HYDRAULIQUE GENERALE

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1 ECOLE NATIONALE DU GENIE DE L EAU ET DE L ENVIRONNEMENT DE STRASBOURG HYDRAULIQUE GENERALE TRAVAUX DIRIGES FORMATION Mastère Eau Potable et Assainissement José VAZQUEZ

2 Sommaire 1. HYDROSTATIQUE VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES BASIQUES VARIATION VERTICALE DE PRESSION : EXERCICES DE SYNTHESE FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES BASIQUES FORCE HYDROSTATIQUE SUR DES PAROIS : EXERCICES DE SYNTHESE FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES BASIQUES FORCES HYDROSTATIQUES SUR DES CORPS IMMERGES : EXERCICES DE SYNTHESE HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS EQUATION DE BERNOULLI THEOREME D EULER HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES REELS : APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES BASIQUES APPLICATIONS AUX CONDUITES EN CHARGES: EXERCICES DE SYNTHESE...57 José VAZQUEZ

3 Hydrostatique 1. Hydrostatique 1.1. Variation verticale de pression : Exercices basiques Calculer la pression absolue et relative en Pa et en bars d un point à une profondeur de 6m dans un réservoir à surface libre rempli d eau. (1.589 bar, bar) Même question pour un point à une profondeur de 9m dans une huile de pétrole de densité 0,75. (1.66 bar, Pa) Quelle profondeur d huile de pétrole de densité 0,75 produit une pression relative de 2,75 bars? Quelle profondeur d eau produit la même pression? (Hhuile=37.4 m, Heau= 28m) Trouver la pression relative au fond du réservoir contenant de l eau sous pression. Pression manométrique 500KPa (519, Pa) José VAZQUEZ 1

4 Hydrostatique Calculer la pression manométrique en bars en A due à la dénivellation du mercure, de densité 13,57 dans le manomètre en U. (Pa=1.01 bar) Les récipients A et B contiennent de l eau aux pressions respectives 2,80 et 1,40 bar. Déterminer la dénivellation h du mercure du manomètre différentiel. (h=1.3 m) José VAZQUEZ 2

5 Hydrostatique Trouver la différence de pression entre A et B. (13.3 kpa) Pour une pression manométrique en A de bar, trouver la densité du liquide B contenu dans le manomètre de la figure suivante. (d=0.8) José VAZQUEZ 3

6 Hydrostatique Le réservoir à surface libre de la figure ci-dessous possède deux piézomètres A et B et contient deux liquides non miscibles. Trouver la hauteur de la surface liquide dans le piézomètre A et B ainsi que la pression au fond du réservoir. (Densité A : 0.72, densité B : 2.36) (h a =2 m, h b =0.82 m, 18, Pa) Pour un manomètre affichant en A Pa, déterminer la hauteur des liquides dans les colonnes ouvertes du piézomètre E, F et G ainsi que la hauteur de mercure dans le manomètre en U. Mercure (H LH =-2.57 m, H NM =0.3 m, H QR =2.69 m, h 1 =0.61 m) José VAZQUEZ 4

7 Hydrostatique Un manomètre différentiel est fixé entre deux sections A et B d un tuyau horizontal où s écoule de l eau. La dénivellation du mercure dans le manomètre est de 0,60m. Quelle condition faut-il respecter pour appliquer l équation de l hydrostatique? Calculer la différence de pression en Pa entre les sections A et B. (7.56 mce) La chute de pression à travers le dispositif X où s écoule de l eau, doit être mesurée à l aide d un manomètre différentiel utilisant de l huile de densité 0.75 comme fluide manométrique. Trouver la différence de hauteur de pression entre A et B. (2.02 mce) José VAZQUEZ 5

8 Hydrostatique 1.2. Variation verticale de pression : Exercices de synthèse La hauteur de pression au niveau A-A est de 0.09m d eau. Les poids spécifiques du gaz et de l air sont respectivement de 5,5 et de 12,4N/m 3. Calculer la hauteur h du manomètre à eau mesurant la pression du gaz au point B. AIR Poulie Masse Masse (0.153 mce) José VAZQUEZ 6

9 Hydrostatique Mesure de la hauteur d eau dans un réservoir A h Eau Manomètre B C x d D Mercure Déterminer la valeur de x (position du point C) sachant que h=20m, d=0.5m et que la pression relative au point D vaut Pa. ρ mercure =13, Kg/m 3. ρ eau =10 3 Kg/m 3. Le manomètre en D indique maintenant la pression Pa. Déterminer la hauteur h dans le réservoir. (x=32cm ; 15,9m) José VAZQUEZ 7

10 Hydrostatique Calculs de hauteurs dans deux réservoirs h Pression atmosphérique Z 1 Z 2 Manomètre Liquide 1 ρ 1 Z 3 Liquide 3 ρ 3 Liquide 2 ρ 2 Liquide 2 ρ 2 Liquide 2 Bien que les deux réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z 1, Z 2, sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. On appelle P 32 la pression relative entre les liquides 3 et 2. De même, on appelle P 12 la pression relative entre les liquides 1 et 2. La pression mesurée par le manomètre est notée P M. Relation d équilibre statique Déterminer une relation entre Z 1, Z 2, Z 3, ρ 1, ρ 2, ρ 3, h et P M. Détermination des altitudes Une mesure de la différence d altitude entre Z 3 et Z 2 donne : Z 3 Z 2 =5m. ρ 1 =1, Kg/m 3 ; ρ 2 =2, Kg/m 3 ; ρ 3 =0, Kg/m 3 h=15m ; Z 1 =10,3m ; P M =6, Pa. Déterminer les valeurs de Z 2 et Z 3. Les altitudes Z 2 et Z 3 varient-elles en fonction de h? Z 2 =4m ; Z 3 =9m) José VAZQUEZ 8

11 Hydrostatique Calculs de hauteurs dans deux réservoirs Manomètre 1 Z 1A Z 12 AIR Sous Pression Liquide 1 ρ 1 = 0, kg/m 3 Liquide 2 ρ 2 = 10 3 kg/m 3 AIR Z 3A Z 23 AIR Sous Pression Liquide 3 ρ 3 = 1, kg/m 3 Liquide 2 ρ 2 = 10 3 kg/m 3 Liquide 2 PdR Manomètre 2 Bien que les deux réservoirs soient en communication en partie supérieure par l intermédiaire d une conduite d air sous pression et en partie inférieure grâce à une conduite pleine du liquide 2, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z 1A, Z 12, sont toutes données en fonction du plan de référence (PdR). Toutes les pressions sont relatives par rapport à la pression atmosphérique. Chaque cuve est cylindrique et indéformable. On supposera que les liquides 1 et 3 restent dans leurs cuves respectives. Les liquides 1, 2 et 3 sont incompressibles. Première expérience : On mesure les valeurs suivantes : Z 12 =12m ; Z 3A - Z 23 =4m ; P mano 1 =1.2bar ; P mano 2 =3bar. Déterminer les altitudes Z 3A, Z 23, Z 1A. Deuxième expérience : On mesure les valeurs suivantes : P mano 1 =2.7bar ; P mano 2 =4.1bar. Déterminer les altitudes Z 1A, Z 12, Z 3A, Z 23. Comparaison Comparer les valeurs de Z des deux expériences. Qu en déduisez-vous? (Z 3A =17.15m, Z 23 =13.15m, Z 1A =20.46m ; Z 1A =16.39m, Z 12 =7.93m, Z 3A =13.07m, Z 23 =9.07m) José VAZQUEZ 9

