Fibres optiques pour télécommunications

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1 08/09/008 Fibres optiques pour télécommunications par Michel JOINDOT Ancien élève de l École polytechnique Ingénieur en Chef des télécommunications et Irène JOINDOT Ingénieur ISMRA (Institut des sciences de la matière et du rayonnement) (ex. ENSEEC) Docteur de l Université de Montpellier, habilitée à diriger les recherches 1. La fibre et son utilisation... E Description d une fibre Fibre dans une chaîne de transmission Les modes de propagation d une fibre monomodale Modes LP Mode LP Étude de l affaiblissement Le deuxième mode Propagation d une impulsion dans une fibre monomodale Effets linéaires et non linéaires. Équation de Schrödinger non linéaire Distorsion d une impulsion induite par les effets linéaires Distorsion induite par les effets non linéaires Effets combinés des distorsions linéaires et non linéaires : les solitons Phénomène de base Génération de solitons Dispersion modale de polarisation Conclusion Références bibliographiques U ne fibre optique est un guide diélectrique permettant de conduire la lumière sur une grande distance. On se limitera dans cet article aux fibres à symétrie de révolution autour de leur axe, constituées de matériaux isotropes (verres). Notre objectif est de présenter les propriétés fondamentales de ces fibres en vue de leur application aux télécommunications, c est-à-dire leurs propriétés concernant l affaiblissement et la déformation subis par les signaux lors de leur propagation. C est en 1966 que sera lancée l idée de transporter sur de grandes distances des signaux optiques sur une fibre, mais il faudra des années pour maîtriser les procédés de fabrication et contrôler la composition des matériaux qui influe de manière décisive sur les pertes. On parviendra alors à obtenir des atténuations assez faibles pour que devienne possible la transmission des signaux sur des distances suffisamment grandes pour présenter un intérêt pratique et rendre la technique optique compétitive. Partie en 1960 de db/km, l atténuation est descendue à 0 db/km en 1975, puis 0, db/km en Comparée aux autres supports de transmission existants, la fibre optique présente une atténuation faible et quasiment constante sur une énorme plage de Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

2 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 fréquences et offre ainsi l avantage de bandes passantes gigantesques, permettant d envisager la transmission de débits numériques très importants. Mais la fibre ne se réduit pas à un atténuateur parfait : la variation de l indice de réfraction en fonction de la longueur d onde est la cause principale de la dispersion chromatique, qui va entraîner une déformation des signaux transmis. Cet effet linéaire se manifeste d autant plus que la distance est élevée, et la bande passante des signaux transmis importante. Aussi, tant que les atténuations des fibres ont été suffisamment grandes pour que le signal doive être régénéré avant d avoir été notablement déformé, la dispersion a-t-elle été négligée. Avec la diminution des pertes et l apparition de systèmes à très grande capacité, la dispersion chromatique est devenue un effet fondamental. Les amplificateurs à fibre ont permis d injecter dans les fibres des puissances importantes et de compenser les pertes de propagation ; la contrepartie en est l apparition d effets non linéaires, qui sont aussi une source de dégradation du signal, mais peuvent également être utilisés dans certaines conditions de manière positive pour compenser l influence de la dispersion chromatique. Dans le cas général, effets linéaires et non linéaires interagissent et ne peuvent donc être isolés et traités séparément. La fibre optique apparaît donc comme un milieu de propagation complexe, dont l effet sur un signal ne peut être prédit qu au moyen de logiciels de simulation : de nombreux laboratoires ont développé de tels outils. 1. La fibre et son utilisation 1.1 Description d une fibre Dans une fibre idéale, l indice de réfraction n ne dépend que de la distance r à l axe. Le graphe n (r ) s appelle le profil d indice de la fibre. La figure 1 donne quelques exemples de profils d indice. Schématiquement, en partant de l extérieur, on rencontre successivement : une couche de protection mécanique en matière plastique ; une gaine optique, zone où n (r ) reste constant ; un cœur, au voisinage de l axe, où n (r ) présente un maximum. Lorsque n (r ) est constant dans le cœur, on parle de fibre à saut d indice. Ce profil idéal simplifie les calculs, mais n a aucune vertu particulière pour les applications pratiques. C est un cas limite d une famille de profils qui a été abondamment étudiée. L expression générale de l indice en fonction du rayon est donnée par la relation suivante : avec a rayon de cœur, g n( r) = n c [ 1 ( r a) g ] pour r a n( r) n = c [ 1 ] = n g pour r > a diminution relative de l indice entre l axe et la gaine, paramètre arbitraire positif caractéristique du profil, n c indice de réfraction (maximal) du cœur, n g indice de réfraction de la gaine. Cette famille pseudo-parabolique contient des profils en triangle (g = 1), parabolique (g = ) et à saut (g = ). En pratique, les variations d indice entre le cœur et la gaine sont très faibles (moins de 1 %), l indice lui-même restant au voisinage (1) Plastique Gaine Cœur Épaisseur de la gaine plastique : 10 à 30 m, Rayon extérieur de la gaine : 10 m, Rayon du cœur : quelques micromètres (fibre monomodale) à 50 m (fibre multimodale). Le profil d indice correspondant prolonge la gaine indéfiniment. I à saut II parabolique II en triangle IV profil plus complexe où les définitions de n c et de a deviennent plus arbitraires Figure 1 Fibre optique n (r) a structure schématique r n c n g n c n g n c n g n c n g a a a a r r r r b profils d indice I II III IV E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

3 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS de 1,46 pour des verres de base de silice (n dépend de la longueur d onde λ). Le diamètre du cœur varie d une centaine de micromètres (fibres multimodales) à moins de 10 µm (fibres monomodales). Il est commode de caractériser le profil d indice par la quantité : π V = n λ c n g a kan () Source + modulation Fibre Photodétecteur avec k = π/λ que l on appelle fréquence normalisée, bien que cette définition soit assez ambiguë en dehors des profils du type 1 (figure 1). Ce paramètre V est de l ordre de 1 à 3 pour les fibres monomodales et de l ordre de 100 ou plus pour les fibres multimodales. Dans les conditions normales d emploi, le champ électromagnétique devient très vite négligeable quand on sort du cœur. Le rayon extérieur de la gaine et les paramètres de la couche de protection ont donc un rôle mineur dans la propagation du champ, et on modélise généralement celle-ci en supposant que la gaine optique s étend jusqu à l infini. Bien entendu, une fibre réelle ne se résume pas à la donnée de son profil d indice. Il faut tenir compte de plusieurs éléments de perturbations, impuretés chimiques, fluctuations de composition dans les verres, irrégularités géométriques dues à la fabrication ou au conditionnement, sur lesquelles nous reviendrons par la suite. 1. Fibre dans une chaîne de transmission e (t) Figure Système de transmission sur fibre, vu comme un quadripôle optoélectronique Puissance optique (u.a. en db) s (t) La fibre optique ne constitue qu une partie du quadripôle optoélectronique représentant la chaîne de transmission d information (figure ). L utilisateur s intéresse avant tout à la relation entre le signal de sortie s (t ) fourni par le détecteur et le signal d entrée e (t ) fourni par la source. On souhaite souvent que cette relation soit linéaire afin de pouvoir utiliser les techniques classiques de filtrage et d égalisation pour reconstituer le signal entrant. Dans les systèmes de transmission sur fibre, qui sont dans leur très grande majorité numériques, cette relation linéaire n est pas vérifiée, en raison du caractère quadratique du détecteur. Cette particularité n est cependant pas un obstacle au développement de ces systèmes Figure 3 Spectre d émission d une diode laser Longueur d onde (nm) 1..1 Caractéristique spectrale des sources Les systèmes pratiques utilisent des sources à semi-conducteur émettant autour des longueurs d onde de λ = 0,85 µm, λ = 1,3 µm ou λ = 1,55 µm : les bandes de fréquences utilisées autour de ces trois longueurs d onde sont souvent appelées les trois fenêtres de télécommunications (telecommunication windows). La première valeur a été imposée par les matériaux à semi-conducteur disponibles avant 1980 : les deux autres longueurs d onde sont apparues avec le développement des fibres monomodales et on comprendra dans la suite les raisons qui conduisent au choix de l une ou de l autre. Les sources sont caractérisées par leur spectre (répartition de la puissance émise en fonction de la longueur d onde, figure 3) et leur diagramme de rayonnement (répartition de la puissance émise dans les différentes directions, figure 4). Actuellement, le seul type de source utilisé est la diode laser qui est caractérisée par un spectre de raies très fines (entre 0, et 1 MHz lorsque le laser émet 1 mw) réparties sur un intervalle spectral de quelques nanomètres (figure 3). La différence entre la puissance de la raie principale et celle des autres raies peut être de l ordre de 30 db ou plus : on parle alors de laser monomodal. La région émissive est un rectangle dont les côtés sont de l ordre de 1 à 5 µm (figure 4). Le champ émis n est pas à symétrie circulaire : il diverge davantage dans le plan parallèle au petit côté du rectangle a plan Y b plan X Y X c face de sortie du laser Figure 4 Diagramme de rayonnement d une diode laser Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

