L Analyse en Composantes Principales. A. Morineau

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "L Analyse en Composantes Principales. A. Morineau"

Transcription

1 L Analyse en Composantes Principales A. Morineau

2 L ACP, qu est ce?

3 L ACP, qu est ce?

4 Principe géométrique de l ACP X(n,p) tableau de données A. Morineau

5 Principe géométrique de l ACP i R p i' ressemblance des individus X(n,p) tableau de données A. Morineau

6 Principe géométrique de l ACP i R p i' ressemblance des individus X(n,p) j j' tableau de données R n liaisons entre les variables A. Morineau

7 Exemple introductif A. Morineau

8 Exemple introductif Les individus : 24 modèles de voitures A. Morineau

9 Exemple introductif Les individus : 24 modèles de voitures Les variables : «moteur» : puissance, vitesse, cylindrée «dimensions» : poids, longueur, largeur Objectifs : visualiser Les modèles qui se ressemblent au vu des 6 variables Les variables les plus corrélées A. Morineau

10 Les données A. Morineau

11 Ressemblances entre individus : problème des unités de mesure Cylindrée en litres Cylindrée en cm Poids en Kg 0,8 1,5 Poids en tonnes La forme du nuage de points est très sensible au choix des unités de mesure (à l'arbitraire des unités de mesure). Arbitraire des unités = Dispersion inégale entre les variables A. Morineau

12 Ressemblances entre individus : Solution : centrer et réduire les données Centrer : retrancher la moyenne positions relatives des individus Réduire : diviser par l écart type enlever l arbitraire de l unité de mesure Distance entre individus : A. Morineau

13 Les données centrées réduites A. Morineau

14 Ressemblances entre individus : Calcul des distances entre individus Exemple : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + + ( )² = A. Morineau

15 Ressemblances entre individus Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

16 Ressemblances entre individus Vitesse Rover 827i Renault 25 Bmw 530i Puissance Ford Sierra Ford Fiesta Fiat Uno Cylindrée A. Morineau

17 Ressemblances entre individus : forme générale du nuage Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

18 Ressemblances entre individus : forme générale du nuage Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

19 Ressemblances entre individus : principe de détermination des axes Nuage de n points-individus dans R p Pour avoir la «meilleure» image approchée du nuage en projection sur une droite H : Respecter au mieux les inter-distances entre tous les couples (H) A. Morineau

20 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie 1 er axe : direction d allongement maximal du nuage de points Direction selon laquelle la dispersion autour du centre de gravité (l inertie) est maximale. A. Morineau

21 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

22 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie Vitesse Axe 1 Puissance Cylindrée A. Morineau

23 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie 2 ème axe d inertie : direction orthogonale à la première selon laquelle la dispersion résiduelle est maximale. 3 ème axe On décompose ainsi l inertie sur un système d axes orthogonaux deux à deux. A. Morineau

24 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie A. Morineau

25 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 1 A. Morineau

26 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 1 Axe 2 A. Morineau

27 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 3 Axe 1 Axe 2 A. Morineau

28 Mesurer l inertie décomposée sur chaque axe L inertie totale du nuage se décompose sur les axes principaux Pour p variables, p axes reconstituent l inertie totale du nuage A. Morineau

29 La meilleure représentation des distances entre individus A. Morineau

30 Coordonnées des individus et décomposition de l inertie A. Morineau

31 Distance calculée sur les données de départ : Meilleure représentation des distances entre individus d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + ( )² = Distance calculée sur les axes factoriels : TOUS les axes : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + ( )² = les 2 PREMIERS axes : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² = A. Morineau

32 Liaisons entre les variables : coefficient de corrélation y y R ne mesure pas la forme du nuage mais mesure la parenté entre la forme du nuage et une droite. y r = -1 x y -1 < r < 0 x On s'intéresse au degré de linéarité de la liaison entre deux variables. y r = 0 x y r = 0 x 0 < r < 1 A. Morineau x r = 1 x

33 Corrélation : domaine de l étude a b La relation est linéaire dans la plage [a,b] A. Morineau

34 Corrélation et causalité 30 nb de TV (x1000) R² = 0, nb de malades mentaux/100hab A. Morineau

35 Liaisons entre les variables : matrice des corrélations A. Morineau

36 Liaisons entre les variables Une variable est définie par les n valeurs qu elle prend sur les individus. Les variables sont centrées réduites, on a donc : (1) (1) est l équation d une sphère de rayon 1 centrée en zéro : les vecteurs variables sont donc de longueur 1 et se disposent sur la surface d une sphère dans R n. A. Morineau

37 Liaisons entre les variables individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

38 Liaisons entre variables : distance entre les points variables Distance basée sur la corrélation : j o o o j k k k j cor(j,k) 1 d(j,k) 0 ( d² 0 ) cor(j,k) 0 d(j,k) 2 ( d² 2 ) cor(j,k) -1 d(j,k) 2 ( d² 4 ) A. Morineau

39 Liaisons entre variables : distance entre les points variables A. Morineau

40 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

41 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 1 er Plan individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

42 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 1 er Plan individu 3 Largeur 2 ème Plan Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

