Qu est-ce que la Mécanique?

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1 Unité d Enseignement LA 101 Qu est-ce que la Mécanique? Renée Gatignol Université Pierre et Marie Curie 2010

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3 Table des matières 1 Introduction Qu est-ce que la «mécanique»? La Mécanique? La Mécanique au travers de grands champs disciplinaires Plan du Cours L esprit du cours Mécanique des structures Objet de la résistance des matériaux Loi fondamentale de la statique Notion de forces Principe fondamental de la statique Théorème de l action et de la réaction Quelques exemples Liaisons parfaites dans l espace Liaisons parfaites dans le plan Problème plan Liaisons parfaites dans le plan Appui fixe, appui mobile Relations contraintes - déformations Phénomène de traction - compression Élasticité, plasticité, élasticité, rupture Dilatation thermique Mécanique des structures : Exercices avec correction Exercice 1 : Seau suspendu à un câble Exercice 2 : Seau et système de mouflage Exercice 3 : Portique plan constitué de deux barres soudées Exercice 4 : Portique plan constitué de deux barres articulées Exercice 5 : Loi de l élasticité linéaire de Hooke appliquée à un poteau en compression Exercice 6 : Trombone en traction Exercice 7 : Poteau en compression de section droite non constante Exercice 8 : Travé de pont Exercice 9 : Balustrade en acier Mécanique du vol Généralites sur les profils d ailes Qu est ce qu un profil d aile? Vitesse propre de l avion. Vitesse de l avion par rapport au sol. Incidence Écoulement autour d un profil et distribution des pressions i

4 ii TABLE DES MATIÈRES Effets de viscosité et couche limite Le décollement de la couche limite et le décrochage de l aile Analyse quantitative : portance et traînée Définitions et premières remarques Coefficient de portance et coefficient de traînée Polaire du profil Avion complet Coefficient de traînée et coefficient de portance pour l avion complet Polaire de l avion Avion en vol sur une trajectoire rectiligne Facteur de charge Les effets tridimensionnels Le décrochage, l hypersustentation Le décrochage L hypersustentation Mécanique du vol : Exercices avec correction Exercice 1 : Vol de croisière (en palier stabilisé) Exercice 2 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion Exercice 3 : Puissance nécessaire pour le vol de l avion et puissance utile Exercice 4 : Avion en montée ou en descente Énergétique Introduction Premier principe de la thermodynamique Observation : action mécanique résultant d un échauffement Système fermé, système ouvert Qu est-ce que l énergie? Chaleur, puissance calorifique Premier principe de la thermodynamique Dimensions - Unités - Exemples de conversion de l énergie Dimensions Unités Exemples d ordre de grandeur pour l énergie Conversion d énergie - Exemples Transformations thermodynamiques de base Observation. Variables d état. Lois d état Relations entre travail, chaleur, énergie et variables d état pour un gaz parfait Transformations thermodynamiques de base, dans le cas d un gaz parfait avec c p et c v constants Transformations dans un turbo-propulseur Transformations dans un turbo-propulseur Calcul des énergies mises en jeu dans chaque transformation Calcul du travail que doit fournir le compresseur Puissance mécanique récupérée sur l arbre Rendement d un turbo-propulseur - Cycles réels Calcul du rendement thermodynamique du turbo-propulseur Cycles réels Ordres de grandeur pour des turbo-propulseurs industriels Exercices avec correction

5 TABLE DES MATIÈRES iii Exercice 1 : Transfert et conversion d énergie Exercice 2 : Loi d état Exercice 3 : Transformations thermodynamiques Acoustique Introduction Historique Notion d onde mécanique Grandeurs caractéristiques d une onde Transmission acoustique Mouvements acoustiques - Domaine audible Ordres de grandeur de la pression acoustique Équations des ondes dans une corde Fonctions de deux variables et dérivées partielles Équation des ondes transversales dans une corde Ondes dans une corde, modes propagatifs Onde progressive sinusoïdale Application : propagation d une onde sismique à la surface de la terre Conditions aux limites Ondes stationnaires Application aux cordes de piano Équation des ondes dans un tube Équation des ondes dans un tube Conditions aux limites Calcul des modes stationnaires dans un tube Équation des ondes dans l espace à trois dimensions Quelques définitions dans le domaine de l acoustique Source ponctuelle Intensité acoustique, niveau sonore Notions sur la gêne due au bruit Acoustique : Exercices avec correction Exercice 1 : Vibration transversale d une corde fixée en ses deux extrémités Exercice 2 : Bruit d un aéroport A Vecteurs et repères de l espace 141 A.1 Vecteurs libres. Orientation de l espace A.1.1 Vecteurs liés, vecteurs libres A.1.2 Orientation de l espace A.1.3 Plan orienté. Angles algébriques A.2 Opérations sur les vecteurs libres A.2.1 Opérations des espaces vectoriels A.2.2 Produit scalaire de deux vecteurs A.2.3 Produit vectoriel de deux vecteurs libres A.3 Bases et composantes d un vecteur A.3.1 Base orthonormée A.3.2 Composantes d un vecteur sur une base orthonormée A.3.3 Expression des opérations en fonction des composantes A.4 Repères dans l espace physique A.4.1 Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes A.4.2 Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires dans le plan