4 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/ Modulation On peut moduler ces sources de deux manières différentes. Modulation directe : on agit sur le courant de jonction qui provoque l effet laser. En première approximation, la puissance optique délivrée varie linéairement en fonction du courant. Ce type de modulation provoque une modification dynamique du spectre due à la conversion amplitude-fréquence (désignée par le terme anglo-américain de chirp ) et du diagramme de rayonnement, avec des effets nuisibles aux grandes vitesse de modulation (réf. [1] page 113). Modulation externe : le champ émis par la source n est pas modulé et passe par un circuit optique spécial où l on peut provoquer une modulation de phase ou d amplitude. Les modulateurs d amplitude ne présentent aucune propriété de linéarité mais introduisent beaucoup moins de conversion amplitude-fréquence. Le signal modulé envoyé dans la fibre est donc nettement moins affecté par ce phénomène mais également moins puissant que dans le cas de la modulation directe. Le principe physique utilisé dans ces modulateurs externes est soit la variation de l indice de réfraction soit la variation de l absorption (dispositifs à base de semiconducteurs). Pour les modulateurs électroréfractifs, le matériau utilisé est le niobate de lithium (LiNbO 3 ) dans une configuration d interféromètre de Mach-Zehnder en onde guidée. La phase de l onde lumineuse est modifiée dans un des bras au rythme de la tension appliquée au matériau de ce bras. Il en résulte, après recombinaison des deux ondes, des interférences constructives ou destructives suivant la tension appliquée. Pour les modulateurs électroabsorbants, à base de semiconducteur, la modulation de la puissance lumineuse résulte directement de la variation de l absorption du matériau avec le champ électrique Détection La détection est assurée par des photodiodes semi-conductrices qui fournissent un courant proportionnel à la puissance lumineuse moyenne interceptée ; cette moyenne (temporelle) étant prise sur un temps d intégration caractéristique de la technologie de la diode et du circuit électrique dans lequel elle est montée, les modulations d amplitude ne seront donc détectées que si leur période est suffisamment grande par rapport au temps d intégration. En détection directe, on a une relation linéaire entre le courant électrique détecté et la puissance optique captée. La détection dite «cohérente», consistant à faire battre, comme en radio, le signal reçu avec un oscillateur local, a suscité un très important effort de recherche entre 1980 et 1990, en raison des gains en sensibilité de réception qu elle pouvait apporter. Cette technique a perdu la plus grande partie de son intérêt avec l arrivée des amplificateurs à fibre Comment caractériser les propriétés de transmission de la fibre? La fibre optique est naturellement linéaire par rapport au champ, caractérisée par une fonction de transfert sur laquelle nous reviendrons en traitant de la dispersion. L apparition des amplificateurs optiques qui ont permis d augmenter considérablement les puissances injectées conduit par ailleurs à des effets non linéaires à l intérieur de la fibre qu il n est plus possible de négliger. La propagation est régie en toute généralité par l équation de Schrödinger non linéaire (réf. [1] page 50) qui se réduit à des formes simplifiées dans différents cas particuliers : dans la suite de cet article, nous considérerons d abord la propagation purement linéaire puis ensuite les effets non linéaires.. Les modes de propagation d une fibre monomodale.1 Modes LP.1.1 Équations La variation très faible (moins de 1 %) de l indice de réfraction dans la partie utile des fibres optiques permet de remplacer les équations de Maxwell par une équation de propagation scalaire [] : ψ + k n ( r) ψ = 0 (3) avec k = π/λ. En multipliant toute solution ψ de cette équation par un vecteur u T orthogonal à Oz, on obtient une solution convenable des équations de Maxwell pour les composantes de E T (ou de H T ) orthogonales à Oz. Cela signifie que la polarisation transversale d un champ se conserve le long de la fibre. En fait il ne s agit là que d une approximation excellente à l échelle de λ (elle reste valable sur plusieurs fois λ) mais évidemment pas à l échelle du mètre ou du kilomètre. Elle nous suffira néanmoins dans la suite de cet article. Les composantes E z et H z ne sont pas nulles, mais on peut les négliger devant les composantes transversales. Le champ est quasi TEM (transverse électrique-magnétique), avec une relation d impédance de mode de type TEM : pour une onde directe allant dans le sens des z croissants. A un vecteur de polarisation arbitraire près, toutes les composantes notables du champ sont donc proportionnelles à la fonction scalaire ψ..1. Modes guidés H T n ε 0 = u z E T µ 0 Les modes guidés correspondent aux solutions de l équation (3) variant en exp ( iβz ) et qui s annulent pour r. β est la constante de propagation. Les fibres sont dites monomodales si l équation (3) n a qu une solution unique ; il faut pour cela que la fréquence normalisée soit assez faible : V <, 4 (profil à saut) ; V < 4, 4 (profil à triangle) ; Si V >> 1, le nombre des modes guidés croît comme V ; on montre qu il y en a gv /(g + 4) pour les profils du type I (cf. la figure 1). On utilise également les dénominations LP mn pour désigner ces modes. Il s agit d une représentation en coordonnées polaires ; le mode LP mn correspond à une fonction ψ de la forme f n (r ) cos(mθ ) ou f n (r ) sin(mθ ), où la fonction radiale f n (r ) s annule n 1 fois ailleurs qu en r = 0 (on montre aisément que tous les modes sont nuls en r = 0, sauf les modes m = 0). V < 3, 5 (profil parabolique). (4) (5) E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

5 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS On classe ces modes par constantes de propagation ou par indices effectifs (n eff = β /k ) décroissants. On montre que n c > n eff > n g. Toutefois, comme tous les indices sont très voisins les uns des autres, il est plus commode d utiliser des constantes de propagation normalisées qui varient de 0 à 1 : β k n B = g (6) k ( n c n g ) Pour les profils usuels, le mode fondamental est le LP 01 ; le deuxième mode est le LP 11, dont la fréquence de coupure correspond aux formules (5)..1.3 Coupure. Modes rayonnants et modes à fuites La notion de coupure d un mode dans un guide diélectrique n a rien à voir avec la coupure dans un guide métallique. A la coupure, un mode LP ne devient pas évanescent, mais il cesse d exister en tant que mode guidé, transportant une puissance finie. Une image commode, mais qui vaut surtout pour les modes de rang élevé dans les fibres multimodales, est de considérer un mode comme un ensemble de rayons lumineux qui sont piégés dans le cœur et qui avancent en zigzag à coups de réflexions totales sur l interface gaine cœur. Quand V diminue, ces rayons sont de plus en plus inclinés sur l axe et si V est assez faible (à la coupure), ces rayons arrivent sous l incidence critique à l interface. Pour V encore plus petit, l angle d incidence est trop petit et les réflexions ne sont plus totales ; le mode perd de sa puissance au fur et à mesure qu il avance, c est-à-dire que β devient complexe, du type β iβ (β > 0). Ce mode diverge donc pour z ; cette divergence axiale est accompagnée par une divergence transversale pour r (figure 5). La puissance véhiculée devient donc infinie ; ce mode n est donc pas un mode guidé au sens défini plus haut. Il s agit d un mode à fuite. D une manière très générale, tous les modes LP guidés se transforment en de tels modes à fuite au-delà de leur coupure. Ces modes à fuites sont également des solutions de l équation (3), mais qui ne sont pas bornées pour r. On utilise encore d autres solutions modales [en exp( iβz )], telles que β > kn g et ψ soit borné pour r, mais avec ψ non quarrable. Ces modes ne sont pas guidés (puissance infinie) et on peut les engendrer au moyen de la diffraction d une onde plane arbitraire sur le cœur. Ces modes sont appelés modes rayonnants ou modes continus. On les utilise dans la théorie des phénomènes de rayonnement à partir des fibres []. Nous ne les étudierons pas davantage.. Mode LP Approximation gaussienne D après ce qui précède, le mode LP 01 est à symétrie de révolution (pour l onde scalaire ψ ) et n a pas de zéro. Il a donc l allure générale d une fonction gaussienne : ψ Cte exp( r w ) (7) où w est la largeur du mode. On peut ajuster la constante et w de manière à avoir la même puissance ( ψ rdr inchangé) et une erreur quadratique minimale entre le champ exact et celui obtenu à partir de l équation (7). On obtient ainsi une meilleure approximation gaussienne du mode. La figure 6 montre que cette approximation est très bonne quand V est autour de ; elle se dégrade pour V < 1,6 ou V > 4. Le rapport w/a ne dépend que de V ; pour une fibre à saut d indice on peut prendre : w a = 0, , 619 V 3 +, 879 V 6 avec moins de 1 % d erreur pour 1, < V < 4 []... Calculs exacts Pour une fibre à saut d indice, le champ ψ (r ) est donné par [] : ψ ( r) = J 0 ( ur a) (cœur) ; ψ ( r) = [ J 0 ( u) K 0 ( v) ]K 0 ( vr a) (gaine) ; (9) où u et v sont solutions du système : u J 1 ( u) J 0 ( u) = v K 1 ( v) K 0 ( v) (10) u + v = V avec J p fonction de Bessel et K p fonction de Bessel modifiée. La constante de propagation normalisée est alors : B = v / V (11) Une approximation empirique à mieux de 0, % sur l intervalle 1,5 < V <,5 est : (8) B = [1,148 (0,9960 / V )] (1) r 1 E (r) L épaisseur du trait visualise l intensité des rayons associés aux modes. Cette intensité baisse à chaque réflexion partielle. 0,5 V = 1,57 V = 6 V = 3, r/a Figure 5 Représentation de la propagation d un mode à fuites dans une fibre Figure 6 Comparaison entre le mode LP 01 et son approximation gaussienne pour différentes valeurs de la fréquence normalisée V Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