43 Meilleure représentation des liaisons entre variables A. Morineau

44 Nuage des variables Nuage des p variables (approximation dans R n ). Un plan factoriel (v1,v2) coupe la sphère suivant un grand cercle (de rayon 1). Les points-variables tombent à l intérieur. Espace R n e1 e2 Projection de quatre variables 4 e e1 3 A. Morineau

45 Coordonnées des variables et décomposition de l inertie Coordonnées des variables : Les données ont été centrées et réduites : les coordonnées des variables sont aussi les corrélations de ces variables avec les axes factoriels. Les sommes des carrés des coordonnées sur chaque axe donnent la décomposition de l inertie sur ces axes. A. Morineau

46 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires (j) Les variables peuvent être vues comme des individus particuliers qui en représentent les directions. X Individu (i) Ces individus synthétiques valent 1 dans la direction de la variable et 0 dans les autres directions : variable (j) variable (1) A. Morineau

47 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

48 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

49 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

50 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

51 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires les anciens axes unitaires sont l image des variables dans l espace contenant les points individus. A. Morineau

52 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires et les individus A. Morineau

53 Représentation simultanée : interprétation des anciens axes unitaires A. Morineau

54 Représentation simultanée : interprétation des anciens axes unitaires A. Morineau

55 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces On a vu que les anciens axes unitaires sont l image des variables dans l espace contenant les points individus : les coefficients nous donnent les relations de transition entre l espace de départ et le nouvel espace de représentation des données. A. Morineau

56 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces Les axes factoriels sont des combinaisons linéaire des variables centrées et réduites ; les coefficients de ces combinaisons sont les colonnes du tableau des anciens axes unitaires. Pour l axe1 : 0.45 CYLINDRE PUISSANC VITESSE POIDS LONGUEUR LARGEUR : le premier axe indique un effet de taille Pour l axe 2 : 0.01 CYLINDRE PUISSANC VITESSE POIDS LONGUEUR LARGEUR : le deuxième axe oppose les caractéristiques «moteur» aux autres. A. Morineau

57 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces A partir des coordonnées factorielles, on peut revenir aux variables de départ. En prenant que les premiers axes factoriels, on reconstitue de manière approchée les variables de départ. CYLINDRE = 0.45 axe axe axe3 : reconstitution approchée de la variable cylindre à partir des 3 premiers axes factoriels. A. Morineau

58 Principes mathématiques de l ACP : détermination des axes d inertie X est la matrice des données centrées réduites (on présente les calculs dans le cas d une ACP normée) Nuages de points associés : Les individus : n points dans un espace de dimension p Les variables : p points dans un espace de dimension n Ajustement dans R p : maximiser u (X X)u avec u u = 1 Le vecteur qui maximise cette expression est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de X Xu = λu Ajustement dans R n : maximiser v (XX )v avec v v = 1 Le vecteur qui maximise cette expression est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de XX v = µv A. Morineau

59 ACP normée et non normée Normée Distance entre individus Non normée Matrice diagonalisée (x',x) corrélations covariances Distance entre variables A. Morineau

60 Principes mathématiques de l ACP : relations de transition relations entre les deux espaces (relations de transition) ajustement dans R p : (X X)u = λu u est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de X X : λ ajustement dans R n : (XX )v = µv v est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de XX : µ On peut écrire : XX (Xu) = λ(xu) i.e. λ est une valeur propre de XX associée au vecteur propre Xu ; puisque µ est la plus grande valeur propre de XX, on a nécessairement : λ < µ. X X(X v) = µ(x v) i.e. m est une valeur propre de X X associée au vecteur propre X v ; puisque λ est la plus grande valeur propre de X X, on a nécessairement : µ < λ. On a donc λ = µ En imposant les contraintes de normalisation des vecteurs propres : (Xu) Xu = λ et (X v) (X v) = µ on obtient les relations suivantes appelées relations de transition : A. Morineau

61 Relations de transition en ACP A. Morineau

62 Influence des individus : les contributions Dans quelle proportion chaque point contribue-t-il à l inertie λ α du nuage projeté sur l axe u α? G i G i G i G i' G i' G i' Utilité Pour donner une signification à un axe, s intéresser surtout aux points ayant une forte contribution. (Ils fixent la position de l axe dans R p ) A. Morineau

63 Influence des individus : les contributions A. Morineau

64 Qualité de représentation des individus : les cosinus carrés Le point (i) dans R p est plus ou moins «proche» de chaque axe (α) de projection. En projection, la proximité entre points est d autant plus «véridique» que les points sont proches de l axe de projection. Pour analyser les proximités entre points, s intéresser surtout aux points ayant un fort cosinus carré. (Proximités peu modifiées en projection.) (i) (i) G u α G u α Utilité A. Morineau

65 Qualité de représentation des individus : les cosinus carrés A. Morineau

66 Eléments supplémentaires Individus et variables continues A. Morineau

67 Eléments supplémentaires Variables nominales A. Morineau

68 Eléments supplémentaires Modalités d une variable nominale A. Morineau

69 Références Lebart L., Morineau A., Piron M. Statistique Exploratoire Multidimensionnelle. Dunod, Paris, Lebart L., Morineau A., Warwick K. Multivariate Descriptive Statistical Analysis. J. Wiley, New York, A. Morineau

