Chapitre 1 : Les suites
|
|
- Raymond Vincent
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 I Limite infinie Un exemple On étudie l'évolution de la population des écureuils gris d'amérique. L'année où commence l'étude est appelée année 0. Pour tout entier n 0, on note A n le nombres d'écureuils adultes au km 2 et J n le nombre de jeunes au km 2 au début de l'année n (un jeune désigne un individu non encore apte à la reproduction). Un jeune devient adulte en un an s'il survit. Enfin, on appelle s le taux de survie des adultes sur une année et on prend 0,26 pour taux de survie des jeunes et 2,65 pour taux de reproduction. On admet alors que l'on peut modéliser l'évolution du nombre d'écureuils par les relations : A 1 =s A 0 0,26 J 0 J n =2,65 A n 1 A n 1 =s A n 0,689 A n 1 1. Explicitons les relations précédentes : Année Adultes Jeunes n = 0 A 0 J 0 n = 1 n n Dans toute l'étude, on prendra A 0 =100, J 0 =50 et s=0,33. A l'aide d'un tableur, on regarde l'évolution du nombres d'écureuils adultes. Cellule B7 : Cellule B8 : Cellule C7 : 3. Quel semble être le comportement de la suite A n lorsque n devient grand? -1-
2 4. On a représenté le nuage de points des 200 premiers termes de la suite A n en fonction de n. 700 Evolution de la population des écureuils gris d'amérique Nombre d'écureuils adultes Année 5. Au bout de combien d'années le nombre d'écureuils adultes dépassera 500? 1000? 6. Aux vues de l'étude, est-il possible, qu'au bout d'un certain nombre d'années, le nombre d'écureuils adultes dépasse les 10 4? les 10 p pour n'importe quel valeur de p? -2-
3 Cours Définition: On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers, lorsque pour tout entier naturel p, il existe un rang à partir duquel tous les termes u n sont supérieurs à 10 p. On note alors lim u n =. Exemples: limites de référence lim n 2 = 1 lim 2 n 1= lim n= Illustration GeoGebra : pour se faire une idée de la définition (à télécharger sur le blog) On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n =3n 3 5n. On a représenté le nuage de points des 15 premiers termes de la suite ci-dessous. -3-
4 A l'aide d'un algorithme : déterminer un seuil à partir duquel u n 10 p (fichier AlgoBox à télécharger sur le blog) On considère la suite u définie précédemment. Pour déterminer un entier N tel que u N 10 6 l'algorithme suivant à la calculatrice ou sur l'ordinateur :, on programme Définition : De manière analogue, on dit que la suite u a pour limite quand n tend vers, lorsque pour tout entier naturel p, il existe un rang à partir duquel tous les termes u n sont inférieurs à 10 p. On note alors lim u n =. Exemple : La suite définie pour tout entier naturel n par u n = 2n 5 a pour limite. II Limite finie Un exemple On étudie, dans cette partie, l'évolution de la population des écureuils roux d'eurasie. On suppose que le modèle d'évolution est le même que précédemment. Seulement, l'écureuil roux résiste moins bien à certaines maladies que son homologue d'amérique : on prend pour taux de survie s = 0,29. On utilise un tableur pour regarder l'évolution de la suite A n dans ce cas. Evolution de la population des écureuils roux d'eurasie 120 Nombre d'écureuils adultes Année Quel semble être le comportement de la suite A n lorsque n devient grand? -4-
5 A bout de combien d'années, y aura-t-il moins de 10 écureuils? Moins de 1 écureuil? Vers quelle valeur semble tendre la suite A n lorsque n tend vers? On cherche à savoir si des mesures de protection concernant les écureuils roux d'eurasie permettrait de stabiliser leur population. On modifie le taux de survie s dans le tableur, que constate-t-on? Cours Définition : Soit u une suite numérique et l un nombre réel. On dit que la suite u a pour limite l quand n tend vers, lorsque tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes u n sont à une distance de l inférieure à 10 p. On note alors lim u n =l. Exemples : Limites de référence -5-
