1. La structure interne du soleil : un modèle simple

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1 L héliosismologie l étude sismique du soleil a pris son envol au cours des années 1970, lorsque l on s est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées à des périodes de l ordre de 5 minutes, et que cette modulation était due aux oscillations globales du soleil. Ces oscillations sont de type sonore. Le but de ce problème est d établir, dans le cadre de modèles très simplifiés, la loi de propagation de ces ondes sonores à l intérieur d un astre fluide et sphérique tel le soleil. Dans toute la suite, on supposera que l étoile possède la symétrie sphérique, et on négligera sa rotation propre. Grandeurs physiques constante de gravitation G = 6, kg 1.m 3.s 2 célérité de la lumière c = 3, m.s 1 constante du gaz parfait R GP = 8,31 J.K 1.mol 1 masse molaire de l hydrogène m H = 1 g.mol 1 masse molaire de l hélium m He = 4 g.mol 1 Grandeurs astrophysiques masse du Soleil M = 2, kg rayon du Soleil R = 7, km corps noir solaire T = 5777 K 1. La structure interne du soleil : un modèle simple 1.1. Ordres de grandeur Estimer, par analyse dimensionnelle, l ordre de grandeur de la pression P c au centre d un astre de masse M et rayon R soumis à sa propre gravité. A.N. Calculer P c dans le cas du soleil On admettra que l étoile n est composée que d hydrogène atomique et d hélium, et que la concentration en hélium est uniforme dans toute l étoile. Les mesures comme les modèles donnent la fraction massique d hélium Y Définir la fraction massique d hydrogène. Déterminer la masse molaire µ du mélange, en fonction de Y ainsi que des masses molaires m H et m He. A.N. Que vaut µ pour Y = 0.28 (cas du soleil)? Le théorème du viriel relie l énergie interne U de l objet à son énergie potentielle d interaction Ω : U + 2Ω = 0. On suppose l objet, de masse M, constitué d un gaz parfait monoatomique de masse molaire µ. On suppose, dans cette question seulement, que la température T du gaz est uniforme Ecrire l expression de l énergie interne du gaz stellaire en fonction des données. Rappeler, à l aide d une simple analyse dimensionnelle, l énergie potentielle d interaction d un corps autogravitant de masse M et rayon R.

2 En déduire l ordre de grandeur de la température du gaz, que l on assimilera à la température au centre de l objet, ainsi qu un ordre de grandeur de la masse volumique centrale, en supposant toujours que le milieu est un gaz parfait de masse molaire µ Le champ gravitationnel On note p 0 (r) et ρ 0 (r) les pression et masse volumique à l équilibre au niveau repéré par la variable radiale r. On suppose que la rotation est négligeable, et donc que la structure interne possède la symétrie sphérique. On note R le rayon stellaire, M la masse totale On s intéresse au champ de gravitation G au sein de l astre. Donner son expression au niveau r, en fonction de la masse m(r) de la sphère de rayon r Montrer que, dans le cas du soleil, dont la période de rotation moyenne est de l ordre de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite. Pour toute la suite, on suppose que le champ gravitationnel G est uniforme dans toute la planète. Et l on s intéresse dans un premier temps à la pertinence a priori de cette hypothèse Si la masse volumique ρ 0 (r) correspond à une fonction monomiale du rayon ρ r α, quelle devrait être la valeur de α pour que soit vérifiée l hypothèse concernant G? Le signe de α est-il convenable? La relation ρ 0 (r) est-elle plausible dans les régions externes de l astre? Internes? 1.3. Equilibre hydrostatique Le champ gravitationnel étant supposé uniforme, de module G 0, on suppose de plus que la structure interne de l astre est adiabatique, l indice adiabatique γ étant uniforme partout dans l astre : p 0 ρ γ 0 = Bργ 0. Pour simplifier les calculs, on notera la constante de proportionalité B = G 0 (γ 1)/γA, A étant une autre constante. On définit la profondeur z dans l astre : z = R r Vu les conditions de pression et température, le coefficient γ s écarte de la valeur pour un gaz monoatomique dans les conditions usuelles de pression et température. Pour quelle raison physique peut-on exclure de l étude le cas γ = 1? Pour les applications numériques, on prendra γ = 1, Exprimer G 0 en fonction de G, M et R. Faire l application numérique Rappeler l équation exprimant l équilibre hydrostatique de l astre. En déduire les relations p 0 (z) et ρ 0 (z). Représenter l allure des graphes p 0 (z) et ρ 0 (z) Rappeler l expression de la vitesse de propagation d une onde sonore au sein d un milieu obéissant à l équation d état du gaz parfait localement à la température T 0. L exprimer en fonction de γ, p 0 et ρ 0, et montrer qu elle dépend de la profondeur z selon la relation : c 2 = (γ 1) G 0 z Tracer c 2 (z) et justifier l augmentation de la vitesse du son avec la profondeur Le soleil rayonne comme un corps noir à la température T = 5777 K. Le modèle décrivant c 2 reste-t-il valable pour les petites valeurs de z? 2

