RESISTANCE DES MATERIAUX

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1 ciences et Technologies de l Industrie et du Développement Durable La Résistance des atériau (Rd) T le TI2D CI4 : Dimensionnement et choi des matériau et structures Cours E-ITEC 1. Introduction, but de la Rd REITANCE DE ATERIAUX La résistance des matériau a trois objectifs principau : - la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériau. (Comportement sous l effet d une action mécanique) - l'étude de la résistance des pièces mécaniques.(résistance ou rupture) - l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. 2. Hypothèse de la Rd, champ d application 2.1. Le matériau : Il est homogène : tructure continue et identique dans toutes les directions; Cette hypothèse est fausse pour tous les matériau granuleu ou fibreu (béton, pierre, bois, composites,...) Il est isotrope : ême propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cette hypothèse est fausse pour tous les matériau granuleu ou fibreu Disposition de la matière Définition d une poutre : La RD étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de «poutres». Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendré par une surface plane () dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne. Les caractéristiques de la poutre sont : Ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure. ection droite () constante ou variant progressivement. Grande longueur par rapport au dimensions transversales. Eistence d'un plan de symétrie. CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 1/8

2 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours Cas des pièces ayant une forme complee i la pièce n est pas une poutre, alors il faut utiliser un logiciel effectuant les calculs par éléments finis. Le principe est le suivant : Eemple : La lame mobile d un sécateur odélisation : 1- aillage de la pièce et Définition des liaisons 2- Définition du chargement (Efforts appliqués) Interprétation des résultats. 3- Contraintes dans le matériau (Pa) 4- Déformations (mm) 2.3. Les forces etérieures : Deu types d'actions mécaniques etérieures peuvent s'eercer sur la poutre : Charges concentrées ( F1en N ou moment C en Nm) Charges réparties «p» sur DE. (Eprimées en N/m). A F1 C c D E B p CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 2/8

3 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 2.4. Les déformations : Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'eerçant sur celle-ci seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eu considérés comme constants. On néglige le décalage. Les sections planes normales au fibres avant déformation demeurent planes et normales au fibres après déformation : Hypothèse de Navier & Bernoulli : Les résultats obtenus par la RD ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés : Hypothèse de Barré de t Venan : 3. Efforts de cohésion oit une poutre (E) en équilibre sous l'action de plusieurs actions etérieures. Pour étudier ce solide déformable, il faut modéliser ce qui se passe au sein de la matière. Pour se faire, on réalise une coupure fictive de la poutre située à l'abscisse qui la sépare en deu tronçons E1 et E2. Les efforts de cohésion traduisent les actions de contact de (E2) sur (E1) dans la surface ().Ces efforts de cohésion permettent à la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions etérieures. Les efforts de cohésion sont modélisables par R une résultante (en N) et G un moment résultant (en N.m) au point G. On peut les projeter de la façon suivante dans le repère (o, ). - Effort normal N : projection de R sur l ae - Effort tranchant T : projection de R sur la section droite () situé dans le plan ( y, z ) - oment de torsion t : projection de G sur l ae - oment de fleion f : projection de G sur la section droite () situé dans le plan ( y, z ) T et f n ayant pas de direction privilégiée dans ( y, z ), il est préférable d utiliser les composantes algébriques de ces vecteurs Résultante : oment : R R N Ty Tz N : effort normal Ty et Tz : efforts tranchants G R t fy fz t : moment de torsion fy et fz : moments de fleion CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 3/8

4 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 4. ollicitations simples LA TRACTION COPREION : LE CIAILLEENT : y i N > 0 : Traction i N < 0 : Compression F N 0 T 0 t f 0 0 N 0 T 0 t f 0 0 LA TORION : LA FLEXION IPLE : y F N 0 F T 0 t f 0 0 y F N 0 T 0 t f 0 0 En résumé : N Composantes Ty Tz t fy fz Remarque : Nous avons des sollicitations composées chaque fois qu'il y a, pour une même poutre, addition de sollicitations simples. > 0 < 0 ollicitation 5. Notion de contraintes 5.1. Définition : Les efforts de cohésion induisent des contraintes à l intérieur de la pièce qui caractérisent les actions mécaniques de cohésion interne au matériau qui eistent entre les grains de matière. Remarque : Une contrainte est assimilable à une pression. C est un effort par unité de surface (N/mm² ou Pa) Contrainte NORALE Contrainte TANGENTIELLE : uivant l orientation de la contrainte par rapport à la normale de la section, on définie deu types de contraintes : Contrainte normale : La contrainte normale (pa) est normale à la section droite () Contrainte tangentielle : La contrainte tangentielle (pa) est située dans le plan tangent à la section droite () E1 () E2 n CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 4/8

