Conception et implémentation d un Méta-modèle de machines asynchrones en défaut

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1 Thèse Présentée à L Université de Poitiers Pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Poitiers École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers École doctorale des sciences pour l ingénieur Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006 Spécialité «Automatique» Pour l obtention du grade de Docteur de l École Nationale d Ingénieurs de Tunis Spécialité «Génie Électrique» Présentée par Sadok BAZINE Conception et implémentation d un Méta-modèle de machines asynchrones en défaut Directeurs de thèse : G. CHAMPENOIS et K. JELASSI Co-encadrement : S. TNANI Présentée et soutenue publiquement le 29 juin 2009 COMPOSITION DU JURY Président : Mohamed Elleuch Professeur à l ENIT Tunis Rapporteurs : Habib Rehaoulia Maître de conférences (HDR) à l ESSTT Tunis Mohammed-El-Hadi Zaïm Professeur à l Université de Nantes Examinateurs : Yamine Ait-Ameur Professeur à l ENSMA Poitiers Ilhem Belkhodja Professeur à l ENIT Tunis Gérard Champenois Professeur à l Université de Poitiers Khaled Jelassi Professeur à l ENIT Tunis Slim Tnani Maître de conférences à l Université de Poitiers Thèse préparée au sein du Laboratoire d Automatique et d Informatique Industrielle de Poitiers et du Laboratoire des Systèmes Électriques de Tunis

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3 Au nom d Allah, le Tout Miséricordieux, le Très Miséricordieux. «Et ma réussite ne dépend que d Allah. En Lui je place ma confiance, et c est vers Lui que je reviens repentant»(houd, 88)

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5 Remerciements Je tiens à exprimer toute ma gratitude et mes sincères remerciements à Monsieur Gérard Champenois, Professeur à l université de Poitiers, pour m avoir accueilli au sein de son équipe, pour avoir dirigé ce travail ainsi que pour ses conseils, ses remarques, son dévouement, son soutien ainsi que la confiance et l amitié qu il m a toujours témoignées. Je remercie aussi Monsieur Khaled Jelassi, Professeur à l École Nationale d Ingénieurs de Tunis, pour m avoir encadrée depuis le PFE. Je le remercie également pour sa confiance, son soutien ainsi que son amitié. J adresse également mes remerciements à Monsieur Slim Tnani, Maître de conférences à l université de Poitiers, pour avoir co-dirigé ce travail ainsi que pour son soutien tout au long de cette thèse. Que Monsieur Habib Rehaoulia, Maître de conférences (HDR) à l ESSTT de Tunis, Mohammed-El-Hadi Zaïm, Professeur à l Université de Nantes trouvent ici l expression de ma profonde gratitude pour m avoir fait l honneur de rapporter ce travail. Ces remerciements s adressent également à Monsieur Mohamed Elleuch, Professeur à l ENIT Tunis, Yamine Ait-Ameur, Professeur à l ENSMA Poitiers, Ilhem Belkhodja, Professeur à l ENIT Tunis pour avoir accepté de participer au jury de cette thèse. Je remercie chaleureusement Monsieur Jean-Claude Trigeassou, Professeur émérite à l université de Poitiers, pour les discussions fructueuses qu on a eu ensemble ainsi que ses remarquables qualités humaines. Je voudrais également remercier toutes les personnes des laboratoires L.A.I.I et L.S.E., qui m ont toujours offert leur aide et qui ont su créer une ambiance agréable. Je ne peux les citer tous de risque d en oublier. Pour finir, je tiens à remercier du fond du coeur ma mère et mes frères qui n ont cessé de m encourager tout au long de ces années d études, et qui ont toujours été présents pour moi et qui ont bien pris soin de ma très chère fille Aya durant les périodes d absence de sa maman et son papa. Qu ils reçoivent ici ma profonde gratitude pour leurs innombrables sacrifices. Un grand merci aussi à Rochdi et Rim pour leur soutien ainsi que pour les moments de complicité qui unissent nos familles.

6 Ces remerciements ne peuvent s achever, sans une pensée pour ma première fan (et correctrice des fautes d orthographe de cette thèse!) : mon épouse. Son soutien et ses encouragements (durant les périodes fréquentes de doute) m ont été d une grande aide tout au long de cette thèse. Une pensée spéciale pour ma fille Alaa qui vient d apporter une touche de douceur et d espoir à notre vie, durant la phase finale de cette thèse. À ma mère, À la mémoire de mon père, À mes frères, À ma femme, À mes filles Aya et Alaa.

7 Table des matières Table des matières Table des figures Liste des tableaux vii xiii xix Introduction générale 1 1 Chapitre introductif Introduction Présentation du système d étude Constitution des machines asynchrones Le stator Le rotor Les paliers Les défaillances des machines asynchrones Défaillances mécaniques Défaillances électriques Au niveau du stator Au niveau du rotor Panorama des méthodes de modélisation des machines asynchrones Modèle de Park étendu dédié au diagnostic Méthode des éléments finis Méthode des réseaux de perméances Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés (CEMC ) Modèle de CEMC-SA Modèle de CEMC-A Conclusion Méthodologie de modélisation multi-enroulements (3ME) Introduction Prise en considération de la topologie de la machine Force magnéto-motrice (f.m.m) d un enroulement Enroulement diamétral vii

8 Généralisation (N phases, p paires de pôles et N e enroulements/pôle/phase) Calcul des inductances Inductance propre Inductance mutuelle Inductance de fuites Bobinage imbriqué Bobinage concentrique Modélisation du stator Modèle d un enroulement élémentaire (sain) Modélisation d une bobine Modèle électrique Mise en équation Prise en considération de la topologie électrique Modélisation d une phase Modèle électrique Mise en équation Prise en considération de la topologie électrique [D] bob ph x [D] enr bob x [D] enr ph x Modèle global du stator Modèle électrique Mise en équation Prise en considération de la topologie électrique [D] enr bob s [D] bob ph s [D] enr ph s Modélisation du rotor Modèle électrique Mise en équation Modèle global de la machine asynchrone Inductances mutuelles stator-rotor Couplage et alimentation Le cas de couplage en étoile Le cas de couplage en triangle Type d alimentation Mise en équation et résolution Conclusion Validation et paramétrage d un modèle Introduction Modèle généré par le simulateur Caractéristiques topologiques du stator viii

9 3.2.2 Modèle électrique Modèle d un enroulement élémentaire Modèle d une bobine Modèle d une phase Modèle du stator Modèle global de la machine Inductances mutuelles stator-rotor Couplage et alimentation [D] coup [D] alim Mise en équation et résolution Incidence de la variation des paramètres L entrefer e Inductances de fuites Inductances de fuites statoriques L f s Inductances de fuites rotoriques L f r La résistance rotorique R b Validation expérimentale Paramétrage du modèle Prise en considération des pertes fer Ajustement du courant réactif Ajustement du déphasage Ajustement du glissement Le jeu de paramètres sélectionnés Validation fréquentielle Validation par identification paramétrique Principe de l algorithme d identification du type erreur de sortie Résultats d identification Conclusion ME de la machine asynchrone en présence de défauts Introduction Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Principe de modélisation Modèle électrique Mise en équation Prise en considération de la topologie électrique Auto adaptation du modèle lors de l apparition des défauts de C-C Au niveau de bobines Matrices élémentaires Matrices de connexion Au niveau de phase ix

10 Matrices élémentaires Matrices de connexion Au niveau du stator Matrices élémentaires Matrices de connexion Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Modèle de l enroulement défaillant Modèle électrique Prise en considération de la topologie électrique Auto adaptation du modèle Au niveau de bobines Au niveau de phase Au niveau du stator Défaillance de rupture de barres ou d anneaux de court-circuit Défaut d excentricité statique et/ou dynamique Force magnétomotrice d un enroulement quelconque Inductance propre Inductance mutuelle Conclusion Validation expérimentale des modèles de défauts Introduction Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Court-circuit et topologie de bobinage Défaut de C-C avec limitation du courant de défaut Analyse temporelle Analyse fréquentielle Défaut de C-C sans limitation du courant de défaut Influence de l inductance de fuite des spires court-circuitées Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Défauts de rupture de barres Conclusion Conclusion et perspectives 215 Annexes 221 A Quelques techniques de résolution d équations différentielles 221 A.1 Méthode d Euler A.2 Méthodes de Runge-Kutta A.3 Méthode d exponentielle d une matrice A.4 Méthode d Adams B Bancs d essais 227 B.1 Paramètres techniques de la «M.AS.Réelle» x

11 B.2 Bobinage modifié (prises de court-circuit) B.3 Jeu de rotors interchangeables B.4 Système d acquisition C L environnement virtuel d expérimentation «IMSimKernel» 233 C.1 Introduction C.2 E.V.E. des machines asynchrones C.2.1 Principe d auto-génération du modèle C.2.2 Principe de simulation C.2.3 Implémentation C.2.4 Les méthodes décrivant le comportement dynamique d un Objet239 C.3 Spécification des scénarii de simulation C.3.1 Spécification d un événement C.3.2 Spécification d un scénario de simulation C.3.3 Un évènement de court-circuit entre deux phases Bibliographie 245 Index 251 xi

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13 Table des figures 1.1 Moteur asynchrone à cage Leroy-Somer Organigramme de défauts statoriques et rotoriques Principe de découplage entre les deux modes : commun (H n (s)) et différentiel ( H i (s)) Modèle global de défauts statoriques et rotoriques Circuit magnétique d une machine asynchrone (à p = 2, 4 encoches/- pôle/phase et 28 barres) Analogie entre circuit électrique et circuit magnétique Réseau de perméances élémentaire autour d une encoche statorique Schéma électrique équivalent de la cage rotorique Schéma en coupe d un enroulement diamétral statorique ( conducteurs allé et cxonducteurs retour) Théorème d ampère et f.m.m dans l entrefer f.m.m d un enroulement diamétral Schéma en coupe d un enroulement quelconque f.m.m d un enroulement quelconque Calcul des mutuelles de deux enroulements quelconque Schéma en coupe d un bobinage imbriqué d une machine à p = 2 et N e = Schéma développé d un bobinage imbriqué à p = 1 (N e = 3) Schéma développé du bobinage imbriqué d une machine à p = 2 (N e = 3) Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires et de chaque paire de pôles de la phase a Fonctions de répartition de l inductance surfacielle globales de la phase a Schéma développé du bobinage concentrique d une machine à p = 1 (N e = 3) Schéma développé du bobinage concentrique de la phase a d une machine à p = 3 (N e = 4) Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires de la phase a Fonctions de répartition de l inductance surfacielle globales et élémentaires de la phase a xiii

14 2.16 Modèle électrique d un enroulement élémentaire Modèle électrique d une bobine Modèle électrique d une phase à p paires de pôles Modèle électrique d un stator à N phases Modèle électrique d un rotor à cage Quelques inductances mutuelles entre le stator et la boucle rotorique N Inductances mutuelles entre la phase N 1 et trois boucles rotoriques Le principe de choix des mailles pour un stator en étoile Les N mailles adoptées pour un stator en «triangle» Choix du mode de couplage de l alimentation Schéma développé du bobinage du stator de la machine du banc d essai Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires de la phase Fonctions de répartition de l inductance par pôle et globale de la phase Modèle électrique d un stator triphasé à p = 2 et N e = Schématisation multi-polaires du stator Inductances mutuelles de phase et de bobines entre la phase 1 et la boucle rotorique N 1 au cours d un démarrage Les valeurs prises par la dérivé de la mutuelle entre la phase 1 et la boucle rotorique N 1 au cours d un démarrage Un aperçu des mutuelles stator-rotor au niveau des bobines au cours d un démarrage Un aperçu des mutuelles stator-rotor au niveau des phases, au cours d un démarrage Inductances mutuelles entre la phase N 1 et trois boucles rotoriques au cours d un démarrage Mode de couplage du stator Apparition des ondulations de vitesse au cours de démarrage Nuage de points des pas de calcul dynamiques lors d un démarrage à vide C em en fonction de la vitesse angulaire au cours d un démarrage à vide C em à vide et en pleine charge (C r = 7Nm à t=0.5s) Incidence de la variation de l entrefer sur le courant de magnétisation Incidence de la variation de l entrefer sur le courant en pleine charge Incidence de la variation de l entrefer sur le déphasage à vide Incidence de la variation de l entrefer sur le déphasage en pleine charge Incidence de la variation de l entrefer sur les inductances mutuelles de phases Incidence de la variation de l inductance de fuites statoriques sur le glissement en pleine charge Incidence de la variation de l inductance de fuites statoriques sur le déphasage en pleine charge xiv

15 3.23 Incidence de la variation des fuites statoriques sur le démarrage de la machine Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le courant statorique en pleine charge Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur les courants rotoriques en pleine charge Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le glissement en pleine charge Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le déphasage en pleine charge Incidence de la variation des fuites rotoriques sur le démarrage de la machine Incidence de la variation des résistances de barres rotoriques sur le glissement en pleine charge Déphasage introduit par le filtre Courant actif statorique avec et sans pertes fer (à vide) Courant actif statorique avec et sans pertes fer (en plein charge) Courant réactif expérimental et de simulation à vide Déphasage entre tensions et courants statoriques de simulation et expérimental Vitesse angulaire à vide et en pleine charge (C r = 7Nm à t = 0.7s) Analyse spectrale de I ph 1 de simulation en pleine charge Analyse spectrale de I ph 1 en pleine charge sur une plage de [0 1500] Hz Modèle électrique d un enroulement avec un défaut de court-circuit de n d xyz spires Les boucles adoptées pour un enroulement en défaut Modèle électrique d une bobine en présence de C-C Modèle électrique d une phase en présence de C-C Modèle électrique de l enroulement qui sera en court-circuit avec la carcasse de la machine Modèle électrique de la bobine qui sera en contact avec la carcasse Modèle électrique de la phase en C-C avec la carcasse Les mailles adoptées pour un stator en étoile Les mailles adoptées pour un stator en «triangle» Calcul des inductances mutuelles entre deux enroulements quelconques, en présence d excentricité Inductances mutuelles M1 1 Ph et M111 1 d en fonction de la variation de n d Court-circuit de spires simple de n d 111 = 29 spires Court-circuit de spires simple de n d 114 = 29 spires Courant de défaut I114 cc en fonction du nombre de spires en court-circuit Courant dans les spires court-circuitées au cours de la simulation du scénario xv

16 5.6 Courants dans la phase en défaut Incidence d un court-circuit sur le courant dans les phases saines Incidence d un court-circuit de spires sur le déphasage entre les tensions et les courants de lignes Analyse spectrale du courant dans la phase Analyse spectrale du courant dans la phase en défaut (phase 2 ) Analyse spectrale du courant dans la résistance R214 cc Analyse spectrale du courant dans la phase en défaut [0..175]Hz Courants statoriques au cours de la simulation du scénario Courants de branches au cours de la simulation du scénario Courants expérimentaux lors d un défaut de C-C de 27 spires sur la phase Φ x expérimentaux lors d un défaut de C-C de 27 spires sur la phase Courants statoriques au cours de la simulation du scénario Courants de branches au cours de la simulation du scénario Déphasages entre tensions et courants de simulation Tensions appliquées aux boucles de résolution (scénario 5.6) Courants dans la phase en défaut Courants dans les phases saines Courant I1 d = I114 d (dans les 13 spires de l enroulement 114 et dans les enroulements d indices 12z, z {1..4}) au cours de la simulation du scénario Déphasage entre sources de tension et courants de ligne lors d un défaut de C-C entre phase et carcasse Courants dans la cage rotorique au cours de la simulation du scénario Apparition des ondulations sur la vitesse de la machine Incidence d une rupture de barres sur les courants statoriques en simulation (scénario 5.7) Incidence d une rupture de deux barres sur les courants statoriques expérimentaux Analyse spectrale de I ph 1 [0-100]Hz (simulation) Spectre de courant statorique de simulation et expérimental [0-100]Hz (rupture de 2 barres) Analyse spectrale de I ph 1 en présence d une rupture de 2 barres (simulation) Analyse spectrale du courant dans la phase a en présence d une rupture de 2 barres (expérimentation) B.1 Banc d essais (stator à bobinage modifié) B.2 Schéma développé du bobinage d un stator avec prises de C-C éloignées229 B.3 Schéma développé du bobinage du stator avec prises de C-C rapprochées230 B.4 Jeu de rotor interchangeable (avec et sans défaut) xvi

17 C.1 Génération incrémentale du modèle selon les paramètres topologiques de la machine C.2 «IMSimKernel» xvii

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19 Liste des tableaux 2.1 Perméance d encoche en fonction de la forme géométrique de l enroulement Perméance de tête d enroulement en fonction de type du bobinage D alim selon le mode de couplage de la machine Le jeu de paramètres introduit au MétaModèle Fréquences d encoches significatives (Hz) Estimation paramétrique du Mod.C Estimation paramétrique de la M.AS.Réelle et [D] enr Enr xyz en fonction du nombre de spires court-circuitées d un enroulement élémentaire ([U], [I], [R], [L]) enr xyz 4.2 [M] enr x i y i z i x j y j z j en fonction du nombre de spires court-circuitées de l un et/ou de l autre Matrice des inductances mutuelles «enroulement/boucle rotorique» en fonction du nombre de spires court-circuitées de l enroulement Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de n d Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de n d B.1 Caractéristiques de la M.AS.Réelle xix

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21 Introduction générale Les machines électriques tournantes occupent une place prépondérante dans tous les secteurs industriels. Les machines asynchrones triphasées à cage d écureuil sont les plus fréquemment utilisées en raison de leur robustesse, de leur simplicité de construction et de leur bas coût. Néanmoins, celles-ci subissent au cours de leur durée de vie un certain nombre de sollicitations externes ou internes qui peuvent les rendre défaillantes. Grâce à sa grande flexibilité, la simulation est l outil privilégié pour évaluer les performances et le comportement des systèmes sous des conditions extrêmes ou en mode de défaillance. Il faut noter que la simulation ne peut exister sans modélisation, en effet, la simulation n est autre que la mise en application d un modèle bien déterminé. En outre, l un des objectifs les plus importants, dans le cadre du diagnostic, concerne la mise au point de modèles de simulation les plus fiables possibles, représentant le fonctionnement défaillant de la machine. L étape de modélisation s avère donc indispensable pour la caractérisation et la maîtrise des phénomènes qui peuvent y apparaître. La modélisation et la simulation de la machine asynchrone a fait l objet de nombreux travaux de recherche, que ce soit dans le but de dimensionnement, de la commande ou du diagnostic. La diversité des objectifs a fait apparaître plusieurs techniques de modélisation et d outils de simulation, dont chaque type de modélisation est plus ou moins adapté à un domaine plus que les autres. Mais ces outils sont souvent trop spécifiques à une topologie ou une machine bien déterminée. Il serait cependant intéressant de disposer d un outil simple et générique, pouvant servir comme un banc d expérimentation et de test des machines asynchrones, que ce soit en mode sain ou en présence de défauts. Ces défaillances impliquent générale- 1

22 2 Introduction générale ment une modification de la topologie de la machine, cette modification topologique prend l une des formes suivantes : un court-circuit entre les spires d une phase, un court-circuit entre deux phases, un court-circuit entre une phase et la masse, une rupture des conducteurs statoriques ou une rupture des conducteurs rotoriques. L objectif de la création de simulateurs fins est de permettre la compréhension des phénomènes physiques mis en jeu, la prédiction de la dégradation des performances lors de l occurrence de défaillances, l extraction et l analyse des signatures de défaillances, ainsi que de proposer un environnement d expérimentation virtuelle pour la mise au point de méthodes de surveillance et de diagnostic. Des travaux initiaux ont montré que le modèle de Park modifié permet de représenter, dans certains cas, avec une précision acceptable le fonctionnement sain et en défaut de la machine asynchrone Schaeffer (1999), Bachir (2002). Mais, ce modèle simplifié prend des hypothèses de calcul pour négliger certains termes et considère les enroulements de la machine de façon globale sans prendre en considération les spécificités du bobinage. Afin d avoir des modèles plus fins et plus réalistes nous pouvons avoir recours à des techniques se basant sur la modélisation par éléments finis. Ces modèles assez précis sont très complexes à mettre en œuvre et ne sont pas adaptés pour la modélisation que ce soit en vue de la commande ou du diagnostic de quelques défauts d une machine asynchrone Devanneaux (2002), Didier (2004). Cette technique de modélisation par éléments finis est plus rigoureuse mais présente plusieurs handicaps : Elle est très liée aux dimensions de la machine et ne représente qu une machine bien précise, Elle manque de flexibilité : il faut modifier la saisie de la machine pour chaque type de défauts, Complexité des logiciels à éléments finis (l élaboration d un modèle nécessite des connaissances techniques de la machine), Elle est coûteuse en temps de calcul et en ressources logicielles. Elle est difficilement utilisable en boucle fermée. Pour prendre en compte la géométrie de la machine, sans utiliser la modélisation par éléments finis, il existe une méthode analytique des Circuits Électriques Magnétiquement Couplés (CEMC) qui permettent de considérer chaque partie des bobinages en fonction du nombre de paires de pôles, pour le stator du nombre d encoches par pôle et par phase, pour le rotor du nombre de barres,... Les deux principaux inconvé-

23 Introduction générale 3 nients de cette méthode, est que la description du modèle devient vite très complexe par la taille des matrices et qu elle est unique pour chaque machine (comme pour la méthodes par éléments finis). En plus, lorsque l on veut modéliser un défaut (style court-circuit statorique), il faut redéfinir toutes les matrices de description. Mais, la description de ces matrices (avec ou en présence de défaut) suit une méthodologie bien précise qui dépend essentiellement des éléments géométriques de la machine. Aujourd hui, avec l apport du génie logiciel, on peut donc facilement demander à un logiciel de construire le modèle à l aide de cette méthodologie de construction. Donc, c est cet objectif que nous nous sommes fixés dans cette thèse. Nous allons dans un premier temps faire la synthèse d une méthodologie de modélisation, multienroulements et multi-paires de pôles, de la machine asynchrone avec et sans défaut et dans un deuxième temps concevoir un MétaModèle, à l aide d outils issus du génie logiciel, ayant la capacité de construire, d une manière autonome, le modèle complet de la machine en absence et en présence de défaillances en prenant en compte la géométrie de la machine. Organisation du mémoire : L objectif du premier chapitre est d expliquer notre démarche qui nous a amené à proposer ces recherches sur la création d un simulateur de la machine asynchrone en présence de défauts ayant la capacité d avoir une description fine de la machine en prenant en compte tous les éléments des bobinages statorique et rotorique. Pour cela, nous rappelons la constitution de la machine asynchrone et nous présentons brièvement les différents types de défaut pouvant l affecter. Ensuite, nous abordons les différentes techniques de modélisation qui ont initiées notre démarche en mettant l accent sur la spécificité de ces méthodes en terme de précision et de complexité de mise en œuvre. Le deuxième chapitre développe la méthodologie des Circuits Électriques Magnétiquement Couplés (CEMC) que nous avons retenu avec une modélisation multienroulements (3ME) de la machine asynchrone. Cette méthodologie décrit le principe avec lequel le MétaModèle, ici développé, opère afin de proposer un modèle spécifique à la topologie constitutive et géométrique de la machine à simuler. Il s agit d une modélisation purement analytique, l idée est de générer les mutuelles intrinsèques au stator, intrinsèques au rotor, et les mutuelles stator/rotor, en se basant sur la distribution du champ magnétique dans l entrefer selon la répartition spatiale du bobinage de cette machine. Il est aussi essentiel de proposer une méthodologie de prise en considération de l interconnexion électriques, entre les enroulements, les

24 4 Introduction générale paires de pôles et les phases, par des matrices de passage, permettant ainsi de faire le passage entre les différentes couches d abstraction du modèle. Le troisième chapitre montre la puissance de l outil logiciel (IMSimKernel), qui n est autre que l implémentation du MétaModèle décrit dans le chapitre 2, et présente la validation d un modèle généré par ce noyau de simulation. La première partie de ce chapitre concerne la présentation des étapes empruntées par cet outil de simulation durant le processus de génération d un modèle de simulation pour une machine asynchrone bien spécifique. Cette étape est poursuivie par l expérimentation de l influence de la variation des paramètres les plus influents et les plus difficiles à identifier sur le comportement de ce modèle. A la suite de cette expertise, nous proposons le jeu de paramètres qui nous a permis de nous rapprocher le plus prêt possible du point de fonctionnement de la machine expérimentale. Dans la dernière partie de ce chapitre, on expose les résultats de validation expérimentale de ce modèle. Le quatrième chapitre est celui qui permet de montrer la puissance de la méthodologie qui a été développée dans le chapitre 2 pour une machine saine, en l extrapolant pour une machine en défaut. Évidemment, il faut enrichir la méthodologie de modélisation multi-enroulements, présentée dans le chapitre 2, en exposant le principe de la prise en considération de la présence d un défaut. Ce défaut peut être un défaut de court-circuit de spires au sein d une même phase, un court-circuit entre deux phases, un court-circuit entre phase et masse ou une rupture de barres. Nous montrons alors comment prendre en compte chacune de ces altérations topologiques en se basant sur la modélisation initiale (saine). Les résultats obtenus permettent la prédiction de la dégradation des performances et, en partie, la compréhension des phénomènes physiques mis en jeu lors de l occurrence de défaillances simples ou multiples. Le cinquième chapitre présente la validation expérimentale de la prise en considération des défauts par le MétaModèle. Cette validation est basée sur la comparaison des résultats de simulation avec celles issues d expérimentation. Ces essais expérimentaux sont réalisés sur deux machines asynchrones triphasées à cage d écureuil issues d une même série. Les deux sont dotées de prises de connexion additionnelles sur le bobinage statorique (deux phases) afin de permettre de provoquer des court-circuits au sein du bobinage statorique. Les points intermédiaires de la première sont situés à une extrémité de l enroulement avec un nombre de spires relativement important, et pour la deuxième, ces points sont situés au milieu du bobinage avec un nombre de spires très réduit. On dispose aussi d un jeu de rotors

25 Introduction générale 5 interchangeables (applicable aux deux machines), dont chacun présente un taux de défaillance différent (nombre et lieu des ruptures de barres). Enfin, une comparaison entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux est effectuée en vue d évaluer la performance de l approche. En conclusion les résultats obtenus confirment globalement le bon comportement de la modélisation adoptée et valide la méthodologie de description avec ou sans défaut ainsi que le MétaModèle développé.

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27 Sommaire 1.1 Introduction Présentation du système d étude Panorama des méthodes de modélisation des machines asynchrones Conclusion Chapitre 1 Chapitre introductif Ce chapitre introductif nous permet de situer notre démarche par rapport aux autres travaux de recherche dans le domaine du diagnostic des machines asynchrones en s appuyant sur un simulateur pour expérimenter les techniques de surveillance. Au début, il rappelle la constitution de la machine asynchrone, ainsi que les principaux défauts électriques qui peuvent la toucher. Ensuite nous abordons les différentes techniques de modélisation qui ont initiées notre démarche en mettant l accent sur la spécificité de ces méthodes en terme de précision et de complexité de mise en œuvre. A la fin, nous précisons le modèle retenu dans la suite de cette thèse. 7

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29 1.1. Introduction Introduction Les différentes approches de modélisation reposent sur la résolution des équations de l électromagnétisme et de la mécanique. Les différences proviennent des hypothèses simplificatrices qu il est possible de faire, en fonction du domaine de fréquence concerné, et de la topologie (structure physique) du système étudié, c està-dire en fonction des objectifs de la modélisation. Nous nous proposons de présenter, dans ce chapitre, une synthèse des différents travaux de modélisation de la machine asynchrone en défaut. Nous commençons par effectuer quelques rappels sur la constitution de la machine asynchrone, et ensuite nous présentons brièvement les différents types de défaut pouvant affecter cette dernière. Enfin, nous y exposons les principales méthodes de modélisation de la machine asynchrone ainsi que leurs champs d application et quelques éléments de comparaison en terme de précision et de complexité de mise en œuvre. 1.2 Présentation du système d étude Constitution des machines asynchrones On se propose, dans cette section, de rappeler brièvemement la constitution de la machine asynchrone. Cette description va nous permettre de comprendre de quelle façon le système est réalisé physiquement. Les machines asynchrones peuvent se décomposer, du point de vue mécanique, en trois parties distinctes : le stator, partie fixe de la machine où est connectée l alimentation électrique ; le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge mécanique ; les paliers, partie mécanique qui permet la mise en rotation de l arbre moteur Le stator Le stator de la machine asynchrone est constitué de tôles d acier dans lesquelles sont placés les bobinages statoriques. Pour les petites machines, ces tôles sont découpées en une seule pièce, alors qu elles sont découpées par sections pour les machines

30 10 Chapitre 1. Chapitre introductif Fig. 1.1 Moteur asynchrone à cage Leroy-Somer de puissance plus importantes. Ces tôles sont habituellement recouvertes de vernis pour limiter l effet des courants de Foucault, elles sont assemblées les unes aux autres à l aide de rivets ou de soudures pour former le circuit magnétique statorique. Les enroulements statoriques sont placés dans les encoches prévues à cet effet. Ces enroulements peuvent être insérés de manière imbriqué, ondulé ou encore concentrique Loutzky (1969) (sections et 2.2.4). L enroulement concentrique est souvent utilisé lorsque le bobinage de la machine asynchrone est effectué mécaniquement. L isolation entre les enroulements électriques et les tôles d acier s effectue à l aide de matériaux isolants qui peuvent être de différents types suivant l utilisation de la machine asynchrone. Le stator d une machine asynchrone est aussi pourvu d une boîte à bornes à laquelle est reliée l alimentation électrique. La figure 1.1 présente, entre autre, les différentes parties de constitution du stator d une machine asynchrone.

31 1.2. Présentation du système d étude Le rotor Le circuit magnétique rotorique est constitué de tôles d acier qui sont, en général, de même origine que celles utilisées pour la construction du stator. Les rotors de machines asynchrones peuvent être de deux types : bobinés ou à cage d écureuil. Les rotors bobinés sont construits de la même manière que le bobinage statorique 1. Les phases rotoriques sont alors disponibles grâce à un système de baguesbalais positionné sur l arbre de la machine. Concernant les rotors à cage d écureuil, les enroulements sont constitués de barres de cuivre pour les moteurs de grande puissance ou d aluminium pour les petits. Ces barres sont court-circuitées à chaque extrémité par deux anneaux de courtcircuit, fabriqués en cuivre ou en aluminium. On présente à la figure 1.1 les différents éléments de constitution d un rotor à cage d écureuil. Dans le cas des rotors à cage d écureuil (figure 1.1), les conducteurs sont réalisés par coulage d un alliage d aluminium ou par des barres massives de cuivre préformées et frettées dans les tôles du rotor. Généralement il n y a pas d isolation entre les barres rotoriques et le circuit magnétique. Mais la résistivité de l alliage utilisé pour la construction de cette cage est suffisamment faible pour que les courants ne circulent pas à travers les tôles magnétiques, sauf lorsque la cage rotorique présente une rupture de barre Muller et Landy (1994) Les paliers Les paliers sont constitués de roulements à billes et de flasques. Les roulements à billes sont insérés à chaud sur l arbre, permettant ainsi d assurer le guidage en rotation de l arbre. Les flasques, moulés en alliage de fonte, sont fixés sur le carter statorique grâce à des boulons ou des tiges de serrage comme le montre la figure 1.1. L ensemble ainsi établi constitue alors la machine asynchrone Les défaillances des machines asynchrones Bien que la machine asynchrone soit réputée robuste, elle peut parfois présenter différents types de défauts. Ces défauts se déclarent dans les différentes parties de la 1 insertion des enroulements dans les encoches rotoriques

32 12 Chapitre 1. Chapitre introductif machine en commençant par la connexion des phases statoriques et en finissant par l accouplement mécanique du rotor à la charge. Ainsi, dans le but d une présentation synthétique, nous les avons classés dans deux familles principales : les défauts mécaniques et les défauts électriques. Ces défauts sont donc rappelées brièvement dans l organigramme de la figure 1.2. Défauts Mécaniques Électriques Statoriques Rotoriques Oui Rotor bobiné? Non Excentricité statique dynamique mixte Court-circuit inter-spires entre deux phases entre phase et terre Rupture de barres ou d anneaux de court-circuit Fig. 1.2 Organigramme de défauts statoriques et rotoriques Défaillances mécaniques Les conséquences des défauts mécaniques se manifestent généralement au niveau de l entrefer : par des défauts d excentricité statique, dynamique ou mixte : Le défaut d excentricité statique est généralement dû à un désalignement de l axe de rotation du rotor par rapport à l axe du stator, dont la cause la plus fréquente est un défaut de décentrage des flasques. Le défaut d excentricité dynamique peut être causé par une déformation du cylindre rotorique, une déformation du cylindre statorique ou la détérioration de roulements à billes. L excentricité mixte, la plus fréquente, est la combinaison d une excentricité statique et d une excentricité dynamique.

33 1.2. Présentation du système d étude 13 Une analyse vibratoire, une analyse par ultrason, une analyse fréquentielle des courants absorbés ou simplement une analyse visuelle de l arbre de la machine permet de détecter ces types de défaillance. Nous pouvons trouver dans la littérature des ouvrages très complets qui traitent ces divers problèmes Bigret et Féron (1995), Bonnett (1999; 2000) Défaillances électriques Au niveau du stator Les défauts statoriques se manifestent sous la forme d un court-circuit interspires, d un court-circuit entre deux phases ou d un court-circuit entre une phase et la carcasse. Ces défauts ont des origines diverses : thermique, mécanique, électrique ou encore environnementale. A titre d exemple, le déséquilibre des tensions d alimentation de la machine ou encore les démarrages fréquents provoquent un échauffement excessif des bobinages statoriques conduisant à terme à la destruction de l isolant. De même, les efforts électrodynamiques que subissent les conducteurs des phases, se traduisent par des vibrations mécaniques ayant pour effet de détériorer l isolant. Sur le plan électrique, les fronts de tensions générés par les convertisseurs statiques accentuent le phénomène de décharges partiels et réduisent, par conséquent, la durée de vie de l isolant des fils. Quand aux origines environnementales, nous pouvons citer l humidité, les produits corrosifs ou abrasifs, Au niveau du rotor Un rotor bobiné peut être touché par les mêmes défauts que le stator. Pour un rotor à cage les défauts se résument à la rupture de barres ou à la rupture d anneaux de court-circuit Bonnett et Soukup (1992). Ces ruptures de barres ou de portions d anneau peuvent être dues, par exemple, à une surcharge mécanique (démarrages fréquents,...), à un échauffement local excessif ou encore à un défaut de fabrication (bulles d air ou mauvaises soudures).

