Le condensateur Le dipôle RC série (1) Etude de la charge du condensateur (correction)

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1 Le condensateur Le dipôle RC série (1) Etude de la charge du condensateur (correction) 1 Deux nouveaux dipôles! On réalise le montage suivant. C R K + rouge bleu jaune L U = 12 V L 1 L 2 L 3 la fermeture de l interrupteur k, on constate L 1 : la lampe s allume immédiatement et s éteint très rapidement L 2 : la lampe s allume immédiatement L 3 : la lampe s allume avec un léger retard l ouverture L 1 : la lampe se rallume subitement et s éteint aussitôt (flash) L 2 : la lampe s éteint immédiatement L3 : la lampe s éteint avec un léger retard L Ce montage assure une différence de potentiel aux bornes d une association {dipôle + lampe}. Nous pouvons, à l aide de l observation du comportement des lampes, en déduire quelques propriétés de chaque dipôle. Les trois dipôles, résistance R, condensateur C et bobine L, sont des récepteurs. Le condensateur C et la bobine L ont un comportement singulier par rapport à la résistance R. En effet, il apparaît dans la branche qui le contient des phénomènes caractéristiques. Le condensateur, à l allumage, se charge électriquement et une fois sa charge terminée, très rapidement, il coupe le circuit et la lampe L 1 s éteint ; à la rupture, il se décharge brutalement dans la lampe et restitue l électricité qu il a stockée en provoquant le flash observé La bobine, elle, s oppose à l établissement et à la rupture du courant électrique en ralentissant l allumage et l extinction de la lampe L 3. Ces deux composants laissent entrevoir de nouvelles possibilités en électricité, si nous apprenons à les maîtriser. Pour le condensateur, c est le but de ce TP. 2 la découverte du condensateur : charge à courant constant 2.1 Le condensateur Un condensateur est un dipôle constitué de deux plaques conductrices et B, appelées armatures, séparées par un matériau isolant appelé diélectrique. B Symbole du condensateur 1

2 2.2 Montage expérimental La position 1 correspond à la charge du condensateur. La position 2 permet de le décharger. Le circuit réalisé est équivalent au circuit simplifié suivant : Source idéale de courant i 4,0 V N P i = cte U R = E0 U B = E1 voie E kω + + R B C = 470 µf On travaillera à partir du fichier d acquisition disponible en TP dans vos documents (Devoirs/Physique). Le but est ici d étudier les grandeurs physiques caractéristiques du condensateur : la tension Uc à ses bornes, l intensité i qui le traverse et la charge accumulée sur ses armatures. La centrale d acquisition possède de nombreuses voies d acquisition (E0, E1, E2, etc ) mais une seule masse, qui doit être commune à toutes les acquisitions. Pour étudier l intensité i du circuit de charge, nous utilisons la résistance R : en étudiant la tension à ses bornes, donnée par E0, nous pourrons en déduire, avec la loi d Ohm, l intensité i qui circule dans le circuit, U R E0 i R R Pour étudier le condensateur lui-même, il nous faut avoir accès à la tension à ses bornes, Uc ; s agissant d un récepteur électrique, il s agit de la tension positive U B (convention récepteur). Le branchement de l acquisition impose la mesure de E1 = U B = U B ; il faudra donc tenir compte de cette contrainte dans l étude que nous allons mener. voie E0 R d 5 kω Réglages Latis Pro Total : 50 s Points : Déclenchement : E1 Sens : descendant Seuil : 0,05 V 2.3 Evolution temporelle de la tension U c = U B Définir une nouvelle variable Uc telle que Uc = U B = E1 (feuille de calcul : Uc = 1*E1). Tracer la courbe Uc(t). voir courbe n 1 en annexe La tension U C est proportionnelle à la durée Δt de la charge. Lorsque le condensateur est chargé, la tension U c atteint la valeur U B,max = 10 V. 2.4 Evolution temporelle de la charge q Obtention de la courbe q (t) Définir, à partir de l acquisition E0, une nouvelle variable i correspondant à l intensité dans le circuit. Feuille de calcul : «R = 68000» puis «i = E0/R» Tracer i(t) en vérifiant que «t» est bien la variable de i. voir courbe n 2 en annexe Dans le circuit étudié, i = i o 150 µ lors de la charge et lorsque le condensateur est chargé, i = 0 (circuit ouvert). 2

