Phys. Chem. News 3 (2001) TRANSFERT DE CHALEUR ET DE MATIERE PAR CONVECTION MIXTE DANS UN CYLINDRE VERTICAL A PAROI HUMIDE

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1 September 21 Phys. Chem. News 3 (21) PCN TRANSFERT DE CHALEUR ET DE MATIERE PAR CONVECTION MITE DANS UN CYLINDRE VERTICAL A PAROI HUMIDE M. Feddaoui *, E. Belahmidi, A. Mir Groupe de Recherche sur l Energie et la Thermique (GRETH) EST d Agadir, B.P. 33/s, Maroc *Corresponding author. feddaoui@esta.ac.ma Received 2 November 2 ; revised version accepted 21 May 21 Abstract we propose a numerical model allowing to study heat and mass transfer which occurs simultaneously between an extremely thin water film, which covers the internal wall of a vertical cylinder and the flow of humid air entering by its inferior part. The equations are solved numerically using an implicit finite difference method. In this study we are interested in the evolution of heat and mass exchange coefficients. Keywords : Heat and mass transfer; Evaporation; Mixed convection; Vertical cylinder. Résumé On propose un modèle numérique permettant d étudier le transfert de chaleur et de masse qui se produit simultanément entre un film d eau extrêmement mince recouvrant la paroi interne d un cylindre vertical et un écoulement d air humide entrant par sa partie inférieure. Les équations sont résolues numériquement à l aide d une méthode aux différences finies implicite. Dans cette étude on s intéresse à l évolution des coefficients d échange thermique et massique. Mots clés : Transfert de chaleur et de masse; Evaporation; Convection mixte; Cylindre vertical. 1. Introduction La modélisation de transfert de chaleur et de masse dans un cylindre à paroi humide est très intéressante, du fait de l importance des coefficients d échange mis en jeu et de l intérêt de cette technique dans de nombreux processus industriels. Citons, par exemple, les évaporateurs et les systèmes de refroidissement et de protection des parois dans des phénomènes industriels. Parmi les travaux antérieurs, dans les cas relatifs à ce sujet, on peut citer l étude numérique abordée par Lin et al [1] dans le cas de l évaporation par convection forcée d un film liquide extrêmement mince tombant dans un tube vertical à paroi isotherme. Chang et al [2] ont examiné les effets des forces thermosolutable en convection naturelle dans un tube vertical. D'autre part, Tsay et al [3] ont étudié l évaporation d un film d eau extrêmement mince dans un espace confiné entre deux plaques verticales parallèles. Une étude similaire a été traitée par Federov et al [4], ils ont supposé que l écoulement gazeux est turbulent. Récemment, Yan [5] a effectué des travaux relatifs aux transferts de chaleur et de masse par convection mixte dans un tube verticale, il a supposé que le film liquide est turbulent et l écoulement gazeux est laminaire. On propose, dans ce travail, d étudier le transfert de chaleur et de masse le long d un cylindre vertical à paroi isotherme dont la paroi interne du cylindre est supposée saturée en humidité et en présence d'un écoulement gazeux interne. 2. Modélisation On considère un écoulement d air entrant par la partie inférieure d un cylindre vertical à paroi humide. L écoulement d air est d'humidité relative φ=5%, de température θ =2 C et de pression p = 1atm. Le cylindre vertical de rayon R=.1 m est supposé isotherme et de température θ. Les p équations qui régissent notre problème sont celles de continuité, de l impulsion, de chaleur et de masse. L écoulement gazeux est supposé laminaire et permanent. Le modèle mathématique est établi en se basant sur les hypothèses simplificatrices suivantes : - l épaisseur du film liquide est supposée négligeable. - les propriétés physiques sont variables en fonction de la température et de la fraction massique [6]. - le mélange gazeux se comporte comme un gaz parfait. - le rayonnement, la dissipation visqueuse d énergie et les effets Soret et Duffour sont considérés négligeables. En plus de ces hypothèses nous introduisons les grandeurs adimensionnelles suivantes : = 2x R.Re, η = r R, ( ) 81

