)) = ρ g z + K σ 0 sachant que S(z) est positif et où K est une constante d intégration. En z = h, S(z) = S(h), d où : ln(s(h)) = (ρ g h/σ 0 ) + K. Par suite : ln(s(z)) ln(s(h)) = ρ g z σ 0 + ρ g h σ 0 = ρ g σ 0 (h z) (S6.3) Remarquons que (S6.2) conduit à F = σ 0 S(h) en prenant z 0 = h. Donc S(h) = F/σ 0. Finalement : ln(s(z)) = ln F + ρ g (h z) σ 0 σ 0 S(z) = F ( ) ρ g exp (h z) (S6.4) σ 0 σ 0 Avec les données numériques : S(z) = 2 ( ) exp (h z) = 0.4 exp(0.046 (h z)) = 0.4 exp(0.046 (15 z)) où z est exprimé en mètres. En particulier : S(0) = 0.8 m 2 ; S(h) = 0.4 m 2 S(z) décroît quand z croît (ce qui est intuitivement correct) Exercice 8 : Travé de pont En sachant que le coefficient de dilatation thermique d un acier est K 1, et celui du béton entre entre 9 et K 1, calculer la variation de longueur d une travée de pont en béton armé de 50 m de longueur pour une variation de température de 40 K.

52 46 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Corrigé On constate que les coefficients de dilatation thermique des deux matériaux sont proches. Donc le mélange des matériaux est possible sans souci au niveau des dilatations des deux matériaux. On retient comme coefficient de dilatation thermique moyen la valeur : α = 10 5 K 1. Donc l = l 0 α T où l 0 est la longueur de la travé du pont (paragraphe 2.6). On trouve : l = = m = 2 cm. Ceci impose la pose de joints de dilatation observables sur les ponts Exercice 9 : Balustrade en acier Soit une balustrade en acier de 10 m de longueur encastrée aux extrémités dans des murs en béton (supposés indéformables). Le coefficient de dilatation de l acier est 10 5 K 1, et son module de Young est MPa. Calculer l allongement de la balustrade, sa déformation et la contrainte exercée par la balustrade sur le mur pour une variation de température de 50 K (variation de température entre l été et l hiver). Expliquer pourquoi le béton se fissure. Corrigé L allongement de la balustrade est (paragraphe 2.6) : l = l 0 α T = = m = 5 mm Cet allongement correspond, pour la balustrade libre en ses deux extrémités, à une déformation (ou dilatation thermique relative) de : ɛ = l l 0 = m 10 m = Si la balustrade est encastrée dans les deux murs, la déformation doit être nulle (les déplacements des deux extrémités de la balustrade sont impossibles et la balustrade ne peut que conserver sa longueur). Donc on aura des contraintes de compression dans la balustrade. Pour les calculer, on suppose que la barre s allonge de l et qu on la comprime pour annuler la déformation correspondant à cet allongement. On applique la loi de Hooke. La contrainte de compression dans la balustrade vaut donc : σ = E ε = ( MPa) = Pa = 10 8 Pa = 100 MPa On suppose que la contrainte dans le mur au niveau de la jonction avec la balustrade est identique et vaut 100 MPa. Cette valeur est largement supérieure à ce que supporte un béton classique en compression, laquelle est de l ordre de 50 MPa. Donc le mur se fissure.

53 Chapitre 3 Mécanique du vol D après des notes de cours de D. Euvrard, Université Pierre et Marie Curie et ENSTA Quelques domaines industriels particulièrement porteurs et innovants ont fait progresser les sciences en général, et les sciences mécaniques en particulier. Ainsi en est-il de l aéronautique, de l espace, de l armement, du nucléaire,... S agissant de l aéronautique, la demande scientifique et technique a été forte dès le départ : en effet, si les hommes ont construit des bâteaux depuis la préhistoire (il est relativement facile de faire flotter tant bien que mal une «coquille de noix»!), il a fallu passer un seuil technologique pour réussir à s élever dans l atmosphère, dans un appareil plus léger que l air (les montgolfières à la fin du 18 e siècle) et à plus forte raison dans un appareil plus lourd que l air (les premiers avions au début du 20 e siècle). Des considérations de prestige d abord, relayées par des considérations militaires et économiques ensuite, ont suscité recherche scientifique et progrès technique. Les retombées de ces études ont ensuite fait progresser d autres domaines industriels : aérodynamique, moteurs, calcul des structures, radio-navigation, radio-communication,... Ce n est d ailleurs pas fini, puisque par exemple les constructeurs aéronautiques se situent maintenant à la pointe de la simulation numérique, de la conception assistée par ordinateur, du traitement d images,... C est ainsi que l aérodynamique est devenue une science très sophistiquée, dont nous allons donner un petit aperçu, au travers de ce chapitre intitulé «Mécanique du vol» (d après des notes de cours de Daniel Euvrard, Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) et ENSTA). 3.1 Généralites sur les profils d ailes Les ailes des avions sont de formes très variables. Elles ont aussi beaucoup évolué au cours du siècle dernier. On peut s en convaincre en examinant des photos d avions sur le site : Un avion est grossièrement constitué par un fuselage et deux ailes placées symétriquement (Fig. 3.1). Dans ce cours, on schématisera l aile de l avion par une surface cylindrique de grande longueur. Un avion réel est naturellement beaucoup plus complexe. Nous mettons à titre illustratif, la photo d un AIRBUS A 340 (Fig. 3.2). Les caractéristiques de cet avion sont les suivantes (voir : : Envergure : 63,45 m ; Longueur : 75,30 m ; Hauteur : 17,30 m ; Aire des ailes : 439,40 m 2 Masse à vide : kg ; Masse maximale au décollage : kg ; Vitesse de croisière : environ 888 km/h ; Vitesse maximale : environ 913 km/h ; Altitude de croisière : environ m ; 47

54 48 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL aile fuselage aile Fig. 3.1 Fuselage et ailes d un avion Fig. 3.2 Airbus A au salon de Berlin 2006 Motorisation : réacteur RR Trent 500M56-5C4 de kg ; Poussée : 249 kn Qu est ce qu un profil d aile? Considérons une aile modélisée par une surface cylindrique comme représentée sur la figure 3.3. La section de l aile par un plan parallèle au plan de symétrie de l avion définit un profil d aile (Fig. 3.4). V air/avion A bord d attaque bord de fuite F profil A extrados intrados F Fig. 3.3 Allure d une aile Fig. 3.4 Profil d une aile Quelques définitions On se place généralement dans un repère lié à l avion. Autrement dit, l avion et aussi l aile sont immobiles et l écoulement de l air se fait autour de l avion. Notons que c est la configuration que l on a dans les souffleries expérimentales lorsqu on fait des essais pour étudier les performances d une aile.

55 3.1. GÉNÉRALITES SUR LES PROFILS D AILES 49 Examinons la figure 3.4. La pointe arrière du profil est notée F : c est le bord de fuite. Le point du profil, situé à l avant de celui-ci, où la courbure du profil est maximale est notée A : c est le bord d attaque. Le dessous du profil est l intrados. Le dessus du profil est l extrados. Le segment AF est appelé la corde du profil. Le maître-couple est la plus grande épaisseur perpendiculairement à la corde. On appelle épaisseur relative du profil le rapport maître-couple/corde. Les avions subsoniques ont en général leur maître-couple à 30% de la corde à partir du bord d attaque. La ligne moyenne du profil est la ligne qui est à égale distance des deux lignes de l intrados et de l extrados. Cette ligne définit la cambrure de l aile. Notons que tous les profils d aile ont un bord d attaque arrondi et un bord de fuite pointu. Tous ont un extrados arrondi et la plupart ont un intrados assez plat Vitesse propre de l avion. Vitesse de l avion par rapport au sol. Incidence Considérons l avion en vol à la vitesse constante V avion/sol par rapport au sol et dans une atmosphère en mouvement par rapport au sol (vent) avec une vitesse constante V air/sol. Ce qui importe pour l aérodynamique, c est la vitesse de l avion par rapport à l air qui l environne notée V avion/air. Sur la figure 3.3, on a indiqué la vitesse de l air par rapport à l avion noyée V air/avion. Naturellement on a V air/avion = V avion/air. On a : V avion/air = V avion/sol V air/sol V avion/sol = V avion/air + V air/sol Considérons la figure 3.5, où les trois vitesses V avion/sol, Vavion/air et V air/sol ont la même direction. Il est clair que si le vecteur V air/sol est dans le même sens que la vitesse V avion/sol, la vitesse V avion/sol est plus importante que la vitesse V avion/air (Fig. 3.5a). Inversement, si le vecteur V air/sol est dans le sens contraire de la vitesse V avion/sol, la vitesse V avion/sol est plus faible que la vitesse V avion/air (Fig. 3.5b). Pour la même vitesse V avion/air (c est-à-dire la même consommation de kérosène), l avion parcourra une distance au sol plus grande dans le cas a) que dans le cas b). V air/sol Vair/sol V avion/air Vavion/air V avion/sol Vavion/sol sol (a) sol (b) Fig. 3.5 Les différentes vitesses

56 50 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL En conclusion, pour la distance parcourue c est V avion/sol qui compte. Pour l aérodynamique (comme on le verra dans la suite de ce cours), c est V avion/air qui compte. Notations On pose : V avion/air = V p V air/avion = V V avion/sol = V S (vitesse propre de l avion). (vitesse de l air par rapport à l avion). (vitesse de l avion par rapport au sol). Dans ce qui suit, l écoulement de l air arrivant sur le profil est supposé stationnaire (en d autres termes, la vitesse V p est indépendante du temps) et uniforme (c est-à-dire que la vitesse V p ne dépend pas de l espace). Autrement dit, la vitesse V p est supposée constante. On dit que l écoulement est établi. Si de plus, on suppose la vitesse V air/sol constante et si on revient au vol de l avion par rapport au sol, ceci signifie que l avion vole avec une vitesse V S constante. V A (a) incidence nulle F α V A V F (b) incidence positive F α A (c) incidence négative Fig. 3.6 Angles d incidence Plaçons nous dans un repère lié à l avion (Fig. 3.6). Loin devant le profil, en amont, la vitesse de l air par rapport à l avion est V : on parle du vent à l infini. On a V = V air/avion. Ce vecteur V fait un angle α avec la corde AF. Cet angle α est appelé angle d incidence ou plus brièvement incidence. Si V est parallèle à la corde AF, l incidence est nulle (Fig. 3.6a). Si V pointe vers l intrados, l incidence est dite positive (Fig. 3.6b). Enfin si V pointe vers l extrados, l incidence est dite négative (Fig. 3.6c). La direction du vecteur V indique la direction de la trajectoire de l avion par rapport à l air. Il faut bien noter que la trajectoire n est pas forcément horizontale (avion en montée ou en descente par exemple). Remarquons enfin qu en vol de croisière, la trajectoire est généralement horizontale et l angle d incidence positif (ceci est représenté sur la figure 3.6b, si on suppose V = horizontale Écoulement autour d un profil et distribution des pressions Un peu d observation Plaçons nous dans la veine d essai d une soufflerie de laboratoire schématisée sur les figures 3.7a et 3.7b. Un écoulement uniforme de vitesse V a lieu autour d un profil d aile maintenu immobile. Le profil est choisi biconvexe et symétrique par rapport à la corde AF, calé successivement en a) à l incidence α = 0 et en b) à l incidence α = 10. Dans le premier cas, l écoulement est symétrique, et dans le second cas, l écoulement est clairement dissymétrique. Visualisons l écoulement en faisant apparaître les trajectoires suivies par les «particules fluides» (qui

57 3.1. GÉNÉRALITES SUR LES PROFILS D AILES 51 coïncident ici avec les lignes de courant définies comme les lignes tangentes aux vecteurs vitesses en chaque point de l écoulement). Dans le cas a) (Fig. 3.7a) ces trajectoires sont symétriques par rapport à l axe portant la corde AF. Dans le cas b) (Fig. 3.7b) ces trajectoires ne sont plus symétriques par rapport à la droite portant la corde AF. veine d essai p p < 0 (a) V p A F veine d essai p p < 0 p p < 0 V p A F (b) p p > 0 Fig. 3.7 (a) Écoulement autour d un profil symétrique sans incidence. (b) Écoulement autour d un profil symétrique avec une incidence positive Mesurons la pression p en chaque point du contour du profil : on obtient ainsi la distribution des pressions sur le profil. Toujours en chaque point du contour du profil on considère la différence entre cette pression et la pression de l écoulement uniforme à l infini que nous supposons constante et égale à p. Si la différence p p est positive on dit qu on a une surpression au point du profil considéré, si cette différence est négative on dit qu on a une dépression au point du profil considéré. En chaque point du profil on dessine un vecteur normal au profil et de norme égale à p p. De plus ce vecteur est orienté vers l extérieur du profil (flèche s éloignant du profil) dans le cas d une dépression (p p est négatif) et vers l intérieur du profil (flèche dirigée vers le profil) dans le cas d une surpression (p p est positif). On observe dans le cas a) du profil en incidence nulle, qu il y a une dépression sur l extrados et aussi sur l intrados, et qu en deux points symétriques ces dépressions sont égales (Fig. 3.7a). Dans le cas b) la situation est différente : l incidence est positive ; il y a une dépression sur l extrados et une surpression sur l intrados (Fig. 3.7b) ; de plus la surpression est modérée sur l intrados et la dépression est forte sur l extrados. Explications Dans tout ce cours, l air est supposé de masse volumique ρ constante (on rappelle que la masse volumique est la masse de l unité de volume). De plus, l écoulement autour de l aile est supposé stationnaire (on dit aussi permanent). Enfin l air est supposé parfait, c est-à-dire sans viscosité : il n y a pas de frottement visqueux (frottement dû à la viscosité) le long du profil. Deux phénomènes physiques vont permettre d expliquer l origine de la surpression et de la dépression. a) Conservation de la masse Reprenons la soufflerie et la veine d essai (Fig. 3.8). Les lignes de courant ou trajectoires des particules fluides sont quasi-rectilignes loin du profil (c est-à-dire près des parois de la veine).

58 52 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL Plaçons nous au-dessus du profil près du point d attaque A : il y a une zone rétrécie entre ces lignes de courant rectilignes et l extrados. La conservation de la masse impose donc à la vitesse d être plus grande dans cette zone. En effet, la même quantité d air doit s écouler dans une zone plus étroite. De la même façon, au-dessous du profil, il y a une zone élargie. La conservation de la masse impose donc à la vitesse d être plus petite dans cette zone. veine d essai zone rétrécie F V p A zone élargie veine d essai zone rétrécie A V p zone élargie F Fig. 3.8 Profil d aile dans une soufflerie b) Théorème de Bernoulli Le mathématicien et physicien suisse Daniel Bernoulli a formulé en 1738 le «principe» qui porte son nom. À une vitesse maximale correspond une pression minimale. De manière un peu plus précise, on dit que pour un fluide de masse volumique ρ constante, en écoulement stationnaire dans le champ de la pesanteur, on a : 1 2 ρ V 2 + p + ρ g z = constante le long de chaque trajectoire où V et p sont le vecteur vitesse et la pression au point considéré, g l accélération de la pesanteur et z l altitude du point considéré. Ce théorème (non démontré dans ce cours) traduit la conservation de l énergie par unité de volume le long de la trajectoire (énergie cinétique, énergie interne exprimée en terme de pression, énergie potentielle de la pesanteur). Ces deux phénomènes (conservation de la masse et théorème de Bernoulli) expliquent la forte dépression à l extrados, et la surpression à l intrados dans le cas d une aile en incidence négative ou positive comme sur la figure 3.8. En effet, maintenons l altitude z constante. Nous venons de voir, avec la conservation de la masse, que la vitesse augmente à l extrados, donc d après le théorème de Bernoulli la pression diminue, d où une dépression à l extrados. De même, la vitesse diminue à l intrados, donc la pression augmente, d où une surpression à l intrados. c) Quelques remarques Jusqu à présent, dans tous les raisonnements que nous avons faits, nous avons supposé que l écoulement de l air suit la paroi du profil. C est le fameux «effet Coanda» découvert par hasard par l ingénieur aérodynamicien Henri Coanda ( ). L effet Coanda, à proprement parler, se présente de la manière suivante : lorsqu un fluide (gaz ou liquide) sort d un récipient par un orifice ou un petit tube, une partie de ce fluide a tendance, au moment où il émerge,

59 3.1. GÉNÉRALITES SUR LES PROFILS D AILES 53 à épouser le contour extérieur du récipient, même s il lui faut pour cela, faire un «virage en épingle à cheveux». L exemple le plus courant de l effet Coanda est la façon malencontreuse dont le thé s écoule d une théière lorsqu on n incline pas assez le bec verseur ; le thé sort bien de la théière, mais le jet adhère à la paroi extérieure pour s égoutter finalement ailleurs que dans la tasse où il était censé arriver. L existence de ce phénomène dépend étroitement de quelques paramètres cruciaux, parmi lesquels on peut citer la vitesse d écoulement du jet, l intensité de son débit et le profil exact de l ajutage de sortie. Autrement dit, lorsque l effet Coanda se manifeste à la sortie d une théière, il suffit d augmenter le débit du thé pour faire cesser le phénomène. L effet Coanda peut avoir des conséquences bénéfiques dans certaines circonstances, en particulier en aérodynamique, où il peut donner lieu à des effets très importants en raison d un phénomène d entraînement exercé sur l air environnant. Mais il ne faut pas trop lui en demander : autant il est facile, pour le fluide, de suivre la paroi du profil dans la zone rétrécie en amont du profil (près du bord d attaque), autant à l arrière de l extrados, il y a un risque de décollement (voir paragraphe 3.1.5) et on doit modérer la pente Effets de viscosité et couche limite Lorsqu un fluide réel (c est-à-dire très peu visqueux, mais visqueux quand même) s écoule le long d une paroi, on doit distinguer grosso modo deux zones (Fig. 3.9 et Fig. 3.10) : une zone de fluide parfait et une zone de fluide visqueux. Les lignes blanches représentent les trajectoires des particules de fluide. Fig. 3.9 Visualisation d un écoulement autour d un profil a) Zone de fluide parfait Dans tout l écoulement, excepté le voisinage immédiat de la paroi (disons dans 99% de l écoulement), le fluide peut être considéré comme parfait, c est-à-dire sans viscosité. b) Zone de couche limite Dans une couche mince le long de la paroi, (de l ordre de quelques milimètres d épaisseur le long de la paroi d un profil d aile), les effets dûs à la viscosité sont dominants. Il s agit d un écoulement de cisaillement, avec une forte variation de la vitesse dans la direction perpendiculaire à la paroi (Fig. 3.10). Cette couche mince est appelée couche limite. En général, dans la partie amont de l aile (Fig. 3.9), la couche limite correspond à un écoulement laminaire par filets de fluide parallèles et stationnaires. Plus en aval, après une zone de transition agitée de mouvements de forte amplitude, la couche limite devient turbulente avec une vitesse variant avec le temps et le lieu de façon aléatoire (Fig. 3.9, voir aussi la figure 3.11).

60 54 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL normale à la paroi vitesse du fluide zone de fluide parfait paroi couche limite zone de fluide visqueux Fig Écoulement de cisaillement et couche limite Le décollement de la couche limite et le décrochage de l aile (a) L écoulement du fluide suit le profil. (b) Décollement de la couche limite (c) Le phénomène de décrochage Fig Décollement de la couche limite Considérons l écoulement autour du profil d aile de la figure 3.11a. L écoulement suit le profil à l extrados. Si nous augmentons l angle d incidence (Fig. 3.11b et 11-c), la déflexion des lignes de courant par le profil augmente : la surpression à l intrados augmente et surtout la dépression à l extrados se creuse de sorte que la portance (voir le paragraphe 3.2 ci-après) augmente. Tout ceci reste correct, tant que l angle d incidence ne dépasse pas une valeur voisine de 15 à 20 (Fig. 3.11a et 3.11b). Si on augmente encore l incidence, tous ces phénomènes plafonnent et, tout à coup, la dépression à l extrados disparaît et la portance s annule (Fig. 3.11c). C est ce phénomène que l on appelle décrochage aérodynamique. Si on visualise les lignes de courant, on observe qu au décrochage aérodynamique du profil correspond un décollement de la couche limite à l extrados avec apparition d une zone dite de «recirculation» tourbillonnaire (Fig. 3.11c). Il va de soi que le phénomène de décrochage ne sera pas sans conséquence pour le pilotage d un avion.

61 3.2. ANALYSE QUANTITATIVE : PORTANCE ET TRAÎNÉE Analyse quantitative : portance et traînée Définitions et premières remarques Efforts aérodynamiques exercés sur l aile La résultante des efforts, dits aérodynamiques, exercés par l air sur l aile est notée R. Par définition, cette résultante se décompose en deux (Fig. 3.12) : R = T + P - une traînée T (ou résistance à l avancement), qui s oppose au mouvement du profil par rapport à l air et qui est donc nuisible. La traînée T est parallèle à la trajectoire de l avion. Le module de T est noté T. Rappelons que la trajectoire est parallèle à la vitesse de l écoulement. - une portance P perpendiculaire à la trajectoire et dirigée «vers le haut» ; cette portance est évidemment utile. Le module de P est noté P. Le rapport P/T s appelle la finesse de l aile. Elle vaut en général plusieurs unités. Remarquons que la figure 3.12 est faite dans un repère lié à l aile. La vitesse V est la vitesse de l air par rapport à l avion. portance résultante portance V traînée trajectoire traction traînée poids Fig Efforts aérodynamiques sur une aile Fig Efforts exercés sur l avion complet en vol horizontal Efforts aérodynamiques exercés sur l avion complet Pour l avion complet, la résultante des efforts aérodynamiques exercés par l air sur l avion est aussi notée R. Comme pour l aile on pose : R = T + P où la portance P est perpendiculaire à la trajectoire de l avion et dirigée «vers le haut», et où la traînée T est parallèle à sa trajectoire. Pour l avion complet en vol horizontal, la portance P s oppose au poids m g de l avion, et la traction F de l hélice s oppose à la traînée T (Fig. 3.13). Analysons maintenant, du point de vue des forces, les variations de l incidence (figures 3.14 à 3.22). Dans les figures 3.16, 3.19 et 3.22, la traînée a été dilatée relativement à la portance, afin d en faciliter la lecture mais, en fait, elle est très faible. La vitesse V indiquée sur les figures 3.15, 3.18 et 3.20 est la vitesse de l air par rapport à l aile de l avion. Examinons les trois figures 3.14, 3.15 et L aile a une faible incidence (Fig. 3.14). Les dépression et surpression sur l aile sont indiquées sur la figure 3.15 ; la résultante de tous les petits vecteurs, c est-à-dire l addition de tous les petits vecteurs, correspond à la somme de la portance et de la traînée. On a R = T + P (traînée plus portance) comme indiqué sur la figure Examinons les trois figures 3.17, 3.18 et Sur la figure 3.17, l aile a une incidence moyenne positive. Les dépression et surpression sur l aile sont importantes (Fig. 3.18) et également la portance (Fig. 3.19). Dépression, surpression et portance sont plus importantes que dans le cas précédent représenté sur les figures 3.15 et 3.16.

62 56 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL Sur la figure 3.20, l aile a une forte incidence et il y a le phénomène de décrochage. La dépression est fortement diminuée, et la portance «chute» (Fig et Fig. 3.22). V surpression dépression portance traînée Fig Aile sous faible incidence Fig Dépression et surpression Fig Portance et traînée V dépression portance surpression traînée Fig Aile sous incidence moyenne Fig Dépression et surpression Fig Portance et traînée portance dépression V surpression traînée Fig Aile sous forte incidence Fig Dépression et surpression Fig Portance et traînée

63 3.2. ANALYSE QUANTITATIVE : PORTANCE ET TRAÎNÉE Coefficient de portance et coefficient de traînée On raisonne ici avec un fluide parfait (c est-à-dire sans viscosité), de masse volumique ρ constante, en écoulement stationnaire ou permanent (c est-à-dire indépendant du temps), et aussi en écoulement irrotationnel (c est-à-dire sans tourbillons internes). D après le Théorème de Bernoulli déjà évoqué dans le paragraphe 3.1.3, la vitesse du fluide augmente lorsque la pression diminue. Énonçons ici de manière précise ce théorème. Théorème 3.1 (Théorème de Bernoulli) Pour un fluide parfait, de masse volumique constante ρ, en écoulement stationnaire et irrotationnel, et en négligeant les forces de pesanteur au sein du fluide, on a : p(m) ρ V 2 (M) = constante le long de chaque trajectoire d une particule de fluide (et aussi le long de chaque ligne de courant), où M est le point courant sur la trajectoire, où p(m) est la pression au point M, et V (M) le module de la vitesse en ce même point M. ligne de courant V A n p F Fig Écoulement autour d un profil d aile Si à l infini amont, la pression est p constante et la vitesse V constante, on a : p(m) ρ V 2 (M) = p ρ V 2 (3.1) où V est le module de la vitesse V à l infini amont. Il est à noter que V est la vitesse de l air par rapport à l aile ou l avion (Fig. 3.23). Il est clair sur (3.1) que p(m) et V (M) varient en sens contraire (si p augmente alors V diminue et vice versa). Ceci peut être illustré par une expérience simple : en soufflant au-dessus d une bande de papier, on donne au fluide au dessus de la bande, une vitesse et on crée ainsi une dépression qui fait s élever la bande de papier. L étudiant est engagé à faire cette expérience. La forme d une aile est dessinée de telle sorte que l air y circule plus rapidement sur sa face supérieure (extrados) que sur sa face inférieure (intrados). Comme conséquence, la pression audessus de l aile est plus faible que la pression en dessous (ceci est en accord avec les observations faites (voir paragraphe 3.1.3). La différence de pression ainsi créée est à l origine du phénomène de portance. La résultante aérodynamique R s obtient par intégration des efforts de pression sur le profil : R = p n ds = (p p ) n ds profil profil

64 58 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL où n est le vecteur normal au profil, de norme unité et dirigé vers l extérieur du profil (Fig. 3.23). Dans l expression ci-dessus, la seconde égalité est justifiée : p étant constante, on démontre en effet, dans des cours plus avancés, que l intégrale profil p n ds est nulle. Ce résultat est admis ici. D après (3.1), et en utilisant convenablement la conservation de la masse, on peut établir que p = p(m) dépend de V 2. Ce résultat est admis et on écrira : P = 1 2 ρ C z l d V 2 (3.2) T = 1 2 ρ C x l d V 2 (3.3) où P et T sont la portance et la traînée de l aile pour une longueur d de génératrice perpendiculairement au plan du profil, et où l est la longueur de la corde du profil. Le coefficient «1/2» est purement traditionnel et rappelle l équation de Bernoulli. Les coefficients C x et C z dépendent de la forme du profil et de son incidence : ce sont des coefficients sans dimensions (ils n ont pas d unité) appelés respectivement «coefficient de traînée» et «coefficient de portance». Remarque 1 La forme des équations (3.2) et (3.3) peut a priori être prévue. En effet, quelles sont les données du problème? Ce sont : la forme du profil et son incidence (données non dimensionnées c est-à-dire sans unités) ; la longueur l de la corde du profil, dont la dimension est une longueur ; la longueur d dont la dimension est aussi une longueur ; la vitesse à l infini V dont la dimension est une vitesse et la masse volumique ρ de l air. Quelles sont les inconnues du problème? Ce sont : la portance P (respectivement la traînée T ). Les deux grandeurs P et T sont des forces. Le principe d invariance des lois de la physique et de la mécanique par rapport au système d unités choisi fait que la solution de notre problème doit relier des grandeurs sans dimensions, c est-à-dire sans unités. L unité pour P et T est le Newton (1 N = 1 kg.m.s 2 ). Le produit ρ l d V 2 s exprime aussi en Newton ; rappelons que ρ s exprime en kg.m 3. Or, à un facteur près on ne peut construire qu une grandeur sans dimensions avec l, d, V, ρ et P (respectivement T ), à savoir P/(ρ l d V 2 ), (respectivement T/(ρ l d V 2 )). Si l on note C z /2 (respectivement C x /2) ce rapport, il vient : P ρ l d V 2 T ρ l d V 2 = C z 2 = C x 2 = fonction (forme, incidence) = fonction (forme, incidence) Remarque 2 En fait, en donnant ces deux dernières formules, nous venons d effectuer un «raisonnement pas tout à fait correct». En effet, en fluide parfait et en bidimensionnel, on peut montrer que la traînée est toujours nulle. En fait la traînée provient essentiellement du frottement visqueux. Par ailleurs, la traînée de frottement ne varie pas vraiment comme le carré de la vitesse (d ailleurs, l équation de Bernoulli n est pas valable en fluide visqueux). En réalité, en ce qui concerne surtout la traînée, la similitude géométrique ne suffit pas pour transposer les résultats

65 3.3. AVION COMPLET 59 d une expérience à l autre. On ne peut comparer que des écoulements correspondant au même nombre de Reynolds R e défini par : R e = ρ µ V 2 l où µ est le coefficient de viscosité de cisaillement du fluide. Ce nombre de Reynolds mesure le rapport des effets d inertie aux effets visqueux. Si la maquette de soufflerie est 10 fois plus petite que l avion grandeur nature (c est-à-dire que l est remplacé par l/10), il faut multiplier la vitesse par 10 pour conserver le même nombre de Reynolds R e. Mais il paraît difficile de multiplier la vitesse par 10 dans la soufflerie par rapport à la réalité : en effet, la vitesse d un avion est de l ordre de 1000 km/h et il faudrait «souffler» avec une vitesse de 3160 km/h!). Donc, sauf à changer de gaz, c est-à-dire les valeurs de ρ et µ, le nombre de Reynolds sera désespérément plus petit pour la maquette que pour l avion à l échelle 1 ; les effets visqueux seront plus importants et les résultats ne seront pas non complètement transposables. Outre la traînée de frottement, il existe en bidimensionnel une traînée de forme, correspondant au décollement de la couche-limite avant le bord de fuite : à l approche du décrochage, le décollement remonte très vite vers l amont et la traînée de forme augmente dramatiquement : c est ce qu on va observer dans le paragraphe suivant. Retenons donc ceci : dans le cas d un écoulement plan autour d un profil, il y a deux sources de traînée, le frottement (traînée de frottement) et le décollement (traînée de forme), liées toutes deux (directement ou indirectement) à la viscosité de l air Polaire du profil Nous avons vu (voir remarque 1 précédente) que les coefficients de traînée C x et de portance C z dépendent de la forme du profil et de son incidence. Considérons un profil donné. Pour une incidence α donnée, portons en ordonnée la valeur du coefficient de portance C z et en abscisse celle du coefficient de traînée C x. Les valeurs de C x et C z sont obtenues à partir de mesures de P et T obtenues expérimentalement. En faisant varier l incidence α, on obtient une courbe (Fig. 3.24) paramétrée par l incidence α. Cette courbe est appelée polaire du profil. Sur la figure 3.24, on remarque que pour α assez grand (α > 20, le coefficient C x de traînée augmente très fortement et le coefficient de portance C z diminue. Il y a une polaire associée à chaque profil. Sur la figure 3.25, trois polaires pour trois profils différents sont dessinées. 3.3 Avion complet Coefficient de traînée et coefficient de portance pour l avion complet Pour l avion complet, la résultante des efforts exercés par l air sur l avion est R (voir paragraphe 3.2.1). Comme pour l aile, on pose : R = T + P où P est la portance perpendiculaire à la trajectoire de l avion et dirigée «vers le haut», T est la traînée parallèle à sa trajectoire de l avion.