L analyse multi variée

L analyse multi variée L analyse multi variée Ensemble de méthodes destinées à synthétiser l information - Méthodes descriptives Elles visent à structurer et à simplifier les données issues de plusieurs variables (ACP, AFC)

Plus en détail

L analyse en composantes principales

L analyse en composantes principales L analyse en composantes principales 1 La méthode 1 Les données, les objectifs de la méthode L Analyse en Composantes Principales (ACP) est la méthode adaptée à l exploration synthétique de l information

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Pr Roch Giorgi roch.giorgi@univ-amu.fr SESSTIM, Faculté de Médecine, Aix-Marseille Université, Marseille, France http://sesstim.univ-amu.fr/ Introduction (1) Étudier

Plus en détail

Chapitre 3 : Analyse en composante principale (ACP) () 1 / 59

Chapitre 3 : Analyse en composante principale (ACP) () 1 / 59 Chapitre 3 : Analyse en composante principale (ACP) () 1 / 59 I. Préambule L ACP propose, à partir d un tableau de données relatives à p variables quantitatives portant sur n unités (individus), des représentations

Plus en détail

L Analyse en Composantes Principales

L Analyse en Composantes Principales L Analyse en Composantes Principales Table des matières 1 Introduction 1 2 Notations 2 3 Définitions 2 4 Projections sur un sous-espace 3 5 Axes principaux 4 6 Facteurs principaux 4 7 Composantes principales

Plus en détail

Statistiques COURS 5. Salle 125. L3 Géographie UE Méthodologie. Intervenants : Année

Statistiques COURS 5. Salle 125. L3 Géographie UE Méthodologie. Intervenants : Année L3 Géographie UE Méthodologie Statistiques COURS 5 Salle 125 Intervenants : Nadège Martiny & Julien Crétat Année 2010-2011 2011 UFR Sciences Humaines (Département de Géographie) UMR Centre de Recherches

Plus en détail

Tableaux multiples et données évolutives

Tableaux multiples et données évolutives Tableaux multiples et données évolutives N. Niang Keita niang@cnam.fr Gilbert Saporta gilbert.saporta@cnam.fr mai 2011 1 Suite de tableaux individusxvariablesxtemps temps discret 1,2,.. t,... T «données

Plus en détail

Introduction. Analyse en composantes la matrice principalesdes. Premiers calculs. Exemple

Introduction. Analyse en composantes la matrice principalesdes. Premiers calculs. Exemple Introduction 19 janvier 2015 Dans la plupart des applications on observe un nombre p très grand de variables; L étude univariée et bivariée est une phase indispensable mais tout à fait insuffisante; Prendre

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Position du problème : On a observé p variables sur n individus : protocole multivarié. On cherche à remplacer ces p variables par q nouvelles variables résumant au mieux

Plus en détail

D- interprétation d une ACP

D- interprétation d une ACP D- interprétation d une ACP 1- choix du nombre d axes 3- interprétation des axes 2- représentation graphique 4- Qualité de représentation 5- Synthèse D-Interprétation d une ACP La décomposition précédente

Plus en détail

Notes cours : Analyse de données Statistique descriptive Enseignant : M. KECHICHED Rabah

Notes cours : Analyse de données Statistique descriptive Enseignant : M. KECHICHED Rabah Notes cours : Analyse de données Statistique descriptive Enseignant : M. KECHICHED Rabah Département : Sciences de la Terre et de l Univers Université 1. ANALYSE DE DONNEES STATISTIQUES 1. 1. Analyse monovariée

Plus en détail

Laboratoire 2 Extraction des caractéristiques

Laboratoire 2 Extraction des caractéristiques Laboratoire 2 Extraction des caractéristiques L objectif de l extraction et de la sélection de caractéristiques est d identifier les caractéristiques importantes pour la discrimination entre classes. Aprés

Plus en détail

Cours 9! Introduction à la Reconnaissance des Formes (RdF)! Analyse de données, classification dʼimages!

Cours 9! Introduction à la Reconnaissance des Formes (RdF)! Analyse de données, classification dʼimages! Bases du traitement des images BIMA Cours 9! Introduction à la Reconnaissance des Formes (RdF)! Analyse de données, classification dʼimages! Prof. Matthieu Cord! 1 Plan 1. Introduction, problématiques

Plus en détail

Analyse des données M1 Miage et SCA

Analyse des données M1 Miage et SCA Analyse des données M1 Miage et SCA Matthieu Barrandon, Marco Dozzi Février 2009 Matthieu Barrandon, Marco Dozzi () Février 2009 1 / 26 1. Analyse factorielle des correspondances L analyse factorielle

Plus en détail

Analyse en composantes principales

Analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Gilles Gasso, Stéphane Canu INSA Rouen - Département ASI Laboratoire LITIS 1 17 septembre 01 1. Ce cours est librement inspiré du cours DM de Alain Rakotomamonjy Gilles

Plus en détail

scilab à l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab Analyse en composantes principales et apprentissage 6 juin 2007 (dernière date de mise à jour) Table des matières 1 Rappels

Plus en détail

Reconnaissance des formes

Reconnaissance des formes Reconnaissance des formes - Chapitre 2 - Analyse en composantes principales Objectifs Contexte : Chaque individu x i du tableau X est considéré comme un point d un espace vectoriel E de dimension p. L

Plus en détail

Analyse des Correspondances Multiples (ACM)

Analyse des Correspondances Multiples (ACM) Analyse des Correspondances Multiples (ACM) Compléments Jérôme Pagès Laboratoire de mathématiques appliquées Agrocampus, Rennes. 1 Analyse des Correspondances Multiples (ACM) 1. Données, notations 1:16

Plus en détail

Chapitre 9 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES

Chapitre 9 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES Chapitre 9 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES On consultera aussi le document «Introduction numérique à l analyse en composantes principales». 1 NATURE DES DONNÉES ET OBJECTIFS. 1.1 Nature des données.