3 On peut remonter à la valeur de la charge q par la relation dq i dt En effet, si i(t) est la dérivée de q(t) par rapport au temps, q(t) est la primitive résultant de l intégration de i(t). Latis Pro peut calculer l intégrale d une courbe. partir de la courbe i(t), utiliser le traitement d intégration de Latis Pro pour obtenir q. On se place dans la fenêtre contenant la représentation de i(t) ; par Traitements > Calculs spécifiques > Intégrale» il est possible d obtenir la courbe cherchée. Tracer q(t), en vérifiant bien que la variable de q est «t». voir courbe n 3 en annexe La charge q est proportionnelle à la durée Δt de la charge. Lorsque le condensateur est chargé, la charge q atteint la valeur q,max = 4,70 mc. dq C est logique, puisque I = I o = constante, on a par i la relation q = I o Δt. Cette relation n est valable dt que pour la montée de la courbe, car une fois le condensateur chargé, l intensité s annule Notion de capacité Tracer, sur une nouvelle fenêtre graphique, q(uc). courbe n 4 en annexe Modéliser la courbe obtenue et relever les paramètres de modélisation. Conclure. Sur la durée Δt, nous avons U B = Uc = k u Δt et q = I o Δt ; écrivons U t k et il vient I o q U B k U B ku On retrouve la proportionnalité entre la charge q du condensateur et la tension U B à ses bornes. La constante de proportionnalité est appelée capacité du condensateur ; notée C, elle s exprime en farads (F) si la charge est en coulombs (C) et la tension en volts (V). Donnez la valeur expérimentale de la capacité C du condensateur et conclure en comparant avec la valeur donnée par le constructeur sur le composant. La modélisation indique une relation de proportionnalité q = a x Uc avec a = 465, C.V 1. Sur le condensateur, nous lisons C = 470 µf = F. Nous avons un écart raisonnable à la valeur donnée par le constructeur, ,5 écart 100 1% 470 En convention récepteur, nous écrirons : B u q I o coulomb (C) Modélisation : linéaire q = a*uc a = 465,5E-6 corr. 0,99928 volt (V) i U B q = C x U B > 0 B farad (F) 3 Charge d un condensateur à tension constante : réponse à un échelon de tension 3.1 Montage expérimental On réalise le montage suivant. 3

4 5,0 V P i + N E kω + + R B C = 10 µf E0 masse Réglages Latis Pro Nombre de points : 500 Total temps : 400 ms Déclenchement : source E1 Sens : descendant (E1 décroît) Seuil : 0,05 à 0,1 V Indiquer, sur le schéma, les branchements de E0 et E1 permettant d acquérir respectivement la tension aux bornes de la résistance et la tension aux bornes du condensateur. N oubliez pas la masse!! Vérifier, au voltmètre, qu initialement le condensateur est déchargé : quelle doit être la tension à ses bornes? Si le condensateur est initialement déchargé, ses armatures ne doivent présenter aucune charge électrique : la différence de potentiel (tension Uc) à ses bornes doit donc être nulle! l instant t = 0, l interrupteur est basculé en position 1 : l ensemble RC est soumis à une tension constante E = 5,0 V. On dit qu on charge le condensateur. 3.2 Evolution temporelle de la tension U B = Uc partir de l acquisition de E1, définir une nouvelle variable Uc correspondant à U B (feuille de calcul : Uc = 1*E1) Tracer Uc(t). Voir courbe n 5 en annexe La tension U c augmente au cours du temps ; il s agit d un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur, et un régime permanent s établit, avec U B = 5,0 V, lorsqu il est chargé. Modéliser la courbe Uc(t) obtenue, et relever les paramètres de la modélisation. Uc=*(1-Exp(-(Temps-Δ)/τ))+V0 = 5 Δ = 0 τ = 50E 3 V0 = 2,021E-9 En utilisant notamment les phénomènes déjà étudiés, exprimer les paramètres de la modélisation en fonction de E, R et C. Le paramètre est très proche de la tension fournie par le générateur, E = 5,0 V. Le paramètre τ est homogène à une durée car l argument de l exponentiel doit être adimensionné. Travaillons sur les grandeurs R et C : U V R I dq C Or, I dt donc s 4

