La multiplication. I. Vocabulaire

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1 La multiplication I. Vocabulaire Définition Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. S'exprimer 0 5,2=52 peut se traduire ainsi : «52 est la produit de 0 par 5,2 ; les facteurs sont 0 et 5,2». 6=66 peut se traduire ainsi : «66 est la produit de par 6 ; les facteurs sont et 6». Remarque Il n'est pas inutile de rappeler l'importance de savoir ou de revoir ses tables de multiplication. Propriété fondamentale des multiplications Dans un produit, changer l'ordre des facteurs ne change pas le résultat. ère application Il n'est pas nécessaire d'apprendre tous les résultats des tables de multiplication. En effet, le produit 3 9=27 que l'on trouve dans la table de trois, se retrouve sous la forme 9 3=27 dans la table de 9. Voici la table contenant les résultats à connaître

2 Autres tables de multiplication à connaître La table de est facile à apprendre : x = 2 x = 22 3 x = 33 4 x = 44 5 x = 55 6 x = 66 7 x = 77 8 x = 88 9 x = 99 0 x = 0 x = 2 La table de 2 correspond en fait à la conversion des années en mois (ou inversement). En effet, un bébé de 3 ans a en fait 36 mois. Mais il y a aussi la journée qui contient deux fois 2 heures. Elle est à bien connaître jusqu'à 2 5=60. x 2 = 2 2 x 2 = 24 3 x 2 = 36 4 x 2 = 48 5 x 2 = 60 La table de 5 s'illustre bien lorsqu'on pense aux quarts d'heure : trois quarts d'heure correspond à quarante-cinq minutes. Elle est à connaître jusqu'à 5 6=90 x 5 = 5 2 x 5 = 30 3 x 5 = 45 4 x 5 = 60 5 x 5 = 75 6 x 5 = 90 La table de 25 qui fait penser au centimes : c'est quatre fois 25 centimes. Elle se retient très facilement. x 25 = 25 2 x 25 = 50 3 x 25 = 75 4 x 25 = 00 5 x 25 = 25 6 x 25 = 50 7 x 25 = 75 8 x 25 = 200 etc. La table de 60 qui fait penser aux mesures de temps : 60 secondes correspond à minute ; 60 minutes correspond à heure. Cette table ne s'apprend pas puisqu'à peu de choses près, c'est la table de 6! x 60 = 60 2 x 60 = 20 3 x 60 = 80 4 x 60 = x 60 = x 60 = x 60 = 420 etc.

3 2 ère application Cet exemple est à comprendre et surtout à savoir refaire. L'idée est de regrouper les facteurs qui se calculent facilement de tête. Ainsi, de proche en proche, on arrive au résultat. A= Les facteurs 25 et 4 sont à regrouper car 4 25=00. A= Dans cette étape, on regroupe les facteurs en question. A= On effectue le(s) calcul(s) facilement faisable(s). A=48900 On obtient un résultat calculé de tête. De même : B= B= B=60 75 B=4500 II. Multiplication posée / Rappel : avec des entiers Posons la multiplication de 683 par Méthode On aligne verticalement les chiffres de la même valeur : chiffre des unités sous le chiffre des unités, chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines... On place correctement les retenues qu'on peut barrer au fur et à mesure. Bien vérifier chaque nouvelle ligne de calcul. A chaque nouvelle ligne, on se décale Exemples Pose pour calculer et

4 2/ Avec des nombres décimaux L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5. ère étape Dans un premier temps, on pose la multiplication sans se préoccuper des virgules ère étape Maintenant, il faut tenir compte des virgules. Comment la placer dans le résultats? Méthode : puisque 7,85 est proche de 8, et que 9,5 est proche de 9 ; on sait que le résultat est proche de 8 9=72. Il n'y donc qu'une seule possibilité pour placer la virgule dans le résultat et obtenir un résultat proche de 72 ; c'est 74,575. La virgule est située entre le chiffre 4 et le chiffre 5. Donc 7,85 9,5=74,575. Méthode 2 : puisque 7,85 est cent fois plus petit que 785 et que 9,5 est dix fois plus petit que 95, alors le résultat doit être mille fois plus petit que C'est donc 74,575. 7, 8 5 9, , On remarque que le nombre de chiffres dans les parties décimales de 7, 85 2 chiffres est le même que dans le résultat 74, 575. On en déduit la propriété suivante... 3 chiffres et 9, 5 chiffre Propriété fondamentale Dans un produit de nombres décimaux, le nombre de chiffres qu'on trouve dans les parties décimales des facteurs est égal au nombre de chiffres qu'il y a la partie décimale du résultat.

5 Application Comment utiliser le résultat précédent pour trouver directement les produits suivants et sans rien poser? 78,5 9,5=? ; 7,85 0,95=? On remarque d'abord que les chiffres sont les mêmes que dans = Ensuite, il suffit de compter les chiffres dans les parties décimales : 78, 5 Autres exemples Pose les calculs suivants : 7,46 7,42 ; 7,248 0,42. 9,5 5=745, , 4 6 7, , , , , Place correctement la virgule pour que l'égalité soit correcte : 2,8 5,3 =67,84 28,7,04 =29,848 0,5 6,3 =0,945 0, ,9 =4,352 0,235 0,32 =0,00302 Point de calcul mental Il peut être utile de connaître les résultats suivants : 25 4=500 et 25 8=000. Cela permet de calculer les produits suivants : 2,5 0,4=5,00=5 ;,25 8=0,00=0 ; 2,5 4=0. De même, on essaiera de comprendre ces calculs 2,5 0,4= ;,5 0,6=0,9.

