1 ère STMG Activité n 3

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1 1 ère STMG Activité n 3 Probabilités Exercice 1 Une urne Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes, une rouge, une noire et une jaune. 1. On prélève au hasard une boule de l urne. (a) Calculer la probabilité d obtenir une boule jaune. (b) Calculer la probabilité d obtenir une boule verte. 2. On prélève au hasard une boule dont on note la couleur et qu on remet dans l urne. On recommence en tirant une seconde boule dont on note la couleur. Faire un arbre indiquant tous les tirages possibles. 3. (a) Combien y-a-t-il de résultats possibles pour cette expérience? (b) Quelle est la probabilité d obtenir deux boules de même couleur? (c) Quelle est la probabilité d obtenir deux boules de couleur différente? Exercice 2 Les maires de Roc-la-Vieille et de Pierre-sur-Buttes ont consultés leurs 1550 administrés sur la fusion des deux communes. Voici un tableau présentant leurs réponses : Favorables Opposés Sans opinion Total Roc-la-Vieille Pierre-sur-Buttes Total 1. Compléter le tableau. 2. On rencontre au hasard l une des personnes consultées. (a) Quelle est la probabilité que cette personne soit favorable à la fusion? (b) Quelle est la probabilité que cette personne soit de Pierre-sur-Buttes? (c) Quelle est la probabilité qu elle soit défavorable à la fusion et de Roc-la-Vieille? (d) Quelle est la probabilité qu lle soit défavorable à la fusion ou de Roc-la-Vieille? (e) Cette personne nous dit qu elle est sans opinion par rapport à la fusion. Quelle est la probabilité qu elle de Pierre-sur-Buttes? (f) Cette personne nous dit qu elle est de Roc-la-Vieille. Quelle est la probabilité qu elle soit favorable à la fusion? 1 ère STMG Activité n 3 1

2 Exercice 3 On lance trois fois de suite une pièce de monnaie usuelle présentant deux côtés : pile ou face. On obtient ainsi une suite ordonnée de trois résultats. 1. Ecrire l univers correspondant à cette expérience. 2. Calculer la probabilité de l événement A :"les trois résultats sont identiques." 3. Calculer la probabilité de l événement B :"la suite des trois résultats commence par pile." 4. Calculer la probabilité de l événement "A et B". En déduire celle de l événement "A ou B". Exercice 4 QCM Le tableau ci-dessous donne la répartition selon l âge et le sexe de 1000 personnes accueillies aux urgences après un accident de VTT. Age Sexe [5; 10[ [10; 20[ [20; 35[ [35; 75[ Total Masculin Féminin Total On choisit au hasard la fiche d un de ces patients. Toutes les fiches ont la même probabilité d être tirées. Les résultats sont éventuellement arrondis au millième. 1. La probabilité de l événement F : " La fiche choisie est celle d une personne de sexe féminin " est : 0,56 0,44 0, La probabilité de l événement D : " La fiche choisie est celle d une personne âgée de 10 à 20 ans " est : 0,389 0,277 0, La probabilité de l événement V : " La fiche choisie est celle d une personne âgée de plus de 20 ans " est : 0,190 0,810 0, La probabilité de l événement D F est : 0,630 0,416 0, La probabilité de l événement V F est : 1 ère STMG Activité n 3 2