6 iv TABLE DES MATIÈRES A.4.3 Coordonnées cylindriques A.5 En résumé

7 Chapitre 1 Introduction 1.1 Qu est-ce que la «mécanique»? La Mécanique? «La Mécanique? Vous connaissez bien sûr cette inconnue familière. Elle est tellement présente dans chacun de nos mouvements et dans notre environnement que nous finirions par l oublier si, dissimulée et imprévisible, elle ne se révélait souvent comme la cause de nos échecs. Cette science est parmi les plus anciennes qui soient. Parfois éclipsée par les progrès rapides de sciences plus récentes, elle ressurgit brillamment à l occasion de nos grandes réalisations : construction de la Tour Eiffel en 1888, avènement des vols supersoniques à la fin du XX e siècle (avion Concorde), conception d appareils modernes (avion Airbus A 380), vols spatiaux actuels (station orbitale Colombus, Station Spatiale Internationale (ISS)), robots intelligents,...». Extrait de «Le courrier du CNRS», N 71, La Mécanique comme «industrie» joue un rôle central. Citons les industries mécaniques au sens traditionnel du terme, complétées par la conception et fabrication assistée par ordinateur (CFAO), les ateliers flexibles et l intelligence artificielle. Citons aussi les industries des transports (sur route, sur voie ferrée, sur l eau, dans l air), les industries aérospatiales, les industries nucléaires, les industries d extraction (génie pétrolier, génie minier), les industries du génie civil,... Associée à d autres disciplines, la Mécanique est présente dans de très nombreux domaines : météorologie, océanographie, biomécanique, génie biomédical, acoustique, robotique, La Mécanique au travers de grands champs disciplinaires Le contenu de ce paragraphe est extrait de la revue «Le courrier du CNRS», N 71, 1988 L image que l on se fait de la Mécanique se limite souvent à celle des mécanismes ou assemblages de points et corps rigides. Mais la Mécanique, telle que l affrontent actuellement les chercheurs et les ingénieurs, fait apparaître des grands champs disciplinaires. Nous allons donner un aperçu des principaux grands champs. La mécanique des fluides L amélioration des performances aérodynamiques d un avion ou d une voiture nécessite une excellente connaissance de l écoulement de l air autour du véhicule. C est le rôle de la mécanique des fluides de comprendre et de maîtriser cet écoulement. On doit aussi étudier le comportement des gaz dans les réacteurs ou les moteurs, leur compression, leur combustion et leur éjection, facteurs essentiels d un bon rendement. Mais même dans un avion, la mécanique des fluides ne 1

8 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION se préoccupe pas que de gaz : les écoulements de liquide dans les tuyauteries ne sont pas un problème mineur. La mécanique des structures Les diverses structures du génie civil, barrages, plates-formes en mer, murs de soutènement, gros oeuvre de bâtiment, ont pour objet principal de supporter des charges sans rupture ni déformation excessive. Les différentes parties d un avion sont soumises à des efforts, et donc subissent des déformations dont les limites acceptables doivent être parfaitement déterminées. Les problèmes d interaction entre un fluide et une structure constituent une préoccupation pour les ingénieurs et les chercheurs, par exemple le comportement au vent d ouvrages souples tels que les ponts à haubans. La mécanique des matériaux Qu il s agisse d éléments de structures, du train d atterrissage ou des pièces de moteur d un avion, la résistance mécanique dépend du choix des matériaux employés dont on doit très bien connaître le comportement sous diverses sollicitations (vibrations, température,... ). Ceci est particulièrement vrai pour les matériaux nouveaux (composites, superalliages,... ). Ces sollicitations peuvent provoquer des endommagements par «fatigue» du matériau ou bien le développement de fissures. Dans le cas des installations nucléaires, des moyens considérables sont consacrés pour améliorer l ensemble de nos connaissances et établir des règles valables pour les décennies à venir. L acoustique Science du son, l acoustique en étudie la production, la transmission, la détection et les effets sur l environnement. Notons que la notion de son n est pas seulement attachée à la sensation auditive, mais aussi à tous les autres phénomènes gouvernés par des principes physiques analogues. C est ainsi que les infrasons et les ultrasons, la propagation acoustique dans les milieux denses liquides ou solides, et les vibrations relèvent de la notion générale d acoustique. Citons quelques domaines de prédilection de l acoustique : le contrôle non destructif, l acoustique sousmarine, l acoustique médicale (échographie), l acoustique musicale (analyse et synthèse des sons, fonctionnement des instruments de musique), l acoustique architecturale, l acoustique de l environnement (lutte contre le bruit), etc. Les mécanismes et la tribologie L équipement mécanique d un avion (train d atterrissage, systèmes de fermeture des portes, actionneurs des volets d essuie-glaces,... ), comme de toute machine complexe (machine agricole, robot,... ), est un monde de «mécanismes». On peut définir les «mécanismes» comme des outils inventés par l homme pour accroître sa force ou effectuer des tâches qu il ne pourrait réaliser par lui-même. Ce sont des assemblages de corps indéformables ou déformables reliés entre eux par des liaisons. La tribologie regroupe tout ce qui touche à la lubrification, au frottement et à l usure. Elle a pour but de faire fonctionner les mécanismes et elle cherche à diminuer le frottement et l usure qui sont des sources principales de gaspillage de l énergie. L énergétique Le problème de l énergie est à l heure actuelle, un problème vital que les chercheurs et les ingénieurs ont à résoudre. Notons que les activités liées à l énergie font appel à de nombreux secteurs de la mécanique. Il y a l étude des sources d énergie et de leur exploitation (sources