66 60 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL C zz 20 C z ,15 8 0,10 5 0, C x 0 0,1 0,2 C x Fig Polaire d une aile Fig Trois polaires pour trois profils Pour l avion complet, les formules (3.2) et (3.3) deviennent : P = 1 2 ρ C z S V 2 (3.4) T = 1 2 ρ C x S V 2 (3.5) où S représente la surface des ailes (vue en plan) appelée surface de la voilure, et où C x et C z sont les coefficients de traînée et de portance globaux de l avion. Les forces de portance et de traînée pour l avion complet sont notées P et T. Elles sont respectivement perpendiculaire et parallèle à la trajectoire de l avion Polaire de l avion Pour un avion complet, la polaire a la même allure que celle déjà vue pour un profil. Nous avons introduit la polaire d une aile dans le paragraphe Pour l avion complet, on procède de la même façon, à partir naturellement des coefficients de traînée C x et de portance C z pour l avion complet. Ces coefficients dépendent de la forme de l avion et de son incidence. Considérons un avion donné. Pour chaque incidence α, nous mesurons expérimentalement les deux coefficients C z er C x. Nous dessinons ensuite la courbe représentative du coefficient de portance C z en fonction de α (Fig. 3.26a). De même, nous dessinons la courbe représentative du coefficient de traînée C x en fonction de α (Fig. 3.26b). Par ailleurs, pour une incidence α donnée, portons en ordonnée la valeur du coefficient de portance C z et en abscisse celle du coefficient de traînée C x. En faisant varier l incidence α, on obtient une courbe (Fig. 3.27) paramétrée par l incidence α. Cette courbe est la polaire de l avion. Quelques points remarquables sur la polaire de l avion Point A de portance nulle : c est le point où C z est nul (C z = 0).

67 3.3. AVION COMPLET 61 C z max C z = C z (α) D C x = C x (α) D B A B A α A α B α D α α A α B α D α (a) Coefficient de portance (b) Coefficient de traînée Fig Coefficients de portance et de traînée en fonction de l incidence Point B de traînée minimale : c est le point où C x est minimal. On a C x = C x min. Point C de finesse f maximale : rappelons que la finese de l avion est définie par f = P/T (voir paragraphe 3.2.1), soit f = C z /C x. Le point C est tel que la droite OC ait la plus grande pente. La droite OC est tangente en C à la polaire. La finesse maximale est f = (C z /C x ) max. Point D de décrochage : c est le point où C z est maximal. On a C z = C z max. Point E : en ce point la quantité C x /C 3/2 z est minimale ; cette quantité jouera un rôle clef par la suite (voir exercice 7, paragraphe 3.7). Le point E est entre les deux points C et D. En effet : 1) sur la partie AC de la polaire, en allant de A vers C, on remarque que C z /C x croît (C z /C x est la pente du segment joignant O au point considéré de la polaire) donc C x /C z décroît. De plus, C z croît et par suite 1/Cz 1/2 décroît. Donc le produit (C x /C z ) (1/Cz 1/2 ) = C x /Cz 3/2 décroît en allant de A vers C. 2) par ailleurs, quand on s approche du point D, C z tend vers une valeur maximale. On rappelle que C x et C z sont des fonctions de α (Fig. 3.26). La dérivée par rapport à α de l expression C x /Cz 3/2 est (C x Cz 3/2 (3/2) C x Cz 1/2 C z)/c z 3. Cette dérivée est positive au point D car, en D, C z est nul et C x est positif. Il y a donc entre C et D, un point où la quantité C x /C 3/2 z est minimum (on admet qu il n y en a qu un seul). Ces remarques sont résumées sur le tableau de variation représenté sur la figure Tous ces points A, B, C, D et E sont placés sur la figure 3.27 et certains sur les figures 3.26a et 3.26b Avion en vol sur une trajectoire rectiligne Pour un avion en vol sur une trajectoire rectiligne, nous récapitulons ici les efforts exercés sur l avion et nous introduisons les notions de puissance nécessaire au vol, de puissance disponible et de puissance utile. L avion en vol sur une trajectoire rectiligne est soumis, en général, à quatre forces : la force de portance P perpendiculaire à la trajectoire de l avion, la force de traînée T parallèle à la trajectoire de l avion, la force de traction F (provenant du ou des moteurs) parallèle à la trajectoire de l avion, la force de pesanteur m g de direction verticale, où m est la masse de l avion, et g l accélération de la pesanteur.

68 62 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL C z D (C z max) E (C x /Cz 3/2 min) C (f = C z /C x max) B (C x min) 0 A (C z nul) C x Fig Polaire de l avion points A C E D C x /C 3/2 z 3 Fig Évolution de C x/c 3/2 z le long de la polaire de l avion Il faut bien noter que la trajectoire peut être une droite horizontale (vol de croisière), une droite ascendante (vol de montée) ou une droite descendante (atterrissage de l avion). Par ailleurs, on note P, T, F et m g les modules des quatre forces P, T, F et m g. La puissance nécessaire au vol de l avion est notée W n et vaut : W n = T V p (3.6) où V p est la vitesse de l avion. C est la puissance qu il faut avoir pour vaincre les efforts de traînée. La puissance disponible de l avion est celle fournie par les paramètres de la motorisation de l avion (par exemple, un moteur et une hélice, ou deux moteurs et deux hélices). La puissance utile de l avion est notée W u. C est la puissance définie par le produit de la traction par la vitesse propre de l avion : W u = F V p (3.7) où F est la traction fournie par les moteurs pour faire voler l avion à la vitesse V p. 3.4 Facteur de charge Le poids de l avion est mg, mais la charge que doit supporter les ailes est n m g, où n est un facteur sans dimension pas nécessairement entier. Ce nombre n peut être égal, supérieur ou inférieur à 1, comme on va le vérifier dans les trois exemples donnés ci-après.

69 3.4. FACTEUR DE CHARGE 63 Exemple 1 : Avion en vol de croisière L avion est en vol de croisière sur une trajectoire horizontale et avec une vitesse constante V p. La portance est P = (1/2) ρ C z S Vp 2 et la traînée T = (1/2) ρ C x S Vp 2 où S est la surface des ailes. Le poids total de l avion est mg et la traction de l hélice est notée F (Fig. 3.29). Les grandeurs P, T, mg et F sont positives et correspondent aux modules des forces de portance P, de traînée T, de pesanteur m g et de traction F. On se donne le poids de l avion donc mg. On se donne aussi l altitude de croisière donc la valeur de la masse volumique ρ de l air autour de l avion. P trajectoire horizontale T F m g Fig Avion en vol de croisière L équilibre des quatre forces P, T, m g et F implique : P + T + m g + F = 0 La portance P et le poids m g ont la direction verticale. La traînée T et la traction F ont la direction horizontale. En projettant l égalité vectorielle ci-dessus sur la direction verticale il vient : P m g = 0 Le facteur de charge est n = 1. P = m g Exemple 2 : Avion en montée à vitesse constante L avion en montée est supposé avoir pour trajectoire une droite faisant un angle γ avec le plan horizontal (Fig. 3.30). La portance P perpendiculaire à la trajectoire de l avion et la traînée T parallèle à la trajectoire doivent équilibrer la résultante du poids réel m g de l avion et la force de traction F de l hélice parallèle à la trajectoire et de module F. En projection sur la direction de la trajectoire puis sur la perpendiculaire à la trajectoire, il vient : F = m g sin(γ) + T ; P = m g cos(γ) La première relation montre que la composante du poids selon la trajectoire et la traînée sont compensées par la traction de l hélice.

70 64 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL P = m g cos(γ) γ γ trajectoire de l avion horizontale F c m g P ϕ m g Fig Avion en montée Fig Avion en virage Sur la seconde relation, il apparaît le «facteur de charge» n = cos(γ) < 1 Pour un avion en montée, le facteur de charge est donc toujours inférieur à l unité. Pour un avion en descente à vitesse constante, on a, avec les notations précédentes : F = m g sin(γ) + T ; P = m g cos(γ) Pour un avion en descente, le facteur de charge est donc toujours inférieur à l unité. Exemple 3 : Avion en virage Soit ϕ l angle d inclinaison du virage (Fig. 3.31) ; si le virage est bien pris correctement, la portante P doit équilibrer la résultante du poids réel m g de l avion et de la force centrifuge F c, due au fait que l avion a une trajectoire circulaire. Ces trois forces sont dans le plan perpendiculaire à la trajectoire de l avion : P + m g + F c = 0 On a (voir la figure 3.31) en projetant cette équation sur l horizontale et sur la verticale : Le facteur de charge est : P sin(ϕ) F c = 0 ; P cos(ϕ) m g = 0 P = 1 cos(ϕ) m g n = 1 cos(ϕ) > 1 Le facteur de charge est donc toujours supérieur à l unité. Donnons maintenant quelques exemples. Les avions de ligne effectuent des virages avec un angle d inclinaison de 30, donc avec un facteur de charge de n = 1, 15. Les avions de tourisme effectuent des virages avec un angle d inclinaison de 45, donc avec un facteur de charge de n = 1, 41. Les avions en école de pilotage effectuent des virages avec un angle d inclinaison de 60, donc avec un facteur de charge de n = 2. Les avions de voltige effectuent des virages avec un angle d inclinaison de 70, donc avec un facteur de charge de n = 2, 92.

71 3.5. LES EFFETS TRIDIMENSIONNELS 65 dépression surpression tourbillon marginal nappe tourbillonnaire tourbillon élémentaire Fig Avion en trois dimensions Fig Tourbillons 3.5 Les effets tridimensionnels Le sillage tourbillonnaire Jusqu à maintenant, nous avons considéré l écoulement autour d une aile d envergure infinie, c est-à-dire d une aile de longueur infinie ; le mouvement de l air autour de l aile n est pas bidimensionnel. Si l envergure est finie, l écoulement subit quelques modifications (Fig. 3.32). L intrados de l aile étant en légère surpression, et l extrados en forte dépression, l air tend à passer de l intrados à l extrados en contournant les extrémités de l aile. Il s agit évidemment d un effet nocif, qui tend à diminuer l écart de pression entre l intrados et l extrados, et donc à diminuer la portance. À part mettre des petites «barrières» au bout des ailes (les «winglets») que le fluide contourne malgré tout, mais qui peuvent améliorer légèrement les choses, la seule manière de réduire cet effet de contournement est d augmenter l allongement de l aile, c est-àdire le rapport envergure/corde moyenne ; mais il y a bien sûr à cela des limites imposées par la nécessité de garder une structure d aile à la fois résistante et légère. Par ailleurs, derrière l aile, il y a une «couche de cisaillement» appelée sillage. À travers cette couche le module de la vitesse est continu (tout comme la pression), mais la direction de la vitesse varie beaucoup. Les lignes de courant sont déviées et il se forme derrière l aile des surfaces tourbillonnaires appelées aussi nappes tourbillonnaires (Fig. 3.33). En bout d aile, il y a un tourbillon s enroulant en cornet (Fig. 3.33) que l on appelle «tourbillon marginal». En d autres mots, derrière l avion, le sillage se concentre en deux énormes «tourbillons marginaux» tournant en sens inverse. Qui dit tourbillon, dit noyau tournant très vite, d où dépression et refroidissement. Ceci explique les deux «traînées de condensation» que laissent parfois dans le ciel des avions à haute altitude. Cette nappe tourbillonnaire s étend très loin en aval de l avion, car elle s amortit très peu. Il est dangereux de traverser le sillage d un avion, surtout s il est gros (un avion de tourisme, passant dans le proche sillage d un avion de transport, serait retourné comme une crêpe). C est ainsi que, sur les aéroports, on observe un décalage de temps minimal entre deux décollages successifs. La «puissance gaspillée» à créer, et à maintenir ce sillage, se traduit par l apparition d une nouvelle forme de traînée. Cette traînée s ajoute à la traînée de frottement et à la traînée de forme introduites à la fin du paragraphe Le décrochage, l hypersustentation Le décrochage Imaginons un avion en vol de croisière. Réduisons les gaz à fond, et maintenons l altitude en cabrant progressivement l avion (Fig. 3.34). La vitesse V diminue et l angle d incidence α

72 66 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL augmente. Le coefficient C z augmente (voir figure 3.34). Nous parcourons ainsi la polaire de l avion dans le sens de la flèche (Fig. 3.34). Toutefois, quand le point D est passé, la portance diminue ; l avion s enfonce et si l incidence α augmente encore, nous parcourons l arc DG de façon précipitée (voir figure 3.35). Il convient alors de «remettre les gaz» et de laisser l avion reprendre de la vitesse. C est pour cette raison que le point D est appelé point de décrochage (voir paragraphe 3.3.2). C z D G C x Fig Polaire de choc et phénomène de décrochage Fig Point D de décrochage Sans risque lorsqu il se produit assez haut (l avion perd peut-être 30 m), le décrochage est dangereux à basse altitude. Toutefois, il faut noter qu un atterrissage est une situation pas très éloignée d un décrochage. Certains dispositifs (lampe ou sonnerie) avertissent le pilote de l imminence du décrochage. Notons que le décrochage correspond à un angle d incidence, et non à une vitesse précise. Si C z max est le maximum du coefficient C z sur la polaire (Fig. 3.27), correspondant à un certain angle d incidence α max, la vitesse de décrochage V décrochage est donnée par : n m g = 1 2 ρ C z max S (V décrochage ) 2 V décrochage = 2 n m g ρ C z max S (3.8) où n mg est la charge que doit supporter l aile, m g le poids de l avion, et n (nombre sans dimension pas nécessairement entier) «le facteur de charge». Rappelons que le facteur de charge n est pas nécessairement égal à l unité, comme ceci a été vu dans les exemples donnés dans le paragraphe L hypersustentation Sur les avions modernes, on essaie d éviter un décrochage franc, soit à l aide de profils spécialement étudiés, soit en vrillant l aile pour que la totalité de celle-ci ne décroche pas en même temps, soit en installant un «bec de bord d attaque». Ce «bec» est une sorte de

73 3.6. LE DÉCROCHAGE, L HYPERSUSTENTATION 67 fente position d atterrissage 50 position décollage 15 Fig Volet d ouverture Fig Position d atterrissage Fig Position de décollage volet collé à l avant de l aile, qui sort tout seul à l approche du décrochage, ménageant ainsi une fente qui «souffle» la couche limite et l empêche de décoller (voir Fig. 3.36, 3.37 et 3.38). Pour augmenter la portance, et donc diminuer la vitesse de décrochage (et par suite la vitesse d atterrissage et comme conséquence la longueur d atterrissage), de nombreux dispositifs de volets hypersustentateurs, avec ou sans fente ont été conçus.

74 68 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL 3.7 Mécanique du vol : Exercices avec correction Exercice 1 : Vol de croisière (en palier stabilisé) L avion est en vol de croisière sur une trajectoire horizontale avec une vitesse constante V p. La portance est P = (1/2) ρ C z S Vp 2 et la traînée T = (1/2) ρ C x S Vp 2 où S est la surface des ailes. Le poids total de l avion est mg et la traction de l hélice est notée F. Dans cet exercice, les grandeurs P, T, m g et F sont positives et correspondent aux modules des forces de portance P, de traînée T, de pesanteur m g et de traction F. Ces différentes forces sont indiquées sur la figure On suppose données la charge de l avion, donc mg, et l altitude de croisière, donc la valeur de la masse volumique ρ de l air autour de l avion. 1-1 Le but de cette question est de d étudier la puissance nécessaire au vol de l avion, puissance que l on notera W n. Pour ceci, répondre aux questions suivantes : Exprimer W n en fonction de T et de la vitesse V p. Exprimer la portance P en fonction du poids m g. Calculer la puissance W n en fonction de la finesse f = C z /C x, du poids m g et de la vitesse V p. Exprimer la vitesse V p en fonction de m g, ρ S et C z. Calculer la puissance W n en fonction de m g, ρ S et C x /C 3/2 z. 1-2 Supposons la polaire de l avion, la surface de la voilure S, l altitude de croisière (c est-à-dire ρ) et la vitesse V p données. L avion peut-il voler? 1-3 Supposons données, la polaire de l avion, la surface S, l altitude de croisière (c est-à-dire ρ) et l incidence α (avec α < α D où α D est l incidence du point D de décrochage). Quelle vitesse V p l avion peut-il atteindre? Corrigé 1-1 La puissance nécessaire au vol de l avion est : W n = T V p La portance doit équilibrer le poids : P = m g Par ailleurs, la traînée est équilibrée par la traction F : F = T (V1.1) (V1.2) (V1.3) En utilisant les expressions pour P et T en fonction des coefficients de portance et de traînée (P = (1/2) ρ C z S Vp 2 et T = (1/2) ρ C x S Vp 2 ), il vient : De (V1.4) et (V1.5) on déduit : W n = (1/2) ρ C x S V 3 p m g = (1/2) ρ C z S V 2 p W n = m g V p C x C z soit, en introduisant la finesse de l aile f = P/T = C z /C x : W n = m g V p f (V1.4) (V1.5) (V1.6)

75 3.7. MÉCANIQUE DU VOL : EXERCICES AVEC CORRECTION 69 À partir de (V1.5), il est facile d obtenir V p en fonction de m g, ρ S et C z. On a : V p = (m g)1/2 1 (1/2) ρ S C 1/2 z (V1.7) En revenant à la formule (V1.4) pour W n et en utilisant la formule (V1.7) pour V p, on obtient : W n = (m g)3/2 (1/2) ρ S C x C 3/2 z (V1.8) W n est la puissance nécessaire au vol de l avion. Nous allons maintenant faire une série de remarques sur les différentes formules que nous venons d écrire, au travers des deux questions suivantes. 1-2 La formule (1-5) donne la valeur de C z en fonction des données. Si C z est supérieur à C z max (voir le point D sur la polaire de la figure 3.27), alors le problème n a pas de solution ; l avion ne peut pas voler. Ceci peut être dû par exemple, à un poids m g trop important. Si C z est inférieur à C z max alors la courbe de la figure (3.26a) fournit l incidence de l aile, car la connaissance de C z permet de connaître α. La courbe de la figure 3.26b fournit ensuite C x, car connaissant α on trouve C x. Avec la formule (V1.4), on détermine la puissance W n nécessaire au vol de l avion. L avion volera si le moteur fournit cette puissance. 1-3 L incidence α étant donnée, on a donc un point précis sur la polaire donc des valeurs précises pour C x et C z. La formule (V1.7) donne la vitesse V p, et la formule (V1.8) donne la puissance nécessaire pour que l avion vole avec la vitesse V p. Nous terminons cet exercice 1 par quelques remarques. Remarques Remarquons sur la formule (V1.7) que plus le coefficient de portance C z est petit, plus la vitesse V p est grande. Remarquons aussi que plus l altitude est élevée (ρ diminue avec l altitude), plus la vitesse V p est grande. Remarquons sur la formule (V1.8) que la puissance nécessaire pour le vol est d autant plus petite que C x /C 3/2 z est plus petit. Elle est minimale au point E de la polaire (Fig. 3.27) Exercice 2 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion L avion est en vol de croisière sur une trajectoire horizontale avec une vitesse constante V p. Les notations sont celles de l exercice 1. Pour un avion donné, considérons les deux expressions (V1.7) et (V1.8) pour la vitesse V p et la puissance W n nécessaire pour maintenir l avion en vol stabilisé sur une trajectoire horizontale. 2-1 À partir des figures 3.26a et 3.26b, donner l allure de la courbe donnant W n en fonction de V p, pour une altitude donnée (c est-à-dire un ρ donné). 2-2 À l altitude z = 0, la masse volumique de l air est ρ 0 et à l altitude z, elle vaut ρ. Comment passe t-on de la courbe W n = W n (V p ) à z = 0 à la courbe W n = W n (V p ) à l altitude z? Application numérique : ρ 0 = 1, 20 kg.m 3, masse volumique ρ à l altitude z = 1300 m : ρ = 1, 07 kg.m 3.

76 70 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL α point A B C E D C z C x W n ou C x /C 3/2 z V p ou 1/C 1/2 z 3 0 W n A W n D E V p 0 V p Fig Puissance utile Puissance nécessaire au vol Corrigé 2-1 L altitude étant fixée, ρ est alors fixé. Soit une incidence α donnée. Les courbes des deux figures 3.26a et 3.26b donnent les valeurs de C x et de C z. On en déduit ensuite les valeurs de V p et de W n par les formules (V1.7) et (V1.8). On place alors ce point dans le plan (W n, V p ) (Fig. 3.39). Avant de dessiner la courbe représentative de W n = W n (V p ), plaçons dans un tableau, les variations des différentes grandeurs en fonction de α. Les variations de C z et C x sont obtenues à partir de la lecture des figures 3.26a et 3.26b. D après (V1.8), la variation de W n est identique à celle de C x /Cz 3/2 déjà vue dans le cours dans le tableau de la figure Enfin la variation de la vitesse V p se déduit de celle de C z en utilisant la formule (V1.7). Ces variations sont portées sur le tableau dans la figure Le tracé de la courbe W n = W n (V p ) s en déduit (Fig. 3.39) : de A à E, W n et V p décroissent tous les deux, d où le tracé de la courbe dans le plan (V p, W n ) ; de E à D, W n croît mais V p continue de décroître, d où le tracé de la courbe. On peut aussi dire que de D vers E, W n décroît et V p croît, et que de E vers A, W n et V p croissent tous les deux et tendent vers l infini (car C z est nul au point A). Le point D correspond au minimum de V p et le point E au minimum de W n. 2-2 D après l expression (V1.8) on a : W n (altitude z = 0) = W n (altitude z) = (m g)3/2 (1/2) ρ0 S (m g)3/2 (1/2) ρ S C x Cz 3/2 C x C 3/2 z d où : W n (altitude z) W n (altitude z = 0) = ( ) 1/2 ρ0 ρ

77 3.7. MÉCANIQUE DU VOL : EXERCICES AVEC CORRECTION 71 De même, d après (V1.7) on a : V p (altitude z) V p (altitude z = 0) = ( ) 1/2 ρ0 ρ On passe donc de la courbe W n (V p )(altitude z = 0) à la courbe W n (V p )(altitude z) par une homothétie de centre O et de rapport ρ 0 /ρ (Fig. 3.40). Le rapport ρ 0 /ρ est toujours plus grand que 1. Application numérique : ρ 0 /ρ = 1, 20/1, 07 = 1, 12. Remarquons que ce rapport d homothétie n est que légèrement plus grand que 1. W n D E A altitude z altitude z = 0 0 Fig Puissance nécessaire au vol suivant l altitude Exercice 3 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion et puissance utile Rappelons que la puissance nécessaire pour le vol de l avion est W n = T V p, et que la puissance utile de l avion est W u = F V p, où T est la traînée, F la portance et V p la vitesse propre de l avion. Sur la figure 3.41, la courbe dessinée W u = W u (V p ) est supposée donnée. Il faut bien remarquer que la traction F n est pas une constante, et qu elle dépend des phases de vol de l avion. Naturellement W u = W u (V p ) est nulle si l avion est à l arrêt, et W u augmente quand V p augmente. Puis il y a une «plage utile» pour la vitesse V p dans laquelle le moteur est bien adapté et où W u est pratiquement constant. Enfin si V p dépasse un certain seuil, le moteur est inadapté et la puissance chute. Ce tracé pour la courbe W u = W u (V p ) est une donnée de l exercice. Sur la même figure 3.41, nous avons dessiné la courbe W n = W n (V p ), courbe déjà dessinée dans l exercice 2 (Fig. 3.39). Pour que le vol soit possible, il faut bien sûr que la puissance utile soit plus grande que la puissance nécessaire au vol de l avion. En d autres termes la courbe représentative de W u = W u (V p ) doit être au-dessus de la courbe représentative de W n = W n (V p ) sur une plage non vide de V p, disons (V 2, V 1 ) (voir Fig. 3.41). Si W u (V p ) > W n (V p ), la traction de l avion est supérieure à ce qu il est nécessaire pour s opposer à la traînée, donc V p va augmenter. Si W u (V p ) < W n (V p ), la traction de l avion est inférieure à ce qu il est nécessaire pour s opposer pour s opposer à la traînée, donc V p va diminuer.

78 72 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL W n W u W u = W u (V p ) D 2 W n = W n (V p ) E(C x /Cz 3/2 min) 1 A 0 V 2 V 1 Fig Points d équilibre V 1 et V En considérant la figure 3.41, comment se comporte la vitesse propre V p de l avion si à un instant donné on a : (a) V 2 < V p < V 1 (b) V p > V 1 (c) V p < V L avion a t-il intérêt à voler avec une vitesse proche de V 1 ou bien une vitesse proche de V 2? W n W u W n D W u altitude z 1 W u altitude z 2 > z 1 E(C x /Cz 3/2 min) A 0 V p Fig Puissance utile suivant l altitude Corrigé 3-1 Si V 2 < V p < V 1, alors W u (V p ) > W n (V p ). La puissance utile est supérieure à la puissance nécessaire pour faire voler l avion, donc la vitesse V p va augmenter et s approcher de V 1. Si V p > V 1, alors W u (V p ) < W n (V p ). La puissance utile est inférieure à la puissance nécessaire pour faire voler l avion, donc la vitesse V p va diminuer et s approcher de V 1. Si V p < V 2, alors W u (V p ) < W n (V p ). Pour les mêmes raisons que ci-dessus, la vitesse V p va diminuer. Donc on s éloigne de V 2 vers la gauche et l avion perd sa vitesse et «chute». C est cette situation que l on utilise en phase d atterrissage. 3-2 Le régime avec V p = V 1 est un régime stable et sain. Si la vitesse V p est voisine de V 1, cette vitesse V p a tendance à revenir vers V 1.