6 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 Pour un profil quelconque, le plus simple est d utiliser un programme numérique. Une technique très précise consiste à remplacer le vrai profil d indice n (r ) par une fonction en escalier. Dans chacune des marches, on écrit ψ (r ) au moyen de fonctions de Bessel et on se raccorde d une marche à la suivante de manière à ce que ψ et dψ / dr soient continus..3 Étude de l affaiblissement Dans le modèle théorique que nous venons de présenter, β est réel pur et le coefficient de transmission en puissance exp( iβz ) reste égal à 1. En réalité, pour diverses raisons que nous allons étudier, il existe une partie imaginaire non nulle que nous noterons α /, qui correspond à une atténuation le long de la fibre. La puissance varie alors comme exp( αz ). En pratique, la fibre est caractérisée par son atténuation A en db/km. La relation entre α, en km 1, et A est : 10α A = ln Pertes par absorption et pertes de Rayleigh La figure 7 montre un exemple de relevé expérimental de l atténuation A en fonction de la longueur d onde λ. Un premier point remarquable est la décroissance d ensemble en λ 4 pour les λ faibles. Il s agit de la diffusion Rayleigh : à l échelle microscopique, les verres amorphes qui constituent la fibre présentent de légères fluctuations de densité et d indice qui provoquent une diffusion de la lumière dans toutes les directions et donc une atténuation de la puissance transmise. Cette atténuation comprend une part due au matériau de base et une part due aux différents dopants utilisés pour obtenir la distribution n (r ). Par exemple, avec de la silice et un dopage au germanium pour élever l indice de n, l atténuation de Rayleigh vaut sensiblement : α R ( 075, + 60 n)λ 4 (db / km) (13) λ étant exprimé en µm. On obtient 0,15 db/km à la longueur d onde de 1,6 µm avec n = 0,004. Toutefois, cette formule n est utilisable que pour n < 0,007 ; audelà, α R croît très rapidement, du moins dans les fibres à saut d indice. L atténuation globale est toujours supérieure à l atténuation de Rayleigh. La plus grosse part de l excédent est due aux mécanismes d absorption, essentiellement métaux de transition (130 db/km pour 1 p.p.m. de fer pour λ = 0,85 µm) et surtout ion OH (60 db/km pour 1 p.p.m. au premier harmonique λ = 1,38 µm). La figure 7 montre clairement une raie d absorption due à l ion OH. On sait maintenant couramment ramener ce pic OH à db/km ou moins. Outre l effet des impuretés, le matériau de base lui-même contribue à l absorption via les queues d absorption de ses résonances électroniques et ioniques. Pour la silice, on obtient ainsi 0,1 db/km à 0,8 µm, 0,0 db/km à 1,5 µm et 1 db/km à 1,8 µm. La combinaison de la diffusion de Rayleigh et de la remontée des pertes dans l infrarouge donne naissance à un minimum absolu de l atténuation correspondant aux pertes ultimes envisageables pour une fibre optique. Pour la silice, cela correspond à 0,15 db/km vers λ = 1,55 µm. A (db/km) 1 0,6 0,4 0, 0 0,8 0,9 1 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 λ ( m) On y voit clairement le pic d absorption de l ion OH à 1,39 m et la décroissance en 4 de l effet Rayleigh (à gauche) Figure 7 Atténuation spectrale d une fibre utilisée en télécommunications.3. Pertes par courbure En première approximation, le mode LP 01 est peu affecté par une courbure éventuelle de la fibre ; il suit la fibre et ses plans de phase restent perpendiculaires à la fibre. Toutefois, cela entraînerait que la vitesse de l énergie augmenterait quand on s éloigne de l axe de courbure et qu elle pourrait dépasser la vitesse locale de la lumière. Cela n est pas possible : la puissance correspondante ne peut pas suivre le mode et elle est perdue en rayonnement. Une analyse rigoureuse pour un profil à saut d indice conduit à la formule : 1 α c -- π u (14) arv = V K 1 ( v) exp VB 3 3 R -- ā avec K 1 fonction de Bessel modifiée ; u et v solutions de l équation (10). R est un rayon de courbure effectif qui s obtient en multipliant le rayon géométrique par un facteur de correction photoélastique (1,5 environ pour les fibres en silice) []. Le point important est la rapidité extrême des variations de α c avec R (ou λ). Par exemple, avec V =, α c est multiplié ou divisé par e chaque fois que le rayon de courbure varie de a/ (soit environ 1 mm pour a = 3 µm et = ) ; pour une variation de 1 cm, α c varie de 1 à Autrement dit, les pertes par courbures sont pratiquement un phénomène à seuil. On passera d un régime de pertes négligeable à un régime de pertes prohibitives en 1 ou cm de part et d autre d un certain seuil (assez arbitraire, par exemple correspondant à α c = 10 db/km). Pour d autres profils que le saut d indice, la formule (14) conserve le même facteur exponentiel (les autres termes sont modifiés), avec le même effet de seuil. A noter enfin que la formule (14) repose sur un modèle théorique où la gaine s étend jusqu à l infini. Elle donne un évaluation approchée par excès des pertes réelles (une gaine finie renvoie le rayonnement vers le cœur, avec réinjection partielle sur le mode LP 01 ), sans que l on sache actuellement cerner l erreur ainsi commise..3.3 Pertes par microcourbures Un effet secondaire d une courbure est de modifier la distribution ψ (r ) du mode LP 01, avec un renforcement du champ à l extérieur de E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

7 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS x a fibres non identiques La figure montre l évolution du champ le long de l axe x local, juste avant et après les changements de courbure de la fibre Figure 8 Déformation du mode LP 01 le long d une fibre courbée b espacement la courbure. Quand la courbure passe d une valeur à une autre (figure 8), le mode LP 01 change de forme ; on notera ψ 1 et ψ les formes anciennes et nouvelles du champ. Seule la projection de ψ 1 sur ψ est captée par le second tronçon (le reste correspond à des modes de rayonnement qui sont perdus) avec un coefficient de transmission en puissance inférieur à 1 donné par : ψ 1 ψ ds T = ψ 1 ds ψ ds (15) (intégrations dans la section droite). On aura donc une perte de puissance à chaque changement de courbure. En pratique, la courbure n a pas exactement la valeur correspondant à la ligne idéale que l on entend faire suivre à la fibre. Il y a d inévitables irrégularités de conditionnement mal connues qui font plus ou moins serpenter la fibre autour de cette ligne idéale et la courbure comprend inévitablement une partie fluctuante à laquelle on associera une atténuation par microcourbures. Cette atténuation α MC dépend d une manière complexe de la fibre et des propriétés statistiques des fluctuations de courbure. Il existe toutefois une approximation simple où la fibre n intervient que par la largeur w du mode LP 01 [3] et α MC est proportionnelle à une puissance très élevée de w, de w 10 à w 18 selon le type de conditionnement de la fibre. Les pertes par microcourbures augmentent donc très vite avec w. On écrit généralement que α MC devient négligeable si w < 4λ à la longueur d onde de travail..3.4 Pertes d épissurage Une grande longueur de fibre (10 à 100 km) résulte toujours de la mise bout à bout de tronçons beaucoup plus courts, de l ordre de 1 km de long. A chaque jonction, ou épissure, la géométrie de la fibre est rompue et on distingue quatre types de défauts possibles au raccordement, tous combinables entre eux, illustrés par la figure 9 : une discontinuité de rayon, une erreur d espacement, une erreur d excentrement, une erreur d alignement angulaire. L approximation gaussienne permet une évaluation simple des coefficients de transmission correspondants (en puissance) : T = [ w 1 w ( w 1 + w )] ( w 1 w ) ; T = 1 ( 1 + k n w 4 ) (espacement) ; T = exp( d w ) (excentrement) T = exp( k n w α 4) (désalignement). (16) (17) (18) (19) c excentrement d désalignement angulaire Figure 9 Les quatre grands défauts survenant lors du raccordement de deux fibres Avec w = 4λ (limite imposée par les microcourbures) une perte inférieure à 0, db imposera les mêmes w à 0 % près, < 30λ, d < 0,8λ et α < 0,6. Les contraintes les plus difficiles à tenir sont les deux dernières, mais les techniques utilisées à l heure actuelle permettent d obtenir 0, db en moyenne..3.5 Pertes de couplage à la source La géométrie du champ émis par une diode laser est très éloignée de la distribution du champ du mode LP 01 : une partie seulement de la puissance émise sera captée par la fibre à cause de cette désadaptation. Le champ émis par une diode laser se présente à peu près comme un faisceau gaussien non circulaire, avec une largeur w x perpendiculaire au plan de la couche active et w y dans le plan de cette couche. Si l on place la fibre directement sur le laser, on obtient un coefficient de transmission analogue à celui de la formule (16) : w x w w T exc y w = w w x w + w y On peut ainsi obtenir une perte assez importante. (0) Exemple : avec w x = 1 µm, w y = 3 µm (ordre de grandeur courants) on arrive à une perte de 6 db soit T exc = 0,5. On améliore ce couplage en interposant une optique d adaptation entre le laser et la fibre. L effet d une telle optique est de transformer un faisceau gaussien en un autre de largeur différente ; on peut ainsi rapprocher w x et w y de w et attendre T exc = 1 de la formule (0). En α d Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