2 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) U= u u, V vr ν T P =, = ( θ θ )( θp θ ), W ( w w )( w r w ) = ( p )( ρ 2), Re= u( 2R) ν, p u ρ =ρ* ρ*, λ =λ* λ*, µ =µ* µ*, D= D* D*, =, * * c p= cp cp. (1) Les équations de transferts s écrivent donc : - équation de continuité ( ηρu) + ( ηρv) = η, (2) - équation du mouvement U U U dp 1 U V d g ρ + = + ηµ η η η η + ρ GrT + GrM 2 T W, (3) Re Re - équation de la chaleur ρ T + T = 1 1 ηλ T Cp U V η Pr η η η +ρ D A T W, (4) Sc η η - équation de la diffusion ρ U W + V W = 1 1 ηρd W. (5) η Sc η η η Le troisième terme de la partie droite de l équation (3) décrit les forces de poussées qui sont dues à la différence de la température et de la concentration Conditions aux limites Les équations (2)-(5) sont complétées par les conditions aux limites suivantes : = : U= 1, T=, W=, P= η = : U η=, T η=, W η= η =1 : U= 1, V= Vp, T= 1, ( w p w )( w r w ) W=. (6) La condition de conservation du débit volumique dans la conduite doit être satisfaite, soit : 1 ρηu dη= 1 ρvp d. (7) Paramètres du transfert de chaleur et de masse Le nombre de Nusselt local est définie par : hc( 2R) Nu x = = Nus + Nul, (8) λ* où Nu T s = 2, (9) 1 T m η η= 1 Nu = 2S W l, (1) ( 1 Tm )( 1 w p ) η η= 1 avec S= ρ* D* h( w r w ) λ* ( θp θ ). (11) Le nombre local de Sherwood est donné par : hm( 2R) r Sh= = 2 w w W D * w p w. (12) m η η= 1 Les équations établies (2)-(5), avec les conditions aux limites, sont résolues numériquement en utilisant la méthode aux différences finies implicites associée à l algorithme de Thomas [7]. 3. Résultats et discussions Dans le calcul numérique effectué, afin d éviter la dégénérescence du calcul, on a choisi un maillage non uniforme dans la direction axiale et radiale, du fait de la variation irrégulière de u, θ et w à l entrée de l écoulement et au voisinage de la paroi humide. Par conséquent, la densité des nœuds sera plus importante à l entrée du gaz et au voisinage de la paroi. Les intervalles de calcul sont déterminés par des séries géométriques. La méthode aux différences finies implicite associée à un algorithme de Thomas, permet de résoudre ce problème. La validation du modèle est effectuée en comparant nos résultats à ceux de Lin et al [1], dans le cas de l évaporation d un film extrêmement mince dans un tube vertical. La figure 1 montre cette validation en illustrant la variation de la température adimensionnelle le long du tube dans différentes sections. On constate que l accord est satisfaisant puisque la différence ne dépasse pas 3%. Les figures 2 et 4 illustrent la variation du coefficient d échange massique le long du cylindre. On constate d après les résultats obtenus, que l humidité relative du gaz à l'entrée du cylindre n'a que peu d'influence sur le coefficient d'échange massique par rapport à celui de la température à la paroi. Par contre, les effets de ces deux paramètres sur le coefficient d échange thermique sont très significatifs (figs. 3 et 5). Cela résulte du fait que lorsque l air devient moins humide le transfert de masse augmente, par conséquent le transfert thermique croit aussi. 82

3 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) , T,8,6,4,2 = résultats de simulation résultats de Lin ,,,2,4,6,8 1, r/r Figure 1 : Développement du profil de température adimensionnelle le long du cylindre, pour Re= 2, θ = 2 C, = 4 C. hm (m/s),2,18 = 3 ( C),16 = 6 ( C),14 = 9 ( C),12,1,8,6,4, Figure 2 : Influence de la température à la paroi sur le coefficient de transfert de masse. 83

4 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) hc (w/k m 2 ) = 3 ( C) = 6 ( C) = 9 ( C) Figure 3 : Influence de la température à la paroi sur le coefficient de transfert de chaleur. hm (m/s),2,18,16,14,12 φ=2 % φ=5 % φ=9 %,1,8,6,4,2, Figure 4 : Influence de l humidité relative sur le coefficient de transfert de masse. 84

5 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) hc (w/k m 2 ) φ=2 % φ=5 % φ=9 % Figure 5 : Influence de l humidité relative sur le coefficient de transfert de chaleur. Les figures 6 et 7 montrent respectivement l effet du nombre de Reynolds sur les coefficients de transfert de masse et de chaleur. On observe que les coefficients d échanges sont peu sensibles à l effet du nombre de Reynolds. On remarque aussi que les coefficients d'échange de chaleur et de masse décroissent d une manière considérable le long du cylindre vertical. hm(m/s),2,18,16,14,12 Re=2 Re=1 Re=2,1,8,6,4,2, Figure 6 : Influence du nombre de Reynolds sur le coefficient de transfert de masse. 85

