Approche d'évaluation pour les problèmes d'ordonnancement multicritères : Méthode d'agrégation avec direction de recherche dynamique

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1 Approche d'évaluation pour les problèmes d'ordonnancement multicritères : Méthode d'agrégation avec direction de recherche dynamiue D. BERKOUNE 2, K. MESGHOUNI, B. RABENASOLO 2 LAGIS UMR CNRS 846, Ecole Centrale de Lille, BP 48, 5965 Villeneuve d Asc Cedex, France 2 GEMTEX EA 246, Ecole Nationale Supérieure des Arts et Industries Textiles 9, rue de l Ermitage, BP 30329, Roubaix Cedex 0, France Résume : Dans ce papier, nous traitons l un des problèmes survenant dans les ateliers de production où on souhaite maximiser la uantité des produits réalisés tout en minimisant au mieux le maespan et les coûts de production, en utilisant les algorithmes génétiues. L'obectif principal est de générer une variété de solutions optimales diversifiées dans l'espace de recherche, et d'aider le décideur uand il ne peut pas donner une préférence particulière de uelues fonctions obectives.. Introduction L optimisation multi-obectif cherche à optimiser plusieurs composantes d un vecteur fonction coût. Contrairement à l optimisation uni-obectif, la solution d un problème multi-obectif (PMO) n est pas une solution uniue, mais un ensemble de solutions, connu comme l ensemble des solutions Pareto optimales (PO). Toute solution de cet ensemble est optimale dans le sens u'aucune amélioration ne peut être faite sur une composante du vecteur sans dégradation d'au moins une autre composante du vecteur (Talbi, 999). Le choix d une solution par rapport à une autre nécessite la connaissance du problème et de nombreux facteurs liés au problème. Ainsi, une solution choisie par le décideur peut ne pas être acceptable pour un autre décideur. Il est donc utile d avoir plusieurs alternatives dans le choix d une solution Pareto optimale (PO). Dans cet article, on s intéresse aux problèmes d ordonnancement dans les ateliers de production ou l obectif principal étant de produire le maximum de produits avec un temps et un coût minimum. On souhaite alors minimiser le maespan et le coût de production en utilisant les algorithmes génétiues, ces dernier ont été efficacement utilisés dans la résolution des problèmes multicritères (Talbi, 999), (Srinivas et al., 995). Pour la minimisation de ces critères il existe plusieurs méthodes de transformation des problèmes multi-obectifs en problèmes uni-obectifs (Collette et al., 2002). Le but principal est de générer une variété de solution Pareto optimales diversifiées dans l'espace de recherche. Ce papier est organisé comme suit : dans la section 2 nous présentons les PMO. Une définition des algorithmes génétiues et leurs opérateurs est présentée dans la section 3. Dans les sections 4 et 5 nous faisons une description du problème d'ordonnancement et de l'approche utilisée pour calculer les bornes inférieures. Notre approche de résolution des PMO est présentée dans la section 6. Dans la section 7, nous montrons l efficacité de l approche utilisée par des exemples. Enfin, dans la conclusion, nous présentons uelues perspectives de recherche dans le domaine. 2. Définition du problème Multicritères Un PMO peut-être définit de la manière suivante : F(x) = (f (x),f 2 (x),,f L (x)) avec x C () Où L 2 est le nombre de fonctions obectifs, x=(x,x 2,,x L ) est le vecteur représentant les variables de décision et F(x) est le vecteur des critères à optimiser, C représente l ensemble des solutions réalisables associé à des contraintes d égalité, d inégalité et des bornes explicites. Dans la résolution de PMO, plusieurs méthodes traditionnelles transforment le PMO en un problème uni-obectif. Parmi ces méthodes on trouve : La méthode d agrégation, la méthode de compromis, et la méthode de programmation par but (Talbi, 999), (Collette et al., 999). Ces approches ont été largement utilisées dans la littérature à l aide de différentes métaheuristiues tel ue : Algorithmes génétiues (Liu et al., 998). Recuit simulé (Serafini, 992). Recherche tabou (Glover et al., 997). Dans notre travail nous utiliserons les algorithmes génétiues pour le problème multi-obectif dont le but de minimiser deux critères ui sont : La durée et le coût de