79 3.7. MÉCANIQUE DU VOL : EXERCICES AVEC CORRECTION 73 Le régime avec V p = V 2 est un régime instable et dangereux. Si la vitesse V p est voisine de V 2, cette vitesse V p a tendance à s en éloigner et à aller soit vers la vitesse V 1, soit vers la vitesse nulle. Nous terminons cet exercice par une remarque. Remarque On vérifie expérimentalement que lorsqu on augmente l altitude, la courbe W n = W n (V p ) varie peu, et que la courbe W u = W u (V p ) s abaisse (Fig. 3.42). Comme conséquence, la plage horizontale (V 2, V 1 ) se restreint car V 2 augmente et V 1 diminue (voir figure 3.42). À la limite, il ne reste que le point E (V 1 = V 2 = E). On est alors au plafond, lequel est atteint pour l incidence donnant le minimum de C x /Cz 3/ Exercice 4 : Avion en montée ou en descente Considérons un avion en montée à vitesse constante V p de module V p selon la trajectoire rectiligne faisant un angle γ avec l horizontale (Fig. 3.43a). La traction de l hélice est F. pesanteur avion V p γ horizontale (a) P P F T T F γ m g γ m g (b) avion en montée (c) avion en descente Fig Avion en montée et en descente 4-1 Écrire, pour l avion, l équilibre des forces qui lui sont appliquées : poids m g, traction de l hélice F, portance P et traînée T. Mettre sur une figure ces différentes forces. 4-2 On note V z la vitesse de l avion en projection sur la verticale (V z = V p z, où z est le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut). Exprimer V z en fonction de W n = W n (V p ), W u = W u (V p ) et m g. Pour quelle incidence cette vitesse V z est-elle maximale? 4-3 On suppose que l angle γ est petit. Donner pour γ (en radians) une expression en fonction de F, m g et de la finesse f de l avion (f = C z /C x = P/T ). 4-4 Considérer le même avion en descente à vitesse V p constante selon la même trajectoire rectiligne. Reprendre les deux questions 4-1 et 4-2. Corrigé 4-1 L avion est soumis aux quatre forces listées dans l énoncé. La portance est perpendiculaire à la trajectoire. La traînée et la traction de l hélice sont parallèles à la trajectoire (Fig. 3.43b).

80 74 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DU VOL On projette ces quatre forces sur la trajectoire et sur la direction normale à la trajectoire. Il vient : T m g sin(γ) + F = 0 ; m g cos(γ) + P = 0 soit : P = m g cos(γ) ; F = m g sin(γ) + T Les quatre forces sont représentées sur la figure 3.43b. 4-2 Par définition : W n = T V p ; W u = F V p ; V z = V p sin(γ) En utilisant les résultats de la question 4-1, il vient : W u = (m g sin(γ) + T ) V p W u = m g V z + W n V z = W u W n m g Remarquons sur cette dernière formule, que W u W n positif implique V z positif. La vitesse est maximale lorsque W u W n est maximale, c est-à-dire au point E de la figure 3.41 (voir exercice 3). La vitesse V z est donc maximale pour l incidence qui correspond à C x /Cz 3/2 minimal. 4-3 D après la question 4-1, on a : cos(γ) = P m g Si γ est petit, cos(γ) = 1 et sin(γ) = γ. On a alors : ; sin(γ) = F T m g P = m g ; F T = m g γ soit : γ = F m g T ou γ P = F m g 1 f Cette dernière formule donne l angle γ de la montée pour l avion considéré. La montée n est possible que si la traction vérifie : F > m g f Plus le poids est grand, plus F doit être grande (ce qui est intuitif). Plus la finesse est grande, plus F doit être petite (ce qui est aussi intuitif et très important pour les économies de kérosène). 4-4 Dans le cas d un avion en descente, la portance et le poids sont inchangés par rapport au cas de l avion en montée. Par contre, la traînée et la traction sont changées en direction (Fig. 3.43c). Les réponses aux questions 4-1 et 4-2 sont alors : soit : Par ailleurs : T m g sin(γ) F = 0 ; m g cos(γ) + P = 0 P = m g cos(γ) ; F = m g sin(γ) + T W n = T V p ; W u = F V p ; V z = V p sin(γ) (V z est négatif en descente). Il vient : V z = W u W n m g Remarquons ici, que W u W n est négatif afin que la vitesse V z soit bien négative. On est sur la portion V p < V 2 de la courbe W u = W u (V p ) dessiné sur la figure 3.41.

81 Chapitre 4 Énergétique D après des notes de cours de de collègues de l Université Pierre et Marie Curie 4.1 Introduction Lors de l étude de la mécanique du vol, nous avons étudié le mouvement de l avion propulsé, notamment par une hélice. Mais nous ne nous sommes pas intéressés à ce qui faisait tourner l hélice. C est ce que nous allons faire pendant cette partie de cours consacrée au thème «énergétique». Comme introduction, nous présentons quelques exemples de moteur, que nous avons extraits du réseau. Plus précisément ce sont : Fig. 4.1 : ques/les-cles-pour-comprendre/automobile-et-carburants/les-moteurs-conventionnels Fig. 4.2 : Fig. 4.3 : Fig. 4.4 : Un moteur automobile conventionnel (Fig. 4.1) est constitué, très schématiquement, d une chambre de combustion délimitée par une culasse, le cylindre, et le piston. La combustion du mélange air-carburant dans la chambre de combustion se traduit par une élévation de la pression des gaz, ce qui provoque le déplacement du piston et comme conséquence celui du système biellemanivelle. Un turboréacteur est une turbomachine produisant une poussée de «réaction». Inventés vers les années 1930, les turboréacteurs ont équipé les premiers avions (des chasseurs-bombardiers) en série à la fin de la seconde guerre mondiale. Après la guerre, les turboréacteurs se sont généralisés. Leur rendement et leur fiabilité se sont considérablement améliorés. Les turboréacteurs d aujourd hui sont des machines d une extrême complexité. Le développement d un nouveau moteur demande des moyens humains, technologiques et financiers considérables que seules quelques rares entreprises possèdent dans le monde. Le coût d un turboréacteur est très important et représente, en général, pour un avion, le tiers du coût total de l appareil. Le principe de fonctionnement est montré sur la figure 4.2. L air envoyé dans le turboréacteur est d abord comprimé par l intermédiaire d un compresseur (les propriétés de l air changent), puis il est mélangé à du carburant et enfin on déclenche une combustion (Fig. 4.2). Remarquons que dans un turbo-réacteur, il n y a pas d hélice ; la poussée est uniquement réalisée par les gaz d échappement. Dans ce processus, le gaz est chauffé et cela se traduit par une poussée, c est-à-dire par une action mécanique. 75

82 76 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE Architecture moteur 11/06/10 09:10 Architecture moteur Fig. 4.1 Moteur à quatre temps bile-et-carburants/les-moteurs-conventionnels/architecture-moteur entrée d air compresseur chambre de combustion turbine tuyère Vue éclatée d un réacteur SNECMA ATAR 09 écoulement du jet et poussée des gaz Page 1 sur 1 Fig. 4.2 Turboréacteur

83 4.1. INTRODUCTION 77 Expression de la poussée d un turboréacteur La poussée d un turboréacteur peut être calculée très approximativement à partir de la formule suivante : F poussée = ṁ (V sortie V entrée ) où : ṁ est le débit massique de l air passant dans le moteur, le débit du carburant étant négligeable, V sortie est la vitesse de sortie des gaz de la tuyère, V entrée est la vitesse d entrée des gaz dans le compresseur. On remarque que ṁ V sortie représente la poussée de la tuyère, tandis que ṁ V entrée correspond à la traînée de l air. Ainsi pour que le turboréacteur crée une poussée vers l avant, il faut naturellement que la vitesse des gaz d échappement soit supérieure à celle de l avion (c est-à-dire de l air entrant dans le moteur). Le turbo-propulseur est un ensemble constitué d une hélice mise en mouvement par une turbomachine qui convertit l essentiel de l énergie des gaz produits par la combustion en énergie mécanique. Ce n est pas, à proprement parler, un moteur à réaction mais il y a des similarités. Pour les avions, les limitations aérodynamiques des hélices limitent l utilisation des turbopropulseurs à des vitesses inférieures à environ 0,7 fois la vitesse du son (on dit Mach 0,7), le nombre de Mach étant défini par le rapport de la vitesse de l avion et de la vitesse du son. La vitesse du son dans l atmosphère près du sol est de l ordre de 330 m/s soit 1200 km/h. Le turbo-propulseur est un moteur extrêmement complexe (voir la photo de la figure 4.3). Son fonctionnement est décrit sur la figure 4.4. Donnons néanmoins une description rapide de son fonctionnement. L air entre dans le compresseur, est comprimé, entre ensuite dans la chambre de combustion et sort par des tuyères. Fig. 4.3 Photo d un turbo-propulseur L énergie libérée par les gaz brûlés permet d actionner une turbine : en effet, la chaleur de la réaction de combustion entraîne une augmentation de volume, ce qui crée une poussée sur les aubes de la turbine. Le mouvement de la turbine permet d entraîner une hélice. L énergie libérée sert également à faire fonctionner le compresseur. Dans ce processus, on souhaiterait idéalement que les gaz d échappement sortent à vitesse nulle, et que l on récupère le maximum possible d énergie cinétique. Ce n est évidemment pas le cas, mais les gaz d échappement procurent en fait une poussée supplémentaire qui s additionne à celle procurée par l hélice. De quoi avons-nous besoin pour comprendre le fonctionnement du turbo-propulseur? Il nous faut comprendre comment on peut obtenir une action mécanique (faire tourner une hélice) à partir d un échauffement (ici l air mélangé au carburant). Ceci sera vu dans le paragraphe 4.5 de ce chapitre. Remarques sur les domaines d utilisation des moteurs Les turboréacteurs sont utilisés sur tous les avions civils, moyens et gros porteurs, car ils sont les seuls à pouvoir atteindre des vitesses transsoniques (entre Mach égal à 0,8 et Mach égal

84 78 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE L hélice (8) pré-comprime l air admis dans les entrées d air (1). L énergie cinétique des gaz de la chambre de combustion (4) sert à : actionner les turbines (5) qui entraînent les compresseurs (2), actionner la turbine (6) qui entraîne le réducteur (9), lui-même entraînant l hélice, fournir une poussée à l avion par l échappement des gaz dans la tuyère (7). Fig. 4.4 Fonctionnement d un turbo-propulseur (Figure extraite de : à 1). Dans l aviation militaire, l utilisation du turboréacteur s est généralisée. Elle a permis de dépasser le «mur» du son, c est-à-dire la vitesse du son (Mach supérieur à 1). Les turbo-propulseurs équipent en général des avions moins rapides (autour de 500 km/h) et de plus petite taille (moins de 80 passagers). Seuls, les petits avions de tourisme sont encore équipés de moteurs à explosion à pistons. 4.2 Premier principe de la thermodynamique Observation : action mécanique résultant d un échauffement Considérons une masse M posée sur un ballon rempli d air. Chauffons le ballon. L air dans le ballon se dilate et la masse se soulève (Fig. 4.5) masse M flamme Fig. 4.5 Échauffement d un ballon La chaleur (c est-à-dire l énergie apportée à l air en chauffant) a été convertie en travail mécanique. Il y a eu transformation de la chaleur en énergie cinétique (pendant le mouvement ascendant de la masse M), ou en énergie potentielle de la pesanteur (à la fin de l expérience lorsque la masse M est au repos dans sa position la plus haute).

85 4.2. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Système fermé, système ouvert Dans l analyse énergétique, on va procéder comme dans le chapitre sur la mécanique des structures : pour écrire le «principe fondamental de la statique», on a isolé un système du milieu extérieur et on a examiné tous les efforts extérieurs agissant sur le système. Dans l analyse énergétique, on va également écrire un bilan pour un système. Mais un problème supplémentaire apparaît : certains systèmes sont clairement isolés de l extérieur (exemple du ballon rempli d air), mais d autres sont ouverts (par exemple dans un moteur où de l air et du carburant entrent dans le moteur et où les gaz brûlés en sortent). Considérons un corps ou un ensemble de corps que nous supposons limité par une surface Σ, éventuellement déformable, à travers laquelle pourront s effectuer des échanges d énergie et éventuellement de matière avec le milieu extérieur (Fig. 4.6). système fermé : le système est dit {fermé} s il n y a aucun transfert de matière à travers Σ. système ouvert : le système est dit {ouvert} s il y a un transfert de matière à travers Σ. échanges avec l extérieur système Σ Fig. 4.6 Système Σ Qu est-ce que l énergie? α Énergie cinétique Pour un point matériel P de masse m et de vitesse V, l énergie cinétique est 1 2 m V 2. Pour un ensemble de N points matériels de masse m i et de vitesse V i, avec i = 1, 2,..., N, l énergie cinétique est i=n i=1 1 2 m i V i 2. Pour un système matériel (par exemple un avion, une automobile,... ), et si on considère ce système comme la réunion d un grand nombre de points matériels, on somme les énergies cinétiques de tous ces points, et on définit ainsi l énergie cinétique du système considéré. β Énergie potentielle (cas de la pesanteur) Soit à nouveau le point P de masse m. Plaçons-le dans le champ de la pesanteur. Introduisons l axe Oz vertical, dirigé vers le haut et notons g = g e z l accélération de la pesanteur (Fig. 4.7), où le vecteur e z est unitaire, vertical et dirigé vers le haut. La force de pesanteur s exerçant sur le point P est m g = m g e z. On introduit l énergie potentielle m g z correspondante. Il est clair que : m g = d ( m g z) dz On dit que la force de pesanteur dérive d un potentiel, celui-ci étant : m g z. Plus généralement, pour un corps de masse M placé dans le champ de la pesanteur, on peut introduire l énergie potentielle de la pesanteur qui est M g z + C, où cette fois-ci z

86 80 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE g P point matériel masse m e z sol Fig. 4.7 Point matériel dans le champ de la pesanteur est la cote du centre de gravité G du corps considéré et où C est une constante arbitraire que l on peut prendre égale à zéro. γ Énergie interne Soit le système noté Σ introduit dans le paragraphe On introduit l énergie interne de Σ. L énergie interne regroupe toutes les énergies à l échelle microscopique. On peut ainsi lister, en augmentant progressivement la complexité de la matière : (a) l énergie moléculaire due à l agitation des molécules au sein de la matière, (b) l énergie chimique due aux réactions entre molécules, (c) l énergie atomique due aux mouvements à l échelle des atomes, (d) l énergie due éventuellement à d autres phénomènes physiques. Exemple Nous allons donner un exemple d énergie interne, en examinant le cas d un système Σ constitué par un gaz au repos. On suppose ce gaz constitué par un très grand nombre N de molécules identiques. Numérotons les molécules de 1 à N. Chaque molécule a une masse et une vitesse. La masse de chaque molécule est m, sa vitesse est v i et son énergie cinétique est 1 2 m v i 2 (i = 1, 2,..., N). Le système complet des N molécules est au repos, donc la vitesse moyenne des N molécules est nulle : i=n 1 m v i = 1 N N m ( v 1 + v v N ) = 0 i=1 Mais ce même système de N molécules contient de l énergie cinétique à savoir : i=n i=1 1 2 m v i 2 = 1 2 m v m v m v 2 N C est cette énergie emmagasinée dans le système Σ que l on appelle énergie interne de Σ. Notons qu il n est pas, en général, très facile de définir l énergie interne d un système. Mais nous admettrons qu on peut toujours le faire Chaleur, puissance calorifique L état d un système peut varier sans qu il y ait ni mouvement (macroscopique), ni action mécanique. Comme expérience simple, prenons un bloc de métal chaud et mettons-le en contact

87 4.2. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 81 avec un bloc de métal froid. Il y a au bout d un moment, équilibre de la température dans les deux blocs sans le moindre mouvement macroscopique (les deux blocs deviennent tièdes) : il s est produit ce que l on appelle un transfert de chaleur du bloc chaud vers le bloc froid. Il s agit, en fait, d un transfert d énergie du bloc chaud vers le bloc froid. Le mécanisme du transfert est ici la conduction de la chaleur. Puissance calorifique : par définition, c est la quantité de chaleur fournie au système Σ considéré par unité de temps. Dans l écriture d un bilan, on parlera de puissance calorifique fournie ou reçue par le système. Notons que cette puissance peut être positive, négative ou nulle. Notons aussi, que la chaleur est le produit d une puissance calorifique par un temps. La chaleur est une énergie Premier principe de la thermodynamique En fait, les domaines de la mécanique et de la thermique ne sont pas cloisonnés, et «dans la vraie vie» il y a combinaison des effets. Dans le domaine de l énergétique, aucun des deux effets, mécanique et thermique, n est négligeable. Rappelons l expérience du paragraphe 4.2.1, où on a transformé de la chaleur en travail mécanique. Il y a un principe général traduisant un bilan énergétique. Ce principe est connu sous le nom de «Premier principe de la thermodynamique». Nous allons l énoncer dans la suite de ce paragraphe après avoir introduit la notion de transformation thermodynamique. Transformation thermodynamique On dit aussi processus thermodynamique. Supposons, pour un système Σ, un premier état dit état initial, et un second état dit état final. Il y a plusieurs façons de passer de l état initial à l état final. Chacune de ces façons est appelée transformation thermodynamique. Exemple : prenons un gaz contenu dans un ballon avec comme état initial le ballon de rayon R initial et comme état final le ballon de rayon R final avec R initial > R final (Fig. 4.8). On peut passer de l état initial à l état final, par exemple : en refroidissant le ballon (Fig. 4.8), en insérant le ballon dans un étau et en le comprimant (Fig. 4.8), en l insérant dans un étau et en le refroidissant en même temps. refroidissement compression Fig. 4.8 Exemples de transformation thermodynamique

88 82 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE Premier principe de la thermodynamique - Énoncé en termes de travail et de chaleur Soit un système Σ fermé, passant d un premier état dit initial, à un second état dit final, alors on a : (E cin + E int ) final (E cin + E int ) initial = W + Q (4.1) E cin : énergie cinétique du système Σ, E int : énergie interne du système Σ, W : travail des efforts extérieurs appliqués à Σ, c est-à-dire fourni par l extérieur à Σ pour passer de l état initial à l état final. Q : chaleur fournie par l extérieur à Σ entre l état initial et l état final. Énoncé La variation de l énergie totale du système entre l état initial et l état final, c est-à-dire (E cin + E int ) final (E cin + E int ) initial est égale à la somme du travail W reçu par le système et de la chaleur Q reçue par le système pour passer de l état initial à l état final. Cette équation (4.1) traduit le premier principe de la thermodynamique. Il est basé sur des observations expérimentales, et jusqu à présent il n est en contradiction avec aucune observation expérimentale. Naturellement dans (4.1), les quantités W et Q peuvent être, positives, négatives ou nulles. Remarque importante : on verra sur des exemples que ce principe permet de transformer du travail en chaleur et vice-versa. Exemple d une descente à vélo sur un plan incliné Un cycliste se laisse descendre d une hauteur H, puis freine à fond et s arrête (Fig. 4.9). Le système considéré est le système «vélo + cycliste». Sa masse est m. g A initial C H B final Fig. 4.9 Le système «vélo + cycliste» α β À l état initial, le système «vélo + cycliste» est en A et est au repos. Son énergie cinétique est nulle. Son énergie interne est (E int ) initial. À l état final, le système «vélo + cycliste» est en B et est à nouveau au repos. Son énergie cinétique est nulle. Son énergie interne est (E int ) final.

89 4.2. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 83 γ Le système «vélo + cycliste» est soumis à la force de pesanteur. Le travail reçu par le «vélo + cycliste», quand il va de l état initial à l état final, est le produit de la force de pesanteur par la distance parcourue : (m g) ( AC + CB ) = ( m g ez ) ( AC + CB ) = ( m g ez ) ( H e z ) = m g H δ On n apporte aucune chaleur au système «vélo + cycliste». Le premier principe de la thermodynamique s écrit : (E cin + E int ) final (E cin + E int ) initial = W + Q soit : (E int ) final (E int ) initial = m g H + 0 (E int ) final (E int ) initial = m g H En fait, le caoutchouc des pneus s est échauffé et il y a eu transfert de l énergie cinétique qu avait le système «vélo + cycliste» pendant sa descente en énergie interne. Premier principe de la thermodynamique - Énoncé en termes de puissance Reprenons le système Σ fermé déjà introduit dans l énoncé du premier principe en termes de travail et de chaleur. Supposons l état final et l état initial très voisins, et posons (E cin + E int ) final (E cin + E int ) initial = (E cin E int ). Imaginons que l on passe de l état initial à l état final pendant le temps t. On a d après (4.1) : (E cin + E int ) = W + Q ou bien : (E cin + E int ) t = W t + Q t Faisons tendre t vers zéro (ce qui revient à introduire la notion de dérivée). On pose : (E cin + E int ) lim t 0 t W lim t 0 lim t 0 = d dt (E cin + E int ), t = P ext = puissance des efforts extérieurs reçue par le système Σ, Q t = P cal = puissance calorifique reçue par le système Σ. On a donc : d dt (E cin + E int ) = P ext + P cal (4.2) Énoncé La variation de l énergie totale du système Σ par unité de temps (c est-à-dire la dérivée par rapport au temps de l énergie totale du système Σ) est égale à la somme de la puissance des efforts extérieurs reçue par Σ et de la puissance calorifique reçue par Σ.

90 84 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE 4.3 Dimensions - Unités - Exemples de conversion de l énergie Dans le paragraphe 4.2, nous avons introduit les notions de travail, chaleur et puissance. Ces grandeurs sont présentes dans l énoncé du premier principe de la thermodynamique. «Travail», «Énergie», «Chaleur» sont de mêmes dimensions et s expriment avec les mêmes unités (ces grandeurs peuvent être ajoutées). «Puissance» et «Variation par rapport au temps du travail» (ou bien «de l énergie» ou «de la chaleur»), sont de mêmes dimensions. Un travail (ou bien une énergie ou de la chaleur) multiplié par un temps est une puissance Dimensions Nous désignons par M, L et T les dimensions d une masse, d une longueur et du temps. Notations On introduit la notation suivante : ainsi : [grandeur] = dimension de la grandeur [masse] = M, [longueur] = L, [temps] = T [vitesse] = L/T = L T 1 [accélération] = L/T 2 = L T 2 [force] = M L T 2 [pression] = [force par unité de surface] = M L 1 T 2 [énergie cinétique] = [masse multipliée par une vitesse au carré] = M L 2 T 2 [travail d une force] = [force multipliée par une longueur] = M L 2 T 2 [travail] = [énergie] = [chaleur] = M L 2 T 2 [puissance] = M L 2 T 1 Une puissance, quelle que soit son origine, a la dimension d un travail multiplié par un temps. Remarque : il ne faut pas confondre la notion de «dimension» que nous venons d introduire et la notion d «unités» que nous donnons ci-après Unités Dans le système international (système SI) d unités, on a les unités suivantes : Masse : kg (kilogramme) Longueur : m (mètre) Temps : s (seconde) Force : N (newton) ; 1 N = 1 kg.m.s 2 Pression : Pa (pascal) ; 1 Pa = 1 N.m 2 = 1 kg.m 1.s 2 Travail, Énergie ou Chaleur : J (joule) ; 1 J = 1 N.m = 1 kg.m2.s 2 Puissance : W (watt) ; 1 W = 1 J.s 1 = 1 kg.m 2.s 3 Autres unités définies pour leur commodité Énergie : kilowatt-heure (kw.h) 1 kw.h = 3600 kj = J

91 4.3. DIMENSIONS - UNITÉS - EXEMPLES DE CONVERSION DE L ÉNERGIE 85 Tab. 4.1 Préfixes des multiples et sous-multiples décimaux des unités du Système International (SI) Facteur Préfixe exa péta téra giga méga kilo hecto déca Symbole E P T G M k h da Facteur Préfixe déci centi milli micro nano pico femto atto Symbole d c m µ n p f a C est l énergie consommée par un fer électrique de 1000 W fonctionnant pendant une heure. La consommation électrique annuelle moyenne par habitant en France est de l ordre de 7000 kw.h. Pour les nombres avec décimales, nous utilisons la notation anglo-saxonne avec un point (3.6 3, 6). Énergie : Tonne équivalent pétrole (tep) 1 tep = 1 MW.h = 10 3 kw.h Énergie : kilocalorie (kcal) : 1 kcal = kw.h = kw.h C est l énergie qu il faut pour élever la température de 1 kg d eau de 1 degré Kelvin (1 K) ou ce qui revient au même de 1 degré Celsius. Puissance : cheval-vapeur ou cheval (cv) 1 cv = 736 W C est une ancienne unité de puissance (1 cv correspond à la puissance nécessaire pour élever, en une seconde, une masse de 75 kg dans le champ de la pesanteur à 1 m de hauteur : 1 cv = kg.m.s 3 = 736 W Exemples d ordre de grandeur pour l énergie α Énergie cinétique d un camion de 10 tonnes (104 kg) à 100 km/h (27.78 m.s 1 ) : β (27.78) 2 J = J = 1.07 kw.h Énergie due à 10 tonnes d eau chutant de 40 m. La vitesse de l eau au bas de la chute est donnée par la formule de Toricelli (résultat admis), à savoir 2 g h, g étant l accélération de la pesanteur et h la hauteur de chute. L énergie cherchée est : ( ) J = J = 1.09 kw.h γ Énergie fournie par une éolienne qui met en mouvement m3 d air et lui donne la vitesse de 60 km/h, la masse volumique de l air étant 1.18 kg/m 3 : ( ) ( ) J = J = 1.02 kw.h

92 86 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE δ Énergie solaire fournie par une heure de soleil sur un capteur de 1 m2, sachant que la puissance d un beau «soleil» fournie à 1 m 2 est 1 kw : ɛ (1000 W) (3600 s)= J = 1 kw.h Énergie thermique de fusion de 10 kg de glace, sachant que la chaleur de fusion de la glace est 335 kj/kg dans des conditions standard de pression et température : kj = J = 0.93 kw.h Donc 1 kw.h est l énergie nécessaire à la fusion de kg de glace. ϕ Énergie thermique de vaporisation de 1.5 kg d eau, sachant que la chaleur de vaporisation de l eau à la pression atmosphérique est 2500 kj/kg : kj = J = kw.h Donc 1 kw.h est l énergie nécessaire à la vaporisation de kg d eau Conversion d énergie - Exemples Sources d énergie La seule source d énergie qui soit extérieure à la Terre et utilisable actuellement est le «Soleil». Le soleil rayonne la puissance de W sur la Terre. Ceci correspond à une énergie égale à kw.h par an ( W.s = kw.h par an). Il existe sur terre, des sources d énergie chimique et nucléaire, mais celles-ci sont en quantité limitée et sont non renouvelées. Il faut cependant remarquer que ces ressources sont considérables. Par exemple, le charbon et les hydrocarbures peuvent être utilisés encore pendant deux siècles. Les ressources en énergie nucléaire quant à elles sont difficilement estimables (d après Encyclopedia Universalis). Notons que l énergie potentielle de l eau emmagasinée dans les barrages provient de l évaporation de l eau des océans sous l action du rayonnement solaire. Notons aussi que l énergie chimique du charbon et des hydrocarbures provient de réactions photochimiques produites par le rayonnement solaire. On utilise actuellement en quelques siècles, des réserves qui ont mis des milions d années à s accumuler. Systèmes de conversion d énergie On peut soit transformer l énergie disponible en énergie électrique facile à transporter, soit transporter directement la source d énergie (combustible) à l endroit où l énergie est utilisée. Donnons deux exemples de conversion d énergie. a) L énergie hydraulique (c est-à-dire l énergie potentielle de l eau accumulée dans des barrages) est transformée en «énergie cinétique» par écoulement. Cette dernière est tranformée en «énergie cinétique de rotation» d un volant grâce à une turbine, qui à son tour entraîne un générateur électrique. Le rendement de l opération est très bon, de l ordre de 90%. Il y a seulement quelques pertes dues à la viscosité de l eau et à des frottements. b) Lorsque la source d énergie disponible est de type «chimique», la méthode la plus utilisée est la combustion (où il intervient de nombreuses réactions chimiques). L énergie libérée par la combustion provoque l agitation des molécules : l énergie est donc transformée en énergie cinétique moléculaire (voir paragraphe 2.3), c est-à-dire en «chaleur». Cette chaleur est utilisée dans une source chaude de machine thermique (moteur à explosion par exemple), qui en transforme une partie en travail mécanique. Ce travail sert ensuite, par exemple, à la propulsion d un véhicule. Dans ce long processus, le rendement est limité. Le rendement théorique maximal est de l ordre de 50%. Les rendements réels sont d environ 25% à 30%.

