Comparaison entre approche directe et compilée pour un problème de configuration

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1 Comparaison entre approche directe et compilée pour un problème de configuration Nicolas Morbieu Mémoire de stage de M2R soutenu le 23 juin 2006 Directrice de recherche : Hélène Fargier Recherche effectuée à l INSTITUT DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE DE TOULOUSE dans le laboratoire RPDMP Résumé Dans le cadre d un processus de configuration, nous comparons deux approches permettant de calculer la consistance globale d un réseau de contraintes au fur et à mesure des affectations. La première approche utilise une compilation hors-ligne du réseau de contraintes sous la forme d un automate fini alors que la seconde approche calcule la consistance globale du réseau en ligne, à l aide d un solveur SAT. Nous comparons aussi différentes façons d exprimer un réseau de contraintes sous une forme booléenne.

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3 Introduction La plupart des produits industriels sont le résultat de l assemblage et du paramétrage de composants élémentaires. Cet assemblage est soumis à des contraintes qui empêchent certaines combinaisons. La sélection du produit adapté au client se ramène alors à la sélection et au paramétrage de composants compatibles entre eux. C est ce qu on appelle la configuration. Le but de la configuration est donc de modéliser l ensemble des objets réalisables et de faire spécifier à l utilisateur ses désirs par l ajout de contraintes. Le maintien de la cohérence globale est nécessaire afin d indiquer uniquement les valeurs des paramètres qui sont encore réalisables. Cette requête étant dans le cas général fortement combinatoire et la configuration se faisant en ligne, une solution est de compiler le problème original en une forme permettant un traitement plus efficace. L objectif de ce stage est de comparer expérimentalement deux approches pour la vérification de l existence d une solution, pour la maintenance de la cohérence globale d un réseau de contraintes lors de l affectation d une ou plusieurs variables. L une de ces deux approches que nous appellerons l approche directe consiste à utiliser une modélisation sous forme de CSP et des solveurs CSP ou une modélisation booléenne équivalente et des solveurs SAT. L autre approche que nous appellerons l approche compilée consiste à utiliser une forme compilée de CSP sous forme d automates. La comparaison expérimentale se fera en utilisant l exemple de la configuration interactive. Dans un premier chapitre, la problématique de la compilation et de son application à la configuration sont abordées. Dans un second chapitre, les outils théoriques nécessaires à la suite de l exposé sont introduits et un état de l art des réponses au problème de la configuration est présenté. Dans un troisième chapitre, différentes façons de traduire un réseau de contraintes en un ensemble de clauses sont étudiées. Enfin, dans un quatrième et dernier chapitre, sont comparés expérimentalement deux configurateurs : l un basé sur une forme compilée en automate d un réseau de contrainte, l autre utilisant un solveur SAT et un convertisseur de réseau de contraintes en ensemble de clauses. 3

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5 Table des matières Introduction 3 1 Problématique Utilité de la compilation Un exemple d application : la configuration Problématique État de l art CSP Configurateurs Compilation d un réseau de contraintes décrivant un problème de configuration en automate Compilation d un réseau de contraintes en automate Compilation d un produit configurable SAT De CSP à SAT Types de traductions de réseaux de contraintes en formules booléennes Codages linéaires et codages logarithmiques Unicité de l affectation des variables CSP Codage des contraintes binaires Codage des contraintes non binaires Nomenclature Comparaison Caractéristiques d un réseau de contraintes Taille des clauses générées Conclusion CSP2SAT, un outil pour la traduction de réseaux de contraintes en formules booléennes Fonctionnalités

6 6 TABLE DES MATIÈRES Possibilités d améliorations Efficacité de la SAT-compilation pour un problème de configuration Protocole expérimental Choix de conception Résultats Conclusion Approche directe contre approche compilée Comparaison entre traductions de CSP vers SAT Conclusion 37 A Format XML de description de réseau de contraintes 39 B Format DIMACS CNF 41 Bibliographie 46

7 Chapitre 1 Problématique 1.1 Utilité de la compilation Pour certains problèmes (comme par exemple les problèmes de décision CSP et SAT que l on verra aux sections 2.1 et 2.4), les seuls algorithmes de résolution connus à ce jour s exécutent en un temps exponentiel dans le pire des cas. Si l on doit effectuer plusieurs opérations sur une instance d un tel type de problème, il peut être judicieux de factoriser les calculs en mettant le problème sous une autre forme (ce qu on appelle la compilation), puis de travailler sur cette forme compilée, moins coûteuse à traiter. Dans le cas d une application nécessitant une réponse rapide (dans le cas d une interaction avec un utilisateur par exemple), la compilation pourra se faire hors-ligne et les calculs en ligne se feront sur la forme compilée. La compilation est d autant plus intéressante quand les requêtes sont proches les unes des autres (leur résolution implique de nombreux calculs en commun) comme le remarquent Weigel et Faltings dans [WF99] ainsi que Darwiche et Marquis dans [DM02]. 1.2 Un exemple d application : la configuration Une définition de la configuration proche de l implémentation est proposée dans [AFV01] : «Un produit configurable peut être défini par un ensemble de variables. Chaque variable prend sa valeur dans un domaine de définition (continu ou discret). Il existe des contraintes pouvant conditionner l existence de variables et restreindre leur domaine de définition. Configurer vise à donner une valeur à toutes les variables qui existent dans un produit configurable 7