34 14 Chapitre 1. Chapitre introductif 1.3 Panorama des méthodes de modélisation des machines asynchrones Les modèles décrivant le fonctionnement de la machine asynchrone en présence de défauts peuvent être groupés en modèles physiques et en modèles comportementaux : Les modèles physiques se basent sur les lois de l électromagnétisme pour décrire le fonctionnement de la machine. Ces modèles peuvent varier en complexité et/ou en précision selon la méthode de modélisation utilisée. Les méthodes les plus utilisées dans ce cadre de modélisation sont : La méthode des éléments finis, la méthode des réseaux de perméance, la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés. Les modèles comportementaux quant à eux, modifient les modèles issus de la physique en y introduisant des paramètres supplémentaires qui permettent la détection et, dans certains cas, la localisation du défaut observé Yahoui et Grellet (1996), Schaeffer (1999), Bachir (2002). Ces modèles comportementaux peuvent être directement utilisés dans les procédures de diagnostic, dans ce cadre de modélisation nous pouvons citer : les modèles compacts électrique et thermique servant au diagnostic par estimation paramétrique, la mémorisation de la forme des signaux captés aux niveaux de machines saines et en défauts, afin de les exploiter ultérieurement pour le diagnostic par reconnaissance des formes. Dans cette partie, nous avons choisi de présenter le modèle de Park étendu rencontré pour le diagnostic des défauts par estimation paramétrique, la méthode des éléments finies, la méthode des réseaux de perméances et la modélisation par des circuits électriques magnétiquement couplés Modèle de Park étendu dédié au diagnostic Ce modèle s appuie sur la transformation de Park pour l étude des machines asynchrones en régime dynamique, et se base sur les hypothèses simplificatrices suivantes Caron et Hautier (1995) : Hypothèse 1.1 la répartition de la force magnétomotrice est sinusoïdale,

35 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 15 la machine est supposée symétrique (à grandeurs périodiques), le rotor est représenté par un bobinage triphasé équivalent, les pertes fer sont négligées, l entrefer est lisse, les circuits magnétiques sont non saturés, il n y a pas d effet de peau. La transformation de Park permet d aboutir à un système d équations dynamiques compact. Ce modèle fait notamment appel à un certain nombre de variables équivalentes et est, en général, d une mise en œuvre aisée ; en effet, les hypothèses de symétrie et de périodicité permettent bien souvent une réduction notable de l ordre des variables pertinentes. Prenons l exemple de modèle Park de la machine asynchrone saine, écrit dans un référentiel lié au rotor, l équation différentielle régissant le comportement de système équivalent se présente alors sous la forme : avec Ẋ(t) = A(ω).X(t) + B.u(t) Y = C.X(t) (1.1) X = [ i ds i qs ϕ dr ϕ qr ] T : vecteur d état (1.2) u = u ds, Y = i ds : entrées et sorties du modèle électrique (1.3) u qs i qs Rs+Rr R L f ω r L f.l m ω A = ω L f L f.l m Rs+Rr L f ω L f R r R r 0 Rr L m 0 0 R r 0 Rr L m (1.4) 1 B = L f L f 0 0 T, C = Dans le cadre du diagnostic par estimation paramétrique et d après Schaeffer

36 16 Chapitre 1. Chapitre introductif et al. (1998a), Schaeffer (1999), Bachir (2002), la machine asynchrone présente en plus d un comportement dynamique conventionnel, un comportement dû au défaut. Ainsi, ces études ont permis l élaboration de modèles permettant le découplage de deux modes (fig. 1.3) : Le mode commun, l image du comportement sain de la machine, est exprimé dans le repère triphasé ou dans le repère de Park, et tire ses paramètres des composants électriques de la machine. le mode différentiel est une partie supplémentaire, dû à la présence d un défaut et permet d exprimer l écart entre le mode commun et le fonctionnement défaillant de la machine. L intérêt majeur de ce mode est que l identification de ses paramètres permet la détection et la localisation du défaut. Rappelons que le principe de cette méthodologie est décrit dans Bachir (2002), Bachir et al. (2008). Fig. 1.3 Principe de découplage entre les deux modes : commun (H n (s)) et différentiel ( H i (s)) Deux modèles de défauts ont été définis : le premier permet de modéliser un courtcircuit simple 2 sur les trois phases à travers trois quadripôles de défaut, le second tient compte du déséquilibre de la matrice des résistances rotoriques en situation de défaut de type rupture de barres. Cette modélisation découle de la notion de mode «différentiel» traduit par la création d un champ magnétique supplémentaire dans la machine en situation de défaut. Ainsi un modèle global est défini en associant les deux modèles de défaut avec le modèle nominal (fig.1.4). Ce modèle permet une surveillance généralisée de la machine asynchrone à cage. Plusieurs travaux se sont basés sur ce modèle et ont permis de le confronter à l expérimentation, précisant ainsi leurs domaines de validité ; en boucle ouverte Schaeffer et al. (1998b), Casimir et al. (2005), Bachir et al. (2006) et en boucle fermée Bazine (2008). 2 entre les spires d une même phase

37 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 17 Fig. 1.4 Modèle global de défauts statoriques et rotoriques Nous aurons besoin de ce type de modélisation, dans la section et dans le chapitre 5, lors de la validation par estimation paramétrique de notre MétaModèle. Pour ne pas alourdir cette section, nous nous contentons d exposer brièvement le modèle compact intégrant les deux types de défaut, ainsi que le principe de la détection et de la localisation de ces défauts. La représentation d état du modèle électrique de ce système, avec défauts rotorique et statorique, dans le repère lié au rotor, s écrit alors : avec ˆX(t) = A(ω). ˆX(t) + B.u(t) Ŷ = C. ˆX(t) + D.u(t) (1.5) X = [ ] T i ds i qs ϕ dr ϕ qr : vecteur d état (1.6) u = u ds, Ŷ = îds : entrées et sorties du modèle électrique (1.7) u qs î qs A = L 1 f (R ( s.i 2 + R eq ) L 1 f Req L 1 m ωp ( π 2 )) R eq ( R eq L 1 m ωp ( π 2 )) 1 B = L f L f 0 0 T, C =

38 18 Chapitre 1. Chapitre introductif D = 3 k=1 2η cck 3R s P ( θ)q(θ cck )P (θ) où [R eq ] = R r ( I 2 α ) 1 + α Q(θ 0)) (1.8) Avec, pour le stator le rapport de court-circuit noté η cck = ncc k n s est égal au rapport du nombre de spires en court-circuit de la kème phase sur le nombre total de spires dans une phase statorique sans défaut. Ce paramètre permet de quantifier le déséquilibre et d obtenir le nombre de spires en court-circuit ; l angle électrique, noté θ cck, repère le bobinage en court-circuit par rapport à l axe de référence de la phase a s. Ce paramètre permet la localisation du bobinage en défaut et ne peut prendre que les trois valeurs 0, 2π 3 ou 2π 3, correspondant respectivement à un court-circuit sur les phases a s, b s ou c s ; la matrice Q(θ cck ) permet de définir le dipôle résistif [R cck ], représentant le défaut de court-circuit du bobinage k : [R cck ] 1 = 2η cc k 3R s P ( θ)q(θ cck )P (θ) (1.9) cos(θ Q(θ cck ) = cck ) 2 cos(θ cck ) sin(θ cck ) (1.10) cos(θ cck ) sin(θ cck ) sin(θ cck ) 2 pour le rotor la résistance équivalente R eq au rotor est la mise en série de la résistance saine R r et de la matrice résistance de défaut R défaut, l angle électrique noté θ 0 repère le «bobinage» en défaut. Ce paramètre permet la localisation de la barre en défaut au rotor ; le rapport de défaut noté η 0 est égal au rapport du nombre de spires en défaut sur le nombre total de spires dans une phase triphasée rotorique fictive sans défaut. Ce paramètre permet de quantifier le déséquilibre et d obtenir le nombre de barres cassées. Le nombre de spires au rotor étant fictif, pour un rotor de N r barres, si on considère chaque maille définie par la figure 1.8 comme une spire rotorique, une phase fictive est donc constituée de Nr 3 barres. Pour n bc barres cassées

39 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 19 sur une phase, l expression du rapport de défaut η 0 est donnée par : η 0 = 3n bc n b α = 2 3 η cos(θ 0 Q(θ 0 ) = 0 ) 2 cos(θ 0 ) sin(θ 0 ) cos(θ 0 ) sin(θ 0 ) sin(θ 0 ) 2 (1.11) Ce modèle de défaut permet la détection et la localisation de spires en courtcircuit à partir des rapports η cck ainsi que la quantification du nombre et de la position de barres cassées à travers le rapport η 0 et l angle θ 0. Ainsi, la connaissance de ces paramètres par estimation paramétrique permet une surveillance généralisée de la machine asynchrone Bachir et al. (2006), Bazine (2008). Les paramètres à estimer sont donc : θ = [R s R r L m L f η cc1 η cc2 η cc3 η 0 θ 0 ] T (1.12) Bien que, le modèle de Park soit bien adapté aux besoins de la commande, de l identification et du diagnostic, il se base sur des hypothèses très restrictives ; il néglige les phénomènes liés à la géométrie complexe 3 de la machine asynchrone Méthode des éléments finis La méthode des éléments finis est une approche qui requiert un temps de calcul important. Le circuit magnétique de la machine est découpé en plusieurs éléments de dimension faible pour permettre de considérer le matériau magnétique linéaire sur les surfaces correspondantes. Dans le domaine du diagnostic de la machine asynchrone, la méthode des éléments finis est utilisée dans le but de comprendre et de quantifier les conséquences locales d un défaut sur les différentes parties de la machine Houdouin et al. (1998), Bangura et Demerdash (1999). A titre d exemple, la méthode des éléments finis permet l étude des effets locaux du défaut de rupture de barres de la cage rotorique à savoir un échauffement local excessif dû à l augmentation des courants circulant dans les barres voisines et une forte sollicitation électrodynamique de ces mêmes barres voisines pouvant conduire à la propagation du défaut. De même, la méthode des éléments finis sert à appréhender 3 effet d encoches, répartition de bobinage, défaut non symétrique...

40 20 Chapitre 1. Chapitre introductif les impacts magnétique et thermique locaux du défaut de court-circuit inter-spires dans les phases statoriques. L analyse des phénomènes électromagnétiques est basée sur la résolution des équations de Maxwell. On distingue deux techniques principales de résolution des équations des champs électromagnétiques Boumegoura (2001) : Différences finies : le maillage est un quadrillage rectangulaire sur les nœuds pour lesquels est effectuée la discrétisation spatiale de l équation différentielle, associée à la décomposition en série de Taylor du potentiel scalaire. Éléments finis : le principe fondamental réside dans le découpage du domaine d étude en domaines élémentaires de dimension finie. Sur chaque domaine appelé élément fini, le potentiel est approché par un polynôme de degré faible. La résolution se ramène alors à la minimisation d une fonction liée à l énergie emmagasinée dans les éléments. L utilisation de méthode de calcul par éléments finis prend en compte la géométrie de la machine, la saturation des matériaux magnétiques, ainsi que l effet de peau dans les barres rotoriques. Les équations qui régissent le champ électromagnétique dans les systèmes électromagnétiques sont les équations de Maxwell, accompagnées des relations constitutives du milieu considéré. Actuellement, des logiciels éléments finis, permettant de résoudre des problèmes magnétiques, sont proposés couramment sur le marché. Ils se répartissent principalement en trois catégories : Les logiciels bidimensionnels statiques (Opera2D, Flux2D, Maxwell,...) où l équation magnétique est résolue seule. Les logiciels bidimensionnels dynamiques (Flux2D,...) où les équations magnétiques et électriques sont résolues simultanément afin de tenir compte du mouvement. Les logiciels tridimensionnels (Flux3D, TOSCA, ELECTRA,...) permettent de prendre en compte les effets de bord ou de calculer des structures complexes. Prenons le cas de logiciel Flux2D il permet de réaliser le schéma du circuit magnétique en un plan de coupe perpendiculaire à l axe de rotation de la machine.

41 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 21 Ce logiciel résout l équation suivante CED (2009) : avec ( 1 rot [ν r ] µ 0 rot( A ) H c ) + [σ] [ν r ] : est le tenseur de réluctivité magnétique du milieu, A t + grad(v ) = 0 (1.13) µ 0 : perméabilité magnétique du vide (en H/m), A : est le potentiel vecteur magnétique (en W eber/m), H c : est le champ magnétique coercitif (en A/m), [σ] : est le tenseur de conductivité électrique du milieu (en 1/Ω.m), V : est le potentiel scalaire électrique (en V ), t : temps (en s). La figure 1.5 représente le circuit magnétique d un moteur asynchrone. L utilisation de la bande de roulement permet de prendre en compte la rotation du rotor en magnéto-évolutif sans pour autant effectuer un nouveau maillage de la machine à chaque nouvelle position du rotor Boumegoura (2001). Fig. 1.5 Circuit magnétique d une machine asynchrone (à p = 2, 4 encoches/pôle/phase et 28 barres) La considération du comportement électromagnétique local permet d avoir une modélisation plus fine du moteur. La résolution numérique des équations de Maxwell régissant le comportement des champs électromagnétiques et la prise en considéra-

42 22 Chapitre 1. Chapitre introductif tion des équations électriques, permet de réduire les simplifications faites dans les modèles classiques et ainsi d avoir un modèle plus proche de la machine électrique réelle. Certes, Cette technique de modélisation est plus rigoureuse mais présente plusieurs handicaps : Elle est très liée aux dimensions de la machine et ne représente qu une machine bien précise, Elle manque de flexibilité : il faut modifier la saisie de la machine pour chaque topologie de bobinage de la machine, Complexité des logiciels à éléments finis 4, Elle est coûteuse en temps de calcul et en ressources logicielles Méthode des réseaux de perméances On peut également signaler la méthode des réseaux de perméances couplées, qui réalise un compromis entre temps de calcul et précision. La méthode des réseaux de perméances est basée sur l analogie entre le magnétique et l électrique (Fig : 1.6) Delforge-Delmotte (1995). Un circuit de perméances représentant la géométrie de la machine est réalisé dont chaque perméance est calculée à partir d un tube de flux. La détermination de certaines perméances peut nécessiter l utilisation de la méthode des éléments finis, ce qui est notamment le cas des perméances d entrefer. Fig. 1.6 Analogie entre circuit électrique et circuit magnétique C est une représentation moins fine que les éléments finis, mais plus détaillée que la modélisation analytique. L avantage de cette méthode est qu elle permet une résolution numérique plus rapide que les éléments finis qui nécessitent beaucoup de ressources informatiques. Son inconvénient est que, si la paramétrisation des perméances des armatures statoriques et rotoriques est facile, celles des perméances d entrefer nécessitent une étude et un développement particulier. 4 l élaboration d un modèle nécessite des connaissances techniques de la machine

43 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 23 Cette approche permet de prendre en compte les caractéristiques du fer utilisé pour la construction de la machine asynchrone. En effet, le calcul des différentes réluctances ne peut se faire qu en fixant une valeur précise pour la réluctance relative du fer R fer Casimir et al. (2005). Le mouvement de rotation de la machine est pris en compte par l intermédiaire de perméances d entrefer variables selon la position angulaire du rotor. Fig. 1.7 Réseau de perméances élémentaire autour d une encoche statorique Ainsi, la machine asynchrone est décomposée en une association de circuits élémentaires, composés d une dent, d une encoche et de la portion de culasse concernée. Un circuit élémentaire est modélisé par trois perméances (perméance de dent, perméance de culasse et perméance de fuite de pied d encoche) et une source de f.m.m (Fig. 1.7) Delforge-Delmotte (1995), Gillon (1997) Méthode des circuits électriques magnétiquement couplés (CEMC ) Dans l approche de modélisation par les équations des circuits électriques magnétiquement couplés (CEMC), les enroulements constituant le stator et/ou le rotor sont représentés par un circuit électrique équivalent, formé par une inductance en série avec une résistance. Prenons l exemple d une machine asynchrone constituée de N s phases au stator et de N r enroulements au rotor. Le cas d un rotor bobiné est très similaire à la modélisation du stator, nous traitons alors le cas d un rotor à cage constitué par q barres, ce qui nous ramène à N r = q + 1 mailles magnétiquement couplées comme le montre la figure 1.8 Schaeffer (1999), Devanneaux (2002). Avant d établir le modèle, par l approche «circuits électriques magnétiquement couplés» (CEMC ), de la ma-

44 24 Chapitre 1. Chapitre introductif chine asynchrone, nous rappelons brièvement les hypothèses, désormais classiques, retenues : les circuits magnétiques sont non-saturés, les pertes fer sont négligées, les courants inter-barres sont négligeables (tôles magnétiques rotoriques isolées des barres et des anneaux de la cage). Fig. 1.8 Schéma électrique équivalent de la cage rotorique La première hypothèse peut cependant être partiellement contournée par l introduction d un coefficient de saturation dans l expression de l induction d entrefer permettant la prise en compte de la chute de tension magnétique (f.m.m.) dans le fer. En posant : R s : Résistance statorique R r : Résistance rotorique L sp : Inductance propre statorique L rp : Inductance propre rotorique

45 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 25 L sf : Inductance de fuite statorique L rf : Inductance de fuite rotorique M s : Mutuelle inductance inter-phases statoriques M r : Mutuelle inductance inter-phases rotoriques M sr : Mutuelle inductance stator-rotor p : Le nombre de paire de pôles θ : Angle mécanique de la position du rotor θ e : Angle électrique = p θ u s = [ ] T u s 1 u s ph u s N : Tensions statoriques s u r = [u r 1 u r k u r N r ]T : Tensions rotoriques i s = [ ] T i s 1 i s ph i s N : Courants statoriques s i r = [i r 1 i r k i r N r ]T : Courants rotoriques Les équations électriques de la machine asynchrone sont à l origine : [ϕ] = [Ls ] [M sr ] [M rs ] [L r ] ϕs = ϕ r is i r = [L] [I] (1.14) et [U] = us = u r [Rs ] 0 [I] + 0 [R r ] d [ ] [L] [I] dt (1.15) où : [R x ] = [R x ij] avec i, j {1..N x } et x {s, r} (1.16) [L x ] = [L x ij] avec i, j {1..N x } et x {s, r} (1.17) avec Rij x = L x L xp i ij = R x i si i = j 0 si i j + L xf i M x i j si i = j si i j Le comportement mécanique de la machine asynchrone dépend de l inertie J, du couple électromagnétique C em, du couple mécanique résistant C r et de couple de frottement fluide C f = f v Ω r où f v est la constante de frottement fluide.

46 26 Chapitre 1. Chapitre introductif L équation mécanique est définie par : J dω r(t) dt + f v Ω r (t) = C em (t) C r (t) (1.18) Le couple électromagnétique en fonction des trois courants statoriques et des trois courants rotoriques s exprime sous la forme : C em = 1 2 [I]T d[l] dθ [I] (1.19) Le système complet d équations différentielles régissant le fonctionnement de cette machine s écrit : Soit le système équivalent : [L] [U] = ([R] + Ω r )[I] + [L]d[I] θ dt C r = ( 1 [L] [I]t 2 θ )[I] + JdΩ r dt + f vω r 0 = Ω r + dθ dt (1.20) U = AẊ + BX (1.21) avec : U = [U] C r 0 X = [I] Ω r θ (1.22) A = [L] J (1.23) B = [L] ([R] + Ω r θ ) 0 0 ( 1 [L] [I]t 2 θ ) f v (1.24)

47 1.3. Panorama des méthodes de modélisation 27 les inductances propres et mutuelles des différents enroulements ont une place prépondérante dans la mesure où elles contiennent la signature des différents phénomènes pouvant apparaître au sein de la machine asynchrone. Une modélisation précise de ces inductances mènera à un apport d informations supplémentaires sur les signaux de simulation. Nous pouvons classer les techniques de calcul de ces inductances en deux catégories : Semi-Analytique (CEMC-SA) Le calcul des inductances et des mutuelles est assuré par un autre module de calcul indépendant. Ces inductances, éventuellement leurs dérivés, sont enregistrés dans des fichiers, pour des valeurs discrètes de la position angulaire θ du rotor dans l intervalle [0 ; 2π[ Schaeffer (1999), Devanneaux (2002). Analytique (CEMC-A) Les inductances et les mutuelles sont calculées analytiquement au cours de la simulation Lateb (2006). Cette approche offre un bon compromis en terme de précision, prise en considération d un certain nombre de défaut et en temps de calcul. Bien que ce dernier devient plus important en utilisant la méthode de CEMC-A. Nous trouvons dans la littérature (Devanneaux (2002), Didier (2004), Casimir et al. (2005)) plusieurs modèles, basés sur cette technique de modélisation, qui prennent en considération un certain nombre de défauts d origine électromagnétique tels que les défauts de court-circuit entre spires statoriques, les défauts de rupture de barres rotoriques ainsi que les défauts d excentricité statique et dynamique Modèle de CEMC-SA Comme mentionné auparavant cette méthode est basée sur un calcul différé des inductances et de leurs dérivés selon un pas d échantillonnage spatiale bien déterminé. L évolution angulaire des grandeurs magnétiques peut être calculée par plusieurs techniques et plusieurs outils de simulation, à titre indicatif, nous pouvons citer les familles suivantes : les techniques de calcul par éléments finis, l intégration de l induction d entrefer ; on utilise la théorie des fonctions de distribution et de bobinage Devanneaux (2002), Devanneaux et al. (2003), Houdouin et al. (2002), Schaeffer (1999). la définition des mutuelles par des fonctions trigonométriques.

48 28 Chapitre 1. Chapitre introductif Cette méthode permet une représentation satisfaisante de la répartition topologique des différents bobinages de la machine et offre une grande souplesse de modélisation. Quand au calcul des inductances de magnétisation, de toutes les inductances mutuelles, ainsi que des dérivés respectifs à la position angulaire θ(t) courante du rotor, sont généralement calculés par interpolation numérique. Nous pouvons citer aussi d autres techniques basées sur des fonctions Splines comme décrit dans Houdouin (2004). En effet, après un calcul préalable des inductances sur une période mécanique du rotor, les coefficients des fonctions Splines sont déterminés et stockés dans un fichier permettant ainsi un calcul rapide des inductances et de leurs dérivés à chaque pas d intégration du système d équations différentielles Modèle de CEMC-A Dans cette partie, nous présentons une version simplifiée du modèle précédent dans la mesure où les inductances sont calculées analytiquement. L idée la plus intuitive, pour prendre en considération la répartition des enroulements statoriques et rotoriques, est de définir les mutuelles par des fonctions trigonométriques. A titre indicatif, nous présentons la définition trigonométrique suivante de la matrice des mutuelles : avec [M sr ] = [M sr ph k] avec ph {1..N s } et k {1..N r } (1.25) ph k = M sr cos ( θ e + (ph 1) 2π 2π ) + (k 1) N s (N r 1) M sr (1.26) Parmi les techniques qui se basent sur la méthode des CEMC-A, on peut citer la technique de génération des inductances et des mutuelles selon la répartition spatiale de la force magnétomotrice f.m.m. dans l entrefer. 1.4 Conclusion Après quelques rappels sur la constitution de la machine asynchrone, ainsi que sur les défaillances pouvant affecter cette machine, nous nous sommes attardés sur

49 1.4. Conclusion 29 une synthèse de différentes méthodes de modélisation et de diagnostic de la machine asynchrone triphasée en présence de défauts. Il est également intéressant de remarquer que les modes de défaillances précédemment présentés impliquent toujours une modification de la topologie de la machine. Selon la défaillance, cette modification topologique prend l une des formes suivantes : un court-circuit entre les spires d une phase, un court-circuit entre deux phases, un court-circuit entre une phase et la carcasse, une rupture des conducteurs statoriques, ou une rupture des conducteurs rotoriques. La prise en considération de ces changements de la topologie de la machine asynchrone seront traités en détails dans le chapitre 4. Nous avons décidé donc d orienter notre travail vers la synthèse d un modèle dynamique des machines asynchrones en vue de la surveillence et du diagnostic. A ce titre, on n abordera donc ni la synthèse d un modèle de comportement, ni le développement de méthodes dédiées de surveillance et de diagnostic. La synthèse d un modèle physique des machines asynchrones doit permettre d appréhender leur comportement en absence et en présence de défaillances. les objectifs sont les suivants : compréhension des phénomènes physiques mis en jeu et prédiction de la dégradation des performances lors de l occurrence de défaillances, extraction et analyse des signatures de défaillances, disponibilité d une expérimentation virtuelle pour la mise au point de méthodes de surveillance et de diagnostic. Pour ce faire, le développement d un modèle dynamique, flexible et prenant en considération la topologie de la machine a dû être envisagé. Sa description fait l objet de chapitre suivant.

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51 Sommaire 2.1 Introduction Prise en considération de la topologie de la machine Modélisation du stator Modélisation du rotor Modèle global de la machine asynchrone Conclusion Chapitre 2 Méthodologie de modélisation multi-enroulements (3ME) Ce chapitre traite du dilemme entre la rigueur et la simplicité de modélisation des machines tournantes en générale, et des machines asynchrones en particulier. Ce chapitre présente la pierre fondamentale de nos travaux, il relate la démarche modulaire, dynamique et autonome de génération des modèles de machines asynchrones selon leurs paramètres topologiques. 31

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53 2.1. Introduction Introduction La modélisation et la simulation de la machine asynchrone a fait l objet de nombreux travaux, que ce soit dans le but du dimensionnement, de la commande ou le diagnostic. La diversité des objectifs a fait paraître plusieurs techniques de modélisation et outils de simulation, dont chaque type de modélisation est plus ou moins adapté à un domaine plus que les autres. Mais ces outils sont souvent trop spécifiques à une topologie ou une machine bien déterminée. Il serait cependant intéressant de disposer d un outil simple et générique, pouvant servir comme un banc d expérimentation et de test des machines asynchrones, que ce soit en mode sain ou en présence de défaut 1. Nous nous intéressons, alors, à l élaboration d un modèle qui tient compte de la topologie, des dimensions ainsi que de la composition de la machine. L idée est de générer les mutuelles intrinsèques au stator, intrinsèques au rotor, et les mutuelles stator/rotor, en se basant sur la distribution du champ magnétique dans l entrefer selon la répartition spatiale du bobinage de cette machine. 2.2 Prise en considération de la topologie de la machine Selon les applications des machines asynchrones, industriellement, on rencontre plusieurs types de bobinage (répartition spatiale) des enroulements au sein du circuit magnétique du stator ou du rotor. Notre but est de mettre en œvre une méthodologie de modélisation multienroulements et multi-polaires de la machine asynchrone. Une telle modélisation nécessite la prise en considération de la répartition spatiale des enroulements élémentaires de ce système (topologie de bobinage de la machine). Pour des raisons pédagogiques, nous nous contenterons de présenter les deux types de bobinage qui sont pris en considération par la couche «topologie» du MétaModèle développé dans le cadre de cette thèse. Ce dernier présente une approche originale de modélisation des machines asynchrones. l implémentation de ce MétaModèle ne fournit pas un modèle, mais un générateur capable de gé- 1 La prise en considération des défauts sera présentée dans le chapitre 4

54 34 Chapitre 2. 3ME nérer d une manière dynamique et autonome un modèle d une machine selon ses caractéristiques topologiques Force magnéto-motrice (f.m.m) d un enroulement La force magnétomotrice dans la machine est calculée à partir de la distribution de la f.m.m dans l entrefer, apportée par chaque enroulement élémentaire de la machine asynchrone Enroulement diamétral Examinons tout d abord le cas d un enroulement diamétral, à n spires et parcouru par un courant i, logé dans deux encoches diamétralement opposées du stator. 2.2 Hypothèse 2.1 On suppose que : le rotor et le stator sont à pôles lisses, la réluctance du fer est négligeable devant celle de l air, l effet d extrémité est négligeable, le fer n est pas saturé, l ouverture des encoches n est pas prise en compte. C n.i R ϕ M enr x x R s R r n.i Fig. 2.1 Schéma en coupe d un enroulement diamétral statorique ( conducteurs allé et cxonducteurs retour) Lorsque l enroulement, présenté par le schéma en coupe de la figure 2.1, est parcouru par un courant i, il crée un champ magnétique qui se développe :

55 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 35 en majeure partie, dans le circuit magnétique commun traversant l entrefer, ce qui constitue le flux utile, l autre partie, dans les encoches d allée et de retour, ainsi que dans l air, de part et d autre du fer (les têtes de bobine) ; ces trajets correspondent au flux de fuite. En négligeant l effet d extrémité, le champ principal qui traverse l entrefer présente la même répartition spatiale dans n importe quelle coupe du circuit magnétique par rapport au plan orthogonal à l axe de la machine. Appliquons le théorème d ampère au contour fermé C : H dl =n.i C = H fer.l fer + 2 H e.e (2.1) En supposant que la réluctance du fer est négligeable devant la réluctance de l air, on déduit la valeur du champ magnétique dans l entrefer : H e = n i 2 e (2.2) Soit E(ϕ) la force magnétomotrice, due à cet enroulement, dans l entrefer. C C n.i B D ϕ 2 A e ϕ 1 x Fig. 2.2 Théorème d ampère et f.m.m dans l entrefer

56 36 Chapitre 2. 3ME C H dl = n i = H dl AB } {{ } + BC E AB = E(ϕ 1 ) E(ϕ 2 ) H dl } {{ } =0 + H dl + CD DA } {{ } E DC H dl } {{ } =0 (2.3) Comme E(ϕ 1 ) = E(ϕ 2 ), la f.m.m d un enroulement diamétral est donc une fonction rectangulaire de valeur ± n i 2 (voir figure 2.3). E n i 2 π π 2 0 π 2 π 3π 2 n i 2 ϕ Fig. 2.3 f.m.m d un enroulement diamétral Généralisation (N phases, p paires de pôles et N e enroulements/- pôle/phase) Le cas précédent ne représente que le cas d un enroulement élémentaire d une machine bipolaire (p = 1). On se propose, dans cette section, de généraliser l expression 2.2 du champ magnétique dans l entrefer pour une machine ayant : N phases, p paires de pôles, N e enroulements par paire de pôles et par phase. dont chaque enroulement, logé dans une encoche allée et une encoche retour, est formé par n spires. Soit α xyz et β xyz les coordonnées polaires des encoches allée et retour de l enroulement xyz. Avec : x est le numéro de la phase à laquelle appartient l enroulement en question, y est le numéro de la bobine (paire de pôles) appartenant à la phase x, z est le numéro de l enroulement de la bobine y (de la phase x).

57 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 37 Nous adopterons cette notation tout au long de cette thèse. Cette indexation nous sera très utile, surtout dans l implémention du générateur automatique 2 des Objets Matlab décrivant le comportement des enroulements élémentaires du système. enr xyz n.i C n.i ϕ int α xyz β xyz x ϕ ext Fig. 2.4 Schéma en coupe d un enroulement quelconque Nous qualifions les valeurs appartenant à l intervalle ϕ int de grandeurs internes, et les valeurs appartenant à l intervalle ϕ ext de grandeurs externes. Plus spécifiquement, soit E int la f.m.m à l intérieur de l enroulement xyz et E ext la f.m.m à l extérieur de l enroulement. Notre but est alors de déterminer une expression générale de cette f.m.m dans l entrefer. En se basant sur les mêmes notations que la figure 2.2, en appliquant le théorème d ampère au contour fermé C et selon l expression (2.3) on a : 2 IMSimKernel décrit dans l annexe C C H dl = n i = H dl + H dl AB CD = E int E ext (2.4)

58 38 Chapitre 2. 3ME Selon les mêmes hypothèses que la section précédente, la courbe E(ϕ) présentée par la figure 2.5, de la force magnétomotrice correspondante, est de forme pratiquement rectangulaire. E E int S π 2 0 E ext α xyz w β xyzπ S 2π ϕ Fig. 2.5 f.m.m d un enroulement quelconque Comme le flux magnétique φ = P E et sachant que le champ magnétique On définit alors la perméance surfacielle : B = dφ ds = dp ds E P = dp ds (2.5) Comme la perméance d un circuit magnétique homogène de longueur l et de section s est définie par : P = µ s l Dans le cas particulier de l entrefer d une machine électrique, la perméance surfacielle s écrit : P = µ 0 e (2.6) avec µ : étant la perméabilité magnétique, µ 0 : étant la perméabilité du vide,

59 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 39 e : l épaisseur de l entrefer Le champ magnétique dans l entrefer s écrit alors : B(ϕ) = µ 0 e E(ϕ) (2.7) Étant donné φ = B(ϕ) ds, et en supposant que la machine est d entrefer constant on a : φ = µ 0 e E(ϕ) ds (2.8) Soit S et S les surfaces définies par la figure 2.5. En supposant que le flux sortant est égal au flux rentrant, on a l égalité des surfaces S et S et par conséquent on peut écrire que E int w = E ext (2π w) (2.9) En se basant sur 2.4 et 2.9, on a le système suivant : ( ) 2π w E int = E ext w (2.10) n i = E int E ext Ce qui donne la valeur de la f.m.m de l enroulement xyz en fonction de sa largeur w xyz, son nombre de spires n et du courant i qui y circule dedans : E int xyz = E ext xyz = ( ) 2π wxyz n xyz i xyz 2π ( ) (2.11) wxyz n xyz i xyz 2π Calcul des inductances Inductance propre Soit un enroulement statorique ou rotorique (dans le cas de rotor bobiné) d indice xyz (figure 2.4). Un aperçu de la f.m.m produite par cet enroulement est donné par la figure 2.5.

60 40 Chapitre 2. 3ME Selon l équation (2.8) le flux total propre (n.φ) produit par cet enroulement Φ p xyz = n xyz L R xyz µ0 e βxyz α xyz E xyz (ϕ) dϕ (2.12) avec L : la longueur du circuit magnétique de la machine, R xyz : le rayon de l alésage du stator (pour l enroulement xyz ). Soit f xyz (ϕ) une fonction de répartition du bobinage de l enroulement xyz, définie tel que : E xyz (ϕ) = i xyz f xyz (ϕ) (2.13) et F xyz (ϕ) une fonction de répartition de l inductance par unité de surface et par ampère de l enroulement xyz, définie par : Alors la relation 2.12 devient : F xyz (ϕ) = µ 0 e f xyz(ϕ) (2.14) Φ p xyz = n xyz i xyz L R xyz βxyz α xyz F xyz (ϕ) dϕ (2.15) Comme Φ p = L p.i, on déduit alors l inductance propre d un enroulement élémentaire en fonction de la fonction de répartition de l inductance F xyz (ϕ) : L p xyz = L R xyz n xyz βxyz α xyz F xyz (ϕ) dϕ (2.16) Cette expression est valable quelque soit la répartition de la f.m.m : trapézoïdale 3, rectangulaire... Nous introduisons, aussi, les fonctions de répartition, de l inductance par unité de surface, globales F x et F xy, déduites des fonctions de répartition élémentaires 3 dans lesquelles on prend en considération l ouverture des encoches

61 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 41 selon les équations (2.17) et (2.18). F xy (ϕ) = F x (ϕ) = N e F xyz (ϕ) (2.17) z=1 p N e F xyz (ϕ) (2.18) y=1 z=1 avec F xy (ϕ) : la fonction de répartition de l inductance par unité de surface de la bobine (paire de pôles) y de la phase x, selon sa topologie de bobinage. F x (ϕ) : la fonction de répartition de l inductance par unité de surface de la phase x, selon sa topologie de bobinage. Dans le cas particulier de la répartition rectangulaire, représentée par la figure 2.5, cette fonction est définie par : F xyz (ϕ) = µ 0 e n 2π w xyz xyz 2π F xyz (ϕ) = µ 0 e n w xyz xyz 2π si ϕ ϕ int, si ϕ ϕ ext. (2.19) on déduit alors l inductance propre d un enroulement à répartition rectangulaire : L p xyz = L R xyz µ0 n 2 xyz e ( w xyz 1 w xyz 2π ) (2.20) Inductance mutuelle Soit un deuxième enroulement induit 4, d indice ijk, d ouverture w ijk, et logé dans une encoche située à un rayon R ijk de l axe de la machine. Nous gardons les mêmes notations que la figure 2.4. Selon la figure 2.6 et l équation (2.15), le flux traversant l enroulement ijk et qui est produit par l enroulement xyz : Φ ijk xyz = n ijk i xyz L R ijk βijk α ijk F xyz (ϕ) dϕ (2.21) Étant donné que Φ ijk xyz = M ijk xyz i xyz, on déduit alors l inductance mutuelle 4 au stator ou au rotor

62 42 Chapitre 2. 3ME F xyz (ϕ) 1 0 α xyz β xyz βijk α ijk F xyz (ϕ) dϕ 2π F ijk (ϕ) 1 0 α ijk βxyz α xyz F ijk (ϕ) dϕ β ijk 2π Fig. 2.6 Calcul des mutuelles de deux enroulements quelconque correspondante : M ijk xyz = L R ijk n ijk βijk α ijk F xyz (ϕ) dϕ (2.22) En se basant sur le même raisonnement, le flux traversant l enroulement xyz et qui est produit par l enroulement ijk. Ainsi, la mutuelle inductance correspondante s écrit comme suit : Φ xyz ijk = n xyz i ijk L R xyz βxyz α xyz F ijk (ϕ) dϕ (2.23) M xyz ijk = L R xyz n xyz βxyz α xyz F ijk (ϕ) dϕ (2.24) Ces relations sont valables pour le calcul analytique des inductances et des mutuelles intrinsèques au stator, intrinsèques au rotor 5, ainsi que pour le calcul des mutuelles stator/rotor. Afin de prendre en considération toutes les combinaisons de l ordre algébrique 5 indépendemment de type du rotor : bobiné ou à cage d écureuil

63 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 43 des coordonnées polaires α xyz, β xyz, α ijk et β ijk ; une implémentation conditionnelle et récurrente du calcul est nécessaire pour la numérisation de ces intégrales. Pour obtenir une courbe E(ϕ) de l induction dans l entrefer plus proche d une sinusoïde que des courbes rectangulaires ( 2.3 et 2.5), l ensemble des spires d une phase sont réparties sur plusieurs encoches selon une topologie bien déterminée. A titre d exemple, la figure 2.7 présente un schéma en coupe du bobinage d une machine à répartition imbriquée, dans le cas d un moteur triphasé à deux paires de pôles et à 3 enroulements par pôle et par phase, comme décrit précédemment dans la section x Fig. 2.7 Schéma en coupe d un bobinage imbriqué d une machine à p = 2 et N e = 3 Cet exemple illustre le principe d indexation adopté dans la page 36. Une représentation développée de ce bobinage est représenté par la figure 2.9 de la section suivante. Nous n avons présenté dans cette figure que les axes des premiers enroulements de chaque phase.

64 44 Chapitre 2. 3ME Inductance de fuites Nous nous intéressons à présent à la détermination de l inductance de fuites d un enroulement élémentaire d indice xyz, cet enrouement peut être logé dans les encoches statoriques ou dans les encoches rotoriques. Le calcul des inductances de fuites n est pas toujours facile. Il suppose connu le trajet des lignes d induction, ce qui n est pas toujours le cas. Il est indispensable d effectuer des hypothèses simplificatrices qui nous permettent d exprimer ces inductances de fuites par des expressions analytiques empiriques Foggia, Devanneaux (2002), Lateb (2006) dont la précision est suffisante pour la plupart des applications pratiques. Nous nous limitions, dans ce travail, à l exposition des expressions qui permettent de calculer ces fuites en fonction de quelques formes géométriques des encoches et des têtes de bobine, dont la somme de ces deux types de fuite nous permet de déduire l inductance de fuites totale de l enroulement xyz : L f xyz = ε xyz (L f xyz + L f xyz) (2.25) avec L f xyz : l inductance de fuites des encoches allée et retour, L f xyz : l inductance de fuites des têtes de bobine, ε xyz : un coefficient d ajustement des fuites. où L f xyz = 2 µ 0 n 2 xyz L λ xyz (2.26) et L f xyz = 2 µ 0 n 2 xyz w xyz λ xyz (2.27) Ces deux expressions introduisent le facteur de perméance d encoche λ xyz et le facteur de perméance de tête d enroulement λ xyz, dont la détermination dépend de la forme géométrique des encoches et des dimensions de l enroulement. Ces facteurs de perméance sont calculés selon les tableaux 2.1 et 2.2. Nous avons introduit aussi le coefficient multiplicateur ε xyz afin d avoir une marge

65 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 45 de manoeuvre sur les fuites du MétaModèle, et afin de pouvoir ajuster le point de fonctionnement du modèle à l expérimentation. Cet coefficient nous permet aussi de rattraper l erreur due à ces expressions analytiques, surtout lors de la modélisation de machine de petite taille. Tab. 2.1 Perméance d encoche en fonction de la forme géométrique de l enroulement Forme géométrique d encoche λ xyz b 1 h 2 h 1 h 1 3b 1 + h 2 b 1 b 2 h 4 h 3 h 2 h 1 h 1 3b 1 + h 2 b 3 + 2h 3 b 2 + b 3 + h 4 b 2 b 1 b 2 b 3 h 4 h 3 h 2 h 1 2h 1 3(b 1 + b 3 ) + h 2 b 3 + 2h 3 b 2 + b 3 + h 4 b 2 b 1 b 3 b 2 h 2 h 1 2h 1 3(b 1 + b 3 ) h 2 b 2 b 1 b 1 h h 1 b 1

66 46 Chapitre 2. 3ME Tab. 2.2 Perméance de tête d enroulement en fonction de type du bobinage Type de bobinage concentrique à pôles conséquents concentrique à pôles non conséquents λ xyz wxyz w réel wxyz w réel Bobinage imbriqué Un bobinage imbriqué a la spécificité d être constitué d enroulements équilarges de largeur w xyz = π. La fonction de répartition de l inductance surfacielle de ce type p de bobinage, pour une répartition rectangulaire de la f.m.m dans l entrefer, s écrit alors : F xyz (ϕ) = µ 0 e n xyz 2 p 1 2 p F xyz (ϕ) = µ 0 e n xyz 1 2 p si ϕ ϕ int, si ϕ ϕ ext. (2.28) La figure 2.8 présente le schéma topologique du bobinage développé du stator d une machine triphasée à p = 1 et à 3 enroulements par pôle et par phase. Quelque soit l enroulement de cette machine il est d ouverture w xyz déduit alors : L p xyz = 1 2 π L R xyz µ0 n 2 xyz e = π, on (2.29) Prenant le cas de la machine représentée par le schéma en coupe de la figure 2.7, une représentation développée de la topologie de bobinage de cette machine est représentée par la figure 2.9. Pour ne pas encombrer le schéma, nous n avons indexé que les encoches de la phase b. Pour les machines à p = 2, l ouverture d un enroulement élémentaire est de π. 2 L inductance propre de ce dernier est alors : L p xyz = 3 8 π L R xyz µ0 n 2 xyz e (2.30)

67 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine 47 π 2 0 π 2 π 3π 2 2π θ X Y Z U V W Fig. 2.8 Schéma développé d un bobinage imbriqué à p = 1 (N e = 3) 0 π 2 π 3π 2 2π θ X Y Z U V W Fig. 2.9 Schéma développé du bobinage imbriqué d une machine à p = 2 (N e = 3) Pour donner un aperçu des fonctions de répartition de l inductance surfacielle de bobinage de la machine, nous nous basons sur la couche de prise en considération de la topologie de MétaModèle, développé dans le cadre de cette thèse. En introduisant les paramètres N = 3, p = 2 et N e = 4 à ce générateur de modèles

68 48 Chapitre 2. 3ME et en choisissant un bobinage imbriqué, nous récupérons les fonctions de répartition élémentaires et globales 2.10 et 2.11 : La figure 2.10, présente les fonctions de répartition de l inductance surfacielle d enroulements F 1yz, ainsi que les fonctions de répartition de l inductance surfacielle de chaque paire de pôles F 1y pour y {1, 2} et z {1..4} F 11 (φ) F 12 (φ) 0.3 F(φ) F 11z (φ) F 12z (φ) φ [ ] Fig Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires et de chaque paire de pôles de la phase a La figure 2.11 nous donne un aperçu de l inductance par unité de surface globale de bobinage de la phase a (F 1 ), ainsi que de chaque paire de pôles appartenant à cette phase (F 11 et F 12 ) F 11 (φ) F 12 (φ) F(φ) F 1 (φ) φ [ ] Fig Fonctions de répartition de l inductance surfacielle globales de la phase a

69 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine Bobinage concentrique Ce genre de répartition se prête très facilement à l insertion mécanisée des enroulements dans les encoches correspondantes. Pour des raisons de clarté des figures, on se limite à la représentation de trois enroulements par paire de pôles. Les enroulements élémentaires, constituant ce genre de bobinage, sont d ouverture variable en fonction de l indice z de l enroulement en question. Une expression générale de cette ouverture est donnée par l expression (2.31). w xyz (z) = ( (N 1) N e + 2 z 1 ) ( ) π (2.31) N p N e L expression générale (2.20) de l inductance propre d un enroulement à répartition rectangulaire de la f.m.m s écrit alors : L p xyz(z) = π L R xyz µ0 n 2 xyz e γ(z) ( 1 γ(z) 2 ) (2.32) avec γ(z) = (N 1) N e + 2 z 1 N p N e Pour pouvoir représenter la totalité des enroulements d une machine à bobinage concentrique, nous exposons le cas particulier d une machine triphasée à p = 1 et à N e = 3. La figure 2.12 présente le schéma topologique développé de bobinage du stator de cette machine. Pour une telle machine l inductance propre d un enroulement d indice xyz peut être déduite à partir de l expression (2.32) sachant que : γ(z) = (5 + 2 z) 9 (2.33) Prenons le cas d une machine plus concrète à trois paires de pôles, le schéma développé du bobinage de la phase a est représenté par la figure En introduisant les paramètres N = 3, p = 3 et N e = 4 au MétaModèle et en choisissant un bobinage concentrique, nous récupérons les fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires et globales.

