#3 Proportionnalité. I Reconnaitre une situation ou un tableau de proportionnalité

Transcription

1 # Proportionnalité I Reconnaitre une situation ou un tableau de proportionnalité Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport entre les 2 est constant. Exercice 1 : 1.) Le tableau suivant indique la masse de différents lots de boîtes de conserves. Nombre de boîtes de conserves 1 6 Masse (en kg) 0,7 2,1 4,2 La masse des lots de boîtes est-elle proportionnelle au nombre de boîtes dans ce lot? Justifie. Rédaction de la réponse : Masse On calcule les rapports Nombre de boîtes : 0,7 1 =0,7 2,1 =0,7 4,2 6 =0,7 Ces rapports sont constants. On en déduit que la masse des lots des boites est proportionnelle au nombre de boites dans ce lot. 2.) Le tableau suivant récapitule les records personnels du sprinteur jamaïcain Usain Bolt. Distance parcourue (en m) Durée (en s) 9,58 19,19 45,28 Les temps de courses sont-ils proportionnels aux distances parcourues? Justifie. Rédaction de la réponse : Durée (en s) On calcule les rapports Distance parcourue (en m) : 9,58 19,19 45,28 =0,0958 ; =0,09595 ; =0,112 Ces rapports sont différents. On en déduit que les temps de courses ne sont pas proportionnels aux distances parcourues. Définition : Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque tous les nombres d une ligne s'obtiennent en multipliant tous ceux de l'autre par un même coefficient de proportionnalité. Exercice 2 : Le tableau suivant indique l'évolution du poids d un bébé au cours des 6 premiers mois. Âge (en mois) Poids (en kg),5 4 4,7 5,5 6,2 6,5 7 0,7 Complète : Ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité car : Il est impossible de passer de 0 à,5 par une multiplication. 4 =4 1 4,7 mais 2 =2,5 1 4 = 4 mais 2 4 4,7 Sur la 1 e ligne 2 est le double de 1 mais sur la 2 e ligne 4,7 n'est pas le double de 4. Sur la 1 e ligne 6 est le triple de 2 mais sur la 2 e ligne 7 n'est pas le triple de 4,7. Sur la 1 e ligne = mais sur la 2 e ligne 5, ,7. Sur la 1 e ligne 5 = 2 + mais sur la 2 e ligne 6,5 4,7 + 5,5. Remarque : Le poids d un enfant, puis d un adulte, n évolue pas de la même façon au fur et à mesure qu il grandit en âge ou en taille. À 80 ans on ne pèse pas 2 fois plus qu à 40 ans. À 6 ans on n'est pas fois plus grand en taille qu'à 12 ans.

2 II Compléter un tableau de proportionnalité On peut compléter un tableau de proportionnalité dés que l on connait 2 nombres qui se correspondent sur une même colonne. Pour cela, 4 méthodes : Exercice : La quantité d huile d olive produite en usine est proportionnelle à la masse récoltée. Complète le tableau suivant. Masse d olives récoltées (en kg) 5 Quantité d huile produite (en L) 0,9 x Vocabulaire : Le nombre manquant x s appelle la quatrième proportionnelle. 1 ère méthode : Passage à l unité (ou Règle de trois) Pour kg d olives récoltées on produit 0,9 L d huile. 0,9 = 0, J'en déduis que pour 1kg d olives récoltées on produirait 0, L d'huile. 0, 5 = 1,5 Donc pour 5 kg d olives récoltées on produirait 1,5 L d'huile. Remarque : On parle de règle de car on utilise nombres du tableau pour le calcul du 4 e. Pour le trouver, on multiplie entre eux «les nombres en diagonales» puis on divise par le e. En résumé : x = 0,9 5 = 4,5 = 1,5 2 ème méthode : Utilisation du coefficient de proportionnalité Masse d olives récoltées (en kg) 5 Quantité d huile produite (en L) 0,9 x Calcul du coefficient de proportionnalité : Donc : x = 5 0, = 1,5 ème méthode : Multiplication par une quantité 0,9 =0, 5 Masse d olives récoltées (en kg) 5 Quantité d huile produite (en L) 0,9 x 0, On a : 5 = 5 Donc : x = 0,9 5 = 0,9 5 = 4,5 = 1,5 4 ème méthode : Par addition (ou soustraction) de deux colonnes Masse d olives récoltées (en kg) 5 8 Quantité d huile produite (en L) 0,9 1,5 y On a, sur la 1 e ligne : 8 = + 5 Donc, sur la 2 e ligne : y = 0,9 + 1,5 = 2,4

