Ecoulement d un fluide :

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1 Hydrodynamique Mécaniques des fluides 1. Ecoulement d un fluide avec énergie constante (pas d apparition ni de disparition de l énergie, conversion d énergie : par exemple la pression) 2. Fluides parfait et fluides réels : viscosité Sans viscosité : parfaits Avec viscosité : réel 3. Ecoulement avec ou sans turbulence Sans : laminaire Avec : turbulent Ecoulement d un fluide : Utilisation des lignes de vitesse : ligne de vitesse se rapproche, vitesse augmente. Avant et après la rétrécissement la vitesse est la même. Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent avant le rétrécissement, ligne de vitesse prallèle, qui illustre un écoulement laminaire puis on observe des turbulance, les lois ne sont alors plus valable, il y a perte d énergie dans ces turbulence, qui va être utiliser pour autre chose (le bruit par exemple). Equation de continuité Quantité de fluide entrant = quantité de fluide sortant Fluide incompressible Débit volumique constant sur le temps courts Un tube de section S1, et d extrémité S2 plus petite que S1. Le flux s écoute de S1 vers, S2. Comme le débit est constant, la vitesse est plus importante au niveau de S2. Pendant un temps delta T, le fluide V1 se déplace d une distance. Pendant delta T la vitesse varie, à même volume, car la forme est différente dans le cylindre. Si le volume V1, est le même que le volume V2, on peut écrire les équations suivants, en prenant en considération la section et la distance parcouru. Ecoulement avec bifurcations, surface totale des canalisations. L équation est valable si on prend l'ensemble des canalisations. Le débit entrant S1, est égale au débit sortant en prenant l ensemble des canalisations.

2 Application : Aorte : diamètre intérieur de 18mm, vitesse moyenne du sang 0,33 m.s-1 Division en 32 artères diamètre interne de 4mm Division en capillaires : diamètre interne 8.10^-6m section totale 2,5.10^5 mm2 Vitesse écoulement du sang dans les artères? Débit volumique aorte D-aorte. Vaorte = Vart Vitesse d écoulement dans les capilaires? Vcap 0,33 à 0,21, le débit sanguin dans les artères est le même mais la vitesse est plus faible, l équation de continuité, entre la vitesse de l aorte et la vitesse de l artère, il y a une différence de facteur 1,6. PS : Ne pas oublier l ensemble des bifurcations. L équation de BERNOULLI Ecoulement laminaire Pas de turbulences Régime permanent Vitesse, pression, température indépendants du temps Fluide parfait Pas de frottements, viscosité négligeable Ecoulement vers le haut volontaire. On prend en considération 3 paramètres qui vont varier en même temps. -La pression : différence de pression pour avoir un écoulement, on parle de pression mécanique. Dans le sang la pression mécanique est du au coeur. Le liquide exerce une pression qui l empêche de se déplacer (opposé au mouvement) : un travail moteur et un travail résistant. Si il y a modification de la hauteur, il y a une modification de la pression hydrostatique (travail du poids du liquide déplacé). Pour le pousser en plus du travail mécanique, il va falloir vaincre la pression hydrostatique en tenant compte de Epg, l énergie potentielle gravitationnelle. La 3ème forme d énergie, c est la vitesse d écoulement, avec l énergie cinétique, si on a une section importante à l entrée on a un faible énergie cinétique et vis versa. L équation de Bernoulli dit que pour qu il y est un écoulement la pression doit être plus importante en bas qu en haut avec une diminution de la pression on on note une augmentation de l énergie cinétique. Ici nous sommes dans le cas d un fluide parfait.

