DUT GEII - DUT 2 ALTERNANCE TRAVAUX PRATIQUES D ÉLECTRONIQUE SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

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1 DUT GEII - DUT 2 ALTERNANCE TRAVAUX PRATIQUES D ÉLECTRONIQUE SYSTÈMES DU SECOND ORDRE Lundi 18 Mars 2013 A l issue de ce TP, les points suivants doivent être maîtrisés : Systèmes du second ordre Identification d un système du second ordre Grandeurs caractéristiques Boucle ouverte Intérêt de la boucle fermée Intérêt du Correcteur Proportionnel Différences entre systèmes du premier ordre et systèmes du second ordre Pré-requis : Aspects temporels et fréquentiels des circuits RLC Diagrammes de Bode Formalisme de Laplace Systèmes du premier ordre 1 Partie théorique Nous allons nous intéresser dans cette partie au circuit RLC série représenté à la FIGURE 1 : R L v e (t) C v s (t) FIGURE 1 Circuit étudié 1. A partir de la loi des mailles, donner la relation liant la tension de sortie (v s (t)) et la tension d entrée (v e (t)). 2. Transposer cette relation dans le domaine de Laplace et donner alors la relation liant V s (p) et V e (p). 1

2 3. La fonction de transfert liant V s (p) et V e (p) est notée F(p). Donner l expression de celle-ci. 4. La fonction de transfert normalisée pour un système du second ordre est rappelée ci-dessous : F(p) = V s(p) V e (p) = K ξ ω 0 p + p2 ω 2 0 (1) Rappeler la signification et identifier les 3 constantes utilisées (K, ξ et ω 0 ) 5. Nous nous intéressons désormais à ce même système mais cette fois ci en boucle fermée (FIGURE 2). Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée (FT BF(p)). Quel est l ordre de la fonction de transfert en boucle fermée? Identifier les nouvelles constantes (K BF, ξ BF et ω BF ). Conclure. V e (p) + F(p) V s (p) FIGURE 2 Système en boucle fermée 2 Manipulation Câblez le montage de la Figure 1 à l aide des composants disponibles sur votre table. Réalisez un essai indiciel (tension d entrée en créneau d amplitude 1 V). Visualisez les tensions v e (t) et v s (t) à l oscilloscope. 1. Détermination du coefficient d amortissement et de la pulsation propre : En vous aidant de l Annexe 1, déterminez la valeur du dépassement (D 1 (%)) et de la pseudopériode (T p ). Déduisez la valeur du coefficient d amortissement (ξ) de la valeur du dépassement. De même, déduisez la valeur de la pulsation propre (ω 0 ) de la valeur de la pseudo-période (T p ). 2. Détermination de la valeur des composants : A partir des mesures de ξ et ω 0, des résultats de votre préparation et en connaissant la valeur du condensateur C (C = 10 nf), identifier les valeurs des composants R et L. 3. Remplacez la résistance du montage précédent par une résistance de 33 kω. Réalisez un nouvel essai indiciel. Que se passe-t-il? Y-a-t-il toujours dépassement? Calculez les valeurs théoriques du coefficient d amortissement (ξ) et de la pulsation propre (ω 0 ). 3 Simulation Dans cette partie, nous utiliserons le logiciel Scilab. Il s agit d un logiciel open source de calcul numérique. Il est disponible gratuitement à l adresse suivante : Nous utiliserons l éditeur graphique XCOS permettant la simulation de systèmes dynamiques. 1. Penser à créer un répertoire pour enregistrer tous vos fichiers 2. Ouvrir le logiciel SCILAB (accessible depuis votre bureau) 3. Ouvrir l éditeur XCOS depuis le menu Applications YAËL THIAUX 2 ANNÉE 2012/2013

3 4. 2 fenêtres apparaissent alors, la première constitue la zone de dessin où seront dessinés les systèmes à simuler. La seconde (Navigateur de palettes) constitue la bibliothèque où se trouvent les différents blocs. Pour réaliser vos schémas, de plus amples informations sont disponibles dans l Annexe 2. Travail demandé : 1. Impact du coefficient d amortissement sur la réponse indicielle : Dans un premier temps nous allons nous intéresser à l allure générale de la réponse indicielle de v s (t) en fonction de la valeur du coefficient d amortissement ξ. Nous nous trouvons en boucle ouverte. Réaliser le schéma de la FIGURE 3 sous XCOS. Les valeurs du gain statique et de la pulsation propre sont données : K = 1 ω 0 = 10 rad/s V e (p) K 1+ 2.ξ ω 0 p+ p2 ω 2 0 V s (p) FIGURE 3 Système du second ordre en boucle ouverte Le schéma XCOS doit ressembler à celui de la FIGURE 4 : FIGURE 4 Schéma XCOS d un système en BO Simuler le système pour les valeurs suivantes du coefficient d amortissement : ξ = 0,25 ξ = 0,5 ξ = 0,75 ξ = 1 ξ = 1,25 Conclure. 2. Régime apériodique : Nous nous intéressons désormais au schéma de la FIGURE 5 : Soit τ 1 = 1 s et τ 2 = 0,8 s ; identifiez de façon théorique les 3 constantes caractéristiques d un système du second ordre (K, ξ et ω 0 ). Simulez la réponse indicielle du système sous XCOS. Existe-t-il un dépassement de la valeur finale de v s (t)? Existe-t-il des différences avec la réponse indicielle d un système du premier ordre? Reprendre l exemple précédent avec τ 1 = 1 YAËL THIAUX 3 ANNÉE 2012/2013