93 4.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES DE BASE Transformations thermodynamiques de base Observation. Variables d état. Lois d état Principe zéro de la thermodynamique : L état d un corps ne dépend pas de son histoire. Exemple : à la pression de 10 5 Pa (c est à peu près la pression atmosphérique moyenne), l eau à 99.5 degrés Celsius est liquide, et à degrés Celsius, l eau est à l état de vapeur, et ceci quelle que soit son histoire. On peut donc décrire l état d un corps à un instant donné, indépendamment de son histoire. Quelles sont les variables naturelles, c est-à-dire les variables qu il est naturel d introduire et de mesurer pour décrire l état d un corps? On retient usuellement les variables suivantes : la température T, la pression p, la masse M, le volume V ou bien en utilisant la relation M = ρ V, la masse volumique ρ. Ces variables sont appelées variables d état. Par exemple, pour un corps pur et une seule phase, on a deux variables d état indépendantes. En d autres termes, deux variables d état vont permettre de déduire toutes les autres par, ce que l on appelle, des lois d état. Choisissons p et T comme variables d état indépendantes. Considérons la masse M du corps pur considéré. Alors, le volume V est donné par une loi d état de la forme F (p, T, V ) = 0 ou bien en résolvant cette équation pour V par l équation V = G(p, T ). En utilisant la masse volumique ρ, (c est-à-dire la masse de l unité de volume) on écrit la loi d état sous la forme f(p, T, ρ) = 0 ou bien ρ = g(p, T ). Expérience de Mariotte (1661) Cette expérience consiste à verser du mercure dans un tube (de section S) tout en laissant une partie emplie d air. Le tube est d abord bouché (Fig. 4.10a), puis renversé dans une cuve de mercure ; enfin, on enlève le bouchon (Fig. 4.10b). Les hauteurs d air h 1 et de mercure h 2 sont mesurées avant de renverser le tube puis après l avoir débouché dans la cuve (les nouvelles hauteurs sont h 1 et h 2 ). On vérifie expérimentalement que, à température constante, on a : p atm h 1 S = (p atm ρ mercure g h 2) h 1 S Remarquons que h 1 S et h 1 S sont respectivement les volumes de l air dans les deux situations a) et b). Posons p = p atm ρ mercure g h 2 : c est la pression de l air dans le tube dans la situation du tube renversé (Fig. 4.10b). On a p atm h 1 S = p h 1 S, c est-à-dire : où p est la pression de l air et V son volume. Expérience de Charles et Gay Lussac p V = cste L expérience réalisée par Charles et Gay Lussac a montré qu à pression constante, le volume du gaz est proportionnel à la température T (T est la température absolue ; son unité est le degré Kelvin (K)). Loi d état des gaz parfaits avec : Les deux expériences précédentes conduisent à la loi des gaz parfaits : p V = M R M T (4.3)

94 88 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE g section S 3 bouchon h 1 h 1 p atm h 2 h 2 mercure (a) (b) Fig Expérience de Mariotte p : pression du gaz V : volume du gaz T : température du gaz (en degré Kelvin) M : masse du gaz M : masse molaire du gaz R : constante des gaz parfaits Une mole contient (nombre d Avogrado) molécules du gaz considéré. L unité pour une mole est notée «mol». La masse molaire est la masse d une mole, c est-à-dire de molécules. La masse molaire s exprime en g/mol. La masse molaire de l oxygène est 16 g/mol et celle de l hydrogène est 1 g/mol. La constante des gaz parfaits est : R = J.K 1.mol 1. Loi d état des gaz parfaits pour l unité de masse Elle s écrit : p = r ρ T (4.4) avec : p : pression du gaz ρ : masse volumique du gaz (masse de l unité de volume) T : température du gaz (en kelvin) r : constante du gaz parfait considéré (pour l air on a : r = 287 J.kg 1.K 1 ) Par ailleurs : v = 1/ρ : volume spécifique (volume de l unité de masse) ou volume massique On passe de la formule (4.3) à la formule (4.4) en posant M = 1, V = v et r = R/M. Représentation de la surface d état Dans l espace à trois dimensions rapporté à un trièdre orthogonal, on porte sur les trois axes, la pression p, le volume massique v et la température T. La surface d état a pour équation p = r ρ T. Elle est représentée sur la figure 4.11.

95 4.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES DE BASE 89 pression p volume massique v Surface d état température T Fig Représentation de la surface d état d un gaz parfait Supposons v constant. Alors la relation (4.4) s écrit p/t = cste. Dans le plan (p, T ), les courbes représentatives sont des droites (Fig. 4.12) ; naturellement, il y a une droite associée à chaque valeur de v. pression p droite v = cste 0 température T Fig Représentation de la loi d état d un gaz parfait dans le plan (p, T ) Supposons p constant. Alors la relation (4.4) s écrit T/v = cste. Dans le plan (v, T ), les courbes représentatives sont des droites (Fig. 4.13) ; naturellement, il y a une droite associée à chaque valeur de p. Supposons T constant. Alors la relation (4.4) s écrit p v = cste. Dans le plan (p, v), les courbes représentatives sont des hyperboles équilatères (Fig. 4.14) ; naturellement, il y a une hyperbole associée à chaque valeur de T. Remarque Tous les gaz ne sont pas des gaz parfaits. Il y a d autres lois d état. Donnons deux exemples : Loi d état d un gaz de Van der Waals : p = ρ r T 1 b ρ a ρ2

96 90 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE volume massique v droite p = cste 0 température T Fig Représentation de la loi d état d un gaz parfait dans le plan (v, T ) pression p température T = cste 0 volume massique v Fig Représentation de la loi d état d un gaz parfait dans le plan (p, v) (a et b sont des constantes). L eau entre 0 et 4 degrés Celsius a un comportement particulier : à pression constante, quand T diminue, ρ diminue et v augmente. Comme conséquence, la glace flotte et les canalisations qui gèlent éclatent Relations entre travail, chaleur, énergie et variables d état pour un gaz parfait Considérons un système thermodynamique Σ au repos. Nous voulons évaluer la différence d énergie interne entre deux états de ce système : E 2 E 1. Notons que pour alléger l écriture, nous ne faisons pas figurer l indice «int» pour «interne». L énergie interne E est une variable d état (nous l admettons). Nous rappelons que la différence E 2 E 1 cherchée ne dépend pas de la transformation thermodynamique effectuée pour passer du premier état au second. D après le premier principe de la thermodynamique (énoncé paragraphe 4.2.5), on peut écrire : E 2 E 1 = W + Q où W et Q sont le travail et la chaleur apportés au système Σ pour passer de l état 1 à l état 2. Si le système Σ a pour masse, l unité de masse, on écrit : e 2 e 1 = w + q

97 4.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES DE BASE 91 : e énergie interne de l unité de masse, : w travail reçu par l unité de masse pour passer de l état 1 à l état 2, : q chaleur reçue par l unité de masse pour passer de l état 1 à l état 2. Remarque importante Le travail et la chaleur, contrairement à l énergie interne, dépendent de la transformation thermodynamique faisant passer de l état 1 à l état 2. Pour effectuer les calculs, on décompose la transformation réelle (on dit aussi chemin réel) en des transformations (ou chemins) élémentaires simples, éventuellement fictifs. Travail des forces de pression associé à une variation de volume Soit un système Σ de masse M fixée et de volume V. Pour une petite variation V du volume, le travail des forces de pression est : W = p V La pression p est positive. Pour diminuer le volume de Σ ( V < 0), il faut fournir au système Σ un travail positif ( p V > 0). Pour augmenter le volume de Σ ( V > 0), il faut fournir au système Σ un travail négatif (c est le système Σ qui fournit un travail positif à l extérieur). Dans la pratique, on utilise le système correspondant à l unité de masse. Avec M = ρ V, la relation précédente s écrit : W = p w = p ( ) M = p M ρ avec W = M w (w travail reçu par l unité de masse). ( ) 1 ρ ( ) 1 = p v (4.5) ρ Quantité de chaleur associée à une variation de température Par rapport au calcul du travail des forces de pression précédent, le calcul de la quantité de chaleur fournie au système Σ est plus compliqué. Sachant que pour un gaz, deux variables d état suffisent pour calculer toutes les autres, on cherche à calculer la chaleur associée au changemeut d une seule variable, l autre étant constante. Pour les cas qui nous intéressent, on envisage soit le couple de variables (p, T ), soit le couple de variables (T, v) (T, 1/ρ). Quantité de chaleur : calcul à pression constante On introduit le coefficient c p (qui s exprime en J.kg 1.K 1 ), et qui s appelle capacité calorifique massique à pression constante. C est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d une unité de masse d un corps de 1 kelvin. Cette capacité permet d écrire : q = c p T en raisonnant en chaleur par unité de masse. La valeur de c p dépend du gaz, mais aussi de l état du gaz (en général, c p dépend de T ), et c est une grandeur que l on sait mesurer et tabuler.

98 92 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE Quantité de chaleur : calcul à volume constant (masse volumique constante) On introduit le coefficient c v, capacité calorifique massique à volume constant en J.kg 1.K 1. C est la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d une unité de masse d un corps de 1 kelvin. Cette capacité permet d écrire : q = c v T La valeur de c v dépend du gaz, mais aussi de l état du gaz (en général, c v dépend de T ), et c est une grandeur que l on sait mesurer et tabuler. Exemples de valeur de c p et de c v : Capacité calorifique massique c p de l air sec à 20 C et sous 10 5 Pa : 1007 J.kg 1.K 1, Capacité calorifique massique c v de l air sec à 20 C : 719 J.kg 1.K 1, Capacité calorifique massique c v de l hélium à 20 C : 741,98 J.kg 1.K 1, Capacité calorifique massique c p de l air humide (taux d humidité de 100) à 20 C et sous 10 5 Pa : 1030 J.kg 1.K 1. Rappelons que les capacités calorifiques massiques dépendent de la température. Nous illustrons cette dépendance sur la figure c p (J.kg 1.K 1 ) aluminium titanium cuivre or T (K) Fig Capacité calorifique en fonction de la température Remarques Les coefficients c p et c v sont toujours positifs (sinon un glaçon ferait geler un océan!). Pour les liquides et les solides, on peut aussi introduire les capacités calorifiques c p et c v. Mais pour ces milieux, on a des valeurs voisines pour c p et c v. Ainsi pour l eau c p c v 4180 J.kg 1.K Transformations thermodynamiques de base, dans le cas d un gaz parfait avec c p et c v constants Un très grand nombre de gaz usuels (air, azote, CO 2,... ) peuvent être considérés comme des gaz parfaits avec des capacités calorifiques massiques c p et c v constantes. De plus, on vérifie

99 4.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES DE BASE 93 expérimentalement que c p et c v sont positives, que c p est supérieure à c v et que c p c v = r. Pour un gaz parfait, avec c p et c v constants, on a donc : c p c v = r ; c p /c v = γ > 1 (4.6) r est la constante du gaz parfait, et γ le rapport des capacités calorifiques. Le coefficient γ est toujours supérieur à 1. Pour l air on a : γ = 1.4. Nous allons montrer comment on peut utiliser la loi des gaz parfaits et les grandeurs «travail», «chaleur», «variables d état» pour analyser des transformations thermodynamiques de base. Pour représenter ces transformations, on utilise un diagramme (p, T ) et un diagramme (p, 1/ρ). On va calculer des énergies internes massiques (par kg de gaz). Suivant la convention internationale de la thermodynamique, est compté positif tout ce qui est reçu par le gaz, et négatif tout ce qui est fourni par le gaz. α Transformation isobare (à pression constante) On prend l exemple d un échauffement isobare faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. La température T augmente. Pour une telle transformation, on a T 2 > T 1 (car on a supposé un échauffement) et donc ρ 2 < ρ 1 (en utilisant p = r ρ T, et l hypothèse p = constante = p 1 = p 2 ). Voir la figure p p p 1 = p 2 p 1 = p 2 1/ρ 1 1/ρ 2 1/ρ T 1 T 2 T Fig Chemins allant de 1 à 2 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) à pression constante On peut alors calculer les énergies échangées : la quantité de chaleur reçue par l unité de masse du gaz s obtient à partir de q = c p T : q q 1 2 = c p dt = c p (T 2 T 1 ) (q est positif : q > 0) 1 2 le travail reçu par l unité de masse du gaz s obtient à partir de la relation (4.5) : w = p (1/ρ) : ( ) ( ) 1 1 w w 1 2 = p d = p 1 d ( 1 2 ρ 1 2 ρ 1 = p 1 1 ) ( = p 1 r T 2 r T ) 1 ( ρ 2 ρ 1 p 2 p 1 = p 1 r T 2 r T ) 1 = r (T 1 T 2 ) (w est négatif : w < 0) p 1 p 1 Le travail se visualise par l aire grisée dans le diagramme (p, 1/ρ) de la figure la variation d énergie totale par unité de masse est donc : e 2 e 1 = w+q = w 1 2 +q 1 2 = r (T 1 T 2 )+c p (T 2 T 1 ) = (c p r) (T 2 T 1 ) = c v (T 2 T 1 ) Remarquons que si les deux états 1 et 2 sont voisins, on aura : e = c v T

100 94 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE Exercice à traiter par l étudiant. Nous avons traité le cas d un réchaufement isobare. À titre d exercice, traiter de la même façon le cas d un refroidissement isobare faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. Dans ce cas on aura : T 2 < T 1. Vérifier que q 1 2 est négatif et que w 1 2 est positif. β Transformation à ρ constante (transformation isochore) Prenons l exemple d une compression isochore faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. La pression augmente, car on a supposé une compression. Pour cette transformation, on a p 2 > p 1 et donc T 2 > T 1 (en utilisant p = r ρ T et l hypothèse ρ = constante). Voir la figure p p p 2 2 p 2 2 p 1 1 p 1 1 1/ρ 1/ρ 1 = 1/ρ 2 T 1 T 2 T Fig Chemins allant de 1 à 2 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) à volume constant (ρ est constant) On peut calculer les énergies mises en jeu : le travail w w 1 2 = 1 2 p d (1/ρ) = 0 (le travail des forces de pression est nul, car ρ est constant). pour calculer la quantité de chaleur reçue par unité de masse du gaz, on utilise q = c v T d où : q q 1 2 = c v dt = c v (T 2 T 1 ) 1 2 q est positif. la variation d énergie totale par unité de masse est : e 2 e 1 = w q 1 2 = w + q = c v (T 2 T 1 ) Remarquons que si les deux états 1 et 2 sont voisins, on aura comme précédemment : e = c v T Exercice à traiter par l étudiant. Nous avons traité le cas d une compression isochore. À titre d exercice, traiter de la même façon le cas d une détente isochore faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. Dans ce cas on aura : p 2 < p 1. Vérifier que w 1 2 = 0 et que q 1 2 est négatif. γ Transformation isobare + transformation isochore : variation d énergie interne entre deux états quelconques Nous avons montré que e = c v T pour un chemin isobare et aussi pour un chemin isochore. Prenons alors deux états quelconques 1 et 2 sur la surface d état, c est-à-dire tels que : État 1 : p 1, ρ 1, T 1 avec p 1 = r ρ 1 T 1 État 2 : p 2, ρ 2, T 2 avec p 2 = r ρ 2 T 2

101 4.4. TRANSFORMATIONS THERMODYNAMIQUES DE BASE 95 On peut introduire un chemin fictif allant de l état 1 à l état 2 composé d une transformation isobare (de 1 à 1 ) et d une transformation isochore (de 1 à 2) (voir ces chemins sur la figure 4.18). On a : e 1 e 1 = c v (T 1 T 1 ) ; e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) et donc e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) p p p 2 1/ρ 1 1/ρ 2 1/ρ 2 Fig Chemins isobare et isochore joignant les états 1et 2 Si la même idée est utilisée entre deux états 1 et 2 voisins, on aura comme précédemment : e = c v T Conclusion Entre deux états 1 et 2, on a toujours : et entre deux états voisins quelconques, on a : e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) (4.7) e = c v T δ Transformation isotherme (transformation à température constante) Prenons l exemple d une détente isotherme faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. La pression diminue. Pour cette transformation, on a p 2 < p 1 d où ρ 2 < ρ 1 (en utilisant p = r ρ T et l hypothèse T = cste) (voir la figure 4.19). On peut calculer les énergies mises en jeu : le travail est donné par : w w 1 2 = = r T ρ ( 1 ρ 2 ( ) 1 p d ρ ) dρ = r T = = r T (ln(ρ 2 ) ln(ρ 1 )) = r T ln ρ 2 ρ r ρ T d ρ 1 dρ ( ) 1 = r T ρ Comme ρ 2 < ρ 1, on a w < 0 (le travail des forces de pression est négatif). 1 2 ρ d ( ) 1 ρ

102 96 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE p p p 1 1 p 1 1 1/ρ 1 p 2 2 p 2 2 1/ρ 2 T 2 = T 1 1/ρ T Fig Chemins allant de 1 à 2 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) à température constante la variation d énergie interne par unité de masse est d après la relation (4.7) établie précédemment : e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) = 0 car ici T 2 = T 1. La chaleur reçue par unité de masse passant de l état 1 à l état 2 est telle que : e 2 e 1 = w q 1 2 = 0, soit q 1 2 = w 1 2. La chaleur reçue par l unité de masse est positive. Exercice à traiter par l étudiant. Nous avons traité le cas d une détente isotherme. À titre d exercice, traiter de la même façon le cas d une compression isotherme faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. Dans ce cas on aura : p 2 > p 1. Vérifier que w 1 2 est positif, et que q 1 2 est négatif. ɛ Transformation adiabatique réversible Définition : une transformation est dite adiabatique si la chaleur reçue par le système considéré est égale à 0. Pour un gaz à chaleurs calorifiques constantes, on vérifie expérimentalement que dans une transformation adiabatique, on a : p ρ γ = K 1 (4.8) où K 1 est une constante. Cette loi est vérifiée expérimentalement. Nous l admettons dans ce cours. De la relation (4.8) et de la loi des gaz parfaits p = r ρ T, on déduit : où K 2 et K 3 sont des constantes. En effet : ρ 1 γ T = K 2 ; p 1 γ T γ = K 3 K 1 = p ρ γ = r ρ T ρ γ = r ρ 1 γ T soit ρ 1 γ T = K 1 r K 2 = cste K 1 = p ( ) r T γ ρ γ = p = p 1 γ T γ r γ soit p 1 γ T γ = K 1 p r γ K 3 = cste Considérons une détente adiabatique faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. La pression diminue. On a p 2 < p 1. D où : p 1 γ 2 T γ 2 = p1 γ 1 T γ 1 = K 3. Il vient : T 2 = T 1 (p 2 /p 1 ) (γ 1)/γ et donc T 2 < T 1. Sur la figure 4.20, les courbes dessinées sont représentatives, à gauche de l expression (4.8) c est-à-dire p = K 1 ρ γ, et à droite de l expression p 1 γ T γ = K 3 c est-à-dire p = T γ/(γ 1) K 1/(γ 1) 3.

103 4.5. TRANSFORMATIONS DANS UN TURBO-PROPULSEUR 97 p p p p p 2 2 p 2 2 1/ρ T 1/ρ 1 1/ρ 2 T 2 T 1 Fig Chemins allant de 1 à 2 dans les plans (p, 1/ρ) à et (p, T ) On peut alors calculer les énergies reçues par l unité de masse au cours de la transformation allant de 1 à 2. Comme la transformation est adiabatique, tout au long de la transformation on a p/ρ γ = K 1, et aussi p 1 /ρ γ 1 = p 2/ρ γ 2 = K 1. le travail est : w w 1 2 = = K 1 = 1 γ ( p2 1 2 p d ( ) 1 = K 1 ρ γ d ρ 1 2 ρ γ 2 ρ γ 1 2 ρ γ 1 1 dρ = K 1 γ 1 ) ρ γ 2 ρ γ 1 2 p 1 ρ γ ρ γ = 1 γ 1 (r T 2 r T 1 ) = = c v (T 2 T 1 ) = 1 γ 1 r γ 1 (T 2 T 1 ) ( ) 1 = K 1 ρ γ 1 ρ 1 2 ρ 2 dρ ( p2 p ) 1 ρ 2 ρ 1 On a utilisé (4.6) pour remplacer r/(γ 1) par c v. Comme T 2 < T 1, w est négatif (w < 0). La transformation étant adiabatique, on a : q q 1 2 = 0 La variation d énergie interne par unité de masse est e 2 e 1 = w q 1 2 = w + q, soit : e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) Si les deux états 1 et 2 voisins, remarquons que l on a encore la relation (4.7) : e = c v T. Exercice à traiter par l étudiant. Nous avons traité le cas d une détente adiabatique. À titre d exercice, traiter de la même façon le cas d une compression adiabatique faisant passer l unité de masse de l état 1 à l état 2. Dans ce cas on aura : p 2 > p 1. Vérifier que w 1 2 est positif. 4.5 Transformations dans un turbo-propulseur Rappelons le fonctionnement très schématique d un turbo-propulseur (voir paragraphe 4.1). Nous le représentons sur la figure Transformations dans un turbo-propulseur Suivons une particule de gaz (air) qui entre dans le turbo-propu1seur. Cette particule va subir une série de transformations. Au départ, elle est à la pression et à la température de l atmosphère

104 98 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE air extérieur compression combustion turbine air extérieur Fig Fonctionnement schématique d un turbo-propulseur ambiante (à une altitude donnée), et elle a la masse volumique correspondante donnée par la loi d état. Elle est alors dans l état 1. Elle entre ensuite dans la chambre de compression et, après compression, elle est dans l état 2. La combustion a lieu et après cette phase, la particule fluide est dans l état 3. Elle pénètre ensuite dans la turbine où elle est dans l état 4. Enfin elle sort de la turbine et se trouve à l extérieur du turbo-propulseur dans l état 1. Dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ), on a dessiné successivement les chemins 1 2 puis 2 3, 3 4 et enfin 4 1 (Fig. 4.22). p p p p p 1 p /ρ T Fig Cycle de fonctionnement idéal dans un turbo-propulseur α Compression : passage 1 2 Dans le compresseur, l air est comprimé. On va supposer dans un premier temps que cette compression s effectue de façon adiabatique réversible (sans échange de chaleur avec l extérieur). La pression augmente. On décrit donc cette transformation à l aide de la relation p/ρ γ = cste, valable pour un gaz parfait avec c p et c v constants, (conditions vérifiées pour l air dans une gamme de température pas trop grande avec γ = 1.4). On a aussi p 1 γ T γ = cste en utilisant la loi d état des gaz parfaits (voir paragraphe ɛ). Sur la figure 4.22, le chemin 1 2 correspond à une compression adiabatique (p 2 > p 1 ). β Combustion : passage 2 3 Dans la chambre de combustion, l air mélangé au carburant subit ensuite un échauffement brutal (combustion) que l on décrira comme une transformation à pression constante (isobare) p = cste. Sur la figure 4.22, cette transformation correspond aux chemins 2 3 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ). γ Passage dans la turbine : passage 3 4 Le gaz (air + gaz brulés) se détend en faisant tourner la turbine ; on considère que cette transformation est également adiabatique réversible (sans échange de chaleur avec

105 4.5. TRANSFORMATIONS DANS UN TURBO-PROPULSEUR 99 l extérieur). Il s agit ici d une détente. La pression diminue ainsi que la température, suivant la relation p 1 γ T γ = cste. Cette transformation adiabatique correspond aux chemins 3 4 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) (Fig. 4.22) et ils sont similaires à ceux décrits dans le paragraphe ɛ précédent. δ Refroidissement isobare dans l air extérieur et ralentissement : passage 4 1 La température du gaz à la sortie de la turbine est encore supérieure à la température atmosphérique. Il y a alors refroidissement isobare, par contact avec le voisinage (le gaz sortant chauffe l atmosphère environnante). Par ailleurs, le gaz sort avec une vitesse non nulle, donc avec une certaine énergie cinétique, et il subit un ralentissement avant d être au repos dans l état 1. Cette transformation correspond aux chemins 4 1 dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) de la figure La représentation de cette succession de transformations dans les plans (p, 1/ρ) et (p, T ) est appelée cycle. Ce cycle idéal est appelé cycle de Joule ou cycle de Brayton Calcul des énergies mises en jeu dans chaque transformation On va calculer des énergies massiques (par kg de gaz). On rappelle que, suivant la convention internationale de la thermodynamique, est compté positif tout ce qui est reçu par le gaz, et négatif tout ce qui est fourni par le gaz. 1. Calcul du travail reçu par la particule de gaz au cours de la compression 1 2 Au cours de cette compression adiabatique, on a (voir paragraphe ɛ) : w 1 2 = c v (T 2 T 1 ) ; on a w 1 2 > 0. D autre part, la transformation étant adiabatique, on a : q 1 2 = Calcul de la quantité de chaleur reçue par la particule de gaz au cours de la combustion 2 3 La transformation 2 3 est une transformation isobare. Comme dans le paragraphe α, on a : q 2 3 = c p (T 3 T 2 ) (4.9) avec ici q 2 3 > 0 (le gaz est plus chaud après la combustion). Durant la combustion (isobare), le travail reçu (négatif) est : w 2 3 = r (T 2 T 3 ) avec w 2 3 < Calcul du travail reçu par la particule durant la détente adiabatique dans la turbine 3 4 On a (voir paragraphe ɛ) : w 3 4 = c v (T 4 T 3 ) avec ici w 3 4 < 0. Par ailleurs on a : q 3 4 = Calcul de la quantité de chaleur reçue par le gaz à la sortie du turbo-propulseur 4 1 Cette chaleur est en fait «offerte» à l atmosphère. En effet, le gaz est refroidi dans la transformation 4 1. On a, la transformation étant isobare, (voir paragraphe α) : q 4 1 = c p (T 1 T 4 ) avec q 4 1 < 0 et w 4 1 = r (T 4 T 1 ) et w 4 1 > 0. En utilisant la relation c v + r = c p (voir (4.6)), on vérifie le premier principe, c est-à-dire : car : (w q 1 2 ) + (w q 2 3 ) + (w q 3 4 ) + (w q 4 1 ) = 0 [c v (T 2 T 1 ) + 0] + [r (T 2 T 3 ) + c p (T 3 T 2 )] +[c v (T 4 T 3 ) + 0] + [r (T 4 T 1 ) + c p (T 1 T 4 )] = T 1 ( c v r + c p ) + T 2 (c v + r c p ) + T 3 ( c v r + c p ) + T 4 (c v + r c p ) = 0 La particule de gaz effectue un cycle idéal.

106 100 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE Calcul du travail que doit fournir le compresseur Dans le paragraphe 4.5.2, on a étudié le changement d état de la particule de gaz entre son entrée et sa sortie du compresseur : la particule de gaz passe de l état 1 à l état 2. On a trouvé que w 1 2 = c v (T 2 T 1 ), (w 1 2 > 0). En tenant compte du fait que q 1 2 = 0, on vérifie bien que e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) (qui est toujours vrai lorsqu on considère le gaz comme un gaz parfait à capacités calorifiques constantes). Donc le travail que doit fournir le compresseur est au moins égal au travail nécessaire pour que le gaz change d état. En fait, le travail à fournir est supérieur, car il faut en plus faire avancer le gaz de l entrée vers la sortie, contre un gradient de pression défavorable puisque p 2 > p 1. Examinons ce qui se passe dans le compresseur. On considère comme système Σ, la masse m de gaz qui va entrer dans le compresseur, être comprimé et sortir du compresseur. Les conditions à l entrée du compresseur sont fixées par la donnée de p 1 et T 1. Par la loi p 1 = r ρ 1 T 1, on en déduit la valeur de ρ 1. Le volume du gaz V 1 entrant dans le compresseur est tel que m = ρ 1 V 1. Les conditions à l entrée du compresseur sont donc p 1, ρ 1, T 1. Les conditions à la sortie du compresseur sont p 2, ρ 2, T 2, et sont fixées par la donnée de p 2. Avec p 2 = r ρ 2 T 2 et sachant que la transformation dans le compresseur est supposée adiabatique (la relation (4.8) est vérifiée), on peut calculer p 2 et T 2. En effet de p 2 = r ρ 2 T 2 et de p 2 /ρ γ 2 = K 1 = p 1 /ρ γ 1, on déduit ρ 2 et T 2 en fonction de p 2 et de l état 1 : ( ) (1/γ) p2 ρ 2 = ρ 1 et T 2 = p 2 = p 2 p 1 r ρ 2 r ρ 1 ( ) (1/γ) p2 La masse du gaz sortant du compresseur est toujours m, et son volume V 2 est tel que : m = ρ 2 V 2. Le travail des forces de pression qui agissent sur le système Σ de masse m lors de son passage à travers le compresseur (c est-à-dire pendant son avancement contre le gradient de pression imposé), est : W pression = p 1 V 1 p 2 V 2 = p 1 m p 2 m ρ 1 ρ 2 En effet, le système Σ de masse m reçoit du travail quand le gaz entre dans le compresseur, et en perd quand il sort du compresseur (en sortant le gaz fournit du travail à l extérieur). Par unité de masse on a : w pression = p 1 ρ 1 p 2 ρ 2 = r (T 1 T 2 ) w pression est négatif : le gaz fournit du travail à l extérieur. On note W compresseur le travail total fourni par le compresseur au système considéré. Par le premier principe, on a pour le système Σ de masse m : p 1 E 2 E 1 = W compresseur + W pression En effet, il n y a pas d apport de chaleur car la transformation est adiabatique. Par unité de masse, et sachant que W compresseur = m w compresseur, on a donc : e 2 e 1 = w compresseur + w pression Par ailleurs, d après (4.7) : e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 )

107 4.5. TRANSFORMATIONS DANS UN TURBO-PROPULSEUR 101 d où : w compresseur = e 2 e 1 w pression = c v (T 2 T 1 ) r (T 1 T 2 ) = (c v + r) (T 2 T 1 ) w compresseur = c p (T 2 T 1 ) C est le travail total qui doit être fourni au gaz par le compresseur. Il est positif Puissance mécanique récupérée sur l arbre Comme précédemment, on peut calculer le travail récupéré au passage de la turbine. Pour une masse m de gaz, il y a non seulement le changement d état, mais en plus l avancement du gaz dans la turbine, cette fois avec une différence de pression favorable : p 4 < p 3. Pour la masse m de gaz, son volume passe de V 3 (entrée de la turbine avec les grandeurs p 3, ρ 3, T 3 ) à V 4 (sortie de la turbine avec les grandeurs p 4, ρ 4, T 4 )). Le travail des forces de pression qui agissent sur le système Σ de gaz de masse m lors de son passage dans la turbine est : ( p3 W pression = p 3 V 3 p 4 V 4 = p ) 4 m = r (T 3 T 4 ) m ρ 3 ρ 4 Pour l unité de masse on a donc : w pression = r (T 3 T 4 ) On note W turbine, le travail total fourni au système Σ considéré. Par le premier principe, on a pour le système Σ de masse m : E 4 E 3 = W turbine + W pression En effet, il n y a pas d apport de chaleur car la transformation est adiabatique. Par unité de masse, et sachant que W turbine = m w turbine, on a donc : Par ailleurs, d après (4.7) : Il vient : e 4 e 3 = w turbine + w pression e 4 e 3 = c v (T 4 T 3 ) w turbine = e 4 e 3 w pression = c v (T 4 T 3 ) r (T 3 T 4 ) = (c v + r) (T 4 T 3 ) = c p (T 4 T 3 ) d où : w turbine = c p (T 4 T 3 ) C est le travail total par unité de masse reçu par le gaz ; il est négatif. Le travail w turbine fourni par le gaz à l arbre de la turbine est donc positif. Le travail «net» reçu par l unité de masse de gaz est donc : w net = w turbine + w compresseur = c p (T 4 T 3 ) + c p (T 2 T 1 ) = c p (T 2 T 1 + T 4 T 3 ) (4.10) Si on veut effectivement que l ensemble du turbo-propulseur conduise à un travail récupéré à la sortie du turbo-propulseur positif, (travail récupéré sur l arbre), il est nécessaire que w net soit négatif. Nous supposons dans ce qui suit qu il en est ainsi. On multiplie par le débit massique dm/dt, qui est la quantité de gaz traversant le moteur par unité de temps, pour avoir la puissance récupérée sur l arbre suite au fonctionnement du turbo-propulseur. Elle vaut : P = w net dm (4.11) dt N.B. - Pour les turbo-propulseurs, la puissance est souvent exprimée en chevaux (chevaux vapeur). On rappelle que 1 cv = 736 W.