3 Le premier paramètre c est le travail La pression c est la force qui s exerce sur S1, de même que la pression de sortie. comme il y a des forces, et un déplacement, on va pouvoir déterminer un travail ( le travail de la pression). P1 : travail moteur P2 : Travail résistant Pour qu il y est écoulement P1 > P2 Pendant un temps delta T, pas de variation de la section, mais déplacement d une distance. Dans l équation on prend en considération, la masse du liquide et sa masse volumique. Le deuxième paramètre c est l énergie potentiel gravitationnelle, elle est liée à la pression hydrostatique mais elle est égale au travail du poids qui va être déplacé. Comme si on déplaçait le volume V1 vers le volume V2 Ici il y a augmentation de l énergie potentiel gravitationnelle, avec une entrée d écoulement à Z1 et une sortie d écoulement à Z2. On va exprimer cette énergie par la pression hydrostatique. h = Z2 - Z1 L énergie potentiel gravitationnelle rapporté au volume permet d en déduire les équations ci dessus. L énergie potentiel gravitationnelle et donc rapporté à la pression hydrostatique. Le 3ème paramètre c est l énergie cinétique, qui sont variable en fonction de la section du tube. Mais vu qu on est en régime constant, on s'intéresse aux vitesses moyennes. Grâce à ces 3 facteurs précédemment définit on va pouvoir définir l équation de Bernoulli : tel que : Salade, tomate, oignons?

4 Mesure des pression Dans le cas de l écoulement d un fluide. S1 = Section P2 = Manomètre = Pression mécanique d'écoulement P1 : Patm h = Z1-Z2 On cherche à connaitre la pression au niveau de P2 grâce à l équation de Bernoulli. Les 3 formes d énergie liée à l'écoulement au niveau 1 sont égale à l énergie au niveau 2. La pression en P2 est plus élevée qu en P1 et pourtant il y a un écoulement (la pression en amont devrait supérieur à celle en aval), cela est permis par la pression hydrostatique qui se transforme en énergie cinétique. 0,001 Pa d énergie potentiel qui est transformé en énergie cinétique. La valeur au manomètre et celle trouvé dans l équation de Bernoulli n est pas la même cela est dut au fait dans le calcul de Bernouilli on détermine la pression absolue, le manomètre la pression par rapport à la pression atmosphérique. Pression manométrique : Pression absolue - Pression atmosphérique Quand on lit une pression sur un manomètre il faut rajouter la pression atmosphérique pour avoir la pression absolue. Le baromètre mesure la valeur absolue. La mesure sanguine mesure la valeur manométrique, la pression atm variant avec l altitude et les conditions météorologique il est préférable d utiliser la pression manométrique. La perfusion : Dans le cas d une perfusion : pour qu elle s écoule dan le bras il faut que la pression hydrostatique de la poche soit supérieur à la pression sanguine. On utilise l équation de Bernoulli, si l écoulement et nul l énergie cinétique est nul. On calcule la hauteur de la perfusion uniquement par rapport à la pression hydrostatique. Car la pression atm ne varie pas entre la pression atm sur les tissus et sur la perfusion.

5 La pression artérielle Un brassard qu on gonfle pour bloquer la circulation dans l artère brachiale, et le brassard permet de mesurer la pression manométrique. La pression artériel varie avec l altitude. Dans l organisme quand on mesure la pression au niveau du de l artère brachiale, on le mesure au niveau du coeur. La référence de pression va être au niveau du coeur. On cherche à comparer les pressions dans des artères de même diamètre, afin d éviter des variations de débit et donc d énergie cinétique. On peut supprimer la vitesse cinétique car le diamètre des artères est la même. La PA au niveau des pieds est 2 fois supérieur que celle au niveau du coeur, cela est dut à la pression hydrostatique. Au niveau de la tête est plus faible au niveau de la tète, on note un gradient de pression des pieds à la tête (simple dut à la gravitation et à la masse volumique du sang). Lorsqu on est allongé la pression est la même. Globalement on note de petite variation dut à la viscosité qui entraine une légère chute de pression Lorsque l'accélération varie (réveil rapide etc...) C est l effet de l accélération. Si l accélération est multiplié par 2 au niveau de la tête, on note une diminution de la pression au niveau de la tête. Lorsque la pesanteur est multipliée par 3 la pression devient négative, et on peut voir apparaitre un voile noir, c est le black Out.