8 8 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE en respectant toutes les contraintes et en satisfaisant au mieux les besoins et préférences de l utilisateur.» On pourra trouver dans [AFV01] une introduction à la problématique de la configuration et dans [Ver01] une approche beaucoup plus détaillée. Le but d un configurateur est de définir un produit respectant les contraintes inhérentes au produit. Il devra aussi satisfaire au mieux les désirs d un utilisateur concernant la personnalisation du produit configurable en garantissant sa faisabilité tout au long du processus de configuration. Le configurateur doit permettre de modéliser le produit générique en tenant compte de sa structure, des entités le composant et des contraintes pesant sur ces éléments. Il est en effet en pratique impossible de lister explicitement tous les produits réalisables. Lors de la configuration, le configurateur doit assurer le maintien de la cohérence du modèle générique augmenté des choix de l utilisateur. Des fonctionnalités intéressantes mais non essentielles d un configurateur sont le calcul automatique d une configuration optimale (pour le critère du prix par exemple) respectant les contraintes et les choix exprimés, l explication de l impossibilité d un choix et la restauration d une configuration consistante. La configuration se prête donc a priori bien à la compilation : sur un même produit, on réalise beaucoup de requêtes proches les unes des autres (les choix). On pourra alors compiler hors-ligne le problème défini par le produit à configurer et réaliser en ligne les processus de configuration 1.3 Problématique A priori, la compilation est adaptée au problème de la configuration et en particulier au maintien de la consistance globale des domaines des variables. Dans [AFV01] est proposée une manière de compiler un problème de configuration exprimé sous la forme d un réseau de contraintes en un automate fini déterministe. Cependant, les solveurs CSP traitant les réseaux de contraintes ainsi que les solveurs SAT ont énormément progressé de leur côté et il n est pas évident que la compilation vaille encore le coup. C est pourquoi il peut être intéressant de comparer expérimentalement l approche compilée (utilisant une telle forme compilée) et l approche directe (utilisant un solveur CSP ou un solveur SAT accompagné d un traducteur de CSP à SAT). La requête traitée sera le maintien de la consistance globale du réseau de contraintes lors d un processus de configuration et on testera les deux approches sur un problème réel de configuration.

9 1.3. PROBLÉMATIQUE 9 Les résultats de compétition de solveurs CSP 1 ont orienté le choix du solveur vers le solveur zchaff accompagné d un traducteur de CSP vers SAT pour l approche directe. Se pose ensuite le choix du type de traduction de CSP vers SAT, choix étudié au chapitre 3. Les résultats de l expérimentation sont présentés et analysés au chapitre

10 10 CHAPITRE 1. PROBLÉMATIQUE

11 Chapitre 2 État de l art 2.1 CSP Il est nécessaire pour la suite d introduire brièvement les réseaux de contraintes ainsi qu un problème associé : CSP. Définition 1 Un réseau de contraintes à domaines finis R est un triplet (X, D, C) où X = (x 1,..., x n ) est un ensemble de variables ; D = (D 1,..., D n ) est un ensemble de domaines finis. D i est le domaine de x i, c est à dire l ensemble des valeurs possibles pour la variable x i ; C = (C 1,..., C e ) est un ensemble de contraintes. C i, contrainte d arité q est définie par S i = (x i1,..., x iq ), les variables sur lesquelles elle pèse et la relation R i, un sous ensemble de D i1... D ip indiquant les affectations des variables x i1,..., x ip compatibles entre elles Les réseaux de contraintes sont souvent appelés abusivement CSP. Un format XML de représentation de réseaux de contraintes est présenté dans l annexe A. Une solution est une instanciation de l ensemble des variables de X qui ne viole aucune contrainte. Les principaux problèmes attachés à un réseau de contraintes sont : Déterminer si le réseau de contraintes est satisfiable (si il existe une solution), problème dit de la satisfiabilité. C est un problème de décision NP-complet. Trouver une solution, problème dit de satisfaction de contraintes (CSP). C est un problème NP-difficile. Trouver toutes les solutions. C est aussi un problème NP-difficile. 11

12 12 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L ART Rendre le réseau globalement consistant, c est-à-dire trouver toutes les valeurs des variables qui participent à une solution et éliminer les autres. Les méthodes de recherche complètes, qui assurent que la résolution se fait en un temps fini reposent sur le principe du backtrack. On affecte successivement, dans un ordre prédéfini, une valeur aux variables du problème. Après chaque affectation, on vérifie que l affectation partielle est localement consistante (qu elle ne viole aucune contrainte portant sur les variables affectées). Si c est le cas, on affecte une autre variable, et ainsi de suite jusqu à ce que toutes les variables soient affectées. Sinon, on remet en cause la dernière affectation en choisissant une autre valeur. Si aucune valeur du domaine ne convient, on effectue un backtrack en choisissant une autre valeur pour la variable précédente. On peut trouver dans [Deb98] et dans [AS] un état de l art des techniques de résolution de réseaux de contraintes. 2.2 Configurateurs Plusieurs outils apportant des réponses à la problématique de la configuration ont été proposés dans la littérature. Ils sont décrits abondamment dans [Ver01]. Configurateurs procéduraux : Les premiers configurateurs n étaient pas génériques et mélangeaient le code et les données. Ces configurateurs procéduraux donnent peu de liberté à l utilisateur en lui posant les questions dans un ordre prédéfini. Selon les réponses de l utilisateur aux questions précédentes, certaines questions ne sont pas posées. Configurateurs à base de systèmes experts : Une autre catégorie de configurateurs est constituée par des configurateurs s appuyant sur des systèmes experts. Une base de règles de production (de la forme «SI condition ALORS conséquence») est définie. Ces règles modélisent les contraintes entre les valeurs des variables et les domaines de définition de ces variables. Des faits (comme les choix de l utilisateur), sont déduites de nouvelles connaissances (les nouveaux domaines des variables par exemple). Le raisonnement abductif permet en plus de générer des explications. Un gros problème de cette approche est le grand nombre de règles nécessaires, ce qui complique la maintenance du modèle. [Ver01] explique plus en détails le fonctionnement de tels systèmes.