108 102 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE 4.6 Rendement d un turbo-propulseur - Cycles réels Calcul du rendement thermodynamique du turbo-propulseur Définition Pour le cycle décrit dans le paragraphe 4.5, le rendement η est défini de la façon suivante : η = gain dépense = w net q 2 3 où w net est le travail fourni à l arbre par l unité de masse de gaz, suite à son parcours dans le turbo-propulseur, et q 2 3 la chaleur reçue par l unité de masse de gaz dans l étape de la combustion. D après (4.9) et (4.10) on a : η = c p (T 2 T 1 + T 4 T 3 ) c p (T 3 T 2 ) = (T 2 T 1 + T 4 T 3 ) (T 3 T 2 ) car w net est négatif. En conclusion : η = 1 (T 4 T 1 ) (T 3 T 2 ) (4.12) On rappelle que les étapes 1 2 et 3 4 sont adiabatiques (voir V.3 ɛ) d où : p 1 γ 1 T γ 1 = p1 γ 2 T γ 2 et p 1 γ 3 T γ 3 = p1 γ 4 T γ 4 On déduit : ( ) (1 γ)/γ ( p2 p3 T 1 = T 2 et T 4 = T 3 p 1 p 4 ) (1 γ)/γ Mais p 3 = p 2 et p 1 = p 4. Alors il vient : L expression pour η devient donc : ( ) (1 γ)/γ p2 T 4 = T 3 p 1 η = 1 (T 3 T 2 ) (p 2 /p 1 ) (1 γ)/γ (T 3 T 2 ) η = 1 ( p2 p 1 ) (1 γ)/γ (4.13) On voit que le rendement fait intervenir le taux de compression p 2 /p 1. Dans le graphe de la figure 4.23, nous donnons η en fonction de p 2 /p 1. Remarques Le rendement η croît avec p 2 /p 1 car (1 γ)/γ est négatif (on rappelle que γ est toujours plus grand que 1 et que sa valeur est 1.4 pour l air). En effet, quand p 2 /p 1 augmente, (p 2 /p 1 ) (1 γ)/γ diminue et η augmente. Par exemple pour p 2 /p 1 = 8, on trouve η = 0.45.

109 4.6. RENDEMENT D UN TURBO-PROPULSEUR - CYCLES RÉELS η 0,5 0-0,5 p 2 /p Fig Le rendement η en fonction du taux de compression p 2 /p Cycles réels Une des caractéristiques du cycle idéal ou cycle de Brayton est que le travail utilisé pour faire tourner le compresseur représente une part importante du travail délivré par la turbine. Dans un cycle réel, les transformations 1 2 et 3 4 ne sont pas réellement adiabatiques et ne sont pas réversibles : il y a des pertes par conduction de la chaleur et par viscosité. De même la transformation 2 3 n est pas exactement isobare. De tout ceci, il va résulter un travail récupéré sur l arbre qui sera inférieur au travail calculé sur le cycle idéal. D autre part, comme le travail utilisé pour faire tourner le compresseur représente une part importante du travail délivré par la turbine, on peut arriver rapidement dans le cas d un cycle réel, à une situation extrême où la turbine ne sert plus qu à entraîner le compresseur (et plus du tout à entraîner l hélice). Il est possible de «corriger» les calculs faits précédemment et de calculer un rendement plus proche de la réalité expérimentale. Ceci est fait dans des cours plus avancés Ordres de grandeur pour des turbo-propulseurs industriels Lorsque l on fournit les caractéristiques d un turbo-propulseur on indique essentiellement sa puissance maximale sur l arbre en chevaux vapeur (ou en «SHP» pour «shaft horse power»), sachant que 1 cv = 736 W. Donnons pour finir quelques exemples de turbo-propulseurs et leur puissance : Turbo-propulseur AiResearch TPE l0ua- 511 G : 1000 cv. Turbo-propulseurs PT6 de Pratt et Whitney - Canada. La famille des turbo-propulseurs PT6 représente, dans sa catégorie, le moteur le plus vendu du monde, avec plus de moteurs produits (au 14 octobre 2004). La gamme de puissance va de 580 cv à 2000 cv sur l arbre. Le premier moteur PT6 date de À la date d aujourd hui, la famille PT6 compte plus de 260 millions d heures de fonctionnement. Pratt et Whitney - Canada est un leader mondial parmi les motoristes équipant les avions d affaire, les appareils de l aviation générale, les avions de transport, et les hélicoptères. Turbo-propulseur TP400-D6 (qui équipera le futur avion militaire européen A400M. C est un moteur triple corps de cv. Quatre motoristes sont en charge de la conception, du développement, et de la production du TP400-D6 : SNECMA moteurs (France), Rolls-Royce

110 104 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE (Grande-Bretagne), MTU Aeroengines (Allemagne), ITP (Industria de Turbo-Propulsores - Espagne). Le calendrier prévoit la livraison de 1 A400M à partir de Les turbo-propulseurs sont moins bruyants, et consomment moins de kérosène qu un turboréacteur. Ils sont utilisés pour la propulsion des avions à faible vitesse (c est-à-dire inférieure à 750 km/h).

111 4.7. EXERCICES AVEC CORRECTION Exercices avec correction Objectif. Les exercices avec corrigés présentés ci-après sont des applications directes du cours, et en illustrent plusieurs aspects Exercice 1 : Transfert et conversion d énergie On se propose d étudier le cas d un gaz enfermé entre les parois d un récipient et un piston de masse négligeable sur lequel repose une masse M. Le système est initialement à l équilibre et sa température est notée T 1. Enfin on suppose que les contacts entre le piston et le récipient se font sans frottement et restent hermétiques tout au long de l étude. On note S la surface du piston. Les expériences décrites ci-après sont réalisées dans le champ de la pesanteur avec g = g e z (Fig. 4.24). On notera p atm la pression atmosphérique ambiante. z g masse M masse M 2 gaz gaz flamme (a) (b) Fig Exercice 1 : Transfert et conversion d énergie 1) Première expérience On chauffe le gaz pendant un certain temps (Fig. 4.24a). Considérons l équilibre du piston seul dans ses positions d équilibre initiale et finale. On note 1 et 2 respectivement l état initial et l état final. Déterminer la pression p 2. Que peut-on dire sur T 2? Que peut-on dire sur ρ 2? Le gaz étant dans l état final avec p 2, ρ 2 et T 2, on laisse le gaz se refroidir pour revenir à la température T 1. Le piston revient-il à sa position initiale? 2) Deuxième expérience On reprend le gaz dans l état initial avec p 1, ρ 1 et T 1. On remplace les parois du récipient par des parois adiabatiques, c est-à-dire empêchant tout transfert de chaleur. On veut enfoncer le piston, lui aussi adiabatique, en augmentant la masse qu il supporte (Fig. 4.24b). Celle-ci prend la valeur M 2. Que se passe t-il pour le gaz? Corrigé 1) État initial : le piston est en équilibre sous l effet de trois forces :

112 106 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE D où : poids de la masse posée sur le piston : M g = M g e z, efforts de pression de l air extérieur sur le piston : p atm S e z, efforts de pression de l air contenu dans le récipient : p 1 S e z. p atm S + p 1 S M g = 0 p 1 p atm = M S g État final : on note p 2 la pression de l air dans le récipient. Le piston est en équilibre sous l effet de trois forces : poids de la masse posée sur le piston : M g = M g e z, efforts de pression de l air extérieur sur le piston : p atm S e z, efforts de pression de l air contenu dans le récipient : p 2 S e z. D où : p 2 p atm = M S g En conclusion on a : p 2 = p 1. L air est considéré comme un gaz parfait donc : p 1 = r ρ 1 T 1 et p 2 = r ρ 2 T 2. On en déduit que ρ 1 T 1 = ρ 2 T 2. La température T 2 est supérieure à T 1 (on a chauffé le gaz du récipient), donc ρ 2 < ρ 1. Maintenant le gaz est refroidi et revient à la température T 1. La transformation est réversible, et il n y a aucune perte. Le gaz revient à son état initial (p 1, ρ 1, T 1 ). 2) État initial : le piston est en équilibre sous l effet de trois forces, comme dans l état initial de la question précédente. D où : p 1 p atm = M S g État final : dans l état final, on note p 2 la pression de l air dans le récipient. Le piston est en équilibre sous l effet des trois forces : poids de la masse posée sur le piston : M 2 g e z, efforts de pression de l air extérieur sur le piston : p atm S e z, efforts de pression de l air contenu dans le récipient : p 2 S e z. D où : p 2 p atm = M 2 S g En conclusion on a : p 2 = p 1 + M 2 M g S La pression p 2 est plus grande que p 1. Par unité de masse, le travail et la chaleur reçus par le gaz sont, avec les notations du cours : w 1 2 ; q 1 2 La transformation 1 2 est adiabatique, donc q 1 2 = 0. Donc d après le cours : e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) = w q 1 2 = w 1 2 Le gaz est un gaz parfait donc p 1 = r ρ 1 T 1 et p 2 = r ρ 2 T 2. La transformation 1 2 est adiabatique. Par suite on a : p 1 /ρ γ 1 = p 2 /ρ γ 2 (voir paragraphe 4.4, formule (4.8)). Donc : ( ) p γ 2 ρ1 = = ρ ( ) 2 T 2 T γ 1 2 ρ1 et = p 1 ρ 2 ρ 1 T 1 T 1 ρ 2 En conclusion on a : p 2 p 1 > 0 ; ρ 2 ρ 1 < 0 ; T 2 T 1 > 0

113 4.7. EXERCICES AVEC CORRECTION Exercice 2 : Loi d état Un diagramme d Amagat (Émile Hilaire Amagat ( )) est un moyen de représenter les courbes isothermes d un gaz. Il s agit de tracer, à T constante, le rapport pression sur masse volumique en fonction de la pression (p/ρ = f(p)), où f(p) est une fonction de p. Un exemple de ce type de diagramme est donné sur la figure 4.25a pour du dioxyde de carbone (CO 2 ). Dans le cas des faibles pressions, les isothermes d Amagat sont des droites et sont représentées sur la figure 4.25b. p/ρ (MPa.kg 1.m 3 ) (CO p/ρ (MPa.kg 1.m 3 2 ) ) (CO 2 ) 0,14 0, K 700 K 0, K 0, K 0, K 0, K 0, K 0, K 0, K 0, K 0, p (MPa) (a) 0,04 0 0,2 0,4 (b) p (MPa) Fig Exercice 2 : Diagramme d Amagat 1. Pour les faibles pressions, parmi les cinq isothermes du diagramme d Amagat (Fig. 4.25b), peut-on dire (et justifier) à quelles températures, le dioxyde de carbone a un comportement proche de celui d un gaz parfait. 2. Toujours pour des pressions faibles, on considère un autre gaz réel, ayant une loi d état semblable au dioxyde de carbone. On a mesuré les différents états suivants : Corrigé État 1 : p = 10 5 Pa, ρ = 1.30 kg.m 3, T = K, État 2 : p = Pa, ρ = 2.65 kg.m 3, T = K, État 3 : p = Pa, ρ = 2.16 kg.m 3, T = Θ, État 4 : p = Pa, ρ = 1.06 kg.m 3, T = Θ. Placer les états 1, 2, 3 et 4 sur le diagramme d Amagat. Tracer sur ce même diagramme les isothermes T = K et T = Θ. 1. Un gaz parfait vérifie la loi des gaz parfaits : p = r ρ T. Si T = cste, alors p/ρ = cste. La courbe représentative de la fonction p/ρ en fonction de ρ est alors une parallèle à l axe des abscisses. Pour des températures de l ordre de 600 K à 700 K les droites dessinées sur la figure 4.25b sont parallèles à l axe des abscisses. En conclusion, pour des températures de l ordre de 600 K à 700 K, le dioxyde de carbonne se comporte comme un gaz parfait.

114 108 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE 2. Pour les quatre états donnés, on calcule p/ρ. Il vient : État 1 : p = 10 5 Pa, p/ρ = Pa.kg 1.m 3 avec T = K, État 2 : p = Pa, p/ρ = Pa.kg 1.m 3 avec T = K, État 3 : p = Pa, p/ρ = Pa.kg 1.m 3 avec T = Θ, État 4 : p = Pa, p/ρ = Pa.kg 1.m 3 avec T = Θ. Ces quatre points sont placés sur le diagramme d Amagat (Fig. 4.26). Les isothermes T = K et T = Θ sont les droites joignant les points 1 et 2 d une part et 3 et 4 d autre part. p/ρ (MPa.kg 1.m 3 ) 0,10 0,09 0,0943 0, T = Θ 3 0,08 0,07 0,0769 0, T = 273,15 K 2 p (MPa) 0 0,1 0,2 Fig Exercice 2 : Points 1, 2, 3, Exercice 3 : Transformations thermodynamiques On considère un gaz parfait à capacités calorifiques c v et c p constantes. Une masse m de ce gaz est contenu dans un volume V à l aide d un piston. On réalise quatre expériences correspondant aux quatre transformations thermodynamiques suivantes : Expérience 1 : la transformation est isochore (c est-à-dire à volume constant). Expérience 2 : la transformation est isobare (c est-à-dire à pression constante). Expérience 3 : la transformation est adiabatique réversible (c est-à-dire sans échange de chaleur avec l extérieur). Expérience 4 : la transformation est isotherme (c est-à-dire à température constante). Pour chacune de ces expériences, on passe d un état 1 (initial) à un état 2 (final). En considérant l unité de masse, et pour chacune d elles, donner : e = e 2 e 1, q 1 2 et w 1 2. Corrigé Sur les quatre figures qui suivent, on a représenté les quatre expériences. Les résultats demandés sont donnés sur les figures. Ces résultats sont, en fait, ceux obtenus dans le paragraphe du cours.

115 4.7. EXERCICES AVEC CORRECTION 109 Transformation isochore (volume constant) ρ 1 = ρ 2 V échauffement e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) w 1 2 = 0 q 1 2 = c v (T 2 T 1 ) Compression isochore (p et T augmentent) Fig Exercice 3 : Transformation isochore Transformation isobare (pression constante) p 1 = p 2 p = p ext p = m g/s V p = p ext V e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) w 1 2 = p 1 (v 2 v 1 ) = r (T 1 T 2 ) q 1 2 = c p (T 2 T 1 ) 2 Refroidissement isobare (p augmente, T diminue) Expansion isobare (p diminue, T augmente) glace Fig Exercice 3 : Transformation isobare

116 110 CHAPITRE 4. ÉNERGÉTIQUE piston poussé piston tiré très rapidement très rapidement (< 1 min., par exemple) Transformation adiabatique V Q = 0 V e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) w 1 2 = e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) q 1 2 = 0 Compression adiabatique (T, p augmentent) (ρ augmente) Détente adiabatique (T, p diminuent) (ρ diminue) Fig Exercice 3 : Transformation adiabatique Transformation isotherme (température constante) T 1 = T 2 piston poussé lentement piston tiré lentement T V Compression isotherme (p augmente, ρ augmente) (T ) eau courante T Détente isotherme (p diminue, ρ diminue) V e 2 e 1 = c v (T 2 T 1 ) = 0 w 1 2 = r T 1 ln ρ 2 ρ 1 q 1 2 = w 1 2 Fig Exercice 3 : Transformation isotherme

117 Chapitre 5 Acoustique D après le livre «Acoustique générale», C. Potel et M. Bruneau, Ellipses, Paris, 2006, et d après les documents «Travaux Dirigés de , Université Pierre et Marie Curie», de Q. Grimal. 5.1 Introduction L acoustique est souvent considérée comme étant la plus ancienne des disciplines scientifiques de la physique. Son développement s est accéléré ces quarante dernières années, période au cours de laquelle son champ d applications s est étendu au domaine médical (échographie,... ) et industriel (contrôle non destructif des matériaux,... ). Science du son, l acoustique en étudie la production, la transmission, la détection et les effets. Notons que la notion de son n est pas attachée uniquement aux phénomènes aériens responsables de la sensation auditive, mais aussi à tous les autres phénomènes qui sont gouvernés par des propriétés physiques analogues. C est ainsi que les perturbations trop «graves» (infrasons) ou trop «aiguës» (ultrasons) pour être perçues par l oreille humaine sont appelées «sons». Les phénomènes liés à la propagation acoustique sous-marine, la propagation acoustique dans les solides,... sont des domaines étudiés en acoustique. L acoustique se distingue de l optique et des ondes radioélectriques parce que le son est un mouvement ondulatoire mécanique et non une onde électromagnétique. La première ne se propage que dans la matière, contrairement à la seconde qui se propage dans le vide. En d autres termes, les domaines tels que la parole, la musique, l enregistrement et la reproduction des sons, la téléphonie, l amplification, l audiologie, l acoustique architecturale, le contrôle acoustique sont intimement liés à la sensation auditive. Mais le son est aussi un moyen de transport de l information qui ne fait pas référence à l oreille humaine : par exemple, la communication sous-marine est la propagation du son dans un milieu complexe, l échographie qui exploite le fait que la perturbation sonore transmise dépend des milieux traversés est largement utilisée dans le domaine médical, Historique Même si les premières études sur les phénomènes acoustiques remontent au 6 e siècle avant J.-C., avec l école Pythagorienne, les découvertes faites dans les grottes montrent que, quelques millénaires avant J.-C., les hommes préhistoriques s intéressaient déjà à l acoustique. Quelques traces de divers instruments pouvant produire des sons ont ainsi été découvertes ; en effet, les hommes du Paléolithique ont laissé des instruments émetteurs de signal sonore : des instruments de musique (flûte) ou les phalanges sifflantes, voir le site : 111

118 112 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE L intérêt porté par l homme aux phénomènes sonores remonte donc à la nuit des temps, mais cet intérêt ne fut pas, dès l origine, d ordre scientifique. Les premières recherches concernant les phénomènes sonores datent du 6 e siècle avant l ère chrétienne. En effet, c est à cette époque que l école Pythagorienne se pencha sur le fonctionnement des cordes vibrantes et construisit une échelle musicale. Par la suite, des réflexions et des observations visant à découvrir la nature du phénomène sonore se sont déroulées sur plusieurs siècles. L hypothèse que le son est une onde émise par le mouvement de l air remonte ainsi aux Grecs. La théorie mathématique de la propagation sonore a commencé avec Isaac Newton ( ), célèbre mathématicien, astronome et philosophe anglais. Puis des progrès importants apparurent au 17 e siècle avec le suisse Léonhard Euler ( ), les français Joseph-Louis de Lagrange ( ) et Jean Le Rond d Alembert ( ). Depuis lors, les théories, aussi complexes soient-elles, sont considérées, pour la plus grande part, comme des raffinements de celles qui datent de cette époque. L analyse des sons complexes a été effectuée expérimentalement par le physiologiste et physicien allemand, Hermann von Helmholtz ( ) au moyen de résonateurs qui portent son nom, voir le site : Il faut encore ajouter les travaux sur la fréquence des sons du physicien français Félix Savart ( ) dont les résultats avaient déjà été pressentis par le célèbre musicien Jean-Philippe Rameau ( ), puis par le mathématicien français Gaspard Monge ( ) Notion d onde mécanique Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage. C est une information que l on transmet à son voisin par changement de position. À une onde correspond un certain type de mouvement des molécules du milieu au travers duquel l onde se propage, ces molécules restant en moyenne dans leur état d équilibre. Dans un mouvement ondulatoire, ce n est pas la matière qui se propage, mais l état de mouvement de la matière. Définition On désigne par particule un volume de matière à la fois suffisamment grand pour contenir un très grand nombre de molécules, et suffisamment petit pour que les grandeurs physiques puissent y être considérées comme constantes. Comme exemple on peut envisager un petit cube de 1 mm 3 dans un grand cube de béton de 50 m de côté. Ondes de compression Le mouvement des particules au passage de l onde peut s effectuer parallèlement à la direction de propagation de l onde. On dit que l on a une onde de compression. À titre d exemple, considérons le mouvement des spires d un ressort. Sur la figure 5.1, les positions des spires du ressort sont dessinées à des instants différents. On peut y voir aussi les positions d une même spire à des instants différents. Sur la figure 5.2, le mouvement des particules du gaz contenu dans un tube est dû au mouvement oscillatoire du piston placé à gauche. Les niveaux de gris indiquent les niveaux de la pression (et aussi de la masse volumique du gaz) ; les zones plus sombres correspondent à des pressions et des masses volumiques plus élevées ; les zones plus claires correspondent à des pressions et des masses volumiques moins élevées. On peut voir les positions de ces zones à des instants différents.

119 5.1. INTRODUCTION 113 instant t masse attachée au ressort instant t 1 instant t 2 Fig. 5.1 Vibrations des spires d un ressort haute pression basse pression piston instant t instant t 1 F instant t 2 Fig. 5.2 Mouvement oscillatoire du gaz Ondes de cisaillement Le mouvement des particules au passage de l onde peut s effectuer perpendiculairement à la direction de propagation de l onde. On dit que l on a une onde de cisaillement. À titre d exemple, considérons le mouvement des masselettes reliées par des ressorts (Fig. 5.3). Les masselettes se déplacent de haut en bas à mesure que l impulsion se déplace de la gauche vers la droite. On peut suivre la position de l une des masselettes à des instants différents. Sur la figure 5.3, on a aussi dessiné la forme d une corde à des instants différents. Une onde de flexion créée à l instant initial se déplace de gauche à droite Grandeurs caractéristiques d une onde Lors de la propagation d une onde dans un milieu, les particules constituant la matière oscillent au passage de l onde, le mouvement étant transmis de particule à particule. Une onde peut être décrite par un certain nombre de grandeurs physiques relatives à une particule (centrée en M) et qui évoluent en fonction du temps t et de la position M. Considérons de l air initialement au repos. Les grandeurs physiques que l on peut attacher à la particule centrée en M sont, par exemple : le vecteur déplacement de la particule par rapport à sa position au repos : u, la fluctuation de la pression, c est-à-dire la différence entre la pression réelle de l air et la pression de ce même air au repos,

120 114 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE mouvement autorisé instant t 4 instant t 3 instant t 2 instant t 1 instant t 0 Fig. 5.3 Ondes de cisaillement la fluctuation de la masse volumique, c est-à-dire la différence entre la masse volumique réelle de l air et la masse volumique de ce même air au repos. piston plan d air 0 x u(x, t) u(0, t) = A sin(ω t) u(x, t) = A sin{ω (t x/c)} Fig. 5.4 Mouvement de l air créé par le piston À titre d exemple, considérons un piston P plan (Fig. 5.4) situé dans le plan x = 0 et animé d un déplacement sinusoïdal défini par x = A sin(ω t). Le piston en mouvement met l air dans son voisinage en mouvement. Le mouvement de l air se transmet ensuite de proche en proche. Ainsi la particule d air, située en M d abscisse x à l instant t = 0, effectue des mouvements de va et vient autour de ce point x. Le déplacement de cette particule d air représentée par le point M est : u = u e x, où e x est le vecteur unitaire de l axe (O, x) : { ( u = A sin ω t x )} c (5.1) On dira que l on a une onde acoustique émise dans l air par le piston P. Pour cette onde, on définit : la vitesse ou célérité de l onde : c l amplitude de l onde : A la pulsation de l onde : ω la fréquence de l onde : f = ω/(2 π)

121 5.1. INTRODUCTION 115 avec : On peut aussi écrire de manière équivalente : { u = A sin 2 π ( t T x )} λ la période de l onde T : T = 2 π/ω la fréquence de l onde f : f = ω/(2 π) = 1/T la longueur d onde λ : λ = c T le nombre d onde k : k = ω/c = 2 π/λ la phase globale de l onde : (ω t k x) En introduisant le nombre d onde k, on peut écrire : (5.2) u = A sin(ω t k x) (5.3) Remarque Ces différentes notions seront illustrées dans la suite du cours. Mais dès maintenant, faisons une remarque sur la notion de fréquence. La fréquence d une onde est la «rapidité» avec laquelle la particule oscille autour de sa position moyenne, c est-à-dire le nombre de «va et vient» que fait la particule en une seconde. La notion de fréquence est donc une notion essentielle en acoustique. Elle est liée à la répétition d un mouvement. Nous avons considéré dans les expressions (5.1), (5.2) et (5.3) un mouvement sinusoïdal. Mais il faut bien noter que l on peut considérer des mouvements périodiques, mais pas nécessairement sinusoïdaux. Pour des mouvements périodiques, on peut naturellement définir une période et une fréquence. L unité pour mesurer une fréquence est le hertz ou Hz : 1 Hz = 1 s 1. Comme exemple, la note «la» du diapason a la fréquence 440 Hz Transmission acoustique Dans l exemple présenté dans le paragraphe précédent, on a vu que l onde émise par le piston en x = 0 se propageait dans l air pour arriver au point d abscisse x. Ce phénomène de transmission est un phénomène très important en acoustique. Le phénomène de transmission acoustique met en jeu trois éléments : un émetteur, un récepteur et un milieu de propagation. À titre d exemple, la figure 5.5 présente le parcours du bruit dans un cas concret de la vie de tous les jours : la source de bruit est ici un engin de chantier ou un hélicoptère, le récepteur est l oreille et le milieu de propagation est l air ou la structure des bâtiments. Fig. 5.5 Phénomène de transmission acoustique

122 116 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE Mouvements acoustiques - Domaine audible Ultrasons fréquence (Hz) pression (Pa) 1 0 Domaine audible pour l oreille humaine Domaine pris en compte pour l acoustique du bâtiment Sons aigus Sons médiums Sons graves pression (Pa) ,005 temps (s) 0,01 0,005 temps (s) 0,01 Infrasons 20 pression (Pa) ,005 temps (s) 0,01 Fig. 5.6 Domaine audible, infrasons et ultrasons L étude de la propagation des ondes dans un milieu fluide compressible (air par exemple), dans des situations simples (fluide au repos) fait essentiellement intervenir une grandeur physique, à savoir la fluctuation de pression. La fluctuation de pression est la différence entre la pression réelle de l air et la pression de ce même air au repos. Le son est caractérisé par une fréquence, c est-à-dire le nombre de fluctuations de pression par seconde. Par exemple, le mouvement oscillant d une membrane de haut-parleur dans l air engendre un son (dont l origine est précisément due à la fluctuation de la pression) qui se propage dans l air. L oreille humaine est sensible à des sons compris entre 20 Hz et Hz. Les ondes dont les fréquences sont inférieures à 20 Hz sont appelées «infrasons» et celles pour des fréquences supérieures à Hz «ultrasons». Ceci est illustré sur la figure 5.6 (voir : Ordres de grandeur de la pression acoustique Définition. On appelle «pression acoustique» ou «pression sonore» la fluctuation de pression. La pression acoustique s exprime en pascal (Pa). La pression acoustique peut être positive, négative ou nulle. Le niveau de la pression acoustique quantifie l amplitude du son. Cependant l oreille humaine, est un récepteur ultrasensible, et elle détecte les sons dont l amplitude varie de Pa à 20 Pa. La pression acoustique la plus faible Pa correspond au seuil d audibilité, et la pression acoustique la plus forte 20 Pa au seuil de douleur. Pour comparaison, la pression

