Les jeux : des maths sans en avoir l'air

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1 Les jeux : des maths sans en avoir l'air 29/10/09 Il y a 3 ans, le professeur Michel Rigo, de l'unité de mathématiques discrètes de l'université de Liège, s'aventurait dans un univers qu'il ne connaissait pas : celui des jeux. Il accueillait alors son premier chercheur «post-doctorant», le français Éric Duchêne qui étudiait les jeux combinatoires, alors que lui travaillait dans le domaine des mathématiques discrètes, de façon simplifiée les mathématiques des 0 et des 1. Mais rapidement, le professeur Rigo se laisse prendre aux jeux et le fruit de ce mélange d'expertises dépasse largement le côté ludique... Lorsqu'on évoque jeux et mathématiques ensemble, on pense d'emblée aux jeux économiques qui mettent en interaction plusieurs acteurs à la recherche d'une stratégie permettant de maximiser leur gain. Le professeur Michel Rigo et Eric Duchêne, eux, se sont plutôt tournés vers les jeux combinatoires à deux joueurs : «Les questions que nous nous posons sont assez naturelles, rapporte le professeur Rigo. Si nous jouons ensemble à un jeu donné et si c'est moi qui commence la partie en choisissant de jouer tel coup, suis-je sûr de pouvoir la gagner? Existe-t-il une stratégie gagnante à adopter pour que, quel que soit le coup que vous jouiez, une réponse appropriée m'assurerait toujours la victoire? Les jeux combinatoires sont un moyen de faire de bonnes mathématiques : d'une part, ils sont source de phénomènes et de problèmes nouveaux, d'autre part, ils sont le champ d'application d'autres branches des mathématiques.» Le duo Michel Rigo et Éric Duchêne s'est penché, en particulier, sur les jeux combinatoires invariants, autrement dit sur les jeux combinatoires dont les règles ne varient pas en fonction de la position dans laquelle on se trouve. Une publication (1) s'attache à dégager une famille particulière de jeux invariants ainsi que leurs caractéristiques communes. Les mathématiciens regardent au-delà du caractère ludique du jeu et s'intéressent au raisonnement capable de mettre en lumière une éventuelle stratégie à adopter pour assurer la victoire. «Dans un jeu simplifié, on peut caractériser exactement les positions perdantes et donc la stratégie gagnante : si vous parvenez à amener votre adversaire dans une de ces positions perdantes et si vous adoptez cette stratégie gagnante, la victoire vous est assurée... à condition que la stratégie soit calculable en un temps raisonnable. Évidemment, dans ce cas, le sens ludique du jeu disparaît pour faire place à l'intérêt du raisonnement mathématique.» - 1 -

2 (1) E. Duchêne, M. Rigo, Invariant games, Proceedings of WORDS 2009, Univ. of Salerno, Sept. 2009) Le jeu de Wythoff, un classique Des jeux complexes pouvant très souvent être décomposés en une somme de jeux élémentaires, la théorie des jeux s'intéresse dès lors à des jeux aux apparences relativement simples. Un classique est celui de Wythoff, qui est invariant. Le point de départ de ce jeu est deux tas contenant chacun un nombre donné d'allumettes. Par exemple, un premier tas comprend sept allumettes et un second, cinq. Cet état initial est noté (7,5). Les règles du jeu sont simples. Deux joueurs jouent chacun à leur tour. Chacun peut retirer soit autant d'allumettes qu'il veut d'un des deux tas, soit le même nombre d'allumettes des deux tas. Le perdant est celui qui n'a plus d'allumette à enlever, autrement dit pour gagner, il faut amener son adversaire dans la position (0,0). Quelles sont les positions perdantes du jeu de Wythoff qui m'assurent la victoire si mon adversaire y arrive? La position (0,0) est, par définition, perdante. Toutes les positions de type (x,0), (0,x) ou (x,x) sont donc gagnantes, puisqu'il suffit de retirer x allumettes du ou des tas qui les contiennent pour amener l'adversaire dans la position perdante (0,0). Par contre, les positions (1,2) et (2,1) sont perdantes : quel que soit le nombre des allumettes enlevées, le joueur suivant se trouve dans une position gagnante : (1,1), (0,2) ou (2,0). On peut continuer ainsi et montrer qu'a perdu le joueur se trouvant dans une des positions suivantes : (1,2), (2,1), (3,5), (5,3), (4,7), (7,4),... à condition que son adversaire joue correctement. Une stratégie commence à se dégager : si le joueur qui doit jouer n'est pas dans une position perdante, il lui suffit de jouer vers une de ces positions perdantes. Quelle que soit la position gagnante dans laquelle il se trouve, il est toujours possible d'amener son adversaire vers une position perdante. Par exemple, s'il est en (5,2), il enlève quatre allumettes du premier tas pour amener son adversaire en (1,2). S'il est en (4,3), il enlève deux allumettes de chaque tas. Par contre, si le joueur qui doit jouer se trouve dans une position perdante autre que (0,0), il ne peut faire qu'en sortir et donc amener son adversaire dans une position gagnante