3 0,453 0,086 0,195 Exercice 5 On lance deux dés à six faces, non pipés, et on note la somme obtenue avec le numéro des faces sorties. 1. A l aide d un tableau trouver l ensemble des résultats possibles. 2. Même question à l aide d un arbre. 3. Quelle la probabilité que le résultat soit pair? 4. Quelle la probabilité que le résultat soit au plus 3? 5. Quelle la probabilité que le résultat soit au moins 3? 6. Trouver la probabilité d obtenir un résultat multiple de 3 ou inférieur à Trouver la probabilité d obtenir un résultat qui ne soit ni multiple de 3, ni inférieur à 7. Exercice 6 1. Sur votre calculatrice, expliquer ce que fait l instruction NbreAléat (ou rand sur les autres versions). 2. Même question avec l instruction ent(6*nbrealéat)+1 (ou floor(6*rand)+1). 3. L algorithme ci-dessous, permet de compter le nombre de numéro 1 obtenu en lançant 50 fois un dé tétraédrique. Variables i est une variable du type entier c est une variable du type entier d est une variable du type entier Initialisation c := 0 Traitement Pour i allant de 1 jusqu à 50, faire : d :=ent(4*nbrealéa)+1 Si d = 1 alors c := c+1. Fin de Si Fin de la boucle Pour Sortie Afficher c. Modifier cet algorithme pour simuler cent lancés d un dé à six faces. 4. Ecrire et lancer cet algorithme sur votre calculatrice et noté le résultat obtenu. Ce résultat est-il conforme au résultat donné par la loi binomiale? Exercice 7 Une urne contient deux boules noires et huit blanches. On prélève une boule au hasard dans l urne. Toutes les boules ont la même probabilité d être prélevées. On désigne par N l événement : "la boule prélevée est noire" et par B l événement : "la boule prélevée est blanche". 1. Construire un arbre de probabilité décrivant cette épreuve de Bernoulli. 1 ère STMG Activité n 3 3

4 2. (a) Trois prélèvements dans l urne sonr successivement réalisés en remettant à chaque fois la boule dans l urne avant d effectuer le prélèvement suivant. Représenter cette épreuve par un arbre pondéré. (b) Calculer la probabilité de l événement E : "obtenir trois boules noires". (c) On désigne par F l événement : "obtenir exactement deux boules noires". Démontrer que p(f) = 0,096. Exercice 8 Des plats d un certain type sont fabriqués en grandes quantités. On prélève au hasard un plat d un lot dans lequel 97% des plats sont conformes au cahier des charges. On remet le plat dans le lot et on effectue un deuxième prélèvement d un plat. On répète une troisième fois l expérience. On a réalisé trois prélèvements d un plat ave remise. Calculer la probabilité de l événement C : "les trois plats prélevés sont conformes au cahier des charges". Exercice 9 En France, la probabilité de la naissance d un garçon est p = 0,515. En mettant en évidence un schéma de Bernoulli, calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E 0 :"une famille de trois enfants, sans jumeaux, comporte aucun garçon"; E 1 :"une famille de trois enfants, sans jumeaux, comporte un garçon"; E 2 :"une famille de trois enfants, sans jumeaux, comporte deux garçons"; E 3 :"une famille de trois enfants, sans jumeaux, comporte trois garçons". Exercice 10 On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale B(n, p), calculer à l aide de la calculatrice dans chacun des cas suivants : 1. pour n = 6 et p = 0,4, P(X = 3), P(X = 0) et P(X 2). 2. pour n = 6 et p = 0,6, P(X = 6), P(X 2) et P(X > 1). Exercice 11 Une entreprise fabrique en très grande série une pièce technique de précision en matière plastique pour la téléphonie mobile. On admet que 95% des pièces produites sont conformes. On note X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 80 pièces prises au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes. La production est assez importantes pour qu on puisse assimiler tout échantillon de 80 pièces à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que l on ait exactement trois pièces non conformes. 3. Déterminer la probabilité que l on ait au moins une pièce non conforme. 1 ère STMG Activité n 3 4

5 Exercice 12 Un grossiste spécialisé dans le jardinage reçoit des sachets de graines d aubergines "bio". On note D l événement "un sachet prélevé dans un stock important est défectueux". On suppose que P(D) = 0,05. On prélève au hasard 40 sachets pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire X qui à tout prélèvement de 40 sachets associe le nombre de sachets défectueux. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux sachets défectueux. 3. Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait au moins un sachet défectueux. 1 ère STMG Activité n 3 5