Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables

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1 UE4 : Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Analyse Chapitre 6 : Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables Christelle MELODELIMA Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.

2 I. Fonction de plusieurs variables Exemple : f(x,y) = 4x+3y

3 I. Fonction de plusieurs variables

4 II. Dérivées partielles a. Dérivées partielles premières en M 0

5 II. Dérivées partielles

6 II. Dérivées partielles b. Fonctions dérivées partielles premières Exemple : Calculer les dérivées partielles de la fonction suivante y = constante x = constante

7 II. Dérivées partielles c. Fonctions dérivées partielles secondes

8 II. Dérivées partielles Exemple : Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction suivante

9 II. Dérivées partielles Exemple : Calculer les dérivées partielles premières et secondes

10 Exemple : II. Dérivées partielles

11 II. Dérivées partielles d. Généralisation : fonction de 3 variables f(x,y,z)

12 III. Différentielle totale a. Fonction de deux variables f(x,y)

13 III. Différentielle totale a. Fonction de deux variables f(x,y)

14 III. Différentielle totale y

15 III. Différentielle totale

16 III. Différentielle totale

17 III. Différentielle totale

18 III. Différentielle totale

19 III. Différentielle totale

20 III. Différentielle totale

21 III. Différentielle totale Exemple : Calculer la différentielle totale de

22 III. Différentielle totale Exemple : Donner une approximation de la variation de volume d un cylindre droit de rayon r=10 cm et de hauteur h=50 cm quand r augmente de 1 cm et h diminue de 2 cm.

23 III. Différentielle totale

24 a. Définition IV. Différentielle logarithmique

25 b. Propriétés IV. Différentielle logarithmique

26 Exemple : IV. Différentielle logarithmique

27 Correction : IV. Différentielle logarithmique

28 IV. Différentielle logarithmique c. Intérêt de la différentielle logarithmique La différentielle logarithmique df/f d une fonction de plusieurs variables réalise une approximation de la variation relative : Exemple :

29 Correction : IV. Différentielle logarithmique

30 IV. Différentielle logarithmique

31 V. Application au calcul d incertitudes

32 V. Application au calcul d incertitudes On parle de majoration physique : on se place dans le cas le plus défavorable où toutes les erreurs commises sur les différentes grandeurs indépendantes se cumulent. On cherche la limite supérieur de l erreur commise sur g en déterminant la limite supérieur de la valeur absolue de dg ou de dg/g.

33 V. Application au calcul d incertitudes Théorème : La valeur absolue d une somme algébrique est inférieur ou égale à la somme des valeurs absolues des différents termes.

34 V. Application au calcul d incertitudes

35 V. Application au calcul d incertitudes

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