8 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 réalité, la validité limitée des approximations gaussiennes et les difficultés de réalisation conduisent à des valeurs notablement plus basses autour de 1,5 db..4 Le deuxième mode L apparition du deuxième mode vient limiter le domaine des longueurs d onde utilisables sur une fibre donnée ; l excitation simultanée de deux modes ne voyageant pas à la même vitesse diminue considérablement la capacité de la fibre et on cherchera à l éviter. On cherchera donc à connaître quel est ce deuxième mode et quelle est sa fréquence de coupure. En règle générale, il s agit du LP 11, dont les champs varient en cosθ ou sinθ. Nous avons déjà donné sa fréquence de coupure pour quelques profils simples [formule (5)]. Il existe toutefois des profils plus complexes, à plusieurs minimums, où le deuxième mode est LP 0. Seule l analyse numérique permet de résoudre ce problème. 3. Propagation d une impulsion dans une fibre monomodale 3.1 Effets linéaires et non linéaires. Équation de Schrödinger non linéaire La propagation d une impulsion de champ électrique u (t,z ) le long d une fibre optique est régie en général par l équation de Schrödinger non linéaire : u i β z utz (, ) α (1) z T + -- u( T, z) + iγ u( T, z) u( T, z) = 0 La variable T est le temps mesuré dans le repère de l impulsion, c est-à-dire le temps réel t moins le temps de propagation de groupe qui est associé à la vitesse moyenne de propagation de l impulsion v g (vitesse de groupe). Le signal qui se propage est donc représenté par u z t Comme t et z interviennent avec des signes opposés v g dans cette formule, il faudra donc inverser l axe des abscisses selon que l on représente le signal en fonction de z à un instant donné, ou en fonction du temps à une distance z donnée. En d autres termes, les plus grandes (resp. petites) valeurs de t correspondent au front arrière (resp. avant) de l impulsion. On peut trouver dans la littérature des formes légèrement différentes de cette équation (changement de signes de certains termes) : ceci est entre autres lié aux conventions prises pour la représentation des champs électromagnétiques en exp (iωt ) ou exp ( iωt ), ou au signe choisi pour le paramètre γ. Nous choisissons dans toute la suite la première représentation. Les différents termes de l équation (1) sont représentatifs de différents effets : le second terme caractérise la dispersion chromatique ; β est la dérivée seconde de l exposant de propagation β (ω) par rapport à ω à la fréquence centrale du signal ; le troisième terme caractérise l affaiblissement ; l amplitude du champ décroît au cours de la propagation en exp ( αz / ) ; la puissance décroît donc en exp ( αz ) ; le quatrième terme rend compte des phénomènes non linéaires liés à l effet Kerr. Si β est nul, le développement de β (ω ) doit être poussé au-delà du second ordre et l équation précédente n est plus valable. Il faut alors faire intervenir un terme en β 3 u ( Tz, ) Cette situation se T 3 présente pour analyser la propagation d un signal à une longueur d onde proche de la longueur d onde de dispersion nulle de la fibre. L équation de Schrödinger non linéaire peut être résolue analytiquement dans certains cas particuliers, lorsque l un des phénomènes est négligé. C est ce que nous allons voir maintenant, afin de mettre en évidence l influence des divers effets qui affectent le signal au cours de sa propagation. 3. Distorsion d une impulsion induite par les effets linéaires 3..1 Effet de la dispersion chromatique Comme tout quadripôle, la fibre optique est caractérisée par sa fonction de transfert. Dans la bande des signaux transmis, l atténuation peut être considérée comme constante et les distorsions sont essentiellement représentées par la dispersion chromatique qui traduit la variation du temps de propagation de groupe en fonction de la fréquence (ou de manière équivalente de la longueur d onde). En effet, une impulsion ne peut pas être une onde quasi monochromatique. Elle comporte des composantes de fréquences différentes qui ne vont pas à la même vitesse provoquant la déformation de l impulsion. L équation qui régit la propagation est l équation de Schrödinger non linéaire dans laquelle le terme non linéaire est absent. u i β z u ( Tz, ) α () z T + -- u( T, z) = 0 Elle montre bien que la fonction de transfert d une longueur z de fibre est : Fzω (, ) α -- z i β ω = exp z (3) L atténuation est supposée dans cette formule ne pas dépendre de la fréquence, ce qui est vrai compte tenu de la largeur de bande des signaux transmis. La phase est une fonction quadratique de la pulsation ω et on la caractérise habituellement par le paramètre de dispersion chromatique D, exprimé en ps/(nm.km), défini comme la variation de temps de propagation de groupe sur une largeur de bande correspondant à 1 nm pour une longueur de fibre de 1 km. La dispersion totale d un mode dépend de manière complexe de la dispersion des matériaux et de la dispersion propre du mode (dispersion intramodale). Le paramètre D est donné par la relation : D ( λ s ) ( 6π 10 5 ) β λ s = ( ) (4) λ s où β (λ s ) et la longueur d onde du signal λ s sont exprimés respectivement en ps /km et nm. Pour la fibre monomodale standard (correspondant à la recommandation G.65 de l Union Internationale des Télécommunications, UIT) à 1,55 µm, β (λ s ) et D (λ s ) sont respectivement égaux à 0 ps /km et 17 ps/(nm.km) (cf. figure 10). Sur ces 17 ps/(nm.km), 6 sont à mettre sur le compte de la dispersion intramodale. Un paramètre important est la longueur d onde de dispersion nulle λ 0, pour laquelle β (λ 0 ) devient nul. Dans le cas de la fibre G.65, λ 0 se situe autour de 1,3 µm et la dispersion est ainsi beaucoup plus faible autour de 1,3 µm, garantissant donc une moindre distorsion des signaux transmis, ce qui explique pourquoi la fenêtre E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

9 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS D [ps/(nm. km)] t ,9 1 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 λ ( m) Noter le zéro pour λ = 1,7 m λ augmente a impulsion initiale λ diminue Figure 10 Dispersion en fonction de la longueur d onde dans une fibre de silice pure t Sens de propagation Régime normal (β > 0) 0, r/a λ diminue λ augmente a = 3,11 m t a Sens de propagation D [ps/(nm.km)] 0 λ ( m) 1,4 1,5 1,6 1,7 Régime anormal (β < 0) b après propagation Figure 1 Impact de la dispersion chromatique sur une impulsion 5 Figure 11 Exemple de profil d indice à quatre gaines (a) et dispersion totale résultante (b) b autour de 1,3 µm a été utilisée. Mais la contrepartie est une atténuation plus grande qu à 1,55 µm. Les fibres à dispersion décalée (DSF, Dispersion Shifted Fibers) présentent autour de 1,55 µm une dispersion beaucoup plus faible que celle des fibres standard, typiquement moins de 3,5 ps/(nm.km) en valeur absolue. Cette fibre correspond à la recommandation G.653 de l UIT. On parvient à obtenir cette valeur de dispersion en modifiant le dopage et le profil d indice du cœur (par exemple un profil en triangle ou le profil à quatre gaines de la figure 11). Une impulsion se propageant le long de la fibre se trouve ainsi distordue parce que ses diverses composantes spectrales ne subissent pas le même déphasage. Ceci conduit à un élargissement (cf. figure 1) qui entraîne un recouvrement des impulsions successives générateur d interférence entre symboles, un phénomène rencontré dans tous les systèmes de communication numérique. La dispersion chromatique va ainsi limiter le débit transmissible pour une distance donnée, ou de manière équivalente la distance maximale pour un débit donné. Nous supposerons dans la suite que la dispersion n est pas nulle à la longueur d onde utilisée ; lorsque c est le cas, la propagation fait intervenir des termes d ordre supérieur, et les résultats qui vont être donnés ne sont plus strictement valables. Dans le cas particulier d une impulsion modulée en amplitude d enveloppe gaussienne, la résolution de l équation aux dérivées partielles conduit à une expression analytique [5], qui a l avantage de permettre d illustrer l effet de la dispersion. Supposons donc une impulsion gaussienne u (t,0) de largeur θ 0 à 1/e injectée à l entrée de la fibre, de la forme : u( t, 0) = U 0 exp t θ 0 (5) U 0 est une amplitude, qu il est possible de relier à la puissance. La fonction de transfert d une section de fibre de longueur L (en omettant le terme lié au temps de propagation de groupe qui correspond au retard de propagation subi par l impulsion) est : H( f ) = α + 4i β π f exp L (6) Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