9 1.2. L ESPRIT DU COURS 3 solaire, éolienne, géothermique, nucléaire,... ). Un second domaine concerne la transformation de l énergie d un type donné en un autre type, et plus particulièrement d une énergie dégradée (chaleur) en une énergie noble (mécanique, électrique). Enfin, le transport et le stockage de l énergie, en particulier le stockage thermique, constituent un autre domaine d étude. Comme exemples de stockage mécanique, on peut citer le volant à inertie, la mise sous pression d un gaz, l utilisation de la gravité (barrage hydraulique), Plan du Cours Ce document intitulé «Qu est-ce que la Mécanique?» a pour objectif de présenter différentes facettes de la Mécanique, dans ses techniques comme dans ses secteurs d applications. Le polycopié comprend quatre thèmes qui illustrent chacun un aspect de la Mécanique. Une Annexe intitulé «Vecteurs et repères de l espace» complète le document. Les quatre thèmes sont : Mécanique des structures (Chapitre 2) Mécanique du vol (Chapitre 3) Énergétique (Chapitre 4) Acoustique (Chapitre 5) Annexe Le document est organisé suivant les quatre thèmes indiqués, avec pour chacun d eux, une partie de cours et des exercices corrigés. Une Annexe intitulée «Vecteurs et repères de l espace» complète le document. 1.2 L esprit du cours Le contenu de ce paragraphe est extrait du polycopié «Mécanique», Ph. Gatignol et C. Potel, Université de Technologie de Compiègne, La Mécanique classique La Mécanique, dans le cadre de ce cours, peut être définie comme la science de l équilibre et du mouvement. Certes, le terme Mécanique intervient dans diverses branches de la Physique : mécanique quantique, mécanique statistique, mécanique relativiste. Il s agit alors de domaines concernés par des situations extrêmes : l infiniment petit et la structure intime de la matière, ou les grandes échelles d espace et de temps. Nous nous intéressons pour notre part aux phénomènes qui se produisent à l échelle humaine. On parle alors de mécanique classique. Son champ d application est cependant encore très vaste puisqu il s adresse aussi bien au mouvement des petites particules qu à celui des astres du système solaire, en passant par l étude des objets terrestres, qu ils soient naturels (le corps humain par exemple) ou fabriqués par l homme (tels que les machines). Observation et modélisation La Mécanique, comme la plupart des sciences physiques, repose actuellement sur deux démarches complémentaires : l observation et la modélisation. Observation - Expérimentation L observation est de loin la démarche la plus ancienne. Sans doute remonte-t-elle aux premiers pas de l Homme sur la Terre. Par nécessité vitale, l homme doit maîtriser,

10 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION c est-à-dire comprendre et prévoir, les effets de l attraction terrestre pour contrôler son équilibre ou pour préciser la trajectoire d un projectile. On peut donc penser que l observation de ces phénomènes élémentaires a fait partie de tout temps du quotidien de l homme. Lorsque l observation devient organisée, réfléchie, répétée, avec la recherche de liens entre causes et effets, on passe au stade plus évolué de l expérimentation. Celleci implique en général des actions de comparaison entre diverses causes ou divers effets. On pénètre alors dans le domaine de la mesure, donc de l instrumentation, conduisant à la quantification des observations : on obtient ainsi des résultats de mesures. Très vite alors, l introduction d outils mathématiques s impose : l usage des nombres, entiers puis fractionnaires, pour chiffrer la mesure ; des éléments de géométrie et de repérage dans l espace (théorie des vecteurs) pour décrire les formes ou les mouvements simples ; les nombres irrationnels (liés à la forme du carré), transcendants (inhérents au cercle) ; les opérations élémentaires sur ces nombres sitôt que l on doit ajouter ou multiplier des grandeurs ; l algèbre enfin, qui règle ces opérations. Ces outils, une fois construits, permettent en retour de décrire la réalité observée pourvu que l on accepte de la simplifier quelque peu. Ainsi, la chute d un corps peut être considérée comme rectiligne si l on néglige la rotation de la Terre et les effets visqueux de l air. Avec les mêmes simplifications, la durée de la chute apparaît comme proportionnelle à la racine carrée de la hauteur parcourue. Des lois commencent alors à se dégager et les liens peu à peu établis entre causes et effets ouvrent la voie à une démarche prédictive. Modélisation - Simulation Apparaissent ainsi très naturellement les prémices de la modélisation. La modélisation peut être définie comme la démarche qui consiste à construire des schémas plus ou moins simplifiés du réel, à distinguer voire à séparer les différents phénomènes physiques mis en jeu, à en dégager les lois essentielles, à traduire ces lois sous une forme mathématique permettant le calcul et à bâtir ainsi des modèles physicomathématiques suffisamment simples pour que leur étude permette d enrichir la compréhension et ensuite, connaissant les causes, d en prédire les effets. Cette démarche peut en somme se résumer par les deux termes schématisation et rationalisation (au sens de l étude par le raisonnement et le calcul). On conçoit, par l esquisse qui vient d être donnée, que l idée du modèle était certainement présente dans l esprit des savants depuis les premières observations systématiques des phénomènes naturels. Mais la modélisation n a vraiment pris son plein essor qu avec les progrès des mathématiques, notamment avec les théories du calcul infinitésimal introduites par Newton et par Leibniz au 17 e siècle et avec elles les premières résolutions d équations différentielles, puis au 18 e siècle grâce à la théorie moderne des fonctions et à l apparition des équations aux dérivées partielles (Euler, Cauchy, d Alembert). Un nouveau pas a été franchi à la fin du 19 e siècle avec la mise au point des premières méthodes asymptotiques, c est-à-dire approchées (par Poincaré notamment) inspirées à l origine par l observation des phénomènes de perturbations dans le mouvement des planètes. Enfin, au 20 e siècle et jusqu à nos jours, les progrès gigantesques du calcul numérique et des outils informatiques ont donné à la modélisation une place de tout premier plan dans l activité scientifique, au point que le terme modélisation est à présent parfois utilisé dans le sens de modélisation numérique.