70 50 Chapitre 2. 3ME π 2 0 π 2 π 3π 2 2π θ X Y Z U V W Fig Schéma développé du bobinage concentrique d une machine à p = 1 (N e = 3) 0 π 2 π 3π 2 θ X U Fig Schéma développé du bobinage concentrique de la phase a d une machine à p = 3 (N e = 4) Un aperçu sur la répartition topologique de bobinage des enroulements élémentaires de la phase a est donné par la figure La figure 2.15 nous donne un aperçu des fonctions de répartition de l inductance

71 2.2. Prise en considération de la topologie de la machine F 12(1..4) F 13(1..4) F 11(1..4) F(φ) φ [ ] Fig Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires de la phase a par unité de surface globales de la phase a (F 1 ), ainsi que les fonctions de répartition de l inductance surfacielle de chaque paire de pôles (F 11, F 12 et F 13 ) de cette phase F 12 (φ) F 13 (φ) F 11 (φ) F(φ) F 1 (φ) φ [ ] Fig Fonctions de répartition de l inductance surfacielle globales et élémentaires de la phase a Nous tenons à signaler que les fonctions de répartition de l inductance de phases F x sont les mêmes quelque soit le type de bobinage choisi, bobinage concentrique ou bobinage réparti. Par exemple, pour un stator à p = 2, la fonction de la répartition de l inductance de la phase a (F 1 ) est la même que ce soit pour un bobinage concentrique (Fig : 3.3 du chapitre 3) ou pour un bobinage réparti (Fig : 2.11).

72 52 Chapitre 2. 3ME 2.3 Modélisation du stator Dans ce qui suit, nous allons nous intéresser à la modélisation multi-paires-depôles et multi-enroulements du stator de la machine asynchrone, par la méthode des circuits électriques magnétiquement couplés (CEMC). Le raisonnement adopté dans cette section est valable quelque soit la manière avec laquelle les mutuelles sont calculées 6 par le simulateur. En fait, les expressions matricielles, ici développées, peuvent servir pour une implémentation purement analytique ou pour une implémentation différée. Nous adopterons, dans ce qui suit, une démarche modulaire et incrémentale de construction du modèle, en définissant les sous-modèles dans leur ordre d appartenance : enroulement, paire de pôles, phase puis stator. C est cette démarche, de construction modulaire qui va nous permettre, dans un premier temps, de définir une méthodologie de modélisation (MétaModèle) 7 de la machine asynchrone. Puis, nous faisons l implémentation de ce MétaModèle en se basant sur la programmation Objets, dont la propriété d encapsulation reproduit parfaitement le principe de la construction modulaire du modèle, et le principe de l agrégation Muller et Gaertner (2000), matérialise la construction incrémentale du modèle, comme décrit dans l annexe C. Ainsi, la modélisation du stator suivra les étapes suivantes : 1. définir le modèle d un enroulement élémentaire, 2. définir le modèle d une bobine (une paire de pôles) en intégrant les modèles, déjà définis, des enroulements la constituant, et en spécifiant le couplage magnétique entre ses enroulements. 3. définir le modèle d une phase en intégrant les modèles des bobines la constituant et en définissant le couplage magnétique entre ses bobines. 4. définir le modèle du stator en intégrant les modèles des phases le constituant, en spécifiant le couplage magnétique entre ses phases ainsi que leurs mode du couplage. Ce modèle sera combiné par la suite avec celui du rotor pour former le modèle global de la machine asynchrone, en intégrant le couplage entre les enroulements du stator et ceux du rotor. 6 en «Offline» (CEMC-SA) ou «Online» (CEMC-A) 7 en fonction des paramètres topologiques introduits par l utilisateur

73 2.3. Modélisation du stator Modèle d un enroulement élémentaire (sain) Prenons un enroulement élémentaire d indice xyz du stator, en se basant sur la méthode de CEMC, cet enroulement de n xyz spires sera représenté par la résistance R xyz et l inductance L xyz comme décrit par la figure 2.16(a). Afin de présenter des figures plus lisibles, dorénavant, nous schématiserons cet enroulement par le schéma compact de la figure 2.16(b). R xyz I xyz L xyz I xyz (R, L) xyz U xyz U xyz (a) Schéma électrique équivalent. (b) Schéma compact. Fig Modèle électrique d un enroulement élémentaire L équation différentielle régissant le comportement de ce dipôle électrique s écrit : U xyz = R xyz I xyz + d(l xyzi xyz ) dt (2.34) avec R xyz : est la résistance de l enroulement xyz, L xyz : est la somme de l inductance propre L p xyz et de l inductance de fuite L f xyz de l enroulement xyz, Modélisation d une bobine Modèle électrique Prenons, maintenant, l ensemble de N e enroulements élémentaires formant la bobine d indice xy du stator, on définit alors deux modes de représentation : une schématisation compacte, celle de la figure 2.17(b), et une schématisation éclatée décrite par la figure 2.17(a) Mise en équation L écriture matricielle des équations différentielles régissant le comportement des N e enroulements constituant cette bobine donne :

74 54 Chapitre 2. 3ME I xy I xy1 (R, L) xy1 U xy1 I xyzi (R, L) xyzi U xy U xyzi I xy (R, L) xy I xyzj (R, L) xyzj U xy U xyzj I xyne (R, L) xyne U xyne (a) Schéma électrique équivalent. Fig Modèle électrique d une bobine (b) Schématisation compacte. [U] enr xy = [R] enr xy [I] enr xy + d([l]enr xy [I] enr xy ) dt (2.35) avec [U] enr xy = U xy1 : U xyzi : U xyzj :, [I] enr xy = I xy1 : I xyzi : I xyzj : (2.36) U xyne I xyne

75 2.3. Modélisation du stator 55 ainsi que et [R] enr xy = R xy :. : : : 0 R xyzi 0 0 : :. : : 0 0 R xyzj 0 : : :. : R xyne (2.37) [L] enr xy = L xy1 M xy1 xyzi M xy1 xyzj M xy1 xyne :. : : : M xyzi xy1 L xyzi M xyzi xyz j M xyzi xyn e : :. : : M xyzj xy1 M xyzj xyz i L xyzj M xyzj xyn e : : :. : M xyne xy1 M xyne xyzi M xyne xyzj L xyne (2.38) sachant que, nous nous basons sur l expression (2.22) pour calculer la valeur de la mutuelle M xyzi xyz j, z i, z j {1..N e } et z i z j Prise en considération de la topologie électrique La topologie électrique, en général, et d une paire de pôles en particulier, est une description de l interconnexion entre les composants du système étudié. Dans le cas des machines électriques, les enroulements et/ou les paires de pôles peuvent être mis en série ou en parallèle. Les deux modes de connexion peuvent être pris en considération selon le même principe, développé dans cette section. Nous ne détaillons dans ce qui suit que le cas le plus rencontré dans le milieu industriel ; généralement les N e enroulements constituant une paire de pôles sont mis en série (voir figure 2.17(a)), ce qui implique que le courant I xy = I xyz z {1..N e }. Nous tenons à signaler que le courant I xy représente la valeur scalaire de courant circulant dans cette paire de pôles.

76 56 Chapitre 2. 3ME et L écriture matricielle de cette égalité donne : [I] enr xy = I xy1 : I xyne = 1 : 1 N e 1 I xy = [D] enr bob xy I xy (2.39) U xy = N e U xyz z=1 = [D] enr bobt xy [U] enr xy (2.40) Nous appelons ([D] xy enr bob ) la matrice de connexion de paire de pôles xy. Pour le moment cette matrice est triviale, mais elle sera plus complexe lorsque la bobine en question renferme un ou plusieurs enroulements en défaut(s), elle représente aussi la brique de base de la construction de la matrice de connexion globale du stator et par conséquent celle de la machine asynchrone. Cette matrice permet de faire le passage entre les grandeurs de paire de pôles et les grandeurs d enroulements, comme décrit par les équations (2.39 et 2.40). Elle permet aussi de définir la résistance équivalente R xy et l inductance équivalente L xy de cette bobine. Remplaçons la valeur de [I] enr xy par [D] enr bob xy I xy dans l expression (2.35) : [U] enr xy = [R] enr xy [I] enr xy = [R] enr xy [D] enr bob xy + d([l]enr xy [I] enr xy ) dt I xy + d([l]enr xy [D] enr bob xy I xy ) dt (2.41) Multiplions les deux membres de l expression (2.41) par [D] enr bobt xy, on obtient : [D] enr bobt xy [U] enr xy = [D] xy enr bobt [R] enr xy [D] enr bob xy } {{ } R xy I xy + d( { L xy }} { [D] enr bobt xy [L] enr xy dt [D] enr bob xy I xy ) (2.42) La relation (2.35) devient : U xy = R xy I xy + d(l xyi xy ) dt (2.43)

77 2.3. Modélisation du stator Modélisation d une phase Modèle électrique Chaque phase est constituée par p bobines dont chaque bobine est constituée par N e enroulements en série comme décrit dans la section précédente. Cette représentation nous donne la possibilité d étudier des phénomènes asymétriques au sein du stator, et de pouvoir simuler des défauts sur l une des paires de pôles seulement. Nous schématisons l ensemble des p bobines, représentées par la figure 2.18(a), par le schéma compact de la figure 2.18(b). I x I x1 (R, L) x1 U x1 I xyi (R, L) xyi U x U xyi I x (R, L) x I xyj (R, L) xyj U x U xyj I xp (R, L) xp U xp (a) Schéma électrique équivalent. (b) Schématisation compacte. Fig Modèle électrique d une phase à p paires de pôles

78 58 Chapitre 2. 3ME Mise en équation L écriture matricielle des équations différentielles régissant le comportement des (p N e ) enroulements constituant la phase x donne : [U] enr x = [R] enr x [I] enr x + d([l]enr x dt [I] enr x ) (2.44) avec ainsi que [U] enr x = [R] enr x = [U] enr x1 : [U] enr xy i : [U] enr xy j : [U] enr xp [R] enr, [I] enr x = [I] enr x1 : [I] enr xy i : [I] enr xy j : [I] enr xp x :. : : : 0 [R] enr xy i 0 0 : :. : : 0 0 [R] enr xy j 0 : : :. : [R] enr xp (2.45) (2.46) et [L] enr x = [L] enr x1 [M] enr x1 xy i [M] enr x1 xy j [M] enr x1 xp :. : : : [M] enr xy i x1 [L] enr xy i [M] enr xy i xy j [M] enr xy i xp : :. : : [M] enr xy j x1 [M] enr xy j xy i [L] enr xy j [M] enr xy j xp : : :. : [M] enr xp x1 [M] enr xp xy i [M] enr xp xy j [L] enr xp (2.47)

79 2.3. Modélisation du stator 59 sachant que, les éléments diagonaux sont définis dans la section , la matrice des mutuelles entre la bobine yj et la bobine yi de la phase x est définie par : [M] enr xy i xy j = M xyi 1 xy j 1 M xyi 1 xy j z i M xyi 1 xy j z j M xyi 1 xy j N e :. : : : M xyi z i xy j 1 M xyi z i xy j z i M xyi z i xy j z j M xyi z i xy j N e : :. : : M xyi z j xy j 1 M xyi z j xy j z i M xyi z j xy j z j M xyi z j xy j N e : : :. : (2.48) M xyi N e xy j 1 M xyi N e xy j z i M xyi N e xy j z j M xyi N e xy j N e et que, la mutuelle M xyi z i xy j z 8 j, entre l enroulement zj de la bobine yj et l enroulement zi de la bobine yi de la phase x, est calculée en se basant sur l expression générique (2.22) Prise en considération de la topologie électrique Afin de rendre le MétaModèle plus générique et plus autonome, la prise en considération de la topologie électrique d une phase sera gérée par plusieurs niveaux de matrices de connexion, dont chacune nous permet de s arrêter à un niveau d abstraction bien déterminé. A ce stade de la modélisation, on définit les matrices de passage permettant de déduire : les grandeurs de bobines à partir des grandeurs de phase [D] bob ph x, les grandeurs d enroulements à partir des grandeurs de bobines [D] enr bob x, directement, les grandeurs d enroulements de celles de phase [D] enr ph x. Cette séparation nous permet, par exemple, de choisir de simuler une machine dont les enroulements par paire de pôles sont en série et les bobines sont en parallèle [D] bob ph x Détaillons le cas présenté par la figure 2.18(a), la mise en série des paires de pôles 8 z i, z j {1..N e }, y i, y j {1..p} et y i y j 9 exemple : machine basse tension.

80 60 Chapitre 2. 3ME se traduit par : I x = I xy y {1..p}. (2.49) L écriture matricielle de cette égalité donne : [I] bob x = I x1 1 : = : I xp 1 (p 1) I x = [D] bob ph x I x (2.50) et U x = p y=1 U xy = [ ] 1 1 (1 p) =[D] bob pht x [U] bob x U x1 : U xp (2.51) Nous appelons [D] x bob ph la matrice de passage entre les grandeurs électriques de phase et les grandeurs électriques de bobines de la phase x. Comme décrit par l équation (2.59), elle permet aussi de définir la matrice des résistances de bobines [R] bob x et la matrice des inductances de bobines [L] bob x de cette phase. Cette matrice de passage sera la brique de base pour la construction de la matrice de passage entre les grandeurs de phases et les grandeurs de bobines du stator. Elle nous permettra, dans un premier temps, d étudier les mutuelles entre le stator et le rotor de chaque paire de pôles à part (Fig : 2.21). Dans une seconde étape, elle nous permettra de présenter l effet d un défaut asymétrique sur une bobine en particulier [D] enr bob x Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitué par la matrice de passage d une paire de pôles de cette phase : [D] enr bob x = [D] enr bob x1 [0] :. : [0] [D] enr bob xp (2.52) Cette matrice permet de faire le passage entre les grandeurs d enroulements et

81 2.3. Modélisation du stator 61 les grandeurs de bobines de la façon suivante : [I] enr x = I x11 : [I] x1 I x1ne [D] enr bob x1 I x1 : = : = : = [D]enr bob x [I] xp I xp1 [D] enr bob xp I xp : I xpne [I] bob x (2.53) [D] enr ph x Cette matrice fait le passage entre les grandeurs électriques d enroulements aux grandeurs d une phase, en prenant en considération, à la fois, la connexion des enroulements entre eux et celle des paires de pôles. La combinaison des expressions (2.50) et (2.53) nous permet de définir cette matrice. [I] enr x = [D] enr bob x = [D] enr bob [I] bob x [D] bob ph x } x {{ } [D] x enr ph I x (2.54) Ainsi, la relation des tensions s écrit : U x = p N e U xyz y=1 z=1 = [D] enr pht x [U] enr x (2.55) Cette matrice permet, aussi, de définir la résistance équivalente R x et l inductance équivalente L x de cette phase, ainsi que les matrices des résistances et des inductances de bobines ; Remplaçons [I] enr x [U] enr x par ([D] enr ph x I x ) dans l expression (2.44) : = [R] enr x [I] enr x = [R] enr x [D] enr ph x + d([l]enr x dt [I] enr x ) I x + d([l]enr x [D] enr ph x I x ) dt (2.56)

82 62 Chapitre 2. 3ME et multiplions les deux membres de l expression (2.56) par [D] enr pht x : [D] enr pht x [U] enr x } x [R] enr x [D] enr ph x {{ } R x = [D] enr pht + d( I x { L x }} { [D] enr pht x [L] enr x dt [D] enr ph x I x ) (2.57) la relation (2.44) devient alors : U x = R x I x + d(l xi x ) dt (2.58) En appliquant la même démarche, mais en s arrêtant au niveau des bobines, nous pouvons définir les matrices des inductances et des résistances de bobines : [U] bob x = [D] enr bobt [R] enr [D] enr bob x } x x {{ } [R] bob x + d( [I] bob x { [L] bob x }} { [D] enr bobt x [L] enr x dt [D] enr bob x [I] bob x ) (2.59) Ces matrices de connexion nous seront d une grande utilité lors de la définition d un modèle générique des défauts, et nous permettront d étudier les phénomènes asymétriques qui y suivent. Nous abordons, maintenant, la modélisation du stator (N phases) en se basant sur les modules déjà définis Modèle global du stator Modèle électrique Nous supposons que notre stator est constitué par N phases, réparties selon une topologie de bobinage bien déterminée (sections et 2.2.3). En gardant le même principe de notation, nous représentons les phases formant le stator par le schéma compact de la figure 2.19.

83 2.3. Modélisation du stator 63 I 1 (R, L) 1 I xi U 1. (R, L) xi I xj U xi. (R, L) xj I N U xj.. (R, L) N U N Fig Modèle électrique d un stator à N phases Mise en équation Nous gardons toujours le même principe de mise en équation. En effet, le fait de se baser sur la même méthodologie de formalisation, pour tous les sous-modèles, va dans le sens de nos objectifs finaux, à savoir la conception et l implémentation d un modèle dynamique et autonome de la machine asynchrone. Les (N.p.N e ) équations différentielles régissant le comportement du stator peuvent être écrites : [U] enr s = [R] enr s [I] enr s + d([l]enr s dt [I] enr s ) (2.60) avec [U] enr s = [U] enr 1 : [U] enr x i : [U] enr x j : [U] enr N, [I] enr s = [I] enr 1 : [I] enr x i : [I] enr x j : [I] enr N (2.61)

84 64 Chapitre 2. 3ME ainsi que sachant que [R] enr x [L] enr s = [R] enr s = [R] enr :. : : : 0 [R] enr x i 0 0 : :. : : 0 0 [R] enr x j 0 : : :. : [R] enr N x {1..p} est définie par l expression 2.46, et [L] enr 1 [M] enr 1 x i [M] enr 1 x j [M] enr 1 N :. : : : [M] enr x i 1 [L] enr x i [M] enr x i x j [M] enr x i N : :. : : [M] enr x j 1 [M] enr x j x i [L] enr x j [M] enr x j N : : :. : [M] enr N 1 [M] enr N x i [M] enr N x j [L] enr N (2.62) (2.63) avec, les matrices diagonales sont définies par l expression 2.47, la matrice des mutuelles entre la phase xj et la phase xi est construite en se basant sur les matrices des mutuelles définissant le couplage magnétique entre les paires de pôles de chaque phase : [M] enr x i x j = [M] enr x i 1 x j 1 [M] enr x i 1 x j y i [M] enr x i 1 x j y j [M] enr :. : : : [M] enr x i y i x j 1 [M] enr x i y i x j y i [M] enr x i y i x j y j [M] enr : :. : : [M] enr x i y j x j 1 [M] enr x i y j x j y i [M] enr x i y j x j y j [M] enr : : :. : x i 1 x j p x i y i x j p x i y j x j p [M] enr x i p x j 1 [M] enr x i p x j y i [M] enr x i p x j y j [M] enr x i p x j p (2.64) ainsi que, la matrice (2.64) est elle même constituée par les matrices des mutuelles, exprimant le couplage magnétique entre les bobines yj et yi des phases respectives

85 2.3. Modélisation du stator 65 x j et xi : [M] enr x i y i x j y j = M xi y i 1 x j y j 1 M xi y i 1 x j y j z i M xi y i 1 x j y j z j M xi y i 1 x j y j N e :. : : : M xi y i z i x j y j 1 M xi y i z i x j y j z i M xi y i z i x j y j z j M xi y i z i x j y j N e : :. : : M xi y i z j x j y j 1 M xi y i z j x j y j z i M xi y i z j x j y j z j M xi y i z j x j y j N e : : :. : M xi y i N e x j y j 1 M xi y i N e x j y j z i M xi y i N e x j y j z j M xi y i N e x j y j N e (2.65) et qu on revient toujours à la mutuelle élémentaire M xi y i z i x j y j z j 10, entre l enroulement zj de la bobine yj de la phase xj et l enroulement zi de la bobine yi de la phase x i, calculée selon l expression générique (2.22) Prise en considération de la topologie électrique Nous poursuivons notre conception modulaire en suivant le même principe de modélisation. La prise en considération de la topologie électrique du stator sera faite en deux grandes étapes. Dans un premier temps, nous ne prendrons en considération que la topologie interne du stator, nous introduirons, dans une seconde étape, une nouvelle matrice de connexion des boucles afin de proposer un modèle global d un stator couplé permettant sa résolution. La première étape est, en elle même, organisée en trois niveaux d abstraction : le niveau des enroulements, le niveau des paires de pôles et le niveau des phases, détaillés dans la section Nous nous proposons alors de définir les matrices de passage entre ces niveaux ; la procédure sera la même pour toutes ces matrices de passage, elle consiste essentiellement à «l auto-construction» de ces matrices en se basant sur les matrices homologues des phases formant le stator [D] enr bob s Cette matrice permet de déduire les grandeurs d enroulements de grandeurs de bobines, c est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est la matrice de 10 z i, z j {1..N e }, y i, y j {1..p}, x i, x j {1..N} pour x i x j

86 66 Chapitre 2. 3ME passage d une phase : [D] enr bob s = [D] enr bob 1 [0] :. : [0] [D] enr bob N (2.66) Le premier rôle de cette matrice est de garantir le passage entre les courants et les tensions de bobines et ceux d enroulements : [D] enr bob 1 [I] bob 1 [I] bob 1 [I] enr s = : = [D]enr bob s : [D] enr bob N [I] bob N [I] bob N } {{ } [I] bob s (2.67) et [U] bob s = [U] bob 1 : = [D]enr bobt s [U] bob N [U] enr s (2.68) Le deuxième rôle de cette matrice est d assurer le passage entre les matrices de résistances et d inductances d enroulements et celles de bobines, comme détaillé par l expression (2.69). Appliquons cette matrice de passage à l expression (2.60) : [U] bob s = [D] enr bobt } s [R] enr s [D] s enr bob [I] bob s {{ } [R] bob s + d( { [L] bob s }} { [D] enr bobt s [L] enr s dt [D] enr bob s [I] bob s ) (2.69) Les équations différentielles régissant le comportement des bobines sont : [U] bob s = [R] bob s [I] bob s + d([l]bob s dt [I] bob s ) (2.70) [D] bob ph s Cette matrice permet de déduire les grandeurs de bobines à partir de grandeurs

87 2.3. Modélisation du stator 67 de phases, et elle se déduit par : [D] bob ph s = [D] bob ph 1 [0] :. : [0] [D] bob ph N (2.71) Le premier rôle de cette matrice est de garantir le passage entre les courants et les tensions de phases et ceux de bobines : et [I] bob 1 [D] bob ph 1 I 1 I 1 [I] bob s = : = : = [D]bob ph s : [I] bob N [D] bob ph N I N I N } {{ } [I] ph s U 1 [U] bob 1 [U] ph s = : = [D]bob pht s : U N [U] bob N } {{ } [U] bob s (2.72) (2.73) Le deuxième rôle de cette matrice est d assurer le passage entre les matrices de bobines et les matrices de phases. En effet, en faisant intervenir cette matrice dans l expression (2.70), nous pouvons monter d un niveau et définir les matrices des inductances et des résistances de phase : [U] ph s = [D] bob pht [R] bob [D] bob ph s } s s {{ } [R] ph s [I] ph s + d( { [L] ph s }} { [D] bob pht s [L] bob s dt [D] bob ph s [I] ph s ) (2.74) [D] enr ph s Cette matrice permet de faire le passage direct des grandeurs d enroulements aux grandeurs de phases. Une fois les matrices statoriques sont exprimées en fonction des grandeurs de phases, nous pouvons transformer le système de (N.p.N e ) équa-

88 68 Chapitre 2. 3ME tions différentielles de l expression 2.60 en un système équivalent à N équations 11 différentielles indépendantes. La matrice [D] enr ph s est définie en combinant les expressions (2.72) et (2.67) : [I] enr s = [D] enr bob s = [D] enr bob [I] bob s [D] bob ph s } s {{ } [D] enr ph s [I] ph s (2.75) La relation des tensions s écrit alors : [U] ph s = [D] bob pht s [U] bob s = [D] bob pht s [D] enr bobt s [U] enr (2.76) s } {{ } [D] enr pht s Le système d équations différentielles de l expression (2.60) s écrit alors : [U] ph s = [D] enr pht [R] enr [D] enr ph s } s s {{ } [R] ph s + d( [I] ph s { [L] ph s }} { [D] enr pht s [L] enr s dt [D] enr ph s [I] ph s ) (2.77) A ce stade de modélisation, nous pouvons dire que nous disposons d un modèle générique multi-enroulements et multi-paires de pôles d un stator à N phases, p bobines et N e enroulements par bobine. La prochaine étape sera la définition d un modèle multi-enroulements du rotor, la modélisation du couplage magnétique entre ces deux éléments ainsi que le mode du couplage de la machine. 2.4 Modélisation du rotor Le cas d un rotor bobiné est traité de la même manière qu un stator ; en choisissant une position θ 0 du rotor, et en exprimant tous les paramètres topologiques des enroulements rotoriques en fonction de la position mécanique de ce dernier. D ailleurs, lorsque l utilisateur choisit de faire la simulation d une machine à rotor 11 dans le cas d une machine saine

89 2.4. Modélisation du rotor 69 bobiné le MétaModèle instancie deux Objets de même type, dont l un est fixe (le stator) et l autre (le rotor) dispose d un degré de liberté selon l axe de la machine, quantifié par la position angulaire θ. Nous ne traiterons, donc, dans ce qui suit que le cas d un rotor à cage Modèle électrique Nous nous basons sur la modélisation multi-enroulements, désormais classique, de la cage rotorique comme exposé dans la section Cette technique de modélisation se base sur la méthode des boucles 12 qui s applique pour tous réseaux électriques connexes 13 et fermés 14 comportant (n) noeuds et (b) branches. Cette méthode propose d utiliser (b n + 1) courants auxiliaires, dans le but de substituer les courants de branches par des courants indépendants appelés courants de boucles, ce qui se traduit par la définition d un nouveau système de (b n + 1) équations différentielles indépendantes Devanneaux (2002). Nous rappelons que le modèle électrique de la cage est basé sur la décomposition du rotor en plusieurs boucles élémentaires, chaque boucle est formée par deux barres consécutives et les deux portions d anneaux adjacentes. Les barres et les portions d anneaux sont modélisées par une inductance en série avec une résistance Schaeffer (1999), Devanneaux (2002). La figure 2.20 représente la décomposition du rotor en plusieurs mailles ainsi que la notation adoptée. Nous commençons par définir la matrice résistance [R] r, constituée par les résistances élémentaires (R bi, Ra ex i, Ra in i ). La résistance R bi représente la résistance des barres. Les résistances Ra ex i, Ra in i représentent respectivement la résistance des portions de l anneau de court-circuit externe et la résistance des portions de l anneau de court-circuit interne. 12 appelée aussi méthode des départements 13 dont on peut toujours joindre toute paire de noeuds par une chaîne de branches 14 pas de noeud terminal

90 70 Chapitre 2. 3ME R ex a 1 L ex a 1 R ex a k L ex a k R ex a k+1 L ex a k+1 R ex a Nr L ex a Nr I ex a 1 I ex a k I ex a k+1 I ex a Nr L bk+1 L b1 J 1 L bk J k J k+1 L bnr J Nr I b1 I bk I bk+1 I bnr R b1 R bk R bk+1 R bnr R in a 1 L in a 1 R in a k L in a k R in a k+1 L in a k+1 R in a Nr L in a Nr I in a 1 I in a k I in a k+1 I in a Nr J Nr+1 Fig Modèle électrique d un rotor à cage R b :. : :. : :. : 0 R bnr R ex a [R] r = :. : :. : :. : Ra ex Nr Ra in 1 0 :. : :. : :. : Ra in Nr (2.78) En ce qui concerne la matrice inductance, Nous avons choisi de l exprimer, directement, en fonction des boucles rotoriques et non pas en fonctions des 3N r inductances de branches, comme on a fait pour la matrice des résistances. En fait, ce choix nous évite de passer par les inductances propres et de fuites des barres et des portions d anneaux du rotor. Bien que plusieurs travaux de recherche se sont basés sur cette technique, elle reste pourtant source de discussion et d interrogation du fait qu elle nécessite des connaissances précises des dimensions, des formes et des matériaux de la cage rotorique. Nous nous basons alors sur les boucles rotoriques introduites dans la figure 2.20 pour définir la matrice [L] r en fonction des inductances des boucles rotoriques L k,

91 2.4. Modélisation du rotor 71 des inductances mutuelles entre ces boucles M k j et des inductances de fuites des portions de l anneau de court-circuit interne Lf in a k. Sachant que les indices k, j représentent le numéro de la boucle ou de la portion d anneau en question.. L k M k j M k Nr Lf in a k : :. : : : : [L] r = M j k L j M j Nr Lfa in j : : : :. : : M Nr k M Nr j L Nr Lfa in Nr Lfa in k Lfa in j Lfa in Nr Nr k=1 Lfa in k (2.79) Avec, sachant que : L f k : représente l inductance de fuite de la boucle k, L p k : représente l inductance propre de cette boucle. L k = L p k + Lf k (2.80) Cette inductance est calculée en se basant sur la formule (2.20) en assimilant chaque boucle rotorique à une spire fictive d ouverture 2π N r. L p k = N r 1 N 2 r 2π L r R r µ0 e (2.81) tel que : L r : la longueur de circuit magnétique du rotor, R r : le rayon de circuit magnétique du rotor, N r : le nombre de barres du rotor, La matrice (2.79) est constituée, aussi, par les mutuelles M k j ( k, j {1..N r } et k j) intrinsèques aux boucles rotoriques. Cette mutuelle est calculée en se basant sur l expression (2.22). Comme les boucles rotoriques ne se chevauchent pas,

92 72 Chapitre 2. 3ME cette mutuelle ne dépend que de F ext j (ϕ) = µ 0 e. 1 N r et elle est de valeur : M k j = 1 N 2 r 2π L r R r µ0 e (2.82) Mise en équation Avant d écrire les (N r +1) équations différentielles régissant le comportement des boucles rotoriques, il va falloir définir la matrice des résistances [R] r de ces boucles. On définit, alors, par l équation (2.83) la matrice de connexion [D] r permettant de faire le passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles du rotor. I b1 I b2 : I bnr I in a 1 I in a 2 : I in a Nr I ex a 1 I ex a 2 : I ex a Nr = :.. : : :.. : : :.. : : J 1 J 2 : J Nr J Nr+1 [I] r = [D] r [J ] r (2.83) En se basant sur cette matrice de connexion et selon le même principe développé dans la modélisation du stator, la matrice [R] r se déduit de la matrice (2.78) par : [R] r = [D] t r [R] r [D] r (2.84) Le système d équations différentielles régissant le comportement de ce rotor s écrit alors : [V] r = [0] ( ) = [R] r [J ] r + d([l] r [J ] r ) (N r+1) 1 dt (2.85)

93 2.5. Modèle global de la machine asynchrone Modèle global de la machine asynchrone Les mutuelles entre le stator et le rotor de la machine sont évidemment essentielles dans cette méthode de modélisation, car en charge, les grandeurs électriques du stator sont fortement dépendantes des courants rotoriques. La modélisation multienroulements et multi-paires de pôles, ici adoptée, nous permet d avoir un apport d informations supplémentaires sur les phénomènes asymétriques qui proviennent des défauts dans cette machine, et qui sont discernables via les courants statoriques ou par les grandeurs mécaniques, le couple électromagnétique ou la vitesse Inductances mutuelles stator-rotor Le modèle global de la machine nécessite la définition des mutuelles stator-rotor, qui représentent le couplage magnétique entre la partie fixe et la partie mobile de la machine. Étant donné l importance de cette matrice, nous restons fidèle à notre démarche de prise en considération de la topologie de la machine, et nous nous basons sur le principe de calcul des mutuelles de la section Cette méthode nécessite de définir les fonctions de répartition de l inductance par unité de surface des boucles fictives du rotor Fk(ϕ, r θ), définie par : F r k(ϕ, θ) = µ 0 e 1 N r F r k(ϕ, θ) = µ 0 e N r 1 N r si ϕ ϕ int k (θ), si ϕ ϕ ext k (θ). (2.86) Ainsi, nous introduisons l inductance mutuelle élémentaire, représentant le couplage magnétique entre un enroulement élémentaire d indice xyz et une boucle rotorique d indice k. Le calcul de ces mutuelles se fait selon les équations : βxyz M (θ) xyz k = L R xyz n xyz F k (ϕ, θ) dϕ (2.87) α xyz M (θ) k xyz = L R βk (θ) k F xyz (ϕ) dϕ (2.88) α k (θ) Sachant que : M (θ) xyz k représente l effet de la boucle rotorique k sur l enroulement xyz, M (θ) k xyz représente l effet de l enroulement xyz sur la boucle rotorique k.

94 74 Chapitre 2. 3ME lorsque le rotor est situé à la positon angulaire θ par rapport à un repère lié au stator. Ces inductances mutuelles vont nous permettre de construire les matrices des mutuelles globales [M] enr sr (θ) et [M] enr rs (θ). Commençons par la matrice des mutuelles entre une bobine d indice xy et le rotor : [M] enr xy r(θ) = M xy1 1 M xy1 ki M xy1 kj M xy1 Nr 0 :. : : : : M xyzi 1 M xyzi k i M xyzi k j M xyzi N r 0 : :. : : : M xyzj 1 M xyzj k i M xyzj k j M xyzj N r 0 : : :. : : M xyne 1 M xyne ki M xyne kj M xyne Nr 0 (θ) ( N e (N r+1) (2.89) ) Selon le même principe de construction incrémentale, cette matrice nous servira à son tour de brique de base pour la génération de la matrice des mutuelles [M] enr x r(θ) entre la phase x et le rotor. La matrice globale des mutuelles stator-rotor [M] enr sr (θ) se déduit de cette dernière selon l équation (2.90). [M] enr x1 r(θ) : [M] enr xy [M] enr i r(θ) x r(θ) = : [M] enr sr (θ) = [M] enr xy j r(θ) : [M] enr ( ) xp r(θ) pne (Nr+1) [M] enr 1 r(θ) : [M] enr x i r(θ) : (2.90) [M] enr x j r(θ) : [M] enr ( ) N r(θ) N.p.Ne (Nr+1) Un travail similaire nous permet de définir la matrice des mutuelles [M] enr rs (θ). Cette matrice renferme toutes les mutuelles élémentaires décrivant le couplage magnétique entre les différents enroulements du stator et les boucles rotoriques. Notre but est de définir la matrice des mutuelles [M] rs (θ) décrivant le couplage entre les boucles rotoriques et les boucles statoriques globales de résolution.

95 2.5. Modèle global de la machine asynchrone 75 Soit, φ k xyz (θ) = M k xyz (θ) I xyz (2.91) le flux élémentaire généré par un enroulement statorique d indice xyz et traversant la boucle rotorique d indice k. On définit aussi le vecteur des flux générés par une bobine ( xy ) et traversant les boucles rotoriques : φ 1 xy (θ) : [φ] r xy (θ) = = φ Nr xy(θ) N e 0 = N e z=1 z=1 [M] enr 1 xy(θ) [I] enr xy : [M] enr N r xy(θ) [I] enr xy 0 φ 1 xyz (θ) : φ Nr xyz(θ) 0 = [M] enr r xy(θ) [I] enr xy (2.92) L écriture matricielle de cette relation pour tous les enroulements statoriques est donnée par l équation (2.93). N N φ 1 x (θ) x=1 : [φ] rs (θ) = N = φ N Nr x(θ) x=1 x=1 0 [M] enr 1 s(θ) [I] enr s : = [M] enr N r s(θ) [I] enr s 0 p N e x=1 y=1 z=1 p N e y=1 z=1 φ 1 xyz (θ) : φ Nr xyz(θ) 0 = [M] enr rs (θ) [I] enr s (2.93) On définit, une nouvelle matrice de mutuelles entre les bobines et les boucles rotoriques. Cette matrice se déduit facilement de la matrice de mutuelles élémentaires en se basant sur la matrice de passage ([D] enr bob s ).

96 76 Chapitre 2. 3ME Remplaçons [I] enr s par [D] s enr bob.[i] bob s dans l expression (2.93) : [φ] rs (θ) = [M] enr rs (θ) [D] enr bob s [I] bob s (2.94) } {{ } [M] bob rs (θ) ((Nr+1) N.p) les (N r + 1) lignes de cette matrice représentent les boucles rotoriques et les (N.p) colonnes représentent les bobines statoriques ; sachant que l élément d indice (k, (x 1)p+y) représente la mutuelle entre la bobine d indice y de la phase x et la k ième boucle rotorique, lorsque le rotor est à la position angulaire θ. Exemple 2.1 m bob (k, (x 1)p+y) = M k xy (2.95) A titre illustratif, nous présentons un aperçu des mutuelles stator/- rotor, de phases et de bobines, générées par ce MétaModèle, pour une machine asynchrone triphasée à 2 paires de pôles et à 4 enroulements par bobine au stator et à 28 barres au rotor. Une modélisation détaillée de cette machine fera l objet du chapitre x 10 4 Msr 11 1 Msr Msr ph1 1 Msr ph Msr (H) θ (rad) Fig Quelques inductances mutuelles entre le stator et la boucle rotorique N 1 La figure 2.21 nous donne un aperçu sur les mutuelles (Msr 1yi 1(θ)) mises en jeu entre la première boucle rotorique et les deux paires de pôles de la phase N 1, ainsi que la mutuelle résultante (Msr ph1 1 (θ)) et la mutuelle globale (Msr ph2 1 (θ)) entre la phase 2 et la boucle rotorique N 1. Ces courbes illustrent bien la possibilité d étudier des grandeurs de paires de pôles ou de phase en se basant sur les matrices de passage appropriées.