12 Hydrostatique Calcul des pressions et hauteurs dans trois réservoirs Manomètre Z 1 =22m Z 2 Pression atmosphérique Liquide 1 ρ 1 = 0, kg/m 3 Liquide 2 ρ 2 = 2, kg/m 3 Z 3 =12m Manomètre AIR Pression : 1bar Liquide 2 ρ 2 = 2, kg/m 3 Z 4 =15m Z 5 AIR Pression : 0.8bar Liquide 3 ρ 3 = 1, kg/m 3 Liquide 2 ρ 2 = 2, kg/m 3 Liquide 2 Liquide 2 Bien que les trois réservoirs soient en communication, il ne se produit aucun écoulement. La pression hydrostatique est vérifiée dans tout le circuit. Les altitudes Z 1, Z 2, sont toutes données en fonction de la même référence. Toutes les pressions sont relatives. Déterminer les altitudes Z2, Z5 ainsi que la pression entre les liquides 1 et 2 et la pression entre les liquides 3 et 2. José VAZQUEZ 10

13 Hydrostatique 1.3. Force hydrostatique sur des parois : Exercices basiques Un barrage en ciment de 10 m de large contient de l eau sur une hauteur de 6m. Déterminer l action de l eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage. (F=1.76 MN, y=4 m) Un barrage en ciment de 20m de large contient de l eau sur une hauteur de 14m. Déterminer la pression de l eau sur le barrage. Calculer la stabilité du barrage. (Fh=19.2MN, y=9.33m ; Fv=6.47MN, x=1.5m) José VAZQUEZ 11

14 Hydrostatique Calculer la force résultante P due à l action de l eau sur la surface rectangulaire de 3m 6m en AB et CD. 4m 25 Rectangle 3 6m Rectangle 3 6m (AB : MN, y=7.43 m ;CD : 930 kn,y=12.7m ; hauteur=5.37 m) Calculer la force résultante P due à l action de l eau sur la surface triangulaire de 3m 6m dont le sommet est en C avec un angle de 45. 3m 6m (514.7 kn, ;Y=8.67m ; h=6.06 m) Le réservoir de la figure suivante contient de l eau et de l huile. Trouver la force résultante agissant sur le côté ABC qui a 1,20m de large. (F=112.3 kn, y=3.23 m) José VAZQUEZ 12

15 Hydrostatique Dans la figure ci-dessous, les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000cm 2. La masse en A est de 10 kg et la masse en B de 4000kg. Les récipients et les conduits sont remplis d eau. Quelle force F assurera l équilibre? (F=98 N) L eau monte jusqu au niveau E dans le conduit fixé au réservoir ABCD. On néglige le poids du réservoir et du conduit. Déterminer et positionner la force résultante agissant par la surface AB qui a 2,50m de large, déterminer la force totale s exerçant sur le fond du réservoir et comparer le poids total de l eau avec la force totale s exerçant sur le fond du réservoir. Expliquer la différence. F AB =0.23MN, y=4.77m ; F fond =839kN, Poids=298kN; P AD =541kN) José VAZQUEZ 13

16 Hydrostatique La porte AB de la figure ci-dessous à 1,20m de large et peut pivoter autour de A. Le manomètre G affiche -0,147 bar et le réservoir de droite est rempli d huile de densité 0,75. Quelle force horizontale doit être appliquée en B pour assurer l équilibre de la porte AB? (F=26.7 kn) Forces sur un auget On fait l étude de l auget qui est constitué par la partie circulaire. Cet auget fait 10m de long. Déterminer l intensité, la position et la direction de la force de l eau sur l auget. Nota : la position du centre de gravité de ¼ de disque par rapport à un de ses axes de symétrie est : 4.R 3.π 4m 5m A B (F=5.03MN ; distance / A = 3.867m ; distance / B = 3.17m) José VAZQUEZ 14

17 Hydrostatique 1.4. Force hydrostatique sur des parois : Exercices de synthèse Action de l eau sur une vanne secteur 1m D C 45 Surface libre 1m B Point de rotation de la vanne 45 Vanne fermée Vanne ouverte 1m A La vanne est constituée des parois AB, BC et CD. Les surfaces AB, BC et CD sont rectangulaires et ont une largeur de 2m La vanne est fermée et la surface libre est au point B Déterminer l action de l eau sur la vanne secteur (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. Sur quel axe faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n ait pas tendance à tourner? Tracer l axe sur le graphique de la page suivante. (F=6.94KN ; y=0.67m) La vanne est fermée et la surface libre est au point C Déterminer l action de l eau sur la surface AB (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. Déterminer l action de l eau sur la surface BC (intensité, direction et position). Tracer la position et la direction sur le graphique de la page suivante. Déterminer l action de l eau sur la vanne secteur (intensité, direction). On ne demande pas la position. Où faut-il placer le point de rotation de la vanne secteur pour que cette vanne n ait pas tendance à tourner? Placer le point sur le graphique de la page suivante. (F=34.15KN ; angle = 33.3 ) José VAZQUEZ 15

18 Hydrostatique La surface libre est au point B D C Surface libre B Point de rotation de la vanne A La surface libre est au point C D Surface libre C B Point de rotation de la vanne A José VAZQUEZ 16

19 Hydrostatique Action de l eau sur une vanne de régulation Surface libre Masse volumique : ρ h α α β Masse M b A b Barre de longueur L Surface libre Surface libre h h Paroi de la vanne Face 2 Face 1 Position fermée Position ouverte La paroi de la vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l eau n agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d eau h. José VAZQUEZ 17