6 A l'aide d'un algorithme : déterminer un seuil à partir duquel u n l 10 p (fichier AlgoBox à télécharger sur le blog) On considère la suite v définie précédemment. Il semble que lim v n =2, donc on détermine la distance D n puis on programme l'algorithme suivant à la calculatrice ou sur l'ordinateur : III A la calculatrice Casio Graph35 Dans le menu principal, sélectionner le mode RECUR puis choisir TYPE en appuyant sur [F3]. En fonction du mode de définition de la suite (de manière explicite ou par récurrence), choisir an [F1] ou an+1 [F2] pour entrer la suite. On obtient la table en sélectionnant TABL [F6]. On n'oubliera pas de paramétrer la table à l'aide de RANG [F5]. A partir du tableau de valeurs de la suite, choisir G-PLT [F6] pour obtenir une représentation graphique. On pensera à régler les paramètres de la fenêtre d'affichage en utilisant la touche V-Window ([Shift][F3]). TI 82 Pour calculer les termes et représenter graphiquement une suite, la calculatrice doit être en mode suite. Pour cela, appuyer sur la touche [mode] puis choisir le mode graphique Suit à la 4 ème ligne. Appuyer ensuite sur [f(x)] pour afficher l'écran d'édition Y = On entre l'expression de la suite en face de u(n) en utilisant la touche [x, t, θ, n] pour afficher le n. Dans le cas d'une suite définie de manière explicite on renseigne nmin, dans le cas d'une suite définie par récurrence, on renseigne u(nmin). On obtient la table en utilisant Table ([2nde][graphe]). On n'oubliera pas de paramétrer la table en utilisant Def Table ([2nde][fenêtre]). On obtient le nuage de points en appuyant sur la touche [graphe]. On pourra régler les paramètres de la fenêtre d'affichage en utilisant la touche [fenêtre]. -6-
7 IV Suites géométriques Rappels Définition: Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison. Pour tout nombre entier naturel n, u n 1 =qu n. Théorème: Soit u une suite géométrique de premier terme u 0, de raison q. Pour tout entier n de N, u n =u 0 q n. Reconnaître la présence d'une suite géométrique Chaque fois qu'on est confronté à une situation du type «une production, une population, un prix augmente de x % tous les ans», on peut définir une suite géométrique de raison 1 x 100. S'il s'agit d'une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1 x 100. Exemples : La somme de est placée sur un compte à intérêts composés. Le taux d'intérêt annuel est 1,3%. On appelle u 0 la somme déposée et u n la somme qui se trouve sur le compte après n années. Déterminer la nature de la suite ( u n ) : Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante. A l'origine, il y a 75 cl de liquide dans la bouteille et on considère alors que le liquide perd chaque jour 5% de son volume par évaporation. On note u n la quantité de liquide, exprimée en cl, présente au bout de n jours. Déterminer la nature de la suite ( u n ) : -7-
8 Limite d'une suite géométrique A l'aide d'un tableur, on observe le comportement des suites géométriques 0,99 n et 1,01 n quand n prend de grandes valeurs. n 0,7 n 0,99 n 1 n 1,01 n 1,2 n 10 0, , , , , , , , , , , , , , Peut-on trouver n tel que 1,01 n 10 40? Peut-on trouver n tel que 0,99 n 10 40? Que peut-on en déduire des suites 0,99 n et 1,01 n? Théorème : Soit q un nombre réel positif Si 0 q 1, q n =0. Si q = 1, Si q > 1, lim lim lim q n =1. q n =. D'après l'animation GéoGébra (à télécharger sur le blog), on en déduit : Théorème : Soit u une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q n. Si 0 q 1, quelque soit la valeur de u 0, lim u n =0. Si q = 1, lim u n =u 0. Si q > 1 et u 0 0, et u 0 0, lim u n =. u n =. lim Exemples : La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 a pour limite La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 a pour limite -8-