13 2.3. COMPILATION D UN RÉSEAU DE CONTRAINTES DÉCRIVANT UN PROBLÈME DE CONFIGURATION EN AUTOMATE 13 Configurateurs à base de réseaux de contraintes : Enfin, une autre conception de configurateur, exposée longuement dans [Ver01] utilise les techniques des réseaux de contraintes vus à la section 2.1. En particulier, une proposition d adaptation du formalisme des CSP aux problèmes de configuration est décrite dans [AFM02] : le produit générique est décrit par un réseau de contraintes classique. La configuration revient alors à la résolution interactive du réseau de base par l ajout de contraintes dynamiques supplémentaires, contraintes restreignant les domaines des variables. Les auteurs y expliquent comment utiliser efficacement une forme compilée de CSP dans un configurateur, d une manière vue à la section Compilation d un réseau de contraintes décrivant un problème de configuration en automate Compilation d un réseau de contraintes en automate Vempaty a proposé une méthode de représentation de CSP par des automates dans [Vem92]. Leur étude a été poursuivie par Amilhastre dans [Ami99]. Cette représentation s inspire fortement des ROBDD présentés dans [And97] : pour un ordre fixé sur les n variables du problème, l ensemble des solutions peut s exprimer comme un langage rationnel (dont les mots sont tous de taille n si le CSP est cohérent). Cet ensemble de solutions peut donc être représenté par un automate fini déterministe (FDA) possédant un unique état d arrivée. Sur cette forme compilée (l automate), de nombreuses requêtes peuvent être effectuées en un temps linéaire en la taille de l automate. Les facteurs essentiels influant sur la taille de l automate final (et donc sur son coût de construction et d utilisation) sont l ordre choisi sur les variables et l algorithme de minimisation de l automate. En effet la différence de taille entre deux FDA minimisés décrivant le même CSP peut être exponentielle. Dans [Ami99] sont exposées quelques heuristiques pour obtenir des ordres plus efficaces sur les variables. Satisfiabilité : La satisfiabilité est immédiate puisque si l automate possède au moins un état, le langage qu il reconnaît est non vide (c est un automate émondé). Cette requête s effectue donc en temps constant.

14 14 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L ART Affectation satisfaisante : La recherche d une solution se fait en cherchant un chemin du départ à l arrivée. Cette requête s effectue aussi en un temps linéaire en le nombre de variables du CSP. Consistance globale : Afin de savoir si une affectation d une variable participe à une solution, il suffit de vérifier qu il existe un arc de l automate étiqueté par cette affectation. On peut trouver dans [AFM02] une façon de calculer la consistance globale en un temps polynomial en la taille de l automate Compilation d un produit configurable Les CSP compilés par cette méthode peuvent aussi être utilisés pour représenter des produits configurables comme exposé dans [AFM02]. L automate utilisé est le résultat de la compilation du réseau de contraintes décrivant le produit générique. À chaque arc du graphe de l automate, on affecte un coût (initialement nul). Lors du processus de configuration, à chaque affectation d une valeur à une variable, on incrémente d une unité les coûts associés aux arcs correspondant à l affectation d une valeur maintenant interdite pour cette variable. Le coût d un chemin du départ à l arrivée correspond alors au nombre de choix utilisateur violés par l affectation à laquelle il correspond. Tout chemin de coût nul du départ à l arrivée du graphe représente donc une affectation des variables ne violant aucune contrainte. On peut aussi obtenir la consistance globale du réseau de contraintes augmenté des choix : les variables globalement consistantes sont celles qui apparaissent sur un chemin de coût nul reliant le départ à l arrivée. Dans [AFM02] est proposée une façon de maintenir la consistance globale en un temps polynomial. 2.4 SAT Outre CSP, il existe un autre problème de satisfaction de contraintes qui s applique à des variables booléennes (donc à valeur dans des domaines de taille 2) et dont les contraintes s expriment sous la forme d une formule booléenne à satisfaire liant ces variables. C est le problème SAT. Dans le chapitre 3 sont exposées plusieurs méthodes permettant de passer d une instance CSP à une instance SAT.

15 2.4. SAT 15 Définition 2 Un littéral est une variable booléenne ou sa négation ; Une clause est une disjonction de littéraux ; Une clause est satisfaite si au moins l un de ses littéraux est vrai ; Une fonction booléenne est sous la forme CNF (forme conjonctive normale) si elle est mise sous la forme d une conjonction de clauses ; Une fonction booléenne sous la forme CNF est satisfaite si toutes ses clauses le sont ; Une fonction booléenne est satisfiable si il existe au moins une affectation de ses variables qui la satisfait. Définition 3 Soit F une formule du calcul propositionnel utilisant les variables propositionnelles (x 1,..., x n ) Résoudre le problème de la satisfiabilité de F consiste à déterminer s il existe une interprétation des x i telle que F soit satisfaite. Ce problème est appelé problème SAT. Définition 4 Soit F une formule du calcul propositionnel sous la forme CNF utilisant les variables propositionnelles (x 1,..., x n ) Résoudre le problème de la satisfiabilité de F consiste à déterminer s il existe une interprétation des x i telle F soit satisfaite. Ce problème est appelé problème SAT-CNF. Le problème de décision SAT-CNF et donc SAT est NP-complet. Un format de description d instance SAT-CNF (format DIMACS-CNF) est décrit à l annexe B. Chaque année, des compétitions entre solveurs sont organisées, ce qui permet aux différentes équipes de comparer leurs algorithmes. Citons la compétition pour solveurs SAT Comme le fait remarquer Le Berre dans [Ber05], tous les éléments des solveurs SAT-CNF ont été largement étudiés non seulement du point de vue algorithmique, mais aussi du point de vue de l implémentation. Les solveurs SAT-CNF actuels peuvent ainsi être considérés non plus comme des prototypes, mais comme des logiciels utilisables en production. C est pourquoi des ensembles traducteur CSP vers SAT et solveur SAT participent aussi aux compétitions CSP et obtiennent d excellents résultats comme on peut le voir dans [vd05] : le solveur SAT zchaff, accompagné d un traducteur CSP vers SAT écrit en moins de trois jours résout les problèmes à contraintes binaires environ deux fois plus vite que les autres solveurs.

16 16 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L ART C est pour ces performances remarquables que la comparaison entre approche directe et approche compilée s est faite non pas avec un solveur CSP mais avec une traduction de CSP vers SAT et le solveur SAT zchaff.