10 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 Calculons la transformée de Fourier U (f,0) de u (t,0), multiplionsla par la fonction de transfert et prenons la transformée de Fourier inverse pour obtenir l impulsion u (T, L) à l extrémité de la fibre. On obtient : u( T, L) U = exp T i sgn β i αl x θ ( x) θ -- arctan ( x) ( x) avec : θ ( x) = θ x L où x = L D ( )xt (7) θ L D = β L impulsion recueillie est encore d enveloppe gaussienne avec une largeur à 1/e égale à θ (x) puisque l on a : U u ( tl, ) 0 T = exp (8) 1 + x θ αl ( x) La longueur de dispersion L D, définie comme la distance au bout de laquelle la largeur initiale a été multipliée par, qui dépend de la largeur initiale, donne une idée de la limitation sur le débit induite par la dispersion chromatique. Exemple : dans le cas de la fibre standard (D = 17 ps/(nm.km)) et pour θ 0 égal à la moitié du temps symbole, L D (en kilomètres) est donné par 1 500/B où le débit numérique B est exprimé en Gbit/s. Les valeurs de L D sont ainsi de 000 et 15 km pour B égal respectivement à,5 et 10 Gbit/s. Cette définition illustre une tendance plus qu elle ne donne des informations quantitatives précises parce que d abord elle est relative à une impulsion gaussienne tout à fait théorique et ensuite parce que le choix de la longueur de dispersion comme longueur critique pour un système de transmission est assez arbitraire. Les simulations et l expérience, montrent que la longueur maximale imposée par la dispersion chromatique est environ de 500 km à,5 Gbit/s et 60 km à 10 Gbit/s. Des distances supérieures peuvent être atteintes grâce à l utilisation de dispositifs de compensation de dispersion, par exemple de la fibre compensatrice qui présente une dispersion de signe opposé à celle de la fibre de ligne, ou encore des réseaux de Bragg photo-inscrits. La formule (7) montre aussi que l impulsion est également affectée au cours de sa propagation par une modulation de fréquence parasite (chirp). La phase étant une fonction quadratique du temps, l écart en fréquence instantanée par rapport à la fréquence porteuse, dérivée de la phase par rapport au temps divisée par π, est donné par : ν ( T ) = x sgn ( β ) π θ ( x) T x sgn ( β ) π θ 0 ( 1+ x ) T (9) La fréquence varie donc linéairement avec le temps. L existence de cette modulation n est pas spécifique de l impulsion gaussienne. Supposant plus généralement une forme d impulsion «typique», croissante pour les valeurs négatives de T, atteignant son maximum pour T nul et décroissant ensuite. Dans les conditions normales de propagation (β > 0), la fréquence diminue sur le front avant de l impulsion correspondant à T < 0 (déplacement vers le rouge) et augmente sur le front arrière correspondant à T > 0 (déplacement vers le bleu). Dans les conditions anormales (β < 0), les conclusions sont inverses. Si cette modulation de fréquence n est pas en elle-même = gênante puisque le détecteur n est sensible qu à la puissance, son interaction avec d autres effets, que nous verrons plus loin, peut induire sur le signal transmis des dégradations considérables. La figure 1 illustre cet effet, en mettant en évidence à la fois l élargissement de l impulsion et la modulation de fréquence qu elle subit dans les deux régimes de propagation qui viennent d être examinés. L hypothèse d une impulsion purement modulée en amplitude à l entrée de la fibre est très idéale. En fait, les impulsions émises par un laser modulé en amplitude en modulation directe ou même par un modulateur d amplitude sont affectées elles-mêmes d une modulation de fréquence parasite (chirp). Cet effet modifie profondément la propagation et accélère l élargissement de l impulsion. Il est étudié dans la référence [9]. Il en résulte que la tolérance à la dispersion, et donc la distance maximale de transmission, dépendent très fortement des caractéristiques du signal émis. Sur une même fibre, les portées obtenues avec des émetteurs différents pourront être très différentes, et un émetteur sera spécifié en particulier par la quantité de dispersion chromatique qu il supporte, donc pour un type de fibre fixé, par la distance de transmission qu il permet : un émetteur qui tolère par exemple une dispersion cumulée de ps/nm permet, avec de la fibre standard [dispersion égale à 17 ps/(nm.km)), une portée de 590 km environ. Ce point est développé dans l article consacré aux systèmes [9]. Si la dispersion suffit souvent à décrire la propagation en régime linéaire comme nous venons de le faire, rappelons qu au voisinage de la longueur d onde de dispersion nulle, il est nécessaire de faire intervenir le terme suivant du développement de β (ω ) en fonction de ω, β 3. De même, dans le cas de la transmission de signaux occupant une très large bande, par exemple des multiplex de porteuses optiques, la différence entre la dispersion subie par les différents signaux devient un paramètre important. C est pourquoi la pente de la dispersion, en d autres termes la dérivée de D par rapport à λ, est une caractéristique de la fibre à ne pas oublier. Dans la fibre standard, elle est égale à 0,008 ps/(nm.km). 3.3 Distorsion induite par les effets non linéaires Dans les systèmes radioélectriques, par exemple les systèmes de télécommunications par satellite, les non-linéarités sont localisées dans les amplificateurs de puissance et le milieu de propagation, c est-à-dire l atmosphère, peut être considéré comme parfaitement linéaire ; en optique au contraire des phénomènes non linéaires se produisent dans la fibre elle-même dès lors que la puissance injectée ou plus exactement la densité surfacique de puissance est suffisamment élevée. Une puissance de 100 mw (0 dbm) répartie sur la section efficace de 80 µm d une fibre de type G65, conduit à une densité de,5 kw/mm! Quatre phénomènes sont des conséquences de l effet Kerr qui traduit la dépendance de l indice de réfraction par rapport à l intensité du champ électromagnétique. Les diffusions Raman et Brillouin stimulées (Stimulated Brillouin Scattering SBS et Stimulated Raman Scattering SRS) résultent quant à elles de l interaction entre photons et phonons. On se reportera à la référence [4] pour plus de détails. L indice de réfraction égal à n 0 en l absence de puissance transmise à travers la fibre subit une variation n exprimée par la relation : n n = P A eff (30) avec n coefficient de non-linéarité égal à 3, 10 0 m / W dans la silice ; E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