2 production, pour cela on utilise les méthodes d'agrégation avec recherche dynamiue de direction ui permet d'aider le décideur uand il ne peut pas clairement donner une préférence particulière de uelues fonctions obectifs. 3. Conception des algorithmes génétiues La première description rigoureuse du processus des algorithmes génétiues (AGs) a été donnée par Holland en 960 (Holland, 975). Les AGs sont des algorithmes itératifs de recherche dont le but est d optimiser une fonction prédéfinie appelée le critère ou fonction coût (fitness), ils travaillent en parallèle sur un ensemble de solutions candidates, appelé «population» d individus ou chromosomes. Ces derniers sont constitués d un ensemble d éléments appelés «gènes» ui peuvent prendre plusieurs valeurs appelées «allèles» (Renders, 995). Un chromosome est une représentation ou un codage sous forme de chaîne d une solution du problème donné. Une première population est choisie soit aléatoirement, soit par des heuristiues ou par des méthodes spécifiues au problème, soit encore par mélange de solutions aléatoires et heuristiues, cette population doit être suffisamment diversifiée pour ue l'algorithme ne reste pas bloué dans un optimum local. C'est ce ui se produit lorsue trop d'individus sont semblables. Les AGs génèrent de nouveaux individus de telle sorte u ils soient plus performants ue leurs prédécesseurs. Le processus d amélioration des individus s effectue par utilisation d opérateurs génétiues ui sont : la sélection, le croisement et la mutation (Syswerda, 990, Goldberg, 989). Codage : Un individu (ou chromosome) est représenté par une matrice, chaue ligne représente la gamme de chaue ordre de fabrication. Chaue cellule de cette ligne (représentant une opération) contient deux termes. Le premier indiue le numéro de la machines ui est affectée à l exécution de cette opération, le second représente la date de début d exécution de l opération si son affectation sur cette machine est définitive cette date est calculée en tenant compte des contraintes de ressource et de précédence (Mesghouni, 999). D une façon générale un chromosome se présente comme suit : J : (m,t m ) m est la machine ui est affectée à l exécution de l opération, t m est la date de début d exécution sur la machine m. Opérateurs génétiues : Croisement : Le but du croisement est d'obtenir par mélange de solutions d'autres chromosomes susceptibles d'améliorer les résultats. Dans notre cas il y'a deux opérateurs de croisement (Mesghouni, 999); l'opérateur de croisement ligne manipule les obs et l'opérateur de croisement colonne manipule un ensemble d'opérations. Mutation : Le rôle essentiel de la mutation est d'introduire une certaine diversification dans la population ue l'opérateur de croisement ne peut pas apporter. Sélection : Cet opérateur consiste à choisir les individus à partir desuels on va créer la génération suivante. Dans notre cas on a utilisé le principe de la roulette, ui permet de retenir les individus les plus prometteurs en terme de fonction fitness. 4. Description du problème d'ordonnancement Un ensemble de N obs doit être ordonnancé sur un ensemble de machines M. Chaue ob représente un certain nombre n d'opérations. Chaue opération i du ob notée O i doit être exécutée sur une des machines avec une date de début au plus tôt r i (la date de début au plus tôt du ob est r = r ) et une contrainte de précédence (r i+, r i + p im ) à chaue opération O i est associée un ensemble de durées opératoires sur l'ensemble des machines (p im ; m M). Un ordonnancement consiste alors à attribuer une machine m ui sera affectée à l'exécution de O i (x im =, avec x im le coefficient d'affectation de l'opération O i sur la machine m); et une date de début pour chaue O i. L'obectif est de trouver la date de début d exécution pour chaue opération O i et la machine affectée en respectant toutes les contraintes considérées, ainsi ue d ordonnancer les obs de façon à minimiser les critères considérés. Les obectifs considérés sont : - minimiser le maespan C max : C max = max {C =,..., N} (2) Où C est la date de fin du ob - minimiser le coût de production C : N M N N C = F + Lm + S + P = m= = = Où L m est le coût de lancement de la machine m. o Le coût de fabrication du ob (F ) : F = MP + M n xim m= = CMmp im (3) (4) Où MP est le coût de la matière première du ob et CM m est le coût unitaire sur la machine m o Le des pénalités du ob (P ) : P = Cp T. Avec T = max {0, C -d } (5) Où Cp est le coût de pénalisation du ob.et T est la durée de pénalité. o Le coût de stocage du ob (S ) : S = Cs E ; Avec E = min {0, C -d } (6) Où Cs est le coût de stocage du ob, E est la durée de stocage et d est date de livraison du ob.