17 Chapitre 3 De CSP à SAT 3.1 Types de traductions de réseaux de contraintes en formules booléennes Les problèmes SAT et CSP sont tous deux NP-complets, on peut donc passer de SAT à CSP et inversement en un temps polynomial. Il existe plusieurs techniques connues pour transcrire un problème exprimé sous la forme d un réseau de contraintes en un problème de satisfaction d un ensemble de clauses. Dans [Pre03] sont décrites et comparées plusieurs variantes de ces codages pour une résolution par recherche locale. Dans [Wal00], Walsh cite deux types de traductions de réseau de contraintes en ensemble de clauses. L un introduit pour chaque variable CSP un nombre de variables booléennes linéaire en la taille du domaine de la variable CSP, d où le nom de codage linéaire. L autre introduit pour chaque variable CSP un nombre de variables booléennes logarithmique en la taille du domaine de la variable CSP, d où le nom de codage logarithmique. Outre le codage des domaines, les traducteurs diffèrent également selon la manière dont ils codent les contraintes d exclusivité, les contraintes binaires et les contraintes non binaires Codages linéaires et codages logarithmiques Codage linéaire : Soit X i une variable du CSP prenant ses valeurs dans un domaine D i de taille n i. Dans la formulation booléenne, on associe à X i les n i variables booléennes x i,1,..., x i,ni valant x i,j = (X i == j). Afin de s assurer que chaque variable du CSP prenne effectivement une valeur dans son domaine, il suffit d ajouter la clause suivante de taille D i 17

18 18 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT pour chaque variable X i : n i x i,j j=1 Codage logarithmique : Pour les codages linéaires, on avait une variable booléenne par valeur du domaine. Pour les codages logarithmiques, le domaine D i de taille n i d une variable x i est codé par m i = log 2 (n) variables booléennes x i1...x imi qui codent en binaire les valeurs de ce domaine. L affectation de X i correspond à X i = x i1...x imi 2 Il n y a pas besoin de clauses assurant qu il existe bien une et une seule affectation des variables CSP, en revanche il est nécessaire de disposer de clauses assurant que l affectation de X i ne dépasse pas de son domaine si log 2 (m i ) > log 2 (m i ). Ceci peut se faire simplement en interdisant une à une les valeurs trop grandes. Ceci introduit 2 log 2(m i ) D i clauses de taille log 2 (m i ) chacune Unicité de l affectation des variables CSP Dans le cadre d un codage logarithmique, par nature du codage, chaque variable CSP se verra affecter une et une seule valeur de son domaine. Dans le cadre d un codage linéaire, si on n introduit pas de clauses d exclusivité, une variable CSP pourra se voir affecter plusieurs valeurs de son domaine (rien n interdit à plusieurs variables booléennes correspondant aux valeurs de son domaine d être valuées à VRAI simultanément). On peut forcer l unicité de l affectation, c est-à-dire forcer le fait qu il n y ait, pour une variable CSP X i donnée, qu au plus une des variables booléennes x i,j qui soit valuée à vrai. Clauses d exclusivité naïves : Les clauses d exclusivité peuvent s écrire en ajoutant pour chaque variable X i les n i.(n i 1)/2 clauses de taille 2 : x i,j x i,k j k Clauses d exclusivité de Roussel : Roussel propose dans [Rou05] une autre technique qui, elle, est linéaire en la taille des domaines (et non quadratique), il ajoute pour chaque variable X i les 2n i variables y i,1...y i,ni, z i,1...z i,ni et les 6n i 4 clauses : n i 1 j=1 x i,j y i,j+1 ; n i 1 j=1 y i,j y i,j+1 ; n i j=1 y i,j x i,j

19 3.1. TYPES DE TRADUCTIONS DE RÉSEAUX DE CONTRAINTES EN FORMULES BOOLÉENNES 19 n i j=2 x i,j z i,j 1 ; n i j=2 z i,j z i,j 1 ; n i j=1 z i,j x i,j Cependant, pour de petits domaines, la méthode de Roussel semble peu efficace puisque pour des tailles de domaines inférieures à 13, elle induit plus de clauses que la méthode quadratique, en plus d introduire de nouvelles variables booléennes. Aucune clause d exclusivité : On peut aussi, quand on utilise le codage des conflits vu plus loin, se passer des clauses d exclusivité. Si plusieurs variables booléennes décrivant les valeurs du domaine d une même variable sont valuées simultanément à VRAI, c est que les valeurs correspondantes sont interchangeables dans la solution trouvée. Aucune de ces valeurs n est interdite donc elles sont toutes autorisées Codage des contraintes binaires Dans plusieurs types de codages, les contraintes binaires (c est à dire liant exactement deux variables) peuvent disposer d un traitement particulier qui ne peut être étendu aux contraintes non binaires. Il existe deux façons connues de traduire une contrainte : soit en traduisant le fait que seuls certains tuples sont autorisés (c est le codage des supports), soit en traduisant le fait que certains tuples sont interdits (c est le codage des conflits). Codage des tuples interdits (conflits) : Pour les codages linéaires : Si le tuple (v 1, v 2 ) est interdit pour le couple de variables (X 1, X 2 ) avec (x 1, x 2 ) les variables booléennes correspondantes à v 1 et v 2, on ajoute la clause de taille 2 : x 1 x 2 Cette technique peut s étendre aux contraintes non binaires. Pour les codages logarithmiques : Si le tuple (v 1, v 2 ) est interdit pour le couple de variables (X 1, X 2 ), que v i = x i,1...x 2 i,mi, i {1, 2}, on ajoute la clause x 1,1... x 1,m1 x 2,1... x 2,m2 Cette clause est de taille log 2 ( D 1 ) + log 2 ( D 2 ) où D 1 et D 2 sont les tailles des domaines des variables X 1 et X 2. Cette technique peut s étendre aux contraintes non binaires.