20 Hydrostatique Courbe de fonctionnement de la vanne Déterminer l action de l eau sur la vanne en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, b, c et α. En faisant l équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre h et les variables ρ, g, b, c, α, β, L et M. En prenant pour valeur numérique : ρ=10 3 kg/m 3, g=9.81 m/s 2, b=0.4 m, c=0.2 m, β=30, L=1 m et M=80 kg, Compléter le tableau et le graphique suivant : α ( ) h (m) (4.5 ; 5.0 ; 5.2 ; 5 ; 4.6 ; 3.9 ; 2.9) Evolution de la hauteur en fonction de l'angle Hauteur (m) Angle ( ) Exploitation de la courbe de fonctionnement A partir de quelle hauteur d eau dans le bassin la vanne commence à s ouvrir? Une butée permet une ouverture maximale de la vanne à α=20, que ce passe t il si la hauteur d eau dans le bassin dépasse 5.2m? Dans le bassin on atteint 6m. L eau commence à diminuer, à partir de quelle hauteur d eau la vanne commence à se refermer? (h=4.5m ; angle = 20 ; h=4.2m) José VAZQUEZ 18

21 Hydrostatique Equilibre de trois pistons D 23 Barre d équilibre D Pression atmosphérique D 12 D Piston α Pression atmosphérique D P 3 Pression atmosphérique M 3 M 2 Z 3 P 2 P 1 M 1 D 1 Z 2 D 2 D 3 Z 1 EAU La chambre au-dessus du piston est à la pression atmosphérique. Au-dessous de chaque piston on a les pressions respectives P 1, P 2 et P 3. Chaque piston a une masse de M 1, M 2 et M 3. La hauteur D de chaque piston est identique. Le diamètre de chaque piston est respectivement D 1, D 2 et D 3. L ensemble du dispositif est à l équilibre. L eau est stagnante. L objectif de cette étude est de déterminer les altitudes Z 1, Z 2 et Z 3, les pressions P 1, P 2 et P 3 ainsi que l angle α. Equilibre des forces de pressions Déterminer une relation entre ρ, g, P 1, P 2, Z 1 et Z 2. Déterminer une relation entre ρ, g, P 2, P 3, Z 2 et Z 3. Relation géométrique Déterminer une relation géométrique entre Z 1, Z 2, D 12 et α. Déterminer une relation géométrique entre Z 2, Z 3, D 23 et α. Equilibre des pistons José VAZQUEZ 19

22 Hydrostatique F 3 F 2 F 1 Piston 3 Piston 2 Pression atmosphérique Piston 1 Pression atmosphérique Pression atmosphérique P 3 M 3 M 2 Z 3 P 2 P 1 M 1 D 1 Z 2 D 2 D 3 Z 1 EAU On appelle F i les forces résultantes de la barre d équilibre sur les pistons. En faisant l équilibre statique des forces sur le piston 1, déterminer une relation entre g, F 1, M 1, P 1 et D 1. Faire de même pour le piston 2 et 3. Equilibre de la barre D 23 Barre d équilibre D 12 α F 3 F 2 F 1 En faisant l équilibre statique des forces sur la barre, déterminer une relation entre F 1, F 2 et F 3. En écrivant l équilibre des moments par rapport au point d application de la force F 2, déterminer une relation entre F 1, F 3, D 12 et D 23. Application numérique On prendra pour référence Z 2 =0. M 1 =20kg D 12 =0.25m M 2 =50kg D 23 =0.35m M 3 =30kg D 1 =0.1m D 2 =0.2m D 3 =0.15m Calculer Z 1 et Z 3, les pressions P 1, P 2 et P 3, les forces F 1, F 2 et F 3 ainsi que l angle α. José VAZQUEZ 20

23 Hydrostatique Etude d une vanne de chasse L objectif de cette étude est l équilibre d une vanne de chasse en réseau d assainissement. La vanne est de forme circulaire plane. Elle est disposée à l intérieur d une conduite également circulaire à l amont mais rectangulaire à l aval. Ainsi, la rotation de la vanne peut avoir lieu quand l axe de rotation horizontal de celle-ci n est pas au centre de la conduite. On suppose que l eau n agit que sur la face amont et que les forces de pression dynamique sont négligeables par rapport aux forces de pression statique. On se placera en hydrostatique. Conduite circulaire Conduite rectangulaire Conduite circulaire Axe de la conduite h Axe de rotation de la vanne h est la hauteur d eau dans la canalisation amont. Les relations suivantes rappellent les caractéristiques géométriques d une section circulaire. ξ v v R G φ ξ ( ϕ) ( ϕ) 3 4sin v= R 1 32 sin2 ( ϕ ) ( ( )) v+ v' = R 1 cos ϕ 2 R S= 2ϕ sin 2ϕ 2 ( ( )) ( 1 cos( 2ϕ) ) ϕ ( ϕ) 4 4 R R Iξξ = ( 4ϕ sin( 4ϕ) ) sin 2 ( ) 3 Les graphiques suivants représentent : v et v en fonction de l angle φ pour d=1.6m. S et I ξξ en fonction de l angle φ pour d=1.6m. José VAZQUEZ 21

24 Hydrostatique 0.9 v et v' en fonction de l'angle phi pour d=1.6m hauteur (m) v(m) v'(m) Angle phi (degré) Evolution de la surface et de l'inertie pour d=1.6m surface (m2) Inertie (m4) 0.4 Surface (m2) Inertie (m4) angle Phi (degré) José VAZQUEZ 22

25 Hydrostatique Les positions extrêmes possibles pour la vanne sont représentées sur le schéma suivant : Vanne en position fermée Axe de rotation de la vanne Butée (point d arrêt) Vanne en position ouverte Butée (point d arrêt) Etude de l équilibre de la vanne sans eau La vanne est une plaque métallique circulaire de diamètre d, d épaisseur constante e et de masse volumique ρ acier. Calculer le poids (P vanne ) de la vanne et placer son point d application. Dans quelle zone doit-on placer l axe de rotation de la vanne pour que celle-ci ait toujours tendance à se refermer quand il n y a plus d eau à l amont? Faire un schéma. Application numérique : calculer P vanne pour d=1.6m, e=5mm, ρ acier =7850kg/m 3. Etude de la vanne en position verticale fermée Vanne en position fermée h F eau y p y P/fond Déterminer l intensité F eau en fonction de v et S, Déterminer la position par rapport au fond du canal (y p/fond ) de l action de l eau sur la vanne en fonction de v, v, S et I ξξ. Application numérique : En utilisant les graphiques précédents, compléter le tableau suivant : José VAZQUEZ 23

26 Hydrostatique Hauteur d eau (m) v v S I ξξ y p/fond F eau Tracer l évolution du centre de gravité et du centre de poussé en fonction de h sur le graphique suivant : 0.9 Centre de gravité et centre de poussée par rapport au fond du canal en fonction de h Hauteur (m) Hauteur d'eau : h (m) Dans quelle zone doit-on placer le centre de rotation pour que la vanne commence à s ouvrir sous l action de l eau pour une hauteur de 0.8m? Quelle remarque peut-on faire par rapport au résultat du 2.1? Tracer l évolution de F eau en fonction de h sur le graphique suivant : José VAZQUEZ 24