Plus en détail

Analyse en composantes principales

Analyse en composantes principales Analyse en composantes principales Alain RAKOTOMAMONJY - Gilles GASSO INSA Rouen -Département ASI Laboratoire LITIS 11 Février 2009 A. RAKOTOMAMONJY G. GASSO (INSA ASI) Analyse en composantes principales

Plus en détail

TD é valué : Analyse en Composante Principale (ACP)

TD é valué : Analyse en Composante Principale (ACP) TD é valué : Analyse en Composante Principale (ACP) Constance Mahlberg & Antoine Mazuyer (23/11/2012) Construction de la matrice des donné es On rentre manuellemment les données. Voici les résultats de

Plus en détail

Analyse de données sur le parcours des élèves en Bretagne à partir de données du rectorat

Analyse de données sur le parcours des élèves en Bretagne à partir de données du rectorat Analyse de données sur le parcours des élèves en Bretagne à partir de données du rectorat Stage fait à l ENSAI Du 14 mai au 6 juillet 2007 Les 12 Bassins d Animation de la Politique Educative Auray-Ploërmel-Vannes

Plus en détail

Introduction à l analyse en composantes principales

Introduction à l analyse en composantes principales Introduction à l analyse en composantes principales Tables des matières : TABLES DES MATIERES :... 1 OBJECTIFS... 2 L ANALYSE EN COMPOSANTE PRINCIPALE (ACP)... 3 Cas de deux variables... 3 Plus de 2 variables...

Plus en détail

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) Jérôme Pagès (& François Husson) Laboratoire de mathématiques appliquées - Agrocampus Rennes husson@agrocampus-ouest.fr / 43 Analyse Factorielle des Correspondances

Plus en détail

Statistiques. 1.2 Présentation des données et représentations graphiques

Statistiques. 1.2 Présentation des données et représentations graphiques Statistiques 1 Séries statistiques à une variable 1.1 Vocabulaire Une population est un ensemble d individus sur lesquels on étudie un caractère ou une variable, qui prend différentes valeurs ou modalités.

Plus en détail

Analyse en composantes principales Une méthode factorielle pour traiter les données didactiques

Analyse en composantes principales Une méthode factorielle pour traiter les données didactiques Analyse en composantes principales Une méthode factorielle pour traiter les données didactiques Ali Kouani, S. El Jamali et M.Talbi Résumé L Analyse en Composantes Principales (ACP) est une méthode d analyse

Plus en détail

Analyse exploratoire des données

Analyse exploratoire des données Analyse exploratoire des données Christophe Lalanne lalanne@ciep.fr Centre international d études pédagogiques juillet 2007 C. Lalanne (CIEP) Analyse exploratoire des données juillet 2007 1 / 25 Organisation

Plus en détail

CHAPITRE 10 ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES. Master 2ème Année Page 1

CHAPITRE 10 ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES. Master 2ème Année Page 1 CHAPITRE 10 ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Master 2ème Année Page 1 Plan 1. Les données 2. L'AFC est une AC particulière 3. Les représentations graphiques 4. Les aides à l'interprétation 5. Une

Plus en détail

Chapitre 3. Séries statistiques bivariées.

Chapitre 3. Séries statistiques bivariées. Chapitre 3. Séries statistiques bivariées nicolas.chenavier@lmpa.univ-littoral.fr Exemple introductif 1 On considère un nombre n d individus (en pratique, n est grand) faisant intervenir exactement deux

Plus en détail

Chapitre 3. Séries statistiques bivariées.

Chapitre 3. Séries statistiques bivariées. Chapitre 3. Séries statistiques bivariées nicolas.chenavier@lmpa.univ-littoral.fr Exemple introductif 1 On considère un nombre n d individus (en pratique, n est grand) faisant intervenir exactement deux

Plus en détail

1. Produit Scalaire sur E

1. Produit Scalaire sur E Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 4 - Sommaire. Produit Scalaire.. Forme bilinéaire symétrique.......... Forme quadratique associée......... Forme quadratique définie positive.....4. Produit

Plus en détail

Exercices de statistique.