20 20 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Codage des tuples autorisés (supports) : Inversion de contrainte : Quand les contraintes sont décrites par des tuples autorisés, on peut énumérer tous les tuples possibles et retirer de cet ensemble les tuples interdits. On se ramène alors au cas de contraintes définies par des tuples interdits. La complexité de cette opération est en ln(t ). D 1. D 2 opérations et elle génère D 1. D 2 T clauses de taille 2 où T est le nombre de tuples autorisés par la contrainte. Cette technique est utilisable pour les contraintes non binaires. Codage des supports : On peut aussi utiliser le codage des supports décrit dans [Gen02] en codant directement les contraintes binaires définies par leur support. Ce codage n est possible que dans le cadre d un codage linéaire et uniquement pour des contraintes binaires. Soient X 1 et X 2 de domaines D 1 et D2 les variables sur lesquelles porte la contrainte. Soient x 1,1...x 1,i1, x 2,1...x 2,i2 les variables binaires associées. Pour chaque valeur v 2,k du domaine de X 2, si v 1,k1...v 1,kj sont les valeurs autorisées pour X 1 pour X 2 = v 2,k, on ajoute la clause x 2,k x 1,k1... x 1,kj Il est nécessaire d utiliser les clauses d exclusivité pour ce type de codage car sinon, par exemple, la valuation dans laquelle toutes les variables booléennes sont valuées à vrai satisfait toutes les clauses. Cette opération ajoute D 2 clauses de taille au plus D 1 chacune, utilisant en tout D 2 + T littéraux Codage des contraintes non binaires Codage des tuples interdits (conflits) : Pour les codages linéaires : Si une contrainte d arité n est décrite par des tuples interdits, pour chaque tuple interdit (v 1,j1...v i,ji ) avec v 1,j1...v i,ji des valeurs dans les domaines de X 1...X j et (x 1,j1...x i,ji ) les variables booléennes correspondantes, on ajoute la clause de taille 2 : x 1,j1... x i,ji Pour les codages logarithmiques : Si le tuple v 1...v n est interdit pour les variables X 1...X n, que v i = x i,1...x 2 i,mi, il suffit d ajouter la clause x 1,1... x 1,m1... x n,1... x n,mn

21 3.1. TYPES DE TRADUCTIONS DE RÉSEAUX DE CONTRAINTES EN FORMULES BOOLÉENNES 21 Cette clause est de taille n i=1 log 2 ( D i ) où D i est la taille du domaine de la variable X i. Codage des tuples autorisés (supports) : Inversion de contrainte : Dans le cas de contraintes non binaires, on peut aussi énumérer l ensemble de tous les tuples possibles et retirer les tuples autorisés pour obtenir les tuples interdits. La complexité de cette opération est en ln(t ). n i=1 D i opérations et elle génère n i=1 D i T clauses de taille n. Binarisation des contraintes : Il peut être plus judicieux de binariser le CSP afin de pouvoir appliquer les techniques utilisables sur des contraintes binaires. On introduit une nouvelle variable CSP Y dont le domaine est constitué des tuples autorisés par la contrainte (son domaine est donc de taille T ). Sur cette variable pèsent n contraintes binaires qui assurent que X i prend bien la même valeur que celle à laquelle elle a été affectée lors de l affectation de Y. On introduit donc pour Y, des variables booléennes et des clauses (en nombre dépendant de la manière dont on code les variables et les contraintes d exclusivité) ainsi que des clauses traduisant les n contraintes binaires supplémentaires introduites (en nombre dépendant de la manière dont sont codées les contraintes binaires) Nomenclature On peut définir et nommer différents codages selon les techniques qu ils utilisent. On peut voir dans le tableau 3.1 les différences entre les types de codages. Il est à noter que pour les codages linéaires Direct-bin, Direct-bin-roussel et Multivalued-bin, toutes les clauses sont de taille 2 sauf celles assurant l existence de l affectation. Ce qui est intéressant car 2-SAT est dans P alors que n-sat est NP complet. En revanche, pour le codage logarithmique, les clauses d arité 2 ne sont rencontrées que quand les domaines sont petits (possédant au plus deux valeurs).

22 22 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Codage Codage des Contraintes Codage des Binarisation domaines d exclusivité contraintes des contraintes Direct Linéaire Naïf Conflits Non Direct-roussel Linéaire Roussel Conflits Non Direct-bin Linéaire Naïf Conflits Oui Direct-bin-roussel Linéaire Roussel Conflits Oui Multivalued Linéaire Aucune Conflits Non Multivalued-bin Linéaire Aucune Conflits Oui Support Linéaire Naïf Supports Oui Support-roussel Linéaire Roussel Supports Oui Log Logarithmique Aucune Conflits Non Log-bin Logarithmique Aucune Conflits Oui Tab. 3.1 Types de codages de CSP vers SAT 3.2 Comparaison Pour un même réseau de contraintes, la taille de l ensemble de clauses généré dépend fortement du type de codage utilisé. Cette taille dépend aussi des caractéristiques du réseau de contraintes (nombre de variables, taille des domaines, nombre de contraintes, arité des contraintes et dureté des contraintes). On s attache ici à caractériser la taille de l ensemble de clauses résultant en fonction de ces différents paramètres Caractéristiques d un réseau de contraintes Deux grandeurs caractérisant un réseau de contraintes sont couramment utilisées : la densité des contraintes et la dureté des contraintes. Densité d un réseau de contraintes : Pour un réseau de contraintes, on appelle densité des contraintes le nombre de contraintes par rapport au nombre maximal de contraintes. Pour un réseau de n variables avec c contraintes d arité k, on aura alors la densité p 1 : p 1 = c/c n k Dureté d une contrainte : On appelle dureté d une contrainte la proportion de tuples interdits par cette contrainte. Pour une contrainte d arité k portant sur des variables dont les domaines sont de taille d, décrite par c tuples interdits, on aura la dureté p 2 : p 2 = c/d k

23 3.2. COMPARAISON Taille des clauses générées Notations : On note : n le nombre de variables ; d la taille des domaines ; p la dureté des contraintes ; q la densité des contraintes ; k l arité des contraintes. Le tableau 3.2 donne la taille des clauses générées par les différents codages en fonction de tous ces paramètres.