5 V V. s R C q C C U V On voit apparaître que le produit R x C est homogène à une durée : R C s. Ce produit se rapproche de la valeur de τ donnée par la modélisation. Nous pouvons donc proposer t Uc( t) E 1 e avec RC Comment peut-on appeler le produit τ = R x C? Comment le déterminer graphiquement? En radioactivité, l exponentielle temporelle était déjà intervenue : la constante τ était alors appelée constante de temps du système. Nous avions vu qu il était possible de la déterminer graphiquement de deux façons, à l aide de la tangente à l origine L équation de cette tangente s écrit t duc E E U t e t t dt t0 t0 Cette droite coupe l asymptote U = E de la courbe Uc(t) pour l égalité E t E c est-à-dire à t = τ. à l aide des 63% Cherchons la valeur de la tension Uc(t) atteinte pour t = τ : 1 Uct E 1e E 1e 0,63E On voit qu à t = τ, la tension aux bornes du condensateur a atteint 63 % de sa valeur maximale à la charge, E. 3.3 Evolution temporelle de l intensité i l aide de l acquisition de E0, définir une nouvelle variable i correspondant à l intensité. Tracer i(t). voir courbe n 6 en annexe L intensité i est un fonction décroissante du temps. Elle décroît d une valeur i o = 0,1 m (régime transitoire) à une valeur nulle lorsque le condensateur est chargé (régime permanent). Modéliser cette courbe et relever les paramètres de modélisation. Uc=a*Exp(b*Temps) a = 1E 9 b = 20 En utilisant notamment les phénomènes déjà étudiés, exprimer les paramètres de la modélisation en fonction de E, R et C. = E/R = 1 µ et b = RC = 20 ms 5

6 Intégrer cette courbe : la courbe obtenue sera nommée q et exprimée en coulombs (C). 3.4 Evolution temporelle de la charge q Dans le tableur, vérifier que la variable de q est bien «t». Tracer q(t) Voir courbe n 7 en annexe La tension q augmente au cours du temps ; il s agit d un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur, et un régime permanent s établit, avec q = 5,0 µc, lorsqu il est chargé. 3.5 Evolution de q en fonction de U c : notion de capacité Tracer q(uc). voir courbe n 8 en annexe Modéliser la courbe obtenue et noter les paramètres de cette modélisation. On utilise une modélisation affine : q = a x Uc + b a = 11, b = Conclure en parallèle avec le La valeur de b incite à penser que la relation entre q et Uc est linéaire et non affine. La pente est alors de a = C.V 1, ce qui coïncide alors avec la valeur de la capacité du condensateur, annoncée à C = 10 µf = F. On peut remarquer que le modèle affine choisi n est intéressant que pour les faibles valeurs de Uc : au-delà de Uc = 2,0 V environ, on sort du domaine de validité de la relation q = C x Uc. 6

