L Analyse en Composantes Principales. A. Morineau

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1 L Analyse en Composantes Principales A. Morineau

2 L ACP, qu est ce?

3 L ACP, qu est ce?

4 Principe géométrique de l ACP X(n,p) tableau de données A. Morineau

5 Principe géométrique de l ACP i R p i' ressemblance des individus X(n,p) tableau de données A. Morineau

6 Principe géométrique de l ACP i R p i' ressemblance des individus X(n,p) j j' tableau de données R n liaisons entre les variables A. Morineau

7 Exemple introductif A. Morineau

8 Exemple introductif Les individus : 24 modèles de voitures A. Morineau

9 Exemple introductif Les individus : 24 modèles de voitures Les variables : «moteur» : puissance, vitesse, cylindrée «dimensions» : poids, longueur, largeur Objectifs : visualiser Les modèles qui se ressemblent au vu des 6 variables Les variables les plus corrélées A. Morineau

10 Les données A. Morineau

11 Ressemblances entre individus : problème des unités de mesure Cylindrée en litres Cylindrée en cm Poids en Kg 0,8 1,5 Poids en tonnes La forme du nuage de points est très sensible au choix des unités de mesure (à l'arbitraire des unités de mesure). Arbitraire des unités = Dispersion inégale entre les variables A. Morineau

12 Ressemblances entre individus : Solution : centrer et réduire les données Centrer : retrancher la moyenne positions relatives des individus Réduire : diviser par l écart type enlever l arbitraire de l unité de mesure Distance entre individus : A. Morineau

13 Les données centrées réduites A. Morineau

14 Ressemblances entre individus : Calcul des distances entre individus Exemple : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + + ( )² = A. Morineau

15 Ressemblances entre individus Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

16 Ressemblances entre individus Vitesse Rover 827i Renault 25 Bmw 530i Puissance Ford Sierra Ford Fiesta Fiat Uno Cylindrée A. Morineau

17 Ressemblances entre individus : forme générale du nuage Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

18 Ressemblances entre individus : forme générale du nuage Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

19 Ressemblances entre individus : principe de détermination des axes Nuage de n points-individus dans R p Pour avoir la «meilleure» image approchée du nuage en projection sur une droite H : Respecter au mieux les inter-distances entre tous les couples (H) A. Morineau

20 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie 1 er axe : direction d allongement maximal du nuage de points Direction selon laquelle la dispersion autour du centre de gravité (l inertie) est maximale. A. Morineau

21 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie Vitesse Puissance Cylindrée A. Morineau

22 Ressemblances entre individus : 1 er axe d inertie Vitesse Axe 1 Puissance Cylindrée A. Morineau

23 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie 2 ème axe d inertie : direction orthogonale à la première selon laquelle la dispersion résiduelle est maximale. 3 ème axe On décompose ainsi l inertie sur un système d axes orthogonaux deux à deux. A. Morineau

24 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie A. Morineau

25 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 1 A. Morineau

26 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 1 Axe 2 A. Morineau

27 Ressemblances entre individus : détermination des axes d inertie Axe 3 Axe 1 Axe 2 A. Morineau

28 Mesurer l inertie décomposée sur chaque axe L inertie totale du nuage se décompose sur les axes principaux Pour p variables, p axes reconstituent l inertie totale du nuage A. Morineau

29 La meilleure représentation des distances entre individus A. Morineau

30 Coordonnées des individus et décomposition de l inertie A. Morineau

31 Distance calculée sur les données de départ : Meilleure représentation des distances entre individus d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + ( )² = Distance calculée sur les axes factoriels : TOUS les axes : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² + ( )² = les 2 PREMIERS axes : d² (Honda Civic, Opel Omega) = ( )² + ( )² = A. Morineau

32 Liaisons entre les variables : coefficient de corrélation y y R ne mesure pas la forme du nuage mais mesure la parenté entre la forme du nuage et une droite. y r = -1 x y -1 < r < 0 x On s'intéresse au degré de linéarité de la liaison entre deux variables. y r = 0 x y r = 0 x 0 < r < 1 A. Morineau x r = 1 x

33 Corrélation : domaine de l étude a b La relation est linéaire dans la plage [a,b] A. Morineau

34 Corrélation et causalité 30 nb de TV (x1000) R² = 0, nb de malades mentaux/100hab A. Morineau

35 Liaisons entre les variables : matrice des corrélations A. Morineau

36 Liaisons entre les variables Une variable est définie par les n valeurs qu elle prend sur les individus. Les variables sont centrées réduites, on a donc : (1) (1) est l équation d une sphère de rayon 1 centrée en zéro : les vecteurs variables sont donc de longueur 1 et se disposent sur la surface d une sphère dans R n. A. Morineau

37 Liaisons entre les variables individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

38 Liaisons entre variables : distance entre les points variables Distance basée sur la corrélation : j o o o j k k k j cor(j,k) 1 d(j,k) 0 ( d² 0 ) cor(j,k) 0 d(j,k) 2 ( d² 2 ) cor(j,k) -1 d(j,k) 2 ( d² 4 ) A. Morineau

39 Liaisons entre variables : distance entre les points variables A. Morineau

40 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

41 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 1 er Plan individu 3 Largeur Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

42 Liaisons entre variables : ajustement des plans factoriels 1 et 2 1 er Plan individu 3 Largeur 2 ème Plan Longueur Poids individu 2 Cylindrée individu 1 Puissance Vitesse A. Morineau