97 2.5. Modèle global de la machine asynchrone x 10 4 Msr ph1 1 1 Msr ph Msr ph1 3 Msr (H) θ (rad) Fig Inductances mutuelles entre la phase N 1 et trois boucles rotoriques La figure 2.22 nous donne un apperçu sur les mutuelles entre une phase statorique et trois boucles successives rotoriques Couplage et alimentation Le choix du mode de couplage N-gone ( ) 15 ou étoile ( ) a une grande influence sur la mise en équation définitive des relations électriques du stator. Pour aboutir à un système d équations différentielles tenant compte de ce couplage, nous nous basons sur la méthode des boucles Schaeffer (1999), Devanneaux (2002), introduite lors de la modélisation du rotor. Nous introduisons, alors, la matrice de connexion de couplage [D] coup, permettant de faire le passage entre les grandeurs de phases et les grandeurs de boucles, dans un premier temps : [I] ph s = [D] coup [J ] s [V] s = [D] t coup [U] ph s (2.96) et de définir la matrice de passage entre les grandeurs élémentaires et les grandeurs de boucles statoriques [D] s, dans une deuxième étape : [I] enr s = [D] enr ph s [I] ph s = [D] enr ph s [D] coup } {{ } [J ] s (2.97) [D] s 15 nous gardons cette notation pour dire qu il s agit de la généralisation de couplage triangle

98 78 Chapitre 2. 3ME En multipliant les deux termes de l équation 2.77 par [D] t coup et en l exprimant en fonction du vecteur [J ] s nous introduisons deux nouvelles matrices ; la matrice des résistances et celle des inductances des boucles statoriques : { }} { [V] s = [D] t coup [R] ph d( [D] t coup [L] ph s [D] coup [J ] s ) s [D] coup [J ] s + } {{ } dt [R] s [L] s (2.98) Sachant que [R] s = [D] t coup [R] ph s [D] coup = [D] t coup [D] enr pht s } {{ } [D] t s [R] enr s [D] enr ph s [D] coup (2.99) } {{ } [D] s [L] s = [D] t coup [L] ph s [D] coup = [D] t coup [D] enr pht s } {{ } [D] t s [L] enr s [D] enr ph s [D] coup (2.100) } {{ } [D] s Le cas de couplage en étoile La mise en étoile des N phases formant le stator, comme décrit dans la figure 2.23, définit un système à 2N branches et à (N + 1) noeuds. En se basant sur la méthode des départements, nous pouvons exprimer les courants de branches I x en fonction de (N 1) courants de boucles indépendants J x. Nous choisissons les boucles de telle sorte que le courant de la boucle d indice x soit de même direction que le courant circulant dans la phase ayant le même indice. Une illustration de ce choix est présenté par la figure La N ième boucle n est présentée que pour un but de schématisation, les N courants de phases s expriment en fonction des (N 1) courants de boucles par (on choisit de retirer J N ) : I x = J x J x+1 x {1..(N 2)}, I N 1 = J N 1, (2.101) I N = J 1

99 2.5. Modèle global de la machine asynchrone 79 I 1 (R, L) 1 V 2 U 1 I 2 (R, L) 2 J 2 U 2 V 1. I N 1 (R, L) N 1 U N 1 V N I N (R, L) N J N U N J 1 Fig Le principe de choix des mailles pour un stator en étoile la relation entre tensions de boucles et tensions de phases est : V 1 = U 1 U N, V x = U x U x 1 x {2..(N 1)}, (2.102) L écriture matricielle des expressions (2.101) et (2.102) nous permet de définir la matrice de connexion de couplage [D] coup : V 1 V 2 : V N 1 = :... : U 1 U 2 : U N 1 U N [V] s = [D] t coup. [U] ph s (2.103) ainsi, [I] ph s = [D] coup. [J ] s (2.104)

100 80 Chapitre 2. 3ME Le cas de couplage en triangle En ce qui concerne le couplage en triangle, il suffit de choisir les mailles de telle sorte que les courants de mailles soient égaux aux courants de branches (N courants de phases et N boucles). La matrice de connexion de ce type de couplage n est autre que la matrice identité. I 1 (R, L) 1 J 1 U 1 V 2 J 2 I 2 (R, L) 2 V 1 U 2.. I N 1 (R, L) N 1 U N 1 V N J N I N (R, L) N U N Fig Les N mailles adoptées pour un stator en «triangle» 1 0 [D] coup = :. : 0 1 N N (2.105) Nous tenons à préciser que nous n avons pas intégré les sources de tensions dans nos schémas de couplage et que nous nous sommes arrêtés au niveau des tensions de boucles appliquées. Ce choix est fait délibérément afin de doter le MétaModèle d une autre plage de liberté. En fait, en faisant cette séparation entre la modélisation du stator et celle de l alimentation, le modèle ici développé reste valable quelque soit le type d alimentation appliqué.

101 2.5. Modèle global de la machine asynchrone 81 Il ne reste donc qu à exprimer ces tensions de boucles en fonction des sources de tensions selon le couplage de l alimentation utilisé Type d alimentation Notre but, maintenant, est de définir les tensions de boucles [V] s en fonction des sources de tensions [E] de l alimentation utilisée. Deux possibilités sont envisageables ; les sources de tensions sont couplées en étoile, comme décrit par la figure 2.25(a), ou couplées en «triangle» comme décrit par la figure 2.25(b). e 1 e 1 V 2 e 2 V 2 e 2.. e N 1 V 1. e N 1 V 1 V N e N V N e N (a) Alimentation couplée en étoile. (b) Alimentation couplée en «triangle» Fig Choix du mode de couplage de l alimentation Le couplage triangle ne nécessite aucune transformation ; chaque boucle est connectée à la source de tension correspondante. Ainsi, la matrice de connexion n est autre que la matrice identité : 1 0 e 1 [V] s = :. : : = [E] (2.106) 0 1 e N N N } {{ } [D] t alim

102 82 Chapitre 2. 3ME Lorsque l alimentation est couplée en étoile, le vecteur [V] s peut être déduit des sources de tensions par la relation : [V] s = :... : (N N) e 1 e 2 : e N 1 e N = [D] t alim [E] (2.107) ce qui définit la matrice de passage D alim. La dernière ligne de cette matrice est gardée ou supprimée selon le mode de couplage du stator ; elle n est gardée que dans le cas où le stator est couplé en triangle Mise en équation et résolution Afin de déduire la matrice des mutuelles entre les boucles statoriques et les boucles rotoriques nous multiplions l expression (2.97) par la matrice des mutuelles élémentaires stator-rotor : [φ] rs (θ) = [M] enr rs (θ) [D] s [J ] s (2.108) } {{ } [M] rs(θ) Revenons, alors, à la modélisation modulaire de notre système ; en se basant sur les matrices statoriques et rotoriques exprimées dans le repère des boucles, nous introduisons les matrices décrivant le modèle global de la machine asynchrone dans ce référentiel : [R] = [R] s [ ] 0 [ ] 0 [R] r ] [L] [L](θ) = s [[D] t s [M] enr sr (θ) [ ] [M] enr rs (θ) [D] s [L] r = [L] s [M] sr (θ) [M] rs (θ) [L] r (2.109a) (2.109b) Ainsi, la combinaison de deux systèmes d équations (2.98, 2.85) définit le système d équations différentielles indépendantes régissant le comportement électrique de

103 2.5. Modèle global de la machine asynchrone 83 toute la machine : [V] = [V] s = [R] [J ] s d([l](θ) [J ]) + [V] r [J ] r dt } {{ } [J ] (2.110) Comme les équations électriques dépendent de θ, via les mutuelles stator-rotor, il est donc indispensable de coupler ces équations à l équation mécanique régissant la position angulaire du rotor. Le regroupement de ces équations différentielles est représenté par l équation (2.111), cette expression présente le système d état global de la machine asynchrone. C r = 1 2 [L](θ) [V] = ([R] + Ω r ) [J ] + [L](θ) d[j ] θ dt [L](θ) [J ]t [J ] + J dω r θ dt + f v Ω r 0 = Ω r + dθ dt L écriture matricielle de ce système donne : (2.111) U = AẊ + BX (2.112) avec : [V] [J ] U = C r X = Ω r (2.113) 0 θ [L](θ) 0 0 A = 0 J 0 (2.114) [L](θ) ([R] + Ω r ) 0 0 θ B = ( 1 [L](θ) [J ]t ) f 2 v 0 θ (2.115)

104 84 Chapitre 2. 3ME Nous rappelons que : [J ] : est le vecteur des courants de boucles statoriques et rotoriques, [V] : est le vecteur des tensions appliquées aux boucles statoriques et aux boucles rotoriques (=0), J : est l inertie ramenée au rotor, f v C r : est le coefficient de frottement visqueux, : est le couple résistant appliqué sur l arbre du moteur. Une fois nous disposons d un modèle global de la machine asynchrone, il va falloir choisir une technique de résolution de système d état (2.112). Nous avons implémenté et testé plusieurs algorithmes de résolution d équations différentielles, RK4, la méthode d exponentielle de matrice et la méthode d Adams, détaillés dans l annexe A. Nous exposons brièvement les avantages et les limitations de chaque technique : la méthode de RK4 a le mérite d être la plus stable ; cet algorithme converge même en choisissant un pas de calcul «trop large». En choisissant de le faire fonctionner dans de telles conditions, cet algorithme converge avec des résultats non précis. la méthode de l exponentielle de matrice est d une précision très satisfaisante mais elle est moins stable que la technique précédente, et elle nécessite plus de ressources informatiques que les deux autres, la méthode d Adams est d une précision semblable à celle de la méthode exponentielle de matrice et elle a l avantage d être plus rapide que les deux autres, mais elle est la moins stable numériquement 16. Nous avons choisi de faire la résolution de notre système par la méthode d Adams et nous voyons que le fait qu elle nécessite un pas de calcul plus strict est un avantage qui nous préserve de converger à des résultats non précis comme ce qui est le cas avec RK4. Il est important de signaler que ces problèmes de précision et de stabilité n apparaissent que dans le cas des systèmes renfermant des sous-systèmes ayant des constantes de temps d ordre de grandeur très éloignées. Ce phénomène apparaît lors de la résolution des équations différentielles régissant le comportement de la machine asynchrone en présence de défaut. Vue le caractère aléatoire du défaut qui peut surgir au cours de fonctionnement de cette dernière, ces constantes de temps 16 elle nécessite un pas de calcul plus strict que RK4

105 2.6. Conclusion 85 ne sont pas toujours discernables à l avance. Comme solution à ce problème, nous avons choisi de faire fonctionner ces algorithmes avec un pas de calcul dynamique comme décrit dans la section Conclusion Nous nous sommes attardés, dans ce chapitre, sur deux points majeurs : le principe de la prise en considération de la topologie de bobinage, la présentation de la méthodologie de modélisation multi-enroulements (3ME) de la machine asynchrone selon sa topologie constitutive. Nous avons suivi, tout au long de ce chapitre, une démarche modulaire et incrémentale de formalisation du modèle de la machine. Cette modularité, dont le MétaModèle dispose, nous a permis non pas d écrire un modèle pour une machine asynchrone spécifique, mais d écrire un générateur de modèle, multi-enroulements et multi-paires de pôles, d une machine asynchrone «quelconque 17», d où l appellation MétaModèle. Cette approche de modélisation offre un bon compromis en terme de précision et de temps de calcul. De plus, on le verra dans les chapitres 4 et 5, ce type de modélisation permet de prendre en compte un certain nombre de défauts d origine électrique tels que les défauts de court-circuit entre spires statoriques, les défauts de court-circuit inter-phases, les défauts de court-circuit entre phase et carcasse et les défauts de type rupture de barres rotoriques. Nous pouvons aussi intégrer à ce type de modèle les défauts d excentricité statique et dynamique. Par ailleurs, même si la méthode CEMC, sur laquelle nous nous sommes basés, ne permet pas la prise en compte de la saturation et de l effet de peau sous leurs formes locales, il est possible de les prendre en compte par des coefficients globaux, reproduisant ainsi l influence de ces phénomènes sur les grandeurs globales Gillon (1997), Devanneaux (2002), Lateb (2006). Le fait de vouloir faire un simulateur autonome et dynamique de la machine asynchrone, nous a mis dans l obligation de le doter d une autonomie vis-à-vis de la topologie constitutive de la machine et vis-à-vis de la résolution numérique de système différentiel généré. Le principe de la prise en considération automatique de la topologie de la machine a été commencé dans ce chapitre et sera poursuivi, dans le 17 en fonction des paramètres topologiques introduits par l utilisateur

106 86 Chapitre 2. 3ME chapitre 4, par la prise en considération des défauts qui peuvent toucher la topologie électrique de la machine. La couche topologie du MétaModèle est totalement indépendante de la couche de calcul analytique des mutuelles et des inductances de modèle. Cette indépendance garantit la possibilité d intégrer d autres types de bobinage dans le noyau de génération de modèle «IMSimKernel», présenté dans l annexe C. Nous consacrons le chapitre suivant à la validation et à l exploitation de la flexibilité de ce logiciel dans le cas d une machine asynchrone saine.

107 Sommaire 3.1 Introduction Modèle généré par le simulateur Incidence de la variation des paramètres Validation expérimentale Conclusion Chapitre 3 Validation et paramétrage d un modèle Dans ce chapitre, nous commençons par donner un aperçu sur les étapes empruntées par le MétaModèle durant le processus de génération d un modèle de simulation d une machine asynchrone spécifique. Cette étape sera poursuivie par l expérimentation de l influence de la variation de quelques paramètres importants sur le comportement de ce modèle. Nous proposerons, à la suite de cette expertise, le jeu de paramètres nous permettant de se rapprocher le plus prêt possible du point de fonctionnement expérimental de notre machine. Nous terminons ce chapitre en donnant les résultats de cette validation expérimentale de ce générateur de modèle. 87

108

109 3.1. Introduction Introduction Nous allons, dans ce chapitre, mettre en œuvre la 3ME de la machine asynchrone exposée dans le chapitre précédent. En introduisant les paramètres de la topologie physique et électrique de la machine à simuler dans la plate-forme de simulation ici développée (IMSimKernel), nous récupérons le modèle électrique équivalent de cette machine (appelé Mod.C ). En fait, ce modèle correspond à la projection de la méthodologie décrite dans le chapitre 2 sur le sous-ensemble des machines asynchrones triphasées ayant 2 paires de pôles, 4 enroulements/pôle/phase et ayant un bobinage concentrique. Les caractéristiques techniques et topologiques de cette machine sont présentées dans l annexe B (Banc d essai «M.AS.Réelle»). Nous ne détaillons, dans ce qui suit, que le processus de génération du modèle de stator. Sachant que le modèle du rotor est le même que celui de la section 2.4, mais pour une cage à 28 barres. 3.2 Modèle généré par le simulateur Caractéristiques topologiques du stator Cette machine fait partie des machines de petite puissance (1.1KW), elle est bobinée de façon concentrique. Ce type de bobinage est le plus utilisé pour les machines appartenant à cette gamme de puissance, qui se prête très facilement à l insertion mécanisée des enroulements dans les encoches statoriques. La figure 3.1 présente le schéma topologique développé du bobinage du stator de cette machine. Cette topologie est prise en considération par le MétaModèle, en introduisant les paramètres topologiques : N = 3, p = 2, N e = 4 et en choisissant un bobinage concentrique. Nous rappelons que le processus de génération du Mod.C.324 se base sur les hypothèses 2.1. Un aperçu des fonctions de répartition de l inductance surfacielle des enroulements élémentaires de la phase a, est donné par la figure 3.2. Les fonctions de répartition de l inductance surfacielle résultantes, de phase et de bobines, sont données sur la figure Modèle Concentrique à N = 3, p = 2 et N e = 4

110 90 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 0 π 2 π 3π 2 2π θ X Y Z U V W Fig. 3.1 Schéma développé du bobinage du stator de la machine du banc d essai F 121 F 124 F 111 F 114 F 1yz (φ) φ (deg) Fig. 3.2 Fonctions de répartition de l inductance surfacielle élémentaires de la phase Modèle électrique La figure 3.4 présente le schéma électrique équivalent de cette machine, dont chaque phase est constituée par 2 bobines en série, dont chaque bobine est constituée par 4 enroulements en série. Chaque enroulement possède 58 spires logées dans une encoche allée et une encoche retour du stator.

111 3.2. Modèle généré par le simulateur F 12 (φ) F 11 (φ) F 1y (φ) et F 1 (φ) F 1 (φ) φ (deg) Fig. 3.3 Fonctions de répartition de l inductance par pôle et globale de la phase 1 Nous exposons dans ce qui suit les étapes empruntées, par le noyau de génération, pour aboutir au modèle final de cette machine Modèle d un enroulement élémentaire Ce générateur commence par définir le modèle d un enroulement élémentaire, décrit par la figure 2.16, en fixant la valeur de la résistance R xyz et des inductances L p xyz et L f xyz. L inductance propre de cet enroulement est déduite par l expression 2.20, quant aux inductances de fuites elles sont calculées en fonction des formes géométriques des encoches et des têtes de bobines de l enroulement en question selon l expression Quant à la résistance, elle est soit déduite directement de la résistance globale d une phase par l expression : R xyz = soit calculée selon l expression suivante : où : ρ : la résistivité électrique en [Ωm], R x p N e = 1.25Ω (3.1) R xyz = ρ 2(L + R.w xyz) s n xyz (3.2)

112 92 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle U V W I 11 I 21 I 31 I 111 (R, L) 111 I 211 (R, L) 211 I 311 (R, L) 311 U 111 U 211 U 311 I 112 (R, L) 112 I 212 (R, L) 212 I 312 (R, L) 312 U 11 U 112 U 21 U 212 U 31 U 312 I 113 (R, L) 113 I 213 (R, L) 213 I 313 (R, L) 313 U 113 U 213 U 313 I 114 (R, L) 114 I 214 (R, L) 214 I 314 (R, L) 314 U 114 U 214 U 314 I 12 I 22 I 32 I 121 (R, L) 121 I 221 (R, L) 221 I 321 (R, L) 321 U 121 U 221 U 321 I 122 (R, L) 122 I 222 (R, L) 222 I 322 (R, L) 322 U 12 U 122 U 22 U 222 U 32 U 322 I 123 (R, L) 123 I 223 (R, L) 223 I 323 (R, L) 323 U 123 U 223 U 323 I 124 (R, L) 124 I 224 (R, L) 224 I 324 (R, L) 324 U 124 U 224 U 324 X Y Z Fig. 3.4 Modèle électrique d un stator triphasé à p = 2 et N e = 4 s : la surface de la section droite du fil en [m 2 ]. R : le rayon du bobinage au niveau de la tête de bobine. sachant que w xyz est déduite par l expression Certes la deuxième technique est plus précise, du fait qu elle prend en compte que pour un bobinage concentrique, les têtes de bobine des enroulements d une même paire de pôles sont de longueur variable. Mais la première technique reste, cependant, une bonne approximation de la résistance élémentaire dans ce cas de figure.

113 3.2. Modèle généré par le simulateur Modèle d une bobine Chaque groupement de N e enroulements élémentaires, d indice xy, de la figure 3.4 schématise une bobine du stator. L écriture matricielle des équations différentielles régissant le comportement de ces enroulements (2.35) est basée sur les matrices suivantes : [U] enr xy = U xy1 U xy2 U xy3 U xy4, [I] enr xy = I xy1 I xy2 I xy3 I xy4 (3.3) ainsi que et [L] enr xy = [R] enr xy = R xy R xy R xy R xy4 L xy1 M xy1 xy2 M xy1 xy3 M xy1 xy4 M xy2 xy1 L xy2 M xy2 xy3 M xy2 xy4 M xy3 xy1 M xy3 xy2 L xy3 M xy3 xy4 M xy4 xy1 M xy4 xy2 M xy4 xy3 L xy4 (3.4) (3.5) sachant que, les mutuelles élémentaires M xyzi xyz j (2.22) z i, z j {1..4} et z i z j. sont calculées par l expression La mise en série des enroulements constituant cette bobine est assurée par la matrice de connexion [D] enr bob xy. Ce qui se traduit par la relation des courants : [I] enr xy = I xy1 I xy2 = I xy3 I xy }{{} [D] enr bob xy I xy (3.6)

114 94 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle et la relation des tensions : U xy = 4 U xyz z=1 = [D] enr bobt xy [U] enr xy (3.7) La résistance équivalente R xy ainsi que l inductance équivalente L xy de cette bobine se déduisent par : R xy = [D] enr bobt xy [R] enr xy [D] enr bob xy L xy = [D] enr bobt xy [L] enr xy [D] enr bob xy Modèle d une phase Le modèle de chaque phase est formé, en grande partie, des modèles de deux bobines la constituant. Les matrices formant le modèle de cette phase sont basées sur la concaténation et l assemblage des matrices de ses bobines. [U] enr x = [U]enr x1 [U] enr x2 (8 1), [I] enr x = [I]enr x1 [I] enr x2 (8 1) (3.8) ainsi que [R] enr x = [R]enr x1 0 0 [R] enr x2 (8 8) (3.9) et sachant que : [L] enr x = [L]enr x1 [M] enr x2 x1 [M] enr x1 x2 [L] enr x2 (8 8) (3.10) [M] enr x1 x2 = M x11 x21 M x11 x22 M x11 x23 M x11 x24 M x12 x21 M x12 x22 M x12 x23 M x12 x24 M x13 x21 M x13 x22 M x13 x23 M x13 x24 M x14 x21 M x14 x22 M x14 x23 M x14 x24 (3.11)

115 3.2. Modèle généré par le simulateur 95 où, la mutuelle M x1zi x2z j 2, est calculée en se basant sur l expression générique (2.22). Afin de pouvoir étudier et présenter les grandeurs de bobines, le générateur met à notre disposition la matrice de passage suivante : [D] enr bob x = [D]enr bob x1 [0] [0] [D] enr bob x = (3.12) avec, [I] enr x = [I]enr x1 [I] enr x2 = [D]enr bob x1 [D] enr bob x2 I x1 = [D] enr bob x I x2 [I] bob x (3.13) Cette matrice a pour but de permettre d exprimer les grandeurs de bobines en fonction de celles d enroulements : [R] bob x = [D] x enr bobt = [D]enr bobt x1 = R x1 0 0 R x2 [R] enr x [R] enr x1 [D] enr bob x [D] enr bob x1 0 0 [D] enr bobt x2 [R] enr x2 [D] enr bob x2 (3.14) [L] bob x = [D] x enr bobt = = 2 z i, z j {1..4} [L] enr xy [D] enr bob x [D]enr bobt x1 [L] enr x1 [D] enr bob x1 [D] x2 enr bobt [M] enr x2 x1 [D] enr bob x1 L x1 M x1 x2 M x2 x1 L x2 [D] enr bobt x1 [M] enr [D] enr bobt x2 x1 x2 [D] enr bob x2 [D] enr bob x2 [R] enr x2 (3.15)

116 96 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Dans le but d automatiser la génération des grandeurs de phases, à partir de celles de bobines, le générateur définit aussi la matrice de passage : [D] bob ph x = 1 (3.16) 1 sachant que, cette matrice garantit la mise en série de deux bobines : [I] bob x = I x1 = [D] bob ph x I x (3.17) I x2 Elle définit, aussi, la matrice de passage définitive [D] enr ph x : [D] enr ph x (8 1) = [D] enr bob x (8 2) [D] bob ph x (2 1). (3.18) Cette matrice permet de faire le passage direct entre les grandeurs de phase et les grandeurs d enroulements sans passer par les grandeurs de bobines. Elle permet, ainsi, de récupérer la résistance de phase R x et l inductance de phase L x à partir des matrices élémentaires : R x = [D] enr pht x L x = [D] enr pht x [R] enr x [L] enr x [D] enr ph x [D] enr ph x (3.19) Modèle du stator Afin de mettre l accent sur la modélisation multi-polaires et de ne pas reprendre les mêmes figures que le chapitre précédent, nous reprenons la schématisation des trois phases, réparties selon la figure 3.1, et schématisées par la figure 3.4, par la figure 3.5 en s arrêtant au niveau des bobines. En se basant sur la 3ME du stator, les matrices élémentaires décrivant ce stator s écrivent : [U] enr s = [U] enr 1 [U] enr 2 [U] enr 3 (24 1), [I] enr s = [I] enr 1 [I] enr 2 [I] enr 3 (24 1) (3.20)

117 3.2. Modèle généré par le simulateur 97 I 11 (R, L) 11 I 12 (R, L) 12 U 11 U 12 I 21 (R, L) 21 I 22 (R, L) 22 U 21 U 22 I 31 (R, L) 31 I 32 (R, L) 32 U 31 U 32 Fig. 3.5 Schématisation multi-polaires du stator ainsi que et [R] enr s = [L] enr s = [R] enr [R] enr [R] enr 3 [L] enr 1 [M] enr 1 2 [M] enr 2 1 [M] enr 3 1 [L] enr 2 [M] enr [M] enr 3 2 [M] enr [L] enr 3 (24 24) (24 24) (3.21) (3.22) Sachant que les matrices de mutuelles [M] enr x i x j se calculent selon les expressions génériques (2.64) et (2.65). Prenons, par exemple, le cas de la matrice de mutuelles entre la première et la troisième phase. [M] enr 1 3 = [M]enr [M] enr [M] enr [M] enr (8 8) (3.23) Détaillons, aussi, la matrice de mutuelles entre la deuxième bobine de la phase 1 et la première bobine de la phase 3 : [M] enr = M M M M M M M M M M M M M M M M (3.24)

118 98 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Sachant que, la mutuelle élémentaire M 12zi 31z j z i, z j {1..4}, entre l enroulement zj de la bobine 1 de la phase 3 et l enroulement zi de la bobine 2 de la phase 1, est calculée selon l expression générique (2.22). Comme décrit dans le chapitre précédent, la topologie électrique des trois phases est représentée par plusieurs niveaux de matrices de connexion, dont chacune nous permet de s arrêter à un niveau de représentation bien déterminé ; le niveau d enroulements, le niveau de bobines, le niveau de phases et le niveau de boucles. Les matrices permettant le passage entre ces différents niveaux sont : La matrice de passage entre les grandeurs d enroulements et les grandeurs de bobines. [D] enr bob s = [D] enr bob 1 [0] [0] [0] [D] enr bob 2 [0] [0] [0] [D] enr bob 3 = (3.25) La matrice de passage permettant de déduire les grandeurs de bobines à partir des grandeurs de phases. [D] bob ph s = [D] bob ph 1 [0] [0] [0] [D] bob ph 2 [0] [0] [0] [D] bob ph 3 = (3.26) La matrice de passage directe entre les grandeurs d enroulements et les gran-

119 3.2. Modèle généré par le simulateur 99 deurs de phases, se déduit soit par multiplication matricielle : ou par concaténation : [D] enr ph s = [I] enr s (24 1) = [D] enr bob s (24 6) [I] bob s (6 1) [D] enr ph = [D] enr bob s (24 6) [D] bob ph s (6 3) [I] ph s (3.27) } {{ } [D] s enr ph (24 3) 1 [0] [0] [0] [D] enr ph 2 [0] [0] [0] [D] enr ph 3 = (3.28) Cette hiérarchie de matrices de passage nous permet de déduire les matrices de résistances et d inductances au niveau des bobines, ou de remonter jusqu aux phases. [R] bob s = [D] enr bobt s [R] enr s [D] enr bob s R R R = R R R 32 (3.29) [L] bob s = [D] enr bobt s [L] enr s [D] enr bob s L 11 M 11/12 M 11/ M 12/11 L 12 M 12/ M 21/11 M 21/12 L = M 22/11 M 22/12 M 22/21 L M 31/11 M 31/12 M 31/21.. L 31.. M 32/11 M 32/12 M 32/ L 32 (3.30)

120 100 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle [R] ph s = [D] s enr pht [R] enr s R = 0 R R 3 [D] enr ph s (3.31) [L] ph s = [D] enr pht s [L] enr s [D] enr ph s L 1 M 1 2 M 1 3 = M 2 1 L 2 M 2 3 M 3 1 M 3 2 L 3 (3.32) Cette construction, en deux étapes, nous a permis de récupérer les grandeurs de bobines, comme les mutuelles entre les deux bobines de la phase 1 et une boucle rotorique, présentées par la figure Modèle global de la machine Une fois la génération des modèles du stator et du rotor est faite, selon leurs paramètres topologiques respectifs, le générateur rassemble les deux modèles en un seul. Ce modèle représente toute la partie électrique de la machine, en prenant en considération le couplage magnétique entre la partie fixe et la partie mobile de cette dernière Inductances mutuelles stator-rotor Cette étape est basée sur les fonctions de répartition de bobinages, que ce soit pour les enroulements élémentaires du stator ou pour les enroulements fictifs du rotor, définies par les expressions respectives (2.19) et (2.86). Ce couplage entre le stator et le rotor est modélisé par les matrices de mutuelles élémentaires [M] enr sr (θ) et [M] enr rs (θ), sachant que l une est la transposé de l autre. [M] enr [M] enr 1 r(θ) sr (θ) = [M] enr 2 r(θ) [M] enr 3 r(θ) (24 29) (3.33)

121 3.2. Modèle généré par le simulateur 101 Détaillons le contenu de la matrice de mutuelles entre la phase 2 et le rotor : [M] enr 2 r(θ) = [M]enr 21 r(θ) [M] enr 22 r(θ) (6 29) (3.34) Faisons de même pour la matrice de mutuelles entre la première bobine de cette phase et le rotor : [M] enr 21 r(θ) = (θ) M M 211 k M M M 212 k M M M 213 k M M M 214 k M (4 29) (3.35) Sachant que, l inductance mutuelle représentant le couplage magnétique entre un enroulement élémentaire d indice xyz et une boucle rotorique d indice k est calculée par l expression (2.87) du chapitre précédent. Les inductances mutuelles entre les différents niveaux de représentation du stator et les boucles rotoriques se déduisent selon les relations suivantes : Au niveau des bobines : Au niveau des phases : Au niveau des boucles : [M] bob sr (6 29) (θ) = [D] enr bobt s (6 24) [M] enr sr (24 29) (θ) (3.36) [M] ph sr (3 29) (θ) = [D] enr pht s (3 24) [M] enr sr (24 29) (θ) (3.37) [M] sr (θ) = [D] t s [M] enr sr (θ) (3.38) Toutes ces matrices sont des matrices tridimensionnelles dont les lignes sont les indices des enroulements ou des boucles statoriques, les colonnes correspondent aux indices des boucles rotoriques, et les pages 3 représentent les différentes valeurs prises par la position angulaire θ. Commençons par donner un aperçu des mutuelles stator-rotor au niveau des 3 les indices de la troisième direction de la matrice

122 102 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle bobines et au niveau de phase. La figure 3.6 illustre les valeurs prises par les mutuelles entre les bobines de la première phase et la première boucle rotorique ainsi que l inductance mutuelle globale de cette phase, au cours d un démarrage (vitesse variable). La dérivée de cette dernière est donnée par les figures 3.7. x M bob 11 1 M bob 12 1 Msr (H) M ph t (s) Fig. 3.6 Inductances mutuelles de phase et de bobines entre la phase 1 et la boucle rotorique N 1 au cours d un démarrage. 6 x M ph 1 1 θ (H/rad) t (s) Fig. 3.7 Les valeurs prises par la dérivé de la mutuelle entre la phase 1 et la boucle rotorique N 1 au cours d un démarrage. Nous présentons aussi, via la figure 3.8, les valeurs prises par les mutuelles entre toutes les bobines et la première boucle rotorique. Les mutuelles résultantes, entre les trois phases et cette boucle rotorique, sont représentées par la figure 3.9.

123 3.2. Modèle généré par le simulateur x 10 4 M sr pdp (H) M 11 1 M 12 1 M 21 1 M 22 1 M 31 1 M t (s) Fig. 3.8 Un aperçu des mutuelles stator-rotor au niveau des bobines au cours d un démarrage. x M sr ph (H) M 1 1 M 2 1 M t (s) Fig. 3.9 Un aperçu des mutuelles stator-rotor au niveau des phases, au cours d un démarrage. La figure 3.10 nous donne un aperçu sur les mutuelles entre la phase 1 et trois boucles rotoriques successives.

124 104 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 1.5 x M 1 3 M 1 2 M M ph sr (H) t (s) Fig Inductances mutuelles entre la phase N 1 et trois boucles rotoriques au cours d un démarrage. Nous tenons à signaler que le logiciel de simulation ne sauvegarde que les mutuelles élémentaires, et que les mutuelles au niveau des phases et au niveau des bobines sont déduites en poste simulation, via les matrices de passage introduites précédemment. Ces figures illustrent une des fonctionnalités offertes par ces matrices de passage. Elles peuvent, aussi, être exploitées pour étudier les flux et les courants, au niveau des enroulements, des bobines ou des phases Couplage et alimentation Le générateur de modèle gère le couplage de la machine en deux étapes : la première concerne le couplage de la machine par la matrice [D] coup, et la deuxième concerne le couplage des sources de tension par la matrice [D] alim [D] coup Cette matrice de connexion peut prendre deux valeurs, selon le mode de couplage du stator (Fig : 3.11) ; soit elle ] est égale à la matrice identité, dans le cas de couplage triangle, ou [D] coup = pour un couplage en étoile. [ Quelque soit le mode de couplage du stator, les relations entre les grandeurs de

125 3.2. Modèle généré par le simulateur 105 I 1 (R, L) 1 J 1 I 1 (R, L) 1 U 1 V 1 V 2 U 1 I 2 (R, L) 2 U 2 J 2 V 1 V 2 V 3 J 2 I 2 (R, L) 2 U 2 J 3 I 3 (R, L) 3 I 3 (R, L) 3 U 3 J 1 U 3 (a) Couplage en étoile (b) Couplage en triangle Fig Mode de couplage du stator boucles et celles de phases restent les mêmes : [I] ph s = [D] coup [J ] s [V] s = [D] t coup [U] ph s (3.39) C est cette matrice qui nous permet de remonter à la dernière couche du stator, la couche où toutes les grandeurs sont exprimées en fonction des boucles déjà définies. Cette étape est réalisée via la matrice de connexion définitive du stator [D] s. avec [I] enr s = [D] s [J ] s (3.40) [D] s = [D] enr ph s [D] coup (3.41)

126 106 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Précisons que [D] s = [D] enr ph s dans le cas d un couplage en triangle, et que [D] s = [ ] = (3.42) dans le cas d un couplage en étoile. Cette matrice permet, ainsi, de définir le système d équations différentielles indépendantes à résoudre, ainsi que la matrice des résistances et celle des inductances des boucles statoriques : [V] s = [R] s [J ] s + d([l] s [J ] s ) dt (3.43) sachant que [R] s = [D] t s [R] s [D] s (3.44) [L] s = [D] t s [L] s [D] s (3.45) Les tensions appliquées à ces boucles sont déduites des sources de tension via la matrice de connexion de l alimentation [D] alim Le vecteur des tensions de boucles se déduit de vecteur des sources de tension par la relation : e 1 [V] s = [D] t alim e 2 e 3 } {{ } [E] (3.46)

127 3.2. Modèle généré par le simulateur 107 Cette matrice dépend du type de couplage de l alimentation ainsi que du couplage du stator, décrit par les figures 2.25 et Un aperçu des différentes valeurs et formes que peut prendre cette matrice est donné par le tableau 3.1. Tab. 3.1 D alim selon le mode de couplage de la machine Mode de Couplage Stator en Stator en Alimentation en Alimentation en Nous avons choisi, dans un premier temps, de faire fonctionner le simulateur en mode triangle/triangle. En fait, le fait de coupler le stator en triangle nous ramène à définir autant de boucles que les phases. Ainsi, les grandeurs de boucles seront les mêmes que celles des phases. Cette similitude de grandeurs nous évite de faire des transformations inverses pour revenir aux grandeurs de phases, afin de se concentrer sur l ajustement et la validation du modèle. Nous reviendrons en détail sur le couplage étoile/étoile et étoile/triangle, de cette machine, lors de la modélisation et la validation d un défaut entre phase et terre Mise en équation et résolution La dernière étape que fait le simulateur, avant de définir le système d équations différentielles à résoudre, est l assemblage des matrices statoriques et des matrices rotoriques selon les équations 3.47a et 3.47b. [R] = [R] s [ ] 0 [ ] 0 [R] r (3.47a) [L](θ) = [L] s [M] sr (θ) [M] rs (θ) [L] r (3.47b) Ainsi, tous les éléments sont prêts pour former le système d équations différentielles défini par l expression Nous avons évoqué précédemment, dans la

128 108 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle section 2.5.3, que nous avons doté ce simulateur de la possibilité d adopter un mode de résolution dynamique. Un tel choix nous évite de définir un pas de calcul trop petit pour toute la durée de la simulation. En effet, comme on ne prend pas en considération l inclinaison des barres rotoriques, la machine démarre avec beaucoup d oscillations au niveau de l accélération (Fig : 3.12). Cette vibration rend le système d équations différentielles plus rigide lors de la résolution. Un pas de calcul bien adapté au régime permanent peut ne pas être adapté au régime transitoire, et peut rendre l algorithme de résolution instable au cours de cette phase X: Y: Ω r (rad/s) t (s) Fig Apparition des ondulations de vitesse au cours de démarrage Nous illustrons par la figure 3.13 les valeurs prises par le pas de calcul au cours d un démarrage à vide de cette machine. 7 x Pas de calcul (s) t (s) Fig Nuage de points des pas de calcul dynamiques lors d un démarrage à vide

129 3.2. Modèle généré par le simulateur 109 Cette oscillation est bien visible sur l évolution du couple électromoteur C em au cours du démarrage. Nous présentons sur la figure 3.14 l évolution du C em en fonction de la vitesse angulaire Ω r du rotor au cours d un démarrage C em (N.m) Ω (rad/s) r Fig C em en fonction de la vitesse angulaire au cours d un démarrage à vide Une présentation temporelle de l évolution, en régime transitoire et en régime permanent, à vide et en charge, de ce couple est donnée par la figure Une fois que la machine atteint le régime permanent, le C em se stabilise à une valeur proche de zéro (comportement à vide en présence de frottement) C em (N.m) X: Y: X: Y: t (s) Fig C em à vide et en pleine charge (C r = 7Nm à t=0.5s)

130 110 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 3.3 Incidence de la variation des paramètres Une fois le Mod.C.324 est généré, la couche de simulation s occupe de faire tourner ce modèle selon les paramètres de simulation, introduites par l utilisateur «ou l expérimentateur». Cette couche modélise l environnement dans lequel sera mis le modèle : alimentation, frottements, couple résistant et évènements qui peuvent arriver au cours de la simulation. Cette couche est implémentée par l Objet IM-SIM. Cet Objet récupère le modèle généré par le MétaModèle (IM-Obj ), lui fournit l alimentation adéquate selon le mode de couplage des sources de tension et de la machine, et assure la gestion des évènements de simulation qui peuvent arriver. Ces évènements peuvent être externe à la machine : variation du couple résistant C r, variation de la tension d alimentation (une chute de tension, coupure d une phase, introduction d une excitation de tension pour une éventuelle identification...), variation de l inertie mécanique de l arbre du rotor, comme ils peuvent être interne : variation d un paramètre qui touche aux dimensions de la machine (e, R...), variation de la valeur des fuites d un enroulement, variation de la résistance d un enroulement ou d une barre... Le principe de la spécification et de la gestion des évènements, ainsi que de la saisie d un scénario de simulation est relaté dans l annexe C.3. Le choix des paramètres d un simulateur est une tâche délicate, et nécessite des compétences dans plusieurs domaines ; construction mécanique, bobinage, choix des conducteurs, électromagnétisme... Cette tâche est d autant plus difficile si nous cherchons à imiter le comportement d une machine réelle. Lors de choix des paramètres de simulation, nous avons passé par plusieurs simulations, en variant quelques dimensions, la topologie de bobinage, la forme de la répartition de l induction magnétique dans l entrefer, ainsi que la variation de quelques paramètres électriques. Nous nous limitions, dans ce qui suit, à la présentation de l incidence de la variation de quelques paramètres sur le comportement du modèle. Sachant que nous

131 3.3. Incidence de la variation des paramètres 111 faisons varier ces derniers, une fois que nous nous sommes fixés sur les paramètres topologiques du Mod.C.324 (section 3.2.1) L entrefer e Le paramètre e, que nous faisons varier ici, est un entrefer fictif, en assimilant le stator à encoches à un stator lisse. Habituellement, cet entrefer est déduit de l entrefer mécanique e méc par l expression : e = K c e méc (3.48) avec, K c est le coefficient de Carter, il est utilisé pour tenir compte de l effet de la denture Gillon (1997), Lateb (2006). Pour des machines de grande taille, ce coefficient donne des résultats assez précis, mais il est moins efficace dans le cas des machines de petite taille. L ajustement de ce paramètre, en comparant les résultats de simulation à ceux issus d expérimentation, s avère une bonne alternative pour prendre en considération l ouverture des encoches. Il est évident que l entrefer de la machine est l endroit où se passe la majeure partie de la transformation de l énergie magnétique. Ceci rend le modèle très sensible à toute variation de ce paramètre. Afin d illustrer l influence de e sur le comportement du simulateur, nous faisons varier la valeur de l entrefer au cours de la simulation, et nous présentons l impact de cette variation sur quelques signaux. Soit le scénario de simulation suivant : Scénario Variation de l entrefer à vide : à t=0s : e = 0.55mm, à t=1.3s : e = 0.70mm, à t=2.3s : e = 0.90mm. En introduisant le scénario de simulation 3.1, nous pouvons avoir une idée sur la sensibilité du fonctionnement, à vide, à ce paramètre. La figure 3.16 présente les valeurs prises par le courant de magnétisation de la machine, en présence de frottement sec et de frottement visqueux. Cette sensibilité vient du fait que le courant réactif est très sensible à la variation de l inductance magnétisante de la machine,

132 112 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle une baisse de cette dernière (par augmentation de e) induit systématiquement une augmentation des courants réactifs consommés par la machine X: Y: X: Y: X: Y: (A) I ph t (s) Fig Incidence de la variation de l entrefer sur le courant de magnétisation Afin de comparer l impact d un tel changement sur le fonctionnement à vide et sur le fonctionnement en pleine charge de la machine, nous introduisons, cette fois ci, le scénario 3.2. Il est évident que l impact de cette baisse de l inductance de magnétisation aura aussi un effet sur le fonctionnement en charge de la machine. Ce besoin de magnétisation supplémentaire au niveau de l entrefer sera compensé par une consommation supplémentaire du courant réactif au niveau des enroulements statoriques. Cette augmentation du courant réactif est bien visible sur l amplitude globale des courants consommés par le stator, la figure 3.17 nous donne un aperçu sur cette compensation au niveau de la phase 1. Scénario 3.2 Variation de l entrefer en pleine charge : à t=0s : e = 0.55mm, à t=0.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=1.3s : e = 0.70mm, à t=2.3s : e = 0.90mm. Comme ce paramètre a une grande incidence sur les courants réactifs consommés par la machine, nous retrouvons cet effet sur le déphasage entre les courants et les tensions de phases ph statoriques. Les figures 3.18 et 3.19 présentent les valeurs prises

133 3.3. Incidence de la variation des paramètres X: Y: X: Y: 4.08 X: Y: I ph 1 (A) t (s) Fig Incidence de la variation de l entrefer sur le courant en pleine charge par le déphasage Φ 1 = φ(u ph 1 ) φ(i ph 1 ) en fonction de la variation de l entrefer, à vide et en pleine charge. Comme la machine est alimentée par une source de tension triphasée d amplitude constante, la machine fonctionne sous flux forcé, ainsi la vitesse de rotation du rotor reste peu sensible à la variation de l entrefer, que ce soit à vide ou en pleine charge, par contre le courant magnétisant (courant réactif) est directement lié à cette variation. À vide : le déphasage Φ 0 est essentiellement dû aux valeurs de la résistance des phases et de l inductance magnétisante L m tel que tan(φ 0 ) L m.w s R s donc si e augmente, on a L m qui diminue, et on aura Φ 0 qui diminuera aussi. En charge : Le calcul de tan(φ) doit se faire à partir des puissances actives et réactives tel que : tan(φ) = Q (puissance réactive) P (puissance active) sachant que la puissance active dépend, aux pertes Joules statoriques prêt, que du couple électromagnétique, donc lorsque l on modifie l entrefer, P active est quasi-constante, par contre la puissance réactive Q dépend essentiellement de la magnétisation de l entrefer (inversement proportionnel à L m ), donc si e augmente, Q magn augmente et Φ augmente aussi.