7 Courbe n 1 Uc(t) Courbe n 2 i(t) Courbe n 3 q (t) Courbe n 4 q (Uc) 7

8 Courbe n 5 Uc(t) Courbe n 6 i(t) Courbe n 8 q (Uc) Courbe n 7 q (t) 8

9 4 vec le temps 1. Mettre en équation le circuit de charge du condensateur pour en déduire l équation différentielle à laquelle satisfait Uc(t). 2. Mettre en place une méthode d Euler permettant, à partir de l équation différentielle précédente, d en déduire numériquement Uc(t). 3. Comparer avec le résultat expérimental. Le circuit étudié est le suivant. E 1 K R i C B 2 u K u B En charge, l interrupteur est en position 1. Dans ce cas, d après la loi d additivité des tensions, E = u B (t) + u K (t) D après la loi d Ohm, dq dub uk( t) Ri( t) R RC dt dt insi, dub E ub( t) RC dt ce qui s écrit encore dub 1 E ub ( t) dt RC RC La tension u B (t) vérifie donc une équation différentielle qui admet comme solution RC ub ( t) K e E On détermine la constante K à l aide des conditions initiales : à t = 0 s, u B (t o ) = K + E. Nous avons donc K = u B (t o ) E. Or, lorsque t = t o, u B (t o ) = 0 V : il vient K = E. La solution de l équation différentielle s écrit donc t RC ub ( t) E 1 e On peut utiliser la méthode d Euler pour résoudre l équation différentielle, sur l exemple de la décharge. La méthode d Euler permet d obtenir une valeur approchée d une valeur d une fonction en un point lorsque la fonction elle-même n est pas connue explicitement, mais en connaissant sa valeur en un autre point et sa dérivée (ce qui est déjà beaucoup). Elle permet alors également la construction d une représentation graphique approchée de la fonction étudiée. Concrètement la méthode d Euler repose sur l utilisation de l approximation affine de la fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, a et b des réels de I, b proche de a, alors : 9 t

10 f(b) f(a) + (b a) f (a). donc si l on connaît f(a) et f (a), alors on obtient ainsi une valeur approchée de f(b). Plus concrètement encore, plus b est proche de a, moins l erreur commise sur f(b) est grande, ce qui, connaissant f(a), conduit à l idée d obtenir f(b), b étant fixé, par une suite de valeurs intermédiaires de f entre f(a) et f(b). L équation à laquelle satisfait ub ( t) u peut se mettre sous la forme u ' a u b 1 E avec a et b. RC RC En considérant qu elle est dérivable, nous pouvons écrire que u t t u t u ' t t c est-à-dire que 1 u t t u t au t b t u t t a t u t b t Or, nous connaissons u(t o = 0) = E : on peut donc calculer, à partir de ce point et en incrémentant calculer les valeurs de u(t)!! 1 E u t1 u to t 1 t u to t RC RC Dans notre exemple, R = Ω C = 10 µf U = 5,00 V 1 1 E 1 On en déduit RC = 50 ms, a 20 s et b 100 V. s. RC RC Prenons par exemple un pas de Δt = 0,01 s. Pour le calcul de la première valeur, nous partons de u(t o ) = 0, et nous procédons de la manière suivante pour obtenir u(t 1 ) : u t ,01 u to 100 0,01 0,80u to 1 Il ne reste ensuite qu à itérer cette expression, et le recours à un tableur facilite bien la tâche. t, Utilisation du tableur Latis Pro Ouvrir Latis Pro et afficher le tableur. 1 Création des variables et des constantes Dans le tableur, créer Variables, Nouvelle : la nommer Uc (en volts) et la faire dépendre de t (en secondes). Dans les Constantes (icône >> à droite du tableur), créer les constantes Dt, a et b en leur donnant les valeurs respectives 0,1 ; 0,425 et 4,25. Pour cela, clic-droit sur la case vide, Nouvelle. ssigner la valeur (double-clic sur la case de variable vide et validation par Entrée). 2 Itération de la variable de temps, t 10

11 Double-cliquer sur l en-tête de la colonne Uc : la colonne t(uc,x) apparaît. Lui donner en première case la valeur 0. Dans la deuxième case de t(uc,x), écrire la formule : = t[n 1] + Dt Recopier la formule vers le bas en déplaçant (clic gauche maintenu) le carré inférieur droit de cette case. Ne pas hésiter à pousser les calculs jusqu à 200 (t = 20 s) dans notre cas (cela dépend du pas). 3 Itération de la variable de tension, Uc Dans la première case de Uc, entrer la valeur initiale : 0. Dans la deuxième case de Uc, écrire la formule : = (1 a*dt)*uc[n 1] + b*dt Recopier la formule vers le bas en déplaçant (clic gauche maintenu) le carré inférieur droit de cette case. 11