6 Conséquence de Bernoulli Théorème de Toricelli La section du réservoir et très importante : P1 est à la pression atmosphérique, on note une pression et un changement de vitesse cinétique par diminution de la section. On estime que V1 est négligeable, on cherche à savoir à quelle vitesse l eau sort du réservoir. A l extérieur du recevoir on est à la pression atmosphérique. La vitesse à laquelle sort le liquide du réservoir est la même que si le liquide avait fait une chute libre de hauteur h. La pression hydrostatique est complètement transformer en énergie cinétique. (si on met la main à la sortie on sent le liquide qui pousse, c est l énergie cinétique que l on sent et non pas la pression à laquelle sort le liquide, qui sorts lui à la pression atmosphérique La section du réservoir est moins importante : Si on diminue la section du réservoir (V1 n est plus négligeable). V1 existant il y a existence d une vitesse cinétique. La vitesse de sortie va être plus importante pour un silo de section moins importante mais de même haut que dans un de section supérieur. Pression hydrostatique simple Permet de mesurer la vitesse d un certain nombre d évènement grâce à deux vitesses de fluides par rapport à des pressions (vitesse des bateaux, vitesses des du sang dans les artères sanguines etc...) Les sections des tubes sont perpendiculaires entre elle, et cette section reçoit la vitesse d écoulement. Energie de pression vient de la vitesse cinétique d écoulement proportionnellement. Apparition de la vitesse d écoulement, et d une vitesse cinétique.

7 Effet Venturi Au niveau du rétrécissement le débit est constant,donc la vitesse augmente car la section diminue, on a donc diminution de la pression et augmentation de la valeur cinétique. Application à une aile aile d avion, quand l ai se déplace autour de l objet, en dessous de l aile, les écoulements ne changent pas mais au dessus on note un changement avec augmentation de la vitesse cinétique et diminution de la pression. Patm en haut, c est la portance. Dans le cas d une sténose, on a se fluide qui s écoule et qui va rencontrer, un rétrécissement. V2 est supérieur à V1 à cause du rétrécissement. Le débit est constant, on peut donc exprimer la vitesse en fonction des sections. On a une diminution de la pression au niveau du rétrécissement, le pression sanguine étant supérieur à la pression atmosphérique on va pouvoir observer dans un cas extrême un écrasement du vaisseaux sanguin sous l effet des tissus et fermetures du vaisseaux sanguins. Si le vaisseaux se ferme, il y a arrêt de l'écoulement puis reprise suivant un courant pulsatil. Le Doppler Echographie Doppler : permet de mesurer la vitesse du sang Mesure du rétrécissement d une sténose aortique Se fait suivant un balayage en éventail, tous ce qui est coloré correspond à un tissus mobile. Plus la vitesse est importante plus la colorimétrie est importante. On va donc pouvoir visualiser des sténoses lors de l accélération du flux dans le vaisseaux grâce à l effet venturi. Le débit est constant, on peut donc écrire l équation de continuité. On remarque que le diamètre à diminuer d un facteur 2, et que la vitesse à augmenter d un facteur 4. On peut aussi mesurer la différence de pression, grâce à l équation de Bernoulli. On note une diminution de pression de 8% de la pression atmosphétique.

8 Ecoulement d un fluide réel Cas d un fluide non parfait Pour un fluide parfait Si le liquide est parfait on remarque que la pression est la même au niveau de tous les regards, car il n y a pas de diminution de la vitesse cinétique et donc pas de diminution de la pression. Pour un liquide réel L écoulement se fait avec la viscosité on note une diminution de la pression avec l écoulement, dut au caractéristiques du liquide. L écoulement est laminaire, horizontale (pas de changement de l énergie gravitationnelle), la section est constante donc le débit est constant donc la vitesse est constante, donc pas de variation d énergie cinétique (mais variation de la pression). La variation de la pression et dut aux fortement, on va donc observer une diminution de la pression, c est la perte de charge qui est dut à la viscosité. La chute de pression et proportionnelle à la valeur du débit et à la longueur de la canalisation sur laquelle on observe l'écoulement. Le fortement est dut à des interactions faibles entre les molécules. Les interactions entre les molécules dans les fluides étant différentes dans chaque liquide on va observer des caractéristiques spécifiques. Dans le cas d un écoulement horizontale dans une canalisation cubique : On divise l'écoulement en couche de liquide. Au cours de l'écoulement c est comme si les couches de liquides se déplaçaient indépendamment. Celle à la surface s écoule plus vite que celle du fond. Les couches de liquides s exercent dans les deux sens, car la couche du dessus entraine la couche du dessous dans un sens et la couches du dessous entraine la couche du dessus dans l autre sens. On a donc une force de fortement et une force motrice. S est la surface de contact entre les liquides. La force de fortement varie en fonction de la hauteur du liquide. Ne pas oublier de convenir les poise en Pa.s-1 La viscosité varie en fonction de la température.