11 1.2. L ESPRIT DU COURS 5 Grâce au développement du calcul numérique, la modélisation devient un outil de prédiction de plus en plus élaboré. Si la démarche première de simplification des objets, d isolation des phénomènes pour mieux les comprendre, demeure une activité scientifique essentielle, ne serait-ce que sur le plan pédagogique, les performances du calcul permettent aujourd hui, dans un esprit un peu contraire, de prendre en compte une description des objets étudiés la plus détaillée possible. On introduit ainsi des effets physiques de plus en plus nombreux, et éventuellement couplés, afin de «coller au mieux» à la réalité et de pouvoir prédire des comportements avec une grande précision. On parle alors de simulation. La simulation, nécessairement numérique, intervient souvent comme une démarche de recherche industrielle. Elle s introduit de plus en plus dans les activités de la conception. Grâce à elle, les constructeurs peuvent à présent faire l économie de nombreux essais qui nécessitaient l élaboration longue et coûteuse de prototypes. Observation et modélisation : une complémentarité Il serait erroné d en conclure que l expérimentation a été reléguée au rang des accessoires, et probablement utopique de croire que cela puisse arriver un jour. La mise au point des grands codes de calculs prédictifs, associés à une démarche de simulation de plus en plus complexe, ne peut se faire sans un retour vers l observation directe des phénomènes, sur la base d expériences précises permettant d obtenir des résultats de mesure les plus fiables possibles : c est l étape dite de «validation» de la méthode numérique. Les résultats expérimentaux permettent de corriger ou même d enrichir les modèles de la simulation (en précisant par exemple des valeurs de constantes physiques, ou des lois de comportement de matériaux) : c est le «recalage» du modèle. À l inverse, les résultats de calcul fournis par la simulation permettent de revoir l expérimentation soit au niveau de la mesure (où placer les capteurs?), soit même au niveau de sa définition (quelles données ou quelles géométries considérer?). Ainsi, observation et expérimentation d une part, modélisation et simulation d autre part, sont devenues aujourd hui deux démarches scientifiques indissociables et complémentaires. La figure 1.1 présente un diagramme qui résume cette complémentarité et ce couplage entre ces deux approches. L apprentissage de la modélisation Face à un objet, naturel ou manufacturé, existant ou à construire, l ingénieur scientifique doit être capable d effectuer les opérations qui vont lui permettre d obtenir un «bon modèle». Schématisation et rationalisation, nous l avons dit, résument les diverses étapes qui vont le conduire à ce résultat. C est le but essentiel de ce cours que d apprendre, sur des objets simples de la mécanique quotidienne, à franchir ces différentes étapes. C est donc la schématisation de ces objets et l écriture des équations permettant d en prédire le mouvement ou le comportement qui seront au centre de nos préoccupations. La résolution (analytique) des équations obtenues, lorsqu elle sera possible, permettra ensuite d accéder à un certain nombre de résultats tels que des calculs d efforts à l équilibre ou des descriptions, au moins qualitatives, de comportements. Il ne sera pas possible, dans le cadre de l UE, d effectuer des confrontations expérimentales, mais on ne manquera pas à chaque fois de faire appel à son intuition et à son sens pratique pour analyser le bien fondé des résultats obtenus.

12 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Modélisation ou simulation MODELES Outils mathématiques Lois physiques EQUATIONS Résolution analytique ou numérique RESULTATS de calculs OBJET existant ou à construire Comprendre ou prévoir RETOUR CONFRONTATION MAQUETTES ESSAIS MESURES Bancs expérimentaux RESULTATS d expériences Observation ou expérimentation Fig. 1.1 Observation et modélisation : une complémentarité Mais la démarche essentielle demeurera l élaboration de modèles physico-mathématiques corrects, sous des hypothèses physiques clairement formulées. En ce sens, l apprentissage de la modélisation est une école de rigueur. On ne saurait écrire d équations justes sur la base d un schéma mal précisé. On portera une attention toute particulière à la représentation géométrique des objets et au repérage de leurs positions dans l espace. Également, on aura le souci constant de l analyse dimensionnelle des grandeurs physiques introduites et l on veillera, de ce point de vue, à l homogénéité des équations écrites. Les étapes de la modélisation La construction d un modèle en mécanique peut être vue comme la succession d un certain nombre d étapes à mesure que les grandeurs physiques élémentaires sont introduites. Le tout premier stade consiste à décrire la forme des objets, leurs dimensions, leur aptitude à se déformer, leurs positions relatives lorsque plusieurs constituants sont considérés,... Les grandeurs physiques essentielles sont ici la longueur (L) et la notion d angle. Le concept de vecteur est fondamental. Il conviendra avant toute chose de préciser soigneusement dans l espace physique les repères qui permettront de définir les grandeurs algébriques (coordonnées, abscisses et angles). De plus, on fait en général sur l objet considéré un certain nombre d hypothèses simplificatrices : on supposera par exemple l indéformabilité (solide rigide), on négligera certaines épaisseurs, schématisant une barre par un segment de droite ou une plaque par un élément de surface.

13 Chapitre 2 Mécanique des structures 2.1 Objet de la résistance des matériaux Les divers ouvrages et machines, que l on rencontre dans la vie courante, doivent posséder en plus de beaucoup d autres propriétés et qualités, celles de la «résistance». On entend par «résistance» la propriété de résister à la destruction sous l action des forces extérieures. On notera qu en «Résistance des Matériaux», (RDM), on utilise la terminologie charges ou chargements au lieu de forces extérieures. Avant d aller plus en avant, on va donner quelques exemples d ouvrages ou de machines où la connaissance de sa «résistance» est absolument indispensable. Les premiers exemples présentés sont très schématisés, mais les derniers issus du monde réel sont plus complexes. 1. Ouvrage de Bercy 126 m Piliers de soutien de la toiture Vanne Vue de dessus de la toiture eau 77 m (a) (b) Fig. 2.1 a) Ouvrage de Bercy - b) Vanne de retenue d eau Les quatre piliers cylindriques sont identiques, en béton et de hauteur : H = 24 m (Fig. 2.1a). Connaissant les caractéristiques mécaniques du béton, les calculs de RDM doivent permettre de déterminer, d une part le rayon minimal des piliers pour soutenir la toiture, et d autre part leur raccourcissement. 2. Vanne de retenue d eau Une vanne schématisée par un secteur circulaire ferme une retenue d eau (Fig. 2.1b). L eau exerce sur la vanne des efforts de pression. Les calculs de RDM doivent permettre de calculer sa résistance. 3. Pont roulant 7