3 Il n'est pas toujours aussi simple de déterminer les positions perdantes d'un jeu. Si l'on reprend l'exemple du jeu de Wythoff, comment déterminer les positions perdantes si l'état initial avait été (12342,543)? Plutôt que de regarder chaque case à la fois et faire du cas par cas, il convient de se demander si les positions perdantes ne partagent pas une propriété commune, qui, une fois connue, permettrait de les trouver toutes assez facilement. Cette question est de première importance si l'on veut implémenter le jeu et sa stratégie sur un ordinateur. De prime abord, aucune propriété commune n'apparaît de manière évidente lorsqu'on observe les couples «perdants» : (1,2), (2,1), (3,5), (5,3), (7,4). Par contre, lorsque ces positions sont écrites dans le système de numération de Fibonacci plutôt que dans le système décimal (base 10), une propriété commune se dévoile : les positions (1,2), (3,5) et (4,7) s'écrivent respectivement (1,10), (100,1000) et (101,1010) dans le système de numération de Fibonacci. Une caractérisation apparaît alors : si la représentation d'un élément du couple se termine par un nombre pair (ou nul) de 0 et si la représentation de l'autre élément s'obtient en ajoutant un 0 à la droite de la première, alors la position est perdante et inversement. Cette propriété permet de calculer les positions perdantes, même lorsque le jeu démarre avec un très grand nombre d'allumettes. Ainsi, écrire les nombres d'une façon qui peut sembler bizarre a priori rend pourtant la stratégie gagnante directement visible. Positions perdantes en base 10 Positions perdantes en base Fibonacci Positions perdantes En base - 3 -

4 Fibonacci (détails) (1,2) (3,5) (4,7) (1,10) (100,1000) (101,1010) = (1x1, 1x2+0x1) = (1x3+0x2+0 1x5+0x3+0x - 4 -

5 = (1x3+0x2+1 1x5+0x3+1x Reflexions, le site de vulgarisation de l'université de Liège La suite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Construction : F 0 =1, F 1 =2, F i =F i-1 +F i-2 (avec i>1) D'autres choses encore plus surprenantes apparaissent lorsqu'on se tourne vers le fameux nombre d'or, objet de toutes les dévotions de la part des mathématiciens, artistes et architectes depuis des siècles. Défini comme une proportion très particulière, le nombre d'or, noté φ, et son carré, #²=1+ φ, valent approximativement respectivement 1, et 2, Les positions perdantes du jeu de Wythoff sont données par les parties entières des multiples de φ et #² : où les demi-crochets signifient «partie entière de». Ainsi, [2,75]=2 et [3, ]=3 Combinatoire des mots Un autre domaine des mathématiques discrètes peut être introduit pour mettre en lumière d'autres propriétés partagées par les positions perdantes du jeu de Wythoff : la combinatoire des mots se concentre sur l'étude des propriétés d'arrangements de lettres. En mathématique, un mot est une suite de lettres issues d'un alphabet donné

6 Reprenons Fibonacci. Un mot porte son nom. Il est construit à partir d'un alphabet de deux lettres, a et b, et de la règle suivante qu'il convient d'itérer : a devient ab et b devient a. Ainsi, si on commence par a, on obtient ab au 2e tour, aba au 3e tour, abaab au 4e tour, abaababa au 5e tour, etc. Chose naturelle, on peut ensuite numéroter les lettres du mot obtenu pour repérer les positions occupées par chaque lettre. Ainsi, dans abaab, a occupe les positions 1,3,4, b occupe les positions 2 et 5. Il vient : a b a a b a b a On constate que les positions du premier a et du premier b sont données par (1,2), que celles du deuxième a et du deuxième b sont (3,5), que celles du troisième a et du troisième b sont (4,7), etc. A nouveau, ce sont les positions perdantes du jeu de Wythoff qui apparaissent... «Tout cela n'a bien sûr rien de magique, affirme le professeur Rigo, et dépasse largement le côté ludique : de vrais questions mathématiques se cachent derrière, avec des théorèmes, des démonstrations, des raisonnements logiques. Il y a des connections entre tout cela et les propriétés des mots peuvent se traduire en propriétés du jeu, et inversement. C'est cela qui est intéressant : on lie plusieurs branches des mathématiques ensemble. En partant d'un jeu combinatoire apparemment simple, on utilise de l'arithmétique, de la théorie des nombres, des systèmes de numération, de la combinatoire des mots, etc. On a un paysage bien complet.» Maths à modeler On le voit, le jeu a le pouvoir de rendre les mathématiques ludiques et attrayantes. Michel Rigo en a bien conscience puisqu'il exploite la filière pour faire la promotion des mathématiques auprès des jeunes. Depuis plusieurs années, il est responsable de l'antenne liégeoise du projet «maths à modeler», né à Grenoble. Ce projet de vulgarisation des mathématiques par l'intermédiaire de jeux en bois ou en papier est subsidié par la Région wallonne. Le professeur Rigo se rend régulièrement dans les écoles avec ses jeux. Son but? Parvenir à faire faire des mathématiques, même aux élèves a priori les plus récalcitrants. Depuis 3 ans, il est aussi présent au printemps des sciences, à la nuit des chercheurs, etc. Il n'y a pas de doute : le jeu est une porte royale pour découvrir les mathématiques sans en avoir l'air... En savoir plus - 6 -