123 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE 117 pression sonore amplitude compression (pression max.) pression atmosphérique Période (en seconde) dépression (pression min.) temps Fig. 5.7 La pression acoustique atmosphérique est de l ordre de 10 5 Pa, et les variations météorologiques de la pression atmosphérique de l ordre de Pa. Sur la figure 5.7, on donne un exemple de variation sinusoïdale pour la pression acoustique ou pression sonore (figure extraite d un cours de J.-D. Polack (Cours LA 101, Université Pierre et Marie Curie, 2007)). La plage pour la pression acoustique allant de Pa à 20 Pa est très étendue. Afin d avoir une échelle plus raisonnable, il est d usage d utiliser une échelle logarithmique pour mesurer le niveau sonore. On introduit alors une nouvelle unité appelée décibel et notée «db». Ceci sera fait et commenté dans la dernière partie de ce cours (partie 5.4). Dans les trois paragraphes suivants, nous présentons l équation des ondes transversales dans une corde, l équation des ondes dans un tube puis quelques éléments de perception acoustique et d environnement sonore. 5.2 Équations des ondes dans une corde Dans ce paragraphe, nous allons établir l équation des ondes dans une corde, puis nous étudierons deux types de solutions, les ondes propagatives et les ondes stationnaires. Mais en préliminaire, nous introduisons la notion de fonction de deux variables et de dérivées partielles Fonctions de deux variables et dérivées partielles De nombreuses fonctions en physique dépendent de plusieurs variables : par exemple la température à la surface du globe dépend à la fois du point où on se trouve et de l heure à laquelle on fait le relevé. Mathématiquement parlant, on appelle ceci une fonction de plusieurs variables (ici, trois variables scalaires à savoir l heure, la latitude et la longitude). Soit f(x, t) une fonction de deux variables, x et t. On peut avoir besoin de dériver f(x, t) par rapport à chacune de ces variables séparément. On appelle dérivée partielle par rapport à x la dérivée de f(x, t) par rapport à la variable d espace x, le temps t étant considéré constant. Ceci est noté : f x De même, on peut définir la dérivée partielle par rapport à t, la variable d espace x étant considérée constante, d où : f t

124 118 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE Le symbole est appelé «d ronde». Il ne faut pas le confondre avec le «d droit» utilisé pour les dérivées d une fonction d une seule variable. On peut dériver à nouveau par rapport à l une ou l autre des variables et on obtient : 2 f t 2 = ( f/ t) t 2 f t x = ( f/ x) t ; ; 2 f x 2 = ( f/ x) x 2 f x t = ( f/ t) x On vérifie que, pour la plupart des fonctions rencontrées en physique et mécanique, on peut permuter l ordre des dérivées partielles 2 f t x = 2 f x t Exemples : Soit f(x, t) = 5 t x 2 t et g(x, t) = sin(x 2 t). On a : f t = 15 t2 + 2 x 2 ; f x = 4 x t ; 2 f t 2 = 30 t ; 2 f x 2 = 4 t ; 2 f t x = 2 f x t = 4 x g t = x2 cos(x 2 t) ; 2 g t 2 = x4 sin(x 2 t) ; 2 g t x = g x = 2 x t cos(x2 t) 2 g x 2 = 2 t cos(x2 t) (2 x t) 2 sin(x 2 t) 2 g x t = 2 x cos(x2 t) 2 x 3 t sin(x 2 t) Équation des ondes transversales dans une corde Le but de ce paragraphe est d établir l équation des ondes pour un cas simple : il s agit des ondes dans une corde. Comme corde, on peut penser à une corde de piano ou de guitare. Considérons une corde de masse linéique µ (masse par unité de longueur de corde) supposée constante. La corde est soumise à une tension T en ses deux extrémités. On cherche à établir l équation des ondes transversales dans cette corde. On considère une corde au repos. Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, x, y) (Fig. 5.8a), elle coïncide avec l axe des abscisses (O, x). On suppose que cette corde ne se déplace que perpendiculairement à sa position de repos. On note u(x, t) le déplacement du point M de la corde d abscisse x et à l instant t. De plus, on note α(x, t) l angle que fait la corde avec sa direction au repos (on supposera α(x, t) très petit devant un). Cette hypothèse va nous permettre de linéariser toutes les fonctions trigonométriques. Enfin on néglige le poids de la corde par rapport aux autres forces. Application du principe fondamental de la dynamique On considère une petite portion MN de la corde, de longueur δx. Lorsque la corde est au repos, les deux points M et N sont voisins et ont pour abscisses x et x + δx. La masse de la portion de corde MN est µ δx. Lorsque la corde est en mouvement, à l instant t elle occupe une nouvelle position (Fig. 5.8b). À l instant t, pour les points M et N qui se sont déplacés parallèment à l axe (O, y), on introduit leurs déplacements u(x, t) et u(x + δx, t). Sur la figure 5.8b et aussi dans ce qui suit, afin d alléger les notations, on ne fait pas figurer la variable t.

125 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE 119 y T (x + δx) M N α(x) α(x + δx) T (x) u(x) u(x + δx) (b) Corde à l instant t 0 x x + δx x y M N (a) Corde au repos 0 x x + δx x Fig. 5.8 Petit déplacement d une corde On applique le principe fondamental de la dynamique au petit élément MN de corde. Celuici implique que le produit de la masse de MN par son accélération est égal à la somme des forces extérieures appliquées à MN. On obtient : µ δx ü(x) = T (x) + T (x + δx) (5.4) La quantité ü(x) représente l accélération du point M, et aussi celle du morceau de corde MN car MN est petit. Le vecteur T (x) est la force exercée par la partie gauche de la corde sur l élément MN. De même, le vecteur T (x + δx) est la force exercée par la partie droite de la corde sur l élément MN. Les vecteurs T (x) et T (x + δx), correspondent aux efforts de tension dans la corde. Ces vecteurs sont respectivement tangents à la corde en M et en N. On notera T (x) et T (x + δx) les modules de ces deux vecteurs. Enfin le poids de MN a été négligé. Obtention de l équation des ondes transversales dans la corde Nous allons projeter l équation vectorielle (5.4) sur les deux axes (O, x) et (O, y) (Fig. 5.8b). On introduit les deux angles α(x) et α(x + δx), comme indiqué sur la figure. On introduit aussi les deux composantes u x (x) et u y (x) du vecteur u(x) sur les axes (O, x) et (O, y). Par projection sur (O, x), il vient : µ δx ü x (x) = T (x) cos(α(x)) + T (x + δx) cos(α(x + δx)) On suppose que α(x) est très petit. Ainsi cos(α(x)) et cos(α(x+δx)) sont approximativement égaux à 1, ce qui permet décrire l équation précédente sous la forme : µ δx ü x (x) = T (x) + T (x + δx) Le problème considéré est l étude des vibrations transversales de la corde. Autrement dit, le mouvement est supposé être seulement suivant la direction (O, y), ce qui signifie que et u x (x) 0. L équation projetée sur (O, x) devient donc : 0 = T (x) + T (x + δx)

126 120 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE d où l on déduit que T (x) est une constante sur toute la corde. On posera T (x) = T dans la suite. Par projection de l équation (5.4) sur (O, y), il vient : µ δx ü y (x) = T sin(α(x)) + T sin(α(x + δx)) On suppose toujours que α(x) est très petit. Ainsi sin(α(x)) α(x) et sin(α(x+δx)) α(x+δx). Ceci permet décrire l équation précédente sous la forme : µ δx ü y (x) = T α(x) + T α(x + δx) = T (α(x + δx) α(x)) α(x + δx) α(x) µ ü y (x) = T δx ce qui donne, en utilisant le fait que δx est infinitésimal (δx 0) : µ ü y (x) = T α(x) x Par ailleurs, sur la figure 5.8b, on voit, sur le petit triangle rectangle dont l hypoténuse est MN, que : Finalement, α(x) sin(α(x)) = u y(x + δx) u y (x) δx µ ü y (x) = T x ( ) uy (x) x u y(x) x = T 2 u y (x) x 2 (5.5) En réintroduisant la variable temps t dans l équation (5.5), celle-ci s écrit : µ 2 u y (x, t) t 2 = T 2 u y (x, t) x 2 (5.6) C est l équation des ondes transversales dans la corde. Vitesse de propagation des ondes L équation (5.6) des ondes transversales dans la corde s écrit aussi : 2 u y (x, t) t 2 T µ 2 u y (x, t) x 2 = 0 (5.7) La dimension de T est celle d une force c est-à-dire masse longueur (temps) 2 ; la dimension de µ est celle d une masse par unité de longueur soit masse (longueur) 1. On voit donc que la dimension de T /µ est (longueur) 2 (temps) 2. C est donc une vitesse au carré. On introduira donc la vitesse c définie par : Équation des ondes transversales dans une corde c = T /µ (5.8) On introduit une simplification dans les notations en posant : u y (x, t) = u(x, t). L équation (5.7) devient : 2 u(x, t) t 2 c 2 2 u(x, t) x 2 = 0 (5.9) La vitesse c est la vitesse de propagation (célérité) des ondes transversales dans la corde, comme ceci va être mis évidence dans le paragraphe suivant.

127 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE Ondes dans une corde, modes propagatifs Dans le paragraphe qui précède, nous avons déterminé l équation (5.9) des ondes transversales dans une corde. Nous allons maintenant en chercher des solutions, les étudier et donner quelques applications. Solution de l équation des ondes Considérons une fonction de la forme ou (S1) : u 1 (x, t) = U 1 (x + c t) (S2) : u 2 (x, t) = U 2 (x c t), où U 1 (x+c t) et U 2 (x c t) sont deux fonctions d une seule variable ; c est la variable z = x+c t dans le premier cas et la variable z = x c t dans le second cas. Il est facile de vérifier que : U 1 (x + c t) t = c U 1, 2 U 1 (x + c t) t 2 = c 2 U 1, U 1 (x + c t) x = U 1, 2 U 1 (x + c t) t 2 = U 1 Les notations et correspondent aux dérivées première et seconde de U 1 (z) par rapport à z. En conséquence, l équation (5.9) est vérifiée car : 2 U 1 (x + c t) t 2 c 2 2 U 1 (x + c t) x 2 = c 2 U 1 c 2 U 1 = 0 Le calcul est similaire pour la fonction U 2 (x c t). On admettra que toute solution de l équation des ondes (5.9) est nécessairement de la forme (S1) ou (S2), ou bien une combinaison linéaire des deux. Description des solutions (S1) et (S2) u = U 2 (x) (a) Instant t = 0 0 x 0 u = U 2 (x c t 0 ) x (b) Instant t 0 0 x 0 + c t 0 x u = U 2 (x c t 1 ) (c) Instant t 1 0 x 0 + c t 1 Fig. 5.9 Onde propagative x Les fonctions de la forme U 2 (x c t) correspondent à des ondes qui se propagent dans le sens des x croissants ; les fonctions de la forme U 1 (x+c t) correspondent à des ondes qui se propagent dans le sens des x décroissants. Pour s en convaincre, on considère les schémas de la figure 5.9.

128 122 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE On représente (Fig. 5.9a) une perturbation sur la corde à l instant t = 0 qui correspond au graphe de la fonction U 2 (x) (on a dessiné une perturbation constituée de deux petits segments autour du point d abscisse x 0 ). À l instant t = t 0, on dessine la forme prise par la corde c està-dire le graphe de la fonction U 2 (x c t 0 ) (voir Fig. 5.9b) ; les deux petits segments sont alors autour du point d abscisse (x 0 +c t 0 ). En effet (x 0 +c t 0 ) c t 0 = x 0. On peut, de même, dessiner la forme de la corde à un autre instant t 1 (Fig. 5.9c). On remarque que la hauteur de la perturbation reste constante et qu elle se déplace le long de la corde dans le sens des x positifs (sens des x croissants). Plus précisément, la valeur de la fonction U 2 (x c t) qui représente un déplacement sur la corde est constante, si x et t sont tels que x c t = constante. Lors de la propagation (lorsque l on suit la perturbation dans son mouvement), la «phase» de l onde, c est-à-dire le terme x c t est constant. La perturbation se propage sur la distance (x 0 + c t 1 ) (x 0 + c t 0 ) = c (t 1 t 0 ) pendant le temps t 1 t 0 : on dit que la perturbation se déplace à la vitesse c. Naturellement, on peut faire le même raisonnement pour la solution (S2), laquelle correspond à la fonction U 1 (x+c t). La propagation se fait, cette fois ci, dans le sens des x négatifs. La vitesse de propagation est en module égale à c. La propagation se fait dans le sens des x décroissants. Il existe beaucoup de généralisations à l exemple précédent des vibrations transversales dans une corde. En effet, la propagation de nombreuses perturbations mécaniques peuvent être représentées par de telles solutions : onde sismique (tremblement de terre, explosion), vague, onde acoustique dans un fluide, etc Onde progressive sinusoïdale On considère une onde de la forme (S2), telle que 1e profil initial (à t = 0) de la perturbation est sinusoïdal : u(x 0, 0) = A sin(k x 0 +ϕ). On dit aussi que l on a une onde harmonique. L onde est de type (S2), donc à l instant t, le profil de la perturbation est : u(x, t) = A sin(k (x c t)+ϕ). Remarquons que : u(x, t) = A sin(k x k c t + ϕ) = A sin(k c t k x + π ϕ) Comme dans le paragraphe 5.1.3, on a les définitions suivantes : la constante k est le nombre d onde ; la constante ϕ est appelée constante de phase, ϕ est sans dimension, (cette grandeur n a pas été introduite dans 5.1.3) ; la constante ω = k c, où c est la vitesse de l onde, est la pulsation ; la constante λ = 2 π/k est la longueur d onde ; la constante T = 2 π/ω est la période et f = 1/T est la fréquence (il ne faut pas confondre ce T avec celui définissant la tension de la corde qui a été introduit pour établir l équation des ondes). Pour chacune de ces grandeurs, on peut donner sa dimension et une interprétation physique. Ainsi, le nombre d onde k correspond à la fréquence spatiale des ondes harmoniques ; sa dimension est celle de l inverse d une longueur. La constante de phase ϕ est sans dimension. Sa valeur est liée à l origine choisie pour l espace et pour le temps. La pulsation ω est similaire à une fréquence. Sa dimension est l inverse d un temps. La pulsation s exprime en s 1. La constante λ correspond à la période spatiale des ondes harmoniques ; sa dimension est celle d une longueur. Enfin T est la période, sa dimension est celle d un temps.

129 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE 123 Remarquons que l on peut écrire pour l onde u(x, t) = A sin(k (x c t)+ϕ) plusieurs formes, toutes équivalentes : [ ( x ) ] u(x, t) = A sin(k x ω t + ϕ) = A sin(k (x c t) + ϕ) = A sin ω c t + ϕ Suivant le problème à traiter, on utilise l une ou l autre de ces formes Application : propagation d une onde sismique à la surface de la terre u(x 1, t) u(x 2, t) A B x 1 x 2 d Fig Propagation d une onde sismique entre deux points On observe la propagation d une onde sismique à la surface de la terre. On suppose que cette onde est associée à un déplacement perpendiculaire à la surface de la terre et qu elle peut être décrite comme la propagation d une onde sinusoïdale. Cette onde est de la forme u(x, t) = U sin(k x ω t + ϕ) où U est une constante. On cherche à obtenir un certain nombre d informations sur l onde à partir de mesures relevées en deux points. Deux capteurs A et B sont placés à des points x 1 et x 2, tels que x 1 x 2 = d = 10 m. On suppose que d est inférieur à la longueur d onde λ = 2 π/k de l onde sismique (c est-à-dire que A et B sont suffisamment proches l un de l autre). L onde se déplace le long de l axe des x. En A et B on mesure le déplacement u(x, t) perpendiculairement à l axe x (Fig. 5.10). Au point A, on constate que le premier maximum, observé au temps t = t 0 = 70 s est u(x 1, t 0 ) = U = 10 cm. L origine des temps est fixée arbitrairement et ne correspond pas, a priori, au moment où l onde sismique a été engendrée. Il s écoule la durée t = 5 s entre deux maxima successifs du déplacement au point A. Au point B, on constate que le premier maximum est observé au temps t = t 0 + δt avec δt = 0.01 s. On peut déterminer la période, la fréquence et la pulsation de l onde. En effet, la période est donnée par le temps qui s écoule entre deux maxima successifs du déplacement au point A ; elle est donc T = 5 s. La fréquence est f = 1/T = 0.2 Hz. La pulsation est ω = 2 π f = rad.s 1. On peut calculer la célérité, la longueur d onde et le nombre d onde. La célérité s obtient en divisant la distance d par le temps mis par le premier maximum pour aller de A à B : c = d/δt = 10/0.01 = 1000 m.s 1 ; la longueur d onde et le nombre d onde s en déduisent : λ = c/f = 5000 m, k = 2 π/λ = m 1. Remarquons que la longueur d onde λ = 5000 m est bien plus grande que la distance d = 10 m, ce qui justifie a posteriori l hypothèse faite au départ. L expression du déplacement transversal en fonction de la position et du temps est donnée par : u(x, t) = U sin[k (x c t)+ϕ]. La vitesse de déplacement des particules s obtient en dérivant la position par rapport à t ; elle est alors u(x, t) = k c U cos[k (x c t)+ϕ]. Le module maximum de cette vitesse est k c U = ω U.

130 124 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE Si à l onde précédente u(x, t) = U sin[k (x c t) + ϕ], on ajoute une autre onde sinusoïdale de même amplitude, de même célérité et de même longueur d onde, mais avec une constante de phase différente, c est-à-dire u(x, t) = U sin[k (x c t) + ϕ ], par addition, on a comme onde résultante la somme des deux ondes. Cette somme est : U sin[k (x c t) + ϕ] + U sin[k (x c t) + ϕ ] = 2 U sin {k (x c t) + ϕ + } ϕ 2 cos ϕ ϕ 2 On a utilisé la formule : sin(a) + sin(b) = 2 sin a + b cos a b 2 2. Ainsi la perturbation due aux deux ondes réunies est donc une onde sinusoïdale de même fréquence, de même longueur d onde mais de phase et d amplitude modifiées Conditions aux limites L objectif de ce paragraphe est de préciser l influence des «conditions aux limites» sur les vibrations d une corde, c est-à-dire le fait que les cordes ne sont pas infiniment longues. Réflexion à une extrémité fixe On a vu (paragraphe 5.2.3) que le déplacement transversal des points de la corde lors du passage de l onde est de la forme u 1 (x, t) = U 1 (x + c t) ou u 2 (x, t) = U 2 (x c t), ou une combinaison linéaire de ces deux solutions. En changeant de notations, considérons un déplacement transversal de la forme u(x, t) = f(x + c t) + g(x c t) (5.10) Il est facile de vérifier que u(x, t) est solution de l équation des ondes (5.9). On voit que u(x, t) est la somme d une onde se propageant dans le sens des x décroissants (l onde f(x + c t)) et d une onde se propageant dans le sens des x croissants (l onde g(x c t)). On suppose que la corde est étalée le long de l axe (O, x), occupe la position x > 0 et que son extrémité en x = 0 est fixée, par exemple à un mur (Fig. 5.11a). On notera u(x, t) le déplacement transversal du point d abscisse x de la corde. On écrira que l extrémité en x = 0 de la corde est fixe. Ceci s écrit : u(0, t) = 0 pour t (5.11) La condition (5.11) est dite «conditions aux limites» en x = 0. Reprenons la solution (5.10) : u(x, t) = f(x + ct) + g(x ct). Écrivons que cette solution vérifie la condition (5.11). Il vient : u(0, t) = f(c t) + g( c t) = 0 pour t En posant α = c t, la relation précédente s écrit : f(α) + g( α) = 0 pour tout α. Il faut bien noter que l on a ici une identité en α et non une équation pour α. On obtient une relation entre les deux fonctions f et g. Cette relation est : f(α) g( α) ou bien g(α) f( α). On a donc g(x c t) f( (x c t)). La solution de l équation (5.9) avec la condition aux limites (5.11) est donc : u(x, t) = f(x + c t) f( (x c t) (5.12) Sur la figure 5.11, nous avons représenté cette solution dans le cas où f(α) = sin(α) pour π < α < 2 π et f(α) = 0 pour α π et pour α 2 π. Sur la figure 5.11a, nous représentons la déformation initiale en t = 0. On a : x+c t = x si bien que f(x) = sin(x) pour π < x < 2 π et f(x = 0) ailleurs. On a f( (x c t)) = f( x) = 0 pour

131 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE 125 tout x positif, car x est négatif. La figure 5.11a correspond au graphe de f(x+c t) f( (x c t)) pour t = 0. On remarque que le déplacement est négatif. Sur la figure 5.11b, nous représentons également la déformation à l instant t tel que 0 < t < π/c. On a : π c t > 0. Pour π c t < x < 2 π c t, on a π < x + c t < 2 π si bien que f(x + c t) = sin(x + c t). Pour x < π c t et x > 2 π c t, f(x + c t) est nulle. On a aussi : x < (x c t) = x + c t < x + π < π et comme conséquence f( (x c t)) = 0 pour tout x positif. La figure 5.11b correspond au graphe de f(x + c t) f( (x c t)) pour t tel que 0 < t < π/c. On a une onde se déplaçant vers les x négatifs. Le déplacement est toujours négatif. Sur la figure 5.11c, nous représentons la déformation à l instant t tel que t > 2 π/c. On a : x + c t > x + 2 π > 2 π donc f(x + c t) = 0. Par ailleurs, (x c t) = x + c t. Pour π+c t > x > c t 2 π > 0, on a π < x+c t < 2 π si bien que f( (x c t)) = sin( x+c t) sur cet intervalle, et égale à 0 ailleurs. La figure 5.11c correspond au graphe de f(x+c t) f( (x c t)) pour t tel que t > 2 π/c. Le déplacement est positif. On a une onde se déplaçant vers les x positifs. En conclusion, sur la figure 5.11, la déformation initiale (t = 0) se déplace d abord vers les x négatifs. Elle atteint le point x = 0 à l instant t = π/c. Pour des temps supérieurs à 2 π/c, la déformation se déplace vers les x positifs. Il y a donc une onde qui se propage dans le sens des x croissants, avec une position symétrique de celle de l onde incidente par rapport à x = 0 (Fig. 5.11c). Les deux ondes dessinées, une sinusoïde à l endroit et une sinusoïde à l envers, se somment autour de l interface, de sorte que le déplacement est toujours nul à l interface. On a ici, une onde incidente (onde se dirigeant vers le mur) et une onde réfléchie (onde s éloignant du mur). π 2 π 0 x (a) Corde à l instant t = 0 0 x 0 (b) 0 < t < π/c (c) t > 2 π/c x Fig Corde fixée au mur x = Ondes stationnaires On cherche maintenant des solutions sinusoïdales à l équation des ondes (9) pour une corde de longueur l dont les deux extrémités en x = 0 et x = l sont fixées rigidement (Fig. 5.12). En considérant la condition d attachement fixe en x = 0, on peut écrire la forme générale des solutions, en appliquant le résultat (5.12) du paragraphe précédent : u(x, t) = f(x + c t) f( (x c t)). On va chercher des ondes sinusoïdales, c est-à-dire que l on va supposer que f(x + c t) = A sin(k x + ω t) avec c = ω/k. Avec ce choix pour f(x + c t), la solution (5.12) s écrit : A sin(k x + ω t) A sin( k x + ω t) = A (sin(k x + ω t) + sin(k x ω t)) = 2 A sin(k x) cos(ω t) Cette solution vérifie bien u(x, t) = 0 en x = 0. Mais il nous reste à écrire qu elle vérifie la condition d attachement fixe en x = l. Cette condition à la limite est : u(l, t) = 0 pour tout t. Ce qui implique sin(k l) = 0

132 126 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE Cette dernière équation permet de déterminer les valeurs k du nombre d onde. Elles sont telles que : k l = n π où n est un nombre entier quelconque. On trouve donc une infinité de valeurs pour k. On notera : k n = n π l, n = 1, 2, 3,..., ω n = c k n, f n = c k n 2 π = n c 2 l (5.13) Chaque solution est appelée onde harmonique, ou bien mode propre. Pour n = 1, l onde harmonique est dite «fondamentale» (le mode propre est dit «mode fondamental»). Sur la figure 5.12, on a dessiné le déplacement de la corde pour les plus petites valeurs de k n, qui correspondent à n = 1, n = 2, n = 3 et n = 4. n = 1, sin(π x/l) n = 2, sin(2 π x/l) n = 3, sin(3 π x/l) n = 4, sin(4 π x/l) Fig Les quatre premières ondes harmoniques Ventre et nœud Un point où le déplacement reste toujours égal à zéro est appelé «nœud». Un point où le déplacement est toujours maximum est appelé «ventre». Sur la figure 5.12, il est facile de voir les ventres et les nœuds : la solution correspondant à n = 2 présente deux ventres et trois nœuds (en comptant les deux extrémités de la corde) ; celle correspondant à n = 3 présente trois ventres et quatre nœuds ; celle correspondant à n = 4 présente quatre ventres et cinq nœuds Application aux cordes de piano La corde de piano donnant le «la» du diapason a pour longueur l = 420 mm, et pour diamètre d = 1 mm. La masse volumique de l acier qui la constitue est ρ = 7860 kg.m 3. Elle est tendue avec une tension T = 843 N. On se propose de calculer la vitesse c de propagation des ondes transversales le long de cette corde. On utilise la formule (5.8) pour calculer c : c = T /µ. Il faut donc au préalable calculer la masse linéique µ. Le volume de la corde est π (d/2) 2 l = m 3. La masse de la corde est = kg. La masse linéique (masse par unité de longueur) est : µ = kg.m 1. D où c 2 = 843/( ) m 2.s 2 et c = m.s 1. Il est ensuite facile de calculer les valeurs des fréquences f n = n c/(2 l). Pour les dix premières, on a (Table 5.1) :

133 5.2. ÉQUATIONS DES ONDES DANS UNE CORDE 127 Tab. 5.1 Fréquences de la corde du «la» du piano f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f Le clavier d un piano est représenté sur la figure Les fréquences indiquées sur l image correspondent aux touches blanches du clavier. Les fréquences correspondant aux touches noires ne sont pas indiquées. On passe de demi-ton en demi-ton en multipliant la fréquence par 2 1/12 ; on peut ainsi calculer les fréquences qui correspondent aux touches noires. L ensemble de ces fréquences constituent la gamme tempérée. Toutes les fréquences calculées sont reportées dans la table 5.2. Dans la première colonne, on a indiqué l octave considérée. Les fréquences sont indiquées, octave par octave. Tab. 5.2 Fréquences des octaves du piano (les octaves sont indiquées dans la première colonne) la si do ré mi fa sol Chacune des fréquences f n données dans la table 5.1, peut être située par rapport aux fréquences de la gamme tempérée données dans la table 5.2. Ainsi : 415 f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = f 5 = f 6 = f 7 = f 8 = f 9 = f 10 = Certaines fréquences sont proches de celles de la gamme tempérée, comme f 1 = Hz ou f 2 = Hz. Par contre les fréquences f 5 = Hz et f 7 = Hz sont assez éloignées des fréquences de la gamme tempérée. Lorsque la touche est frappée par le doigt du pianiste, le marteau vient frapper la corde (impulsion). Pour éliminer une fréquence ou plutôt pour ne pas la générer il ne faut pas donner d énergie au mode de vibration correspondant, donc il faut exciter la corde sur un des nœuds de vibration du mode.

134 128 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE f (Hz) do médium la 1 la 2 la 3 la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do 27,5 30,868 32,703 36,708 41,203 43,654 48, ,735 65,406 73,416 82,407 87,307 97, ,47 130,81 146,83 164,81 174, ,94 261,63 293,66 329,63 349, ,88 523,25 587,33 659,26 698,46 783, , ,5 1174,7 1318,5 1396, , , , , Fig La gamme tempérée 5.3 Équation des ondes dans un tube Dans le partie 5.2, nous avons déterminé l équation (5.6) des ondes transversales dans une corde. Nous allons maintenant nous intéresser à la propagation des ondes dans un tube, tel qu un tuyau d orgue ou une flûte Équation des ondes dans un tube Nous allons d abord établir l équation des ondes dans un tube ; puis nous étudierons les ondes stationnaires présentes dans un tel tube. On considère un tube rectiligne, cylindrique, de section droite S circulaire, très fin et très long (Fig.5.14a). On note (O, x) l axe du tube. Ce tube contient de l air, qui au repos, a la masse volumique ρ 0 constante et est à la pression p 0 constante. À partir de cet état au repos, on fait subir au fluide une petite perturbation. Les particules du fluide subissent un petit mouvement. Plus précisément considérons une particule fluide située au point d abscisse x à l instant t (Fig. 5.14b). Sa nouvelle masse volumique est ρ 0 + ρ(x, t), sa nouvelle pression est p 0 + p(x, t) et sa vitesse est notée v(x, t). Les trois quantités ρ(x, t), p(x, t) et v(x, t) sont très petites. Notons que p(x, t) est une fluctuation de pression (voir paragraphe 5.1.6). O x (a) x x + δx (b) (c) x + v(x, t) δt x + δx + v(x + δx, t) δt Fig Perturbation de l air dans un tube Considérons maintenant, une petite tranche du fluide située, à l instant t, entre les abscisses x et x + δx (Fig. 5.14b). Considérons cette même tranche de fluide à l instant t + δt : elle s est déplacée et occupe la tranche entre les abscisses x + v(x, t) δt et x + δx + v(x + δx, t) δt (Fig.

