TD20 Machines Thermiques

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1 TD20 Machines Thermiques A APPLICATIONS DU COURS A-1) Un compresseur aspire de l air atmosphérique à (T 0 =295K, p 0 =1bar) et le refoule à (p 1 =3,0bar, T 1 =350K). On suppose que l air se comporte comme un gaz parfait de masse molaire 29g.mol -1 et qu au cours de la transformation son état local évolue selon une loi polytropique pv k =cste. Déterminer k. Rép : k=1,18 A-2) Représenter dans un diagramme (p,v) le cycle d un moteur de Carnot. Calculer son rendement en fonction des températures des sources chaudes et froides. Rép : r=1-t F/T c A-3) Majorer le rendement d une pompe à chaleur et d une machine frigorifique.. Rép : a) Pompe : e T 1/(1-T F/T C) b) Frigo : e F 1/(T C/T F-1) A-4) Donnez l expression des fonctions d état u(t,x), s(t,x) et h(t,x) d un point M en milieu diphasé liquide-vapeur en fonction d un point référence A o situé sur la courbe d ébullition. On assimilera la vapeur à un gaz parfait et le liquide saturant incompressible et indilatable. Rép : u(t,x)=u 0+c l(t-t 0)+x( vaph(t)-rt/m) h(t,x)=h 0+c l(t-t 0)+x vaph(t) s(t,x)=s 0+c lln[t/t 0]+x vaph(t)/t B EXERCICES DE RAISONNEMENT B-1) Diagramme de Raveau A l aide des deux premiers principes, précisez les quatre types de machines dithermes possibles. Sur un diagramme dit de Raveau : Qc=f(Qf), représentez les différentes machines thermiques en découpant le diagramme en 4 (ou 3) zones. Rép : cf TD C - TRAVAUX DIRIGES C-1) CYCLE DIESEL Une mole de gaz parfait subit les transformations réversibles suivantes: état (1) état (2) : Compression adiabatique état (2) état (3) : Dilatation à pression constante état (3) état (4) : Détente adiabatique état (4) état (1) : Refroidissement à volume constant. Chaque état est défini par la pression P i, la température T i et le volume V i (i variant de 1 à 4). On appelle le rapport des chaleurs molaires C pm /C vm. On définit a=v 1 /V 2 & b=v 1 /V 3. 1 ) Représenter sommairement le cycle sur un diagramme de Clapeyron. 2 ) Donner les expressions de la pression, du volume et de la température pour les états (2), (3) et (4), en fonction de P 1, V 1, T 1, a et b. 3 ) Calculer les travaux et chaleurs échangés pour toutes les transformations subies. Préciser notamment le sens des échanges. Laurent Pietri ~ 1 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

2 4 ) Proposer une expression pour le rendements d'un moteur fonctionnant suivant ce cycle, en fonction des travaux et chaleurs échangés. Donner l'expression du rendement en fonction de, a et b. Données numériques : =1,4, a =9, b=3. Rép : 1 )... 2 ) V 2=V 1/a, p 2=a p 1 et T 2=a -1 T 1 ; V 3=V 1/b, T 3/T 1=a /b et p 3=a p 1 ; V 4=V 1, P 4=(a/b).p 1 et T 4=T 1(a/b) 3 ) 1 2 : U=C vm(t 2-T 1)=W et Q=0, 2 3 : Q= C vm(t 3-T 2) et W=-p 2(V 3-V 2), 3 4 : Q=0 et U=W=C vm(t 4-T 3), 4 1 : W=0 et U=Q=C vm(t 1-T 4) 4 ) =1-(b -a )/[(ab) -1 (a-b). ]=45,8% C-2) LE CYCLE D ERICSSON De l air supposé parfait parcourt, dans le sens , un cycle d Ericsson constitué de : une transformation isotherme (p2>p1) : une détente isobare : une transformation isotherme (T3>T1) : une compression isobare Ce cycle fut appliqué par Ericsson à des moteurs à air destinés à la propulsion navale. 1 ) Exprimer le travail ainsi que le transfert thermique reçus par le fluide au cours des quatre étapes du cycle, en fonction de T 1,T 3,p 1 & p 2. 2 ) Exprimer le rendement du cycle en fonction de, T 3 /T 1 =a & p 2 /p 1 =b. Rép : 1 ) 1 2 : W=-Q=nRT 1Ln(P 2/P 1) ; 2 3 : Q=nC pm(t 3-T 1) et W=-nR(T 3-T 1) ; 3 4 : W=-Q=nRT 3Ln(p 1/p 2) ; 4 1 : Q=nC pm(t 1- T 3) et W=-nR(T 1-T 3) 2 ) r=( -1).Lnb/[ -( -1).a.Ln(b)/(a-1)] C-3) MACHINE A VAPEUR Dans une machine à vapeur, de l eau circule en circuit fermé entre différents éléments et parcourt le cycle schématisé ci-contre. L installation se compose des éléments suivants : - une pompe (P) qui réalise une compression supposé isentropique du liquide. - un générateur de vapeur (GV) qui réalise un échauffement 2-3, et une évaporation 3-4. Le fluide est à l état de liquide saturant en 3, à l état de vapeur saturante en 4. - un surchauffeur (S), qui échauffe la vapeur à pression constante. Cet échauffement est réalisé par échange thermique avec les gaz issus de la combustion. - une turbine (T) où le fluide subit une détente adiabatique réversible, sans variation notable d énergie cinétique, en fournissant du travail mécanique. - un condenseur (C) dans lequel le fluide se condense de façon isobare. 