24 24 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Codage Codage des Contraintes Contraintes Taille domaines binaires k-aires asymptotique Nombre n q.n.(n 1) q.c n k Direct d 2 d 2.p d k.k.p Θ(n k.d k ) Direct-roussel 13d 8 d 2.p d k.k.p Θ(n k.d k ) Direct-bin d 2 d 2.p d 2k.(1 p) 2 + d k.(1 p).2.k.(d 1) Θ(n k.d 2k ) Direct-bin-roussel 13d 8 d 2.p d k.(1 p).(2.k(d 1) + 13) 8 Θ(n k.d k ) Multivalued d d 2.p d k.k.p Θ(n k.d k ) Multivalued-bin d d 2.p d k.(1 p).(2.k.(d 1) + 1) Θ(n k.d k ) Support d 2 d + d 2.(1 p) d 2k.(1 p) 2 + d k.(1 p).2.k Θ(n k.d 2k ) Support-roussel 13d 8 d + d 2.(1 p) d k.(1 p).(2.k + 13) 8 Θ(n k.d k ) Tab. 3.2 Taille des clauses générées par les codages de CSP vers SAT

25 3.2. COMPARAISON 25 Dans les graphiques 3.1, 3.2 et 3.3, on considère un problème à 50 variables dont les domaines sont de taille 8 et les contraintes sont d arité 4. Comme les codages directs sont strictement dominés par les codages multivalués (qui sont identiques aux clauses d exclusivité près), ils ne sont pas pris en compte afin de conserver une certaine clarté des courbes. D un graphique au suivant, le codage le moins efficace en terme de taille des clauses produites est supprimé. Fig. 3.1 Taille des codages support, support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau On peut voir sur la figure 3.2 que la binarisation des contraintes non binaires produit une modélisation booléenne occupant plus de mémoire, cependant, il est essentiel de noter que s il n y a pas de binarisation des contraintes, les clauses ne sont pas binaires non plus, ce qui peut influer considérablement sur la difficulté de la résolution (ce qu on pourra observer à la section 3.2.3). Les graphiques 3.4, 3.5 et 3.6 donnent une vue en coupe permettant d observer l évolution de la taille des clauses en fonction de la dureté des contraintes (à densité constante égale à 0, 1). La figure 3.7 permet de comparer toutes choses égales par ailleurs (binarisation des contraintes et contraintes d exclusivité de Roussel) le codage des supports et le codage des conflits. Les graphiques 3.8, 3.9 et 3.10 donnent une vue en coupe permettant d observer l évolution de la taille des clauses en fonction de la densité de contraintes (à dureté des contraintes constante égale à 0, 5).

26 26 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Fig. 3.2 Taille des codages support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau Fig. 3.3 Taille des codages multivalued et support-roussel sur un réseau

27 3.2. COMPARAISON 27 Fig. 3.4 Taille des codages support, support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau à densité constante Fig. 3.5 Taille des codages support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau à densité constante

28 28 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Fig. 3.6 Taille des codages multivalued et support-roussel sur un réseau à densité constante Fig. 3.7 Taille des codages support-roussel et direct-bin-roussel sur un réseau

29 3.2. COMPARAISON 29 Fig. 3.8 Taille des codages support, support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau à dureté constante Fig. 3.9 Taille des codages support-roussel, multivalued et multivalued-bin sur un réseau à dureté constante

30 30 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT Fig Taille des codages multivalued et support-roussel sur un réseau à dureté constante

31 3.2. COMPARAISON Conclusion Intérêt des clauses d exclusivité de Roussel : Pour les codages utilisant des contraintes d exclusivité, les clauses de Roussel montrent leur intérêt lors de la binarisation des contraintes n-aires. On introduit en effet de nouvelles variables CSP possédant des domaines très grands, ce qui induit un nombre de clauses quadratique en la taille du domaine pour les clauses d exclusivité naïves, contre un nombre de clauses linéaire en la taille du domaine pour les clauses d exclusivité de Roussel. Codage des supports contre codage des conflits : Selon la figure 3.7, toutes choses égales par ailleurs, le codage des supports génère des clauses occupant moins de place que le codage des conflits. Mais le codage des supports impose les clauses d exclusivité et la binarisation des contraintes. En comparant le codage des supports occupant le moins de place au codage des conflits occupant le moins de place, la conclusion est différente : à part pour des contraintes très dures, le codage des supports génère un ensemble de clauses plus important que le codage des conflits. Cette différence est due aux contraintes d exclusivité principalement, mais aussi à la possibilité de ne pas binariser les contraintes non binaires pour les codages de conflits. Intérêt de la binarisation des contraintes non binaires : Il semblerait que le plus petit ensemble de clauses est généré par le codage multivalué sans binarisation des contraintes, pour la plupart des problèmes (sauf pour les problèmes contenant des contraintes très dures). Cependant, il est important de noter que lors de la binarisation, quasiment toutes les clauses générées sont binaires alors que dans le cas contraire, les clauses ont l arité des contraintes. Donc la résolution par le solveur SAT ne sera pas forcément plus rapide. Cette méthode induit ainsi des clauses de propagation. D après les résultats obtenus à la section 4.3, le codage le plus efficace semble être le codage multivalued-bin, c est à dire le codage des conflits, sans contraintes d exclusivité et utilisant la binarisation des contraintes non binaires.

32 32 CHAPITRE 3. DE CSP À SAT 3.3 CSP2SAT, un outil pour la traduction de réseaux de contraintes en formules booléennes CSP2SAT est une bibliothèque de fonctions écrite en C++ permettant de transcrire un réseau de contraintes en un ensemble de clauses. CSP2SAT est disponible à l adresse Fonctionnalités Le seul format de description accepté en entrée pour décrire le réseau de contraintes est le format XML décrit dans l annexe A. C est le format utilisé pour les compétitions de solveurs CSP. En sortie, CSP2SAT produit un fichier décrivant un ensemble de clauses au format DIMACS CNF (cf annexe B) ainsi qu un fichier XML permettant d obtenir les noms des variables et des valeurs des domaines du réseau de contraintes 1. Dans CSP2SAT sont pour l instant programmés les codages suivants (décrits à la section 3.1.5) : Direct Direct-roussel Direct-bin Direct-bin-roussel Multivalued Multivalued-bin Support Support-roussel Possibilités d améliorations CSP2SAT est conçue pour être facilement extensible par l ajout de nouveaux codages. Il est par exemple prévu d implanter des codages logarithmiques ainsi que des codages hybrides (permettant de choisir un codage différent selon la dureté et l arité de chaque contrainte). Les performances ne sont pas la priorité, mais elles peuvent cependant être améliorées notamment en ce qui concerne la rapidité de la traduction. 1 Ce qui est nécessaire pour pouvoir revenir aux solutions du CSP après résolution du problème SAT-CNF associé

