TD 3 - Exercices sur le mouvement d objets ponctuels

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1 TD 3 - Exercices sur le mouvement d objets ponctuels 1. La figure 1 reporte l accélération au cours du temps a(t) d un (petit) chien chihuahua alors qu il poursuit un (gros) chien sheperd allemand, le mouvement étant entièrement réalisé le long d un axe unidimensionnel. Dans quelle(s) période(s) de temps le chien chihuahua a-t-il un mouvement à vitesse constante? Figure 1 2. En 1992, le record de vitesse de pédalage à bicyclette a été obtenu par Chris Huber. Son record était d avoir parcouru 200 m en s. En 2001, ce record a été battu par Sam Whittingham. Il a en effet battu le record de vitesse détenu par Sam Whittingham de 19 km/h. Quel est donc le temps réalisé par Sam Whittingham pour parcourir à bicyclette la distance de 200 m? 3. La position au cours du temps d un objet se déplaçant le long de l axe des x suit la loi : x(t) = 3t 4t 2 + t 3, où x est en m et t en s. Trouvez la position de l objet aux instants t = 1 s, 2 s, 3 s, 4 s. Quel est le déplacement de l objet entre t = 0 et t = 4 s? Quelle est la loi de vitesse v(t) suivie par cet objet? Quelle est la vitesse moyenne entre t = 2 et t = 4 s? 4. Si la position d une particule est donnée par x(t) = 20t 5t 3 où t est en m et t en s, quand (si cela existe) la particule a-t-elle une vitesse nulle? Quand l accélération de cette particule est-elle nulle? Pour quels intervalles de temps cette particule peut-elle avooir une accélération négative? une accélération positive? 5. Des gouttes de pluie tombent de nuages localisés 1700 m au-dessus du sol. En considérant que ces gouttes ne sont pas ralenties par la résistance de l air, quelle est la vitesse de 1

2 ces gouttes lorsqu elles atteignent le sol? Est-il dangereux ou non de marcher sous la pluie lorsqu un orage a lieu? 6. Un joueur de base-ball est sur le banc de touche et s amuse et passe son temps à lancer la balle de base-ball verticalement en l air. Au moment où on observe ce joueur il lance la balle de base-ball verticalement le long de l axe y avec une vitesse initiale de 12 m/s. 1) Combien de temps faut-il à la balle pour atteindre sa hauteur maximale au-dessus de son point de lancée initial? 2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle au-dessus de son point de lancée initial? 3) Quel temps faut-il à la balle pour atteindre une hauteur de 5 m au-dessus de son point de lancée initial? 7. Une mongolfière se déplace verticalement du sol vers le ciel suivant l axe des y à la vitesse de 12 m/s et se trouve à la hauteur de 80 m lorsqu un paquet est jeté en dehors de la nacelle. Quel temps faut-il au paquet pour atteindre le sol? Avec quelle vitesse ce paquet atteint-il le sol? 8. Un lapin court à travers un champ pour lequel un repère à 2-dimensions d axes orthonormés ( i, j ) nous permet d exprimer des vecteurs positions, vitesses et accélérations dans l espace. Les coordonnées x et y de ce lapin au cours du temps sont : x = 0.31t t + 28 y = 0.22t 2 9.1t + 30 A l instant t = 15 s, quel est le vecteur position r de ce lapin? Donner 2 réponses : 1) une réponse en notation vecteur dans le repère unitaire ( i, j ), 2) et une réponse en notation amplitude/angle du vecteur. Trouver le vecteur vitesse du lapin au même instant. De même, donnez deux façons d exprimer le vecteur vitesse. Mêmes questions pour le vecteur accélération à l instant t = 15 s. 9. Un éléphant se déplaçant dans l espace à 3-dimensions se trouve à un instant t aux coordonnées d espace suivantes : x = 5 m, y = 8 m, z = 0 m. Donnez son vecteur position r, (a) en termes de composantes dans un repère orthonormé ( i, j, k ), et 2

3 en termes d amplitude/angle par rapport à la direction des x. Tracez le vecteur dans ce repère à 3-dimensions. 10. La position d une fourmi est donnée par le vecteur r suivant dans un repère orthonormé ( i, j, k ) : r = 3.0t i 4.0t 2 j k, avec t en s et r en m. Donnez le vecteur vitesse v de cette fourmi. Quel est v à l instant t = 2.0 s? Donnez l amplitude de v et l angle formé par ce vecteur et l axe des x. Donnez le vecteur accélération a de cette fourmi. Quel est a à l instant t = 2.0 s? 11. Une pierre est catapultée à l instant initial t = 0 avec une vitesse intiale d amplitude 20 m/s avec un angle de +40 par rapport à un axe horizontal. Quel est le mouvement de ce projectile, en distinguant le mouvement suivant l axe horizontal repéré par le vecteur unitaire i et le mouvement suivant l axe vertical repéré par le vecteur unitaire j, les deux vecteurs étant orthogonaux. Quelles sont les composantes horizontale et verticale du vecteur déplacement de la pierre par rapport à son point de lancement à l instant t = 1.10 s? Répondre à la même question pour l instant t = 1.80 s et t = 5.00 s. 12. On tire une balle à partir d un pistolet qui est localisé à 45 m au-dessus du sol, la balle sort du pistolet avec la vitesse initiale de 250 m/s, le vecteur vitesse étant horizontal. Donnez les équations du mouvement de ce projectile. Pendant combien de temps la balle reste-t-elle en l air? A quelle distance horizontale du point de tir initial la balle touche-t-elle le sol? Quelle est l amplitude de la composante verticale de la vitesse lorsque la balle touche le sol? 13. Sur la figure 2, un bateau de pirate est positionné à la distance R = 560 m d un fort Figure 2 3