Exercices de statistique. Auteurs et sources : E. Leclercq & A. Sébaoun & Oraux de concours & Exercice officiel T E S Exercices de statistique. Séries simples Une série simple X = (x i, n i ) (x i =terme d indice i de la série

Plus en détail

Correction Examen Analyse des Données

Correction Examen Analyse des Données I.U.T de Caen STID 2ème année Département STID Année Universitaire 2005-2006 Responsable de cours : Alain LUCAS Correction Examen Analyse des Données Partie A Analyse en Composantes Principales 1. On dénombre

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Master 1 SES C. Hardouin Analyse en Composantes Principales Les données Le tableau des données initiales Définitions X 1 X p x 1,1... x 1,p X =. x i,k. x n,1... x n,p Individu 1 Individu n Tableau des

Plus en détail

Analyse des structures sousjacentes

Analyse des structures sousjacentes Analyse des structures sousjacentes des données Analyse factorielle Analyse de correspondance LISREL M. Dramaix Laboratoire de Statistique Médicale 14/11/2003 Analyse factorielle OBJECTIFS Réduire la dimension

Plus en détail

Chapitre 9. Analyse de la variance

Chapitre 9. Analyse de la variance 1 Chapitre 9. Analyse de la variance Dans ce chapitre nous étudions comment l analyse de la variance de Y permet de tester l égalité des moyennes conditionnelles de cette variable numérique dans les sous-populations

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40

Espaces vectoriels euclidiens. () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40 Espaces vectoriels euclidiens () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40 1 Produit scalaire, norme, espace euclidien 2 Orthogonalité Dans tout ce cours, E désigne un R espace vectoriel. () Espaces vectoriels

Plus en détail

Fonctions 1 : généralités

Fonctions 1 : généralités Fonctions 1 : généralités Acquis de troisième : Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe

Plus en détail

Table des matières Statistique Descriptive pour Une Variable Étude Conjointe de Deux Variables Corrélation linéaire

Table des matières Statistique Descriptive pour Une Variable Étude Conjointe de Deux Variables Corrélation linéaire Statistiques 1 Table des matières 1 Statistique Descriptive pour Une Variable 3 1.1 Présentation...................................... 3 1.1.1 Étapes d une statistique............................ 3 1.1.

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace I Modes de repérage dans l espace 1 I.A Coordonnées cartésiennes...................... 1 I.B Coordonnées cylindriques...................... 2 I.C Coordonnées sphériques.......................

Plus en détail

Chapitre VI : notions de statistiques appliquées aux mesures

Chapitre VI : notions de statistiques appliquées aux mesures Chapitre VI : notions de statistiques appliquées au mesures "Le mot statistique désigne à la fois un ensemble de données d'observations et l'activité qui consiste dans leur recueil, leur traitement et

Plus en détail

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés

Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Chapitre 4 : Méthode des moindres carrés Table des matières 1 Introduction 2 11 Généralités 2 12 Notion de modèle et de regression linéaire multiple 2 2 Critère des moindres carrés - formulation 2 21 Critère

Plus en détail

Chapitre 2: Analyse en Composante Principale

Chapitre 2: Analyse en Composante Principale Chapitre 2: Analyse en Composante Principale Mohamed Essaied Hamrita ISMAI, Université Kairouan. Tunisie mhamrita@gmail.com http://hamrita.e-monsite.com/ Février 2014 Plan du chapitre Inroduction Motivation

Plus en détail

PASW/SPSS : Analyse en composantes principales (ACP)

PASW/SPSS : Analyse en composantes principales (ACP) PASW/SPSS : Analyse en composantes principales (ACP) Vincent Jalby 3 octobre 009 Analyse > Réduction des dimensions > Analyse factorielle 1 Mise en œuvre 1.1 Descriptives Statistiques - Caractéristiques

Plus en détail

Espaces vectoriels. I Espaces vectoriels. λ x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E. (λ x 1,λ x 2,...,λ x n )

Espaces vectoriels. I Espaces vectoriels. λ x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E. (λ x 1,λ x 2,...,λ x n ) Espaces vectoriels Notations du chapitre Dans ce chapitre désigne ou. I Espaces vectoriels Propriété 1.2 Soit E un espace vectoriel. 1) Pour tout vecteur x de E : 0. x = 0 E. 2) Pour tout scalaire λ :

Plus en détail

Fondements de l Apprentissage Automatique

Fondements de l Apprentissage Automatique Fondements de l Apprentissage Automatique Réduction de la dimensionalité hadrien.glaude@univ-lille1.fr Université Lille 1 - CRIStAL (SequeL) - Thales Systèmes Aéroportés Master 1 Info 1/28 1 2 3 4 5 Réduction

Plus en détail

programme de mathématiques 6ème Temps Espace Vocabulaire Catégorisation

programme de mathématiques 6ème Temps Espace Vocabulaire Catégorisation programme de mathématiques 6ème Temps Espace Vocabulaire Catégorisation 1. Organisation et gestion de données. Fonctions 1.1. Proportionnalité 1.2. Organisation et représentation de données - Lire, utiliser

Plus en détail

Plan. Composantes d un système. Réduction de dimension. Sélection de caractéristiques. Apprentissage

Plan. Composantes d un système. Réduction de dimension. Sélection de caractéristiques. Apprentissage Analyse et codage des signaux de reconnaissance des formes Méthodes statistiques pour la réduction de dimension Techniques d apprentissage Mohamed CHETOUANI Mohamed.Chetouani@upmc.fr 2 Composantes d un

Plus en détail

Considérations générales

Considérations générales Considérations générales - Heures complémentaires non certificatives: les matières reprises dans ce document constituent un supplément aux matières des cours de mathématique dans l optique d apporter aux

Plus en détail

Sommaire. ISBN Presses universitaires de Rennes, 2013,

Sommaire. ISBN Presses universitaires de Rennes, 2013, Sommaire 1 Analyse en Composantes Principales (ACP) 1 1.1 Données - notations - exemples.................... 1 1.2 Objectifs................................. 2 1.2.1 Étude des individus......................