134 114 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle X: Y: X: Y: X: Y: Φ 1 ( ) t (s) Fig Incidence de la variation de l entrefer sur le déphasage à vide Φ 1 ( ) X: Y: X: Y: X: Y: t (s) Fig Incidence de la variation de l entrefer sur le déphasage en pleine charge Afin de quantifier l incidence de la variation de ce paramètre sur le couplage magnétique de la machine, nous introduisons le scénario de simulation 3.3. La variation de l inductance mutuelle entre les phases statoriques et la première boucle rotorique est illustrée par la figure Scénario 3.3 Évènements de variation de l entrefer de courte durée : à t=0s : e = 0.55mm, à t=.54s : e = 0.70mm, à t=.58s : e = 0.90mm.

135 3.3. Incidence de la variation des paramètres x M ph x 1 (H) M 1 1 M 2 1 M t (s) Fig Incidence de la variation de l entrefer sur les inductances mutuelles de phases Inductances de fuites Les inductances de fuites introduites dans le simulateur permettent de prendre en compte les flux qui ne participent pas directement à la conversion électromagnétique de l énergie. Ces fuites sont généralement dues aux formes d encoches et aux têtes de bobines. Plusieurs ouvrages et travaux de recherche proposent des techniques de calcul de ces fuites Grellet, Devanneaux (2002), selon les dimensions et les formes géométriques des encoches. Ces techniques sont mieux adaptées aux machines de grande taille, et ne donnent pas d aussi bons résultats pour les machines de petite taille (comme la M.AS.Réelle). Afin de remédier à ce problème nous avons introduit auparavant (expression (2.25)) le coefficient de réglage ε xyz pour les enroulements statoriques, auquel nous faisons correspondre le coefficient ε k pour les boucles fictives rotoriques, ce paramètre de modèle nous permet d ajuster les valeurs des fuites lors des simulations. Le fait de se baser sur un outil logiciel, permet d étudier la sensibilité du modèle vis-à-vis des fuites statoriques et rotoriques, et nous permet ultérieurement, de bien choisir ces paramètres. Comme le fonctionnement à vide de la machine n est pas très sensible à la variation des fuites, nous nous contentons d exposer la sensibilité de quelques signaux à la valeur prise par les inductances de fuites, que ce soit au stator ou au rotor, lors d un fonctionnement en pleine charge du simulateur.

136 116 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Inductances de fuites statoriques L f s Pour les inductances de fuites des enroulements statoriques, nous les faisons varier selon le scénario 3.4. Scénario 3.4 Variation des fuites statoriques en pleine charge : à t=0s : ε xyz = 0.47, à t=0.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=1.3s : ε xyz = 1.19, à t=2.3s : ε xyz = x {1..N}, y {1..p}etz {1..N e }. Comme le MétaModèle calcule les fuites d une manière indépendante des inductances propres, si on augmente les fuites, cela revient à augmenter l inductance totale statorique et à diminuer la magnétisation de la machine, donc la diminution du flux. Donc, en charge, pour un couple constant, la diminution du flux provoque des augmentations du glissement, du courant rotorique et par conséquence de la puissance réactive consommée par les inductances de fuites statorique et rotorique. L augmentation de la puissance réactive et le maintien de la puissance active quasi constante (en négligeant les variations des pertes Joule statoriques) a pour conséquence d augmenter très légèrement le déphasage Φ Ω r (rad/s) X: Y: X: Y: X: Y: t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites statoriques sur le glissement en pleine charge

137 3.3. Incidence de la variation des paramètres 117 La figure 3.22 nous donne une idée sur les valeurs prises par ce déphasage en fonction de la valeur des fuites statoriques, au cours de la simulation du scénario Φ ph ( ) X: Y: X: Y: X: Y: t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites statoriques sur le déphasage en pleine charge Outre que l incidence de la variation des fuites statoriques sur le régime stationnaire, ces fuites ont une répercussion non négligeable sur le régime dynamique de la machine. Un exemple de cette répercussion est donné par la figure Ωr (rad/s) t (s) ǫ xyz = ǫ xyz = ǫ xyz = Fig Incidence de la variation des fuites statoriques sur le démarrage de la machine Étant donné que le couple max est inversement proportionnel à l inductance de fuites ramenée au rotor, l augmentation des fuites provoque la diminution de ce couple max, et le temps de démarrage sera plus important.

138 118 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Inductances de fuites rotoriques L f r Nous n avons pas l habitude d étudier les fuites statoriques et les fuites rotoriques d une manière séparée. Avec les modèles comportementaux (comme le modèle de Park), les fuites sont souvent ramenées au stator ou au rotor. Ce qui ne favorise pas le fait de les étudier d une manière séparer. La manière avec laquelle nous avons conçu notre MétaModèle nous permet de faire varier les fuites de n importe quelles boucles rotoriques à part. Afin d étudier l incidence de la variation de ce paramètre sur le comportement du modèle nous le faisons varier comme décrit par le scénario suivant : Scénario 3.5 Variation des fuites rotoriques en pleine charge : à t=0s : ε k = 0.19, à t=0.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=1.3s : ε k = 0.63, à t=2.3s : ε k = k {1..N r }. Commençons d abord par présenter ce qui se passe du côté des courants statoriques (Fig : 3.24) et du côté des courants rotoriques (Fig : 3.25). Ces figures prouvent que les fuites rotoriques ont le même effet, sur les courants statoriques ou rotoriques, que les fuites au niveau du stator X: Y: 3.72 X: Y: X: Y: (A) I ph t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le courant statorique en pleine charge L augmentation des fuites rotoriques fait augmenter l inductance de fuites rame-

139 3.3. Incidence de la variation des paramètres 119 née au rotor et comme le couple max est inversement proportionnel à celle-ci, ainsi l augmentation des fuites rotorique provoque la diminution du couple max. Donc, en charge, pour un couple constant, la diminution du couple max provoque des augmentations du glissement, des courants rotorique et statorique, par conséquence de la puissance réactive consommée par les inductances de fuites statorique et rotorique avec un maintien constant de la magnétisation principale, et ainsi le déphasage Φ augmente de façon plus significative que dans le cas de l augmentation des fuites statoriques I b1 I ex a1 I (A) t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur les courants rotoriques en pleine charge Les valeurs prises par la vitesse angulaire du rotor et le déphasage entre les tensions et les courants de phase, au cours de la simulation du scénario 3.5, sont présentées par les figures 3.26 et Cette similarité de comportement des variations des fuites statorique et rotorique rend le réglage de ces deux paramètres plus délicat. Nous retrouvons aussi cette simularitée de comportement du modèle vis-à-vis de la variation des fuites statoriques et des fuites rotoriques au niveau du régime dynamique de la machine. Un exemple de la répercussion de l augmentation des fuites rotoriques est donné par la figure Nous savons que le comportement global de la machine peut être expliqué par le fait que le couple max est inversement proportionnel à l inductance de fuites ramenée au rotor, l augmentation de ces fuites provoque la diminution de ce couple, ce qui rend le temps de démarrage plus important.

140 120 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Ω r (rad/s) X: Y: X: Y: X: Y: t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le glissement en pleine charge Φ ph ( ) X: Y: X: Y: X: Y: t (s) Fig Incidence de la variation de l inductance de fuites des boucles rotoriques sur le déphasage en pleine charge En Outre, nos remarquons que les figures 3.23 et 3.28 ne présentent pas le même degré de sensibilité du régime transitoire de la machine vis-à-vis de la variation des fuites statoriques et des fuites rotoriques. Sachant que nous avons gardé les mêmes taux d augmentation des fuites dans les deux cas (50%, 100% et 150%), il est clair que le régime dynamique de la machine est plus sensible aux fuites rotoriques.

141 3.3. Incidence de la variation des paramètres 121 Ωr (rad/s) t (s) ǫ k = ǫ k = ǫ k = Fig Incidence de la variation des fuites rotoriques sur le démarrage de la machine La résistance rotorique R b Concernant la variation de la résistance des barres rotoriques, nous avons fait plusieurs essais de simulation. Comme prévisible, nous avons remarqué que lors du fonctionnement à vide, la machine n est pas très sensible à la variation de ce paramètre. Nous ne présentons dans ce qui suit que les résultats de la variation de cette résistance selon le scénario 3.6. Scénario 3.6 Variation de la résistance de barres en pleine charge : à t=0s : R bi = 45µW, à t=0.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=1.3s : R bi = 55µW, à t=2.3s : R bi = 65µW. i {1..N r }. La figure 3.29 nous donnent une idée sur la sensibilité du glissement à la variation de la résistance de barres rotoriques. A couple de charge constant, l augmentation de la résistance rotorique provoque une augmentation quasi proportionnelle du glissement (Fig : 3.29), mais un maintien quasi constant des courants statorique et rotorique. Ce paramètre a le même effet sur le glissement que l entrefer ou les fuites, une augmentation de cette résistance induit systématiquement à une augmentation du

142 122 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 170 Ω r (rad/s) X: Y: X: Y: X: 2.72 Y: t (s) Fig Incidence de la variation des résistances de barres rotoriques sur le glissement en pleine charge glissement. Mais la spécificité de ce paramètre est qu il a un effet inverse sur le déphasage entre les tensions et les courants du stator, une augmentation de ce dernier fait baisser le déphasage Φ x. Par définition, la modélisation est la représentation d une partie de la réalité. le modèle ici exposé est loin de prendre en considération tous les phénomènes qui se passent dans la machine. Pour corriger certaines hypothèses simplificatrices, Nous avons déjà présenté plusieurs coefficients correcteurs : le coefficient de Carter pour incorporer les formes d encoches statoriques dans l entrefer fictif e Lateb (2006), Gillon (1997). les facteurs de perméance d encoche et de têtes de bobine pour déterminer les fuites selon les formes géométriques de la machine Devanneaux (2002), Grellet. Un autre phénomène n est pas pris en considération lors du calcul des résistances et des inductances selon les formes géométriques de la machine, est celui de l effet de peau. L une des solutions consiste à le modéliser par le coefficient de Kelvin (calculé analytiquement en fonction de la forme géométrique des barres ou des encoches) Lateb (2006). Toutefois, ces formulations simples ne sont pas valables pour n importe quelle forme d encoches, et surtout pour les machines de petite taille. La technique d ajustement des paramètres s avère une bonne approximation des phénomènes qui se passent au sein de la machine, et qui permet d approcher le plus que possible le point de fonctionnement de la machine à simuler.

143 3.4. Validation expérimentale Validation expérimentale Paramétrage du modèle Le but, est de trouver le bon jeu de paramètres, pour approcher le plus que possible le point de fonctionnement du simulateur de celui de la M.AS.Réelle. Pour se faire, nous nous sommes basés sur quatre critères de comparaison : le courant actif consommé par la machine, le courant réactif consommé par la machine, la vitesse angulaire du rotor, et le déphasage entre les tensions et les courants statoriques. Avant d entamer la comparaison proprement dite, nous avons remarqué que le simulateur produit plus d harmoniques d espace dues à l effet d encoches que le système réel. Ceci est dû principalement au choix des formes rectangulaires pour les fonctions de répartition de l induction magnétique dans l entrefer (négligemment de la magnétisation du fer) et à la non prise en compte de l inclinaison des barres rotoriques. Ceci est dû aussi à d autres phénomènes non pris en considération au niveau du simulateur qui sont la saturation du fer au niveau de dents des encoches,... Afin de comparer les phénomènes qui existent à la fois au niveau du simulateur et au niveau du système réel, nous avons choisi de filtrer les signaux à comparer. Ce filtrage a été fait avec un filtre numérique d ordre 6 et de fréquence de coupure f c = 100Hz. Ce filtrage a pour effet d introduire un déphasage sur les grandeurs filtrées (Fig : 3.30). Pour garder le même déphasage entre les tensions et les courants à analyser, nous appliquons le même filtre sur les tensions et les courants que ce soit expérimentaux ou de simulation.

144 124 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Courant filtré 1 I (A) Courant non filtré t (s) Fig Déphasage introduit par le filtre Prise en considération des pertes fer Nous commençons, d abord, par l ajustement des courants actifs du simulateur par rapport à ceux issus d expérimentation. En faisant une première comparaison nous nous sommes rendu compte que, à vide, il y a un grand écart entres les courants actifs de simulation et ceux d expérimentation (Fig : 3.31). Cette différence est due, en grande partie, aux pertes fer non prises en compte par le simulateur. En fait, les courants de simulation ne représentent que les pertes joule au niveau des enroulements statoriques (pour une résistance de phase R x = 9.8Ω). I ph act (A) Courant de simulation sans pertes fer Courant expérimental 0.6 Courant de simulation avec pertes fer t (s) Fig Courant actif statorique avec et sans pertes fer (à vide) Cet écart peut être rattrapé par l addition, en post-simulation, d un courant de

145 3.4. Validation expérimentale 125 même phase que la tension et avec une amplitude adéquate : Ix ph avec pertes fer = Ix ph Ux ph + (3.49) R pertes fer Les figures 3.31 et 3.32 illustrent l incidence de cette opération sur le courant actif de simulation, à vide et en pleine charge, pour une résistance de pertes fer R pertes fer = 1300Ω. Cette opération nous permet, aussi, de rattraper l écart de déphasage qui existait entre le simulateur et la M.AS.Réelle, comme illustré par la figure I ph 1act (A) Courant actif sans pertes fer (sim) Courant actif avec pertes fer (sim) Courant actif expérimental t (s) Fig Courant actif statorique avec et sans pertes fer (en plein charge) Ajustement du courant réactif Nous venons d exposer, dans la section précédente, que le courant réactif consommé par la machine simulée est très sensible à plusieurs paramètres L f s, L f r, R r et e. Nous avons remarqué, aussi, que les trois premiers paramètres n ont pas une grande incidence sur le courant réactif à vide. C est pour cette raison que nous fixions une première valeur de l entrefer fictif, en ajustant le courant réactif consommé à vide, tout en respectant la condition e > e méc. La figure 3.33 compare le courant réactif de simulation et expérimental pour e = 0.55mm. Le fait de faire cet ajustement à vide nous procure une certaine immunité contre l incidence de la variation des inductances de fuites et de la résistance rotorique, lors de l ajustement du déphasage et du glissement du simulateur. L ajustement du courant réactif en pleine charge peut se faire en agissant, à la fois, sur L f s, L f r et R r.

146 126 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 3 2 I ph 1 réac (A) Simulation Expérimentation t (s) Fig Courant réactif expérimental et de simulation à vide Ajustement du déphasage Ce critère est très sensible à tous les paramètres (e, L f s, L f r et R r ), ce qui rend l ajustement de ce critère très délicat. En fait, plusieurs combinaisons de ces paramètres nous permettent de trouver une bonne valeur du déphasage, mais à chaque fois qu on fait varier la valeur d un paramètre il y aura d autres répercussions sur les autres critères, qu on vient de satisfaire. En effet il faut itérer ces étapes, plusieurs fois, jusqu à trouver une bonne combinaison des paramètres, permettant de satisfaire tous les critères. Φ ph 1 ( ) X: Y: X: Y: Sim sans pertes fer 20 Exp à vide Sim avec pertes fer Exp en pleine charge t (s) 79.5 X: Y: Fig Déphasage entre tensions et courants statoriques de simulation et expérimental La prise en considération des pertes fer nous a permis de rapprocher plus les valeurs prises par le déphasage, entre les tensions et les courants statoriques Φ ph x en

147 3.4. Validation expérimentale 127 simulation à celui issu de l expérimentation. La figure 3.34 illustre le comportement assez proche du simulateur par rapport à l expérimentation. Ce déphasage sera parmi les critères les plus importants sur lesquels nous nous basons lors de la caractérisation d un défaut de court-circuit au stator Ajustement du glissement Ce critère est le plus simple à satisfaire, car la résistance des barres rotoriques est le paramètre le plus influant sur le glissement de la machine, cela nous permet de rattraper les écarts dûs à l ajustement des autres critères en agissant sur la valeur de cette résistance. La figure 3.35 compare la vitesse angulaire du rotor, à vide et en pleine charge, de simulation à celle d expérimentation Ωr (rad/s) X: Y: Simulation Expérimentation à vide Expérimentation en pleine charge t (s) Fig Vitesse angulaire à vide et en pleine charge (C r = 7Nm à t = 0.7s) Le jeu de paramètres sélectionnés Nous n avons présenté dans ce qui précède que le principe avec lequel nous avons fait le choix des paramètres les plus influents. Ça n empêche pas que le point de fonctionnement du Mod.C.324 (simulée) dépend d autres paramètres, que nous ne pouvons pas négliger. Le tableau 3.2 expose le jeu de paramètres définitif, fourni au simulateur pour aboutir au comportement exposé par les figures précédentes.

148 128 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle Tab. 3.2 Le jeu de paramètres introduit au MétaModèle de simulation du stator du rotor Communs Paramètres Valeurs e x Max V F s 50 Hz f v J N.m.s 2.rad 1 Pas de calcul dynamique Coup Alim Triangle Couplage Triangle N 3 p 2 N e 4 n xyz 58 spires [b 1, b 2, b 3 ] [4.234, 2.2, 2.935] mm [h 1, h 2 ] [9.98, 0.6] mm ε xyz 1.19 R x 9.8 Ω Topologie Concentrique Type à cage N r 28 [b 1, b 2, b 3 ] [1.4, 0, 5.253] mm [h 1, h 2 ] [16.048, 0.5] mm ε k 0.38 R b 61 µω Ra ext = Ra int.56e 6 L extp a = La intp 1.7e 9 L extf a = La intf 1.7e 9 n k 1 spires R r 45 mm µ 0 4π10 7 e 0.58 mm L 54 mm Répartition de F rectangulaire Validation fréquentielle L analyse fréquentielle des courants statoriques d une machine asynchrone peut révéler plusieurs informations. l analyse spectrale des signaux d une machine asynchrone, était parmi les premières techniques de détection d anomalies électrique ou

149 3.4. Validation expérimentale 129 mécanique au sein de la machine. Les caractéristiques géométriques de la machine (nombre de barres, nombre d encoches, la forme des encoches...) sont une cause directe de la richesse des ces spectres de courant. Parmi les harmoniques les plus visibles sur un spectre de courants, on peut citer les harmoniques d encoches, plus spécifiquement les harmoniques principales d encoches rotoriques f enc Devanneaux (2002). Ces fréquences peuvent être calculées analytiquement par l expression (3.50). f enc = [ k N r ( 1 g p ) ± ν ] F s avec k N, ν {1, 3, 5, 7,...}, g : glissement. (3.50) Tab. 3.3 Fréquences d encoches significatives (Hz) k ν La figure 3.36 présente la densité spectrale de puissance du courant de la phase 1, sur laquelle nous avons repéré les fréquences, correspondantes à un ν = 1, du tableau 3.3, pour un g = 5.14%. Nous signalons que les fréquences d encoches pour un ν > 1 sont représentées par les rais à droite et à gauche des harmoniques principales repérées sur cette figure. En expérimentation, ces harmoniques sont moins visibles qu en simulation (Fig : 3.37). Cette différence est due à plusieurs causes : la présence de bruit sur les courants expérimentaux qui peut masquer quelques raies, l inclinaison des barres de la M.AS.Réelle, la saturation du fer au niveau des dents d encoches, le système d acquisition utilisé a une fréquence de coupure à 2500 Hz. On remarque que les harmoniques d espace (3, 5, 7...) n existent pas en simulation car les inductances du modèle sont indépendantes de la position du rotor (sauf évidement les mutuelles stator/rotor).

150 130 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle 50 DSP I ph 1 (db) Hz 713 Hz 1278 Hz 1378 Hz 1942 Hz 2040 Hz 2606 Hz 2706 Hz 3270 Hz 3370 Hz f (Hz) Fig Analyse spectrale de I ph 1 de simulation en pleine charge DSP de I ph 1 (db) Hz 713 Hz 1278 Hz 1378 Hz f (Hz) (a) Simulation Hz DSP de I ph 1 (db) Hz 713 Hz 1278 Hz 1378 Hz f (Hz) (b) Expérimentation Fig Analyse spectrale de I ph 1 en pleine charge sur une plage de [0 1500] Hz

151 3.4. Validation expérimentale Validation par identification paramétrique La deuxième technique de validation que nous allons utiliser est basée sur l identification paramétrique du modèle de Park équivalent au modèle généré par le MétaModèle. La technique d identification que nous avons adopté est basée sur l algorithme par erreur de sortie, cette technique ne fait aucune hypothèse sur la linéarité du modèle et elle fournit une estimation non biaisée en boucle ouverte Bachir et al. (2008) Principe de l algorithme d identification du type erreur de sortie Considérons un système décrit par le modèle d état général d ordre n, dépendant du vecteur paramètres θ : ẋ = g (x, θ, u) y = f (x, θ, u) avec dim(x) = n dim(θ) = N (3.51) où y(t) et u(t) sont considérés mono-dimensionnels uniquement pour simplifier la présentation. On remarquera qu aucune hypothèse de linéarité n est nécessaire : g et f sont des lois issues d un raisonnement physique, qui en général ne sont pas linéaires. On fera cependant l hypothèse que le système est identifiable Walter et Pronzato (1997). Soit ˆθ une estimation de θ. Alors grâce à u(t), connue aux instants d échantillonnage u k, on obtient une simulation ŷ k de la sortie, soit ẋ = g ( x, θ, u ) ŷ = f ( x, θ, u ) (3.52) L estimation optimale de θ est obtenue par minimisation du critère quadratique : K K ( ( J = ε 2 k = y k ŷ k uk, ˆθ )) 2 k=1 k=1 (3.53) où y k est la mesure de la sortie perturbée par le bruit b k. Comme la sortie n est pas linéaire en θ, la minimisation de ce critère s effectue par

152 132 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle une méthode de Programmation Non Linéaire (P.N.L.) Richalet et al. (1971). Ainsi, la valeur optimale du vecteur paramètre notée θ opt est obtenue par un algorithme d optimisation itératif Himmelblau (1972). L algorithme de Marquardt Marquardt (1963) offre un bon compromis entre robustesse et rapidité de convergence. Les paramètres à estimer sont réactualisés selon la loi : ˆθ i+1 = ˆθ i {[J θθ + λ I] 1 J θ} ˆθ=ˆθi (3.54) Les algorithmes d erreur de sortie diffèrent surtout par la façon de gérer l optimisation. Pour notre part, nous avons opté pour le calcul du gradient par les fonctions de sensibilité paramétrique. On prend donc : J θ = 2 K ε k σ k : gradient du critère, k=1 J θθ 2 K k=1 σ k σ T k λ : paramètre de réglage, : pseudo-hessien du critère, σ k,θi = ŷ k θ i : fonction de sensibilité paramétrique vis-à-vis des sorties ŷ k. La particularité essentielle de cette technique d identification réside dans la simulation du modèle ŷ k sur la seule connaissance de l excitation u k et du vecteur paramètres θ : c est cette simulation qui garantit l absence de biais asymptotique si le système fonctionne en boucle ouverte Trigeassou et al. (2003), Bazine (2008) ; en conséquence, les résidus sont l image de la perturbation affectant le système. Les fonctions de sensibilité ŷ k (qui sont l analogue des variables explicatives de θ i la méthode des moindres carrés) jouent elles aussi un rôle essentiel dans la recherche de l optimum : en effet, le gradient dépend directement de leur calcul (ainsi que de la simulation du modèle ŷ k à travers ε k ). On en déduit que si le calcul des σ k,θi est erroné, il en sera de même du gradient et donc de l optimum obtenu Résultats d identification Le tableau 3.4 présente les résultats de l identification paramétrique du modèle de Park équivalent au Mod.C.324. Cette identification est faite avec l excitation en tension introduite par le scénario 3.7.

153 3.5. Conclusion 133 Scénario 3.7 Excitation en tension à vide et en pleine charge : à t=0s : On démarre avec les paramètres du tableau 3.2, à t=0.3s : E Max = [230. 2, 10, 10, 10, 10] (V ), F s = [50, 10, 20, 30, 40] (Hz), à t=2.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, Tab. 3.4 Estimation paramétrique du Mod.C.324 Paramètres En pleine charge À vide R s (Ω) R r (Ω) L m (mh) L f (mh) Le tableau 3.5 présente les résultats de l identification paramétrique de la M.AS.Réelle, ces résultats sont obtenus en utilisant la même excitation en tension sur le banc d essai. Tab. 3.5 Estimation paramétrique de la M.AS.Réelle Paramètres En pleine charge À vide R s (Ω) R r (Ω) L m (mh) L f (mh) On remarque, que les paramètres estimés issus de simulation et ceux issus de l expérimentation sont assez comparables, nous remarquons aussi que R s expérimentale est toujours supérieure à celle de simulation. Cette différence est due en grande partie aux pertes fer dans la machine, que l algorithme essaie de compenser par les pertes joule dans la résistance des enroulements. 3.5 Conclusion Nous avons commencé ce chapitre par une présentation de la topologie du bobinage de la M.AS.Réelle, puis nous avons exposé les étapes empruntées, par le

154 134 Chapitre 3. Validation et paramétrage d un modèle MétaModèle exposé dans le chapitre 2, lors de la génération automatique du modèle correspondant à cette topologie. Cette étape nous a permis de concrétiser le développement théorique du chapitre précédent par un exemple, de bien exposer le principe de la prise en compte de la topologie électrique de la machine par des matrices de connexion, et de donner un aperçu du potentiel de cette technique de modélisation multi-niveaux (enroulement, bobine, phase et boucles de résolution). Quelques résultats numériques issus de la plate-forme de simulation «IMSim- Kernel» développée dans la cadre de cette thèse, nous ont permis d étudier l incidence de la variation de quelques paramètres électriques sur le comportement du modèle. Cette «expérimentation» nous a offert la possibilité de bien paramétrer le modèle, dans le but de rapprocher le point de fonctionnement du simulateur à celui de la M.AS.Réelle. Ce point de fonctionnement a une grande importance, surtout, au cours de la validation du comportement défaillant du modèle. Une validation fréquentielle et par identification paramétrique vient compléter la comparaison des signaux temporels, menée lors du choix des paramètres du simulateur. L analyse des courants statoriques de simulation montre la richesse harmonique de la modélisation adoptée. Celle-ci résulte de la prise en considération de la topologie du bobinage de la machine, que ce soit au stator ou au rotor. La deuxième technique de validation a montré que, vu par l algorithme d identification, les signaux issus de l expérimentation ou de la simulation sont assez similaires, et que le simulateur peut être utilisé comme un outil d expérimentation virtuel des techniques de détection et de localisation de défaillances. Nous exposons dans le chapitre suivant, le principe avec lequel le MétaModèle prendra en considération l apparition de certaines défaillances qui peuvent toucher la machine asynchrone.

155 Sommaire 4.1 Introduction Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Défaillance de rupture de barres ou d anneaux de courtcircuit Défaut d excentricité statique et/ou dynamique Conclusion Chapitre 4 3ME de la machine asynchrone en présence de défauts Ce chapitre a pour but d enrichir la méthodologie de modélisation multienroulements «3ME», présentée dans le chapitre 2, en exposant le principe de la prise en considération de la présence d un défaut. Ce défaut peut être un défaut de court-circuit de spires au sein d une même phase, un court-circuit entre phase et carcasse ou une rupture de barres. Nous montrons alors comment le MétaModèle prend en compte chacune de ces altérations topologiques. 135

156

157 4.1. Introduction Introduction De multiples défaillances peuvent apparaître dans la machine asynchrone, elles peuvent être prévisibles ou intempestives, mécaniques, électriques ou magnétiques, et leurs causes sont très variées. Un outil permettant la synthèse des signaux de toute une gamme des machines asynchrones, en présence de plusieurs types de défaillance, avec des temps de simulation acceptables, sera d une grande utilité pour arriver à : Comprendre la genèse de ces défauts, de manière à prévoir leurs gravités et leurs développements. Analyser leurs impacts sur le comportement de la machine et en déduire les signatures permettant, a posteriori, de remonter jusqu à la cause de la défaillance. L objectif de ce chapitre est de doter le MétaModèle, développé dans le chapitre 2, de la possibilité de s auto-adapter aux altérations topologiques dues à l apparition des défauts de type : court-circuit de spires au sein d une même phase, court-circuit entre phase et carcasse, rupture de barres ou d anneaux de court-circuit. A chaque étape de modélisation nous faisons correspondre un exemple concret, celui de la Mod.C.324, qui nous a servie de prototype d expérimentation virtuelle et de validation du modèle sain (chapitre 3). 4.2 Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Nous reprenons la modélisation d un enroulement élémentaire, exposée dans la section 2.3.1, en introduisant la possibilité de provoquer un court-circuit de spires au sein de cet enroulement.

158 138 Chapitre 4. 3ME des défauts Principe de modélisation Modèle électrique Nous schématisons à présent un enroulement élémentaire, d indice xyz et à n xyz spires, et ayant un défaut de court-circuit de spires, par le schéma de la figure 4.1. Nous venons d introduire, via cette schématisation, un point d accès inter-spires, ainsi qu une résistance de court-circuit R cc xyz. Une valeur non nulle de cette résistance peut expliquer deux contextes de courtcircuit. Le premier est que le contact de court-circuit n est pas parfait et présente une résistance de contact non nulle. Le deuxième est le fait de mettre, délibérément, une résistance de court-circuit non nulle ; dans le but de se rapprocher des conditions réelles expérimentales. En effet, nous avons eu recours à cette technique lors des essais expérimentaux, afin de limiter le courant de court-circuit I cc xyz à une valeur efficace de l ordre de 10 A. I cc xyz R cc xyz I h xyz (R, L) h xyz U cc xyz I d xyz (R, L)d xyz U h xyz U d xyz Fig. 4.1 Modèle électrique d un enroulement avec un défaut de court-circuit de n d xyz spires. Le système d équations différentielles régissant le comportement de ce dipôle s écrit : avec, Uxyz h = Rxyz h Ixyz h + d(lh xyz Ixyz h + Mxyz h d Ixyz) d dt Uxyz cc = Rxyz cc Ixyz cc Uxyz d = Rxyz d Ixyz d + d(ld xyz Ixyz d + Mxyz d h Ixyz) h dt Uxyz cc = Uxyz d R h xyz : est la résistance de la partie non court-circuitée de l enroulement xyz, R d xyz : est la résistance des n d xyz spires, court-circuitées, de l enroulement xyz, (4.1)

159 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 139 R cc xyz : est la résistance de court-circuit de l enroulement xyz, L h xyz = L hp xyz + L hf xyz : est l inductance totale de la partie non court-circuitée de l enroulement xyz ( p : propre et f : de fuite), L d xyz = L dp xyz + L df xyz : est l inductance totale des n d xyz spires, court-circuitées, de l enroulement xyz, Sachant que, ces inductances propres sont calculées selon l équation (2.16), en se basant sur les nouvelles fonctions de répartition de l inductance surfacielle (4.2) et (4.3). Fxyz(ϕ) h = µ 0 e (n xyz n d xyz) 2π w xyz 2π Fxyz(ϕ) h = µ 0 e (n xyz n d xyz) w xyz 2π si ϕ ϕ int, si ϕ ϕ ext. (4.2) Fxyz(ϕ) d = µ 0 e 2π w xyz nd xyz 2π Fxyz(ϕ) d = µ 0 e w xyz nd xyz 2π si ϕ ϕ int, si ϕ ϕ ext. (4.3) Et que les inductances de fuites sont calculées par les expressions suivantes : L hf xyz = ε xyz (L hf xyz + L df xyz = ε d xyz (L df xyz + hf L xyz) df L xyz) (4.4) sachant que les inductances de fuites d encoches et de têtes de bobines sont déduites via les expressions (2.26) et (2.27) en fonction du nombre de spires correspondant Mise en équation L écriture matricielle du système d équations différentielles (4.1) donne : [U] enr xyz = [R] enr xyz[i] enr xyz + d([l]enr xyz[i] enr dt xyz) (4.5) avec, [U] enr xyz = U h xyz Uxyz cc, Uxyz d [I]enr xyz = I h xyz Ixyz cc (4.6) Ixyz d

160 140 Chapitre 4. 3ME des défauts ainsi que [R] enr xyz = R h xyz Rxyz cc Rxyz d (4.7) et L h xyz 0 M h d xyz [L] enr xyz = (4.8) Mxyz d h 0 L d xyz sachant que la valeur de l inductance mutuelle entre les spires saines et les spires court-circuitées de cet enroulement. sont calculées à partir des expressions données par (4.9) et (4.10), Mxyz h d = L R xyz (n xyz n d βxyz xyz) Fxyz(ϕ) d dϕ (4.9) α xyz Mxyz d h = L R xyz n d βxyz xyz Fxyz(ϕ) h dϕ (4.10) α xyz Prise en considération de la topologie électrique Ce système à trois équations différentielles ne peut être résolu tel qu il est ; il faut le transformer en un système d équations différentielles indépendantes. Une telle transformation peut se faire de plusieurs manières, nous adoptons toujours la même démarche que le chapitre précédent, et nous définissions les boucles de résolution présentées par la figure 4.2. I cc xyz R cc xyz U cc xyz I d xyz I h xyz (R, L) h xyz I d xyz (R, L) d xyz U h xyz U d xyz I xyz U xyz Fig. 4.2 Les boucles adoptées pour un enroulement en défaut

161 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 141 Nous introduisons, par les relations matricielles (4.11) et (4.12), la matrice de connexion [D] enr Enr xyz, permettant de faire le passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles de cet enroulement. [I] enr xyz = I xyz Ixyz d = [D] enr Enr xyz [I] Enr xyz (4.11) et [U] Enr xyz = U xyz Uxyz d = [D] enr Enrt xyz [U] enr xyz (4.12) avec, U d xyz = 0 pour un défaut de court-circuit au sein d une même phase. En faisant intervenir cette matrice dans le système d équations différentielles de l expression (4.5), nous introduisons les nouvelles matrices [R] Enr xyz et [L] Enr xyz. Ces matrices définissent le nouveau système d équations différentielles indépendantes de l expression (4.13). [U] xyz Enr = [D] enr Enrt xyz [R] enr xyz [D] enr Enr xyz [I] Enr xyz } {{ } [R] Enr xyz + d( { [L] Enr xyz }} { [D] enr Enrt xyz [L] enr xyz [D] enr Enr xyz dt [I] Enr xyz ) (4.13) Nous tenons à signaler que ces nouvelles matrices n interviennent pas directement au cours de la création du modèle complet de la machine ; elles ne sont évoquées ici qu à titre explicatif. En fait, le MétaModèle suit la même démarche de génération modulaire, présentée dans le chapitre 2, basée sur les matrices élémentaires ([R] enr [L] enr xyz et xyz) ainsi que la nouvelle matrice de connexion ([D] enr Enr ) de cet enroulement. Avant de passer à la formalisation du couplage magnétique entre cet enroulement et les autres, nous exposons brièvement, dans le tableau 4.1, les différentes formes que peuvent avoir les matrices représentant un enroulement en défaut selon n d xyz. xyz