27 Hydrostatique Evolution de la force de pression en fonction de la hauteur Hauteur (m) Force (N) Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est partiellement plongée dans l eau La vanne étant en équilibre en position inclinée, la hauteur de l eau est au-dessus de 0.8m. Afin de permettre à la vanne de pouvoir se fermer sans eau, on ajoute une masse à la vanne en partie inférieure pour abaisser le centre de gravité global de la vanne. On appellera cette force F masse. Ajout d une masse F masse d y p h d-c α y c d Quelle est la valeur maximale que peut prendre φ pour garantir que la vanne soit toujours partiellement plongée dans l eau? Montrer, à partir d un raisonnement géométrique que : José VAZQUEZ 25

28 Hydrostatique ( ) h d c y = et y+ d c= R( 1 cosϕ ) sin α Déterminer l action de l eau sur la vanne F eau en fonction de S, v, ρ, g et α. Déterminer la position y p en fonction de S, v et I ξξ. En faisant l équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que : Montrer que : ( ) ( ) ( ) F. y y + P. c d 2.cosα= F. d c.cosα eau p vanne masse ( ) ( ) F masse. d c P vanne. c d/2 ρ.g.v'.s. R ( 1 cos ) ( d c) y ϕ p = tan α Calcul de F masse : On désire que la vanne soit à l équilibre à un angle de α=67.5 pour une hauteur d eau de 85% du diamètre. On prendra d=1.6m ; c=1.27m. o Calculer y. o Calculer φ. o Calculer I ξξ., v, S en utilisant les graphiques précédents. o Calculer y p. o Montrer que F masse =22.5kN On désire maintenant tracer l évolution de h (hauteur d eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera φ et on calculera dans l ordre : v, S, I ξξ, y p, y, α et enfin h. Compléter le tableau suivant : φ v S I ξξ y p y α 90 h 0.8m On prendra d=1.6m ; c=1.27m. A partir de quelle hauteur d eau et angle de rotation, la vanne est entièrement immergée? Tracer h en fonction de α sur le graphique suivant : José VAZQUEZ 26

29 Hydrostatique Evolution de la hauteur d'eau en fonction de la rotation de la vanne (alpha) hauteur (m) alpha (degré) Etude de la vanne en position inclinée : la vanne est totalement plongée dans l eau d y p y G α h d-c G y c d Dans le cas où la vanne est entièrement plongée dans l eau, calculer : S et I ξξ. Montrer, à partir d un raisonnement géométrique, que : José VAZQUEZ 27

30 Hydrostatique ( ) h d c y = est toujours valable. sin α Montrer que y G (la profondeur du centre de gravité de la vanne dans le repère y) est donnée par la relation : ( ) h d c yg = ( c d/2) sin α Déterminer l action de l eau sur la vanne F eau en fonction de S, ρ, g, y G et α. Déterminer le centre de poussée y p en fonction de S, y G et I ξξ. En faisant l équilibre des moments de la vanne par rapport au centre de rotation, montrer que : ( ) ( ) ( ) F. y y + P. c d 2.cosα= F. d c.cosα eau p vanne masse En utilisant la relation précédente, montrer que : ( ) ( ) ( ) ρ.g.y.sin G α.s.y G + c d/2 yp = F masse.d c P vanne.c d/2.cosα Montrer qu on peut en déduire y G : y G ( ) vanne ( ) ξξ.g.s.tan.( c d/2) S. ( c d/2) F masse. d c P. c d/2 I = + ρ α On désire maintenant tracer l évolution de h (hauteur d eau) en fonction de α (angle de rotation de la vanne). Pour cela, on se fixera α et on calculera dans l ordre : y G et h. Compléter le tableau suivant : α y G h Tracer h en fonction de α sur le graphique précédent. Exploitation de la courbe h en fonction de α A partir de quelle hauteur d eau la vanne n est plus en équilibre? Dans ce cas, quel est l angle de rotation de la vanne? Que ce passe t-il si la hauteur d eau dépasse cette valeur? En supposant que la hauteur d eau à dépasser la hauteur limite précédente, à partir de quelle hauteur d eau la vanne va à nouveau se refermer? Dans ce cas, quel est l angle d équilibre? José VAZQUEZ 28

31 Hydrostatique Stabilité d un barrage L objectif de cette étude est le dimensionnement géométrique d un barrage en forme de L en fonction du niveau d eau. Deux formes d instabilité seront étudiées : le basculement et le glissement. On rappelle que : l instabilité au basculement se vérifie en faisant l équilibre des moments par rapport au point de basculement, l instabilité au glissement se vérifie en garantissant que l on ne soit pas dans la zone de glissement du sol. Le critère d instabilité du sol peut être défini dans le plan de Mohr par une zone de glissement (figure 1). σ : est la contrainte normale, τ : est la contrainte de cisaillement. τ Zone de glissement Courbes limites Le critère est donc défini par : τ σ.tan( ϕ ) : Zone sans glissement On prendra ϕ= 25. ϕ Zone sans glissement σ Les dimensions du barrage que l on étudie sont représentées sur la figure suivante : 0.5m L eau agit sur les surfaces CD et DE. Sur la surface BC, on ne supposera aucune action. Le barrage est en béton avec une densité d=2,5. Le barrage fait 1 mètre de large. Sol A E D Sol L C B H 0.5m Figure 1 Sol Stabilité du barrage au basculement Déterminer le poids du barrage et positionner son centre de gravité par rapport au point A en fonction des variables H, L, g, d et ρ (masse volumique de l eau). Déterminer l intensité, la direction et la position de la force des pressions de l eau sur la paroi ED. Déterminer l intensité, la direction et la position de la force des pressions de l eau sur la paroi DC. En écrivant l équilibre des moments des forces précédentes par rapport au point A, montrer que pour garantir la stabilité au basculement du barrage, il faut que : H 0.25H 0.167H L + L+ > H José VAZQUEZ 29

32 Hydrostatique Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d eau (H) suivantes : H (m) L basculement Stabilité du barrage au glissement En supposant que la distribution des contraintes normales du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte normale σ. En supposant que la distribution des contraintes de cisaillement du barrage sur le sol sur la surface AB est homogène (constante), déterminer la contrainte de cisaillement τ. En utilisant le critère de non glissement défini précédemment, montrer que : 2 H 1,25. ( H + 0,5) 2tan( ϕ) L H+ 1,25 Déterminer et tracer sur le graphique suivant la longueur L minimale pour les hauteurs d eau (H) suivantes : H (m) L glissement Stabilité d'un barrage 5 4,5 4 3,5 Hauteur d'eau (m) 3 2,5 2 1,5 1 0, Longueur (m) Exploitation du graphique Pour une hauteur d eau de 2m, quelle est la condition de stabilité la plus pénalisante? Même question pour une hauteur de 4m? A partir de quelle hauteur change-t-on de critère de stabilité? José VAZQUEZ 30