3 1.4. Echelles de hauteur On définit l échelle de hauteur H X de la grandeur X 0 comme : H X = ( ) 1 1 dx 0 X 0 dz Déterminer la dimension de H X et interpréter sa signification Déterminer H p et H c, en fonction de la variable z. 2. Etude des oscillations dans les couches périphériques Dans les couches périphériques de l étoile, on modélise l atmosphère stellaire comme étant plan parallèle. On repère une couche par sa profondeur z = R r. On s intéresse aux petites perturbations des champs de pression et masse volumique p 0 (z) et ρ 0 (z). Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les fonctions p 0 et ρ 0, ainsi qu avec leurs dérivées H p et H ρ, et non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On se servira de ces expressions uniquement dans des cas particuliers explicitement spécifiés. On développe les champs de vitesse verticale, pression et masse volumique, en supposant que le champ de vitesse perturbé est lui aussi purement vertical, et donc que les termes perturbés ne dépendent que des variables t et z : v = 0 + v 1 p = p 0 + p 1 ρ = ρ 0 + v Evolution des champs On considère l accélération convective (v.grad)v négligeable devant l accélération locale v/ t. Ecrire l équation décrivant l évolution temporelle du champ de vitesse, une particule fluide étant soumise aux seules forces de gravité et de pression Que traduit l équation ρ 1 t = (ρ 0v 1 )? z A quelle condition une bulle de fluide obéit-elle à l équation : 1 dp 1 p 0 dt = γ 1 ρ 0 dρ 1 dt Montrer que cette relation peut se réécrire : p 1 t = γp v 1 0 z g 0ρ 0 v 1 Pour toute la suite, on laisse tomber les indices 1. 3