162 142 Chapitre 4. 3ME des défauts en fonction du nombre de spires court- Tab. 4.1 ([U], [I], [R], [L]) enr xyz et [D] enr Enr xyz circuitées d un enroulement élémentaire Matrice n d xyz = 0 0 < n d xyz < n xyz n d xyz = n xyz [U] enr xyz Uxyz h U h xyz Uxyz xyz cc U d Uxyz d xyz [I] enr xyz Ixyz h I h xyz Ixyz xyz cc I d Ixyz d xyz [R] enr xyz Rxyz h Rxyz h Rxyz cc Rxyz R d 0 0 Rxyz d xyz [L] enr xyz L h xyz L h xyz 0 M h d xyz L d Mxyz d h 0 L d xyz xyz [D] xyz enr Enr Nous avons évoqué, dans la section 2.5.3, que la résolution numérique du système d état, régissant le comportement de la machine, est très sensible aux constantes de temps des sous-systèmes élémentaires mis en jeux. En introduisant un défaut de court-circuit, nous avons défini une deuxième équation différentielle, celle de la boucle de défaut, ce sous-système a comme constante de temps : τ d = tandis que la constante de temps principale est égale à : L d R cc + R d (4.14) τ = Lh + L d R h + R d (4.15)

163 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 143 Il est évident que pour R cc donnée différent de zéro, plus le nombre de spires en court-circuit est petit, plus la constante de temps τ d de la boucle de défaut est petite, et l algorithme de résolution doit diminuer d avantage le pas de calcul Auto adaptation du modèle lors de l apparition des défauts de C-C Au niveau de bobines Reprenons, les N e enroulements élémentaires formant la bobine d indice xy de la figure 2.17(a). Supposons, maintenant, que cette bobine renferme des enroulements en défaut, d indices xyzi et xyzj, comme illustré par la figure Matrices élémentaires Les matrices décrivant cette bobine, et formant le système d équations différentielles de l expression (2.35), deviennent : [U] enr xy = U xy1 : [U] enr xyz i : [U] enr xyz j :, [I] enr xy = I xy1 : [I] enr xyz i : [I] enr xyz j : (4.16) U xyne I xyne [R] enr xy = R xy1 [0] [0] 0 :. : : : [0] [R] enr xyz i [0] [0] : :. : : [0] [0] [R] enr xyz j [0] : : :. : 0 [0] [0] R xyne (4.17)

164 144 Chapitre 4. 3ME des défauts I xy1 (R, L) xy1 U xy1 I cc xyz i R cc xyz i U cc xyz i I d xyzi I h xyz i (R, L) h xyz i I d xyz i (R, L) d xyz i U h xyz i U d xyz i U xy I xy I cc xyz j R cc xyz j U cc xyz j I d xyzj I h xyz j (R, L) h xyz j I d xyz j (R, L) d xyz j U h xyz j U d xyz j I xyne (R, L) xyne U xyne (a) Schématisation éclatée. I cc xyz i R cc xyz i I cc xyz j R cc xyz j I h xy (R, L) h xy I d xyz i (R, L) d xyz i I d xyz i I d xyz j (R, L) d xyz j I d xyz j I xy (b) Schématisation compacte. Fig. 4.3 Modèle électrique d une bobine en présence de C-C U xy

165 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 145 et [L] enr xy = L xy1 [M] enr xy1 xyz i [M] enr xy1 xyz j M xy1 xyne :. : : : [M] enr xyz i xy1 [L] enr xyz i [M] enr xyz i xyz j [M] enr : :. : : [M] enr xyz j xy1 [M] enr xyz j xyz i [L] enr xyz j [M] enr : : :. : xyz i xyn e xyz j xyn e M xyne xy1 [M] enr xyn e xyz i [M] enr xyn e xyz j L xyne (4.18) Sachant que, les matrices des inductances mutuelles entre deux enroulements quelconques, sont construites selon le tableau 4.2. Ce tableau présente les différentes formes que peut avoir la matrice [M] enr x i y i z i x j y j z j, représentant le couplage magnétique entre deux enroulements quelconques, défaillants ou sains, appartenant tous les deux au stator ou l un appartient au stator et l autre appartient au rotor. Tab. 4.2 [M] enr x i y i z i x j y j z j de l autre en fonction du nombre de spires court-circuitées de l un et/ou n d x j y j z j = 0 0 < n d x j y j z j < n xj y j z j n d x j y j z j = n xj y j z j n d xiyizi = 0 M h h x i y i z i x j y j z j [ M h h x i y i z i x j y j z j 0 M h d x i y i z i x j y j z j ] [ 0 M h d x i y i z i x j y j z j ] 0 < n d xiyizi < n xiyizi M x h h i y i z i x j y j z j 0 Mx d h i y i z i x j y j z j M x h h i y i z i x j y j z j 0 Mx h d i y i z i x j y j z j Mx d h i y i z i x j y j z j 0 Mx d d i y i z i x j y j z j 0 M x h d i y i z i x j y j z j Mx d d i y i z i x j y j z j n d xiyizi = n xiyizi 0 Mx d h i y i z i x j y j z j Mx d h i y i z i x j y j z j 0 Mx d d i y i z i x j y j z j Mx d d i y i z i x j y j z j Les inductances mutuelles élémentaires constituant cette matrice sont déduites de la répartition de l inductance surfacielle correspondante, définie par l expression

166 146 Chapitre 4. 3ME des défauts (4.2) ou (4.3), selon les relations suivantes : Mx h h i y i z i x j y j z j = L R xi y i z i (n xi y i z i n d βxi y i z i x i y i z i ) Mx h d i y i z i x j y j z j = L R xi y i z i (n xi y i z i n d βxi y i z i x i y i z i ) Mx d h i y i z i x j y j z j = L R xi y i z i n d βxi y i z i x i y i z i α xi y i z i F h x j y j z j (ϕ) dϕ (4.19) α xi y i z i F d x j y j z j (ϕ) dϕ (4.20) α xi y i z i F h x j y j z j (ϕ) dϕ (4.21) Mx d d i y i z i x j y j z j = L R xi y i z i n d βxi y i z i x i y i z i Fx d j y j z j (ϕ) dϕ (4.22) α xi y i z i Matrices de connexion Nous avons introduit la matrices de connexion [D] enr bob xy lors de l établissement de la relation (2.39), en se contentant de donner la valeur prise par cette matrice pour une bobine saine, sans entrer dans les détails de la génération automatique du MétaModèle. En réalité, l auto génération de cette matrice de connexion, selon la topologie d une bobine, passe par deux étapes. Chaque étape assure le passage entre deux niveaux de représentation différents. L apparition de défauts de C-C introduit des nouveaux sous-systèmes, représentant les boucles de défaut selon la figure 4.3. Nous définissions, alors, la couche des courants de boucles d enroulements élémentaires notée par Enr. Cette nouvelle couche d abstraction nécessite l introduction de nouvelles matrices de passage : la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles [D] enr Enr xy, la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d enroulements et les grandeurs de boucles de bobine [D] Enr Bob xy, ce qui nous ramène à déduire la matrice de passage définitive [D] enr Bob xy. Remarque 4.1 Nous tenons à signaler que la matrice [D] enr Bob xy substituera la matrice de passage [D] xy enr bob, décrite dans la section , et que les grandeurs de Bob substitueront celles de bob. Sachant que si la bobine est saine, les nouvelles matrices de passage seront identiques à celles de bob, et nous aurons les égalités suivantes : U xy = [U] Bob xy I xy = [I] Bob xy R xy = [R] Bob xy L xy = [L] Bob xy et [D] enr bob xy = [D] enr Bob xy [D] enr Enr xy = la matrice identité

167 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 147 Le MétaModèle poursuit, alors, sa génération du modèle selon la 3ME, sans que cet évènement 1 ne perturbe ce processus. [D] enr Enr xy : Cette matrice se déduit en exprimant les courants de branches en fonction des courants de boucles élémentaires (4.23), et les tensions de boucles en fonction des tensions élémentaires de branches (4.24). [I] enr xy = D enr Enr xy1 [0] [0] 0 :. : : : [0] [D] enr Enr xyz i [0] [0] : :. : : [0] [0] [D] enr Enr xyz j [0] : : :. : 0 [0] [0] D enr Enr xyn e I xy1 : [I] Enr xyz i : [I] Enr xyz j : I xyne (4.23) On en déduit la relation des tensions : [U] Enr xy = [D] enr Enr xy [I] Enr xy U xy1 : [U] Enr xyz i : [U] Enr xyz j : U xyne = [D] enr Enrt xy [U] enr xy (4.24) Nous rappelons que pour un enroulement sain, exposé dans la première colonne du tableau 4.1, il n y a pas de différence entre les grandeurs de boucles et les grandeurs de branches. [D] Enr Bob xy : Dès l apparition d un défaut (Fig : 4.3) le MétaModèle fait une extension 1 l évènement d apparition des défauts de court-circuit

168 148 Chapitre 4. 3ME des défauts des grandeurs de bobine ( expressions (4.25) et (4.26)). D où l intérêt majeur de la matrice de passage [D] xy Enr Bob ; permettant de déduire les grandeurs de boucles de bobine des grandeurs correspondantes au niveau des enroulements élémentaires Enr. Cette matrice permet de prendre en considération la mise en série des enroulements. [I] Enr xy = [ ] : : : ] [ ( (N e+n d exy ) (N d exy +1) ) I xy Ixyz d i Ixyz d j (4.25) = [D] xy Enr Bob [I] Bob xy et [U] Bob xy = U xy Uxyz d i = [D]Enr Bobt xy [U] Enr xy (4.26) U d xyz j avec N d e xy est le nombre d enroulements en défaut de la bobine xy. [D] enr Bob xy : Ainsi, nous arrivons à la matrice définitive ; assurant le passage directe entre les grandeurs de branches et celles des grandeurs de boucles de bobine. Cette matrice se déduit par : [I] enr xy = [D] enr Enr xy [I] Enr xy [D] Enr Bob xy = [D] enr Enr xy } {{ } [D] enr Bob xy [I] Bob xy (4.27) Exemple 4.1 En introduisant les paramètres de la M.AS.Réelle, décrite dans l annexe B, au générateur de modèles. Et en provoquant un défaut de C-C simultané

169 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 149 sur les enroulements 2 et 3 de la première bobine de la phase 1. Nous récupérons les matrices suivantes : [I] enr 11 = I 111 I112 h I112 cc I112 d I113 h I113 cc I113 d I 114 = I 111 I 112 I112 d I 113 I113 d I 114 = [D] enr Enr 11 [I] Enr 11 (4.28) [I] Enr 11 = [ I11 I112 d I113 d = [D] Enr Bob 11 [I] Bob 11 ] (4.29) [I] enr 11 = I 11 I112 d I113 d = [D] enr Bob 11 [I] Bob 11 (4.30) Cette matrice permet, aussi, de définir la matrice des résistances [R] Bob xy et la matrice des inductances [L] Bob xy de cette bobine selon le même principe que la section Au niveau de phase Nous venons de présenter le principe avec lequel le MétaModèle prend en considération l apparition des court-circuits au niveau des enroulements et des bobines. Nous exposons dans ce qui suit le principe de l extension dynamique du modèle d une phase en fonction des C-C qui y apparaissent au cours d un exercice de simulation. Reprenons, les p bobines de la figure 2.18(a), en supposant, que deux bobines de cette phase présentent des défauts de C-C : la bobine d indice xyi a deux enroulements en court-circuit zi et zj (Fig : 4.3), et l enroulement zi, de la bobine xyj, a quelques spires en court-circuit aussi. La figure 4.4 donne un aperçu de cette situation et des boucles adoptées.

170 150 Chapitre 4. 3ME des défauts I x1 (R, L) x1 I cc xy iz i R cc xy iz i I cc xy iz j R cc xy iz j I d xy iz i I h xy i (R, L) h xy i I d xy iz i (R, L) d xy iz i I d xy iz j I d xy iz j (R, L) d xy iz j I x U x I cc xy jz i R cc xy jz i I d xy jz i I h xy j (R, L) h xy j I d xy jz i (R, L) d xy jz i I xp (R, L) xp (a) Schématisation éclatée, I cc xy iz i R cc xy iz i I cc xy iz j R cc xy iz j I cc xy jz i R cc xy jz i I h x (R, L) h x I d xy iz i I d xy iz i (R, L) d xy iz i I d xy iz j I d xy iz j (R, L) d xy iz j I d xy jz i I d xy jz i (R, L) d xy jz i I x (b) Schématisation compacte. Fig. 4.4 Modèle électrique d une phase en présence de C-C U x

171 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Matrices élémentaires Le principe de la génération des matrices élémentaires définissant le système d équations différentielles 2 de cette phase (expression 2.44) reste le même. La seule différence est le principe de la prise en considération du couplage magnétique, entre les bobines défaillantes. Plus spécifiquement, le couplage entre la bobine yj et la bobine yi. [M] enr xy i xy j = [M] xyi 1 xy j 1 [M] xyi 1 xy j z i [M] xyi 1 xy j z j [M] xyi 1 xy j N e :. : : : [M] xyi z i xy j 1 [M] xyi z i xy j z i [M] xyi z i xy j z j [M] xyi z i xy j N e : :. : : [M] xyi z j xy j 1 [M] xyi z j xy j z i [M] xyi z j xy j z j [M] xyi z j xy j N e : : :. : [M] xyi N e xy j 1 [M] xyi N e xy j z i [M] xyi N e xy j z j [M] xyi N e xy j N e (4.31) avec, la matrice des mutuelles [M] xyi z i xy j z j 3, est calculée selon le tableau Matrices de connexion Nous avons présenté, dans la section précédente, la manière avec laquelle le modèle d une bobine s adapte lors de l arrivée des nouvelles boucles de défauts. Au niveau d une phase, une première prise en considération de ces boucles de défaut, a été faite lors de l assemblage de modèles élémentaires des bobines la constituant. La deuxième étape est la formalisation de l interconnexion électrique par des matrices de connexion. Nous avons exposé précédemment (section ), le principe de la prise en considération de la topologie électrique des enroulements et des bobines au sein d une phase saine. Cette prise en considération de la topologie électrique a été implémentée par plusieurs niveaux de matrices de connexion, dont chacune nous permet de s arrêter à un niveau de représentation bien déterminé. Lors de la modélisation d une bobine, l apparition des boucles de défaut, engendra la création d une couche intermédiaire notée Enr. Au niveau d une phase, 2 régissant le comportement électromagnétique des p bobines, 3 z i, z j {1..N e }, y i, y j {1..p} et y i y j

172 152 Chapitre 4. 3ME des défauts cette couche s étend sur toutes les bobines la formant. Et la couche Bob substitua l ancienne couche des grandeurs de bobines bob, ainsi que la couche des boucles de phases, notée Ph, substitua à son tour l ancienne couche des grandeurs de phase ph. Nous ne détaillons dans ce qui suit que les matrices de passage mettant en jeu les boucles de défaut : la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles élémentaires [D] enr Enr x, la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d enroulements et les grandeurs de boucles de bobines [D] Enr Bob x, la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de bobines et les grandeurs de boucles de phases [D] Bob Ph x. Remarque 4.2 Lors du processus de génération, le MétaModèle se base sur les matrices mettant en jeu les boucles de Bob et les boucles de Ph, et non pas sur les matrices exprimées en fonction des grandeurs de branches 4. Sachant que ces matrices de boucles sont plus génériques et peuvent jouer un double rôle, selon la présence ou non des défauts de C-C. Ainsi, si la phase est saine nous retrouvons les matrices relatées dans la section , ce qui se traduit par les égalités : U x = [U] Ph x I x = [I] Ph x R x = [R] Ph x L x = [L] Ph x et [D] enr bob x = [D] x enr Bob [D] bob ph x = [D] Bob Ph x [D] enr Enr x : Cette matrice se déduit du rassemblement des matrices homologues des bobines de cette phase. Cette nouvelle couche introduit aussi les vecteurs des courants de boucles élémentaires [I] Enr x et des tensions de boucles élémentaires [U] Enr x, comme décrit par les relations (4.32) et (4.33). 4 bob et ph, selon la notation du chapitre 3ME

173 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 153 [I] enr x = [D] enr Enr x1 [0] [0] 0 :. : : : [0] [D] xy enr Enr i [0] [0] : :. : : [0] [0] [D] enr Enr xy j [0] : : :. : 0 [0] [0] [D] enr Enr xp [I] Enr x1 : [I] Enr xy i : [I] Enr xy j : [I] Enr xp On en déduit la relation des tensions : [U] Enr x = [D] enr Enr x [I] Enr x (4.32) [U] Enr x1 : [U] Enr xy i : [U] Enr xy j : [U] Enr xp = [D] enr Enrt x [U] enr x (4.33) [D] Enr Bob x : Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitué par la matrice de passage d une bobine de cette phase : [I] Enr x = [D] Enr Bob x1 [0] :. : [0] [D] Enr Bob xp ( (p.n e+n d ex ) (N d ex +p) ) [I] Bob x1 : [I] Bob xp (4.34) = [D] Enr Bob x [I] Bob x

174 154 Chapitre 4. 3ME des défauts et [U] Bob x = [U] Bob x1 : = [D]Enr Bobt x [U] Bob xp [U] Enr x (4.35) avec N d e x = p y i =1 N d e xyi est le nombre d enroulements en défaut de la phase x. [D] Bob Ph x : Cette matrice permet de prendre en considération la mise en série des bobines, constituant cette phase : [I] Bob x = [ ] : : : ] [ ( (N d ex +p) (N d ex +1) ) I x I d xy i z i Ixy d i z j Ixy d j z i (4.36) = [D] Bob Ph x [I] Ph x et [U] Ph x = U x U d xy i z i Uxy d i z j Uxy d j z i = [D] Bob Pht x [U] Bob x (4.37)

175 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 155 [D] enr Ph x : La matrice définitive se déduit par : [I] enr x = [D] enr Enr x = [D] enr Enr [I] Enr x [D] Enr Bob x } x {{ } [D] enr Bob x = [D] enr Enr [D] Enr Bob [I] Bob x [D] Bob Ph x } x x {{ } [D] enr Ph x [I] Ph x (4.38) Exemple 4.2 Reprenons l exemple 4.1 (défauts partiels des enroulements 112 et 113 ), et introduisons un défaut de C-C total sur le dernier enroulement de la deuxième bobine de la même phase. Nous récupérons alors les matrices suivantes : [I] enr 1 = I 111 I112 h I112 cc I112 d I113 h I113 cc I113 d I 114 I 121 I 122 I 123 I124 cc I124 d = I 111 I 112 I d 112 I 113 I113 d I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 I124 d = [D] enr Enr 1 [I] Enr 1 (4.39) [I] Enr 1 = I 11 I112 d I 113 d I 12 I124 d = [D] Enr Bob 1 [I] Bob 1 (4.40) [I] Bob 1 = [ ] I 1 I112 d I113 d I124 d = [D] Bob Ph 1 [I] Ph 1 (4.41)

176 156 Chapitre 4. 3ME des défauts [I] enr 1 = I 1 I112 d I113 d I124 d = [D] enr Ph 1 [I] Ph 1 (4.42) Cette matrice permet de déduire les matrices [R] Ph x et [L] Ph x des matrices des résistances et inductances élémentaires selon le même principe que la section Au niveau du stator Nous venons de présenter le principe avec lequel le MétaModèle prend en considération l apparition des C-C au niveau des enroulements, des bobines et des phases. Nous entamons, dans cette section, le niveau du stator, c est à dire le principe avec lequel ce générateur de modèle prendra en considération les C-C qui peuvent toucher les enroulements de ce stator. La démarche de modélisation, décrite dans la section 2.3.4, reste valable. Nous nous contentons dans ce qui suit de présenter le principe de l extension du modèle sain du stator, afin de prendre en considération les nouvelles boucles de défauts. Dans le but de proposer des matrices de connexion plus lisibles et pédagogiques, nous nous limitons à un défaut simple par phase. Plus précisément supposons que l enroulement yi z i de la phase d indice «2» et l enroulement yj z j de la phase d indice «N 1» présentent chacun un défaut de C-C partiel Matrices élémentaires Le principe de la définition du système d équations différentielles (expression 2.60), régissant le comportement électromagnétique des (N.p.N e) enroulements du stator, reste le même. La seule différence est le couplage magnétique entre un enroulement défaillant et les enroulements d une autre phase. Le deuxième enroulement peut lui même être défaillant ou sain. La matrice des mutuelles élémentaires entre

177 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 157 deux bobines d indice respectives xj y j et xi y i devient alors : [M] enr x i y i x j y j = [M] xi y i 1 x j y j 1 [M] xi y i 1 x j y j z i [M] xi y i 1 x j y j z j [M] xi y i 1 x j y j N e :. : : : [M] xi y i z i x j y j 1 [M] xi y i z i x j y j z i [M] xi y i z i x j y j z j [M] xi y i z i x j y j N e : :. : : [M] xi y i z j x j y j 1 [M] xi y i z j x j y j z i [M] xi y i z j x j y j z j [M] xi y i z j x j y j N e : : :. : [M] xi y i N e x j y j 1 [M] xi y i N e x j y j z i [M] xi y i N e x j y j z j [M] xi y i N e x j y j N e (4.43) avec, la matrice des mutuelles [M] xi y i z i x j y j z j 5, est calculée selon le tableau Matrices de connexion Le MétaModèle régénère les matrices élémentaires décrivant le comportement du système d équations différentielles élémentaires du stator, en fonction de l appartenance des boucles de défaut. Ce dernier fera les ajustements nécessaires sur les matrices de connexion décrivant l interconnexion électrique au sein du stator. La modélisation du stator vient ajouter, aux niveaux définis lors de la modélisation d une phase défaillante, le niveau des boucles de résolution. Ces boucles dépendent du mode de couplage du stator comme exposé dans la section L apparition des boucles de défaut a engendré la création de la couche de boucles d enroulements Enr, la couche de boucles de bobines Bob et la couche de boucles de phases Ph, au niveau de la modélisation des phases. Ces couches s étendent pour représenter toutes les phases du stator. Nous ne détaillons dans ce qui suit que les matrices de passage mettant enjeu les boucles de défaut : la matrice de passage entre les grandeurs de branches et les grandeurs de boucles élémentaires [D] enr Enr s, la matrice de passage entre les grandeurs de boucles d enroulements et les grandeurs de boucles de bobines [D] Enr Bob s, 5 z i, z j {1..N e }, y i, y j {1..p}, x i, x j {1..N} et x i x j

178 158 Chapitre 4. 3ME des défauts la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de bobines et les grandeurs de boucles de phases [D] Bob Ph s. la matrice de passage entre les grandeurs de boucles de phases et les grandeurs de boucles de résolution [D] coup. [D] enr Enr s : Cette matrice se déduit par la mise en diagonale des matrices homologues des phases. Cette nouvelle couche introduit aussi le vecteur des courants de boucles élémentaires [I] Enr s et le vecteur des tensions de boucles élémentaires [U] Enr s, comme décrit par les relations (4.44) et (4.45). [I] enr s = [D] enr Enr 1 [0] [0] 0 :. : : : [0] [D] enr Enr x i [0] [0] : :. : : [0] [0] [D] enr Enr x j [0] : : :. : 0 [0] [0] [D] enr Enr N [I] Enr 1 : [I] Enr x i : [I] Enr x j : [I] Enr N On en déduit la relation des tensions : [U] Enr s = [D] enr Enr s [I] Enr s (4.44) [U] Enr 1 : [U] Enr x i : [U] Enr x j : [U] Enr N = [D] enr Enrt s [U] enr s (4.45) [D] Enr Bob s : Cette matrice est une matrice diagonale par bloc, dont chaque bloc est constitué

179 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 159 par la matrice de passage d une phase du stator : [I] Enr s = [D] Enr Bob 1 [0] :. : [0] [D] Enr Bob N ( (N.p.N e+n d es ) (N d es +N.p) ) [I] Bob 1 : [I] Bob N = [D] Enr Bob s [I] Bob s (4.46) et avec Ne d s = N Ne d xi x i =1 [U] Bob s = [U] Bob 1 : = [D]Enr Bobt s [U] Bob N est le nombre de défaut de C-C au stator. [U] Enr s (4.47) [D] Bob Ph s : Cette matrice permet de prendre en considération la mise en série des bobines au sein des phases : [I] Bob s = [D] Bob Ph 1 [0] :. : [0] [D] Bob Ph N ( (N d es +N.p) (N d es +N) ) [I] Ph 1 : [I] Ph N (4.48) = [D] Bob Ph s [I] Ph s et [U] Ph s = [U] Ph 1 : = [D]Bob Pht s [U] Ph N [U] Bob s (4.49) [D] coup : En faisant les extensions nécessaires, le MétaModèle vient de changer la taille des vecteurs courants et tensions de phases. Ce changement nécessite une adaptation

180 160 Chapitre 4. 3ME des défauts de la matrice de couplage du stator. Cette extension est très simple, il suffit d insérer un «1» dans le bon endroit, pour faire correspondre une alimentation nulle à la boucle de défaut en question, et pour intégrer les boucles de défaut dans le vecteur d état. Cette démarche est indépendante du mode de couplage, étoile ou «triangle», du stator. Prenons le cas du couplage en étoile, la relation (2.103) devient : V 1 V 2 0 : V N 1 0 = : : :. : : : U 1 U 2 U d 2y i z i : U N 1 U(N 1)y d j z j U N [V] s = [D] t coup. [U] Ph s et le vecteur des courants de boucles de résolution [J ] s s étend pour devenir : (4.50) I 1 I 2 I d 2y i z i : I N 1 I(N 1)y d j z j I N } {{ } [I] Ph s = [D] coup J 1 J 2 I d 2y i z i : J N 1 I(N 1)y d j z j } {{ } [J ] s (4.51) Concernant le couplage en triangle, le fait d insérer ces «1» revient à redéfinir une matrice identité, mais cette fois ci de dimension (N + N d e s ), plus tôt que de dimension N pour un stator sain, comme décrit dans l expression

181 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 161 La matrice de connexion définitive [D] s se déduit par : [I] enr s = [D] enr Enr s = [D] enr Enr [I] Enr s [D] Enr Bob s } s {{ } [D] enr Bob s = [D] enr Enr [D] Enr Bob [I] Bob s [D] Bob Ph s } s s {{ } [D] enr Ph s [I] Ph s = [D] enr Enr s [D] Enr Bob s [D] Bob Ph s [D] coup [J ] s } {{ } [D] s (4.52) Exemple 4.3 court circuit suivants : Reprenons l exemple du Mod.C.324, et introduisons les défauts de un court-circuit partiel sur l enroulement 112, un court-circuit total sur l enroulement 113, et un court-circuit partiel sur l enroulement 222. Dès l arrivée de ces évènements, un processus d auto-adaptation commença au sein des objets représentant le modèle de cette machine. Nous exposons dans ce qui suit les extensions subis par quelques vecteurs et matrices du modèle, au cours de ce processus d extension automatique : I 111 I112 h I112 cc I112 d I113 cc I113 d I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 I 211 I 212 I 213 I 214 I 221 I222 h I222 cc I222 d I 223 I 224 I 311 I 312 I 313 I 314 I 321 I 322 I 323 I 324 = I 111 I 112 I d 112 I 113 I113 d I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 I 211 I 212 I 213 I 214 I 221 I 222 I222 d I 223 I 224 I 311 I 312 I 313 I 314 I 321 I 322 I 323 I 324 [I] enr s = [D] enr Enr s [I] Enr s (4.53)

182 162 Chapitre 4. 3ME des défauts [I] Enr s = I 11 I112 d I113 d I 12 I 21 I 22 I d 222 I 31 I 32 = [D] s Enr Bob [I] Bob s (4.54) [I] Bob s = I 1 I112 d I113 d I 2 I d 222 I 3 = [D] Bob Ph s [I] Ph s (4.55) [I] Ph s = = [D] coup [J] s J 1 I112 d I 113 d J 2 I222 d (4.56)

183 4.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase J [I] enr I112 d s = I J I d = [D] s [J] s (4.57) Nous avons mentionné auparavant que le MétaModèle se base sur les matrices de passage mettant en jeu les grandeurs de boucles, Enr, Bob et Ph et non pas sur les matrices de passage des grandeurs de branches du chapitre 2 ( enr, bob et ph ). Nous avons montré aussi que les matrices de passage du fonctionnement sain représentent un cas particulier des matrices ici exposées. Nous venons de conclure par l expression (4.52) le processus qui s est mis en marche pour prendre en considération l arrivée des nouvelles boucles de défaut. Ce processus s est terminé par la création de la matrice de connexion définitive [D] s du stator. Cette matrice, une fois combinée avec celle du rotor formeront la matrice de connexion globale de la machine. Avant de définir le système d état régissant le comportement électromécanique de la machine, le MétaModèle doit faire les extensions nécessaires sur la matrice définissant le couplage magnétique stator/rotor (2.90). Cette matrice est basée sur l inductance mutuelle élémentaire M (θ) xyz k, représentant le couplage entre un enroulement élémentaire du stator et une boucle rotorique. Avec l arrivée d un défaut, cette matrice de mutuelles s agrandit pour prendre en considération, à la fois, les spires saines et les spires court-circuitées de l enroulement en cause. Cette matrice de mutuelles prendra l une des formes du tableau 4.3 selon le nombre de spires en court-circuit.

184 164 Chapitre 4. 3ME des défauts Tab. 4.3 Matrice des inductances mutuelles «enroulement/boucle rotorique» en fonction du nombre de spires court-circuitées de l enroulement n d xyz = 0 0 < n d xyz < n xyz n d xyz = n xyz [M] enr xyz k (θ) M h xyz k(θ) M xyz k(θ) h 0 Mxyz k(θ) d 0 Mxyz k(θ) d avec, Mxyz k(θ) h = L R xyz (n xyz n d xyz) M d xyz k(θ) = L R xyz n d xyz βxyz βxyz α xyz F k (ϕ, θ) dϕ (4.58) α xyz F k (ϕ, θ) dϕ (4.59) Ainsi nous arrivons au bout de la prise en considération des défauts de courtcircuit de spires, au sein d une même phase, par le MétaModèle. La plate-forme récupère le modèle généré et le met en simulation selon les consignes de l utilisateur, comme décrit dans les sections et 3.3. Nous venons de montrer, au cours de la présente section, la flexibilité ainsi que la puissance de la 3ME, et l intérêt d avoir une modélisation modulaire (Objets) et multi-niveaux de la machine asynchrone. 4.3 Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Cette section aura pour but d enrichir le comportement dynamique du Méta- Modèle, en spécifiant les directives qu il doit suivre, afin de prendre en considération l apparition d un défaut de court-circuit entre une phase et la carcasse de la machine, que nous supposons reliée à la terre avec une source en étoile dont le neutre est à la terre (régime TT ). Nous avons fait en sorte que la majorité des étapes de prise en considération d un défaut de C-C simple 6, relatées dans la section 4.2.1, restent valables lors de l arrivée de ce défaut. Nous nous concentrons dans ce qui suit sur la différence de la prise en considération de ce défaut par rapport à celui de la section précédente. 6 Un défaut de court-circuit au sein d une même phase

185 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Modèle de l enroulement défaillant Modèle électrique Nous supposons qu un court-circuit est apparu entre l enroulement d indice xyz et la carcasse de la machine. Nous schématisons cet enroulement par la figure 4.5. Cette schématisation nous ramène à la modélisation d un enroulement présentant un C-C simple de la section C.2.1, ainsi, les équations et les matrices décrivant cet enroulement restent les mêmes que celles exposées dans la section I cc xyz R cc xyz U cc xyz I d xyz U d xyz I h xyz (R, L) h xyz I d xyz (R, L) d xyz U h xyz U d xyz U xyz I xyz Fig. 4.5 Modèle électrique de l enroulement qui sera en court-circuit avec la carcasse de la machine Prise en considération de la topologie électrique Afin que le raisonnement et les matrices définies lors de la présentation du modèle de défaut de C-C au sein d une phase, restent valables, nous choisissons les courants de boucles selon la figure 4.5. Sachant qu on ne court-circuite pas les n d xyz spires de cet enroulement, et qu on applique une tension Uxyz d 0 aux bornes de la boucle de défaut Ixyz. d En faisant ce choix, le tableau 4.1 reste valable, et présente les différentes formes que peuvent avoir les matrices représentant cet enroulement en défaut, selon la valeur prise par n d xyz.

186 166 Chapitre 4. 3ME des défauts Auto adaptation du modèle Au niveau de bobines Reprenons, les N e enroulements élémentaires formant la bobine d indice xy de la figure 2.17(a), nous venons de supposer que l enroulement d indice z est en contact avec la carcasse de la machine. La boucle de défaut Ixyz d s étale alors sur tous les enroulements d indice >z. Nous appelons, à présent, cette nouvelle boucle par Ixy, d selon la schématisation introduite par la figure 4.6. I xy1 (R, L) xy1 Rxyz cc Ixyz cc I d xy U xy I h xyz (R, L) h xyz I d xyz (R, L)d xyz Ixy U d xy I xyne (R, L) xyne (a) Schématisation éclatée. U d xy R cc xyz I d xy I h xy (R, L) h xy I cc xyz I d xy (R, L) d xy I xy U xy (b) Schématisation compacte. Fig. 4.6 Modèle électrique de la bobine qui sera en contact avec la carcasse

187 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 167 Concernant les matrices élémentaires [U] enr xy, [I] enr xy, [R] enr xy ainsi que [L] enr xy elles sont identiques à celles présentées par les relations 4.16, 4.17 et Du coté des matrices de passage, le fait que la boucle de défaut parcourt les enroulements sains, situés après l enroulement en question, change le comportement du Méta- Modèle vis-à-vis de l adaptation de la matrice de passage [D] enr Enr xy uniquement, les autres matrices de passage gardent le même comportement dynamique que la section précédente. [D] enr Enr xy : Par définition cette matrice exprime les courants de branches en fonction des courants de boucles «élémentaires». À présent, cette appellation n est plus significative, car on ne dispose que d une seule boucle de défaut qui s agrandit au fur et à mesure que nous mettons des enroulements en série (Fig : 4.6). Nous gardons cette appellation générale car cette couche peut représenter plusieurs types de défaut à la fois. L expression (4.60) présente la manière avec laquelle cette matrice est mise à jour, à la suite de l arrivée de ce défaut. [I] enr xy = [ ] D enr Enr xy :. : : : [0] [D] enr Enr xyz [0] [0] [ ] D enr Enr xy(z+1) 0 : : :. : [ ] DxyN enr Enr e I xy1 : I xyz Ixyz d I xy(z+1) : I xyne (4.60) On en déduit la relation des tensions : [U] Enr xy = [D] enr Enr xy [I] Enr xy U xy1 : U xyz Uxyz d U xy(z+1) : U xyne = [D] enr Enrt xy [U] enr xy (4.61)

188 168 Chapitre 4. 3ME des défauts Nous rappelons que : [I] Enr xyz = I xyz Ixyz d et que [U] Enr xyz = U xyz Uxyz d [D] Enr Bob xy : Par définition, cette matrice décrit la topologie électrique des enroulements entre eux, d où elle subit les mêmes modifications indépendemment du type de C-C 7. Cette matrice nous permet de déduire les grandeurs de boucles de bobine Bob des grandeurs de boucles d enroulements élémentaires Enr, comme détaillé par l expression Et, le MétaModèle poursuit la génération selon le même principe que lors de l arrivée d un défaut de C-C simple. [D] enr Bob xy : Comme cette matrice assure le passage directe entre les grandeurs de branches et celles des grandeurs de boucles de bobine, elle doit prendre en considération que le courant de défaut parcourt les enroulements d indice supérieur à z. En effet, la définition même de cette matrice assure cette prise en considération, puisque elle se déduit de la matrice de passage [D] enr Enr xy, qui vient d intégrer ce défaut, selon l expression (4.27). Exemple 4.4 Reprenons l exemple du Mod.C.324, décrit dans le chapitre 3, et introduisons un défaut de C-C entre l enroulement d indice 112 et la carcasse de la machine. Nous donnons dans ce qui suit un aperçu de la manière avec laquelle le modèle de la bobine 11 s adapte à ce défaut : [I] enr 11 = I 111 I112 h I112 cc I112 d I 113 I 114 = I 111 I 112 I112 d I 113 I 114 = [D] enr Enr 11 [I] Enr 11 (4.62) [I] Enr 11 = [ 1 0 ] [ I11 I d 112 = [D] 11 Enr Bob [I] Bob 11 ] (4.63) 7 Court-circuit au sein d une même phase ou entre phase et carcasse

189 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 169 [I] enr 11 = I 11 I112 d = [D] enr Bob 11 [I] Bob 11 (4.64) Au niveau de phase Nous venons de présenter le principe avec lequel le MétaModèle prend en considération l apparition d un court-circuit, avec la carcasse de la machine, au niveau de la bobine en défaut. Nous exposons dans ce qui suit le principe de l extension dynamique du modèle de la phase à laquelle appartient cette bobine en défaut. Reprenons, alors, les p bobines de la phase x (Fig : 2.18(a)), en supposant que la bobine d indice xy renferme l enroulement en défaut, comme décrit par la figure 4.7. Le principe de la génération des matrices élémentaires définissant le système d équations différentielles 8 de cette phase (expression (2.44)) reste le même. La seule différence est le principe de la prise en considération du couplage magnétique, entre la bobine défaillante et les autres bobines. Nous avons déjà défini ce couplage par l expression (4.31). Concernant les matrices de passage, elles suivent les mêmes règles d extension dynamique que celles décrites dans la section Il n y a que la matrice de passage mettant en jeu les grandeurs de branches [D] enr Enr x diffère de sa correspondante. dont la génération Cette matrice se déduit du rassemblement des matrices homologues des bobines de cette phase. Cette nouvelle couche introduit aussi les vecteurs des courants de boucles élémentaires [I] Enr x et des tensions de boucles élémentaires [U] Enr x, comme décrit par les relations (4.65) et (4.66). 8 régissant le comportement électromagnétique de p.n e enroulements,

190 170 Chapitre 4. 3ME des défauts I x1 (R, L) x1 I cc xyz R cc xyz I d x U x I h xy (R, L) h xy I d xy (R, L)d xy I x U d x I xp (R, L) xp (a) Schématisation éclatée. R cc xyz I d x U d x I h x (R, L) h x I cc xyz I d x (R, L) d x I x U x (b) Schématisation compacte. Fig. 4.7 Modèle électrique de la phase en C-C avec la carcasse [I] enr x = [D] enr Enr x1 [0] [0] 0 :. : : : [0] [D] enr Enr xy [0] [0] [0] [Y ] [D] enr Enr x(y+1) [0] : : :. : 0 [Y ] [0] [D] enr Enr xp [I] Enr x1 : [I] Enr xy [I] Enr x(y+1) : [I] Enr xp (4.65) [D] enr Enr x [I] Enr x