Plus en détail

Mouvement d un solide en rotation autour d un axe fixe

Mouvement d un solide en rotation autour d un axe fixe Mouvement d un solide en rotation autour d un axe fixe II. Moment cinétique scalaire d un solide en rotation autour d un axe fixe 1. Moment cinétique d un point matériel par rapport à un point On appelle

Plus en détail

Annexe précisant l article 7. Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai

Annexe précisant l article 7. Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai Annexe précisant l article 7 Concours Ensai, spécialité «économie et gestion». Programme de l oral de mathématiques spécifique Ensai 1. Nombres complexes Le plan complexe : affixe d un point ; parties

Plus en détail

L'Analyse en Composantes Principales (ACP)

L'Analyse en Composantes Principales (ACP) L'Analyse en Composantes Principales (ACP) Un exemple élémentaire On considère la population constituée par 17 pays (ou individus) sur lesquels on a relevé les valeurs de deux caractères: l'espérance de

Plus en détail

Bilan fin de seconde. 1. Statistiques

Bilan fin de seconde. 1. Statistiques Bilan fin de seconde Les questions concernant des notions pour une première particulière sont précisées (remarque : les programmes de mathématiques de TL et TID sont les mêmes) Pour chaque question, il

Plus en détail

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn Chapitre 4 Les matrices 4 Notions de bases Définition Une matrice est un tableau rectangulaire contenant des nombres : a a n A a ij a m a mn Les matrices peuvent représenter toutes sortes d informations

Plus en détail

Chapitre 1. Géométrie

Chapitre 1. Géométrie Chapitre 1 Géométrie 1.1. On donne les points a = (1, ), b = (4, 4) et c = (4, 3) du plan. Déterminer a. les composantes des vecteurs ab et ba ; b. les coordonnées du milieu du segment ab ; c. les coordonnées

Plus en détail

Représentation de Jordan

Représentation de Jordan Représentation de Jordan Soit M une matrice carrée réelle de dimension n. On suppose dans ce projet que le polynôme caractéristique de M a n racines réelles. Certaines racines sont multiples. 1 Nombre

Plus en détail

Sommaire. Préface Introduction... 5

Sommaire. Préface Introduction... 5 Sommaire Préface................................. 1 Introduction.............................. 5 I Matrices et Opérations Matricielles : Notions de Base..... 9 I.1 Note historique.........................

Plus en détail

1 La méthode de l ACP

1 La méthode de l ACP Université de Montpellier 2 M2 MASS TP4 : Introduction au logiciel SAS Procédures statistiques multivariées : Analyse en Composantes Principales 1 La méthode de l ACP D après le cours de P. Besse www.math.univ-toulouse.fr/~besse

Plus en détail

Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation

Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation Exercice 1 Exemple d'ajustement affine par une méthode graphique, par la méthode des moindres carrés et de problème d'optimisation La société de Werloing a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES. Introduction CHAPITRE I STATISTIQUE DESCRIPTIVE

TABLE DES MATIÈRES. Introduction CHAPITRE I STATISTIQUE DESCRIPTIVE TABLE DES MATIÈRES Introduction... 21 CHAPITRE I STATISTIQUE DESCRIPTIVE I L observation statistique...2 I.1 Concepts de base... 2 I.2 L élaboration de tableaux statistiques... 29 I.21 Étude d un seul

Plus en détail

En cohérence avec l ensemble des programmes de mathématiques, l objectif général vise au développement de compétences.

En cohérence avec l ensemble des programmes de mathématiques, l objectif général vise au développement de compétences. Programme de première STI2D et STL Analyse et comparaison aux anciens programmes de STI Préambule Le programme est commun aux deux séries STI2D et STL. On ne distingue plus les six séries de STI (BO 1994),

Plus en détail

Chapitre 5 Statistiques descriptives bivariées

Chapitre 5 Statistiques descriptives bivariées Chapitre 5 Statistiques descriptives bivariées 1. Organisation des données 2. Distributions marginales 3. Distributions conditionnelles 4. Proportions associées à un couple de variables 5. Étude de deux

Plus en détail

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min.

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min. Durée en minutes x i [0; 20[ [20; 0[ [0; 40[ [40; 60[ [60; 90[ Nombre n i 4 10 14 6 6 TAB. 1 Traitement des dossiers. Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs). 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 Duree

Plus en détail

L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) L Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) L Analyse Factorielle des Correspondances (notée AFC) encore appelée Analyse des Correspondances Binaires, est un outil statistique dont l objectif est de

Plus en détail

ALGÈBRE LINEAIRE Module 2 Structure Euclidienne PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

ALGÈBRE LINEAIRE Module 2 Structure Euclidienne PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE LINEAIRE Module 2 Structure Euclidienne PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé December 5, 2008 Table des Matières Espaces euclidiens Orthogonalité - Espaces euclidiens..............................