4 2.2. Déduire des relations précédentes l équation décrivant la propagation du champ de vitesse v : 2 v t 2 c2 v H p z c2 2 v z 2 = 0 Pour approcher une description en onde plane, on substitue à la vitesse v la variable η telle que v(z, t) = f(z)η(z, t) Calculer v/ z et 2 v/ z 2 en fonction des dérivées de f et η Montrer que la fonction f qui permet d annuler le terme de dérivée première v/ z peut s identifier à la fonction p 1/ On pose η = A expj(ωt k.r) Quelle équation de dispersion relie les pulsation ω et nombre d onde k? Identifier une pulsation critique ω c, qui s exprime en fonction de γ, c, H p et dh p /dz Au voisinage du niveau z c, l atmosphère stellaire est localement isotherme, la température présentant un minimum T. Estimer alors H p en fonction de R GP, T, µ et G 0 ; montrer que dh p / dz est nul. En déduire que l étoile constitue une cavité qui piège les ondes de pulsation inférieure à ω lim telle que : ω 2 lim = γµg2 0 4R GP T = γ 4 G 0 Hp Faire l application numérique. Quelle est la période minimale des ondes piégées dans la cavité? Pour les niveaux plus profonds, le modèle décrit dans la première partie est valable. Montrer qu alors la pulsation de coupure varie comme 1/ z. Comparer à R la profondeur pour laquelle ωc 2 = ωlim 2 /20. Conclure, et représenter l allure de la fonction ωc 2(z) Les régions visibles de l atmosphère stellaire étant au voisinage de z = Hp, le comportement de v(z) est-il favorable à la détection du signal perturbé? Quel effet physique permet de percevoir le champ v? Quelle type de mesure permettrait d y avoir accès? 3. Etude des oscillations dans les couches internes Dans les couches internes de l étoile, il n est plus possible de négliger la structure sphérique. Dans le cadre de la théorie des rayons, on suppose que l onde est localement plane, et que sa propagation peut être entièrement décrite par le vecteur d onde k. On distingue les composantes radiale k v et horizontale k h. On admet que l équation de dispersion obtenue au paragraphe précédent reste valable, avec k 2 représentant dès lors le module carré de k. On rappelle que l on peut négliger, dans les couches internes, le terme ωc 2 dans l équation de dispersion. 4

5 3.1. Réfraction des modes Rappeler l expression des lois de la réfraction. Montrer qu elles impliquent, dans le cadre du modèle plan parallèle la conservation de la composante horizontale k h du vecteur d onde. La configuration sphérique impose la conservation non de k h, mais du produit rk h : k h l r où l est une constante Montrer que ceci implique, sauf dans le cas où l est nul, l existence d un niveau r c limite en dessous duquel l onde ne se propage plus verticalement. Quelle est la direction de k à ce niveau? En déduire que les conditions de résonance imposent à l d être un entier Quelle est la particularité des modes associé à l = 0? Représenter schématiquement, sur un même graphe, d abscisse r, les carrés des pulsations ω 2 c et S2 l = ( lc/r ) 2, pour l = 1, 10, 100. En déduire la région où peut se propager un mode de pulsation ω < ω lim Tracé des rayons Montrer que, sauf pour les modes caractérisés par un degré très élevé, il était justifié de supposer, comme dans la 2ème partie, la propagation du mode verticale dans les couches supérieures de l étoile Représenter sur un schéma en coupe de l intérieur stellaire, l allure des rayons associés à des modes de pulsation identique, mais de degré 0, 3, D après l étude précédente, quelles ondes vont-elles fournir des informations sur la structure du centre de l astre. Lesquelles seront surtout sensibles aux propriétés des couches périphériques? Oscillations radiales. On définit la fréquence caractéristique des oscillations de l astre par : ν 0 = ( 2 R 0 ) 1 dr c D après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour durée la période T 0 = ν 1 0? Le profil de vitesse du son étant celui trouvé à la première partie, montrer que la valeur de ν 0 est fortement dominée par les couches périphériques de l astre. Déterminer ν 0 en fonction de γ, G, M et R. Ici, la théorie des rayons diverge de l approche complète, qui décrit la constante comme l(l + 1). Cette simplification ne change pas grand chose à la philosophie du problème 5

6 On note ν n,l la fréquence propre du mode d oscillation présentant n nœuds d oscillations radiales et associé au nombre l Montrer que, nécessairement, le centre du soleil correspond à un nœud d oscillation. Exprimer la condition de résonance en fonction de n + α, α représentant un déphasage lors de la réflexion de l onde dans la haute atmosphère, que le présent modèle ne permet pas de déterminer. Montrer que les modes d oscillations radiales ont pour fréquence : ν n,0 = (n + α) ν 0 A.N. Calculer ν 0 pour le soleil. Les modes excités du soleil ont des périodes voisines de 5 minutes. Quel est l ordre radial moyen des modes radiaux? 6