2 ) Fib[n]

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Emma Rivard
il y a 7 ans
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1 1 ) Dessiner un arbre qui illustre bien la situation des 6 premiers mois en utilisant types de branches : > (pour indiquer qu'un couple continue à vivre ) et ---- > (pour indiquer qu'un couple donne naissance à un couple de bébés). ) n ) Soit n 3 = le nombre de couples de lapins vivant dans la garenne au début du mois n = nombre de couples de lapins vivant le mois précédent + le nombre de couples nouveaux-nés de lapins = Fib[n- 1] + le nombre de couples nouveaux-nés. Or le nombre de couples de nouveaux-nés est égal aux nombres de couples de lapins pouvant procréer c'est-à-dire le nombre de couples de lapins existant deux mois auparavant c'est-à-dire Fib[n-] Donc = Fib[n-1] + Fib[n-] 4 )version 1 avec la structure répétitive FOR program FIBONACCI1 ; A := 1; B:=1 ; If N < = then NOMBRE_DE_COUPLES := 1

2 Else For I :=3 to N do NOMBRE_DE_COUPLES := A + B; A := B; B := NOMBRE_DE_COUPLES; version avec la structure répétitive while program FIBONACCI ; A := 1; B:=1 ; If N < = then NOMBRE_DE_COUPLES := 1 Else I:=3 ; While I < = N do NOMBRE_DE_COUPLES := A + B; A := B; B := NOMBRE_DE_COUPLES; I:= I + 1 version 3 avec l'utilisation d'un tableau program FIBONACCI3 ; const NOMBREMAXIMUMMOIS = 1; var I,N, NOMBRE_DE_COUPLES : integer; FIB:array[1.. NOMBREMAXIMUMMOIS] of integer;

3 FIB[1] := 1; FIB[]:=1 ; If N < = then NOMBRE_DE_COUPLES := 1 Else For I :=3 to N do FIB[I]:=FIB[I-1] + FIB[I-] ; NOMBRE_DE_COUPLES := FIB[N] ; 5 ) version 4 avec l'utilisation d'une fonction récursive program FIBONACCI1 ; function FIB0(X : integer) : integer; if N <= then FIBO := 1 else FIBO := FIBO(N-1) + FIBO(N - ) end; (*traitement et affichage des résultats *) FIBO(N)); 6 ) Sachant qu'un bit est soit 0 ou 1, qu'un octet est un ensemble de 8 bits a) Si un entier était codé sur un bit, on peut représenter en mémoire entiers. b) Si un entier était codé sur bits, on peut représenter en mémoire = 4 entiers. c) Si un entier était codé sur 3 bits, on peut représenter en mémoire 3 = 8 entiers d) Si un entier était codé sur 1 octet, on peut représenter en mémoire 8 = 56 entiers e) Si un entier était codé sur octets, on peut représenter en mémoire 16 = entiers 7 ) En Turbo-Pascal, sachant qu'une variable entier naturel de type word est codé sur octets, si l'on déclare var A,B, NOMBRE_DE_COUPLES : word dans les deux programmes précédents a) La fourchette exacte des valeurs disponibles pour N est :

4 b) les programmes précédents ne marcheraient pas pour N > 3 car Fib() = 8657 et Fib(3) = donc Fib(4) = 705 > = plus grand entier représentable en mémoire. 8 ) En Turbo-Pascal, sachant qu'une variable entier relatif de type integer est codé sur octets, mais que le bit situé le plus à gauche est réservé au signe ( 0 pour + et 1 pour -) si l'on déclare var A,B, NOMBRE_DE_COUPLES : integer dans les programmes précédents a) La fourchette exacte des valeurs disponibles pour N est : b) les programmes précédents ne marcheraient pas pour N > car Fib(1) = et Fib() = 8657 donc Fib(3) = > 3767 = plus grand entier représentable en mémoire. c) Pour éviter ces écueils, il suffit de déclarer A,B et NOMBRE_DE_COUPLES du type real car ce type offre une plus grande fourchette de valeurs de, à environ 1, en valeur absolue. 9 ) Afin d'obliger l'utilisateur à entrer un entier compris entre 1 et : repeat until ( (( N > 0) and (N < 3)) and (N = trunc(n)) 10 ) Remplir le tableau suivant : n Valeur exacte de Fib[n+1] Valeur approchée de Fib[n+1] / 1, /3 1, /5 1, /8 1, /13 1, /1 1, /34 1, /55 1, /89 1, /144 1, /33 1, a) la suite (v n ) définie sur N* par v n = Fib[n+1] semble converger vers le nombre d'or Φ = dont une valeur approchée est 1,618 b) pour tout n, l'on a v n = v n = Fib[n+1] = + Fib[n-1] = + Fib[n-1] = v n-1 c) En supposant que la suite (v n ) converge, alors L = 1 + 1/L donc L = L + 1 / L donc L - L - 1 = 0 donc L = Φ = ou L = 1-5. Comme (v n ) est positive alors L = Φ = 1 + 5

5 Soit la suite (u n ) définie sur N par u 0 = 3 et pour tout entier naturel u n+1 = u n Partie B 1 ) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n l'on a 3 u n La propriété est vraie pour n = 0 car u 0 = 3 et 3 u 0 Soit k un entier naturel, si 3 u k alors 1 1 u k 3 donc u k donc 3 u k donc 3 u k+1 En conclusion pour tout entier naturel n l'on a 3 u n ) Soit l'intervalle I = [ 3 ; ] et soit la fonction f définie sur I par f(x) = x f(x) = x x = x 1 + x x Comme α I et β I donc S = { α} 3 ) pour tout x de I l'on a : = x x - x - 1 = 0 x = α = ,618ou x =β = 1-5 f(x) I 3 x alors 1 1 x 3 donc x donc 3 f(x) 5 3 donc 3 f(x) donc f(x) I f'(x) = - 1 x donc f'(x) = 1 x Or 3 x donc 9 4 x 4 donc x 4 9 donc f'(x) ) a) D'après l'inégalité dite des accroissements finis : pour tout x I on a f'(x) 4 9 l'on a α I et u n I alors f (u n ) - f ( α) k u n - α donc pour tout entier naturel n, u n+1 - α 4 9 u n - α b) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n - α ( 4 9 )n u 0 - α - La propriété est vraie pour n = 0 car u 0 = 3 et 3 α donc u 0 - α 1 = ( 4 9 )0 u 0 - α - Soit k un entier naturel, si u k - α ( 4 9 )k u 0 - α comme u k+1 - α 4 9 u k - α alors u k+1 - α ( 4 9 )k+1 u 0 - α - En conclusion pour tout entier naturel n l'on a u n - α ( 4 9 )n u 0 - α Or lim n + ( 4 9 )n = 0 car -1 < 4 9 < 1 alors u n - α tend vers 0 donc u n - α tend vers 0 donc lim u n = α n +

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