11 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS A eff aire efficace, représentant la surface sur laquelle est répartie l énergie du mode, égale à environ 50 µm dans la fibre standard. La variation β de l exposant de propagation s exprime alors par : ω n π β n = = P = γp (31) c λ A eff Ce coefficient γ, égal à 3 m 1.W 1 dans la fibre G 65 autour de 1,55 µm, apparaîtra plus loin dans l équation de Schrödinger non linéaire. Quand deux impulsions u 1 et u de pulsations ω 1 et ω se propagent simultanément dans la fibre, l équation de Schrödinger non linéaire qui gouverne leur propagation possède un terme de la forme γ u 1 + u ( u 1 + u ) qui se développe sous la forme : γ ( u 1 u 1 + u u + u 1 u + u u 1 + u 1 u* + u u* 1 ) (3) λ augmente t Sens de propagation a impulsion initiale λ diminue Les deux premiers termes sont ceux qui apparaîtraient au second membre de l équation de Schrödinger non linéaire gouvernant la propagation de l impulsion u 1 ou u seule. Ils correspondent au phénomène connu sous le nom d automodulation de phase. Les deux termes suivants représentent la modulation de phase croisée, c est-à-dire l effet sur la propagation d une des impulsions des variations d indice provoquées par la puissance associée à l autre. Enfin les deux derniers sont des termes de battement aux pulsations ω 1 ω et ω ω 1, ils correspondent au phénomène connu sous le nom de mélange à quatre ondes. Nous allons examiner plus en détails chacun de ces effets Automodulation de phase Une impulsion suffisamment puissante se propageant dans une fibre optique induit localement des variations d indice de réfraction qui entraînent à leur tour des variations de la phase de l impulsion elle-même : c est l origine du phénomène connu sous le nom d automodulation de phase (Self phase modulation SPM). Pour analyser quantitativement le phénomène, nous prendrons le cas idéal où la dispersion peut être omise. L équation de Schrödinger non linéaire se réduit alors à : u α u ( Tz, ) + iγ u ( Tz, ) u( T, z) = 0 (33) z Essayant une solution de la forme : u( T, z) = exp α z + iφ ( Tz, ) On montre que si u (T,0) est l enveloppe complexe de l impulsion à l entrée d une fibre optique de longueur L, supposée sans dispersion chromatique, la phase Φ (T, L) de l impulsion en sortie s écrit : Φ ( TL, ) γ u ( T, 0) 1 e = αl = γ u ( T, 0) (34) α L eff avec L eff longueur effective (égale à la longueur géométrique dans une fibre sans pertes). Toujours en supposant une forme d impulsion typique, croissante pour les valeurs négatives de T, atteignant son maximum pour T nul et décroissant ensuite, la relation montre que la modulation de fréquence induite par l effet Kerr cause une augmentation de la fréquence sur le front arrière de l impulsion (décalage vers le bleu) et une diminution de la fréquence sur le front avant (décalage vers le rouge). La figure 13 illustre le phénomène. Le déphasage maximal Φ max se produit au centre de l impulsion (T = 0) et vaut : Φ max ( L) u ( 00, ) γ 1 exp( αl) 1 exp( αl) L = = γ P (35) α = eff α L NL b après propagation Figure 13 Impact de l automodulation de phase sur une impulsion (cas d une fibre idéale non dispersive) 1 1 avec L NL = γ u ( 00, ) = γ P 0 où P 0 est la puissance de crête injectée et L NL une longueur caractéristique correspondant à un déphasage de un radian. On pourrait bien sûr penser qu une simple modulation de phase est sans incidence puisque le récepteur est un détecteur quadratique. Ce serait vrai s il n y avait la dispersion qui agit sur le signal, transforme la modulation de phase en modulation d amplitude, et modifie donc l enveloppe de l impulsion détectée. Nous y reviendrons dans l article consacré aux systèmes [9]. La comparaison de la longueur géométrique L avec L D et L NL montre si les performances du système sont limitées par la dispersion ou par les effets non linéaires. Les effets combinés de la dispersion chromatique et de l automodulation de phase modifient la forme de l impulsion et l effet résultant dépend du signe de β Modulation de phase croisée Sens de propagation Lorsque plusieurs porteuses optiques se propagent simultanément dans une fibre (cf. figure 14), chacune d entre elles est affectée d automodulation de phase, précédemment décrite, mais aussi d une autre modulation de phase, appelée modulation de phase croisée (Cross Phase Modulation XPM), due à la perturbation de l indice de réfraction par la puissance totale véhiculée dans la fibre. La description de ce phénomène est très complexe : les paramètres qui interviennent sont les puissances véhiculées par les différentes porteuses, l écart en fréquence entre celles-ci, ainsi que la dispersion de la fibre. Quand deux impulsions à des pulsations ω 1 et ω 1 + Ω se propagent le long d une fibre dispersive, leurs vitesses de déplacement sont différentes. La modulation de phase croisée intervient lorsqu elles se chevauchent, on parle alors parfois de «collision», chacune d elles se trouvant alors dans une zone où l indice de réfraction est modifié par la présence de l autre. Plus la dispersion t Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

12 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 Changements de l indice de réfraction Longueur d onde de la porteuse Figure 14 Représentation schématique de l effet de la modulation de phase croisée est élevée, plus les vitesses sont différentes et plus le temps de la collision est bref. C est un argument qui joue en faveur d une dispersion forte, mais qu il faudrait néanmoins pondérer par le nombre de collisions, qui augmente aussi avec la dispersion, dans le cas de la transmission de trains d impulsions. Plus la dispersion est faible, plus les vitesses sont proches et plus les impulsions voyagent longtemps ensemble, mais la phase induite est alors très peu dépendante du temps. Dans le cas théorique d impulsions parfaitement carrées sur une fibre à dispersion nulle, la modulation de phase croisée imprime sur les impulsions un déphasage constant, sans incidence sur la détection. On peut conclure de cette analyse qu il devrait exister un compromis, une dispersion ni trop faible, ni trop forte qui minimise les effets de la modulation de phase croisée, mais il faut être très prudent avec cette analyse intuitive. La figure 14 représente quatre impulsions, schématisées par des trapèzes, à des longueurs d onde différentes λ 1 à λ 4, donc se propageant à des vitesses différentes, et les variations de l indice de réfraction qui se produisent chaque fois que la puissance transportée varie, donc sur les fronts de montée et de descente des impulsions. λ 1 λ λ 3 λ 4 Temps (ps) Dans le cas de deux porteuses seulement à des pulsations ω 1, ω = ω 1 + ω, des produits d intermodulation apparaissent aux pulsations ω ω 1 = ω 1 + ω et ω 1 ω = ω 1 ω. Des expressions analytiques donnant la puissance d intermodulation ont été obtenues dans le cas de porteuses non modulées. Elles montrent que la puissance du produit d intermodulation est proportionnelle : à la longueur efficace déjà définie qui caractérise la distance sur laquelle l effet Kerr est non négligeable ; au produit des puissances de porteuses en interaction ; à un facteur η appelé rendement du mélange donné par la relation : β α 4 ( αl) FWM L exp sin η α + 1 = [ 1 exp( αl) ] β FWM (36) où β FWM est le désaccord de phase (phase mismatching) entre porteuses donné dans le cas de canaux régulièrement espacés par : π λ β FWM = ( F ) (37) c D + F λ dd c dλ Ces formules montrent que l effet du mélange à quatre ondes (FWM Four Waves Mixing) est d autant plus important que la puissance transportée par les différentes porteuses est élevée, que l espacement entre canaux est faible et que la dispersion chromatique est faible. Un autre facteur important est la polarisation relative des différentes porteuses en interaction : dans le cas de deux porteuses, l effet minimal est obtenu lorsque leurs deux états de polarisation sont orthogonaux. Dans le cas d un multiplex, il n y a pas de règle simple pour dire quelle est la configuration optimale. La figure 15 représente un multiplex de porteuses à l entrée et à la sortie d une fibre en présence de mélange à quatre ondes. De chaque côté du spectre initial apparaissent les raies correspondant aux produits d intermodulation. Les raies tombant à l intérieur du spectre initial ne sont pas visibles, car elles retombent sur des canaux existants. C est pourquoi une fibre à faible dispersion, comme la G.653, est moins favorable en ce qui concerne le mélange à quatre ondes, en particulier pour les canaux situés près de la longueur d onde de dispersion nulle. C est un problème particulièrement critique pour des opérateurs qui ont fait le choix de la fibre G.653, en raison de ses meilleures caractéristiques en régime linéaire, à une époque où n existaient ni les amplificateurs à fibre, ni le multiplexage en longueur d onde, et veulent aujourd hui introduire cette dernière technique dans leurs réseaux. Le mélange à quatre ondes comme la modulation de phase croisée sont des facteurs de dégradation fondamentaux dans les systèmes amplifiés utilisant le multiplexage en longueur d onde, qui sont traités dans l article consacré aux systèmes [9] Mélange à quatre ondes Ce phénomène qui se manifeste lorsque plusieurs porteuses optiques se propagent simultanément dans une fibre est générateur de produits d intermodulation, de manière très semblable à ce qui se produit dans les systèmes radioélectriques. Par exemple, la nonlinéarité du troisième ordre crée des battements entre trois porteuses aux pulsations ω 1, ω = ω 1 + ω et ω 3 = ω 1 + ω et engendre des produits d intermodulation aux pulsations pω 1 + qω + rω 3 où p, q, r sont des entiers tels que p + q + r soit égal à 3. Ainsi, le produit d intermodulation à la pulsation ω ω 1 = ω 3 va perturber le signal transmis sur le canal à la pulsation ω 3. Longueur d onde Fibre Longueur d onde Figure 15 Illustration de l effet du mélange à quatre ondes sur un multiplex de porteuses optiques E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