191 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 171 On en déduit la relation des tensions : avec, [U] Enr x = [U] Enr x1 : [U] Enr xy [U] Enr x(y+1) : [U] Enr xp = [D] enr Enrt x [U] enr x (4.66) [Y ] = 1 (z 1) z (z+1) Ne [ [ ] ] Une fois cette matrice est générée, le MétaModèle poursuit la génération des matrices de passage ([D] Enr Bob x, [D] Bob Ph x et [D] enr Ph x ), entre les différentes couches de représentation de cette phase, selon les mêmes étapes décrites précédemment. Exemple 4.5 passage de la phase x : Reprenons l exemple 4.4, et représentant cette fois ci les matrices de [I] enr 1 = I 111 I112 h I112 cc I112 d I 113 I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 = I 111 I 112 I d 112 I 113 I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 = [D] enr Enr 1 [I] Enr 1 (4.67) [I] Enr 1 = [ I11 I d 112 I 12 = [D] Enr Bob 1 [I] Bob 1 ] (4.68) [I] Bob 1 = [ ] [ I1 I d 112 = [D] Bob Ph 1 [I] Ph 1 ] (4.69)

192 172 Chapitre 4. 3ME des défauts [I] enr 1 = [ I1 I d 112 = [D] enr Ph 1 [I] Ph 1 ] (4.70) Au niveau du stator Une fois que le MétaModèle termine avec la prise en considération de cette altération topologique au niveau des phases, l Objet Stator récupère les N Objets de type Phase (mis à jour), et forme le nouveau modèle du stator, en redéfinissant le couplage magnétique et en introduisant les ajustements nécessaires aux matrices de passage entre les différentes couches de représentation du stator. Les étapes de génération de base ont été détaillées dans la section Nous nous contentons dans ce qui suit de présenter ce qui change par rapport à ces étapes. Nous poursuivons, alors, avec la présentation de la manière avec laquelle le MétaModèle poursuit la construction du modèle du stator, en prenant en considération le contact qui s est produit entre l enroulement xyz et la carcasse de la machine. Nous avons mentionné, que le générateur de modèle gère l apparition d un défaut de C-C entre phase et carcasse d une manière très similaire à celle d un défaut de C-C au sein d une même phase (section ). En fait, au niveau du stator, ce défaut est traité de la même manière qu un défaut de court-circuit au sein d une même phase, l apparition de ce défaut n entraîne aucun changement sur le processus de génération de ce modèle (section ). Ainsi, le MétaModèle génère les matrices élémentaires [R] enr s et [L] enr s ainsi que les matrices de passage [D] enr Enr [D] Enr Bob s, [D] Bob Ph s et [D] coup de la même manière. s, Bien que la matrice de passage [D] enr Enr s garde la définition de la section , elle a déjà subi les changements topologiques correspondant à ce nouveau type de défaut. Cette prise en considération vient du fait qu elle est construite par la mise en diagonale des [D] enr Enr x i pour x i {1..N}, et que la matrice de passage de la phase en défaut [D] enr Enr x a été mise à jour par l expression (4.32). Outre que les niveaux de représentation Enr, Bob et Ph, la modélisation du stator définit la couche des boucles de résolution. Ces boucles dépendent du mode de couplage du stator comme exposé dans la section Le contact qui vient de surgir entre la phase x et la carcasse définit une nouvelle boucle de résolution, notée

193 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 173 J d x. Cette boucle est la prolongation de la boucle I d x (Fig : 4.7) définie au niveau de e 1 I 1 (R, L) 1 e x 1. (R, L) I x 1 x 1 V d x = e x 1 J d x J x V 1 e x V x I h x (R, L) h x R cc xyz I cc xyz I d x (R, L) d x e N. (R, L) I N N J 1 Fig. 4.8 Les mailles adoptées pour un stator en étoile la phase x. Elle va toucher plus ou moins d enroulements selon le mode de couplage du stator, comme décrit par les figures 4.8 et 4.9, sachant que cette défaillance ne peut être simulée qu avec une alimentation couplée en étoile. La matrice qui assure le passage vers la couche des boucles de résolution est [D] coup, cette matrice a été introduite dans la section 2.5.2, et a subi les extensions nécessaires, par le MétaModèle, comme décrit dans la section Cette extension a fait correspondre les alimentations adéquates aux boucles de défaut. Nous avons donné, dans la section précédente, le principe d extension pour un nombre quelconque de boucles de défaut, et qui reste valable dans ce cas de défaillance. Cette extension a permis précédemment de faire correspondre une alimentation nulle aux anciennes boucles de défaut, servira à présent pour faire correspondre la source de tension correspondante à Jx d. Nous avons mentionné, dans la section , que le vecteur excitation du stator [V] s est généré à partir de vecteur sources de tension [E] par la matrice [D] alim. Pour faire correspondre la source de tension correspondante à la boucle de défaut, le MétaModèle procède de la même manière que pour la matrice de couplage, mais en faisant l extension sur les lignes uniquement, comme décrit par l expression

194 174 Chapitre 4. 3ME des défauts e 1 I 1 (R, L) 1 J 1. e x 1 I x 1 (R, L) x 1 V d x = e x 1 V 1 e x V x I h x (R, L) h x R cc xyz I cc xyz J d x I d x (R, L) d x J x. e N I N (R, L) N Fig. 4.9 Les mailles adoptées pour un stator en «triangle» (4.71), nous rappelons que lorsque le stator est couplé en étoile la dernière ligne de cette matrice est supprimée. V 1 V 2 : V x 1 V x Vx d : V N 1 V N = :.. : :. : : : :. :.. : : ( ) (N+1) N [V] s = [D] t alim [E] e 1 e 2 : e x 1 e x : e N 1 e N (4.71) Une fois que ces quatre matrices de passage sont mises à jour le MétaModèle déduit la matrice de connexion définitive [D] s (expression (4.52)), permettant

195 4.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 175 d extraire, directement, les grandeurs de branches des grandeurs de boucles de résolution. Ainsi, nous avons exposé toutes les extensions faites par le MétaModèle lors de l apparition d un défaut de type court-circuit entre phase et carcasse et nous terminons cette section par la suite de l exemple 4.5 : Exemple 4.6 Nous avons suivi, via les exemples 4.4 et 4.5, les extensions faites par le MétaModèle, sur le Mod.C.324, au niveau de la bobine 11 et de la phase 1, afin de prendre en considération le court-circuit entre l enroulement 112 et la carcasse de la machine. Nous venons de voir, dans cette section, que la réaction du Méta- Modèle C-C au niveau du stator est similaire à sa réaction lors de l apparition d un simple (section précédente). C est pour cette raison que nous nous contentons de présenter les matrices de connexion définitives selon le mode de couplage du stator : Couplé en «triangle» : I 111 I112 h I cc I d I I I I I I I I I 213 = I I I I I I 311 I I I I I I 323 I 324 = [D] s [J ] s J 1 J112 d J 2 J 3 (4.72)

196 176 Chapitre 4. 3ME des défauts Couplé en étoile : I 111 I112 h I cc 112 I112 d I 113 I 114 I 121 I 122 I 123 I 124 I 211 I 212 I 213 I 214 I 221 I 222 I 223 I 224 I 311 I 312 I 313 I 314 I 321 I 322 I 323 I 324 = [ J1 J d 1 J 2 ] (4.73) = [D] s [J ] s Ainsi nous arrivons au bout de la prise en considération d un défaut de courtcircuit entre la phase x et la carcasse de la machine par le MétaModèle. La présente section a permis de montrer la flexibilité ainsi que la puissance de la 3ME, et l intérêt d avoir une modélisation modulaire (Objets) et multi-niveaux de la machine asynchrone. 4.4 Défaillance de rupture de barres ou d anneaux de court-circuit Nous avons présenté auparavant le principe avec lequel le MétaModèle modélise et représente un rotor à cage, cette modélisation est basée essentiellement sur une représentation multi-enroulements, comme détaillé par la figure 1.8, ainsi que sur la définition des mailles indépendantes pour la résolution du système d équations différentielles décrivant ce rotor. Les défauts de rupture de barres ou d anneaux de court-circuit, peuvent être modélisés de deux manières. La première consiste à supprimer la branche défaillante, cette branche peut être une barre ou une portion d anneaux de court-circuit Devanneaux (2002), Didier (2004). La deuxième, consiste à faire augmenter la résistance

197 4.5. Défaut d excentricité statique et/ou dynamique 177 de la branche en question, dans le but de faire baisser considérablement le courant qui y circule dedans. Le fait de supprimer une branche, occasionne un changement du schéma topologique du rotor, ce qui se traduit par un changement des dimensions des matrices [R] r, [L] r et la matrice de connexion [D] r, définies précédemment dans la section 2.4. Ainsi que, d un changement au niveau de la forme 9 et de l amplitude de la fonction de répartition de l inductance surfacielle de la boucle en question. Ce qui définira les nouvelles règles de couplage magnétique intrinsèques au rotor et entre le stator et le rotor. Cette technique est une bonne alternative pour modéliser les défauts de rupture totale mais elle ne permet pas de représenter les défauts de rupture partielle ou de fissures de barres. Par contre, la deuxième solution permet de modéliser les deux types de défaillance et ne nécessite pas un changement au niveau de la topologie du modèle. Un changement de la valeur de la résistance de la branche en défaut suffit pour prendre en considération ce défaut Devanneaux (2002), Didier (2004). La valeur de la nouvelle résistance, de la branche en question, définit le fait qu on soit en présence d une rupture totale ou d une fissure plus ou moins profonde. D ailleurs, en réalité, même en présence de rupture totale, il y a des courants qui peuvent circuler dans le circuit magnétique du rotor Bonnett et Soukup (1992). Cette technique correspond parfaitement à la manière avec laquelle nous avons simulé la présence de défauts de fissure de barres dans le banc d essais décrit par l annexe B.3. C est pour ces raisons que nous avons choisi de prendre en considération ce genre de défaut, au sein du MétaModèle, selon la deuxième méthode. L apparition d une rupture de barres ou de portions d anneaux de court-circuit se résume alors à l envoi d un évènement de changement de la valeur de la résistance à la branche endommagée, comme décrit par le scénario 3.6 mais avec des valeurs de résistance beaucoup plus élevées. 4.5 Défaut d excentricité statique et/ou dynamique Nous commençons tout d abord par la généralisation et la prise en considération des défauts d excentricité qui peuvent toucher le circuit magnétique du stator ou 9 l ouverture de la nouvelle boucle de défaut

198 178 Chapitre 4. 3ME des défauts du rotor. Pour ce faire, nous reprenons le développement théorique de la prise en considération de la topologie de la machine, fait dans la section 2.2, sans supposer que la machine est à entrefer constant Force magnétomotrice d un enroulement quelconque L expression générale de la force magnétomotrice (2.11) est basée sur le fait que la machine est à entrefer constant. En gardant toujours les mêmes notations que la figure 2.4 et en supposant, cette fois ci, que l entrefer e(ϕ) est une fonction de la position angulaire. L expression (2.8) de flux devient : E(ϕ) φ = µ 0 e(ϕ) ds E(ϕ) = µ 0 L e(ϕ) R(ϕ)dϕ (4.74) En supposant, toujours, que le flux sortant est égal au flux rentrant, on peut écrire que E int w R(ϕ) e(ϕ) dϕ = R(ϕ) Eext (2π w)=w e(ϕ) dϕ (4.75) avec R(ϕ) est le rayon de circuit magnétique auquel appartient l enroulement en question. Il représente le rayon de l alésage du stator ou celui de moyeu du rotor. Le fait que ce rayon soit en fonction de ϕ nous permet de prendre en considération les défauts d usinage de ce circuit magnétique. En se basant sur (2.4) et (4.75), on déduit le système suivant : R (ϕ) E int w e = (ϕ) dϕ R (ϕ) w e (ϕ) dϕ Eext (4.76) n i = E int E ext Ce qui donne la nouvelle valeur de la f.m.m de l enroulement xyz en fonction de son ouverture angulaire w xyz, son nombre des spires n et du courant i qui y circule

199 4.5. Défaut d excentricité statique et/ou dynamique 179 dedans : E int xyz = E ext xyz = R (ϕ) w xyz e (ϕ) R (ϕ) 2π e (ϕ) R (ϕ) w xyz e (ϕ) R (ϕ) 2π e (ϕ) dϕ dϕ n xyz i xyz dϕ dϕ n xyz i xyz (4.77) On définit alors la nouvelle fonction de répartition de l inductance surfacielle F xyz (ϕ) : F xyz (ϕ) = µ 0 e(ϕ) F xyz (ϕ) = µ 0 e(ϕ) R (ϕ) w xyz e (ϕ) R (ϕ) 2π R (ϕ) w xyz e (ϕ) dϕ e (ϕ) dϕ n xyz si ϕ ϕ int, dϕ R (ϕ) 2π e (ϕ) dϕ n xyz si ϕ ϕ ext. (4.78) Inductance propre En écrivant l expression de flux propre d un enroulement d indice xyz : Φ p xyz = n xyz i xyz L βxyz α xyz R (ϕ) xyz.f xyz (ϕ) dϕ (4.79) on en déduit l inductance propre de cet enroulement : L p xyz = L n xyz βxyz α xyz R (ϕ) xyzf xyz (ϕ) dϕ (4.80) Inductance mutuelle Soit un enroulement induit, d indice ijk, d ouverture w ijk, et logé dans un circuit magnétique de rayon R ijk (ϕ). Nous gardons les mêmes notations que la section Selon la figure 4.10 et l équation (2.15), le flux traversant l enroulement ijk et

200 180 Chapitre 4. 3ME des défauts F xyz (ϕ) 1 0 α xyz β xyz βijk α ijk F xyz (ϕ) dϕ 2π F ijk (ϕ) 1 0 α ijk βxyz α xyz F ijk (ϕ) dϕ β ijk 2π Fig Calcul des inductances mutuelles entre deux enroulements quelconques, en présence d excentricité produit par l enroulement xyz : Φ ijk xyz = n ijk i xyz L βijk α ijk R (ϕ) ijk F xyz(ϕ) dϕ (4.81) Étant donné Φ ijk xyz = M ijk xyz i xyz, on déduit alors l inductance mutuelle correspondante : M ijk xyz = L n ijk βijk α ijk R (ϕ) ijk F xyz(ϕ) dϕ (4.82) En se basant sur le même raisonnement pour le flux traversant l enroulement xyz et produit par l enroulement ijk. On en déduit l inductance mutuelle correspondante : M xyz ijk = L n xyz βxyz α xyz R (ϕ) xyz F ijk (ϕ) dϕ (4.83) L implémentation de ces expressions dans, le MétaModèle, dépend de la manière avec laquelle on définit la variation de l entrefer et du rayon en fonction de la position angulaire. Si on définit e(ϕ) et R(ϕ) par des fonctions analytiques dont on dispose de leurs primitives analytiques, la simulation peut se faire en mode «Online». Si non ; les fonctions e(ϕ) et R(ϕ) sont définies par des valeurs numériques

201 4.6. Conclusion 181 selon un pas d échantillonnage spatial bien déterminé, et la simulation peut se faire en mode «Offline». 4.6 Conclusion Ce chapitre est la continuité du développement théorique commencé dans le chapitre 2, dans lequel nous avons exposé la méthodologie de modélisation multienroulements de la machine asynchrone, dont l implémentation a permis de mettre au point le MétaModèle. Nous avons exploité, dans ce chapitre, la flexibilité de ce générateur de modèle pour lui intégrer la possibilité de prendre en compte l apparition de quelques défaillances pouvant affecter les machines asynchrones tout en gardant sa faculté d auto-génération des modèles selon leurs paramètres topologiques. Nous avons exposé le principe avec le quel le MétaModèle prend en compte les défauts de court-circuit de spires au sein d une même phase, de court-circuit entre phase et carcasse et la rupture de barres ou d anneaux de court-circuit ainsi que l excentricité du rotor par rapport au stator. Ces défauts impliquent généralement une altération topologique de la machine. L aspect modulaire et multi-niveaux du MétaModèle, a permis de garder le même noyau de génération, et d automatiser la tâche de prise en compte des défauts. Cette altération topologique a été prise en compte d une manière incrémentale, en faisant propager le défaut du niveau des enroulements enr jusqu au niveau des boucles de résolution, en passant par les niveaux Enr, Bob et Ph. Nous nous sommes basés, durant cette étape d extension dynamique du modèle sain, sur les différentes matrices de passage décrivant l interconnexion électrique entre les différents niveaux de représentation du modèle. Pour concrétiser le développement générique, exposé dans ce chapitre, nous avons fait suivre chaque section par un exemple détaillant les extensions dynamiques faites par le MétaModèle sur l exemple du Mod.C.324, introduit dans le chapitre 3. La validation expérimentale de quelques modèles défaillants générés par la plateforme de simulation IMSimKernel, ici développée, sera présentée dans le chapitre suivant.

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203 Sommaire 5.1 Introduction Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Défauts de rupture de barres Conclusion Chapitre 5 Validation expérimentale des modèles de défauts Ce chapitre présente la validation expérimentale de la prise en considération des défauts par le MétaModèle. Cette validation est basée sur la comparaison des résultats de simulation avec celles issues d expérimentation. Ces essais expérimentaux sont réalisés sur deux machines asynchrones triphasées à cage d écureuil dotées de prises de connexion additionnelles sur le bobinage statorique afin de permettre de provoquer des court-circuits au sein du stator. On dispose aussi d un jeu de rotors interchangeables dont chacun présente un taux de défaillance différent (nombre et lieu des ruptures de barres). Cette comparaison entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux est effectuée en vue d évaluer la performance de l approche. 183

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205 5.1. Introduction Introduction Nous reprenons dans ce chapitre le Mod.C.324 exposé dans le chapitre 3, ce modèle est généré et gouverné par la plate-forme de simulation IMSimKernel, ici développé. Le but de ce chapitre est de confronter le fonctionnement en défauts du simulateur à l expérimentation. Nous avons présenté, dans le chapitre précédent le principe avec lequel ce MétaModèle réagit dynamiquement 1, lors de l introduction d un défaut. Nous commençons, ce chapitre, par la validation expérimentale du principe de modélisation d un défaut de court-circuit au sein d une même phase, puis nous poursuivons avec la validation de la modélisation d un défaut de court-circuit entre phase et carcasse. Ensuite, nous continuons par les défauts qui peuvent toucher la cage rotorique, qui sont la rupture de barres et la rupture d anneaux de court-circuit. Pour ne pas avoir à changer de mode de couplage du modèle, nous supposons durant tout ce chapitre que le Mod.C.324 et la M.AS.Réelle sont couplés en étoile et que l alimentation est aussi couplée en étoile. 5.2 Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Nous nous proposons, dans cette section, d étudier les défauts de court-circuit au sein d une même phase. Nous commençons par exploiter le fait que le Méta- Modèle prend en considération la topologie de bobinage de la machine, et nous simulons plusieurs défauts de C-C, en changeant l emplacement et/ou le nombre de spires court-circuitées. Puis nous entamons la validation expérimentale proprement dite, en introduisant des scénarios de simulation qui correspondent aux possibilités offertes par les prises de court-circuit additionnelles, présentées dans l annexe B Court-circuit et topologie de bobinage Afin d avoir une idée sur la relation entre le nombre de spires en C-C et les inductances mutuelles au sein de la machine, nous introduisons le scénario de simulation 1 fait les extensions nécessaires au niveau du modèle au cours de simulation

206 186 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts 5.1. Nous commençons par donner un aperçu des valeurs prises par l inductance mutuelle entre la boucle de défaut et la première boucle rotorique M d 111 1, ainsi que les valeurs prises par l inductance mutuelle mise en jeu entre la boucle de résolution J Ph 1 et la première boucle rotorique, par la figure 5.1. Vue que le courant de boucle J Ph 1 parcourt les 464 spires de la phase en défaut, l inductance mutuelle entre cette boucle et les boucles rotoriques ne change pas. Scénario 5.1 Variation du nombre de spires en C-C de courte durée : à t=0s : Démarrage à vide, à t=.34s : n d 111 = 3 spires à t=.38s : n d 111 = 13 spires à t=.42s : n d 111 = 29 spires à t=.46s : n d 111 = 58 spires x 10 4 M Ph 1 1 M d Msr (H) t (s) Fig. 5.1 Inductances mutuelles M Ph 1 1 et M d en fonction de la variation de nd 111 On voit bien que l inductance mutuelle M111 1, d entre la boucle de défaut et la boucle N 1 du rotor, est proportionnelle au nombre de spires en court-circuit. Nous rappelons que les inductances mutuelles sont calculées à partir des fonctions de répartition des inductances surfacielles, et que ces fonctions de répartition sont en fonction du nombre de spires mis en jeu. Nous retrouvons par la figure 5.2 cette relation de proportionnalité entre les fonctions de répartition des inductances surfacielles (F 1, F111, d F111) h et les nombres de spires correspondants. Cette figure représente la période de simulation où n d 111 = 29 spires du scénario 5.1.

207 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase F (θ) F h 111 F 1 F d θ( ) (a) Fonctions de répartition de l inductance surfacille de phase et de l enroulement en défaut x 10 4 M Ph 1 1 M d Msr (H) t (s) (b) Inductance mutuelle de phase et de la boucle de défaut. Fig. 5.2 Court-circuit de spires simple de n d 111 = 29 spires Nous rappelons que l enroulement d indice 111 est l enroulement concentrique interne de la première bobine de la phase 1 (Fig : 3.1), cet enroulement est celui qu a la plus petite ouverture d enroulement. Ce qui signifie que n d 111 n est pas le seul facteur qui agit sur l interaction magnétique des spires en court-circuit. Pour avoir une idée sur l influence de l emplacement de l enroulement défaillant sur son couplage magnétique, nous introduisons le scénario 5.2. Scénario 5.2 Court-circuit sur l enroulement 114 : à t=0s : Démarrage à vide, à t=.42s : n d 114 = 29 spires

208 188 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts F (θ) F h 114 F1 F d θ ( ) (a) Fonctions de répartition de l inductance surfacille de phase et de l enroulement en défaut x 10 4 M Ph 1 M d Msr (H) t (s) (b) Inductance mutuelle de phase et de la boucle de défaut. Fig. 5.3 Court-circuit de spires simple de n d 114 = 29 spires Ainsi nous pouvons comparer les résultats d un même taux de défaillance sur la phase 1 mais sur des emplacements topologiques différents (figure 5.2 et 5.3). Les tableaux des inductances 5.1 et 5.2 donnent une idée sur les valeurs prises par quelques inductances, pour un défaut de 29 spires, selon l emplacement de l enroulement en défaut. Tab. 5.1 Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de n d 111 n d 111 L d 111 L h 111 M111 h d L 1 (spires) (mh) Sachant que ε h = 1.42 et ε d = 1.9.

209 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 189 Tab. 5.2 Inductances propres et inductances mutuelles en fonction de n d 114 n d 114 L d 114 L h 114 M114 h d L 1 (spires) (mh) Sachant que ε h = 1.42 et ε d = 1.9. Cette comparaison confirme que l emplacement de l enroulement en défaut intervient d une manière significative dans l interaction magnétique des spires courtcircuitées, ce qui se répercutera forcement sur le comportement finale du modèle. Et ce qui nous permet de se rapprocher plus des conditions expérimentales Défaut de C-C avec limitation du courant de défaut Nous nous intéressons dans ce qui suit à la comparaison des signaux issus de simulation à ceux issus d expérimentation, réalisés sur le deuxième banc d essais (dont le bobinage est décrit par la figure B.3), et offrant la possibilité d introduire des court-circuits entre un nombre réduit de spires (3, 9, spires). Nous nous proposons, dans un premier temps, d étudier l incidence d un faible changement du nombre des spires en C-C sur les courants statoriques. Pour ce faire nous introduisons le scénario de simulation de court-circuit simple 5.3. Scénario 5.3 Une faible augmentation du nombre de spires en court-circuit : à t=0s : Démarrage à vide (Machine saine), à t=.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=0.7s : à t=1.2s : n d 114 = 9 (spires), R114 cc = 0.22 (Ω), ε d 114 = n d 114 = 12 (spires), R cc 114 = 0.29 (Ω). Le choix de la valeur des résistances de court-circuit R cc est fait par mesure

210 190 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts directe de la résistance de limitation du courant de défaut utilisé lors de l expérimentation Analyse temporelle Nous commençons par donner un aperçu de courant de défaut I cc 114, circulant dans la résistance de limitation du courant R cc 114. La figure 5.4 présente les valeurs prises par ce courant au cours de la simulation d un court-circuit de spires, et en faisant varier le nombre de spires court-circuitées selon le scénario 5.3. En expérimentation, nous avons réalisé ces court-circuits en deux étapes. La première concerne le court-circuit de 9 spires sur la phase a, en reliant les bornes 219 et 228 de la figure B.3 via une résistance de 0.22 Ω. La figure 5.4(b) présente les valeurs prises par le courant qui parcourt la résistance de court-circuit durant cette expérimentation I 114 cc (A) t (s) (a) Simulation : scénario I 114 cc (A) 0 5 I 114 cc (A) t (s) (b) Expérimentation : n d 114 = 9 spires t (s) (c) Expérimentation : n d 114 = 12 spires. Fig. 5.4 Courant de défaut I114 cc en fonction du nombre de spires en court-circuit.

211 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 191 Le deuxième essai, concerne le court-circuit de 12 spires sur la même phase, en reliant la borne 219 à la borne 231 de la figure B.3 par une résistance de 0.29 Ω. La figure 5.4(c) nous donne une idée sur l intensité du courant dans cette résistance de court-circuit au cours de cette expérimentation. Il est aussi important d avoir une idée sur l intensité du courant qui parcourt les n d 114 spires court-circuitées de l enroulement en défaut, la figure 5.5 présente les valeurs prises par ce courant au cours de la simulation du scénario 5.3. Nous remarquons que malgré la présence de la résistance de limitation du courant de C-C ce courant atteint des valeurs assez élevées I d 114 (A) t (s) Fig. 5.5 Courant dans les spires court-circuitées au cours de la simulation du scénario 5.3 En diagnostic, plusieurs techniques de supervision se basent sur l observation des courants consommés par la machine, sachant que l on ignore la gravité et la phase qui sera touchée par le défaut. Il serait alors intéressant de comparer le comportement des courants de phases issus de la simulation et ceux de l expérimentation. Nous commençons alors par comparer les valeurs prises par le courant qui parcourt la phase saine en simulation et en expérimentation via la figure 5.6.

212 192 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts I1 (A) t (s) (a) Simulation : scénario Avant le défaut Après le défaut Avant le défaut Après le défaut I1 (A) I1 (A) t (s) (b) Expérimentation : n d 114 = 9 spires t (s) (c) Expérimentation : n d 114 = 12 spires. Fig. 5.6 Courants dans la phase en défaut Concernant les courants dans les phases saines, la figure 5.7 nous permet de comparer les amplitudes des courants dans la phase 2 et la phase 3 lors de l apparition d un défaut sur la phase 1. Les figures 5.7(a) et 5.7(b) présentent les courants dans les phases 2 et 3 lors de la simulation du scénario 5.3, les figures 5.7(c) et 5.7(d) présentent les mêmes courants mais issus d une expérimentation d un défaut de court-circuit de 9 spires sur la phase a et les figures 5.7(e) et 5.7(f) présentent les mêmes courants mais issus d une expérimentation d un défaut de court-circuit de 12 spires sur la même phase. La comparaison des courants expérimentaux et ceux de simulation, montre que le comportement du simulateur est très similaire à celui de la M.AS.Réelle, la grande similitude est surtout du côté des courants dans les phases statoriques, la petite différence d amplitude du courant de défaut peut être due à l erreur de mesure sur la résistance de limitation du courant de C-C. Le déphasage entre les tensions et les courants statoriques est parmi les critères

213 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase I1 (A) I1 (A) t (s) t (s) (a) Courant dans la phase 2 (Simulation du scénario 5.3) (b) Courant dans la phase 3 (Simulation du scénario 5.3) Avant le défaut Après le défaut Avant le défaut Après le défaut I2 (A) I3 (A) t (s) (c) Courant dans la phase 2 pour n d 114 = 9 spires (Expérimentation) t (s) (d) Courant dans la phase 3 pour n d 114 = 9 spires (Expérimentation) Avant le défaut Après le défaut Avant le défaut Après le défaut I2 (A) I3 (A) t (s) (e) Courant dans la phase 2 pour n d 114 = 12 spires (Expérimentation) t (s) (f) Courant dans la phase 3 pour n d 114 = 12 spires (Expérimentation). Fig. 5.7 Incidence d un court-circuit sur le courant dans les phases saines. les plus caractéristiques d un défaut de court-circuit, ce critère reflète le déséquilibre sur les trois phases de la machine. Un court-circuit sur une phase, aura pour effet de faire baisser le courant réactif dans cette dernière et d augmenter la puissance active consommée par cette phase (selon la valeur de la résistance R cc ), ce qui se traduit par une baisse du déphasage entre la tension et le courant dans cette phase. Le couplage magnétique au niveau des enroulements statoriques fait en sorte que ce

214 194 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts défaut se transmet aux autres phases, ce qui explique le fait que le déphasage entre les tensions et les courants des phases b et c change aussi. La figure 5.8(a) illustre ce phénomène de variation de déphasage selon la valeur des spires court-circuitées en simulation. Les figures 5.8(b) et 5.8(c) présentent respectivement le déphasage entre les tensions et les courants de lignes expérimentaux pour 9 et 12 spires en court-circuit X: Y: φx ( ) X: Y: X: Y: t (s) φ 1 φ 2 φ 3 (a) Simulation : scénario Φx ( ) X: Y: X: Y: Φx ( ) X: Y: X: Y: Φ 1 Φ 2 φ t (s) (b) Expérimentation : n d 114 = 9 spires. 32 Φ 1 Φ 2 Φ t (s) (c) Expérimentation : n d 114 = 12 spires. Fig. 5.8 Incidence d un court-circuit de spires sur le déphasage entre les tensions et les courants de lignes On remarque que pour la machine expérimentale, on a un léger décalage des déphasages des 3 phases qui peuvent être dus à un léger déséquilibre de la machine (elle a été rebobinée manuellement pour introduire les points d accès intermédiaires) mais aussi apporté par les chaînes de mesure qui comportent des filtres anti-repliements analogiques (courant et tension) qui ont chacun leur propre déphasage. Ce qui est important est de noter que les variations de phase apportées par le défaut sont conformes à la simulation (pour une machine couplée en étoile, la phases a et c diminuent et la phase b augmente légèrement).

215 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Analyse fréquentielle Un défaut de court-circuit a aussi une double incidence sur le spectre des courants statoriques Devanneaux (2002), la première est l augmentation de l amplitude des raies des harmoniques principales d encoches rotoriques (repérées sur la figure 3.36) proportionnellement au nombre de spires en C-C, la deuxième est l apparition d autres harmoniques d encoches comme le montre les figures 5.9(b) et 5.10(b). Les figures 5.9 et 5.10 présentent l analyse spectrale des courants dans les phases 1 et 2 avant et après l introduction d un court-circuit de 27 spires sur la phase DSP I ph 1 (db) DSP I ph 1 (db) X: Y: X: 1281 Y: f (Hz) (a) Sans défaut f (Hz) (b) Avec défaut de 27 spires sur la phase 2. Fig. 5.9 Analyse spectrale du courant dans la phase DSP I ph 2 (db) DSP I ph 2 (db) f (Hz) (a) Sans défaut f (Hz) (b) Avec défaut de 27 spires sur la phase 2. Fig Analyse spectrale du courant dans la phase en défaut (phase 2 ) Ces raies sont beaucoup plus prononcées sur le spectre du courant circulant dans la résistance de limitation du courant de court-circuit comme le montre la figure 5.11.

216 196 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts 0 DSP I 214 cc (db) f (Hz) Fig Analyse spectrale du courant dans la résistance R cc 214 D après Joksimovic et Penman (2000), Devanneaux (2002) un court-circuit de spires au sein du bobinage statorique fait paraître des raies au tour des fréquences 25, 75, 100 et 125 Hz..., dues aux oscillations sur le couple électromagnétique qui provoquent à leur tour des oscillations sur la vitesse angulaire du rotor. L amplitude de ces rais est aussi proportionelle au nombre de spires en défauts. 0 DSP I ph 2 (db) X: Y: X: Y: 69.9 X: Y: f (Hz) Fig Analyse spectrale du courant dans la phase en défaut [0..175]Hz Nous remarquons aussi que la résistance de limitation du courant de défaut R cc 214 = 0.6W atténue les oscillations du Cem et par conséquent elle fait baisser l amplitude des raies correspondantes comme le montre la figure 5.12, ce qui explique le fait que les raies de cette figure sont plus faibles que celles dans la bibliographie citées.

217 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Défaut de C-C sans limitation du courant de défaut Jusqu à présent nous n avons présenté que des défauts de court-circuit réalisés avec une limitation du courant de défaut (via R cc 0). En pratique ce genre de défaut arrive le plus souvent avec un contact franc (R cc = 0), nous nous intéressons dans ce qui suit à la simulation de ce genre de défaillance mais sans limiter le courant dans la branche de défaut, nous imposons alors une résistance de court-circuit nulle durant le scénario 5.4 tout en faisant varier le nombre de spires court-circuitées. Scénario 5.4 Défauts de court-circuit sans limitation du courant de défaut : à t=0s : Démarrage à vide (Machine saine), à t=.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=0.7s : n d 114 = 3 (spires), R114 cc = 0 (Ω), ε d 114 = à t=1.2s : n d 114 = 12 (spires), à t=1.7s : n d 114 = 29 (spires), Les courants dans les phases statoriques, issus de la simulation de ce scénario, sont présentés par la figure Nous remarquons que cette fois ci les courants, dans les trois phases, sont plus importants que ceux des figures 5.6(a), 5.7(a) et 5.7(b) nous remarquons aussi que le courant dans la phase défaillante augmente de façon significative avec le nombre de spires en défaut de celle ci. Pour une machine de cette taille (1.1 KW ) et dès l apparition d un faible nombre de spires en défaut (3 spires), le courant dans la branche de court-circuit atteint une amplitude de l ordre de 35 A (Fig : 5.14(a)), et le courant dans les spires courtcircuitées a une amplitude de l ordre de 30 A (Fig : 5.14(b)). Lorsque le nombre de spires est plus important le courant de défaut reste presque constant.

218 198 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts I1 (A) t (s) (a) Courant dans la phase a. I1 (A) t (s) (b) Courant dans la phase b. I1 (A) t (s) (c) Courant dans la phase c. Fig Courants statoriques au cours de la simulation du scénario I 114 cc (A) I d 114 (A) t (s) t (s) (a) Courant dans la résistance R cc 114. (b) Courant dans les spires court-circuitées. Fig Courants de branches au cours de la simulation du scénario 5.4 Ces résultats montrent que ce défaut est très destructeur pour l isolation du bobinage statorique quelque soit le nombre de spires en court-circuit de départ. Nous avons remarqué aussi que le déphasage a gardé un comportement très proche de celui de la figure 5.8(a) à 2 près.

219 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase Influence de l inductance de fuite des spires courtcircuitées Afin d avoir une référence expérimentale, tout au long de cette section, nous choisissons d introduire un défaut de court-circuit de 27 spires sur la phase 2 (entre les bornes 203 et 230 de la figure B.3), avec une résistance de court-circuit de 0.6W, sachant que cette fois ci la machine est couplée en triangle. Les courants issus de cette expérimentation sont représentés par les figures 5.15(a) et 5.15(b), représentant respectivement le courant dans la résistance de court-circuit et les courants dans les trois phases statoriques I 214 cc (A) (a) Courant de défaut. t (s) I 1 I 2 I 3 Ix (A) (b) Courants dans les phases statoriques. t (s) Fig Courants expérimentaux lors d un défaut de C-C de 27 spires sur la phase 2 Comme le défaut est sur la phase 2 nous retrouvons par la figure 5.16(a) le comportement habituel des Φ x expérimentaux : la baisse du déphasage la plus importante est sur la phase en défaut. Nous tenons aussi à signaler qu il y a une légère différence par rapport au comportement de la machine en défaut lorsque elle est

220 200 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts couplée en étoile. En fait, à l encontre du comportement des déphasages en triangle, on remarque une légère augmentation du déphasage sur la phase qui suit la phase en défaut (dans le sens 1 2 3) comme le montre la figure 5.16(b) Φ 1 Φ 2 Φ 3 Φx ( ) (a) Couplage en triangle t (s) Φ 1 Φ 2 Φ 3 Φx ( ) (b) Couplage en étoile. Fig Φ x expérimentaux lors d un défaut de C-C de 27 spires sur la phase 2 t (s) Afin d étudier l effet de l inductance des fuites de la boucle de défaut sur le comportement du modèle en présence d un C-C de 27 spires sur la phase 2, nous mettons le MétaModèle dans les mêmes conditions que l expérimentation (couplage triangle) et nous introduisons le scénario 5.5 :

221 5.2. Défauts de court-circuit de spires au sein de la même phase 201 Scénario 5.5 Variation de l inductance de fuites des spires court-circuitées : à t=0s : Démarrage à vide (Machine couplée en triangle), à t=1s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=1.5s : n d 214 = 27 (spires), R214 cc =.6 (Ω), ε d 214 = 0.24, à t=2s : ε d 214 =1.66, à t=2.5s : ε d 214 =3.57, À la suite de la simulation du scénario 5.5, nous récupérons les courants dans les phases statoriques présentés dans la figure La figure 5.17(a) présente le courant consommé par la phase en défaut, les figures 5.17(b) et 5.17(c) présentent respectivement le courant dans la phase 1 et dans la phase 3 du stator I ph 2 (A) t (s) (a) Courant dans la phase I ph 1 (A) I ph 3 (A) t (s) t (s) (b) Courant dans la phase 1. (c) Courant dans la phase 3. Fig Courants statoriques au cours de la simulation du scénario 5.5 Nous pouvons conclure de ces figures que les courants de lignes ne présentent

222 202 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts pas une grande sensibilité vis-à-vis de l augmentation des fuites des spires courtcircuitées. Du côté des courants dans les branches de l enroulement en court-circuit, nous remarquons qu ils sont assez sensibles à cette variation de fuites dans la boucle de défaut. Que ce soit pour le courant dans la résistance de limitation du courant de défaut I cc 214 ou pour le courant qui parcourt les n d 214 spires court-circuitées de cet enroulement, l augmentation de ces fuites fait baisser l amplitude de ces deux courants comme le montre les figures 5.18(a) et 5.18(b). Cette attitude nous permet de rattraper un écart éventuel entre le courant de défaut expérimental et celui de simulation pour la même résistance R cc. I 214 cc (A) t (s) (a) Courant dans la résistance R cc 214. I d 214 (A) t (s) (b) Courant dans les spires court-circuitées. Fig Courants de branches au cours de la simulation du scénario 5.5 La baisse de la valeur du déphasage entre les tensions et les courants de phases (Fig : 5.16) prouve qu un défaut de court-circuit de spires consomme beaucoup plus de courants actifs que de courants réactifs, surtout au niveau de la phase en défaut. En simulation, comme le modèle est couplée en triangle, le déphasage entre les tensions et les courants de phase doit ressembler à la figure 5.16(a). Nous remarquons que l augmentation des fuites dans les spires court-circuitées n a pas une grande incidence sur le déphasage Φ 2 de la phase en défaut, mais elle rend le déphasage des deux autres phases moins sensible au défaut (Fig : 5.19), ce qui correspond plus à la figure du déphasage expérimental.