9 3 La suite géométrique de premier terme 8 et de raison a pour limite 5 2 La suite géométrique de premier terme 5 et de raison a pour limite 3 la suite géométrique de premier terme 1,6 et de raison 1 a pour limite Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique Un exemple On considère une ligne brisée construite de la manière suivante : le premier segment mesure 1m chaque segment mesure ensuite les trois quart du segment précédent On note S n la longueur du n-ième segment. 1. Déterminer S 0, S 1, S Déterminer S n 1 en fonction de S n. Quelle est la nature de la suite S n? 3. On cherche à déterminer la longueur totale de la ligne brisée. a. Calculer la longueur totale de la ligne brisée formée de 3 segments. b. Comparer ce résultat à c. Calculer la longueur totale de la ligne brisée formée de 4 segments. -9-
10 A quelle formule comparer le résultat obtenu? 4. On note L n la longueur totale de la ligne brisée. a. Déterminer une expression de L n en fonction de n. b. Que peut-on dire de la longueur L n lorsque n tend vers l'infini. Théorème : Si n est un entier naturel et q un réel différent de 1, alors 1 q q 2 q n = 1 qn 1 1 q. Notation : 1 q q 2 q n n se note q i et se lit «somme, pour i variant de 0 à n, des q i». i=0 Exercices : Calculer Calculer Calculer la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme u 0 =3 et de raison q =
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailLes suites numériques
Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme
Plus en détail= constante et cette constante est a.
Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailFORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailValeur cible et solveur. Les calculs effectués habituellement avec Excel utilisent des valeurs numériques qui constituent les données d'un problème.
Valeur cible et solveur Atteindre une valeur cible Les calculs effectués habituellement avec Excel utilisent des valeurs numériques qui constituent les données d'un problème. A l'aide d'un certain nombre
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailLE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailApplication 1- VBA : Test de comportements d'investissements
Application 1- VBA : Test de comportements d'investissements Notions mobilisées Chapitres 1 à 5 du cours - Exemple de récupération de cours en ligne 1ère approche des objets (feuilles et classeurs). Corps
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailL intégration des TIC chez les futurs enseignants : votre point de vue
L intégration des TIC chez les futurs enseignants : votre point de vue Réservé à l administration Associés Questionnaire - Enseignants associés 1 QUESTIONNAIRE ENSEIGNANTS ASSOCIÉS Ce questionnaire permettra
Plus en détailChapitre 7 - Relativité du mouvement
Un bus roule lentement dans une ville. Alain (A) est assis dans le bus, Brigitte (B) marche dans l'allée vers l'arrière du bus pour faire des signes à Claude (C) qui est au bord de la route. Brigitte marche
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailNouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes
Nouveau Barème W.B.F. de points de victoire 4 à 48 donnes Pages 4 à 48 barèmes 4 à 48 donnes Condensé en une page: Page 2 barèmes 4 à 32 ( nombre pair de donnes ) Page 3 Tous les autres barèmes ( PV de
Plus en détailTravaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation
Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des
Plus en détailAlgorithmique avec Algobox
Algorithmique avec Algobox Fiche 2 Cette fiche est la suite directe de la première. 1. Instructions conditionnelles : 1.1. Reprise de la fiche 1 : Lecture d'un algorithme : ORDINATEUR INTERDIT : Après
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailAlgorithmes de recherche
Algorithmes de recherche 1 Résolution de problèmes par recherche On représente un problème par un espace d'états (arbre/graphe). Chaque état est une conguration possible du problème. Résoudre le problème
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailMerci beaucoup de votre collaboration
QUESTIONNAIRE ENSEIGNANTS ASSOCIÉS Ce questionnaire permettra de recueillir des informations sur l intégration des technologies de l information et de la communication (TIC) chez les futurs enseignants
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailPar combien de zéros se termine N!?
