Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables

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1 UE4 : Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Analyse Chapitre 6 : Dérivées et différentielles des fonctions de plusieurs variables Christelle MELODELIMA Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.

2 I. Fonction de plusieurs variables Exemple : f(x,y) = 4x+3y

3 I. Fonction de plusieurs variables

4 II. Dérivées partielles a. Dérivées partielles premières en M 0

5 II. Dérivées partielles

6 II. Dérivées partielles b. Fonctions dérivées partielles premières Exemple : Calculer les dérivées partielles de la fonction suivante y = constante x = constante

7 II. Dérivées partielles c. Fonctions dérivées partielles secondes

8 II. Dérivées partielles Exemple : Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction suivante

9 II. Dérivées partielles Exemple : Calculer les dérivées partielles premières et secondes

10 Exemple : II. Dérivées partielles

11 II. Dérivées partielles d. Généralisation : fonction de 3 variables f(x,y,z)

12 III. Différentielle totale a. Fonction de deux variables f(x,y)

13 III. Différentielle totale a. Fonction de deux variables f(x,y)

14 III. Différentielle totale y

15 III. Différentielle totale

16 III. Différentielle totale

17 III. Différentielle totale

18 III. Différentielle totale

19 III. Différentielle totale

20 III. Différentielle totale

21 III. Différentielle totale Exemple : Calculer la différentielle totale de

22 III. Différentielle totale Exemple : Donner une approximation de la variation de volume d un cylindre droit de rayon r=10 cm et de hauteur h=50 cm quand r augmente de 1 cm et h diminue de 2 cm.

23 III. Différentielle totale

24 a. Définition IV. Différentielle logarithmique

25 b. Propriétés IV. Différentielle logarithmique

26 Exemple : IV. Différentielle logarithmique

27 Correction : IV. Différentielle logarithmique

28 IV. Différentielle logarithmique c. Intérêt de la différentielle logarithmique La différentielle logarithmique df/f d une fonction de plusieurs variables réalise une approximation de la variation relative : Exemple :

29 Correction : IV. Différentielle logarithmique

30 IV. Différentielle logarithmique

31 V. Application au calcul d incertitudes

32 V. Application au calcul d incertitudes On parle de majoration physique : on se place dans le cas le plus défavorable où toutes les erreurs commises sur les différentes grandeurs indépendantes se cumulent. On cherche la limite supérieur de l erreur commise sur g en déterminant la limite supérieur de la valeur absolue de dg ou de dg/g.

33 V. Application au calcul d incertitudes Théorème : La valeur absolue d une somme algébrique est inférieur ou égale à la somme des valeurs absolues des différents termes.

34 V. Application au calcul d incertitudes

35 V. Application au calcul d incertitudes

36 Mentions légales L'ensemble de cette œuvre relève des législations française et internationale sur le droit d'auteur et la propriété intellectuelle, littéraire et artistique ou toute autre loi applicable. Tous les droits de reproduction, adaptation, transformation, transcription ou traduction de tout ou partie sont réservés pour les textes ainsi que pour l'ensemble des documents iconographiques, photographiques, vidéos et sonores. Cette œuvre est interdite à la vente ou à la location. Sa diffusion, duplication, mise à disposition du public (sous quelque forme ou support que ce soit), mise en réseau, partielles ou totales, sont strictement réservées à l université Joseph Fourier (UJF) Grenoble 1 et ses affiliés. L utilisation de ce document est strictement réservée à l usage privé des étudiants inscrits à l Université Joseph Fourier (UJF) Grenoble 1, et non destinée à une utilisation collective, gratuite ou payante. Ce document a été réalisé par la Cellule TICE de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Grenoble (Université Joseph Fourier Grenoble 1)

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