33 Chapitre 4 Efficacité de la SAT-compilation pour un problème de configuration 4.1 Protocole expérimental Pour répondre au problème de la configuration, trois outils utilisant une formalisation CSP ont été envisagés : Un configurateur basé sur un automate (forme compilée) comme décrit à la section 2.3 ; Un configurateur basé sur un solveur CSP ; Un configurateur basé sur un solveur SAT traduisant le réseau de contraintes original en formule booléenne selon des techniques vues au chapitre 3. Une séquence de configuration d un produit se déroule de la façon suivante : Tant qu il reste une variable libre (dont le domaine n est pas un singleton) Tirer une variable libre v au hasard Tirer une valeur a au hasard dans le domaine de v Faire l affectation v a Réduire les domaines par consistance globale Lors d une séquence d expériences, pour un produit générique décrit par un réseau de contraintes, on effectue plusieurs séquences de configuration. La même séquence de configuration (qui aboutit donc à la même séquence de produits configurés) est effectuée avec les trois configurateurs et les temps de calcul de la réduction des domaines sont comparés. 33

34 34 CHAPITRE 4. EFFICACITÉ DE LA SAT-COMPILATION POUR UN PROBLÈME DE CONFIGURATION Il est à noter que pour le configurateur basé sur l automate, le temps de compilation en automate n est pas comptabilisé (puisqu il est fait hors-ligne une fois pour toute). De même, pour le configurateur basé sur un solveur SAT, le temps de conversion en un ensemble de clauses n est pas non plus comptabilisé. Le configurateur basé sur le solveur CSP a été rapidement abandonné à cause de performances catastrophiques : le temps utilisé pour trouver une seule solution du CSP était plus long que tout une séquence de configuration pour le configurateur basé sur l automate. 4.2 Choix de conception Les configurateurs fournissent tous la même interface simple comprenant les fonctions : Parsage du fichier décrivant le produit à configurer (fichier décrivant un automate ou un réseau de contraintes) et création d un configurateur ; Affectation d une valeur à une variable ; Obtention des domaines des variables globalement consistants ; Annulation de toutes les affectations (remise à zéro avant de configurer un nouveau produit). Ainsi, le programme principal choisissant l ordre d affectation des variables ainsi que les valeurs dans les domaines est commun aux configurateurs, ce qui permet de s assurer que les produits issus des processus de configuration sont identiques indépendamment du type de configurateur utilisé. À la compilation du projet, on obtient un exécutable par type de configurateur. Le configurateur basé sur l automate est basé sur un configurateur écrit par Jérôme Amilhastre et Hélène Fargier. Le configurateur basé sur le solveur SAT utilise le solveur zchaff et la bibliothèque CSP2SAT développée en cette intention. Il peut donc utiliser tous les types de traduction de CSP vers SAT présentés à la section Le choix du solveur SAT-CNF s est porté sur zchaff pour ses excellentes performances aux compétitions de solveurs SAT (et de solveurs CSP, accompagné par un traducteur de CSP à SAT), ainsi que sa disponibilité sous forme de bibliothèque. 4.3 Résultats Les expérimentations ont été effectuées sur deux produits réels : une souffleuse et la Renault Mégane. Les résultats des tableaux 4.1 et 4.2 ont été obtenus sur un processeur Pentium 4 3GHz, muni de 1Go de RAM sous

35 4.4. CONCLUSION 35 GNU/Linux avec g et l option -O3. Configurateur Temps de réduction Occupation des domaines (s) mémoire (ko) Automate zchaff Direct zchaff Direct-roussel zchaff Direct-bin zchaff Direct-bin-roussel zchaff Multivalued zchaff Multivalued-bin zchaff Support zchaff Support-roussel zchaff Log zchaff Log-bin Tab. 4.1 Temps moyen de réduction des domaines par consistance globale suite à une affectation sur l exemple de la souffleuse Configurateur Temps de réduction Occupation des domaines (s) mémoire (Mo) Automate zchaff Direct Échec - zchaff Direct-roussel Échec - zchaff Direct-bin Dépassement RAM - zchaff Direct-bin-roussel 9, zchaff Multivalued Échec - zchaff Multivalued-bin zchaff Support Dépassement RAM - zchaff Support-roussel zchaff Log Échec - zchaff Log-bin Échec - Tab. 4.2 Temps moyen de réduction des domaines par consistance globale suite à une affectation sur l exemple de la Renault Mégane 4.4 Conclusion Approche directe contre approche compilée Pour les deux problèmes de test, le configurateur utilisant l automate est effectivement bien plus efficace que les configurateurs utilisant le solveur