3 5. Les bornes inférieures Le problème de ob shop flexible (FJSP) traité est connu en tant u'un des problèmes d'optimisation de type NP difficile. Pour de tels problèmes, les méthodes exactes reuièrent un effort calculatoire ui croît exponentiellement avec la taille des instances du problème. Notre obectif est de proposer une solution assez proche de la solution optimale. Du fait ue nous n'avons pas l'information sur cette solution optimale, nous nous somme orientés vers le calcul des bornes inférieures ui permet de comparer les valeurs réelles obtenues aux bornes inférieures correspondantes afin de mesurer l'efficacité de notre approche. a. Bornes Inférieures du Maespan des obs Les bornes inférieures pour les obs se calculent par la méthode suivante : Proposition. La uantité suivante est une borne inférieure du maespan des obs : n C bi = max n r + γ i (7) i= Preuve. Pour n importe uelle affectation des opérations sur les machines, la durée totale de production (maespan) est la date de fin de toutes les opérations : C max = max {C =,, N}. Or, pour chaue opération, p im γ = min ( p ) par i m M définition, et en supposant u il n y pas d intervalle d attente entre deux opérations successives, nous avons la minoration (7) précédente car : C r n + p i= im im où m est la machine affectée à O i. Remarue. Si le cardinal de l'ensemble de obs N est supérieur au nombre de machine ou dans le cas de relaxation de certaine contraintes (préemption des tâches, contrainte disonctive sur les ressources ), il n y a pas de solution ui atteigne la borne inférieure (7). Dans ce cas la méthode de calcul d une borne inférieure possible est la suivante : Proposition 2. La uantité suivante est une borne inférieure du maespan des obs. C M n n = r m + γ (8) i M m= = i= bi2 ' Preuve. On suppose ue le nombre de obs N est supérieur au nombre de machines M. Chaue machine m a une date de disponibilité au plus tôt notée r m. L idée de base est de répartir uniformément toutes les tâches sur les machines. En utilisant le même raisonnement utilisé dans le calcul classiue des bornes inférieures (Carlier, 987), et en relachant la contrainte de non préemption des tâches, on obtient la minoration suivante : n n r' + r' 2 + r' r' M + γ M C max En conséuence : C max M r' M m= i = i = m n n + γ i = i= Conclusion récapitulative. Les bornes précédentes (7) et (8) nous permettent de prévoir des limites pour les valeurs du maespan. Ces limites sont définies par la relation suivante : C max M n n n = max r' m + γ i, max( r + γ ) (9) i M m= = i= n i= b. Bornes inférieures du coût de production des obs Proposition 3. La uantité suivante est une borne inférieure du coût de production des obs : = N n N M im m m = i = m = m= C ( min( p. CM ) + MP + ω L ) (0) ω m : Coefficient d'utilisation de la machine m, ω m ={0,} ω m L m : de lancement de la machine m; Preuve. On considère ue les obs finissent uste à temps (pas stocs et pas de pénalités). 6. Approche d'évaluation multicritères Nous intéressons à évaluer et à comparer les solutions selon plusieurs critères. D'une manière générale, ces critères présentent des relations non linéaires et complexes entre elles et n'ont pas forcément la même importance du point de vue des décideurs. Ainsi, beaucoup de considérations peuvent être prises pour tenir compte de toutes ces difficultés. L'évaluation proposée consiste à transformer le problème (PMO) en un problème (PMO λ ) ui revient à combiner les différentes fonctions coût f du problème en une seule fonction obectif F. Les solutions Pareto optimales peuvent être obtenues par la résolution du programme mathématiue suivant : F( x) = L = λ f ( x) () Où les poids λ [,0], et L = λ =. Différents poids fournissent différentes solutions. La même solution peutêtre générée en utilisant des poids différents. L ensemble de ces solutions peut être généré par la résolution de (PMO λ ) pour différentes valeurs du vecteur de poids λ. L'évaluation proposée est la suivante : - Pour chaue fonction obectif on calcule ces bornes inférieures, telle ue : f x ( ) f x C (2) Ces bornes sont utiles pour évaluer et uger les solutions obtenues avec précision. - Les valeurs des fonctions obectifs dans la plupart des cas peuvent appartenir à différents intervalles de magnitude variable. Ainsi, pour être efficace, la fonction obectif globale () doit être homogénéisée afin d'éviter m

