Graphes orientés. Le plan des 4 carrefour peut être schématisé. On obtient ainsi un graphe orienté. ( )

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1 chapitre Graphes orientés En mathématiques, un graphe va permettre de décrire une situation ou une organisation. Sa modélisation mathématiques donne des outils pour hiérarchiser, organiser ou optimiser cette situation. Exemple ans une ville, on considère 4 carrefours,, et reliés par des rues où la circulation s effectue en double sens ou en sens unique. Une rue à sens unique va directement de à. Une rue à sens unique va directement de à. Une rue en double sens relie directement et. Une rue à sens unique va directement de à. Une rue à sens unique va de à sans passer par, ou On retrouve ces 4 carrefours sur le plan ci contre ainsi que les rues qui les relient. Mode de représentation / Représentation géométrique Le plan des 4 carrefour peut être schématisé. On obtient ainsi un graphe orienté. Vocabulaire : Un graphe simple orienté est défini par - un ensemble fini de sommets X = x,,... { } - un ensemble U de couples x i, x j d éléments de X : les arcs. x i est l origine ou extrémité initiale de l arc x i,x j x j est l extrémité ou extrémité finale de l arc x i,x j Une boucle est un arc dont les extrémités sont confondues : x i,x i x j est un successeur de x i si et seulement si x i,x j e même x i est un prédécesseur de x j si et seulement si x i,x j est un arc du graphe. est un arc du graphe ans notre exemple : X = {,,,} est l ensemble des sommets U = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} est l ensemble des arcs est l origine de l arc (,) et en est l extrémité. (,) est un arc du graphe donc est un prédécesseur de et est un successeur de a 3 successeurs,, et et un prédécesseur :

2 chapitre Remarque : Le graphe est orienté car pour les arcs, l ordre des sommets est important : il existe un arc (,) mais pas d arc (,). 2/ Représentation par un tableau Nous pouvons représenter les informations concernant les carrefours dans un tableau. Il existe 3 tableaux Tableau des prédécesseurs : Tableau des successeurs Sommets Prédécesseurs Sommets Successeurs,,,,,,,, Tableau à double entrée Extrémité Origine Si un arc a pour origine le sommet et pour extrémité le sommet, on met à l intersection de la ligne et de la colonne sinon on met. ans le tableau, les 8 arcs sont représentés par les huit. 3/ Représentation par une matrice u tableau à double entrée précédent, nous pouvons associer naturellement la matrice suivante : M = Le graphe a 4 sommets, donc cette matrice est une matrice carrée d ordre 4. Le nombre de correspond au nombre d arc du graphe éfinition : La matrice adjacente d un graphe simple orienté comportant n sommets est la matrice carrée (a ij ) à n lignes où a ij = si x i, x j est un arc du graphe a ij = dans le cas contraire 2

3 chapitre hemin d un graphe orienté / Vocabulaire éfinitions : ans un graphe simple orienté, - un chemin est une suite ordonnée de sommets dont chacun, sauf le premier, a le sommet suivant comme successeur. - un circuit est un chemin dont le premier et le dernier sommets sont identiques. -un chemin hamiltonien est un chemin passant une et une seule fois par tous les sommets du graphe. ans l exemple, (,,,) est un chemin car est un successeur de, de et de. (,,) n est pas un chemin car n est pas un successeur de. (,,,) est un circuit (,,,) est un chemin hamiltonien 2/ Longueur d un chemin éfinition : La longueur d un chemin de n sommet est n-. La longueur d un chemin est le nombre d arcs qui constituent ce chemin. Propriété : Soit M, la matrice d adjacence d un graphe simple orienté comportant n sommets. Le nombre de chemin de longueur p d un sommet x i à un sommet x j est le nombre a ij (situé à la ligne i et à la colonne j) de la matrice M p. ans l exemple : 2 M 2 = 2 ette matrice donne le nombre de chemin de longueur 2 reliant les sommets du graphe. La première ligne nous permet de conclure qu il existe un chemin de longueur 2 allant de à, chemin de longueur 2 allant de à, chemin de longueur 2 allant de à, 2 chemins de longueur 2 allant de à. On peut calculer M 3 pour connaître le nombre de chemins de longueur 3 reliant 2 sommes du graphe etc... Fermeture transitive d un graphe simple orienté éfinition : La fermeture transitive d un graphe simple orienté est le graphe obtenu en conservant les sommets et en ajoutant, si nécessaire, les arcs (x,y) pour lesquels il existe un chemin de x à y dans le graphe initial. Si G est le graphe initial, sa fermeture transitive se note G ˆ Méthode : Soit M, la matrice adjacente à un graphe orienté. La matrice adjacente de la fermeture transitive du graphe se calcule ainsi : M ˆ = M M [ 2] M [ 3]... M [ n] où n est le nombre de sommets, est l addition booléenne des matrices et M [ n] est la n ième puissance booléenne de la matrice M. 3