43 Meilleure représentation des liaisons entre variables A. Morineau

44 Nuage des variables Nuage des p variables (approximation dans R n ). Un plan factoriel (v1,v2) coupe la sphère suivant un grand cercle (de rayon 1). Les points-variables tombent à l intérieur. Espace R n e1 e2 Projection de quatre variables 4 e e1 3 A. Morineau

45 Coordonnées des variables et décomposition de l inertie Coordonnées des variables : Les données ont été centrées et réduites : les coordonnées des variables sont aussi les corrélations de ces variables avec les axes factoriels. Les sommes des carrés des coordonnées sur chaque axe donnent la décomposition de l inertie sur ces axes. A. Morineau

46 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires (j) Les variables peuvent être vues comme des individus particuliers qui en représentent les directions. X Individu (i) Ces individus synthétiques valent 1 dans la direction de la variable et 0 dans les autres directions : variable (j) variable (1) A. Morineau

47 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

48 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

49 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

50 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires Vitesse Axe 1 Puissance Axe 2 Cylindrée A. Morineau

51 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires les anciens axes unitaires sont l image des variables dans l espace contenant les points individus. A. Morineau

52 Représentation simultanée : les anciens axes unitaires et les individus A. Morineau

53 Représentation simultanée : interprétation des anciens axes unitaires A. Morineau

54 Représentation simultanée : interprétation des anciens axes unitaires A. Morineau

55 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces On a vu que les anciens axes unitaires sont l image des variables dans l espace contenant les points individus : les coefficients nous donnent les relations de transition entre l espace de départ et le nouvel espace de représentation des données. A. Morineau

56 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces Les axes factoriels sont des combinaisons linéaire des variables centrées et réduites ; les coefficients de ces combinaisons sont les colonnes du tableau des anciens axes unitaires. Pour l axe1 : 0.45 CYLINDRE PUISSANC VITESSE POIDS LONGUEUR LARGEUR : le premier axe indique un effet de taille Pour l axe 2 : 0.01 CYLINDRE PUISSANC VITESSE POIDS LONGUEUR LARGEUR : le deuxième axe oppose les caractéristiques «moteur» aux autres. A. Morineau

57 Une autre interprétation des anciens axes unitaires : relations entre les deux espaces A partir des coordonnées factorielles, on peut revenir aux variables de départ. En prenant que les premiers axes factoriels, on reconstitue de manière approchée les variables de départ. CYLINDRE = 0.45 axe axe axe3 : reconstitution approchée de la variable cylindre à partir des 3 premiers axes factoriels. A. Morineau

58 Principes mathématiques de l ACP : détermination des axes d inertie X est la matrice des données centrées réduites (on présente les calculs dans le cas d une ACP normée) Nuages de points associés : Les individus : n points dans un espace de dimension p Les variables : p points dans un espace de dimension n Ajustement dans R p : maximiser u (X X)u avec u u = 1 Le vecteur qui maximise cette expression est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de X Xu = λu Ajustement dans R n : maximiser v (XX )v avec v v = 1 Le vecteur qui maximise cette expression est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de XX v = µv A. Morineau

59 ACP normée et non normée Normée Distance entre individus Non normée Matrice diagonalisée (x',x) corrélations covariances Distance entre variables A. Morineau

60 Principes mathématiques de l ACP : relations de transition relations entre les deux espaces (relations de transition) ajustement dans R p : (X X)u = λu u est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de X X : λ ajustement dans R n : (XX )v = µv v est le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de XX : µ On peut écrire : XX (Xu) = λ(xu) i.e. λ est une valeur propre de XX associée au vecteur propre Xu ; puisque µ est la plus grande valeur propre de XX, on a nécessairement : λ < µ. X X(X v) = µ(x v) i.e. m est une valeur propre de X X associée au vecteur propre X v ; puisque λ est la plus grande valeur propre de X X, on a nécessairement : µ < λ. On a donc λ = µ En imposant les contraintes de normalisation des vecteurs propres : (Xu) Xu = λ et (X v) (X v) = µ on obtient les relations suivantes appelées relations de transition : A. Morineau

61 Relations de transition en ACP A. Morineau

62 Influence des individus : les contributions Dans quelle proportion chaque point contribue-t-il à l inertie λ α du nuage projeté sur l axe u α? G i G i G i G i' G i' G i' Utilité Pour donner une signification à un axe, s intéresser surtout aux points ayant une forte contribution. (Ils fixent la position de l axe dans R p ) A. Morineau

63 Influence des individus : les contributions A. Morineau

64 Qualité de représentation des individus : les cosinus carrés Le point (i) dans R p est plus ou moins «proche» de chaque axe (α) de projection. En projection, la proximité entre points est d autant plus «véridique» que les points sont proches de l axe de projection. Pour analyser les proximités entre points, s intéresser surtout aux points ayant un fort cosinus carré. (Proximités peu modifiées en projection.) (i) (i) G u α G u α Utilité A. Morineau

65 Qualité de représentation des individus : les cosinus carrés A. Morineau

66 Eléments supplémentaires Individus et variables continues A. Morineau

67 Eléments supplémentaires Variables nominales A. Morineau

68 Eléments supplémentaires Modalités d une variable nominale A. Morineau

69 Références Lebart L., Morineau A., Piron M. Statistique Exploratoire Multidimensionnelle. Dunod, Paris, Lebart L., Morineau A., Warwick K. Multivariate Descriptive Statistical Analysis. J. Wiley, New York, A. Morineau

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