33 Hydrostatique 1.5. Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices basiques Une pierre pèse 9kg à l air et 5kg quand elle est immergée dans l eau. Calculer le volume de la pierre et sa densité. (V=0.004m 3, d=2.25) Un aréomètre pèse 0,0216N et présente une tige cylindrique à son extrémité supérieure de 2,80mm de diamètre. Calculer la différence d enfoncement h entre les aréomètres. (h=22.8mm) Déterminer l enfoncement dans l eau d un tronc d arbre de densité 0,425 de 2,40m de diamètre et de 4,50m de long. (θ=83 ) José VAZQUEZ 31

34 Hydrostatique 1.6. Forces hydrostatiques sur des corps immergés : exercices de synthèse Action de l eau sur une vanne de régulation Surface libre α Flotteur L β h b Face 1 b A Face 2 Vanne Surface libre h h Surface libre Face 2 h Surface libre Face 1 Position fermée Positions ouvertes La vanne est rectangulaire de hauteur b et de largeur c. On suppose que quelle que soit la position de la vanne, l eau n agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d eau h. Dans l équilibre qui sera demandé, les poids du flotteur et de la vanne sont négligeables par rapport aux autres forces en présence. Dans le cas où la vanne ne touche pas l eau, le moment par rapport au point A dû au poids du flotteur est légèrement supérieur à celui de la vanne afin de faire tourner le système de telle sorte qu il n y ait que le flotteur qui soit en contact avec l eau. Le flotteur n est pas forcément toujours au niveau de la surface libre. Valeurs numériques : ρ=10 3 kg/m 3, g=9.81 m/s 2, b=0.5m, c=0.6m, Volume flotteur : Vol =0.2 m 3, L=2m, β=45. José VAZQUEZ 32

35 Hydrostatique Position de contact de la vanne avec l eau Dessiner la position de la vanne et du flotteur de telle sorte que la vanne commence à toucher l eau. Déterminer une relation entre α, b, L et β permettant de calculer l angle α. Application numérique : Montrer que α= vérifie la relation précédente. Déterminer la hauteur d eau minimale dans ce cas. (h mini =0.2m) Courbe de fonctionnement de la vanne pour h b et le flotteur est au niveau de la surface libre Surface libre Flotteur α L β h α A b b Vanne Déterminer une relation géométrique entre h, b, L, β et α. Quel type de force (F ar ) agit sur le flotteur pour maintenir la vanne au niveau de la surface libre? Application numérique : Compléter le tableau suivant : α ( ) h (m) Courbe de fonctionnement de la vanne pour h b et le flotteur est entièrement dans l eau Surface libre α Flotteur L β h b b A Vanne José VAZQUEZ 33

36 Hydrostatique Déterminer l action de l eau sur la vanne en intensité (F ps ), direction et position en fonction de ρ, g, b, c, h et α. Déterminer la valeur de la force (F ar ) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, et Vol. En faisant l équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre F ar et F ps ainsi que les variables b, L, h, α et β. Déterminer à partir de la relation précédente une relation entre h et b, c, L, α, Vol et β. Application numérique : Compléter le tableau suivant : α ( ) h (m) Exploitation des courbes de fonctionnement Sur le graphique suivant, tracer h en fonction de α pour les tableaux des questions 2.2. et 2.3. Déterminer la valeur h à partir de laquelle le flotteur est entièrement immergé. (2.3m) Déterminer, dans ce cas, la rotation α maximale de la vanne.(112 ) A partir de quelle hauteur d eau l équilibre entre les forces (F ar ) et (F ps ) ne peut plus être réalisé? (5.6m) Evolution de la hauteur en fonction de α h(m) α ( ) José VAZQUEZ 34

37 Hydrostatique Action de l eau sur une vanne de régulation Flotteur h B Surface libre Masse volumique : ρ surface S L α h D D A Vanne Surface libre h Surface libre Face 1 Position fermée Face 2 Position ouverte Face 1 Face 2 La vanne sur le schéma ci-dessus est circulaire de diamètre D. On suppose que quelque soit la position de la vanne, l eau n agit que sur la face 1. Sur la face 2, on a la pression atmosphérique. La pression sur la face 1 est supposée hydrostatique et est créée par la hauteur d eau h. Cette hauteur d eau est toujours supposée supérieure à D. Le poids du flotteur est négligeable par rapport aux autres forces en présence. Quelque soit la position verticale du flotteur, la surface S du flotteur reste toujours horizontale Courbe de fonctionnement de la vanne Déterminer l action de l eau sur la vanne en intensité (F ps ), direction et position en fonction de ρ, g, D, L et α. Quel type de force agit sur le flotteur pour équilibrer la vanne? Déterminer cette force (F ar ) en intensité, direction et position en fonction de ρ, g, h et S. Quelle est la valeur maximale de la force (F ar )? José VAZQUEZ 35

38 Hydrostatique En faisant l équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre F ar et les variables ρ, g, D, L et α. Déterminer une relation géométrique entre h, D, L et α. En prenant pour valeur numérique : ρ=10 3 kg/m 3, g=9.81 m/s 2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m². Compléter le tableau et le graphique suivant : α ( ) h (m) F ar (N) F ps (N) F ps / F ar 1400 F ar (N) Far (N) Hauteur (m) Exploitation de la courbe de fonctionnement Déterminer la valeur minimale de B pour que la régulation puisse se faire jusqu à 5m. Déterminer, dans ce cas, la rotation de la vanne. Expliquer physiquement pourquoi la position α=90 est impossible. José VAZQUEZ 36

39 Hydrostatique Courbe de fonctionnement globale On suppose maintenant que le flotteur est entièrement plongé dans l eau. Surface libre Face 1 Face 2 Déterminer l action de l eau sur la vanne en intensité (F ps ), direction et position en fonction de ρ, g, D, h et α. En faisant l équilibre de la vanne par rapport au point A, déterminer la relation entre F ar et les variables ρ, g, D, L, h et α. Déterminer h en fonction de B, S, ρ, g, D, L, h et α. Compléter le tableau suivant : En prenant pour valeur numérique : ρ=10 3 kg/m 3, g=9.81 m/s 2, D=0.3 m, L=5 m, S=0.25m², B=12.1cm α ( ) h (m) Sur le graphique suivant, on tracera h=f(α) pour les valeurs du tableau précédent ainsi que pour les valeurs du tableau de la page précédente. Hauteur d'eau en fonction de l'angle de rotation de la vanne Hauteur d'eau (m) Angle de rotation de la vanne ( ) José VAZQUEZ 37