4 chapitre La somme booléenne de matrices booléennes M et N se note M N. est la matrice obtenue en effectuant une somme booléenne des éléments de M et de N : = La somme booléenne consiste à remplacer dans la somme classique tous les réels supérieurs ou égaux à par. Le produit booléen M N et la puissance booléenne M [ n] de 2 matrices se se calculent de la même façon = 2 donc = ans notre exemple : M =, M 2 [ ] =, M 3 [ ] = et M 4 [ ] = On a donc : M ˆ = e qui signifie que quelque soient les deux sommets choisis, il existe un chemin reliant ces deux sommets. Niveau des sommets d un graphe simple orienté sans circuit éfinition : ans un graphe orienté, sans circuit, le niveau d un sommet x i est s il n a pas de prédécesseur : sinon c est la longueur du chemin le plus long ayant x i comme extrémité terminale. éfinition : Ordonnancer un graphe, c est classer ses sommets par niveaux. est aussi modifier sa représentation géométrique de façon que, de gauche à droite, les sommets soient de niveau croissants ; les sommets de même niveau sont alors sur une verticale. Remarque : - Un graphe orienté contenant au moins un circuit n a pas de sommet de niveau, on ne peut pas l ordonnancer - Un sommet est de niveau k (k N*) lorsque k- est le maximum des niveaux de ses prédécesseurs. Exemple : Pour ordonnancer le graphe suivant : 4

5 chapitre x Le graphe ordonnancé a donc cette représentation géométrique : x 5 x et n ont pas de prédécesseurs. e sont donc des sommets de niveau. x est le seul prédécesseur de est donc de niveau et sont les seuls prédécesseurs de, est de niveau et de niveau donc est de niveau 2 est le seul prédécesseur de x 5, x 5 est donc de niveau 3 x 5 x niveaux : 2 3 E Valeur d un chemin On peut être amené à affecter une valeur à chaque arc d un graphe orienté sans circuit. On dit alors que c est un graphe valué. Le nombre affecté à l arc est appelé valeur de l arc. éfinition : La valeur d un chemin est la somme des valeurs affectées aux arcs qui constituent le chemin. Si un graphe est valué, on peut alors rechercher la valeur maximale ou valeur minimale d un sommet fixé à un autre. On parle de chemin optimal s il est maximal ou minimal. remarques : - ttention à ne pas confondre longueur d un chemin pour un graphe non valué et valeur d un chemin pour un graphe valué. - Tout chemin optimal est constitué de sous-chemins optimaux. Méthode pour déterminer un chemin minimal : Soit le graphe orienté, ordonnancé, sans circuit et valué ci dessous : 8 5 x x 5 niveaux :

6 chapitre Pour calculer le chemin minimal de x à x 5, on va calculer la valeur du chemin minimal de x à : on l appelle la marque de et on la note m( ) puis la valeur du chemin minimal de x à m( ) puis la valeur du chemin minimal de x à m( ) et enfin la valeur du chemin minimal de x à x 5. ) Valeur du chemin minimal de x à : m( )=2. Evident car il n y a qu un chemin de x à 2) a 2 prédécesseurs donc on compare 2 chemins (x, ) et (x,, ) on trouve : m( )=3. 3) On compare 2 chemins car a 2 prédécesseurs: la valeur de ( x, ) est 8 et celle de ( x,,, ) est m( )+4=7 donc m( )=7. 4) x 5 n a qu un prédécesseur donc m( x 5 )= m( )+5=2 onclusion : la chemin minimal de x à x 5 est (x,,,, x 5 ) et sa valeur est 2. 6