36 36 CHAPITRE 4. EFFICACITÉ DE LA SAT-COMPILATION POUR UN PROBLÈME DE CONFIGURATION zchaff, en temps de calcul comme en occupation mémoire. La compilation est donc entièrement justifiée pour la maintenance de la consistance globale Comparaison entre traductions de CSP vers SAT Pour un petit problème tel que celui de la souffleuse, les traductions utilisant un codage linéaire des domaines permettent des performances assez proches les unes des autres alors que les traductions utilisant des codages logarithmiques des domaines sont bien moins efficaces. Ceci peut s expliquer par le fait que les codages logarithmiques génèrent des clauses impliquant plus de deux variables, alors que la plupart des clauses générées par les codages linéaires des domaines sont des 2-clauses. Pour un gros problème tel que celui de la Renault Mégane, seuls trois codages permettent d obtenir la solution, les autres aboutissant soit à un échec du solveur zchaff, soit à une consommation mémoire trop importante pour la machine de test. Les codages logarithmiques (Log et Log-bin) sont inutilisables sur le gros problème (ce qui pouvait se prévoir en analysant les résultats sur la souffleuse) car ils produisent beaucoup de clauses non binaires et très peu de clauses binaires qui permettent la propagation. Les codages sans binarisation des contraintes non binaires (Direct, Directroussel, Multivalued et Log) mènent à un échec du solveur SAT (ils produisent beaucoup de clauses non binaires). Les codages utilisant les clauses d exclusivité de Roussel (Direct-bin et Support) et la binarisation des contraintes non binaires explosent en RAM, car les tailles des domaines des variables CSP introduites par la binarisation des contraintes sont importantes et le nombre de clauses d exclusivité est quadratique en leur taille. On retrouve parmi les trois traductions utilisables les deux traductions occupant le moins de place (Support-roussel et Multivalued-bin) et une traduction assez proche de Multivalued-bin : Support-bin-roussel, ajoutant seulement un nombre raisonnable de clauses (clauses d exclusivité). Bien que le codage Support-roussel occupe moins de place que le codage Multivaluedbin, il est dominé par celui-ci, car Multivalued-bin ne génère quasiment que des 2-clauses. On peut noter que dans ces cas là, les clauses d exclusivité sont inutiles voire pénalisantes, contrairement à ce qu affirme Roussel dans [Rou05].

37 Conclusion Une synthèse des façons de passer d un réseau de contraintes à une formule booléenne à été réalisée. Plusieurs de ces techniques ont été comparées sur le critère de l occupation en mémoire de la formule booléenne obtenue. Un bibliothèque permettant de transcrire un réseau de contraintes en un ensemble de clauses a aussi été écrite, ce qui permettra à des travaux futurs de comparer expérimentalement ces traductions pour différents types d utilisation. Une comparaison expérimentale entre deux configurateurs à été menée, montrant que l approche compilée sous forme d automate est tout à fait justifiée par rapport à l approche directe utilisant un solveur CSP ou un solveur SAT avec un traducteur de CSP vers SAT. 37

38 38 CHAPITRE 4. EFFICACITÉ DE LA SAT-COMPILATION POUR UN PROBLÈME DE CONFIGURATION

39 Annexe A Format XML de description de réseau de contraintes Ce format permettant de décrire un réseau de contraintes (ou CSP) est présenté dans [BHL]. C est le format utilisé lors des compétitions de solveurs CSP telle que Voici sa syntaxe : <instance> <presentation name = nom de l instance description = description de l instance nbsolutions = nombre de solutions (? si inconnu) solution = une solution (? si inconnu) format = format XML de l instance /> <domains nbdomains= q > <domain name = nom du domaine nbvalues = nombre de valeurs values = description du domaine />... </domains> <variables nbvariable= n > <variable name = nom de la variables domain = nom du domaine />... </variables> <relations nbrelations= r > <relation name = nom de la relation domain = domaine de la relation nbsupports nbconflicts = nombre de supports ou de conflits supports conflicts = ensemble des supports ou des conflits />... </relations> 39

40 40 ANNEXE A. FORMAT XML DE DESCRIPTION DE RÉSEAU DE CONTRAINTES <constraints nbconstraints= m > <constraint name = put here the name of the constraint scope = put here the names of the variables involved in the constraint relation = put here the name of the relation />... </constraints> </instance> Et voici un exemple utilisant des contraintes non binaires : <instance> <presentation name="instancenonbinaire" description="un exemple" nbsolutions="au moins une" format="1.1"/> <domains nbdomains="3"> <domain name="dom0" nbvalues="7" values="0..6"/> <domain name="dom1" nbvalues="3" values="1 5 10"/> <domain name="dom2" nbvalues="10" values="1..15"/> </domains> <variables nbvariables="5"> <variable name="x0" domain="dom0"/> <variable name="x1" domain="dom0"/> <variable name="x2" domain="dom1"/> <variable name="x3" domain="dom2"/> <variable name="x4" domain="dom0"/> </variables> <relations nbrelations="4"> <relation name="rel0" domain="dom0 dom0" nbconflicts="7" conflicts="(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)"/> <relation name="rel1" domain="dom2 dom0" nbconflicts="25" conflicts="(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2) (2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,3)(4,4) (4,5)(4,6)(5,4)(5,5)(5,6)"/> <relation name="rel2" domain="dom1 dom0" nbsupports="1" supports="(5,3)"/> <relation name="rel3" domain="dom0 dom1 dom2" nbsupports="17" supports="(0,1,3)(0,5,3)(0,10,12)(1,1,4)(1,5,2)(1,10,13) (2,1,5)(2,5,1)(2,10,14)(3,10,5)(3,10,15)(4,5,11)(4,10,4) (5,5,12)(5,10,3)(6,5,13)(6,10,2)"/> </relations> <constraints nbconstraints="5"> <constraint name="c0" scope="x0 X1" relation="rel0"/> <constraint name="c1" scope="x3 X0" relation="rel1"/> <constraint name="c2" scope="x2 X0" relation="rel2"/> <constraint name="c3" scope="x1 X2 X3" relation="rel3"/> <constraint name="c4" scope="x1 X4" relation="rel0"/> </constraints> </instance>

41 Annexe B Format DIMACS CNF Un format de description d instance SAT (format DIMACS) est présenté dans [Dim]. Voici sa syntaxe : Commentaires : c. Les lignes de commentaires commencent par le caractère c Ceci est un commentaire Problème : Une ligne décrit le problème : p cnf NombreDeVariables NombreDeClauses Clauses : Les variables booléennes sont numérotées de 1 à n où n est le nombre de variables. Chaque clause est représentée par une succession d entiers séparés par des caractère blancs (espace, tabulation ou retour chariot) et terminée par l entier 0. Le littéral positif de la variable i sera représenté par i alors que le littéral négatif sera représenté par i. Exemple : Pour (x 1 x 3 x 4 ) (x 4 ) (x2 x 3 ), une représentation possible sera : c Un exemple de fichier au format c DIMACS CNF p cnf