40 Hydrodynamique des liquides parfaits 2. Hydrodynamique des liquides parfaits 2.1. Equation de Bernoulli Un très grand réservoir à niveau d eau constant alimente une conduite en charge. Déterminer la vitesse au point 2. Déterminer la pression relative au point 1. (V 2 =17.3m/s, H 1 =2mCE) Déterminer le débit en fonction de la charge dans le tube Venturi. Q = S 2 S 2 1 S 1 2 * p 2. g. ρ. g José VAZQUEZ 38

41 Hydrodynamique des liquides parfaits De l eau circule dans une turbine à un débit de 0,214 m 3 /s et les pressions relatives en A et B sont respectivement de 147,5kPa et de -34,5 kpa. Calculer la puissance fournie par l eau à la turbine. (P=42kW) Une conduite en charge est alimentée par un réservoir à niveau d eau constant. Déterminer la vitesse de sortie U 3, la vitesse U 2 ainsi que la puissance maximale que la conduite peut produire. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale. D 2 =4m, D 3 =3m, H=200m (U 3 =62.6m/s, U 2 =35.2m/s, 868 MW) José VAZQUEZ 39

42 Hydrodynamique des liquides parfaits La surface libre d un très grand réservoir est soumise à une pression absolue de 1,3 atm. L eau du réservoir est pompée afin d alimenter un jet. Déterminer la puissance hydraulique de la pompe. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge totale. (5.9kW) Tube de Pitot. Déterminer la vitesse du fluide en fonction des poids volumiques et de la charge h. ρ m Vo = 2. g. h. 1 ρ José VAZQUEZ 40

43 Hydrodynamique des liquides parfaits 2.2. Théorème d Euler Un coude à 90 de rayon de courbure 300mm est parcouru par de l eau à un débit de 25 l/s. La pression effective en 1 est de 8bars. Déterminer l action de l eau sur le coude. (Rx=-6.3kN, Ry=6.3kN) Déterminer en grandeur et en direction l action de l eau sur le Té de raccordement. (Les pressions sont absolues) (Rx=24.5 kn, Ry=-13.5 kn) Calculer en grandeur et en direction l action de l eau sur la tuyère (Rx=-21.2kN, Ry=-9.2kN) José VAZQUEZ 41

44 Hydrodynamique des liquides parfaits Action de l eau sur un té et action d un jet sur une surface Té de raccordement y Q 1 =0.6q 0 U 1 =0.6U 0 p 1 =p atm 1 O x Q 0 =0.1 m 3 /s U 0 =90 m/s p 0 =p atm 0 α=60 2 Q 2 U 2 =0.4U 0 p 2 =p atm Un Té de raccordement a la forme et les caractéristiques de la figure précédente. On négligera le poids de l eau. Déterminer l intensité et la direction de la résultante de l action de l eau sur le Té Action d un jet sur une surface y Q 1 =0.6q 0 U 1 =0.6U 0 p 1 =p atm 1 O x Surface Q 0 =0.1 m 3 /s U 0 =90 m/s p 0 =p atm 0 α=60 2 Q 2 U 2 =0.4U 0 p 2 =p atm On considère maintenant un jet horizontal. Celui-ci heurte la plaque, représentée en trait épais sur la figure précédente. Calculer l intensité et la direction de la résultante de l action du jet sur la surface. (Rx=9.9kN ; Ry=-1.56kN) José VAZQUEZ 42

45 Hydrodynamique des liquides réels 3. Hydrodynamique des liquides réels : Applications aux conduites en charges 3.1. Applications aux conduites en charges: exercices basiques Déterminer la vitesse critique pour du fuel de viscosité cinématique 4, m 2 /s et pour de l eau (ν=10-6 m 2 /s) circulant chacun dans un tuyau de 150mm de diamètre. (V fuel =0.059m/s, V eau =0.013m/s) Déterminer le type d écoulement ayant lieu dans un tuyau de diamètre respectif : 60 et 1200mm pour des vitesses variant entre 0,4m/s et 3m/s. D V Re Déterminer la perte de charge, due à l écoulement d une huile de viscosité m 2 /s dans un tuyau neuf en fonte moulée (ε=0,25mm) de diamètre 200 et de longueur 300m. Q=120l/s (Colebrook=0.023 ; h=25.7m) De l eau coule dans un tuyau zingué (ε=0,25mm) de diamètre 300. La perte de charge est de 2 m pour un tronçon de 1 km. Déterminer le débit. (Q=55l/s) Une installation comporte une conduite en fonte (ε=0,5) de diamètre 250mm et de longueur 1825m. On considère que les pertes de charges sont linéaires. Déterminer le débit de l installation. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (Q=88l/s) José VAZQUEZ 43

46 Hydrodynamique des liquides réels Déterminer le diamètre d un tuyau en acier soudé (ε=0,05mm) utilisé pour transporter 250l/s de l eau (ν=10-6 m 2 /s) à une distance de 10km avec une perte de charge de 25m. (DN 500) Soit le dispositif suivant : 0.25v²/(2g) z = 15 m 0.25v²/(2g) D 1 = 0,25 m D 2 = 0,50 m 20 m 20 m 50 m 50 m z = 10 m 0.5v²/(2g) v²/(2g) On prendra pour tout l exercice λ = et g = 10m/s 2. Calculer le débit Q circulant dans ces canalisations. Tracer la ligne de charge et la ligne pièzométrique. (Q=150l/s) On veut faire écouler de l'eau de la cote z0 = 240 m à la cote z1 = 232 m en la remontant au préalable au point C à la cote zc = 244,20 m. La prise d'eau en A est à la cote 232,25 m et a la forme d'un convergent où la 2 V perte de charge est ja = 005,, V désignant la vitesse moyenne de l'eau 2 g dans la conduite. Le débouché B est assez brusque à la cote zb = 230 m, sa perte de charge est 2 V jb = 05,. 2 g José VAZQUEZ 44