13 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Instabilité de modulation Quand une porteuse optique de puissance P 0 à la pulsation ω s se propage dans une fibre avec un autre signal à la pulsation ω s + Ω, l interaction non linéaire peut amplifier ce dernier aux dépens de la porteuse. Ce phénomène appelé instabilité de modulation existe seulement dans le régime de propagation anormal (β négatif) et si Ω tombe dans une bande définie par la condition : Ω 4γ P Ω c = (38) β Le gain maximal est atteint pour Ω = ± Ω et vaut γ P 0 (in m 1 c ). Dans le cas de la fibre standard, le gain maximal atteint 0,006 P 0 km 1 avec P 0 exprimé en mw, soit de manière équivalente 0,06 P 0 db/km. Une puissance de 100 mw conduit ainsi à un gain de,6 db/km aux dépens du signal, donc à un affaiblissement supplémentaire équivalent de celui-ci. La bande est quant à elle égale à 13 P 0 GHz, soit 1 30 GHz (10 nm) dans le cas d une puissance de 100 mw. Évidemment l instabilité de modulation ne peut se manifester que si deux porteuses existent : en pratique, le bruit autour du signal utile, par exemple le bruit des amplificateurs, peut jouer le rôle de signal perturbateur : l effet est d autant plus important que la bande d amplification est importante, et donc que la puissance est élevée et la dispersion chromatique petite. Lorsque la porteuse est modulée en intensité, le phénomène peut faire éclater l impulsion en plusieurs impulsions plus étroites, causant ainsi la destruction de l information transmise Effets Raman et Brillouin stimulés Ils reposent sur un transfert d énergie du champ vers le milieu de propagation par excitation de modes de vibration de la silice ; la différence essentielle entre les deux effets étant que des phonons acoustiques (resp. optiques) entrent en jeu dans l effet Brillouin (resp. Raman). Lorsque sa puissance excède un certain seuil caractéristique du phénomène, le signal utile, agissant comme une pompe, transfère de la puissance à un perturbateur, qui s amplifie à ses dépens. La puissance de ce perturbateur croît au cours de la propagation en exp (gpz ), P étant la puissance de la pompe, et g un paramètre appelé gain (noté g R ou g B selon l effet considéré), qui s exprime en m 1 / W. Dans le cas de l effet Brillouin (dont le seuil est typiquement de 1 à 3 mw dans les fibres usuelles), une onde contrapropagative dont la fréquence est inférieure de 11 GHz (dans une fibre en silice) à celle de la pompe, appelée onde de Stokes, est engendrée aux dépens de la pompe. Il en résulte une atténuation additionnelle du signal transmis et une perturbation par le signal parasite renvoyé par l émetteur. Le seuil s entend pour une pompe non modulée (c est-à-dire dans notre cas pour un signal non modulé) ; il augmente quand le signal de pompe n est plus monochromatique, mais occupe une certaine largeur spectrale ν p dès lors que cette dernière dépasse la largeur de bande de l effet Brillouin, typiquement égale à 100 MHz. C est pourquoi l élargissement spectral dû à la modulation est un facteur favorable ; lorsque la puissance envoyée en ligne est très élevée, l effet Brillouin est combattu en appliquant à la source une modulation à très basse fréquence qui augmente la largeur de raie sans pour autant perturber l information. La valeur maximale du gain g B est environ m 1 / W. Dans le cas de l effet Raman, l écart de fréquence entre la pompe et la sonde (qui se propagent ici dans le même sens) est beaucoup plus grand, environ 13 THz, et le gain maximal beaucoup plus faible que dans le cas de l effet Brillouin, typiquement m 1 / W. Le seuil de l effet Raman est beaucoup plus élevé, 300 à 600 mw dans la silice à 1,55 µm. L effet Raman commence à se manifester dès lors que la largeur spectrale des signaux dépasse un certain seuil, typiquement quelques nanomètres en multiplexage temporel et autour de 30 nm en multiplexage en longueur d onde. 4. Effets combinés des distorsions linéaires et non linéaires : les solitons 4.1 Phénomène de base La transmission par solitons s appuie dans son principe sur l existence d un régime stable de propagation d impulsions isolées, de forme et de puissance particulières choisies de telle sorte que les effets dus à la dispersion chromatique et à l automodulation de phase (effet Kerr) se compensent. Cet équilibre garantit ainsi l invariance des caractéristiques de l impulsion le long de la fibre supposée sans pertes, quelle qu en soit la longueur. L idée fondamentale est donc d utiliser les effets non linéaires pour stabiliser la propagation alors qu on cherche à les minimiser en transmission conventionnelle. Si β est positif, le temps de propagation de groupe augmente avec la fréquence et le front avant (resp. arrière) se propage plus (resp. moins) vite, si bien que l impulsion s élargit continuellement au cours de la propagation : c est ce qui se produit sur la fibre standard. Lorsque β est au contraire négatif, les phénomènes linéaires et non linéaires induisent des effets opposés et l impulsion commence par se rétrécir avant de s élargir à nouveau. La nonlinéarité, combinée avec la dispersion, peut ainsi jouer un rôle bénéfique en réduisant la largeur des impulsions transmises. Le soliton est la solution à la recherche d un équilibre stable dans ce régime de propagation. Plus précisément, le soliton est une impulsion de forme générique : A( z, T ) P 1 t = c (39) ch τ dont on peut montrer qu elle vérifie l équation de Schrödinger sans pertes (α = 0) à condition que P c, puissance crête, et τ, largeur caractéristique de l impulsion, soient liées par une relation [1] : τ P c = f ( β, γ ) (40) Son existence théorique a été mise en évidence dès 1973 et a été confirmée expérimentalement par la propagation d impulsions de largeur voisine de la picoseconde sur quelques centaines de mètres en 1980 [6]. D une part, le soliton n existe comme il vient d être dit que sur une fibre idéale sans pertes, d autre part, comme la somme de deux solutions d une équation non linéaire n en est pas une solution, celle qui a été trouvée correspond à un soliton isolé. Or, en pratique, toutes les fibres présentent des pertes compensées périodiquement par des amplificateurs, au prix de l addition de bruit, et l on souhaite transmettre un train d impulsions, pas une impulsion unique. Il en résulte trois effets qui limitent le domaine de validité de la transmission par solitons [7]. Les pertes L amplification optique localisée chargée de compenser l atténuation de la fibre a deux conséquences. Le soliton subit des variations de puissance et donc de l effet non linéaire qui semblent, a priori, incompatibles avec l équilibre recherché. En fait, comme nous le verrons plus en détail, les distances nécessaires à l adaptation du soliton (comparables conceptuellement à une constante de temps) Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E