3 Exercice 4 : Complète le tableau de proportionnalité suivant en utilisant la règle de trois. x= = Masse de camembert (en g) z Masse de matière grasses (en g) 21 x y 15 = = 21 5 = =52,5 y= = =6 =6, Remarque : On simplifie en décomposant les nombres et en 10 rayant les facteurs communs aux numérateur et dénominateur. z= = = 500 On s'arrête quand la division ne donne pas de résultat exact Exercice 5 : Lorsqu'on fabrique du mortier la quantité de sable utilisée doit être proportionnelle à la celle de ciment. Complète astucieusement le tableau suivant. 5 4=20 Donc : x=18 4=72 Quantité de ciment (en kg) z Quantité de sable (en kg) 18 x y =25 Donc : y=18+x=18+72=90 III Utiliser / Calculer un pourcentage 18 10=180 Donc : z=5 10=50 Méthode : Calculer n % d'une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction n 100. Exercice 6 : Un oeuf est constitué de parties. La coquille représente environ 10% de la masse de l'oeuf. Le jaune. Le blanc en représente environ 60 %. Sachant qu'un oeuf moyen pèse environ 60g calcule de deux façons la masse du jaune. (Correction non présentée) Méthode : Pour calculer un pourcentage on peut compléter un tableau de proportionnalité. Exercice 7 : 1.) Sur les 50m d eau utilisés chaque année par un français, on estime que seulement,5m sont destinés à l alimentation. Quel pourcentage cela représente-t-il? Volume d'eau utilisé (en m ) 50,5 Pourcentages 100 x x=,5 100 =,5 10 = =7 L'eau destinée à l'alimentation représente environ 7% de l'eau utilisée chaque année par un français. 2.) Parmi les 160 élèves de 5 e d un collège, 104 sont externes. Quel est le pourcentage d externes? Nombre d'élèves Pourcentages 100 y y= = = =520 8 = = 10 2 =65 Le pourcentage d'externes de ce collège est 65%.

4 .) Dans un collège il y a 696 droitiers et 104 gauchers. Quel est le pourcentage de gauchers? On commence par calculer le nombre total d'élèves du collège = 800 Nombre d'élèves Pourcentages 100 z z= = = =52 4 =26 2 =1 Le pourcentage d'élèves gauchers de ce collège est 1%. 4.) Quels pourcentages d'une heure font 12 min, 18min et 45 min? 1 h = 60 min a= b= c= Temps en minutes Pourcentages 100 a b c = = 120 =20 Donc 12 min représente 20% d'une heure. 6 6 = = 180 =0 6 6 Donc 18 min représente 0% d'une heure. = = = 225 =75 Donc 45 min représente 75% d'une heure. 5.) En 2008, il y a eu 444 personnes tuées sur les routes françaises contre 559 en De quel pourcentage le nombre de morts a-t-il diminué entre 2005 et 2008? On commence par calculer la diminution du nombre de morts sur les routes entre 2005 et = 1150 Le nombre de mort a donc diminué de entre 2005 et En 2005, il y avait 559 morts sur les routes françaises. Il y aurait eu une baisse de 100% des morts s'il y avait eu 559 morts en moins, au lieu de Nombre de morts sur les routes Pourcentages 100 x x= = ,6 Le nombre de morts sur les routes françaises a donc diminué de 20,6% environ entre 2005 et ) En 1992, l Union européenne (appelée alors CEE) était constituée de 12 états qui représentaient 20 millions de personnes. En 2009 elle était constituée de 27 états qui représentaient 496 millions de personnes. Exprime en pourcentage l évolution du nombre d'états et celle de sa population. (Même raisonnement que l'exercice précédent. On commence par calculer l'évolution du nombre de pays dans la CEE puis du nombre d'habitants. On complète ensuite 2 tableaux de proportionnalité différents. L'un en comparant les nombres de pays et les pourcentages, l'autre en comparant le nombre d'habitants et les pourcentages. Les nombres qui correspondent à 100% sont les nombres initiaux, c'est-à-dire ceux de 1992.)