47 Hydrodynamique des liquides réels Un dispositif d'amorçage est prévu au coude C où la perte de charge 2 V singulière est jc = 025,. Les longueurs des parties droites de la conduite 2 g sont AC = L1 = 30 m et CB = L2 = 20 m. Le diamètre de la canalisation est constant entre A et B et vaut 500 mm. Le coefficient de perte de charge linéaire est λ = Calculer le débit Q circulant dans cette canalisation sans se préoccuper de l'éventuel problème de cavitation au point C. Calculer les pressions relatives aux points A, B, C' (juste à l'amont de C) et C'' (juste à l'aval de C). Tracer la ligne de charge et la ligne piézomètrique entre A et B. Analyser ce qui se passe au point C. En déduire le débit réel en B. (Q=830l/s, C =-9.75m) La fonte Pont à Mousson a une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la charge aux points 3 et 4. Déterminer l énergie prélevée au fluide et la puissance électrique produite (rendement=0.81). Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (H 3 =1183m, H 4 =711m, Ef=556kW, Ee=450kW) José VAZQUEZ 45

48 Hydrodynamique des liquides réels La fonte Pont à Mousson et la fonte Bonna ont une rugosité de ε=0,1mm. Calculer la puissance que la pompe P doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (1.047MW) Les conduites sont en fonte Pont à Mousson. Calculer la puissance de transmission si le rendement de la pompe est de 85%. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge.(ε=0,1mm) (395kW) José VAZQUEZ 46

49 Hydrodynamique des liquides réels Calculer la puissance que la pompe doit fournir au fluide. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm) (31.3kW) Les caractéristiques des conduites sont précisées ci-dessous. Calculer la charge en A, B et C. Calculer la puissance électrique consommée par les groupes électro-pompe G1 et G2. Tracer la ligne piézométrique et la ligne de charge. (ε=0,1mm) José VAZQUEZ 47

50 Hydrodynamique des liquides réels (Ha=395.6mCE, Hb=393.1mCE, Hc=332.4mCE, P 1 =220kW, P 2 =106kW) Pompe alimentant deux conduites en parallèles Une station de pompage alimente en même temps deux réservoirs R 1 et R 2. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques : José VAZQUEZ 48

51 Hydrodynamique des liquides réels φ (mm) Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) Conduite Conduite Sur chaque conduite, on dispose d un clapet anti-retour à battant et d une vanne papillon. Le coefficient de perte de charge est estimé à : vanne papillon Clapet à battant Conduite 1 K=1.5 K=9.5 Conduite 2 K=33 K=42 Les pertes de charges dans le té (A 0, A 1, A 2 ) sont négligées. La pompe a un rendement hydraulique de 79 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %. 6,5 DN 200 A 2 y 6 30 DN 200 A 0 DN 150 A 1 x 1. Charge totale au point A Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A et le réservoir R 1. Déterminer la charge totale relative au point A en écrivant Bernoulli entre A et le réservoir R 2. Que constatez-vous? 2. Pompe Calculer la puissance électrique fournie à la pompe. 3. Ligne de charge Tracer la ligne de charge et la ligne piézométrique. 4. Té de raccordement Calculer en grandeur et en direction l action de l eau sur le té de raccordement. (HA=120mCE ; P=95kW ; Rx = kN ; Ry = kN) José VAZQUEZ 49

52 Hydrodynamique des liquides réels Conduites gravitaires en parallèles alimentant une turbine Plaque circulaire Une turbine est alimentée en même temps par deux réservoirs A et B. Les conduites 1 et 2 ont pour caractéristiques : φ (mm) Longueur (m) ε (mm) Q (l/s) Conduite Conduite ? On néglige les pertes de charges singulières dans les conduites AC et BC. La turbine à un rendement hydraulique de 92 %. 1. Débit Déterminer le débit dans la conduite 2. (On utilisera la charge en C) 2. Turbine Calculer la puissance que la turbine peut fournir à un alternateur. 3. Action sur une surface plane On place une plaque circulaire de diamètre = 5m inclinée à 30 par rapport à la verticale dans la paroi du réservoir 1. le centre de la plaque se situe à 10m de la surface de l eau. Calculer l intensité, la direction et la position verticale de la force de l eau s exerçant sur la paroi circulaire. (Q=41l/s ; P=26.4kW ; F=1.92MN) José VAZQUEZ 50

53 Hydrodynamique des liquides réels Etude du profil en long d une conduite gravitaire 1812 R1 A B C F D E 1720 G H R2 Longueur (m) Une conduite gravitaire fait transiter de l eau entre deux réservoirs. Elle a une rugosité relative de ε = 0.25 mm. On négligera les pertes de charge singulières. Les longueurs sont fournies dans le tableau suivant : A-B B-C C-D D-E E-F F-G G-H Diamètre Calculer le diamètre de la conduite pour que l installation débite 1,24m 3 /s. 2. Régulation du débit On désire réguler le débit entre les deux réservoirs à un débit de 0.827m 3 /s par l intermédiaire d une vanne. Calculez la perte de charge (mce) absorbée par la vanne. 3. Positionnement de la vanne et ligne de charge Positionner la vanne. Tracer, sur le graphique, la ligne piézométrique avec et sans la vanne. Justifier le positionnement de la vanne. (DN 900 ; P=406kW) José VAZQUEZ 51

54 Hydrodynamique des liquides réels Point de fonctionnement d une installation Pour les pertes de charges dans les canalisations, on utilisera les tables et les relations de Lechapt et Calmon. On supposera les relations valables pour les vitesses données. 157m R 2 Coude 4 75m A B Coude 2 Coude 3 Canalisation 2 72m R 1 Canalisation 1 Cône Coude 1 Crépine Un pompage alimente un réservoir R2 à partir d un réservoir R1. Chaque élément a les caractéristiques suivantes : Elément Caractéristiques Crépine DN 125, K = 3 Coude 1 90, DN 125, Rayon= 3 DN Cône DN 125/100, L=0.1m Canalisation 1 DN 100, L=3m, ε=0.1mm Coude 2 90, DN 100, Rayon= 3 DN Coude 3 45, DN 80, Rayon= 2 DN Canalisation 2 DN 80, L=80m,, ε=0.1mm Coude 4 45, DN 80, Rayon= 2 DN On néglige la perte de charge à l entrée du réservoir R2. La pompe a un rendement hydraulique de 78 %. Le moteur et le transformateur alimentant la pompe ont un rendement de 92 %. Pression en A et B Déterminer la charge totale au point A à l entrée de la pompe en (mce) en fonction du débit Q de l installation. José VAZQUEZ 52

55 Hydrodynamique des liquides réels Compléter le tableau suivant : Q (m 3 /s) V 2 A /2g PdC crépine (mce) 0.00 PdC coude 1 (mce) PdC cône (mce) PdC (mce) canalisation 1 PdC coude 2 (mce) H A (mce) Déterminer la charge totale au point B à la sortie de la pompe en (mce) en fonction du débit Q de l installation. Compléter le tableau suivant : Q (m 3 /s) PdC coude PdC (mce) 3 et 4(mCE) canalisation V B 2 /2g (mce) H B (mce) Que peut-on dire de la perte de charge dans les coudes 3 et 4? Pompe La courbe de fonctionnement de la pompe est fournie dans le tableau suivant : Q (m 3 /s) H MT (mce) José VAZQUEZ 53