5 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 6. ollicitations de TRACTION - COPREION 6.1. Détermination de la contrainte normale: oit une pièce sollicitée à ses deu etrémités par deu efforts F parallèles à l ae longitudinal de la pièce. i on isole le tronçon E1 de la poutre, la répartition des contraintes dans la section () est uniforme et normale à la surface : E1 La contrainte normale de traction.n : () n > 0 : Traction Les efforts etérieurs tendent à allonger la pièce : Allongement < 0 : Compression Les efforts etérieurs tendent à raccourcir la pièce : Raccourcissement Remarque : dans ce cas N = F car la résultante des efforts appliqués à la pièce s eerce sur l ae, ae normale à la section () Loi de Hooke : N L essai de traction consiste à soumettre une éprouvette normalisée à un effort de traction progressivement croissant, jusqu à la rupture de l éprouvette. La machine mesure les efforts appliqués et les déformations de l éprouvette. F (N) F F r Zone élastique Zone plastique (N/mm²) R r F e A R e A Charge au moment de la rupture F = k.l = E. E = O L (mm) O : Contrainte normale de traction (pa) L L Loi de HOOKE : = E. Avec : E : odule d'élasticité longitudinal (pa) : Allongement unitaire (déformation. par unité de longueur) E correspond à la pente de la droite du domaine élastique de l essai de traction. Il s appelle aussi odule d Young. Quelques valeurs de E : atériau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstène E (Pa) à Plus E est grand plus le matériau est «raide». Plus E est petit plus le matériau est «souple» CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 5/8

6 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 6.3. Epression de la déformation élastique : L allongement élastique L d une pièce en traction dépend de la force de traction N, de la section et de la longueur au repos de la pièce L. F : norme de la force (N) L F. L E. Avec : 6.4. Condition de résistance : L : longueur au repos de la pièce (mm) E : module de Young (pa): : aire de la section de la pièce (mm²) Pour qu'une pièce résiste au efforts de traction sans subir de déformation permanente il faut que la contrainte interne ne dépasse pas la limite élastique Re du matériau. Pour des raisons de sécurité et compte tenu des hypothèses faites avec les modélisations, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'etension Rpe. On considère que c est la contrainte maimale admissible. Avec cs: coefficient de sécurité >1 cs = 1,5 à 3 pour des structures courantes. cs = 8 à 10 pour des structures présentant un danger pour l'homme et son environnement La condition de résistance s écrit donc : Rpe 7. ollicitation de FLEXION simple 7.1. Contraintes : La loi de Hooke a permis de mettre en évidence que la contrainte est proportionnelle à allongement relatif. Dans le cas de la fleion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales.. y Zone de compression Zone de traction Ordonnée du point (ici y>0) () Fibre neutre a. (Contrainte en ) G 1 a : contrainte normale au point due à la fleion (en Pa) Avec : fz : moment de fleion selon (G, z ) dans () (en N.mm) I Gz : moment quadratique de la section droite () / à son ae neutre (en mm 4 ) y : ordonnée du point dans (G,, y, z ) (en mm) Remarque : - La contrainte normale maimale se trouve sur le point le plus éloigné de l ae neutre (fibre moyenne). - La condition de résistance en fleion est la même qu en traction en prenant la valeur maimale de la contrainte. CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 6/8

7 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 7.2. oment quadratique : Le moment quadratique ( caractérise la raideur de la poutre au fléchissement. Eemple du réglet : Un réglet fléchira facilement s il est à plat mais Beaucoup moins si il est sur la tranche. oment quadratique des sections simples : Forme de la section Réglet à la verticale Réglet à l horizontale ) 8. ollicitation de CIAILLEENT 8.1. Contrainte dans la section droite : Les contraintes tangentielles sont sensiblement uniformément réparties dans une section droite. On définit une contrainte moyenne moy égale à si la répartition des contraintes tangentielles était uniforme. : Contrainte tangentielle de cisaillement (pa) moy = T Avec : T : norme de l effort tranchant (N) T = = : aire de la section droite (mm²) G 8.2. Condition de résistance : Répartition de la contrainte dans la section droite La condition de résistance pour une sollicitation de cisaillement est la même que pour la traction en prenant en compte la résistance pratique au cisaillement (ou glissement) Rpg : Avec : La condition de résistance s écrit donc : moy Rpg Reg : Résistance élastique au glissement (Pa) cs : Coefficient de sécurité CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 7/8

8 T le TI2D Résistance des matériau (Rd) Cours 9. ollicitation de TORION 9.1. Déformation : A 0 A A 1 G 0 A α G A 1 G 1 G1 ( 0 ) () ( 1 ) Comme l angle varie proportionnellement à la distance, on peut écrire : : angle de torsion unitaire (rad/mm) Contrainte dans la section droite : Après analyse, nous remarquons que la valeur de la contrainte tangentielle en un point est proportionnelle à la distance de ce point au centre de la section (). D où la répartition des contraintes tangentielles dans la section droite () : Ce qui amène cette relation liant le rayon à la contrainte tangentielle : G Avec : : Contrainte tangentielle dans le matériau.(pa) G : module d élasticité transversale du matériau (ou module de Coulomb) (pa) : Rayon considéré pour l analyse (mm) Dans le domaine élastique, le moment de torsion t est proportionnel à l'angle unitaire de torsion. t : oment de torsion (N.mm) t = G..Io Avec : G : odule d'élasticité transversale (Pa) : Angle unitaire de torsion (rad/mm) Io : oment quadratique de () par rapport à (O, ) (mm 4 ) En combinant les deu relations précédentes, on obtient directement la contrainte tangentielle en fonction du moment de torsion : = La condition de résistance en torsion est la même qu en cisaillement en prenant la valeur maimale de la contrainte. CI4_Cours_RD_E Lycée Jules Ferry Versailles 8/8