1 ) Déterminer la température T 5 (à la sortie du surchauffeur) telle, que le fluide, en fin de détente, soit constitué de vapeur saturante, sans liquide. Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

3 2 ) La condition précédente étant vérifiée, tracer l allure du cycle sur un diagramme (T,s). Pourquoi sur ce diagramme 1 et 2 sont confondus. 3 ) Déterminer l énergie échangée par 1kg de fluide dans chaque partie de la machine. Calculer le rendement du moteur. Données : volume massique de l eau liquide v(l)=10-3 m 3.kg -1, pressions de changement d état : 1bar et 50bar, chaleur latente de vaporisation de l eau : 2256 kj.kg -1 à 1bar, 1641 kj.kg -1, capacité thermique massique moyenne de l eau liquide dans le domaine de température utilisé : 4,45 kj.k -1.kg -1 Rép : 1 ) T 5=893K 2 ) cf Td 3 ) ρ= w p+w T /(q GP+q S)=0,31 D EXERCICES SUPPLEMENTAIRES D-1) LE MOTEUR DE STIRLING Ce moteur, inventé par l'ingénieur (et pasteur) R.Stirling en 1816, a fonctionné pour la première fois en La caractéristique principale de ce moteur est que, contrairement aux autres, il forme un système fermé : comme dans un réfrigérateur, le fluide, de l'air par exemple, est contenu dans une enceinte fermée et chauffée par une source thermique extérieure. La combustion est donc externe, ce qui autorise tous les types de combustibles, notamment les déchets forestiers, animaux et industriels. On comprend, dès lors, l'engouement actuel pour ce moteur écologique qui fait l'objet de recherches actives depuis une quinzaine d'années. On peut schématiser le fonctionnement du moteur de Stirling en considérant une enceinte close comportant deux pistons : un piston de déplacement Pd et un piston de travail Pt. Le cycle comporte deux isothermes et deux isochores; il est décrit en quatre étapes : a) Le fluide occupant un volume V 1 est comprimé de façon isotherme par Pt jusqu'au volume V 2 : il reçoit du travail et fournit de la chaleur au milieu extérieur. b) Le piston Pd descend alors et impose au fluide de traverser une zone de récupération de chaleur R (échangeur thermique). Le fluide est ainsi chauffé à volume constant V 2. c) Les deux pistons descendent ensemble, ce qui permet au fluide de se détendre de façon isotherme, en fournissent du travail et en recevant de la chaleur. d) Enfin Pd remonte seul, obligeant ainsi le fluide à traverser une nouvelle fois R mais de haut en bas et en cédant de la chaleur. Ce dernier se refroidit alors à volume constant. 1 ) Représentez dans un diagramme de Clapeyron le cycle subi par le fluide. 2 ) Calculer le rendement d un tel moteur en fonction d un seul de T 3 /T 1. Rép : 1 )...2 ) r=1-t c/t F D-2) LE MOTEUR DIESEL SURALIMENTE TURBOCOMPRESSE (TDI) En 1892, l'ingénieur allemand Rudolf Diesel dépose un brevet pour le principe d'un moteur à combustion interne par introduction progressive de fuel dans de l'air porté, par une forte compression, à une température supérieure au point d'inflammabilité du combustible. Aucun dispositif d'allumage n'est alors nécessaire et il est possible d'atteindre des taux de compression beaucoup plus importants, ce qui permet d'améliorer considérablement les rendements moteurs. Laurent Pietri ~ 3 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