14 8 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Pont roulant Pilier Pilier Fig. 2.2 Pont roulant Un pont roulant repose sur deux piliers (on dit que le pont repose sur deux appuis) (Fig. 2.2). Les calculs de RDM doivent permettre de déterminer la charge maximum que peut supporter le pont roulant. 4. Potence, toit de ferme Dans le cas d une potence (Fig. 2.3a), les calculs de RDM doivent permettre de déterminer la charge maximum qu elle peut supporter. Dans le cas d un toit de ferme (Fig. 2.3b), connaissant les efforts dus au vent et le poids du toit, les calculs doivent permettre de prévoir le dimensionnement de la charpente. Vent (a) (b) Fig. 2.3 a) Potence - b) Toit de ferme 5. Exemples d ouvrages réels Nous présentons maintenant quelques exemples d ouvrages réels, donc plus complexes. Un robot industriel utilisé pour le déplacement de pièces à partir d un poste de travail A représenté sur la figure 2.4 (dessin extrait du livre de P. Agati et N. Mattera, Mécanique 1 : Modélisation, Cinématique, Statique, Dunod, 1994, page 215). Un pantographe du T.G.V. (Fig. 2.5) et sa schématisation (Fig. 2.6) pour le captage du courant à grande vitesse. Il s agit d un mécanisme très complexe. Le mouvement de montée et de descente du pantographe est assurée par des ressorts et un vérin pneumatique. (Photo et dessin extraits du livre de P. Agati et N. Mattera, Mécanique 1 : Modélisation, Cinématique, Statique, Dunod, 1994, pages 248 et 250).

15 2.1. OBJET DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 9 articulation du «coude» articulation du «poignet» pince bras supérieur manchette contrepoids bras inférieur articulation de «l épaule» bâti mobile embase fixe Fig. 2.4 Robot industriel Fig. 2.5 Photo d un pantographe L objet de la RDM (Résistance Des Matériaux) est de présenter des méthodes de calcul pour déterminer la résistance des éléments de la construction. On verra que l on sera aussi amené à déterminer les changements de forme et de dimension (déformations) des différents éléments de la construction sous l effet des charges. Notons que dans beaucoup de cas concrets, les déformations en question sont très petites ; elles ne peuvent être détectées qu avec des appareils spéciaux appelés «extensiomètres». Ces déformations n affectent alors pas l étude de l équilibre de la construction d où l intérêt de la mécanique du corps solide indéformable. Dans ce qui suit nous présentons l équilibre statique d un ou plusieurs corps avec : l énoncé du principe fondamental de la statique, l étude des liaisons entre deux corps solides. Nous présenterons ensuite quelques exemples de déformations avec : le phénomène de traction - compression sous l effet d un chargement, le phénomène de dilatation thermique.

16 10 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Fig. 2.6 Schématisation d un pantographe 2.2 Loi fondamentale de la statique Notion de forces On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir le corps au repos (ou de créer son mouvement). Les actions mécaniques peuvent être à distance (pesanteur, champ électro-magnétique,... ) ou de contact (chargement ponctuel (c est-à-dire en un point), liaisons surfaciques,... ). Le but de ce paragraphe est de choisir une représentation mécanique pour les actions mécaniques. a) Force exercée sur un point matériel Les actions mécaniques s exerçant sur un point matériel peuvent être schématisées (c est-àdire caractérisées) par un vecteur glissant (ou glisseur) : voir A Ce vecteur glissant est parfaitement défini par un point de son support et un vecteur libre. Notons M le point matériel et F le vecteur libre (Fig. 2.7a). On dira : force F appliquée au point M. On dira aussi glisseur et on écrira : {M, F }. On peut avoir sur un point matériel M plusieurs forces F 1, F 2, F 3 (Fig. 2.7b). F = F 1 + F 2 + F 3 est la résultante des trois forces F 1, F 2, F 3. b) Moment en point A d une force exercée sur un point matériel On définit le moment en A de la force F appliquée au point M (c est-à-dire le glisseur {M, F }) par la quantité : M A M A ({M, F }) = AM F Remarque Soit δ la droite support de {M, F } (Fig. 2.7c). Alors (voir A.2.3.2) : A δ AM F = 0 M A ({M, F }) = 0

17 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 11 F 3 F 2 A F F1 (a) M (b) M F 3 F 1 F (c) A δ M M 2 (d) M 3 M 1 F 2 M 4 F 4 Fig. 2.7 Forces schématisées par des vecteurs glissants c) Forces exercées sur un ensemble de points matériels On considère un ensemble de points matériels M 1, M 2,..., M n, sur lesquels s exercent respectivement les forces F 1, F 2,..., F n (Fig. 2.7d). On appelle T l ensemble des forces {M i, F i }, i = 1, 2,..., n. Définitions On appelle résultante de T le vecteur : i=n R(T ) = On appelle moment en A de T le vecteur : M A (T ) = i=1 F i i=n AM i F i i=1 R(T ) est un vecteur libre. M A (T ) est défini en chaque point A de l espace : on dit que l on a un champ de vecteurs. Soit B un second point. Cherchons la relation entre M A (T ) et M B (T ) : M B (T ) = i=n BM i F i=n i = i=1 i=1 ( ) BA + AM i Fi = i=n BA i=1 i=n F i + AM i F i i=1 soit : M B (T ) = BA R(T ) + MA (T ) (2.1) La formule (2.1) est dite formule de transport pour les vecteurs du champ de moment.