4 de défense à l entrée d un port d une île. Un canon de défense localisé au niveau de la mer tire des balles à la vitesse initiale v 0 = 82 m/s. Avec quel angle θ 0 par rapport à la ligne horizontale doit-on tirer une balle de canon afin que celle-ci atteigne le bateau? Quelle est la portée (=distance) maximale de ce canon, en d autres termes quel est la distance R maximale possible d envoi d une balle de canon? 14. Comme illustré sur la figure 3 une pierre est jetée contre un mur de hauteur h avec une vitesse initiale de 42 m/s et un angle initial θ 0 = 60 au-dessus de l horizontale. La pierre atteint le mur au point A, 5.50 s après avoir été projetée. Trouvez la hauteur h du mur. Trouvez la vitesse de la pierre au moment de l impact en A. Trouvez la hauteur maximale H atteinte par la pierre durant son déplacement. Figure A quelle vitesse initiale le joueur de basketball représenté sur la figure 4 doit-il lancer le ballon pour qu elle rentre dans le panier? On supposera que l angle initial de lancé du ballon de basket se fait avec l angle θ 0 = 55 au-dessus de l horizontale. Les distances notées sur le schéma sont d 1 = 0.5 m, d 2 = 5 m, h 1 = 2 m, h 2 = 3 m. Figure 4 4

5 Exercices supplémentaires d entrainement 16. Une voiture se déplace en ligne droite sur une distance de 40 km à la vitesse de 30 km/h. Elle continue ensuite suivant la même direction sur une distance de 40 km à la vitesse de 60 km/h. 1) Quelle est la vitesse moyenne de la voiture le long de ce chemin de 80 km? (on suppose que la voiture roule dans la direction +x de l axe des x) 2) Faites un dessin de l évolution de la position x de la voiture en fonction du temps, et expliquez comment trouver la vitesse moyenne graphiquement. 17. Sur la figure 5 on voit une situation typique dans laquelle un groupe de personnes essaye de s enfuir par un couloir pour atteindre une porte qui leur permettrait d échapper à un feu (ils se déplacent de la gauche vers la droite). Le problème est que la porte est fermée! Chaque personne se déplace vers la porte à la vitesse de 3.5 m/s, occupe un espace d épaisseur grosso-modo de d = 0.25 m, et chaque personne est séparée de la personne la précédant et la suivant de la distance L = 1.75 m. L arrangement des personnes sur la figure 5 correspond à l instant initial t = 0 des mouvements que nous considérons. 1) A quel taux moyen le bouchon constitué par ces personnes contre la porte fermée se forme-t-il? 2) A quel instant t le bouchon atteint-il une épaisseur de 5 m? Figure Deux trains se déplaçant à une vitesse de 30 km/h roulent sur une voie unidimensionnelle et l un vers l autre. Un oiseau se déplaçant à la vitesse de 60 km/h décolle de l avant de l un des trains lorsque les 2 trains sont séparés de la distance de 60 km et se dirige directement vers l autre train. Lorsqu il atteint l autre train, l oiseau fait 5

6 demi-tour et se dirige vers le 1er train, et ainsi de suite. Quelle est la distance totale parcourue par l oiseau avant que les 2 trains rentrent en collision frontale? 19. A un certain moment une particule se déplace avec la vitesse de 18 m/s dans la direction positive d un axe x, et 2.4 s plus tard sa vitesse devient 30 m/s et elle se déplace maintenant dans la direction opposée. Quelle est l accélération moyenne de la particule pendant cet intervalle de temps de 2.4 s? 20. Une voiture se déplaçant à la vitesse de 56 km/h le long d une direction x se trouve à la distance de 24.0 m d une barrière lorsque le conducteur appuie sur les freins de façon constante. La voiture heurte la barrière 2 s après. 1) Quelle est l amplitude de l accélération constante de la voiture au moment de l impact? 2) A quelle vitesse se déplace la voiture au moment de l impact? 21. Sur la figure 6 un objet est envoyé verticalement en l air et passe au cours de son mouvement vertical ascendant devant 3 fenêtres d égale hauteur et également espacées les unes des autres. Figure 6 Classez les fenêtres suivant les critères suivants (par ordre décroissant du critère, càd la plus grande valeur en 1er,...) : 1) critère de la vitesse moyenne de l objet passant devant chaque fenêtre 2) critère de durée de passage de l objet devant chaque fenêtre 3) critère de l amplitude de l accélération de l objet passant devant les fenêtres 6

7 4) critère de changement de vitesse de l objet au cours du passage devant chaque fenêtre. 22. Sur la figure 7, un avion de secours vole à la vitesse de 198 km/h et à l altitude constante h = 500 m, en direction d un point qui correspond à une personne qui est à secourir en mer. L avion doit lacher une capsule de secours qui doit arriver à l endroit où cette personne est dans la mer. Quel doit être l angle Φ lorsque le pilote de l avion largue la capsule, afin que la capsule atteigne la personne en mer? Quelle est la vitesse de la capsule lorsqu elle atteint l eau? Figure 7 7