6 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) hc(w/k m 2 ) Re=2 Re=1 Re= Figure 7 : Influence du nombre de Reynolds sur le coefficient de transfert de chaleur. Les distributions des nombres de Nusselt sensible et latent sont représentées respectivement sur la figure 8a et 8b. La figure 8a montre qu'un grand Nu s est observé pour les écoulements avec une faible température à la paroi et à l entrée du tube, mais vers la sortie du tube le nombre de Nusselt sensible devient constant. Cette situation se trouve souvent dans le cas du transfert de chaleur en convection forcée d un écoulement laminaire dans un tube vertical. On note également un faible effet de l humidité relative sur le nombre de Nusselt sensible. D après la figure 8b, le nombre de Nusselt latent Nu l est plus important pour une grande température à la paroi θ p, ainsi que pour une faible humidité relative φ. En comparant les figures 8a et 8b, on constate que le nombre de Nusselt latent est dix fois plus grand que le nombre de Nusselt sensible, donc le transfert de chaleur par mode latent est prédominant. 9, 7,5 (a) =3 C, φ=5 % =6 C, φ=5 % =3 C, φ=9 % Nu s 6, 4,5 3,,1,2,3 Figure 8a : Evolution du nombre de Nusselt sensible Nu s le long du cylindre. 86

7 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 3 (21) (b) =3 C, φ=5 % =6 C, φ=5 % =3 C, φ=9 % Nu l 3,1,2,3 Figure 8b : Evolution du nombre de Nusselt latent Nu l le long du cylindre. La variation du nombre de Sherwood Sh est illustrée sur la figure 9, on observe que le nombre de Sherwood caractérisant le transfert de masse varie de la même manière que le nombre de Nusselt sensible. La figure montre également un faible effet de l humidité relative sur le transfert de masse, ce qui à été déjà observé sur la figure 4. 9, Sh 7,5 6, =3 C, φ=5 % =6 C, φ=5 % =3 C, φ=9 % 4,5 3,,1,2,3 Figure 9 : Evolution du nombre de Sherwood Sh le long du cylindre. 4. Conclusion Dans ce travail, on a présenté un modèle numérique qui permet d analyser les échanges thermique et massique entre la paroi du cylindre et un écoulement d air humide. Les effets de la température à la paroi, de l humidité relative et du nombre de Reynolds sont examinés en détail. On a constaté que l échange thermique est plus important pour une grande température d entrée du gaz et pour une faible humidité de l air. Par contre les effets de ces paramètres reste non significatif pour l échange massique. Le transfert de chaleur est dominé par le transport de chaleur latente dans la conjonction avec l évaporation du film d eau le long du cylindre. 87

8 88 M. Feddaoui et al, Phys. Chem. News 2 (21) Nomenclature cpa cpv c A [( ) p ]( w r w ) c p chaleur massique J.kg. K D diffusivité massique 2 1 m. s Gr M nombre de Grashof massique Gr T nombre de Grashof thermique hm coefficient de transfert massique 2 m.s hc coefficient de transfert thermique 1 2 W.K m h chaleur latente d évaporation M a masse molaire de l aire kg.k mol M v masse molaire de la vapeur d eau kg.k mol Nu l nombre de Nusselt local, lié au transfert de chaleur latente Nu s nombre de Nusselt local, lié au transfert de chaleur sensible Nu nombre de Nusselt totale x p pression statique Pa P pression adimensionnelle Pa Pr nombre de Prandtl R rayon du cylindre m r coordonnée radiale m Re nombre de Reynolds Sc nombre de Schmidt, Sh nombre de Sherwood local T température adimensionnelle K u vitesse axiale dimensionnelle 1 m.s U vitesse axiale adimensionnelle v vitesse radiale dimensionnelle 1 m.s V vitesse radiale adimensionnelle w fraction massique de la vapeur W fraction massique adimensionnelle x abscisse dimensionnelle m abscisse adimensionnelle Lettres grecques η coordonnée radiale adimensionnelle θ température dimensionnelle λ conductivité thermique W.K m µ viscosité dynamique kg.m s ρ masse volumique 3 kg.m φ humidité relative Indices a air m quantité de mélange g phase gazeuse condition à l entrée p condition à la paroi r référence v vapeur grandeurs dimensionnelles Références [1] T. F. Lin, C. J. Chang, W. M. Yan, Journal of Heat Transfer, 11 (1988) [2] C. J. Chang, T. F. Lin, W. Yan, Int.J. Heat Mass Transfer, 29 (1986) [3] H. C. Tsay, W. M. Yan, Wärm und Stoffübertragung, 26 (199) [4] W. M. Yan, Journal of Heat Transfer., 117 (1995) [5] A. G. Fedorov, R. Viskanta, A. A. Mohamad, Int. J. Heat Fluid Flow, 18 (1997) [6] T. Fujii, Y. Kato, K. Mihara, Report N 66 (1977) [7] S. V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere/Mc Graw-Hill, New York. (198) Chap