9 Loi de Poiseuille Le bord de la canalisation c est l extérieur du tube, on prend l axe de symétrie du tube et on prend des cylindre de fluides qui s'écoulent dans la canalisation, donc plus on va s éloigner de du centre, plus la force de frottement va être faible et plus l'écoulement va être important. Le cylindre du milieu se déplace plus rapidement. Tous les points de ce cylindre là sont à la même distance du centre. Le cylindre est centrée sur l axe de symétrie. R = rayon de la canalisation r = rayon du tube dont les points sont équidistant du centre de symétrie u tube. Si l épaisseur est infiniment petite, on n aura pas de modification de la vitesse, si on modifie r, il y aura modification de la vitesse suivant qu on se rapproche du centre de la canalisation ou qu on s en écarte. Le mouvement est uniforme les 2 forces se compensent (force motrice dut à la différence de pression et la force de fortement) Avec ces expressions on évalue la vitesse en fonction du rayon. La vitesse n est pas la même dans toutes les positions de la canalisation (par rapport au centre. Le profil des vitesse va avoir une forme de parabole. Au centre de la canalisation r = 0, la vitesse est maximale. La vitesse maximal dépend donc de la largeur de la canalisation (plus elle est large plus la vitesse est importante), la vitesse augmente comme le carré de la canalisation). Les liquides visqueux s écoulent moins vite.

10 Conséquences de la loi de Poiseuille On peut écrire la vitesse maximal en fonction du débit. La vitesse max d un écoulement vitesse max et égale à 2 fois la vitesse d un écoulement sans viscosité. Si le rayon diminue la résistance à l écoulement augmente. Une artère va avoir une certaines résistances à l écoulement, un capillaire un résistance beaucoup plus importante. Dans le cas de canalisation en série, si on vaut calculer la résistance à l écoulement du système, on fait la somme (seulement si il n'y a pas de connexion latérale). Dans le cas de canalisation en parallèle, on effectue l addition des inverse comme dans le cas des circuits électriques. La résistance à l écoulement et supérieur dans les séries qu en parallèle. Ecoulement turbulent différent de laminaire Les vecteurs ne sont plus parallèle entre eux, il y a perte d énergie. L énergie peut être disperser sous forme d onde sonore et on entend du bruit. Le nombre de raynolds est sans unités. Dans le sang l écoulement n est que liminaire. Le nombre de Reynolds est important pour voir si à la sortie du véhicule on a un écoulement turbulent ou non.

11 Mesure de la pression et Tension Artérielle Brassard pour interrompre la circulation sanguine. Le stéthoscope pour écouter ce qui se passe (on entend rien dans le cas d un écoulement laminaire). En gonflant le brassard on créer un écoulement turbulent. On lit sur le brassard la pression manométrique et ça permet de mesurer la tension artériel au niveau de la systole et de la diastole. 1. On gonfle le brassard 2. On laisse échapper l air et on commence à entendre du bruit, puis des bruits très courts (la pression est égale à la pression systolique) sur le manomètre on lit la pression, c est donc une pression systolique de On laisse diminuer encore, les bruits augmentent en durée et son interrompu par des silence on est entre la pression systolique et la pression diastolique. 4. On laisse diminuer encore et les bruits sont de moins en moins fort et de plus en plus long, et lorsqu on a plus aucun bruit on entend la mesure diastolique. Schéma en fonction de la pression du brassard. La pression de la systole et supérieur à la pression du brassard donc nombre de Reynold > 3000 donc régime turbulent. Quand la pression du brassard diminue, on arrive ou la pression et égale et un tout petit peu supérieur à la pression du brassard, le brassard s ouvre au moment de la systole et se referme à la diastole, on entend donc un peu de bruit. Et lorsque la brassard est inférieur à la pression systolique on n entend plus rien (régime laminaire) Les limites permettent de mesurer la pression artérielle. Abscisse : pression artériel (max systole min diastole) On a la courbe du bruit. La pression du brassard diminue de droite à gauche La pression diastolique est sur-évaluer.