4 La suralimentation consiste à introduire dans les chambres de combustion une plus grande quantité d'air en réalisant une aspiration doublée d'une compression. Lorsque cette compression initiale est réalisée grâce à un dispositif utilisant la force motrice des gaz d'échappement, on parle de moteur diesel suralimenté, turbocompressé. Dans ce problème, on considère un moteur diesel utilisant pour carburant un fuel de pouvoir calorifique Q m =41,0 kj par mole de mélange admis dans les cylindres. L'air sera considéré, comme un gaz parfait, dont le rapport des capacités thermiques est indépendant de T. Le mélange (air+fuel), ainsi que les gaz brûlés seront considérés comme ayant des propriétés physiques identiques à l'air. En particulier, on ne tiendra pas compte de la variation du nombre de moles due à l'injection du fuel et à sa combustion. 1 ) Le piston, de volume V 1, est alimenté en début de cycle avec de l'air comprimé à l'aide d'un système turbocompresseur à la pression p 1, à la température Celsius t 1. Calculer le nombre de moles d'air admises dans le piston en début de cycle. Calculer les capacités thermiques C p & C v de l'air initialement admis dans le piston. D.N: V 1 = 4,50L t l =47,0 C p 1 =1,50 bar =7/5 2 ) Après cette admission, le cycle commence par une compression adiabatique supposée quasistatique, caractérisée par un rapport volumétrique a=v 1 /V 2 =13. Calculer la pression P 2 ainsi que la température Celsius t 2 en fin de compression. 3 ) Calculer la variation d'énergie interne subie par le gaz au cours de cette compression, ainsi que le travail reçu W ) Dans la phase suivante du cycle, la combustion interne sera considérée comme une transformation isobare. Pour cette transformation, calculer la chaleur Q 23 reçue par le gaz du fait de la combustion ainsi que les variations d'enthalpie et d'énergie interne subies par le gaz. 5 ) Calculer la température Celsius t 3 atteinte en fin de combustion, ainsi que le volume V 3 occupé par le gaz ayant subi cette dilatation isobare. Calculer le paramètre b=v 3 /V 2 que l'on appelle rapport volumétrique de combustion. 6 ) Les gaz brûlés subissent ensuite une détente adiabatique quasi statique qui les conduisent à la pression P 4 et la température centigrade t 4 lorsque le piston est revenu au volume initial V 4. Calculer P 4 et t 4. 7 ) Représenter le cycle en coordonnées de Clapeyron. 8 ) Récapituler dans un tableau les valeurs numériques des échanges énergétiques (travail et chaleur) au cours de chacune des phases du cycle. 9 ) Donner l'expression littérale du rendement énergétique de ce moteur en fonction des paramètres a, b et. Calculer numériquement ce rendement. 10 ) Dans l'état 4, les gaz brûlés sont encore chauds. On fait fonctionner une machine ditherme réversible entre la température t 4 et la température extérieure t o. Valeur numérique : t o =18 C. Quel travail maximal peut-on en tirer? Ce travail suffit-il pour assurer la compression initiale, supposée adiabatique réversible, des gaz de 1 bar à 1,5 bar? Rép : 1 ) n 1=p 1V 1/RT 1=0,254mol, C v=nr/( -1)=5,27J.K -1 et C p=7,38j.k -1 2 ) p 2=p 1.a =54,4bar et T 2=T 1.a -1 =893K 3 ) U 1 2=p 1V 1/( -1).(a -1-1)=3,02kJ 4 ) Q 23= H=nQ m=10,4kj et U= H/ =7,43kJ 5 ) t 3=2029 c, V 3=0,893L et b=2,58. 6 ) p 4=p 1.b =5,65bar, V 4=V 1 et T 4=T 1.b =1206K 7 )... 8 )... U cycle=0 9 ) r=1-(b -1)/[.a -1.(b-1)]=55,1% 10 ) W max=-r rév.q c=3,54kj et U=188J le travail extrait de la chaleur des gaz d échappement doit suffire à réaliser la suralimentation. Laurent Pietri ~ 4 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