135 5.3. ÉQUATION DES ONDES DANS UN TUBE c). Écrivons que la masse de cette tranche de fluide est conservée quand on passe de t à t + δt : (ρ 0 + ρ(x, t + δt)) S δx (ρ 0 + ρ(x, t)) S δx = (ρ 0 + ρ(x, t)) v(x, t) δt S (ρ 0 + ρ(x + δx, t)) v(x + δx, t) δt S Dans le premier membre, le premier terme membre est la masse, au signe près, de la tranche représentée sur la figure 5.14c, et le second terme correspond à la masse de la tranche x à x + δx de la figure (14-b). Dans ces deux termes, on a négligé la variation de ρ par rapport à l abscisse x, cette variation correspondant à un terme infiniment petit en (δx) 2. Dans le second membre, le premier terme est la quantité de fluide qui entre dans la tranche représentée sur la figure 5.14c, tandis que le second terme représente la quantité qui en sort. On simplifie par S, on néglige les produits des deux infiniment petits ρ et v, et on peut réécrire l équation ci-dessus sous la forme : (ρ 0 + ρ(x, t + δt)) δx (ρ 0 + ρ(x, t)) δx = (ρ 0 + ρ(x, t)) v(x, t) δt (ρ 0 + ρ(x + δx, t)) v(x + δx, t) δt + ρ(x, t + δt) δx + ρ(x, t) δx = ρ 0 v(x, t) δt ρ 0 v(x + δx, t) δt ρ(x, t) + ρ(x, t + δt) δt On fait tendre δt et δx vers zéro. D où : ρ(x, t) t = ρ 0 v(x, t) v(x + δx, t) δx = ρ 0 v(x, t) x (5.14) Nous écrivons maintenant la loi fondamentale de la dynamique pour la petite tranche de fluide x à x+δx de la figure 5.14b le produit de sa masse ρ 0 S δx par son accélération v(x, t)/ t est égale à la somme des forces exercées sur cette tranche. Au niveau des forces, il y a les forces de pression p(x, t) appliquées sur la section d abscisse x, lesquelles sont dans la direction des x positifs, et les forces de pression p(x+δx, t) appliquées sur la section d abscisse x+δx, lesquelles sont dans la direction des x négatifs. v(x, t) ρ 0 S δx = S p(x, t) S p(x + δx, t) t On simplifie par S et on divise cette équation par δx et on fait tendre δx vers zéro. Il vient : ρ 0 v(x, t) t p(x, t) = x (5.15) Il nous reste à traduire une propriété donnée par l observation et l expérience : l accroissement de la pression p(x, t) est proportionnel à l acroissement de la masse volumique ρ(x, t). Le coefficient de proportionnalité est positif et est supposé constant. On écrit : p(x, t) = c 2 ρ(x, t) (5.16) Les dimensions d une masse, d une longueur et d un temps sont notées M, L et T. Ainsi la dimension de ρ(x, t) est M L 3 et celle de p(x, t) est M L 1 T 2. La dimension de c 2 est donc L 2 T 2 et celle de c est L T 1. Donc c est une vitesse. En tenant compte de (5.16), l équation (5.14) devient : 1 p(x, t) v(x, t) c 2 = ρ 0 t x Dérivons par rapport à t : 2 p(x, t) t 2 = ρ 0 c 2 ( ) v(x, t) t x = ρ 0 c 2 x p(x, t) t ( ) v(x, t) t 2 v(x, t) = ρ 0 c x = ρ 0 c 2 ( 1 ) p(x, t) x ρ 0 x

136 130 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE en utilisant (5.15). Finalement on a : Conclusion 2 p(x, t) t 2 c 2 2 p(x, t) x 2 = 0 (5.17) L équation (5.17) est une équation pour les fluctuations de pression dans le tube. L air vibre dans le tube. Il est à remarquer que cette équation est identique à celle (5.9) établie pour les vibrations d une corde. Naturellement les solutions (S1) et (S2) sous forme d ondes propagatives données dans le paragraphe sont valables ici Conditions aux limites L objectif de ce paragraphe est de préciser l influence des «conditions aux limites» sur les vibrations de l air dans un tube, car le tube n est pas, en général infiniment long. Une expérience simple de vibration dans un tube peut être faite : on souffle à une extrémité du tube et on peut constater que le son produit n est pas le même si l autre extrémité est maintenue ouverte ou fermée. On considère un tube de longueur l. L axe du tube est aligné avec l axe (O, x). Les extrémités du tube correspondent aux sections de coordonnées x = 0 et x = l. On envisage les trois cas suivants, illustrés sur la figure 5.15 : (a) tube fermé en ses deux extrémités ; (b) tube ouvert à ses deux extrémités ; (c) tube fermé en x = 0 et ouvert en x = l. O l x (a) O l x (b) O l x (c) Fig Tube ouvert ou fermé en ses extrémités On note p(x, t) la fluctuation de pression, appelée aussi «pression acoustique». La fonction p(x, t) vérifie l équation (5.17). Les conditions aux limites du tube s écrivent : 1) pour un tube fermé à une extrémité d abcisse x = x 0 : ] p(x, t) = 0 t (5.18) x x=x 0 Cette condition s obtient à partir de la condition qu il est naturel d écrire pour la vitesse (la vitesse v(x, t) est nulle en x = x 0 ) et en utilisant l équation (5.15) traduisant la loi fondamentale de la dynamique. 2) pour un tube ouvert à une extrémité d abcisse x = x 0 : p(x 0, t) = 0 t (5.19)

137 5.3. ÉQUATION DES ONDES DANS UN TUBE 131 Dans le cas du tube ouvert, on suppose en effet que la fluctuation de pression diminue très rapidement à la sortie du tube, de sorte que l on peut supposer que la pression acoustique p(x, t) à la sortie du tube est nulle (il s agit d une approximation) Calcul des modes stationnaires dans un tube On considère un tube de longueur l, dont l axe est aligné avec l axe (O, x) et dont les extrémités ont pour abscisses x = 0 et x = l. Pour obtenir les modes stationnaires, on peut procéder de la même manière que dans le paragraphe 5.2.7, en écrivant l onde incidente f(x c t), en déduisant l onde réfléchie, en utilisant la condition aux limites en x = 0, puis en utilisant la seconde condition aux limites en x = l, pour montrer que seulement certaines fréquences peuvent exister. On peut également procéder autrement, et c est ce que nous ferons ci-après. On cherche une solution harmonique sous la forme générale suivante : p(x, t) = A sin(k x + ϕ) cos(ω t) avec ω = c k (5.20) 1) On suppose le tube ouvert en ses deux extrémités x = 0 et x = l. Il est facile de vérifier que l expression donnée en (5.20) vérifie l équation des ondes (5.17) (l étudiant peut facilement faire cette vérification). On écrit ensuite les conditions aux limites en x = 0 et x = l (condition (5.19)) : sin(ϕ) cos(ωt) = 0 t, sin(k l + ϕ) cos(ω t) = 0 t À partir de la première condition on trouve sin(ϕ) = 0, soit ϕ = 0. La seconde condition conduit ensuite à sin(k l) = 0, d où k l = n π avec n entier. On a donc pour résultat : p(x, t) = A sin(k n x) cos(ω n t), k n = n π l, ω n = c k n = n π c, f n = c k n l 2 π = c n 2 l Pour ce cas où les conditions aux limites imposent la pression nulle aux deux extrémités du tube, on est donc exactement dans le même cas que pour la corde fixée en ses deux extrémités. Il suffit de substituer p au déplacement u dans les résultats du paragraphe Les quatre premières harmoniques sont identiques à celles représentées sur la figure Chaque solution est appelée onde harmonique ou mode propre. Pour n = 1, l onde harmonique est dite fondamentale, et le mode propre est dit fondamental. 2) On suppose le tube fermé en ses deux extrémités x = 0 et x = l. Nous reprenons l expression (5.20), laquelle vérifie l équation des ondes (5.17). Puis on écrit les conditions aux limites en x = 0 et x = l (condition (5.18)). En x = 0, on a : [ ] (A sin(k x + ϕ) cos(ω t)) = 0 t, [A cos(k x + ϕ) cos(ω t)] x=0 = 0 t x d où : x=0 cos(ϕ) cos(ω t) = 0 t cos(ϕ) = 0, soit ϕ = π/2 La seconde condition en x = l conduit à : [ ] (A sin(k x + π/2) cos(ω t)) = 0 t, [A cos(k x + π/2) cos(ω t)] x=l = 0 t x d où : x=l cos(k l + π/2) cos(ω t) = 0 t

138 132 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE soit k l = n π avec n entier. Comme sin(k x + π/2) = cos(k x), on a pour résultat : p(x, t) = A cos(k n x) cos(ω n t), k n = n π l, ω n = c k n = n π c, f n = c k n l 2 π = c n 2 l Chaque solution est appelée onde harmonique ou mode propre. Pour n = 1 l onde harmonique est dite fondamentale et le mode propre est dit fondamental. Sur la figure 5.16, on a dessiné le profil de l onde pour les plus petites valeurs de k n, qui correspondent à n = 1, n = 2, n = 3 et n = 4. n = 1, cos(π x/l) n = 2, cos(2 π x/l) n = 3, cos(3 π x/l) n = 4, cos(4 π x/l) Fig Les quatre premières harmoniques dans un tube ouvert à ses deux extrémités 3) Application numérique On peut calculer les modes propres dans le cas d un tube de longueur l = 0.24 m, sachant que la fréquence fondamentale est f 1 = 354 Hz. Dans les deux cas, tube ouvert en ses deux extrémités ou bien tube fermé en ses deux extrémités, on a : f 2 = 2 f 1 = 708 Hz, f 3 = 3 f 1 = 1062 Hz, etc. Cherchons à calculer la longueur d un tube ouvert en ses deux extrémités, pour lequel la fréquence fondamentale est f 1 = 523 Hz (fréquence de la note «do»), et sachant que la vitesse de propagation du son dans l air est c = 331 m.s 1 (vitesse dans l air sec et à 20 C). On écrit : f 1 = c/(2 l) d où : l = c/(2 f 1 ) = 331/(2 523) = m, soit l = 31.6 cm. 5.4 Équation des ondes dans l espace à trois dimensions Quelques définitions dans le domaine de l acoustique La propagation du son, et du bruit, se fait dans l espace physique qui nous environne, c està-dire dans un espace à trois dimensions. Nous allons donc étendre à l espace à trois dimensions certaines notions vues précédemment. Nous commençons par préciser quelques définitions. Énergie acoustique. Une source sonore diffuse de l énergie acoustique, mesurée en joules (J). La dimension de cette énergie est M L 2 T 2. Puissance acoustique. La puissance acoustique est la quantité d énergie délivrée par unité de temps, elle se mesure en watt (W). Une source de puissance 1 W délivre 1 joule par seconde. Sa dimension est M L 2 T 3.

139 5.4. ÉQUATION DES ONDES DANS L ESPACE À TROIS DIMENSIONS 133 Intensité acoustique. L intensité acoustique est la quantité d énergie qui passe en un point par unité de surface et par unité de temps. Elle se mesure en W/m 2. L intensité au seuil d audition, c est-à-dire, l intensité minimale à laquelle l oreille est sensible est I ref = W/m 2 à 1000 Hz, (c est une valeur mesurée expérimentalement). Pression acoustique. La pression sur une surface d aire S est définie comme le rapport F/S où F est la force qui s exerce sur la surface. La pression, notée p, est une force par unité de surface mesurée en pascal (Pa). Sa dimension est M L 1 T 2. Rappelons que la pression acoustique est une fluctuation de pression. Niveau sonore. Le niveau sonore rend compte de l amplitude réelle des ondes acoustiques (amplitude de la pression acoustique) ainsi que de la manière subjective dont le son est perçu. Le niveau sonore, noté L, s exprime en «décibels» (db), et est défini comme : L = 10 lg I I ref (5.21) où I et I ref sont respectivement l intensité acoustique de l onde et l intensité au seuil d audition 1. On remarquera que I = I ref correspond à un niveau sonore nul Source ponctuelle Soit une source ponctuelle d ondes acoustiques placée au point O (Fig. 5.17). On suppose que cette source émet la même quantité d énergie, et délivre la même puissance, dans toutes les directions. On dit que c est une source ponctuelle «omnidirectionnelle». La symétrie du problème nous suggère de travailler avec un système de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), où r est la distance du point considéré M au centre O de la source, et où θ et ϕ sont deux angles caractérisant la direction du vecteur OM. Dans la mesure où la source est «omnidirectionnelle», la pression est nécessairement indépendante de θ et ϕ, autrement dit, p ne dépend que de r et t : p = p(r, t). z surface S y M r O x Fig Source ponctuelle de centre O Dans les parties 5.2 et 5.3, nous avons déterminé l équation des ondes transversales (5.9) dans une corde, et l équation des ondes (5.17) dans un tube. Ces équations ont la forme générale 1 Le logarithme décimal de x se note : lg(x) ou log 10 (x).

140 134 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE de l équation des ondes à une dimension. Dans le paragraphe 5.2.3, on a vu que ses solutions sont de la forme : (S1) : U 1 (x + c t) = f(x + c t) ou (S2) : U 2 (x c t) = g(x c t), où f et g sont deux fonctions d une seule variable, ou bien une combinaison linéaire de U 1 (x + c t) et de U 2 (x c t). En trois dimensions, pour une source ponctuelle omnidirectionnelle, la généralisation de l équation de propagation (5.9) ou (5.17) est (résultat admis) : 2 p(r, t) t 2 c2 2 (rp(r, t)) r r 2 = 0 (5.22) La forme des solutions (S1) et (S2) peut être généralisée au cas tridimensionnel. On cherchera des solutions de la forme (S1 ) : p 1 (r, t) = P 1 (r) f(r + c t) et (S2 ) : p 2 (r, t) = P 2 (r) g(r c t), où f et g sont deux fonctions d une seule variable, et où P 1 (r) et P 2 (r) sont des fonctions de r à déterminer. Les ondes (S1 ) en r + c t sont des ondes convergentes. La propagation se fait en direction de la source O. Les ondes (S2 ) en r c t sont des ondes divergentes. La propagation se fait en s éloignant de la source O. Dans le cas de la source ponctuelle dans un milieu infini, les solutions de la forme (S1 ) ne peuvent pas exister : les ondes convergentes n existent pas à l extérieur de la source. On ne trouve donc que des ondes divergentes, qui s éloignent de la source. Solution particulière de l équation des ondes (5.22) Considérons la fonction p 2 (r, t) = P 2 (r) g(r c t) avec P 2 (r) = A/r où A est une constante. On a : p 2 (r, t) = A r g(r c t), p 2 (r, t) = c A t r g, (r p 2 (r, t)) r p 2 (r, t) = A g(r c t), = A g, r 2 p 2 (r, t) t 2 = c 2 A r g 2 (r p 2 (r, t)) r 2 = A g Les notations et désignent les dérivées première et seconde de la fonctiong(z) de la seule variable z. Par suite, on vérifie que l équation (5.22) est satisfaite. Il faut bien noter que p 2 (r, t) = (A/r) g(r c t) est une solution particulière de l équation des ondes (5.22) ; ce n est pas la solution la plus générale. Soit une petite surface d aire S centrée au point M et perpendiculaire à la direction du vecteur OM (Fig. 5.17). Soit E = e(r) S la quantité d énergie qui traverse la surface S, où e(r) est la quantité d énergie qui traverse l unité de surface. On peut calculer la quantité totale d énergie qui traverse une surface sphérique centrée en O et de rayon r, en intégrant e(r) sur la surface de cette sphère. On trouve donc que la quantité totale d énergie traversant une surface sphérique de rayon r est, car la surface de la sphère de rayon r est 4 π r 2 : E(r) = 4 π r 2 e(r) L énergie E(r) distribuée sur la surface de la sphère de rayon r et transportée par l onde sphérique est conservée. Donc E(r) est une constante par rapport à r, soit E(r) = E avec E constant. En d autres termes, toute l énergie de l onde est concentrée sur la surface de la sphère de rayon r, et cette énergie se conserve. On a : e(r) = E 4 π r 2 Donc e(r) est proportionnel à 1/r 2 : e(r) 1/r 2. En admettant que la densité d énergie e(r) transportée par les ondes est proportionnelle au carré de la pression acoustique p 2 (r, t), on trouve que p 2 (r, t) est proportionnel à 1/r. On retrouve ainsi l expression de la solution particulière de l équation des ondes (5.22), p 2 (r, t) = (A/r) g(r c t), établie au début de ce paragraphe.

141 5.4. ÉQUATION DES ONDES DANS L ESPACE À TROIS DIMENSIONS Intensité acoustique, niveau sonore Rappelons que l intensité acoustique est la quantité d énergie qui passe en un point par unité de surface et par unité de temps (voir 5.4.1). L intensité acoustique, I(r) est donc proportionnelle à e(r). Donc, d après le paragraphe précédent : I(r) 1 r 2 (5.23) D après (5.21), on peut écrire pour le niveau sonore à la distance r de la source ponctuelle O est : L(r) = 10 lg I(r) I ref (5.24) Application Miles Davies joue de sa trompette dans son (très grand) jardin. À r 0 = 1 m de la source, le niveau sonore est de 80 db. Cherchons le niveau sonore à 10 m de la source. La source omnidirectionnelle sert de modèle pour la trompette. Il faut utiliser les relations (5.23) et (5.24), en exprimant les distances en mètres. On a : L(r) = 10 lg I(r) I ref, L(r 0 ) = 10 lg I(r 0) I ref sachant que : il vient : I(r) I 0 = r2 0 r 2 L(r) L(r 0 ) = 10 lg I(r) I 0 = 10 lg r2 0 r 2 = 20 lg r r 0 L(r) = L(r 0 ) 20 lg r r 0 = lg(10) = = 60 db Il faut noter que, même dans un très grand jardin, on n est pas exactement dans les conditions où il suffit, pour modéliser la trompette, de considérer une source ponctuelle. L effet de la directivité de la source (la trompette ici) n est pas pris en compte ; de même que l effet de la réflexion des ondes sur le sol. On a aussi négligé l atténuation intrinsèque de l air. Toujours avec les mêmes hypothèses, cherchons à quelle distance r lim, on est certain de ne plus entendre la trompette. Le niveau sonore sera nul pour I(r) = I ref, c est-à-dire au seuil d audition. Il s agit donc de trouver r lim tel que : L(r 0 ) L(r lim ) = 10 lg I(r 0) I(r lim ) = 10 lg r2 lim r 2 0 L(r lim ) = L(r 0 ) 10 lg r2 lim r 2 0 lg(r lim ) = = 4, r lim = m = 10 km = lg r2 lim 1 = lg(r lim) = 0 Cette distance n est pas réaliste, il faut toujours tenir compte de l atténuation Notions sur la gêne due au bruit Le domaine auditif est très large puique l oreille est capable de percevoir des sons dont la plage de variation des pressions acoustiques est comprise entre la pression acoustique Pa correspondant au seuil de douleur et 20 Pa correspondant au seuil d audition. La sensibilité de

142 136 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE (db) I N F R A S O N S limite supérieure de perception, seuil de douleur seuil de perception p d = 200 Pa, v d 0, 5 m.s 1, ξ d 10 4 m U L T R A S O N S p s = Pa, v s m.s 1, ξ s m f (Hz) Fig Domaine audible l oreille humaine dépend aussi de la fréquence. Le champ auditif chez l homme est représenté sur la figure On mesure le niveau sonore en décibels (voir 5.4.3). Sur la Table 5.3, de même que sur la figure 5.19, nous avons indiqué les pressions acoustiques et les niveaux sonores de quelques bruits usuels (extraits du livre «Acoustique générale», C. Potel et M. Bruneau, Ellipse, Paris, 2006). Tab. 5.3 Niveaux sonores et bruits usuels correspondant à certaines pressions acoustiques Pression acoustique (Pa) Niveau sonore (db) Bruit usuel correspondant seuil de douleur avion au décollage train dans une gare trafic routier conversation chambre à coucher bruissement des feuilles seuil d audibilité

143 5.4. ÉQUATION DES ONDES DANS L ESPACE À TROIS DIMENSIONS 137 Fig Exemples de niveaux de bruits

144 138 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE 5.5 Acoustique : Exercices avec correction Objectif. Dans ce chapitre «Acoustique», beaucoup d exemples ont été donnés. Aussi le nombre d exercices avec corrigés présentés ci-après est réduit. Ce sont des applications directes du cours. Ils illustrent deux aspects du cours : les vibrations transversales d une corde (exercice 1), le niveau sonore (exercice 2) Exercice 1 : Vibration transversale d une corde fixée en ses deux extrémités On considère une corde de longueur l. Cette corde est étalée le long de l axe Ox et est fixée en ses deux extrémités x = 0 et x = l (Fig. 5.20). On note u(x, t) le déplacement transversal à l instant t du point d abscisse x de la corde, et on s intéresse aux ondes transversales dans cette corde. On rappelle que u(x, t) vérifie l équation des ondes : 2 u t 2 = c2 2 u x 2 où c est la vitesse des ondes dans la corde (nous supposons que c est une constante). mur mur O l x corde Fig Corde fixée en ses deux extrémités 1. Vérifier que u(x, t) = A sin(k x) cos(ω t), vérifie l équation des ondes, sachant que ω = k c. 2. Quelle condition aux limites doit-on écrire pour le éplacement u(x, t) en x = 0? L expression pour u(x, t) donnée dans la question 1) vérifie t-elle cette condition? 3. Quelle condition aux limites doit-on écrire pour le déplacement en u(x, t) en x = l? Comment doit-on choisir k pour que cette condition aux limites soit vérifiée? 4. Déterminer les solutions (ondes harmoniques) vérifiant l ensemble de l équation des ondes et des deux conditions aux limites en x = 0 et en x = l. 5. On suppose que cette corde est la corde de piano donnant le «la» de fréquence Hz. Cette corde a pour longueur l = 420 mm, pour diamètre d = 1 mm et est constituée d acier de masse volumique ρ = 7860 kg.m 3. Calculer la masse linéique µ de la corde. Sachant que la fréquence fondamentale est de Hz, calculer la vitesse des ondes c. On rappelle que la vitesse de propagation c des ondes transversales est dans une corde est c = T /µ où µ est la masse linéique et T est la tension dans la corde. Quelle tension T, l accordeur doit-il imposer pour obtenir la fréquence de Hz?

145 5.5. ACOUSTIQUE : EXERCICES AVEC CORRECTION 139 Corrigé 1. Il est facile de vérifier que : 2 u t 2 = A ω2 sin(k x) cos(ω t), Ainsi, sachant que ω = k c, l équation des ondes est vérifiée. 2 u x 2 = A k2 sin(k x) cos(ω t) 2. Comme sin(k x) est nul en x = 0, on a bien u(0, t) = 0 pour tout t. 3. La condition aux limites en x = l implique sin(k l) cos(ω t) = 0 pour tout t. Donc sin(k l) = 0, et par suite : k l = n π avec n nombre entier positif. 4. Les solutions de l équation des ondes vérifiant les deux conditions aux limites en x = 0 et en x = l sont donc : u(x, t) = A sin(k n x) cos(ω n t), avec k n = n π, ω n = k n c On a ainsi une infinité de solutions harmoniques. 5. La masse linéique de la corde est : µ = π (d 2 /4) ρ, soit : µ = 3.14 (0.001/2) = kg.m 1. La fréquence fondamentale est f 1 = c/(2 l) = Hz. Donc c = 2 l f 1 = = s 1. La tension T que doit imposer l accordeur pour obtenir la fréquence f 1 est donc : T = µ c 2 = = N Exercice 2 : Bruit d un aéroport Le niveau sonore, noté L, est défini comme : L = 10 lg(i(r)/i ref ), où r est la distance mesurée entre la source du bruit et l endroit où est faite la mesure de L (r est exprimée en mètres). On rappelle que l intensité acoustique I(r) est proportionnelle à 1/r 2. On considère un aéroport. À 100 m de celui-ci, les mesures donnent un niveau de bruit égal à 125 db. 1. Une personne P est à 5 km de cet aéroport. Quel niveau de bruit perçoit-elle? 2. À quelle distance de l aéroport, cette personne doit-elle être pour avoir un niveau de bruit nul? Corrigé 1. On a : 10 lg(i(100)/i ref ) = 125 db à 100 m et L = 10 lg(i(5000)/i ref ) à 5000 m. La personne P perçoit donc le bruit L tel que : L 125 = 10 lg(i(5000)/i ref ) 10 lg(i(100)/i ref ); L = 10 lg(i(5000)/i(100)) = 20 lg(100/5000) = 20 lg(1/50) = 20 lg(50); L = 34 db 2. La personne a un niveau de bruit nul, lorsqu elle se trouve à la distance r telle que : 10 lg(i(r)/i ref ) 10 lg(i(100)/i ref ) = (0 125) db, soit : 20 lg(100/r) = 125, soit finalement : lg(r) lg(100) = 125/20 = 6.25, lg(r) = = 8.25 r = m = km Cette distance est très grande et n est pas réaliste : il faut tenir compte des phénomènes d atténuation dans l air (dus à la viscosité notamment).

146 140 CHAPITRE 5. ACOUSTIQUE niveau (db) zone de sensibilité seuil de douleur seuil d audition Fig Diagramme de Fletcher et Munson 0 phone f (Hz)

147 Annexe A Vecteurs et repères de l espace (D après Philippe Gatignol & Catherine Potel, Mécanique, Polycopié, Université Technologique de Compiègne, 1997) Les points importants de ce chapitre sont : La notion de vecteur libre L orientation de l espace La projection des vecteurs sur une base Les systèmes de coordonnées A.1 Vecteurs libres. Orientation de l espace L usage des vecteurs en mécanique est fondamental. Il permet de représenter les vitesses et les accélérations des points, les rotations des solides, les forces exercées ainsi que leurs moments, etc. Plusieurs types de vecteurs sont introduits parmi lesquels les vecteurs liés et les vecteurs libres. Nous introduirons à propos des forces le concept de vecteur glissant. Enfin, certains vecteurs tels que les vecteurs rotation ont une définition qui dépend du choix de l orientation de l espace. Il est donc essentiel avant tout de bien distinguer ces diverses notions. A.1.1 Vecteurs liés, vecteurs libres On peut donner des concepts de vecteurs liés et de vecteurs libres des définitions mathématiques rigoureuses construites sur des bases algébriques (classes d équivalence, espace quotient). Nous nous contenterons d en donner une description géométrique qui sera pour nous tout à fait suffisante. A Vecteurs liés - Équipollence - Vecteurs libres Définition A.1 On appelle vecteur lié un couple ordonné (A, A ) de points de l espace. A s appelle l origine ; A l extrémité du vecteur. Définition A.2 Deux vecteurs liés (A, A ) et (B, B ) sont dits équipollents si le quadrilatère ABB A est un parallélogramme (voir Fig. A.1). Étant donné un vecteur lié (A, A ), il lui correspond une infinité de vecteurs liés qui lui sont équipollents ; ceux-ci sont parfaitement déterminés. Définition A.3 On dit que l ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur (A, A ) donné constitue un vecteur libre V. Le vecteur lié (A, A ) est appelé représentant du vecteur libre ainsi défini. 141

148 142 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE Tout autre vecteur lié (B, B ) équipollent à (A, A ) représente également le vecteur libre V. Remarque 1. La représentation géométrique d un vecteur lié est très simple : on dessine le segment AA muni d une flèche indiquant son extrémité (voir Fig. A.1). Par contre, il n est pas possible de représenter directement un vecteur libre. On utilise toujours pour cela l un de ses représentants, dont on choisit souvent l origine en un point particulier de l espace. Par contre, les opérations que nous introduirons au paragraphe A.2, et les calculs algébriques qui en résultent, porteront toujours sur des vecteurs libres. A B A B Fig. A.1 On peut résumer en disant qu on n effectue d opérations que sur des vecteurs libres tandis qu on ne peut dessiner que des vecteurs liés. Remarque 2. La définition des vecteurs libres dont nous aurons besoin fera souvent référence à un point de l espace : vitesse du point M, moment d une force en un point P. Il sera alors fréquent de représenter de tels vecteurs libres par le vecteur lié ayant pour origine le point considéré. Mais il ne faudra pas perdre de vue que le concept mathématique introduit est celui de vecteur libre et qu il pourra entrer dans des expressions algébriques. Remarque 3. On note un vecteur libre de la manière suivante : V ou AA, cette deuxième notation faisant explicitement référence au vecteur lié (A, A ) représentant le vecteur libre. A Éléments caractéristiques d un vecteur libre Définition A.4 On appelle direction de droite (δ) l ensemble des droites parallèles à l une d entre elles. Sur la droite, ou sur l une quelconque de ses parallèles, deux sens de parcours sont possibles. Lorsqu un tel sens est choisi, on dit que l on a orienté la droite. Définition A.5 On appelle direction de droite orientée ( δ ) l ensemble des droites parallèles à une droite orientée et ayant même orientation qu elle. Longueur d un segment. L introduction d une longueur de référence (unité) permet, par comparaison, de définir la longueur de tout segment AA de l espace. L unité de longueur du système international est le mètre. Définition A.6 Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/ seconde.