Plus en détail

Biomécanique. Chapitre 1. Vecteurs et système de vecteurs

Biomécanique. Chapitre 1. Vecteurs et système de vecteurs Biomécanique Chapitre 1 Vecteurs et système de vecteurs 1 Repère 1. Définition Un repère est défini par la donnée d'un point O, son origine et de trois axes (x, y, z). Si ces trois axes sont perpendiculaires,

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

A. Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées. 31. Grandeur composée 93

A. Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées. 31. Grandeur composée 93 Sommaire Grandeurs et mesures exprimer les résultats dans les unités adaptées 31. Grandeur composée 93 32. Grandeurs produit : l aire, le volume, l énergie 95 33. Grandeurs quotient : la vitesse, le débit,

Plus en détail

Comme pour toutes les autres questions, d autres méthodes ou options sont évidemment possibles à condition d être justifiées.

Comme pour toutes les autres questions, d autres méthodes ou options sont évidemment possibles à condition d être justifiées. 0 0 3 3 EXERCICE Soit les matrices A = et B = 2 3 0 0. Calculer le déterminant de A. En déduire le rang de cette matrice. 0 0 0 Dét(A) = dét = dét 0 0 car (propriété P ) le déterminant d une matrice ne

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

Enseignante: A. GUERRAB

Enseignante: A. GUERRAB Enseignante: A. GUERRAB Mise en contexte En statistiques, plusieurs problèmes consistent à définir la relation qui existe entre deux variables statistiques : Le nombre d années d expérience et le nombre

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales One Pager Décembre 2013 Vol. 8 Num. 010 Analyse en Composantes Principales Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com «Pour les meilleurs ou les pires, les mathématiques

Plus en détail

ANALYSE DE DONNEES : TP3

ANALYSE DE DONNEES : TP3 Sébastien Arcanger Master2 Statistique -Économétrie, 2008-2009 ANALYSE DE DONNEES : TP3 Nous allons travailler sur des données concernant les départements français divisées en trois grands thèmes : la

Plus en détail

Statistique. Classe de terminale STMG - Lycée Saint-Charles. Patrice Jacquet

Statistique. Classe de terminale STMG - Lycée Saint-Charles. Patrice Jacquet Statistique Classe de terminale STMG - Lycée Saint-Charles Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2013-2014 Objectifs : Etude et représentation des séries statistiques à deux variables par des nuages de points

Plus en détail

Statistique : Résumé de cours et méthodes

Statistique : Résumé de cours et méthodes Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère

Plus en détail

Analyse de la variance

Analyse de la variance Plan Analyse de la variance - Chapitre VI - Notes de cours Statistique L3 MIASHS - Université de Bordeaux - Chapitre VI - L3 MIASHS- Analyse de la variance 1/37 Plan Plan 1 Introduction 2 3 4 5 - Chapitre

Plus en détail

Les corrigés des examens DPECF - DECF

Les corrigés des examens DPECF - DECF 48h après l examen sur www.comptalia.com 1 ère Ecole en ligne des professions comptables Spécialiste des préparations à l'expertise Comptable et des formations en compta-gestion via Internet Les corrigés

Plus en détail

Troisième - Objectifs de l année en mathématique

Troisième - Objectifs de l année en mathématique Troisième - Objectifs de l année en mathématique Chapitre 0 : Les nombres réels *Document téléchargeable sur http://www.cspu.be/~termollem dans «Documents» 1. Nommer les ensembles de nombres et donner

Plus en détail

08/10/2014. Sources. Plan de cours. Sources ayant servi à la construction de ce support de cours : Introduction :

08/10/2014. Sources. Plan de cours. Sources ayant servi à la construction de ce support de cours : Introduction : Ces supports de cours ont été construits dans le cadre d'un enseignement d'analyse de données et représentation cartographique à l'université Paris 1 Panthéon-Sorbonne. Sources Sources ayant servi à la

Plus en détail

Apprentissage non-supervisé. Réduction de dimensionalité. Modèles à variables latentes continues.

Apprentissage non-supervisé. Réduction de dimensionalité. Modèles à variables latentes continues. Département d'informatique et de recherche opérationnelle IFT3395/6390 Fondements de l apprentissage machine Apprentissage non-supervisé Réduction de dimensionalité. Modèles à variables latentes continues.

Plus en détail

L espace vectoriel n. 1. Vecteurs de n Opérations sur les vecteurs

L espace vectoriel n. 1. Vecteurs de n Opérations sur les vecteurs L espace vectoriel n Vidéo partie Vecteurs de n Vidéo partie Eemples d'applications linéaires Vidéo partie Propriétés des applications linéaires Ce chapitre est consacré à l ensemble n vu comme espace

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales. Analyse en Composantes Principales. Analyse en Composantes Principales. Exemples

Analyse en Composantes Principales. Analyse en Composantes Principales. Analyse en Composantes Principales. Exemples : Méthode qui permet d identifier les corrélations entre des variables. En anglais : Principal Component Analysis (PCA / 46 / 46 Plus précisément : L ACP traite un tableau d individus variables. individus

Plus en détail

Chap2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE. 2.1 cas univarié 2.2 cas bivarié

Chap2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE. 2.1 cas univarié 2.2 cas bivarié Chap2. STATISTIQUE DESCRIPTIVE 2.1 cas univarié 2.2 cas bivarié 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE Synthèse de l information contenue dans les données Tableaux Graphiques Résumés numériques ü qualité des données

Plus en détail

Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net :

Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net : Troisièmes : formulaire de révision pour le brevet et la seconde. Cours disponibles sur le net : http://titaile.free.fr (sans le www) I. Calcul. Revoir impérativement «développer, factoriser, résoudre

Plus en détail

Opérateurs classiques en coordonnées sphériques

Opérateurs classiques en coordonnées sphériques Opérateurs classiques en coordonnées sphériques gradient divergence rotationnel 1 Opérateurs classiques en coordonnées sphériques Laplacien Où L 2 est le Laplacien angulaire 2 Résolution de l équation

Plus en détail

Introduction à la statistique citoyenne 1 Synopsis 8. Chapitre 1. Les enquêtes 11

Introduction à la statistique citoyenne 1 Synopsis 8. Chapitre 1. Les enquêtes 11 Introduction à la statistique citoyenne 1 Synopsis 8 Chapitre 1. Les enquêtes 11 1 Les fondements de la «fabrication» des chiffres 11 A Sondage ou recensement? 11 B L échantillon et le «hasard» 12 C Le

Plus en détail

Formulaire de mathématiques

Formulaire de mathématiques NOM : Prénom : Classe : Formulaire de mathématiques Ce formulaire contient l essentiel de la matière de 3 ème ainsi que des synthèses de 4 ème. Complète-le, prends-le avec toi au cours et au remédiations

Plus en détail

N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points

N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points N1MA3W01 Algèbre 2 - Examen final En janvier, 3h - 35 points Exercice 0 (sur 6 points) 1. Calculer les valeurs et vecteurs propres des matrices 1 2 0 0 0 0 A = 2 1 0 et B = 1 0 0. 0 0 3 6000 80008 4 2.

Plus en détail

Analyse Factorielle multiple et intégration de données. Application à la variabilité de la qualité de viande de porc.

Analyse Factorielle multiple et intégration de données. Application à la variabilité de la qualité de viande de porc. [Statomique] 15 mai 2012 Analyse Factorielle multiple et intégration de données. Application à la variabilité de la qualité de viande de porc. D Laloë & B Salmi Analyses multivariées: - Analyse factorielle

Plus en détail

Statistique Descriptive II (M1201)

Statistique Descriptive II (M1201) Nathalie Villa-Vialaneix Illustration du cours de Statistique Descriptive II (M1201) Année scolaire 2013/2014 Université de Perpignan Via Domitia, IUT STatistique et Informatique Décisionnelle (STID) Table

Plus en détail

STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES

STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES L1 Psycho Statistiques descriptives STATISTIQUES DESCRIPTIVES BIVARIÉES Exercice 1. Un site internet reçoit 113 457 visiteurs durant un mois. On désigne par X le navigateur internet utilisé et Y le système

Plus en détail

Comparaison entre ancien et nouveau programmes de 1 ère STI2D/STL

Comparaison entre ancien et nouveau programmes de 1 ère STI2D/STL Comparaison entre ancien et nouveau programmes de 1 ère STI2D/STL Introduction Le programme est commun aux deux séries STI2D et STL. Comme en 1èreS, en plus des trois domaines «Analyse, Géométrie, Statistiques

Plus en détail

S.I.I. Calcul vectoriel Annexe Calcul vectoriel

S.I.I. Calcul vectoriel Annexe Calcul vectoriel Calcul vectoriel Contenu I Vers l espace euclidien... 2 I.1 Notions de groupe... 2 I.2 Espace vectoriel... 2 I.3 Espace affine... 2 II Les Produits de l espace euclidien... 3 II.1 Le produit scalaire...

Plus en détail

Statistiques descriptives

Statistiques descriptives En tant que science, les statistiques ne se limitent pas à une description empirique des propriétés numériques d un objet. Elles jouent un rôle bien plus important en proposant, à partir des données, des

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Espaces vectoriels

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Espaces vectoriels Cours de remise à niveau Maths 2ème année Espaces vectoriels C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 cathy.maugis@insa-toulouse.fr C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 33 Plan 1 Généralités 2 Sous-espace vectoriel

Plus en détail

Corrigé des exercices de la feuille n o 5. 0 = Cov(2X + Y, X 3Y ) = 2Var(X) 3Var(Y ) 5Cov(X, Y ),

Corrigé des exercices de la feuille n o 5. 0 = Cov(2X + Y, X 3Y ) = 2Var(X) 3Var(Y ) 5Cov(X, Y ), Université Pierre et Marie Curie L3 - Mathématiques Année 3-4 Probabilités - LM39 Corrigé des exercices de la feuille n o 5 Exercice Puisque X et Y sont centrés, les données de l énoncé entraînent que

Plus en détail

Approche multidimensionnelle : approche par profils sensoriels. Construction des ellipses de confiance. Nuage des individus.

Approche multidimensionnelle : approche par profils sensoriels. Construction des ellipses de confiance. Nuage des individus. Caractérisation de Mise en relation de données sensorielles et de données instrumentales Cartographie des préférences Évaluation de la performance d un panel Comparaison de la performance de plusieurs

Plus en détail

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques

Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Concours d accès au cycle de préparation à l agrégation de Mathématiques Session Février 2014 Épreuve d algèbre et de géométrie Durée 4 heures Le sujet comporte 5 pages, en plus de cette page de garde.

Plus en détail