5 D-3 TURBINE A GAZ (Cycle de Brayton) Le cycle d'un moteur à turbine simplifié peut se schématiser de la façon suivante. - Dans l'état A, l'air est pris dans les conditions atmosphériques (Po,To). - Il passe ensuite dans le compresseur (CP), où il subit une compression que l'on suppose isentropique. - À la sortie du compresseur, il est dans l'état B (P B =apo,t B ) et entre dans la chambre de combustion, où le carburant est injecté, et s'enflamme. Pour simplifier, on considère que la combustion interne est équivalente à un apport extérieur d'énergie par transfert thermique, et que la composition chimique du fluide n'est pas modifiée. La combustion, isobare, amène le fluide à l'état C. - Le gaz subit dans une turbine (T) une détente que nous supposons isentropique, jusqu'à la pression initiale Po (état D). Il entraîne la partie mobile de la turbine et lui fournit du travail mécanique. Le compresseur est entraîné par la turbine qui est montée sur le même arbre. On suppose que l'énergie cinétique du gaz est négligeable dans les états A, B, C et D. L'air est assimilé à un gaz parfait, dont le rapport des capacités thermiques est indépendant de la température. 1 ) Justifier l'approximation consistant à assimiler la combustion interne à un apport extérieur de chaleur. 2 ) Peut-on considérer que l'évolution du fluide est cyclique? 3 ) Tracer le cycle du fluide, en coordonnées (P,V). 4 ) Exprimer le rendement du moteur en fonction des températures, puis du taux de compression a. Rép : 1 ) En fait 80% (N 2) du gaz est au moins inerte d où l approximation. 2 ) Non, mais on peut supposer que les gaz qui s échappent sont équivalents à de l air chaud qui subit un refroidissement isobare au contact d une source froide... 3 )... 4 ) r=1-a (1- )/ D-4) MACHINE A VAPEUR (Cycle de Rankine) Dans une machine à vapeur l eau décrit un cycle de Rankine: - Transformation AB: l eau liquide (p 1 =0,2bar,T 1 =60 c) à saturation est comprimée de façon isentropique dans une pompe jusqu à la pression p 2 =12bar de la chaudière. - Transformation BD & DE : l eau liquide est injectée dans la chaudière, s y réchauffe jusqu à T 2 =188 c (BD) puis s y vaporise (DE) à la pression p 2 (en E l eau est dans un état de vapeur saturé). - Transformation EF : la vapeur est admise dans le cylindre à (T 2,p 2 ) et on effectue une détente isentropique jusqu à la température initiale T 1 : on obtient un mélange liquide-vapeur de titre massique en vapeur x F. - Transformation FA : le piston par son retour chasse le mélange dans le condenseur où il se liquéfie totalement. 1 ) Tracer le cycle dans un diagramme de Clapeyron (P,v). On justifiera le fait que T B ~T A. Laurent Pietri ~ 5 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy

6 2 ) Tracer le cycle dans un diagramme entropique (T,s). 3 ) Tracer le cycle dans un diagramme de Mollier (h,s),on démontrera pour cela que les isothermes sont des droites de pente T dans ce diagramme. 4 ) Calculer le rendement de ce cycle. Comparez-le à celui de Carnot. D.N : s(l,60 c)=0,83kj.kg -1 K -1, s(v,60 c)=7,9kj.kg -1 K -1, s(l,188 c)=2,2kj.kg -1 K -1, s(v,188 c)=6,52kj.kg - 1 K -1 h(l,60 c)=251.kj.kg -1, h(v,60 c)=2608.kj.kg -1, h(l,188 c)=798.kj.kg -1, h(v,188 c)=2783.kj.kg - 1. (Vérifier l ordre de grandeur de ces valeurs sur le diagramme (T,s) de l eau. Rép : 1 )... soit du=tds-pdv or ds=0 et dv 0 T A T B 2 )... 3 ) h=t s... 4 ) Avec les données q F=1897kJ/kg et q C=2532kJ/kg d où r=25% D-5) LA FORMULE DE DUPERRAY La vapeur d eau saturante suit entre 100 c et 300 c la loi de Duperray : p s =( /100) 4 où p est en bat et en c. La vapeur d eau sera assimilé à un gaz parfait et l eau liquide sera supposée indilatable et incompressible. D.N : volume massique de l eau liquide :v(l)=1l/kg. 1 ) Tracer les isothermes 1 =150 c et 2 =200 c 2 ) Déterminer le titre massique x 1 (v) sur le palier de liquéfaction à 150 c, pour une valeur du volume total des deux phases égal au volume massique de la vapeur à 2000 c : v=v(v)(200 c) 3 ) Soit un mélange liquide-vapeur à 1 =150 c caractérisé par x 1(v)=x 1 (v)/2. On réalise un chauffage isochore jusqu à 2. Décrire l évolution observée, la tracer sur le diagramme et déterminer l état final correspondant. 4 ) Reprendre la question précédente, en précisant notamment à quelle température l équilibre est rompu, si on réalise la même opération à partir de x 1 (v)=2x 1 (v). Rép : 1 )... 2 ) Théorème des moments x(v)=0,34 3 ) x 2(v)=0,5 4 ) x 2 (v)=0,68 3=167 c Laurent Pietri ~ 6 ~ Lycée Henri Loritz - Nancy