18 12 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Propriétés En général, il n existe pas de point A tel que M A (T ) = 0. Si A et B appartiennent à une même droite parallèle à R(T ), alors : M A (T ) = M B (T ). En effet dans ce cas, BA R(T ) = 0 (voir A.2.3.2), et l égalité M A (T ) = M B (T ) en résulte. Si R(T ) = 0, on voit sur la formule (1) que M A (T ) = M B (T ), A et B. On dit que T est un couple. d) Forces réparties en volume Les forces exercées sur un système matériel occupant un volume V peuvent être réparties dans le volume V avec une densité volumique r(m). Autour de chaque point M de V, on considère un petit volume V et la force F exercée sur ce petit volume est F = r(m) V appliquée en M (Fig. 2.8a). Soit T l ensemble de ces forces. On appelle résultante de T le vecteur obtenu en ajoutant tous les petits vecteurs F = r(m) V. Autrement dit : R(T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs r(m) V. Nous avons ici la notion d intégrale sur le volume V et nous écrirons en remplaçant V par l élément de volume infiniment petit dv : R(T ) = V r(m) dv On appelle moment en A de T, le vecteur obtenu en sommant tous les moments en A des petits vecteurs F = r(m) V. Autrement dit, M A (T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs AM r(m) V. Comme ci-dessus, nous avons ici la notion d intégrale sur le volume V et nous écrirons : M A (T ) = AM r(m) dv V Exemple : Champ de la pesanteur uniforme On note g le vecteur accélération de la pesanteur supposé constant. On introduit ρ(m) la masse volumique en chaque point M de V, c est-à-dire la masse de l unité de volume en M. La masse totale de V est m(v), et le centre d inertie de V est noté G. Par définition on a : m(v) = V ρ(m) dv ; Le vecteur r(m) précédent est ici égal à ρ(m) g (Fig. 2.8b). V ρ(m) GM dv = 0 Ainsi R(T ) est égale à la somme sur V des petits vecteurs ρ(m) g V. Comme g est constant, on peut écrire : R(T ) = V ρ(m) g dv = g V ρ(m) dv = m(v) g De manière similaire, M A (T ) est égal à la somme sur V des petits vecteurs AM (ρ(m) g) V.

19 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 13 A V F G A V M (a) V g (b) F = r(m) S M S l M F = r(m) l S (c) l (d) Sachant que AM = AG + GM, on a : M A (T ) = car l intégrale V Fig. 2.8 Forces volumiques, surfaciques et linéiques = V V ( = ( AM) (ρ(m) g) dv = AG (ρ(m) g) dv + V ) ( ρ(m) dv AG g + V V V ( AG + GM) (ρ(m) g) dv GM (ρ(m) g) dv = m(v) AG g = AG (m(v) g) = AG R(T ) ) GM ρ(m) dv g GM ρ(m) dv = 0 d après la définition du centre d inertie G de gravité de V. Résultat (très important) Les efforts de pesanteur sur le volume V, dans un champ de pesanteur uniforme, sont donc équivalents pour leur résultante et leur moment en un point A, à une force unique m(v) g appliquée au centre d inertie G de V. En d autres termes, les efforts de pesanteur sur V sont équivalents au glisseur {G, m(v) g}. e) Forces réparties en surface, forces réparties en ligne On a pour les forces réparties en surface et les forces réparties en ligne, les mêmes définitions et propriétés que pour les forces réparties en volume. Les petites forces s exercent ici, soit sur des petites surfaces S (Fig. 2.8c), soit sur des petits arcs l (Fig. 2.8d). Les intégrales de volume sont à remplacer par des intégrales sur une surface ou sur une ligne. Exemples Les forces de contact entre un pneu et la chaussée correspondent à des forces réparties en surface. Les efforts de pression d un liquide sur une paroi correspondent aussi à des forces réparties en surface. Un rideau suspendu à une tringle exerce sur celle-ci des efforts répartis en ligne.

20 14 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Principe fondamental de la statique Les objets dans l espace physique sont repérés par rapport à un repère (voir Annexe). Si on s intéresse au mouvement de ces objets, il faut introduire le temps. On appelle «Référentiel» l ensemble d un repère et d un temps. À chaque instant, un objet en mouvement, ou au repos, est repéré par sa position par rapport au repère donné dans l espace. Énoncé du principe fondamental de la statique Il existe un référentiel R 0 dit galiléen (ou absolu) tel que tout système matériel Σ est en équilibre (c est-à-dire au repos) dans R 0 si et seulement si les efforts extérieurs T s exerçant sur Σ ont une résultante nulle et un moment en un point donné quelconque, nul, et ceci quel que soit l instant considéré. Σ est en équilibre dans R 0 R(T ) = 0 et M A (T ) = 0 (2.2) Remarque D après (1) : M A (T ) = 0 en un point A M B (T ) = 0 en tout point B de l espace Remarque Existence des repères galiléens : en toute rigueur, un repère galiléen n existe pas. L énoncé donné ici (et de même l énoncé analogue dans le cas du mouvement) l est dans le cadre de la Mécanique newtonnienne (Mécanique de Newton). On sait, avec les théories de la relativité de Einstein, que la mécanique newtonnienne n est qu une approximation. Mais cette approximation est très bonne et même excellente pour de nombreux phénomènes et en particulier pour les problèmes de RDM. Pour ces derniers on admet que le référentiel lié à la terre est galiléen. À noter les dates suivantes : Newton ( ) et Einstein ( ). Remarque Il faut bien noter que l énoncé du principe fondamental de la statique pour un système matériel Σ en équilibre ne fait intervenir que les forces extérieures au système Σ Théorème de l action et de la réaction Soient Σ 1 et Σ 2 deux systèmes matériels sans partie matérielle commune (Σ 1 Σ2 = ) (Fig. 2.9a). Les forces extérieures à Σ = Σ 1 Σ 2 ne sont pas en général la réunion des forces extérieures à Σ 1 et de celles extérieures à Σ 2, comme ceci est expliqué ci-après. Notons Ext tout ce qui est extérieur à la fois à Σ 1 et à Σ 2. Soient T 1 et T 2 les efforts extérieurs respectivement à Σ 1 et à Σ 2 et exercés par Ext. La somme T 1 + T 2 représente les efforts extérieurs à Σ = Σ 1 Σ 2 exercés par Ext (Fig. 2.9b). Soient enfin T 1 2 les efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, et T 2 1 les efforts exercés par Σ 2 sur Σ 1 (Fig. 2.9a). Notons que les efforts T 1 2 et T 2 1 sont des efforts intérieurs au système Σ 1 Σ 2. D après les définitions données pour les résultantes et pour les moments en un point A, on a : R(T1 ) + R(T 2 = R(T 1 ) + T 2 ), M A (T 1 ) + M A (T 2 = M A (T 1 ) + T 2 )