14 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS Dossier délivré pour 08/09/008 Distance (km) Figure 16 Propagation sur une distance de km de la forme d onde soliton associée à la séquence 1011 peuvent être choisies suffisamment grandes pour garantir un équilibre pour les valeurs moyennes de puissance sur un pas d amplification (ce moyennage est aussi valable pour d autres paramètres). On parle alors de régime de soliton moyen. La gigue de Gordon-Haus L amplification introduit un bruit optique qui, par la non-linéarité de la fibre, interagit avec les impulsions solitons. Ceci se traduit par une gigue de position des impulsions connue sous le nom de gigue de Gordon-Haus. De variance proportionnelle à la puissance et au cube de la longueur de la liaison, cette gigue est le principal phénomène limitatif de la transmission par solitons puisqu elle impose une valeur maximale pour la puissance en ligne, donc pour le rapport signal à bruit en réception [7]. L interaction entre solitons voisins L interaction entre solitons voisins oblige quant à elle à espacer les solitons successifs d un certain nombre de fois leur largeur (typiquement 5 pour des liaisons longues). Ceci se traduit par une réduction du débit possible à largeur de solitons donnée. C est de ces premières études que vient l analogie particulièrement évocatrice entre le soliton et un groupe de coureurs courant sur un tapis élastique. Le coureur le plus rapide se trouvant en tête est contraint sans cesse de gravir la dépression mobile provoquée par le poids du groupe, tandis que le moins rapide bénéficie en permanence de la descente provoquée par cette dépression. L interaction du tapis élastique avec le groupe tend à corriger les différences de vitesse entre les coureurs et maintient le peloton stable. La figure 16 illustre l aspect fondamentalement solitaire du soliton : le soliton le plus à gauche, isolé, se propage sur km, sans déformation notable, alors que le couple de droite se déforme par attraction et répulsion. 4. Génération de solitons 4..1 Objectifs et contraintes Temps (ps) L émetteur d un système basé sur les solitons est constitué typiquement d une source d impulsions et d un modulateur. La source engendre un train d impulsions optiques, régulièrement espacées d un temps bit. Le modulateur transmet ou atténue fortement l impulsion selon l information binaire à transmettre. Idéalement, la source doit engendrer un train d impulsions optiques ressemblant le plus possible au soliton, tant en amplitude qu en phase. Rappelons que, pour éviter l interaction des solitons lors de la propagation, l espacement entre impulsions est typiquement égal à cinq fois leur largeur. De plus, pour permettre une réception de bonne qualité, et aussi pour ne pas contribuer à la gigue du signal transmis, l espacement entre les impulsions doit être aussi régulier que possible. A ces trois caractéristiques nécessaires s ajoutent d autres de nature pratique : puissance optique suffisante (quelques milliwatts), possibilité de réglage de la longueur d onde, taux de répétition et largeur des impulsions variables, fiabilité du composant, encombrement, facilité d utilisation, etc. La ressemblance, en amplitude et en phase, de l impulsion optique avec le soliton se propageant dans la fibre du système est un critère difficile à mettre en œuvre. Si l on connaît bien le profil temporel du soliton pour le cas idéal d une fibre sans atténuation et sans amplification, cela est moins clair pour un système réel. La largeur temporelle à mi-hauteur t, l ordre de 10 à 50 ps et la largeur spectrale à mi-hauteur ν vérifient la relation : t ν = 0, 315 (41) dans le cas où l impulsion est dite en limite de Fourier. Pratiquement le produit doit être inférieur à 0,5. Lorsque cette condition qui est la plus difficile à réaliser n est pas vérifiée, il y a génération au cours de la propagation d une onde dispersive au détriment de la création du soliton. 4.. Différentes voies De nombreuses solutions ont été proposées pour répondre aux besoins d un système à solitons. Elles se classent principalement en trois catégories : les lasers à fibre, les lasers semi-conducteurs à commutation de gain, et les modulateurs électroabsorbants. Les performances des amplificateurs à fibre rendent possible la réalisation d un laser par simple bouclage de la sortie sur l entrée, par l intermédiaire d un filtre, d un isolateur et d un modulateur pour réaliser le blocage de mode. Celui-ci consiste à imposer une relation de phase fixe entre les différents modes émis par un laser afin d obtenir une addition constructive de leur énergie. Le laser délivre un train d impulsions très proches du soliton car l impulsion optique se forme dans le même milieu que celui où elle va se propager. La continuité du milieu de propagation entre la source et le système évite les problèmes de couplage. De plus, la possibilité de régler la longueur d onde par l intermédiaire du filtre permet de s adapter au système. Les lasers à fibre sont cependant sujets à des instabilités, provenant des variations d indice de la fibre en fonction de l environnement. Un asservissement est nécessaire et complique l emploi de cette source. Les lasers semi-conducteurs ne présentent pas ces problèmes d instabilité car la longueur de propagation est plus courte. Des impulsions de 0 ps peuvent être obtenues par commutation de gain d un laser à un taux de répétition de 10 GHz. Les impulsions présentent toutefois une modulation parasite de longueur d onde simultanée nécessitant une optimisation délicate du composant et de ses conditions de fonctionnement. Des impulsions plus courtes, à un taux de répétition plus élevé, peuvent être obtenues par la méthode du blocage de mode. Dans ce cas, le taux de répétition est fixe et est donné par la longueur de la cavité. Les modulateurs électroabsorbants : il s agit cette fois de modulation externe : le laser sert de source de lumière continue dans laquelle le modulateur sculpte des impulsions : il suffit d appliquer un signal sinusoïdal, compatible avec la plupart des circuits électroniques disponibles en bande étroite. La génération des impulsions est assurée par la non-linéarité de la fonction de transfert liant la transmission à la tension appliquée. Le train d impulsions est étroitement lié au signal électrique. Cela permet de faire varier le débit et la largeur des impulsions, d assurer une grande stabilité du temps E Techniques de l Ingénieur, traité Électronique

15 08/09/008 FIBRES OPTIQUES POUR TÉLÉCOMMUNICATIONS bit et de permettre une synchronisation avec le codeur. Autres avantages : la longueur d onde ne dépend que du laser, qui peut être changé ou accordé, et la modulation de phase parasite est faible. 5. Dispersion modale de polarisation Axe rapide a fibre parfaite Une fibre monomodale au sens où on l entend habituellement autorise la propagation d un seul mode (LP 01 ), mais ce mode est dégénéré, c est-à-dire qu il peut se décomposer en deux modes de base indépendants ayant des polarisations orthogonales. L ellipticité (une fibre réelle n est jamais parfaitement circulaire), ainsi que les contraintes extérieures entraînent une biréfringence dont les axes changent de manière aléatoire le long de la fibre. Il en résulte un couplage entre les deux modes de base, si bien que lorsqu une impulsion est envoyée dans la fibre, deux impulsions séparées par un retard aléatoire sont reçues à l extrémité, donnant lieu à un phénomène d écho, générateur d interférence entre symboles (cf. figure 17). La théorie de ce phénomène, complexe, ne sera pas développée ici et nous nous limiterons à en présenter les principaux résultats. La valeur moyenne de ce retard (aléatoire) caractérise la dispersion modale de polarisation (Polarization Mode Dispersion PMD) : dans une fibre à fort couplage de modes, elle varie comme la racine carrée de la longueur et s exprime en conséquence en ps / km. Dans une fibre à maintien de polarisation au contraire, le retard est une fonction linéaire de la distance. Des évaluations de la sensibilité des systèmes à la dispersion modale de polarisation ont été effectuées : une valeur maximale de un dixième du temps symbole en codage NRZ a été avancée comme la limite à ne pas dépasser, mais, s agissant d un phénomène aléatoire, il faut être extrêmement prudent. En pratique, la dispersion modale de polarisation des fibres les plus anciennes actuellement installées dans les réseaux ne garantit pas un débit de plus de,5 Gbit/s par porteuse optique. Il faut mentionner que les progrès récents dans les procédés de fabrication des fibres conduisent des valeurs de dispersion modale de polarisation inférieures à 0, ps / km. 6. Conclusion Nous venons de décrire les principaux facteurs qui permettent de caractériser la propagation d un signal sur une fibre monomodale. Nous avons montré comment, alors que l affaiblissement était le Axe lent b fibre normale Figure 17 Illustration des effets de la dispersion modale de polarisation (PMD) Retard seul paramètre considéré dans les premiers systèmes, il est devenu nécessaire de tenir compte de phénomènes de propagation plus complexes au fur et à mesure qu augmentaient les débits transmis, les distances et les puissances injectées. Au cours de cette histoire des télécommunications optiques, deux types de fibre se sont dégagés pour la transmission à la longueur d onde de 1,55 µm, la fibre dite standard à forte dispersion G.65 et la fibre à dispersion décalée G.653. Le développement des systèmes amplifiés et corrélativement l importance croissante des effets non linéaires ont conduit à revoir les conclusions sur la fibre à dispersion décalée considérée jusqu alors comme meilleure parce que permettant en régime linéaire une distance de transmission plus importante. Les concepteurs de systèmes et surtout de réseaux se sont alors reposé la question du choix de la fibre et se sont demandé s il n existerait pas une fibre intermédiaire entre les familles G.65 et 653, caractérisée par une dispersion plus faible que la G.65, donc meilleure en régime linéaire, et cependant plus forte que la G.653, donc supérieure à cette dernière vis-à-vis de certains phénomènes linéaires. Les fabricants de fibres ont travaillé sur le problème et proposé de nouveaux types de fibres, qui sont classées dans la famille générique des fibres de type NZDSF (Non Zero Dispersion Shifted Fibers) regroupées sous le nom G.655. Différentes caractéristiques ont été proposées, selon le signe de la dispersion. La question de savoir si ces nouvelles fibres apportent aujourd hui un gain dans les réseaux de télécommunications est ouverte. Cette question est abordée dans l article consacré aux systèmes [9]. Références bibliographiques [1] JOINDOT (M.) et (I.) et douze coauteurs. Les télécommunications par fibres optiques. Collection Technique et Scientifique des Télécommunications. Dunod [] VASSALLO (C.). Théorie des guides d ondes électromagnétiques. ( tomes) Eyrolles Paris [3] MARCUSE (D.). Loss analysis of single mode fiber splices. Bell System Technical Journal 56, 1977, p [4] PETERMANN (K.). Fundamental mode microbending loss in graded index and W fibers. Optical and Quantum Electronics (GB), 9, 1977 p [5] AGRAWAL (G.P.). Non Linear Fiber Optics. Academic Press New York [6] MOLLENAUER (L.F.), EVANGELIDES (S.G.) et HAUS (H.A.) IEEE Journal of Lightwave Technology. Long distance soliton propagation using lumped amplifiers and dispersion shifted fibers. Volume LT9, p , [7] VANDAMME (P.), THOMINE (J.B.) et DEVAUX (F.). La transmission par solitons. L Écho des recherches n e trimestre [8] GORDON (J.P.) et HAUS (H.A.). Random Walk of coherently amplified solitons in optical fiber transmission. Optics Letters volume 11, p , Dans les Techniques de l Ingénieur [9] JOINDOT (M.) et JOINDOT (I.). Systèmes de transmission sur fibres optiques. Traité Électronique. E 7 10, Techniques de l Ingénieur, traité Électronique E