5 IV Echelles Définition : L échelle d un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité. L échelle d une carte s exprime par une fraction de numérateur 1. Remarques / Méthodes : Lorsque les distances sur le plan sont plus petites que dans la réalité l'échelle s'exprime en 1 général par une fraction de numérateur 1. Par exemple une maquette à l'échelle 200. Dans ce cas il faut multiplier par 200 les distances du plan pour trouver les distances réelles. Et il faut diviser par 200 les distances réelles pour trouver les distances du plan. Lorsque les distances sur le plan sont grossies par rapport aux distances réelles (c'est par exemple le cas lorsqu'on utilise un microscope pour prendre une photo) l'échelle s'exprime en général par un nombre entier. Par exemple, on lit 25 sur un microscope. Dans ce cas il faut diviser par 25 les distances du plan pour trouver les distances réelles. Et il faut multiplier par 25 les distances réelles pour trouver les distances du plan. Exercice 8 : 1.) Sur une carte routière, 5 cm représentent 100 km. Quelle est l'échelle de cette carte? Rédaction de la réponse : Je commence par exprimer toutes les longueurs dans la même unité. 100 km = m = cm J'en déduis que 5 cm sur la carte représentent en réalité cm. 5 L échelle de la carte est donc : = = ) Un horloger examine le plan d une montre à l échelle 2,5. Quel est le diamètre sur le plan d'une roue dentée de diamètre réel 4 mm? Distances réelles en mm 1 4 Distances sur le plan en mm 2,5 x x=4 2,5=10 Donc, une roue dentée de diamètre réel 4 mm a un diamètre de 10 mm sur le plan, soit 1 cm. Remarque : Cette fois, l échelle n est pas exprimée par une fraction de numérateur 1. C est parce que la représentation de la roue sur le plan est un agrandissement de la réalité..) Le terrain du stade de France est un rectangle de 105 m sur 70 m. Réalise un plan à l échelle 1/ On a : 105 m = cm Et : 70 m = cm Distances sur le plan en cm 1 L l Distances réelle en cm L= = =5,25 cm l= =7 2 =,5cm Le stade de France est donc représenté sur le plan par un rectangle de longueur 5,25 cm et de largeur,5 cm. Il ne reste plus qu'à tracer ce rectangle.

6 4.) La place Tian anmen à Pékin est la plus grande du monde. Sur un plan, cette place rectangulaire de 880 m de longueur a pour dimension,75 cm et 6,6 cm. a) Quelle est l échelle de ce plan? b) Calcule la largeur puis l aire de cette place dans la réalité. a) On a : L = 880 m = cm. Distances sur le plan en cm 1 6,6,75 Distances réelle en cm x = l x= =880 = = = (La division ne s'arrête jamais.) 6, L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances sur le plan. Lorsqu'on calcule : on obtient : = 1 L'échelle du plan est donc : b) Méthode : Pour calculer la largeur l on utilise la règle de ou on multiplie,75 par On trouve une largeur de cm c'est-à-dire 500 m. On calcule ensuite l'aire réelle A de la place Tian'anmen : A = l L = = m 2 La place Tien'anmen est donc un rectangle d'aire m 2. / Socle commun et bilan des compétences travaillées dans ce chapitre : A l'issue de ce chapitre, je dois : Savoir justifier par le calcul si une situation (ou un tableau) est de proportionnalité ou non. Calculer le coefficient de proportionnalité d'un tableau de proportionnalité. Calculer astucieusement les nombres manquants dans un tableau de proportionnalité. Calculer les nombres manquants dans un tableau de proportionnalité avec la règle de. Calculer n % d'une quantité. Calculer des pourcentages en complétant des tableaux de proportionnalité. Calculer l'échelle d'une carte, d'un plan, etc. Calculer une distance réelle à partir d'une distance sur le plan et inversement.