21 2.2. LOI FONDAMENTALE DE LA STATIQUE 15 T 1 Ext. Σ 1 T 2 1 Ext. Σ 2 T 2 A T 1 2 (a) Ext. Ext. T 1 Σ 1 Σ 2 T 2 A Σ 1 Σ 2 Fig. 2.9 Théorème de l action et de la réaction (b) Écrivons la loi fondamentale de la statique successivement pour Σ 1, Σ 2 et Σ 1 Σ 2 : R(T1 ) + R(T 2 1 ) = 0 R(T2 ) + R(T 1 2 ) = 0 R(T1 + T 2 ) = 0 et et et M A (T 1 ) + M A (T 2 1 ) = 0 M A (T 2 ) + M A (T 1 2 ) = 0 M A (T 1 + T 2 ) = 0 En faisant la combinaison (1, 1, -1) d une part pour les résultantes et d autre part pour les moments, il vient : R(T2 1 ) + R(T 1 2 ) = 0 M A (T 2 1 ) + M A (T 1 2 ) = 0 La démonstration est valable quel que soit le point A. On a le théorème suivant : Théorème de l action et de la réaction Les efforts T 1 2 exercés par Σ 1 sur Σ 2 et les efforts T 2 1 exercés par Σ 2 sur Σ 1 sont tels que : R(T1 2 ) = R(T 2 1 ) (2.3) M A (T 1 2 ) = M A (T 2 1 ) A (2.4) Quelques exemples La démarche pour appliquer le principe fondamental de la statique est la suivante : 1- Il faut définir le système Σ auquel on veut appliquer le principe fondamental. La définition du système Σ est essentiel. 2- Il faut faire très soigneusement l inventaire des forces extérieures exercées sur le système Σ. 3- Enfin il faut appliquer le principe fondamental de la statique à Σ. Ce n est que dans cette troisième étape que l on écrit que la résultante des efforts extérieurs appliqués à Σ est nul, et que le moment de ces mêmes efforts, en un point A que l on choisit le mieux possible, est nul.

22 16 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Exemple 1 : Seau suspendu à un câble Le seau représenté sur la figure 2.10a est suspendu à un câble. La masse de l anse est supposée négligeable et est prise égale à 0. La masse du seau et de son contenant est M. Le centre d inertie du seau et de son contenant est le point G. On admet que les actions entre l anse et le seau (liaisons en A et en B) ont pour résultante R(anse seau) et pour moment en A le vecteur M A (anse seau). De plus les efforts exercés par le câble sur l anse sont schématisés par un glisseur F (câble anse) appliqué en C (voir Fig. 2.10a). Si on choisit pour système Σ, le seau muni de son anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors : le glisseur F (câble anse) appliqué en C, le glisseur M g appliqué en G représentant le poids du seau et de son contenant. Si on choisit pour système Σ, le seau et son contenant sans l anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors : les efforts exercés par l anse sur le seau, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau), le glisseur M g appliqué en G représentant le poids du seau. Si on choisit pour système Σ, l anse seule, les efforts extérieurs à Σ sont : le glisseur F (câble anse) appliqué en C, les efforts exercés par le seau sur l anse, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau). Les signes viennent de l application du théorème de l action et de la réaction. A C câble B anse g A G 2 B anse g G (a) seau sol G 1 O seau (b) Fig Seau tenu et seau posé Exemple 2 : Seau vide posé sur un sol horizontal Le seau est représenté sur la figure 2.10b. La masse de l anse n est plus supposée négligeable et vaut m ; le centre d inertie de l anse seule est le point G 2. La masse du seau est M ; le centre d inertie du seau (sans l anse) est le point G 1. On admet que les actions entre l anse et le seau (liaisons en A et en B) ont pour résultante R(anse seau) et pour moment en A le vecteur M A (anse seau). De plus les efforts exercés par le sol sur le seau sont schématisés par un glisseur F (sol seau) appliquée en O, centre de la base du seau (Fig. 2.10b). Si on choisit pour système Σ, le seau muni de son anse, les efforts extérieurs à Σ sont alors :

23 2.3. LIAISONS PARFAITES DANS L ESPACE 17 le glisseur F (sol seau) appliqué en O, le glisseur m g appliqué en G 2 représentant le poids de l anse, le glisseur M g appliqué en G 1 représentant le poids du seau. Si on choisit pour système Σ, l anse seule, les efforts extérieurs à Σ sont alors : le glisseur m g appliqué en G 2 représentant le poids de l anse, les efforts exercés par le seau sur l anse, dont la résultante est R(anse seau) et dont le moment en A est M A (anse seau). 2.3 Liaisons parfaites dans l espace On va dans ce paragraphe s intéresser à la réalisation et aux propriétés de quelques liaisons simples entre deux corps solides indéformables. On commence par donner quelques exemples de liaisons entre corps solides : une roue de bicyclette (solide 1) tournant autour de son moyeu (solide 2), une porte (solide 1) reposant sur des gongs liés au mur (solide 2), un levier de vitesse mobile dans la boîte de vitesse, un système bielle-manivelle, un seau (solide 1) posé sur le sol (solide 2), Définition Une liaison est un dispositif mécanique qui a pour fonction d apporter une restriction à l ensemble de tous les mouvements relatifs d un solide par rapport à un autre. Les liaisons que nous allons considérer sont réalisées par contact entre deux surfaces rigidement liées aux deux solides en question. Les surfaces de contact sont indéformables et elles sont lisses avec un plan tangent variant continûment. De plus les liaisons que nous allons considérer sont supposées sans frottement. Nous donnons, ci-après, pour cette notion une approche intuitive. Notion de liaisons parfaites (ou liaisons sans frottement) Soient deux solides en contact le long de la surface S (Fig. 2.11). On admet que les actions mécaniques du premier solide Σ 1 sur le second Σ 2 prennent place le long de la surface S et que l on a une densité surfacique de forces r 1 2 (M). En d autres termes la force r 1 2 (M) S est la force exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S autour du point M (Fig. 2.11). L ensemble des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2 a pour résultante et pour moment en A, les quantités suivantes données par des intégrales sur la surface S (on ajoute toutes les petites forces) : R(1 2) = r 1 2 (M) dv M A (1 2) = S S AM r 1 2 (M) dv Naturellement les efforts exercés par Σ 2 sur Σ 1 sont, d après le théorème de l action et de la réaction, tels que : R(2 1) = R(1 2) ; MA (2 1) = M A (1 2) Le contact est dit être sans frottement si r 1 2 (M) est perpendiculaire à la surface S en chaque point M. On dit alors que la liaison est sans frottement ou bien que la liaison est parfaite.