4 ue les obectifs ne soient dominés les uns par les autres. Pour éviter un tel inconvénient ui peut négliger certaines fonctions obectifs et amplifier les autres, nous pouvons utiliser une application simple de la logiue floue basée sur les étapes suivantes : - Soit f la moyenne des solutions de la ième fonction obectif trouvée avec l'algorithme génétiue à la ième itération : f f ( x) = (3) Cardinal( P ) P : Population des solutions à la iéme itération - Pour chaue vecteur f(x), on appliue une fuzziffication de ces composantes f (x) selon leurs positions dans les intervalles [ f 0, f + ε ] où ε est une petite valeur positive conçue pour éviter un problème de division par zéro (ε = 0.0. f si f 0 = f autrement ε = 0). - Pour aider le décideur uand il ne peut pas clairement donner une préférence particulière de uelues fonctions obectifs, nous proposons de construire un ensemble de solutions Pareto optimales sans accorder aucun privilège à une direction particulière de recherche. Cette approche sera basée sur un algorithme dans leuel les pondérations λ seront calculées en utilisant une règle floue (Kacem, 2003). L'idée est de mesurer la ualité moyenne des solutions selon chaue critère à chaue itération et de calculer les différents poids suivant le degré de cette ualité. Le but est d'étudier les gains et les améliorations possibles des solutions en accordant la priorité à l'optimisation des fonctions obectifs dont la moyennes des valeurs est loin de la valeur optimale (ou de la borne inférieure), cette approche est appelée : Approche agrégative avec direction de recherche dynamiue. A Proche f 0 f + ε Figure. Fonction d'appartenance des différentes valeurs des critères L'évaluation de la ualité des solutions se fait en utilisant les fonctions d'appartenance illustrées dans la figure.. Ainsi on distingue deux sous ensembles de solutions. - sous-ensemble de solutions proches de la borne inférieure; - sous-ensemble de solutions lointaines de la borne inférieure. Loin f Les fonctions d'appartenance sont formulées comme suit (Kacem, 2003) : A f f ( f ) = Si f 0 [ f ] 0, f + ε f f + ε sinon A ( f ) = (4) + Le calcul des différentes pondérations λ est effectué en utilisant la règle floue suivante : + Si ( f est Proche de f ) alors ( λ ) + Si ( f est Loin de f ) alors ( λ ) L'application de cette règle donne la formule suivante : A ( ) + f λ = L, λ = L et L A ( f ) Tr- (5) Où Tr est le nombre total d'itérations. f 2 f 2 Figure 2. Direction de recherche Pour résoudre le problème des valeurs des fonctions obectifs ui peuvent appartenir à différents intervalles de magnitude variable, nous pouvons utiliser une application simple de logiue floue basée sur les étapes suivantes : - A chaue solution réalisable x, nous associons un vecteur f(x) = (f (x),f 2 (x),,f Cr (x)) T H - En particulier, soit H une heuristiue choisie et f la valeur maximale de la solution donnée par l'heuristiue considérée selon la iéme fonction obectif. La fuzzification est appliuée en utilisant la fonction d'appartenance comme la montre la figure suivante : µ f P Tr Bon f P + H f + ε Figure 3. Application floue dans la résolution du problème d'échelle P Mauvais P f f