56 Hydrodynamique des liquides réels Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l installation. 98 point de fonctionnement mce m 3 /s Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe. On change le DN80 par un DN125. Tracer les courbes caractéristiques et déterminer le point de fonctionnement de l installation. Calculer la puissance consommée par le groupe électro-pompe dans ce cas. Le pompage se fait pour 800m 3 /jour. Sachant que le kilowattheure est vendu 10 cents, quelle économie réalise-t-on entre les deux solutions sur 1 an? (Point de fonctionnement : 10l/s ; 89.8 mce ; Point de fonctionnement : 12.5l/s ; 86 mce ; 448 /an) José VAZQUEZ 54

57 Hydrodynamique des liquides réels Conduites gravitaires multiples 728m R m Conduite 1 R2 E1 E3 E2 Conduite 2 651m Conduite 3 R3 Trois réservoirs sont reliés par des conduites gravitaires. Les conduites 1, 2 et 3 ont pour caractéristiques : φ (mm) Longueur (m) ε (mm) λ coefficient de perte de charge Conduite Conduite Conduite Inconnu Au niveau du raccordement des trois conduites, pour l écoulement de E1 vers E3 le coefficient de perte de charge est de K E1E3 = 2.5 et pour l écoulement E2 vers E3 le coefficient de perte de charge est de K E2E3 = 1. On considère les altitudes h E1 = h E2 = h E3 = 654m. Nota : pour calculer la perte de charge de E1 vers E3 on prendra la vitesse dans E1 et pour la perte de charge de E2 vers E3 on prendra la vitesse dans E2. José VAZQUEZ 55

58 Hydrodynamique des liquides réels Débit On mesure une vitesse de 2.36m/s dans la conduite 3. Déterminer la vitesse dans les conduites 1 et 2 en utilisant Bernoulli. Vérifier les valeurs de λ 1 et λ 2 des conduites 1 et 2 en utilisant Colebrook. Vérifier l équation de continuité dans le Té. Té de raccordement E2 E y x E3 On considère les altitudes h E1 = h E2 = h E3 = 654m. Déterminer la pression relative en E1, E2 et E3. Calculer en grandeur et en direction l action de l eau sur le Té dans le repère (x,y). José VAZQUEZ 56

59 Hydrodynamique des liquides réels 3.2. Applications aux conduites en charges: exercices de synthèse Courbes caractéristiques et point de fonctionnement d une installation 1 Vanne 1 Clapet Tronçon 1 J 3 Château d eau K Réserve d eau N 1S Pompe 1 N 1E Vanne 2 Clapet Tronçon 2 Tronçon 3 2 N 2S N 2E Puits Pompe 2 On ne prendra en compte que les pertes de charge linéaire. On prendra pour les pertes de charge linéaire les relations de Lechapt et Calmon. Caractéristiques du réseau : Tronçon Nœud amont nœud aval N 1E - J N 2E - J J - K Diamètre (mm) Longueur (m) Rugosité ε (mm) Cotes topographiques (m) : Réserve d eau Point 1 40 Puits Point 2 20 Château d eau Point 3 50 Caractéristiques des pompes : Pompe 1 H MT (m) Q (l/s) Pompe 2 H MT (m) Q (l/s) José VAZQUEZ 57

60 Hydrodynamique des liquides réels Préliminaire V 2 Calculer pour un débit maximal de 150l/s dans chaque tronçon. 2g Comparer les valeurs trouvées par rapport aux valeurs de H MT des pompes. Quelle hypothèse peut-on formuler? La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée. En écrivant Bernouilli entre la surface libre (1) de la réserve d eau et N 1E, déterminer la charge totale H 1E. En écrivant Bernouilli entre le point N 1S et J, déterminer la charge totale H 1S en fonction du débit (Q 1 ) dans le tronçon 1 et de la charge totale H J. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer H J en fonction de Q 1 : Q 1 (l/s) H J (m) Tracer H J en fonction de Q 1 sur le graphique de la page suivante. En écrivant Bernouilli entre le point J et la surface libre (3) du château d eau, déterminer la charge totale H J en fonction du débit dans le tronçon 3 (Q 3 ). Calculer H J en fonction de Q 3 pour les valeurs suivantes : Q 3 (l/s) H J (m) Tracer H J en fonction de Q 3 sur le graphique de la page suivante. Déterminer le point de fonctionnement de l installation. H J et Q. (105l/s ; 95mCE) La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte. En écrivant Bernouilli entre la surface libre (2) du puits et N 2E, déterminer la charge totale H 2E. En écrivant Bernouilli entre le point N 2S et J, déterminer la charge totale H 2S en fonction du débit dans le tronçon 2 (Q 2 ) et de la charge totale H J. En utilisant la courbe caractéristique de la pompe, calculer H J en fonction de Q 2 : Q 2 (l/s) H J (m) Tracer H J en fonction de Q 2 sur le graphique de la page suivante. Déterminer le point de fonctionnement de l installation. H J et Q. (85l/s ; 80mCE) La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte. Que peut-on dire de la charge totale au point J (H J ) dans les trois tronçons? Quelle est la relation entre Q 1, Q 2 et Q 3? Tracer la courbe H J en fonction de Q 1 + Q 2. Déterminer le point de fonctionnement de l installation. (133l/s ; 120mCE) Synthèse Comparer les valeurs du débit Q 3 dans les cas : - La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est fermée : Q La vanne 1 est fermée et la vanne 2 est ouverte : Q La vanne 1 est ouverte et la vanne 2 est ouverte : Q 3.3 Peut-on dire que Q Q 3.2 = Q 3.3? Vérifier que Lechapt et Calmon est applicable José VAZQUEZ 58

61 Hydrodynamique des liquides réels (m) Q(l/s) José VAZQUEZ 59

62 Hydrodynamique des liquides réels Pompes en parallèle refoulant dans des conduites en parallèle et en série 185 E R 3 Conduite 4 DN 350mm L=5512m ε=0.1mm F R Conduite 1 et 2 DN 350mm L=800m ε=0.1mm B Pompe 1 B 1 C Conduite 3 DN 450mm L=1295m ε=0.1mm D Conduite 5 DN 300mm L=4620m ε=0.1mm R 1 A B B 1 2 Pompes identiques en parallèle A Pompe 2 Le constructeur des pompes donne pour chaque pompe les caractéristiques suivantes : Hmt (m) Q (l/s) η (%) η : rendement. On négligera toutes les pertes de charge singulières. Les deux pompes fonctionnent en même temps. José VAZQUEZ 60