24 18 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES A S Σ 1 M r 1 2 (M) S Σ 2 Fig Deux solides en contact C est en fait une hypothèse sur la liaison, car dans celle-ci, même s il n est pas souhaité, il y a toujours un peu de frottement. Dans certains mécanismes, on cherche au contraire à avoir le maximum de frottement, comme par exemple dans le contact frein - jante de la roue d un vélo. Nous allons maintenant étudier quelques liaisons simples (en fait 6). a) Liaison ponctuelle Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison ponctuelle si au cours de leur mouvement relatif, les deux solides restent en contact (Fig. 2.12). Sur la figure 2.12, les deux solides sont notés Σ 1 et Σ 2, et le point de contact est noté O. De plus, on suppose que les deux solides ont le même plan tangent en O. y Plan tangent à Σ 1 et Σ 2 en O Σ 2 O x z Σ 1 Fig Liaison ponctuelle Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, y) étant normal en O au plan tangent en O à Σ 1 et à Σ 2. Dans le repère (O; x, y, z), les mouvements de Σ 2 par rapport à Σ 1 peuvent être des rotations (rotations autour des trois axes (O, x), (O, y) et (O, z)) et des translations (translations parallèlement à l axe (O, x) et parallèlement à l axe (O, z)). Il s agit

25 2.3. LIAISONS PARFAITES DANS L ESPACE 19 en fait de petits mouvements, le point de contact des deux solides restant au voisinage du point O initial. Naturellement, il ne peut pas y avoir de translation parallèlement à l axe (O, y) sans rompre le contact. Nous voyons que la liaison ponctuelle a 5 degrés de liberté (2 de translation et 3 de rotation). Au niveau des efforts exercés par Σ 1 sur Σ 2, en adoptant l approximation de la liaison parfaite et sachant que la surface de contact est ici réduite à un point, on a : R(1 2) = Y y ; MO (1 2) = 0 Le vecteur y est le vecteur unitaire de l axe (O, y). Il faut bien noter que le moment est pris au point O. Le vecteur R (1 2) est normal au plan tangent en O à Σ 1 et à Σ 2. Sur les 6 composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), 5 sont déterminées et valent 0, à savoir les trois composantes de M O (1 2) et les deux composantes de R(1 2). b) Liaison glissière Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison glissière si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une translation rectiligne suivant un axe lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.13). y Σ 1 Σ 2 O x z y Figure dans le plan (O; x, z) Σ 1 Σ 2 O x Fig Liaison glissière Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1, l axe (O, x) étant l axe de translation. Le seul mouvement possible de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une translation parallèle à l axe (O, x). Nous voyons que la liaison glissière a un seul degré de liberté (translation parallèle à (O, x)). La surface S de contact est une surface cylindrique de génératrices parallèles à (O, x). La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à (O, x), car la petite surface S est parallèle à (O, x). D où : R(1 2) = Y y + Z z ; MO (1 2) = L x + M y + N z

26 20 CHAPITRE 2. MÉCANIQUE DES STRUCTURES Les vecteurs x, y, z sont les vecteurs unitaires des axes (O, x), (O, y), (O, z). Les quantités Y, Z et L, M, N sont les composantes de R(1 2) et de M O (1 2) dans la base orthonormée ( x, y, z). Comme précédemment, il faut noter que le moment est pris au point O. Enfin, remarquons que sur les 6 composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), une seule est déterminée et vaut 0, la composante de R(1 2) sur l axe (O, x). c) Liaison rotule (dite aussi liaison sphérique) Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison rotule si les seuls mouvements relatifs possibles de l un par rapport à l autre sont des rotations autour d un point O lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.14). y Σ 2 Σ 1 O x z r 1 2 Fig Liaison rotule Soit le repère (O; x, y, z) orthonormé direct attaché à Σ 1. Le mouvement de Σ 2 par rapport à Σ 1 est une rotation quelconque autour de O. Nous voyons que la liaison rotule a 3 degrés de liberté (les 3 rotations autour des 3 axes (O, x), (O, y) et (O, z)). La surface S de contact est une surface sphérique de centre O. La force r 1 2 (M) S exercée par Σ 1 sur Σ 2 sur la petite surface S de S est normale à S ; comme conséquence le support de r 1 2 (M) S passe par le point O. D où : R(1 2) = X x + Y y + Z z ; MO (1 2) = 0 Il faut noter que le moment est pris au point O, centre de la liaison rotule. Remarquons que sur les six composantes des vecteurs R(1 2) et M O (1 2), trois sont déterminées et valent 0, les trois composantes de M O (1 2). d) Liaison pivot Définition Les deux solides Σ 1 et Σ 2 ont une liaison pivot si le seul mouvement relatif possible de l un par rapport à l autre est une rotation autour d un axe lié aux solides Σ 1 et Σ 2 (Fig. 2.15).