5 Les valeurs normalisées des fonctions obectifs se calculent par la formule suivante : f ( x) f µ ( f ( x)) = (6) H f f + ε Avec µ (f (x)) est la valeur normalisée de la fonction obectif f (x). La formulation de la fonction d'évaluation globale est la suivante : f ( x) = L λ µ ( f ( x)) (7) = 7. Exemple Quelues exemples ont été examinés pour évaluer la ualité de notre méthode basée sur des données pratiues en changeant aléatoirement le nombre de obs N aussi bien ue le nombre de machines M, et les durées de chaue opération sur l'ensemble de machines (p i ). Figure 6. 6 obs et 6 machines Méthodes d'agrégation avec direction de recherche dynamiue Cette méthode est utilisée généralement uand le décideur ne peut pas donner une préférence particulière de uelues fonctions obectifs. Elle permet de générer des poids différent d'une itération à une autre de manière dynamiue en fonction de la moyenne des solutions selon chaue critère à chaue itération. Résultats. Figure 7. 6 obs et 4 machines Figure 8. 0 obs et 7 machines Figure 4. 8 obs et 5 machines Figure obs et 5 machines Figure 9. 5 obs et 9 machines

6 Figure 0. obs et 9 machines Figure. 4 obs et 7 machines Avec la méthode d'agrégation avec recherche de direction dynamiue on constate ue l'ensemble des solutions se rapproche de la solution optimale (ou du point d'intersection des bornes inférieures des critères considérés), d'une itérations à une autre, cela indiue ue les poids des critères sont calculés dynamiuement selon la distance entre les bornes inférieures et la moyenne des solutions de l'itération précedente. 8. Conclusion Dans cet article, nous avons mis l'accent sur uelues axes de recherche, et ui, a notre avis, possèdent un intérêt primordial dans la résolution de problèmes multicritères. Une approches d'aide à la décision : La recherche d'un ensemble de solutions Pareto optimales n'est u'une première étape pour résoudre un PMO. La deuxième étape consiste à faire un choix final parmi les solutions trouvées. Pour ce faire, nous pensons ue les algorithmes ui ne se basent pas a priori sur des préférences sont généralement plus intéressant, pour les raisons suivantes : - Les décideurs désirent en général plusieurs alternatives et non pas une meilleure solution uniue. - La difficulté de déterminer a priori des préférences sans la connaissance du problème. Les études actuelle se basent sur la reproduction des solutions supportées sans donner des poids particuliers pour les fonctions obectifs (algorithme NSGA (Srinivas et al., 995)) 9. Références J. Carlier, Scheduling obs with release dates and tails on identical machines to minimize Maespan, European Journal of Operational Research, 29 pp , 987 Y. Collette, P. Siary. Optimisation multiobectif. Edition Eyrolles, 2002 I. Kacem. Ordonnancement multicritères des ob shops flexibles : formulation, bornes inférieures et approche évolutionniste coopérative. Thèse université de Lille, 2003 X. Liu, D. Begg, R. J. Fishwic. Genetic approach to optimal topology/controller design of adaptive structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 4 pp ,998 K. Mesghouni. Application des algorithmes évolutionnistes dans les problèmes d'optimisation en ordonnancement de la production. Thèse université de Lille, 999 P. Serafini. Simulated annealing for multiple obective optimization problems. In 0th Int. Conf. on Multiple Criteria Decision Maing, pp 87-96, 992 N. Srinivas, K. Deb. Multiobective optimisation using non-dominated sorting in genetic algorithms. Evolutionary Computation 2(8) pp , 995 E.G. Talbi. Métaheuristiues pour l'optimisation combinatoire multi-obectif. Tutorial, Journée Evolutionnaires Trimestrielles, Paris, 999 J.H. Holland. Adaptation in natural and artificial system, University of Michigan Press 975 D.E Goldberg. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley, 989. J.M. Renders. Algorithmes génétiues et réseaux de neurones, Edition Hermès995. G. Syswerda. Schedule Optimization Using Genetic Algorithm, in Handboo of Genetic Algorithm, Van Nostrand Reinhold, New Yor, 990 F. Glover, M. Laguna. Tabu search, Kluwer Academic Publishers, 997

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