4 V e (p) 1 1+τ 1.p 1 1+τ 2.p V s (p) FIGURE 5 Régime apériodique s et τ 2 = 0,05 s. Déterminez graphiquement le temps de réponse du système à 5% près de la valeur en régime permanent. Comparez ce temps de réponse à celui d un système du premier ordre dont la constante de temps vaut 1 s. Conclure. 3. Boucle fermée : Réalisez sous XCOS le schéma de la FIGURE 2. On donne K = 1, ω 0 = 10 rad/s et ξ = 0,2. Comparez sur un même graphique la réponse du système en boucle ouverte et la réponse du système en boucle fermée. Conclure sur l impact de la boucle fermée sur le gain statique, la valeur du premier dépassement et le temps de réponse du système. 4. Correction proportionnelle : Conformément à la FIGURE 6, on insère dans la boucle fermée un correcteur proportionnel de fonction de transfert : C(p)=G. On donne K = 1, ω 0 = 10 rad/s et ξ = 0,2. Pour G=1 ;5 puis 10, simulez le comportement du système et déterminez le gain statique, la valeur du premier dépassement et le temps de réponse à 5%. Conclure. FIGURE 6 Correction proportionnelle 5. Conclusion : Conclure sur les points suivants : Allure de la réponse indicielle d un système du second ordre en fonction de la valeur de ξ, Impact de ξ sur la valeur du dépassement et le temps de réponse d un système pseudopériodique, Rôle de la boucle fermée, Rôle du correcteur proportionnel pour un système du second ordre. YAËL THIAUX 4 ANNÉE 2012/2013

5 4 Annexe 1 : Identification des paramètres de la fonction de transfert à partir d un essai indiciel 7 : La réponse indicielle d un système du second ordre avec dépassement est représentée à la FIGURE FIGURE 7 Réponse indicielle d un système du second ordre avec dépassement A partir de cette réponse, il est possible de déterminer différents paramètres de la fonction de transfert, parmi lesquels : Temps de réponse à 5% : Il suffit pour mesurer ce temps de réponse de repérer sur le graphique l instant à partir duquel la réponse du système reste confinée dans le cylindre délimitant ± 5% de la valeur de la sortie en régime permanent. Amplitude du premier dépassement : Pour calculer la valeur (en %) du premier dépassement, il suffit d appliquer la formule suivante : D 1 % = 100 V s max V s V s (2) Avec V s la valeur en régime permanent de la tension de sortie. Il est possible de déterminer la valeur du coefficient d amortissement à partir de la valeur du premier dépassement grâce à l abaque représentée à la FIGURE 8. Pseudo-période (T p ) : La pseudo-période de l oscillation est liée à la pulsation propre de la fonction de transfert par la relation suivante : 2π T p = ω 0 1 ξ 2 (3) YAËL THIAUX 5 ANNÉE 2012/2013

6 FIGURE 8 Relation entre coefficient d amortissement et valeur du premier dépassement 5 Annexe 2 Les différents composants de vos schémas blocs se trouvent dans les différents onglets du "Navigateur de palettes XCOS " : Composant Nom Onglet Entrée échelon STEP FUNCTION Sources Comparateur SUMMATION Opérations mathématiques Oscilloscope CSCOPE Sinks Système linéaire CLR Systèmes à temps continu Multiplexeur MUX Routage du signal Horloge CLOCK c Gestion déévènements Gain GAINBLK f Opérations mathématiques Enregistrement des données WFILE f Sinks Avant de lancer la simulation, il faut spécifier la durée de celle-ci ainsi que le pas de temps d échantillonnage : Durée de la simulation : Simulation Setup Temps d intégration final Pas de temps d échantillonnage : CLOCK c Period YAËL THIAUX 6 ANNÉE 2012/2013