La recherche à l'école page 79 Par combien de zéros se termine N!? par d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand en seignants : Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCours Informatique Master STEP
Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions
Plus en détailMa banque, mes emprunts et mes intérêts
Ma banque, mes emprunts et mes intérêts Alexandre Vial 0 janvier 2009 Les intérêts cumulés Je place 00 e à 4% par an pendant un an. Donc au bout d un an, j ai 00 + 00. 4 = 00 00( + 4 ) =04 e. 00 Cependant,
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailPropriétés des options sur actions
Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailCHEQUES CADEAUX ET SERVICES
CHEQUES CADEAUX ET SERVICES Combien y-a-t-il d'enseignes dans votre réseau d'affiliés? Selon le chèque cadeau choisi, le réseau s'étend jusqu à plus de 450 enseignes nationales. Pour avoir la liste des
Plus en détailLES NOMBRES DECIMAUX. I. Les programmes
LES NOMBRES DECIMAUX I. Les programmes Au cycle des approfondissements (Cours Moyen), une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d aider à la compréhension des nombres décimaux.
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailPourquoi l apprentissage?
Pourquoi l apprentissage? Les SE sont basés sur la possibilité d extraire la connaissance d un expert sous forme de règles. Dépend fortement de la capacité à extraire et formaliser ces connaissances. Apprentissage
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailRÉALISATION DE GRAPHIQUES AVEC OPENOFFICE.ORG 2.3
RÉALISATION DE GRAPHIQUES AVEC OPENOFFICE.ORG 2.3 Pour construire un graphique : On lance l assistant graphique à l aide du menu Insérer è Diagramme en ayant sélectionné au préalable une cellule vide dans
Plus en détailTD 3 : suites réelles : application économique et nancière
Mathématiques Appliquées Cours-TD : K. Abdi, M. Huaulmé, B. de Loynes et S. Pommier Université de Rennes 1 - L1 AES - 009-010 TD 3 : suites réelles : application économique et nancière Exercice 1 Calculer
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailA. Sécuriser les informations sensibles contre la disparition
Compétence D1.2 II - : Sécuriser son espace de travail local et distant II Sécuriser les informations sensibles contre la disparition 23 Assurer la protection contre les virus 24 A. Sécuriser les informations
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailG.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction
DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner
Plus en détailRecherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
Plus en détailPuissances d un nombre relatif
Puissances d un nombre relatif Activités 1. Puissances d un entier relatif 1. Diffusion d information (Activité avec un tableur) Stéphane vient d apprendre à 10h, la sortie d une nouvelle console de jeu.
Plus en détailCRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND
93 CRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND 1 - LE LOGICIEL 1000 MOTS 1000 mots est un logiciel destiné aux classes du cycle II en France
Plus en détailFONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE
P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détailINFORMATION GÉNÉTIQUE et REPRODUCTION SEXUÉE
Partie 1, Chapitre 4 INFORMATION GÉNÉTIQUE et REPRODUCTION SEXUÉE Constat : à l'exception des jumeaux, chaque individu est unique. Ses caractères héréditaires dependent des info génétiques (allèles) portées
Plus en détailAlgorithmique avec Algobox
Algorithmique avec Algobox 1. Algorithme: Un algorithme est une suite d instructions qui, une fois exécutée correctement, conduit à un résultat donné Un algorithme doit contenir uniquement des instructions
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring
ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring Les méthodes d évaluation du risque de crédit pour les PME et les ménages Caractéristiques Comme les montants des crédits et des
Plus en détailFORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc)
87 FORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc) Dans le cadre de la réforme pédagogique et de l intérêt que porte le Ministère de l Éducation
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailIntroduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume
Introduction a l'algorithmique des objets partages Bernadette Charron{Bost Robert Cori Lix, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France, charron@lix.polytechnique.fr cori@lix.polytechnique.fr Antoine
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents
Plus en détailCours d algorithmique pour la classe de 2nde
Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage
Plus en détail