223 5.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Φ1 Φ2 Φ3 42 Φx ( ) t (s) Fig Déphasages entre tensions et courants de simulation 5.3 Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse Nous entamons dans ce qui suit la validation expérimentale de la manière avec laquelle le MétaModèle prend en compte un défaut de court-circuit entre phase et carcasse. En expérimentation, nous relions le point intermédiaire 219 de la phase a (Fig : B.3) au neutre de l alimentation (couplée en étoile), par l intermédiaire d une résistance de 5.25 Ω. Pour que le MétaModèle fait les transformations nécessaires au Mod.C.324 nous lui introduisons le scénario 5.6. Scénario 5.6 Introduction d un défaut de court-circuit entre la phase 1 et la carcasse : à t=0s : Démarrage à vide (Machine saine), à t=.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=0.7s : SC T ype = PhGndSC, n d 114 = 13 (spires), R114 cc = 5.25 (Ω), ε d 114 = Dès l arrivée de l évènement de défaut, le processus de mise à jour du modèle se met en marche, ce processus se termine par la définition des nouvelles boucles de résolution de la machine défaillante. Comme on est en étoile, le stator était décrit par deux boucles de résolution J 1 et J 2, l apparition de ce défaut définit une nouvelle boucle de résolution J d 1 comme décrit par la figure 4.8. Les tensions appliquées à ces nouvelles boucles de résolution sont présentées par la figure 5.20.

224 204 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts Vx (V ) V V1 d V t (s) Fig Tensions appliquées aux boucles de résolution (scénario 5.6). Nous commençons par comparer les courants qui règnent dans la phase en défaut. Un aperçu du courant I 1 et du courant de défaut I cc 114, issus de la simulation du scénario 5.6, est donné par les figures respectives 5.21(a) et 5.21(b). Les signaux issus de l expérimentation confirment ces résultats, et nous retrouvons un comportement très similaire. Les figures 5.21(c) et 5.21(d) présentent respectivement le courant dans la phase en contact avec la carcasse et le courant dans la résistance R cc I1 (A) I 114 cc (A) t (s) (a) Simulation : Courant de ligne I h 1 = I h t (s) (b) Simulation : Courant dans la résistance de court-circuit R cc I1 (A) 0 5 I 114 cc (A) t (s) t (s) (c) Expérimentation : Courant de ligne I a = I h 1. Fig Courants dans la phase en défaut (d) Expérimentation : Courant dans la résistance de court-circuit R cc 114.

225 5.3. Défauts de court-circuit de spires entre phase et carcasse 205 Nous remarquons que, malgré la résistance de limitation du courant de défaut (R114 cc = 5.25 Ω), le courant augmente d une manière importante sur la phase défaillante, comme illustré par les figures 5.21(a) et 5.21(c). À l encontre d un défaut de C-C simple, les courants dans les phases saines n augmentent pas avec l apparition de ce défaut voire même ils diminuent un peu comme le montre les figures 5.22(a) et 5.22(c) I2 (A) 0 1 I3 (A) t (s) t (s) (a) Simulation : Courant dans la phase 2. (b) Simulation : Courant dans la phase 3. I2 (A) t (s) (c) Expérimentation : Courant dans la phase b. I3 (A) t (s) (d) Expérimentation : Courant dans la phase c. Fig Courants dans les phases saines Il est aussi important d avoir une idée sur les courants qui circulent de part et d autre du point de contact avec la carcasse. Ces courants sont ceux qui circulent dans les branches de l enroulement en défaut. Nous avons présenté via la figure 5.21(a) le courant dans les spires qui sont avant le point de contact noté I1 h = I114, h la figure 5.23 présente le courant parcourant les 13 spires qui viennent après le point de contact de l enroulement 114 et parcourant aussi les enroulements d indices 12z, z {1..4} selon la notation des figures 4.6 et 4.7.

226 206 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts I d 114 (A) t (s) Fig Courant I d 1 = Id 114 (dans les 13 spires de l enroulement 114 et dans les enroulements d indices 12z, z {1..4}) au cours de la simulation du scénario 5.6 Nous retrouvons aussi un comportement assez similaire entre la simulation et l expérimentation au niveau du déphasage entre les sources de tension et les courants de ligne, surtout pour les phases b et c. C est au niveau du déphasage de la phase a que nous trouvons une légère différence entre Φ 1 issu de l expérimentation et celui de simulation. La figure 5.24 présente les valeurs prises par ces déphasages en simulation et en expérimentation Φx ( ) Φ 1 Φ 2 Φ t (s) (a) Φ x de simulation Φexp ( ) Φ 1 20 Φ 2 Φ t (s) (b) Φ x expérimentaux Fig Déphasage entre sources de tension et courants de ligne lors d un défaut de C-C entre phase et carcasse

227 5.4. Défauts de rupture de barres Défauts de rupture de barres Afin de valider le fonctionnement du Mod.C.324 en présence de défaut de rupture de barres, nous introduisons le scénario 5.7. Ce scénario consiste à faire fonctionner le modèle avec une charge nominale. Par la suite, on introduit successivement une rupture presque totale sur la première barre puis sur la deuxième barre du rotor, selon le principe décrit dans la section 4.4. Scénario 5.7 Introduction d un défaut de rupture de barres : à t=0s : Démarrage à vide (Machine saine), à t=.3s : On applique un couple résistant C r = 7Nm, à t=0.7s : R b1 = 2 mw, à t=1.2s : R b2 = 2 mw. Cette nouvelle valeur de résistance, qu on vient d introduire dans ce scénario, est 30 fois plus grande que la valeur de la résistance d une barre saine (61µW). Cette valeur a été choisie de sorte que le courant qui traverse la barre défaillante soit quasi nul. Les figures 5.25(a) et 5.25(b) prouvent l efficacité de cette démarche de prise en compte d une rupture de barres. Nous remarquons aussi que l introduction du premier défaut a engendré une légère augmentation de l amplitude du courant dans la deuxième barre, et que le deuxième défaut a engendré une augmentation plus importante du courant sur la troisième barre comme exposé par la figure 5.25(c). Comme le courant dans une barre cassée est presque nul, les courants dans les deux portions d anneaux de court-circuit adjacentes à cette barre cassée deviennent égaux. La figure 5.25(d) montre l égalité des courants dans les portions d anneaux d indice a1 et a2 à la suite de la rupture de la barre d indice b2. Un défaut de rupture de barres est parmi les défauts les plus traités dans la littérature Bachir (2002), Devanneaux (2002), Didier (2004). Les signatures auxquelles on s attend est l apparition d ondulation de fréquence 2.g.F s sur la vitesse, ainsi que la modulation des courants statoriques avec la même fréquence. La figure 5.26 fait un zoom sur ces ondulations au niveau de la vitesse. Avec une barre cassée cette variation de vitesse est très faible ( 1rad/s), et elle prend de l ampleur avec l augmentation du nombre de barres cassées.

228 208 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts Ib1 (A) Ib2 (A) t (s) (a) Courant dans la barre b t (s) (b) Courant dans la barre b I b3 I b5 500 I ex a1 I ex a2 Ibk (A) 0 I ex (A) ak t (s) (c) Courant dans les barres b3 et b t (s) (d) Courant dans les portions d anneaux externe a1 et a2. Fig Courants dans la cage rotorique au cours de la simulation du scénario Ωr (rad/s) t (s) Fig Apparition des ondulations sur la vitesse de la machine La modulation du courant statorique est présentée par la figure 5.27(a), vue la richesse harmonique des signaux de simulation, cette modulation devient plus visible à partir de la rupture de la deuxième barre. L analyse de déphasage entre les tensions et les courants statoriques a aussi révélé cette ondulation. La figure 5.27(b) présente les valeurs prises par ce déphasage durant la simulation du scénario 5.7. En expérimentation, nous changeons le rotor sain de la machine par celui à deux

229 5.4. Défauts de rupture de barres I1 (A) t (s) (a) Modulation du courant statorique. Φx ( ) Φ1 Φ2 Φ t (s) (b) Apparition des ondulations sur le déphasage. Fig Incidence d une rupture de barres sur les courants statoriques en simulation (scénario 5.7) barres cassées (décrit dans l annexe B.3), et nous faisons l acquisition des tensions et des courants statoriques. L analyse de ces courants a révélé cette modulation d amplitude (Fig : 5.28(a)), et la mesure du déphasage entre les tensions et les courants de lignes (Fig : 5.28(b)) confirme le comportement du simulateur.

230 210 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts I1 (A) t (s) (a) Modulation du courant statorique Φ1 Φ2 Φ3 Φx ( ) t (s) (b) Apparition des ondulations sur le déphasage. Fig Incidence d une rupture de deux barres sur les courants statoriques expérimentaux En faisant l analyse fréquentielle des courants de simulation, nous remarquons que l apparition d une rupture de barre introduit plusieurs harmoniques, Ces harmonique représentent la signature spectrale de ce défaut Devanneaux (2002), Didier (2004), et elles sont données par la relation : f d = (1 ± 2kg) f s (5.1) Avec, k {1, 2, 3...}. Les figures 5.29(a) et 5.29(b) présentent respectivement la densité spectrale de puissance des courants statoriques, sans défaut et en présence de barres cassées, entre 0 et 100 Hz. La figure 5.29(b) montre que les amplitudes des raies caractéristiques du défaut augmentent avec l augmentation du taux de défaillance du rotor.

231 5.4. Défauts de rupture de barres DSP I ph 1 (db) (a) Rotor sain. f (Hz) 0 1 barre cassée 2 barres cassées DSP I ph 1 (db) (b) En présence de rupture de barres. f (Hz) Fig Analyse spectrale de I ph 1 [0-100]Hz (simulation) Nous terminons notre analyse fréquentielle dans la plage [0..100]Hz par une comparaison du spectre de courant statorique expérimental à celui issu de simulation par la figure 5.30.

232 212 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts 0 Expérimentation Simulation DSP I ph 1 (db) f (Hz) Fig Spectre de courant statorique de simulation et expérimental [0-100]Hz (rupture de 2 barres) Nous remarquons aussi la présence des raies additionnelles autour des composantes principales des harmoniques d encoches f enc introduites par l expression (3.50) et repérées sur la figure L équation (5.2) donne l expression globale de ces raies, intégrant à la fois les fréquences d encoches et les raies additionnelles qui apparaissent avec la défaillance du rotor Didier (2004) : f hex = (x(1 g) ± (1 + 2η)g) F s (5.2) Avec, x {3, 5, 7, 9, 11, 13,...} et η {0, 1, 2, 3...}. Nous avons repéré ces raies additionnelles sur les figures 5.31 et 5.32, représentant le spectre des courants statoriques de simulation et expérimentaux dans une plage fréquentielle > 200Hz.

233 5.5. Conclusion DSP I ph 1 (db) f (Hz) Fig Analyse spectrale de I ph 1 en présence d une rupture de 2 barres (simulation) DSP I1 (db) f (Hz) Fig Analyse spectrale du courant dans la phase a en présence d une rupture de 2 barres (expérimentation) 5.5 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons exploité la deuxième fonctionnalité du MétaModèle, décrite dans le quatrième chapitre, qui est la prise en compte dynamique des défaillances introduites par les scénarii de simulation. La première exploitation était celle de la simulation d un défaut de court-circuit au sein d une même phase,

234 214 Chapitre 5. Validation expérimentale des modèles de défauts le fait que le MétaModèle prend en considération la topologie du bobinage du stator nous a permis de présenter l influence de l emplacement du C-C sur le fonctionnement en défaut du modèle. Cette faculté de bien spécifier l emplacement de l enroulement en défaut nous a permis de reproduire les même défauts que ceux du banc d essais et de comparer les résultats de simulation à ceux d expérimentation. La deuxième exploitation de cette plate-forme de simulation était la simulation d un défaut entre phase et carcasse. Les résultats de simulation et d expérimentation sont assez comparables. On remarque l importance d un courant de phase pour ce genre de défaut (facile à détecter avec les protections classiques du moteur). La troisième exploitation de ce générateur de modèle était la simulation d une défaillance de rupture de barres rotoriques, nous avons retrouvé toutes les signatures de ce genre de défaillance dans les signaux statoriques. Durant toutes ces étapes, nous nous sommes basés sur des résultats expérimentaux afin de valider le comportement en mode de défaut du simulateur, ce qui prouve que le fonctionnement du simulateur est assez proche de la réalité, et qu il peut servir comme un banc d essais virtuel.

235 Conclusion et perspectives Pour mener des recherches en diagnostic de la machine asynchrone sur des défauts, essentiellement électriques ou mécaniques, l outil de simulation est indispensable pour les investiguer. Autant en pratique certains défauts sont quasiment impossibles à réaliser, qu il est souvent aussi difficile de reproduire en simulation sans y consacrer un temps de développement très important. C est pour cela que dans cette thèse, avec l idée d utiliser les outils issus du génie logiciel, on s était donné comme objectif d automatiser la génération du simulateur de la machine asynchrone avec la présence de différents défauts statoriques et rotoriques. Pour cela on a commencé par recenser les différentes approches pour simuler une machine asynchrone en mettant l accent sur la spécificité de ces méthodes en termes de précision et de complexité de mise en œuvre. Il y a deux grandes familles de techniques de simulation : par éléments finis ou par résolution d un système d état (équations différentielles). C est dans cette dernière que nous avons retenue notre méthode. Plus précisément, on a choisi d utiliser la méthodologie des Circuits Electriques Magnétiquement Couplés (CEMC), qui est doublement bien adaptée d une part, dans la capacité de décrire la machine en prenant en compte tous les éléments des bobinages statorique et rotorique et les défauts électriques. Nous pouvons citer sans être exhaustif, pour le stator, les connexions inter spires d une même phase ou sur deux phases différentes ou vis-à-vis de la terre via la carcasse de la machine. Pour le rotor les ruptures de barres ou d anneaux en modifiant uniquement la valeur des paramètres électriques du rotor et d autre part, la facilité d automatiser la génération du modèle avec défaut en utilisant des matrices de connexions. Ces matrices de connexions sont directement liées à la conception de la machine, nombre de 215

236 216 Conclusion et perspectives phases, nombre de paires de pôles, nombre d encoches statorique, nombres de barres au rotor. Pour simplifier la démarche de la méthodologie de la modélisation, nous avons commencé par étudier le cas de la machine saine. Nous détaillons le MétaModèle développé dans cette thèse, en décrivant les parties élémentaires du modèle jusqu à la façon de les assembler pour obtenir le modèle de la machine complète. Il s agit d une modélisation purement analytique, en générant les mutuelles intrinsèques au stator, intrinsèques au rotor, et les mutuelles stator-rotor, en se basant sur la distribution du champ magnétique dans l entrefer selon la répartition spatiale du bobinage de cette machine. Cela ce traduit par la gestion de matrices de connexions facilement constructibles par un générateur issu du génie logiciel. Cette partie a été validée par une première étude en simulation sur la sensibilité de certains paramètres de construction comme la largeur de l entrefer ou l importance des fuites magnétiques statorique et rotorique. Cela nous a permis de caler le modèle de simulation avec une machine réelle existant au laboratoire et de vérifier les résultats de simulation par les résultats expérimentaux obtenus pour différents cas de charge et de couplages (étoile et triangle). Ensuite, pour atteindre l objectif que l on s était donné (cas de la machine avec défauts), nous avons enrichi la méthodologie de cette modélisation multienroulements pour prendre en considération la présence de défauts. Ce défaut pouvant être un défaut de court-circuit de spires au sein d une même phase, un courtcircuit entre deux phases, un court-circuit entre phase et terre ou une rupture de barres. Nous avons montré comment prendre en compte chacune de ces altérations topologiques. Cela se traduit par une modification des matrices de connexions, qui sont déduites directement de la topologie normale de la machine plus des interconnexions dues aux défauts de courts-circuits statoriques. Comme pour le cas de la machine saine, cette thèse présente les résultats des matrices obtenues par le noyau de génération de modèles «IMSimKernel» issu du génie logiciel pour différents défauts et aussi la comparaison des résultats de simulation de ce modèle avec des essais expérimentaux de la machine en défaut. En conclusion de cette thèse, nous pouvons dire que nous avons validé le principe de génération d un modèle dynamique de simulation par le noyau de génération «IMSimKernel» (l implémentation Objets du MétaModèle) en rentrant uniquement la topologie réelle de la machine, sachant que ce modèle dynamique s adapte

237 Conclusion et perspectives 217 automatiquement aux changements topologiques dus à l apparition d un défaut de courts-circuits et/ou de rupture de barres ou d anneaux, selon le lieu exact du défaut. Bien sûr, comme tous travaux prospectifs, il y a de nombreuses perspectives qui sont envisageables à plus ou moins court termes. Nous avons pris plusieurs hypothèses simplificatrices qu il faudrait analyser une par une pour voir l importance de chacune sur les erreurs quelles apportent sur les résultats de simulation. En premier lieu, il serait intéressant de poursuivre les recherches sur les défauts d excentricités (statiques et/ou dynamiques), ceux-ci agissent sur la répartition du champ magnétique de chaque enroulement élémentaire. Une première approche a montré la capacité de la méthode pour introduire ce défaut mécanique. Il resterait à finaliser l étude en simulation ce qui permettrait de retrouver les harmoniques de courant bien connus dans ce cas de défaut. Les aspects expérimentaux sont pour cela très difficile à mettre en œuvre. Une deuxième perspective serait la prise en compte de la magnétisation du fer sur la répartition du champ dans l entrefer et qui va intervenir sur le calcul de chaque mutuelle entre les enroulements statoriques et/ou rotoriques. Une troisième serait la prise en compte des effets de non linéarité dans l état magnétique dans le fer (effets de saturation) qui produirait des modulations des inductances (et les mutuelles associées) en fonction de la position du champ magnétique et qui se traduirait par l apparition d harmoniques de courant d ordres impairs (3, 5, 7,..). On remarque bien qu avec l hypothèse de prendre les inductances indépendamment de la position du champ magnétique, les courants simulés actuels ne comportent pas ces harmoniques impairs. Une autre perspective qui permettrait de rendre ce noyau de génération de modèle IMSimKernel plus accessible et plus simple à utiliser, est de le doter d une interface graphique permettant de : lire et saisir les paramètres du simulateur sans avoir à éditer les fichiers XML des paramètres du stator, du rotor et de simulation, offrir une interface graphique de saisie de scénario de simulation, afficher en temps réel quelques signaux de simulation, contrôler la simulation : faire une pause, arrêter ou poursuivre une ancienne simulation... choisir et envoyer des évènements de simulation par des outils graphiques, au cours d une simulation.

238 218 Conclusion et perspectives Ainsi que d encapsuler le noyau de génération dans une boite paramétrable (toolbox matlab), exploitable pour faire de l identification en boucle fermée de la machine asynchrone (que ce soit en mode de programmation ou sous SimuLink).

239 219 Annexes

240

241 Sommaire A.1 Méthode d Euler A.2 Méthodes de Runge-Kutta A.3 Méthode d exponentielle d une matrice A.4 Méthode d Adams Annexe A Quelques techniques de résolution d équations différentielles Il existe des procédés de résolution numérique pour les équations différentielles. La première méthode numérique fut introduite en 1768 par Leonhard Euler. Depuis un grand nombre de techniques ont été développées D ly (1996), Vladimir (1992) : elles se basent sur la discrétisation de l intervalle d étude en un certain nombre de pas. Suivant le type de formule utilisé pour approcher les solutions, on distingue les méthodes numériques à un pas ou à pas multiples, explicites ou implicites. Il existe plusieurs critères pour mesurer la performance des méthodes numériques : la consistance d une méthode indique que l erreur théorique effectuée en approchant la solution tend vers 0 avec les pas. La stabilité indique la capacité à contrôler l accumulation des erreurs d arrondi. Ensemble elles assurent la convergence, c est-à-dire la possibilité de faire tendre l erreur globale vers 0 avec le pas. 221

242 222 Annexe A. Techniques de résolution d équations différentielles A.1 Méthode d Euler La méthode d Euler est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Soit le système suivant : x I, u (x) = f(x, u(x)) où I est un intervalle de R et f une fonction réelle sur I R. Étant donnée une condition initiale (a, u(a)) I R, la méthode fournit pour tout point b I une suite (u n (b)) n N d approximations de la valeur u(b) que prend la solution de l équation qui correspond à cette condition initiale. u n (b) s obtient en calculant n valeurs intermédiaires (y k ) k [0,n] de la solution approchée aux points (x k ) k [0,n] régulièrement répartis entre a et b, donnés par : x k = a + k b a n On étend cette notation à x 0 = a, y 0 = u(a) et x n = b, y n = u n (b). Ces valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence : y k+1 = y k + (x k+1 x k )f(x k, y k ), k [0, n 1] (A.1) A.2 Méthodes de Runge-Kutta Ces méthodes reposent sur le principe de l itération, c est-à-dire qu une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite. La méthode de Runge-Kutta d ordre quatre (RK4) est un cas particulier d usage très fréquent, dénoté RK4. Considérons le problème suivant : y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0

243 A.2. Méthodes de Runge-Kutta 223 où La méthode RK4 est donnée par l équation : y n+1 = y n + T e 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (A.2) k 1 = f (t n, y n ) ( k 2 = f t n + T e 2, y n + T ) e 2 k 1 ( k 3 = f t n + T e 2, y n + T ) e 2 k 2 k 4 = f (t n + T e, y n + T e k 3 ) L idée est que la valeur suivante (y n+1 ) est approchée par la somme de la valeur actuelle (y n ) et du produit de la taille de l intervalle (T e ) par la pente estimée. La pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes : k 1 est la pente au début de l intervalle ; k 2 est la pente au milieu de l intervalle, en utilisant la pente k 1 pour calculer la valeur de y au point t n + T e /2 par le biais de la méthode d Euler ; k 3 est de nouveau la pente au milieu de l intervalle, mais obtenue cette fois en utilisant la pente k 2 pour calculer y ; k 4 est la pente à la fin de l intervalle, avec la valeur de y calculée en utilisant k 3. Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu. pente = k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4. 6 Le calcul de y n+1 nécessite alors 4 évaluations de la fonction f, et par suite pour les fonctions compliquées le temps de calcul devient important.

244 224 Annexe A. Techniques de résolution d équations différentielles A.3 Méthode d exponentielle d une matrice Une des premières applications de l exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires, d une manière explicite. En effet, de l équation (A.3) ci-dessous, on déduit que la solution de : où A est une matrice, est donnée par d dt y(t) = A.y(t), y(0) = y 0, (A.3) y(t) = e At y 0. (A.4) L exponentielle d une matrice peut aussi servir à résoudre les équations nonhomogènes : d dt y(t) = A.y(t) + z(t), y(0) = y 0. (A.5) On se propose alors d intégrer le système différentiel suivant : ẏ(t) = A.y(t) + B.u(t) (A.6) On approxime l entrée u(t) par un polynôme basé sur la connaissance des valeurs u k+1, u k, u k 1. Entre K.T e et (K + 1).T e, on écrit que u(t) = a 0 + a 1.v (A.7) avec v = t K.T e a 1 = u k+1 u k T e a 0 = u k

245 A.4. Méthode d Adams 225 la solution numérique de système (A.6) est alors : y(t e ) = e A.Te.y(0) + Te 0 e A(Te τ).b.u(τ).dτ (A.8) L implémentation de cette méthode à un ordre N quelconque est de la forme : y k+1 = Φ.y k + I 0 + I 1 (A.9) avec I 0 = ψ 0.B.a 0 I 1 = (T e.ψ 0 ψ 1 ).B.a 1 et Φ = e A.Te = ψ 0 = ψ 1 = Te 0 Te 0 N A n n T e n=0 e A v dv = e A v v dv = n! N n=0 N n=0 A n T e n+1 (n + 1)! (n + 1)A n T e n+2 (n + 2)! A.4 Méthode d Adams Cette méthode est l une des catégories à pas multiples. Elle peut être classée en formules ouvertes ou formules fermées. Dans ce qui suit, on détaillera uniquement le cas de formules d Adams ouvertes. Soit l équation différentielle suivante : d dt y(t) = f(y, t), y(0) = y 0, (A.10) Le développement en série de Taylor autour de t donne : y(t + T e ) = y(t) + T e.f(y, t) + T e 2 2!.f (y, t) + + T n e n!.f (n 1) (y, t) (A.11)

246 226 Annexe A. Techniques de résolution d équations différentielles ainsi on a y k+1 = y k + T e.f k + T e 2 2!.f k + + T n e n!.f (n 1) k (A.12) En utilisant le même principe, on peut exprimer, par une formule générale d ordre (N + 1), y k+1 en fonction de y k et f k, f k 1, f k 2,..., f k N : N y k+1 = y k + T e. β Nn.f k n + O(T e ) n+2 n=0 (A.13) Dans le tableau suivant, on donne les valeurs de β Nn jusqu à N = 5, ce qui correspond à une formule d ordre 6 n N Ordre de la méthode La formule la plus couramment utilisée est celle d ordre 4 : y k+1 = y k + T e 24. (55f k 59f k f k 2 9f k 3 ) + O(T e ) 5 (A.14)

247 Sommaire B.1 Paramètres techniques de la «M.AS.Réelle» B.2 Bobinage modifié (prises de court-circuit) B.3 Jeu de rotors interchangeables B.4 Système d acquisition Annexe B Bancs d essais Les deux bancs expérimentaux que nous avons utilisés ont été développés au L.A.I.I. de Poitiers dans le cadre du projet «Diagnostic de la machine asynchrone» et en collaboration avec la société Moteurs Leroy Somer. Ces deux bancs sont conçus au tour de deux machines asynchrones issues d une même série, chaque machine est accouplée à une machine à courant continu de même puissance (qui fonctionne en génératrice). Les deux machines asynchrones sont dotées de prises de connexions additionnelles, sur le bobinage statorique, nous permettant de provoquer des court-circuits au sein du stator. La figure B.1 présente le banc d essai ayant des prises de connexions additionnelles, avec un nombre de spires important. Ces prises de C-C sont introduites sur deux phases selon le schéma topologique de la figure B

248 228 Annexe B. Bancs d essais prises de connexion sur le bobinage statorique Fig. B.1 Banc d essais (stator à bobinage modifié) B.1 Paramètres techniques de la «M.AS.Réelle» Les caractéristiques de deux machines (LS90 ), montées sur les bancs expérimentaux, sont données par le tableau B.1. Tab. B.1 Caractéristiques de la M.AS.Réelle Puissance Tension nominale Courant nominal 1.1 KW 400/230 V 2.6/4.3 A cos(φ) 0.85/0.82 Vitesse nominale 1425 tr/min Nombre de paires de pôles 2 Nombre d encoches statoriques 48 Nombre de barres au rotor 28 Nombre de spires par phase 464

249 B.2. Bobinage modifié (prises de court-circuit) 229 B.2 Bobinage modifié (prises de court-circuit) Les essais expérimentaux sont réalisés sur deux machines asynchrones triphasées spécialement bobinées afin de rajouter des prises supplémentaires selon les figures B.2 et B.3. Les points intermédiaires de la première nous permettent d expérimenter les défauts de C-C avec un nombre de spires relativement important. Quant à la deuxième, ces points intermédiaires nous permettent d expérimenter les défauts de C-C d un nombre réduit de spires X Y U V Fig. B.2 Schéma développé du bobinage d un stator avec prises de C-C éloignées

250 230 Annexe B. Bancs d essais X Y U V Fig. B.3 Schéma développé du bobinage du stator avec prises de C-C rapprochées B.3 Jeu de rotors interchangeables On dispose aussi d un jeu de rotors interchangeables (applicable aux deux machines), dont chacun présente un taux de défaillance différent : Rupture totale (faite par le constructeur) : d une barre, de deux barres successives, Rupture partielle : L extraction de la matière des barres (à 95%) est faite par perçage successif avec des forets de diamètres différents, les défauts réalisés sont : de deux barres à 64, de deux barres à 90, de deux barres à 180. La figure B.4 présente un jeu de rotors sur lesquels nous avons introduit différents taux de rupture de barres.

251 B.4. Système d acquisition 231 Fig. B.4 Jeu de rotor interchangeable (avec et sans défaut) B.4 Système d acquisition L acquisition des signaux est faite par l intermédiaire d un système d acquisition Vision de chez Nicholet. Ce système dispose de 16 canaux d acquisition avec une résolution de 12 bits, et d une fréquence d échantillonnage maximale de 100 K-échantillons par seconde. Les signaux expérimentaux ici exposés ont été échantillonnés à 10 KHz et filtrés, que ce soit pour les tensions ou pour les courants, par un filtre d antirepliement de fréquence de coupure 2.5 KHz. Ce système d acquisition dispose des fonctionnalités de visualisation, d impression et d enregistrement sur un disque dur de 9 Go, ainsi que le partage et la mise sur réseau informatique des données acquises. Les 16 canaux d acquisition sont isolés électriquement les uns des autres, en plus la plage d entrée de ces canaux va de 50 mv à 500 V avec une impédance d entrée de 1 MΩ. Les signaux dont nous avons fait l acquisition durant nos expérimentations sont : Les trois tensions triphasées appliquées aux bornes du bobinage statorique V a, V b, etv c, nous avons utilisé pour ces mesures des ponts diviseurs de tension, pour mieux adapter les tensions aux calibres des canaux de mesure, Les trois courants triphasés I a, I b, eti c, grâce à trois pinces ampèrmétriques de calibre 100 mv/a, avec l introduction de(s) court-circuit(s) nous faisons l acquisition : de(s) courant(s) de défaut(s), grâce à des pinces ampèrmétriques de même type que celles citées précédemment.

252 232 Annexe B. Bancs d essais En parallèle à ces signaux, nous mesurons la/les résistance(s) de limitation des courants de défauts ainsi que la vitesse de rotation du rotor.

253 Sommaire C.1 Introduction C.2 E.V.E. des machines asynchrones C.3 Spécification des scénarii de simulation Annexe C L environnement virtuel d expérimentation «IMSimKernel» C.1 Introduction La programmation orientée objets «MOO» Muller et Gaertner (2000) est l approche de programmation la plus utilisée dans le domaine de développement des applications et de la modélisation des systèmes. Malgré tous les bénéfices gagnés lors de l utilisation de cette méthodologie, l utilisation de cette technique dans le domaine de la simulation et du diagnostic des machines électriques reste timide. La MOO est la technique la plus adaptée pour fournir une bibliothèque de «classes» génériques qui font abstraction des différents sous-systèmes de la machine asynchrone. Le fait de coupler cette méthodologie à l approche de méta-modélisation, nous permet de proposer un générateur de modèle dynamique de machines asynchrones (MétaModèle). Au lieu de proposer un modèle d une machine bien spécifique, ce Méta- Modèle est constitué essentiellement des règles de génération et d interaction entre les différents objets du modèle. Cette approche de modélisation se base sur les inductances 233

254 234 Annexe C. IMSimKernel mutuelles intrinsèque au stator, au rotor et entre le stator et le rotor 1 ), ainsi que l autoconstruction des matrices de connexion selon la topologie et la géométrie de la machine. L outil informatique élaboré dans cette thèse a été implémenté sous Matlab2007b, bien que cet environnement ne fait pas le meilleur choix pour faire de la programmation orientée objets, nous l avons choisi pour que ce travail puisse servir à d autres membres du laboratoire ainsi qu à d éventuels travaux de recherche qui vont poursuivre ce travail. C.2 L environnement virtuel d expérimentation des machines asynchrones La simulation du comportement d une machine asynchrone nécessite de fixer un certain nombre de paramètres : les paramètres de cette machine, les conditions de simulation ainsi que le scénario à simuler : les paramètres de la machines regroupent toutes les informations permettant de bien décrire la machine à simuler, sur le plan géométrique, électrique et topologique 2. ces paramètres sont repartis sur plusieurs fichiers de configuration, dont chacun décrit une partie de la machine, ces fichiers sont situés selon l arborescence suivante : IMSimKernel/Data/ -- rotor -- get_rotor_param.m -- rotor_param.xml -- stator -- get_stator_param.m -- stator_param.xml Les paramètres de simulation décrivent les conditions dans lesquelles opère le modèle de la machine : Alimentation appliquée, type de couplage des sources d alimentation, mode de résolution (pas fixe ou pas variable...), fréquence de mise à jour de l affichage, une nouvelle simulation ou continuation d une ancienne simulation... Ces paramètres sont chargés à partir du package data/sim suivant : IMSimKernel/Data/ -- sim -- get_sim_param.m -- sim_param.xml Les scénarii de simulation décrivent une suite chronologique d évènements, ces évènements peuvent être d ordre externe comme la variation du couple de charge, ou de la tension appliquée. Ou d ordre interne comme la variation de la résistance d une 1 comme décrit tout au long de cette thèse 2 topologie de bobinage (répartition spatiale des enroulements élémentaires), type bobinage...

255 C.2. E.V.E. des machines asynchrones 235 barre (apparition d une fissure), un changement au niveau de la topologie du bobinage (court-circuit inter-spires d une même phase, inter-phases ou entre une phase et la carcasse). Ces scénarii sont enregistrés dans le répertoire data/scenarios : IMSimKernel/Data/ -- scenarios -- get_sim_scenario.m -- Healthy_sim_scenario_1.xml -- Healthy_sim_scenario_2.xml -- PhSC_sim_scenario_1.xml -- PhPhSC_sim_scenario_1.xml -- PhGndSC_sim_scenario_1.xml C.2.1 Principe d auto-génération du modèle Une fois le parsing des fichiers XML est fait, les paramètres du stator, du rotor et de simulation seront stockés dans les structures correspondantes «Stator parm, Rotor Pram» et «Sim Parm». L auto génération d un modèle dynamique peut alors commencer par l objet mère «IM Sim Obj» jusqu à arriver aux objets «Coil Obj» et «Bar Obj» selon le diagramme C.1. Ainsi chaque objet mère distribue la génération de son modèle sur IM Sim Obj Sim Parm Stator Parm Rotor Parm IM Obj Stator Parm Rotor Parm Rotor cage Rotor Obj L, R r, e, µ 0,... N r Phase Obj(1) L, R s, e, µ 0..., p, N c α 1y, β 1y y {1..p} Stator Obj L, R s, e, µ 0,... N, p, N c, Topology α x, β x x {1..N}... Phase Obj(N) L, R s, e, µ 0..., p, N c α Ny, β Ny y {1..p} wound Stator Obj (θ)... Bar Obj(1) L, R r, e, µ 0... α 1, β 1.. Bar Obj(N r ) L, R r, e, µ 0... α Nr, β Nr Winding Obj(1) L, R s, e, µ 0..., N c α 11z, β 11z z {1..N c }... Winding Obj(p) L, R s, e, µ 0..., N c α 1pz, β 1pz z {1..N c } 1..N r int SCRing Obj(k) R, L p, L f... Coil Obj(1) L, R s, e, µ 0... α 111, β Coil Obj(N c ) L, R s, e, µ 0... α 11Nc, β 11Nc 1..N r ext SCRing Obj(k) R, L p, L f... Fig. C.1 Génération incrémentale du modèle selon les paramètres topologiques de la machine

256 236 Annexe C. IMSimKernel ses objets fils, en leurs fournissant les paramètres géométriques (L,R, e...) et topologiques (N, p, N e, N r, type de bobinage ainsi α xyz et β xyz...) nécessaires à chaque étape de génération. L objet implémentant l environnement virtuel d expérimentation est le «IM Sim Obj». Son principal rôle est de fournir un environnement interactif de simulation, la première étape réalisée par cet objet est l instanciation du modèle dynamique de la machine, appelé «IM Obj». Le second rôle est d assurer la gestion des événements de simulation. Ces événements peuvent venir des scénarii de simulation ou de l intervention de l utilisateur, via l interface graphique du simulateur. Le modèle dynamique de la machine «IM Obj», génère deux sous-objets, le «Stator Obj» et le «Rotor Obj». Chacun de ces deux objets reçoit ses paramètres de l objet mère, ces paramètres décrivent la géométrie ainsi que la topologie de la partie en question. L objet stator distribue à son tour la génération de son modèle sur le N objets de type phase (de «Phase Obj(1)» à «Phase Obj(N)») en leur fournissant leur coordonnées polaires α x, β x x {1..N} respectives. Chaque objet de type phase («Phase Obj(x)») génère à son tour p objets de type bobine (de «Winding Obj(x1)» à «Winding Obj(xp)»), et envoie à chacun d entre eux ses paramètres géométriques et topologiques p, N c, le type de bobinage ainsi que ses coordonnées polaires α xy, β xy y {1..p}, x {1..N}. Les objets «Winding Obj(xy)» génèrent à leur tour les N c objets de type enroulement (de «Coil Obj(xy1)» à «Coil Obj(xyN c )»), et fournie à chacun d entre eux ses paramètres géométriques ainsi que les coordonnées polaires des encoches allées α xyz et retour β xyz, z {1..N c }, y {1..p} et x {1..N}. «Coil Obj(xyz)» est l objet de base de ce modèle, il représente les n xyz spires logées dans les encoches localisées par α xyz et β xyz. Ces objets représentent le dernier niveau du processus de génération, chacun d entre eux crée son modèle électrique ; la matrice des résistances [R] xyz, celle des inductances [L] xyz ainsi que sa matrice de connexion [D] xyz. Comme le MétaModèle démarre avec un modèle sain, ces matrices sont au départ des matrices unitaires. L inductance propre L p xyz et de fuites L f xyz sont calculées en fonction de la topologie de bobinage et les dimensions des encoches selon les expressions détaillées dans la section. Un rotor bobiné suit les mêmes étapes de génération qu un stator, alors qu un rotor à cage d écureuil génère N r «Bar Obj» décrivant ses barres, N r «int SCRing Obj» et N r «ext SCRing Obj» décrivant les morceaux de deux anneaux de court-circuit de la cage. A chaque fois qu un événement touche aux caractéristiques géométriques ou topolo-

257 C.2. E.V.E. des machines asynchrones 237 giques de la machine, ces objets suivent le même processus pour mettre à jour le modèle global de la machine «IM Obj». C.2.2 Principe de simulation Une fois les objets élémentaires accomplissent la génération de leurs modèles, chaque objet mère concatène les matrices des objets fils pour former ses propres matrices résistance et inductance. Sachant que le couplage magnétique entre les objets fils est pris en compte via les inductances mutuelles qui remplissent les éléments paradiagonaux de la matrice des inductances, comme décrit dans les sections 2.3, 4.2 et Ce processus de génération se termine au niveau de l objet «IM Obj». Durant un scénario de simulation, ce dernier sera gouverner par l objet «IM Sim Obj» selon le diagramme C.2. l objet «IM Sim Obj» est le noyau du simulateur, ses principales fonctionnalités sont : initialiser les variables d environnement selon les paramètres de simulation, charger le scénario de simulation et rester à l écoute du canal des évènements de l utilisateur, ainsi que de gouverner le modèle dynamique de la machine («IM Obj»). Un diagramme de principe exposant un aperçu des composants constituant cet environnent virtuel d expérimentation (EVE), de machines saine et en défaut, est donné par la figure C.2. I.M. Virtual Experimentation Environment (IMSimKernel) Induction Machine (I.M.) parameters I.M. Meta-model I.M. dynamic model auto-generation rules simulation scenario end user events Events manager topological events simulation events autoupdating layer autoupdating layer IM Obj I.M. multi-layers object-oriented model. O.D.E loops layer: [R], [D] and [L](θ). Dynamic states space [U] = [A].[Ẋ] + [B].[X] building and solving [X] θ Online mode IM Sim Obj Offline mode Data saving manager stator-rotor mutuals output data simulation parameters SimClock Power supply manager Data display manager : Initialization data : Data stream Fig. C.2 «IMSimKernel»

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