149 A.1. VECTEURS LIBRES. ORIENTATION DE L ESPACE 143 Vecteur libre. Un vecteur libre V, tel qu il a été défini au paragraphe A à partir d un vecteur lié (A, A ), peut être caractérisé par la donnée : d une direction de droite orientée qui précise la direction du vecteur, celle de la droite (AA ). le sens du vecteur, celui de A vers A. d une longueur (nombre arithmétique) qui précise le module du vecteur, égal à la longueur AA. Notation : V ou V Définition A.7 L angle de deux vecteurs libres (dans l espace) est l angle de leurs directions de droite orientées, c est-à-dire un angle arithmétique compris entre 0 et π. Notation : ( V, V ) = ( δ, δ ) Remarque. Il n est pas possible d affecter un signe à un tel angle (contrairement à ce que l on saura faire dans un plan orienté). L ordre des vecteurs, ou de leurs directions orientées, est sans importance pour la définition de cet angle (Figs. A.2a et A.2b). L angle de deux vecteurs libres dans l espace est parfaitement défini par la donnée de son cosinus (le cosinus est positif si l angle est aigu, cas Fig. A.2a, et négatif s il est obtus, cas Fig. A.2b). Par contre, le sinus est positif dans tous les cas, mais une valeur du sinus correspond à deux cas de figure possibles. ( δ) θ ( δ) θ A ( δ ) ( δ ) A (a) (b) Fig. A.2 Vecteurs libres particuliers vecteur nul ou vecteur «zéro», 0 : son module est nul, sa direction ainsi que son sens sont indéterminés. vecteur unitaire : tout vecteur dont le module est égal à 1 : e = 1 vecteurs orthogonaux : deux vecteurs dont l angle est égal à π/2 : ( e x, e y ) = π/2 A Vecteurs glissants ou glisseurs La représentation géométrique des forces, telle qu elle sera décrite dans les chapitres du cours, fait appel au concept de vecteur glissant défini ci-dessous. Définition A.8 On appelle vecteur glissant, ou glisseur, l ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur lié (A, A ) et situés sur la droite (AA ). Il s agit donc d une notion intermédiaire entre le vecteur lié et le vecteur libre.

150 144 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE Éléments caractéristiques d un glisseur. (Fig. A.3) Un glisseur, tel qu il vient d être défini, peut être caractérisé par les éléments suivants : une droite orientée définissant le support du glisseur, à savoir la droite (AA ) le sens du glisseur, à savoir le sens de A vers A sur la droite (AA ) un nombre arithmétique définissant le module du glisseur, à savoir la longueur du segment AA B B A A Fig. A.3 Désignation d un glisseur. Un glisseur est parfaitement connu dès lors que l on indique un point A de son support et le vecteur libre V associé au vecteur lié (A, A ). On désignera donc souvent un glisseur par la notation {A, V }. A.1.2 Orientation de l espace Pour repérer la position de points ou d objets dans l espace, il est nécessaire d introduire des grandeurs algébriques, telles que les abscisses ou les angles. La définition du signe de ces grandeurs fait appel à des conventions d orientation qu il faut bien comprendre. Ainsi, la position d un point sur une droite est définie par son abscisse relativement à un point origine. Le signe de cette abscisse dépend du choix qui est fait pour l orientation de la droite. On a rappelé au paragraphe A.1.1 qu il y avait deux choix d orientation possibles sur une droite. Lorsque l origine et l orientation sont choisies sur une droite, on dit qu on a défini un axe. De même, un plan donné est susceptible de recevoir deux orientations. Nous reviendrons sur cette question au paragraphe A.1.3. L orientation de l espace à trois dimensions fait appel à l observation des triplets ordonnés de vecteurs libres, ou de vecteurs liés mais de même origine, non coplanaires. Les figures A.4a et A.4b représentent deux triplets ordonnés ( V1, V 2, V ) ( W 3 et 1, W 2, ) W 3. Ces deux triplets sont de nature opposée dans le sens suivant : pour le premier, un observateur situé sur le vecteur V 3 (dans le sens de ce vecteur) et qui regarde dans le sens du vecteur V 1 voit le vecteur V 2 pointer vers sa gauche ; pour le deuxième triplet, l observateur situé sur W 3 et regardant vers W 1 voit W 2 vers sa droite. Il est clair qu il n y a, pour un triplet ordonné, que ces deux possibilités. Définition A.9 Orienter l espace, c est choisir entre ces deux catégories de triplets ordonnés celle dont les triplets seront considérés comme positifs (ou directs). Les triplets ordonnés

151 A.1. VECTEURS LIBRES. ORIENTATION DE L ESPACE 145 de l autre catégorie sont alors dits négatifs (ou rétrogrades). Il est d usage de choisir pour triplets positifs ceux qui correspondent à la disposition de la figure A.4a) (triplets senestrorsum). On y fait référence en physique en parlant de la règle du«tire-bouchon» ou du «bonhomme d Ampère». gauche (a) (b) droite Fig. A.4 Nous ferons appel fréquemment à cette convention d orientation. Elle sera nécessaire à la définition du produit vectoriel de deux vecteurs libres. Dans le paragraphe suivant, elle permet d associer l orientation d un plan de l espace à celle choisie sur une droite perpendiculaire à ce plan. A.1.3 Plan orienté. Angles algébriques Orientation de l espace à deux dimensions. En géométrie plane, on travaille sur la «feuille de papier» ou sur le «tableau». Deux sens de rotation sont possibles : le sens «des aiguilles d une montre» et le sens opposé (sens trigonométrique). Orienter le plan consiste à choisir l un de ces deux sens afin d évaluer algébriquement les angles. La convention habituelle consiste à choisir le sens trigonométrique. Orientation d un plan dans l espace à trois dimensions. La convention précédente n a cependant plus de sens lorsque le plan considéré est situé dans l espace. Il peut alors être regardé d un côté ou de l autre, et ce qui correspond au sens des aiguilles d une montre pour un observateur situé d un côté sera le sens opposé pour un observateur situé de l autre côté (Fig. A.5). C est la raison pour laquelle nous n avons pas pu, au paragraphe A.1.1.2, affecter un signe à l angle de deux directions orientées ou de deux vecteurs libres dans l espace. Fig. A.5 On orientera donc un plan de l espace en précisant d abord quel est le demi-espace d où il faut regarder ce plan. Pour ce faire, on choisit sur une droite normale au plan une orientation. Le demi-espace d observation est alors celui vers lequel «pointe» la droite orientée (Fig. A.6)

152 146 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE telle que Oz. L orientation du plan, vu de ce demi-espace, est alors définie usuellement par la convention du sens trigonométrique. On marque ce choix par la considération des deux axes ordonnés Ox et Oy tels que l angle algébrique (Ox, Oy) soit égal à +π/2 pour l orientation ainsi choisie. On remarquera qu avec ces conventions, le triplet ordonné des directions orientées (Ox, Oy, Oz) est positif au sens de l orientation de l espace telle qu elle a été choisie au paragraphe A.1.2. z O y x Fig. A.6 A.2 Opérations sur les vecteurs libres Toutes les opérations qui mettent en jeu des vecteurs supposent qu il s agit de vecteurs libres, bien que ces opérations soient définies d un point de vue géométrique à partir de vecteurs liés qui représentent ces vecteurs libres. A.2.1 Opérations des espaces vectoriels Les deux opérations algébriques élémentaires de multiplication par un nombre réel et d addition des vecteurs conduisent à la construction des espaces vectoriels sur R (les éléments de R s appelant alors les scalaires). A Multiplication d un vecteur par un nombre réel Soit V un vecteur libre de direction orientée ( δ ) et de module l (> 0), et soit α un nombre réel (algébrique) quelconque. Définition A.10 On appelle produit du vecteur V par le nombre α, qu on note α V, le vecteur libre de direction (δ), ayant même sens que V si α > 0 et le sens opposé si α < 0, et dont le module est égal au produit α l. L ordre α V ou V α est sans importance. On ne met pas de point entre les deux facteurs. Exemples : si α = 0, le module de α V est nul, donc : 0 V = 0. si α = 1, le vecteur α V a le même module que V mais il est de sens opposé. On le note V et on dit que c est le vecteur opposé de V. Si l on considère le représentant de V d origine A, c est-à-dire le vecteur lié (A, A ) tel que AA = V, alors le vecteur α V a pour représentant d origine A le vecteur lié (A, A ) où A est l homothétique de A dans l homothétie de centre A et de rapport α (voir Fig. A.7, avec α = 3/2.)

153 A.2. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS LIBRES 147 A Addition des vecteurs α V A A A Fig. A.7 Considérons deux vecteurs libres V 1 et V 2, et les vecteurs liés (A, A 1 ) et (A, A 2 ) de même origine A qui les représentent (Fig. A.8). V A 2 V 2 V A A V 1 A 1 Fig. A.8 Définition A.11 On appelle vecteur somme des vecteurs libres V 1 et V 2 le vecteur libre V associé au vecteur lié (A, A ) construit sur la diagonale du parallélogramme de côtés AA 1 et AA 2. Notation : V = V 1 + V 2 ou AA = AA 1 + AA 2 Le vecteur libre ainsi défini ne dépend pas du point A choisi. Relation de Chasles pour les vecteurs. Les vecteurs liés (A, A 2 ) et (A 1, A ) sont équipollents de telle sorte que l on peut aussi écrire : AA = AA 1 + A 1A (A.1) A Espace vectoriel On peut montrer que les deux opérations qui viennent d être définies vérifient les propriétés suivantes : 1 V = V (A.2a) (α β) V = α ( β V ) (A.2b) V 1 + ( V2 + V ) ( 3 = V1 + V ) 2 + V3 = V 1 + V 2 + V 3 (notation) (A.3a) V + 0 = V (A.3b) V + ( V ) = 0 (A.3c) V 1 + V 2 = V 2 + V 1 (A.3d)

154 148 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE (α + β) V = α V + β V (A.4a) α ( V1 + V 2 ) = α V1 + α V 2 (A.4b) A.2.2 L ensemble de ces propriétés constitue les axiomes de définition d un espace vectoriel. Produit scalaire de deux vecteurs A Définition du produit scalaire Soient V 1 et V 2 deux vecteurs libres de l espace, de modules l 1 et l 2 respectivement. Désignons par θ l angle arithmétique (compris entre 0 et π) de ces deux vecteurs (cf. paragraphe A.1.1.2). Définition A.12 On appelle produit scalaire des vecteurs V 1 et V 2 le nombre algébrique défini comme le produit l 1 l 2 cos(θ). Notation : V 1 V 2 = l 1 l 2 cos(θ) = V1 V2 cos(θ) Dans cette opération, l ordre des vecteurs est indifférent. (A.5) A Propriétés du produit scalaire V V = V 2 (A.6) V 1 V 2 = 0 l un (au moins) des deux vecteurs est nul ou bien les deux vecteurs sont orthogonaux entre eux. Relation avec les opérations algébriques : α ( V1 V 2 ) = ( α V1 ) V2 V ( V1 + V 2 ) = V V1 + V V 2 (A.7) (A.8) A Projection orthogonale d un vecteur sur une direction de droite orientée Soient V un vecteur libre quelconque et e un vecteur libre unitaire : e = 1. On introduit u et V x par les relations suivantes : u = V e ; Vx = u e = ( V e ) e On vérifie immédiatement que le vecteur différence W = V V x est orthogonal au vecteur e. Par ailleurs, au vecteur unitaire e correspond, de manière biunivoque, une direction de droite orientée ( δ ). Définition A.13 Le vecteur V x s appelle projection (vectorielle) orthogonale du vecteur V sur la direction de droite orientée ( δ). Le nombre algébrique u est la projection algébrique du vecteur V sur ( δ). On peut donc écrire : V = ( V e ) e + W avec W e (A.9) La figure A.9, où tous les éléments (sauf W ) sont décrits géométriquement par leurs représentants d origine A (arbitraire), résume ce résultat.

155 A.2. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS LIBRES 149 V W A.2.3 A ( δ) e Vx Fig. A.9 Produit vectoriel de deux vecteurs libres Les notions qui vont être introduites dans ce paragraphe font intervenir l orientation de l espace. On aura intérêt à bien relire à ce sujet le paragraphe A.1.2. A Définition du produit vectoriel Considérons deux vecteurs libres V 1 et V 2, pris dans cet ordre et supposés de directions (δ 1 ) et (δ 2 ) différentes. Ces deux directions définissent une direction de plan et par suite la direction de droite (ω) perpendiculaire à cette direction de plan. De plus, on peut choisir sur (ω) une orientation telle que le triplet des directions de droites orientées {( δ1 ), ( δ2 ), ( ω) } soit positif (interviennent ici le choix de l orientation de l espace et l ordre des vecteurs V 1 et V 2 ). Par ailleurs, désignons par θ l angle (compris entre 0 et π) des deux vecteurs. Définition A.14 Le produit vectoriel des deux vecteurs libres V 1 et V 2 est le vecteur libre W ayant pour direction orientée ( ω) et pour module le produit suivant (toujours positif) : Notation : W = V1 V2 sin(θ) W = V 1 V 2 (A.10) En d autres termes, le produit vectoriel W = V 1 V 2 est le vecteur libre perpendiculaire au plan défini par les deux vecteurs V 1 et V 2, tel que le triplet ( V1, V 2, W ) soit positif (Fig. A.10), et de module égal au produit des modules et du sinus de l angle des vecteurs. W θ Fig. A.10 gauche Si l on change la convention d orientation de l espace, le produit vectoriel sera représenté par le vecteur libre opposé à celui qui vient d être défini. On dit qu un tel vecteur, dont la définition dépend de l orientation de l espace, est un pseudo-vecteur ou encore vecteur «axial» (par opposition avec les vecteurs ordinaires qui sont dits «polaires»). On signifie par là qu un tel V 2 V 1

156 150 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE vecteur dépend de la disposition des axes de coordonnées (voir plus loin) qui est elle-même liée à cette orientation. A Propriétés du produit vectoriel V 1 V 2 = 0 V1 = 0 ou (et) V2 = 0 ou θ = 0 ou π (A.11) Si le produit vectoriel de deux vecteurs est nul, ou bien l un (au moins) de ces vecteurs est nul, ou bien les vecteurs ont même direction. V 2 V 1 = V 1 V 2 ( ) α V1 V2 = α ( V1 V ) 2 (A.12) (A.13) (La définition géométrique du paragraphe A permet de démontrer ce résultat facilement). V 1 ( V2 + V 3 ) = V1 V 2 + V 1 V 3 (A.14) (on vérifiera plus loin ce résultat en utilisant les composantes des vecteurs sur une base : paragraphe A.3.3). A Produit mixte de trois vecteurs libres On verra plus loin qu on peut montrer (en utilisant les composantes, paragraphe A.3.3.2) la propriété suivante d invariance par permutation circulaire : V 1 ( V2 V 3 ) = V2 ( V3 V 1 ) = V3 ( V1 V 2 ) (A.15) Définition A.15 Le nombre algébrique ainsi défini est appelé produit mixte des trois vecteurs V 1, V 2, V 3 pris dans cet ordre, à une permutation circulaire près. Notation : ( V1, V 2, V 3 ) Le produit mixte change de signe si l on échange deux vecteurs (il suffit d utiliser (A.12)). Il est nul si deux vecteurs (au moins) sont de même direction (il suffit d utiliser (A.11)). A.3 Bases et composantes d un vecteur A.3.1 Base orthonormée Définition A.16 Un triplet de vecteurs libres non coplanaires est appelé base de l ensemble des vecteurs libres. On notera B = ( e x, e y, e z ) la base B composée des vecteurs libres ( e x, e y, e z ). Si ( e x, e y, e z ) forment un triplet positif de vecteurs (voir paragraphe A.1.2), alors la base est dite directe. Si les vecteurs libres composant la base B = ( e x, e y, e z ) sont orthogonaux deux à deux, alors la base B est orthogonale. Si, de plus, chaque vecteur est de norme égale à 1, alors la base B est dite orthonormée. Si la base B = ( e x, e y, e z ) est orthonormée, alors : { ex = e y = e z = 1 e x e y = e y e z = e z e x = 0

157 A.3. BASES ET COMPOSANTES D UN VECTEUR 151 Si de plus, la base B est directe, alors : e x e y = e z e y e z = e x e z e x = e y A.3.2 Nous ne considérerons dans la suite que des bases orthonormées directes. Composantes d un vecteur sur une base orthonormée Considérons la base B = ( e x, e y, e z ) orthonormée directe et les axes Ox, Oy, Oz définis par O (point quelconque de l espace) et par e x, e y, e z respectivement. Soit V un vecteur libre quelconque, représenté par le vecteur lié (O, M) tel que : V = OM. On introduit les trois points I, J, K qui sont les projections orthogonales du point M sur les trois axes Ox, Oy, Oz. On introduit aussi le point H qui est la projection orthogonale de M sur le plan défini par les deux axes Ox et Oy. On a vu au paragraphe A que : OI = ( ) OM ex ex OJ = ( ) OM ey ey OK = ( ) OM ez ez K z e z V M e x O e y J y x I H Fig. A.11 Par ailleurs, par définition de l addition des vecteurs, on a : or V = OM, donc on peut écrire : V = OI + OJ + OK = ( OM ex ) } {{ } u OH = OI + OJ e x + ( OM ey ) } {{ } v et e y + ( OM ez ) OM = OH + OK } {{ } w e z = u e x + v e y + w e z (A.16) Définition A.17 Les nombres (algébriques) u, v, w sont appelés composantes du vecteur (libre) V sur la base B = ( e x, e y, e z ).

158 152 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE On notera fréquemment ces composantes de la manière suivante : V u V u v ou v B w ( e x, e y, e z ) w (A.17) Remarques importantes : 1. Cette base B étant donnée, tout vecteur libre est représenté de manière unique par un triplet ordonné de nombres algébriques et inversement. 2. Un même vecteur libre V peut être projeté sur une base B 1 = ( e x1, e y1, e z1 ) différente de B = ( e x, e y, e z ). V pourra alors s écrire à la fois V = u e x + v e y + w e z et V = u 1 e x1 + v 1 e y1 + w 1 e z1. Il est alors fondamental de bien préciser la base dans laquelle on exprime le vecteur V, lorsque l on emploie la notation précédente : V u V u 1 v = v 1 B w B 1 w 1 3. Pour projeter un vecteur libre V sur les vecteurs d une base B = ( e x, e y, e z ), on peut toujours utiliser l équation suivante, déduite de l équation (A.16) : V = ( ) V ex e } {{ } x + ( ) V ey e y + ( ) V ez e } {{ } } {{ } z (A.18) u v w A.3.3 Expression des opérations en fonction des composantes A Multiplication par un scalaire et addition V 1 + V 2 si α V, α R V 1 B u 1 v 1 w 1 V si B V 2 et B u v w u 2 v 2 w 2 alors alors α V B V 1 + V 2 B α u α v α w u 1 + u 2 v 1 + v 2 w 1 + w 2 (A.19) (A.20) Les deux vecteurs V 1 et V 2 doivent absolument être dans la même base B. A Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte seulement en base orthonormée et pour des vecteurs exprimés dans la même base : Produit scalaire V 1 V 2 V 1 V 2 = (u 1 e x + v 1 e y + w 1 e z ) (u 2 e x + v 2 e y + w 2 e z ) = u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 en utilisant la définition d une base orthonormée (paragraphe A.3.1). Donc : V 1 V 2 = u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 (A.21) et aussi : V = u 2 + v 2 + w 2 (A.22)

159 A.4. REPÈRES DANS L ESPACE PHYSIQUE 153 Produit vectoriel V 1 V 2 V 1 V 2 = (u 1 e x + v 1 e y + w 1 e z ) (u 2 e x + v 2 e y + w 2 e z ) = (v 2 w 3 w 2 v 3 ) e x + (w 2 u 3 u 2 w 3 ) e y + (u 2 v 3 v 2 u 3 ) e z en utilisant la définition d une base orthonormée directe (paragraphe A.3.1). On peut aussi écrire ce résultat sous la forme : V 1 u 1 V 2 u 2 V v 1 1 V 2 v 1 w 2 w 1 v 2 v 2 = w 1 u 2 u 1 w 2 (A.23) B w B 1 w B 2 u 1 v 2 v 1 u 2 Remarque. Pour calculer facilement un produit vectoriel, il vaut mieux écrire les vecteurs en colonne. Une fois la première composante calculée, les autres s obtiennent par permutation circulaire : u v w Exercice. Utilisez la formule (A.23) pour établir la formule (A.14). Produit mixte ( V1, V 2, V ) 3 V 3 ( V1 V 2 ) = u3 (v 1 w 2 w 1 v 2 ) + v 3 (w 1 u 2 u 1 w 2 ) + w 3 (u 1 v 2 v 1 u 2 ) (A.24) On peut écrire aussi : V 3 ( V1 V 2 ) = u1 v 2 w 3 + w 1 u 2 v 3 + v 1 w 2 u 3 u 1 v 3 w 2 v 1 w 3 u 2 w 1 u 3 v 2 Avec cette dernière expression, il est simple d établir la relation (A.15). Pour calculer facilement un produit mixte, on remarque dans (A.24), qu une fois le premier terme calculé, les autres s obtiennent par permutation circulaire. A.4 Repères dans l espace physique Dans toute la suite, nous ne considérerons que les repères orthonormés. Définition A.18 Un repère R orthonormé de l espace est défini par la donnée d un point de l espace appelé origine, soit O, de trois vecteurs libres unitaires, orthogonaux deux à deux, soit B = ( e x, e y, e z ), la base orthormée associée au repère R. On introduit aussi les trois directions orientées Ox, Oy, Oz perpendiculaires deux à deux définies par O et par les trois vecteurs unitaires e x, e y, e z respectivement. Terminologie et notations. On parle alors du repère (O, xyz) ou bien du repère d origine O et de base B = ( e x, e y, e z ), noté selon les cas : R, (O, xyz), (O; xyz), (O; e x, e y, e z ) ou (O, B) On voit que l ordre des directions Ox, Oy, Oz ou des vecteurs e x, e y, e z est fondamental. Si la base B est directe, alors le repère ainsi défini est positif ou direct. Un repère étant donné, tout point M de l espace est alors représenté de manière unique par un triplet ordonné de nombres algébriques et inversement, comme dans le paragraphe A.3.2.

160 154 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE z M O y x H Fig. A.12 A.4.1 Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes Soit R = (O; e x, e y, e z ) un repère orthonormé positif donné. À tout point M de l espace, on associe le vecteur libre OM (Fig. A.12). Les composantes de OM sur la base (O; e x, e y, e z ) sont appelées «coordonnées cartésiennes du point M dans le repère R». Nous les noterons x, y, z. Cela revient à dire que OM = x e x + y e y + z e z (A.25) A.4.2 Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires dans le plan On considère un plan Π orienté conformément au sens de sa normale, correspondant à l axe Oz, et le repère R = (O; e x, e y, e z ). Dans le plan Π, le repère (O; e x, e y ) est donc un repère positif du plan. A Coordonnées cartésiennes dans le plan À tout point H du plan Π, on associe le vecteur libre OH (Fig. A.13). Les composantes de OH sur la base ( e x, e y ) sont appelées «coordonnées cartésiennes du point H dans le repère (O; e x, e y )». Nous les noterons x, y. y H + O x Cela revient à dire que Fig. A.13 OH = x e x + y e y (A.26)

161 A.4. REPÈRES DANS L ESPACE PHYSIQUE 155 A Coordonnées polaires dans le plan H étant un point quelconque de (O; e x, e y ), on considère la droite (OH) sur laquelle on choisit une orientation qui n est pas nécessairement celle du vecteur OH. On définit ainsi un axe Ox 1 (Fig. A.14). On désigne par : ρ : la mesure algébrique OH sur l axe Ox 1 ; ϕ : l angle algébrique (Ox, Ox 1 ), défini modulo 2 π. ρ et ϕ constituent un couple de «coordonnées polaires» associé au point H. y O z ρ = OH ϕ H x 1 x Fig. A.14 Sur la figure A.14, le petit cercle avec un point dans son intérieur signifie que l axe Oz est dirigé vers l avant du plan de la figure. Remarques. À un point H correspond une infinité de couples de coordonnées polaires : il y a déjà l infinité ρ, ϕ + 2 k π (k Z) si l on change le choix de l orientation de la droite (OH), l axe Ox 1 est changé en son opposé, donc ρ en ρ et ϕ en ϕ + π (modulo 2 π). on a donc la double infinité de points : { ρ, ϕ + 2 k π ρ, ϕ + π + 2 k π (k Z) (A.27) A.4.3 Coordonnées cylindriques z K M x O ϕ ρ H x 1 y Fig. A.15 Le repère R = (O; e x, e y, e z ) étant donné, on peut repérer un point M quelconque de l espace de la manière suivante : on considère les projections H sur le plan (O; e x, e y ) et K sur l axe Oz.

162 156 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE La position de H est repérée dans le plan par ses coordonnées polaires H(ρ, ϕ) et celles de K sur Oz par la mesure algébrique de OK sur l axe Oz, notée z. Le point M est repéré par le triplet (ρ, ϕ, z) appelé «coordonnées cylindriques» de M dans R = (O; e x, e y, e z ), avec l indétermination sur ρ et ϕ déjà signalée. Remarque. Les mesures algébriques ρ et z de OH et OK sur les axes Ox 1 et Oz sont aussi notées OH et OK (ρ = OH et z = OK). Relations avec les coordonnées cartésiennes Marche à suivre 1. On introduit d abord le vecteur unitaire e ρ qui correspond à l axe Ox Sachant d après l équation (A.25) que OM = x e x + y e y + z e z et aussi que : OM = ρ e ρ + z e z on peut déduire les relations entre (x, y, z) et (ρ, ϕ, z) Obtention des relations cherchées (A.28) e ϕ ey ϕ e ρ e z ϕ e x Fig. A.16 Dans le plan orienté défini par le repère orthonormé direct (O; e x, e y ), on introduit le vecteur e ρ et le vecteur e ϕ unitaire et tel que l angle orienté ( e ρ, e ϕ ) soit +π/2. Il est clair que : e ρ = cos(ϕ) e x + sin(ϕ) e y (A.29) e ϕ = sin(ϕ) e x + cos(ϕ) e y On a donc : OM = ρ e ρ + z e z = ρ [ cos(ϕ) e x + sin(ϕ) e y ] + z e z = x e x + y e y + z e z d où x = ρ cos(ϕ) y = ρ sin(ϕ) z = z (A.30)

163 A.5. EN RÉSUMÉ 157 A.5 En résumé Un résumé est forcément «réducteur». Ce paragraphe a seulement pour vocation d attirer l attention du lecteur sur les points capitaux du chapitre et ne peut constituer à lui tout seul «la» référence. Vecteurs libres, orientation de l espace Différence entre vecteur libre, vecteur lié et vecteur glissant : on n effectue d opérations que sur des vecteurs libres tandis qu on ne peut dessiner que des vecteurs liés. Orienter l espace, c est choisir pour triplets positifs (ou directs), entre les triplets «à gauche» et les triplets «à droite». Orienter un plan (dans l espace orienté), c est se donner un vecteur unitaire normal au plan. Opérations sur les vecteurs libres Produit scalaire : V 1 V 2 = V1 V2 cos(θ) avec 0 θ π Produit vectoriel : V1 V 2 = V1 V2 sin(θ) avec 0 θ π V 1 V 2 est un vecteur perpendiculaire à V 1 et à V 2. Son sens est tel que le triplet ( V1, V 2, V 1 V 2 ) soit positif (règle du bonhomme d Ampère). Bases et composantes d un vecteur Définition d une base orthonormée directe Composantes d un vecteur sur une base : un même vecteur a des composantes différentes suivant la base sur laquelle il est projeté toujours signaler dans quelle base on a projeté le vecteur. V = ( ) V ex e } {{ } x + ( ) V ey e y + ( ) V ez e } {{ } } {{ } z u v w Opérations en fonction des composantes. Repères dans l espace physique Un repère est défini par une origine est une base : R = (O, B) Coordonnées cartésiennes : x, y, z ; OM = x e x + y e y + z e z Coordonnées cylindriques : (ρ, ϕ, z) ; OM = ρ e ρ + z e z

164 158 ANNEXE A. VECTEURS ET REPÈRES DE L ESPACE

165 Bibliographie [1] Agati P. et Mattera N., Mécanique 1 : Modélisation, Cinématique, Statique, Dunod, [2] Gatignol Ph. et Potel C., Mécanique, Polycopié, Université Technologique de Compiègne, [3] Potel C. et M. Bruneau M., Acoustique générale, Ellipse, Paris, [4] Le courrier du CNRS, La Mécanique en 1988?, n 71,