6 III. Multiplication par 0, 00, Activité L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 3, On peut interpréter ce résultat en se disant que l'on cherche le nombre qui est cent fois plus grand que 3,574. Multiplier 3,574 par 00 revient à multiplier chaque chiffre de ce nombre par 00 : dizaine multiplié par 00 devient millier ; 3 unités multiplié par 00 devient 3 centaines ; 5 dixièmes multiplié par 00 devient 5 dizaines ; 7 centièmes multiplié par 00 devient 7 unités ; 4 millièmes multiplié par 00 devient 4 dixièmes. On obtient donc 3,574 00= 357,4. Mais que remarque-t-on? C'est que la virgule s'est décalée de deux chiffres vers la droite : autant de zéros qu'il y a dans le nombre 00! En généralisant, on obtient des résultats du genre : 7, =723,5 ; 854,2 0=754,2 ; 7,5 000=7500! Dans ce dernier exemple, il faut compléter par des zéros. Remarque On peut aussi utiliser la propriété fondamentale car si =35700, alors on a 3,57 00=357,00=357, en comptant le nombre de chiffres dans les parties décimales. De même, on a 9,76 000=9760,00=9760. Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 0, 00, 000 il faut décaler la virgule de, 2, 3... chiffres vers la droite, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 2,5 00=250 0, =48,9 25, =25489,745 0,2 000=20 0, =0, ,25 00 = , = 48622,9 72,45 00 = 724,5 235, = , = 2622,94

7 Application Le calcul qui va suivre utilise la propriété fondamentale du début de chapitre, la table de 25 et la propriété vue juste au dessus. A=25 3,789 4 A= ,789 A=00 3,789 A=378,9 A=25 48,4 8 A= ,4 A=200 48,4 A= ,4 A= A=9680 B=25 0, B= ,4254 B=000 0,4254 B= 425,4 IV. Multiplication par 0, ; 0,0 ; 0,00... Rappel Écriture en toutes lettres Écriture décimale Un dixième 0, Un centième 0,0 Un millième 0,00 Un dix-millième 0,000 Un cent-millième 0,0000 Un millionième 0, Écriture fractionnaire

8 Remarque Le principe est presque le même. Le produit 42 0, se dit «42 fois un dixième» ou encore «42 dixièmes». Mais 42 dixième s'écrit 4,2, d'où 42 0,=4,2. On se doute bien que si à la place de 42 on avait 42,7, on obtiendrait 42,7 0,=4,27. Ici, la virgule se décale vers la gauche! On admettra donc la propriété suivante... Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 0,, 0,0, 0,00 il faut décaler la virgule de, 2, 3... vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 2,589 0,00=0, ,25 0,0=0, ,97 0,00 = 0,6997 0, ,00 = 0, ,565 0,000 = 0, ,505 0,0000 = 0, ,09 0,00 = 7,2509 V. Conversions Rappels Tableau des unités km hm dam m dm cm mm 000 m 00 m 0 m m 0, m 0,0 m 0,00 m A savoir par cœur «kilo» : 000 «hecto» : 00 «deca» : 0 «déci» : 0, «centi» : 0,0 «milli» : 0,00 Exemples 2,5 hm=250 m (on multiplie par 00 ) 45,8 cl=0,458 L (on multiplie par 0,0 ) 0,235 kg=23,5 g (on multiplie par 000 ) 45 dam=450 m (on multiplie par 0 ) 2,89 hl=289 dl (on multiplie par 000 ) 7,5 L=75 dl (on multiplie par 0 )

9 Méthodes Il est possible, en s'imaginant dans sa tête un tableau, de convertir en utilisant la méthode de cycle 3 (primaire). Méthode de sixième : si je veux convertir 2,56 dag en cg, je me pose d'abord la question suivante «combien y a-t-il de cg dans dag?» ; on trouve que dag= 000 cg ( dg ; g ; dag ) ; finalement, on multiplie 2,56 par 000 et on obtient 2,56 dag =2,56 000=2 560 cg. Un autre exemple détaillé Je veux convertir,4589 ml en hl. En partant de ml, on a cl, dl, L, dal et hl. Donc ml=0,0000 hl ; on va donc multiplier,4589 par un cent-millième :,4589 ml=,4589 0,0000=0, hl. Exemples 45,8 dam=0,458 km 0,25 dam=2,5 dm VI. Ordre de grandeur Explication Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je veux acheter 5 stylos à 0,90 alors que je n'ai qu'un billet de 0, cela semble assez difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 5 tout en étant supérieur à 0. L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On parle alors d'un résultat cohérent. Exemple Je suis au supermarché et j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 4,95 ; 3,98 ; 5,23. Je peux dépenser 70 euros. Aurai-je assez d'argent? Calculons un ordre de grandeur : 4,95 est proche de 5 ; 3,98 est proche de 4 ; 5,23 est proche de 50 ; donc le total est proche de 70 euros. Cet ordre de grandeur n'est pas assez précis pour se déterminer. Calculons le résultat exacte : 4,95 3,98 5,23=70,6 euros Conclusion : il manque donc 6 centimes.

10 Exemple 2 Au supermarché, j'achète des articles dont les prix sont les suivants : 2,45 ; 7,29 ; 49,8. J'ai quatre billets de dix, un billet de vingt et deux de cinq. Est-ce que je pourrai payer tous mes achats? En termes d'argent, je possède =70 2,45 7,29 est proche de 20 et inférieur à 20 ; 49,8 est proche de 50 mais inférieur à 50. Mes dépenses sont inférieures à 50 20=70. Conclusion : je pourrai payer tous mes achats! (ouf) Quelle est la somme exacte de mes dépenses? 2,45 7,29 49,8=68,92 qui est inférieur à 70! Remarque Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher! Méthode pour trouver un ordre de grandeur On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier ou un multiple de 0, 00 ou 000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de faire des calculs de tête. On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.