ACP Voitures 1- Méthode

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1 acp=princomp(voit,cor=t) ACP Voitures 1- Méthode Call: princomp(x = voit, cor = T) Standard deviations: Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp variables and 24 observations.

2 ACP Voitures 1- Méthode summary(acp) Importance of components: Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Standard deviation Proportion of Variance Cumulative Proportion Comp.6 Standard deviation Proportion of Variance Cumulative Proportion Rq : sum(acp$sdev^2)=6

3 ACP Voitures 2- Choix du nombre d axes Critère de Kaiser : (acp$sdev)^2 Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp On ne retient que la première composante qui retient 77,6% de l inertie totale

4 ACP Voitures 2- Choix du nombre d axes Critère du coude : plot(acp) On sélectionne deux axes, représentant 92,8% de l inertie totale.

5 ACP Voitures 2- Choix du nombre d axes Scree-test de Catell list(acp$sdev^2,diff(acp$sdev^2),diff(diff(acp$sdev^2))) [[1]] Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp [[2]] Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp [[3]] Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp Conduit à retenir 3 composantes

6 ACP Voitures 2- Choix du nombre d axes Conclusion : Un bon compromis est de considérer deux composantes, représentant à peu près 93% de l inertie totale.

7 ACP Voitures 3- Etude de l axe 1 Individus : Contribuent essentiellement les individus dont les coordonnées sur l axe 1 (composantes principales) sont > en valeur absolue à la racine de la valeur propre d ordre 1, égale à , sous réserve qu ils soient bien représentés sur l axe.

8 ACP Voitures 3- Etude de l axe 1 qlt=(acp$scores^2/apply(acp$scores^2,1, sum))[,1] tab=cbind(contrib=acp$scores[,1],qlt) tab1=tab[tab[,1]<0,] tab2=tab[tab[,1]>0,] contrib qlt Renault_ Bmw_530i Rover_827i Renault_ Opel_Omega Peugeot_405_Break Ford_Sierra Bmw_325iX Audi_90_Quattro Ford_Scorpio Renault_Espace VW_Caravelle contrib qlt Honda_Civic Renault_ Fiat_Tipo Peugeot_ Citroen_BX Nissan_Vanette Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_ Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport

9 ACP Voitures 3- Etude de l axe 1 L'axe 1 oppose la Bmw 530i, la Rover 827i, la Renault 25 et la Ford Scorpio à la Fiat Uno, la Ford Fiesta, la Citroen-ax-sport, la Peugeot 205 Rallye et la Peugeot 205 et éventuellement Seat Ibiza SX I et le Honda Civic, c est à dire les grosses berlines aux citadines. Tous les modèles sont assez bien représentés sur l'axe 1, à part la Nissan Vanette, la Peugeot_405 et la Renault 21.

10 Vitesse Bmw_325iX Peugeot_205_Rallye Citroen-ax-sport Audi_90_Quattro Comp Puissance Bmw_530i Rover_827i Cylindre Poids Longueur Largeur Renault_25 Ford_Scorpio Seat_Ibiza_SX_I Peugeot_205 Honda_Civic Peugeot_405_Break Fiat_Uno Renault_19 Citroen_BX Ford_Sierra Peugeot_405 Fiat_Tipo Renault_21 Opel_Omega Renault_Espace Ford_Fiesta Nissan_Vanette VW_Caravelle Comp.1

11 ACP Voitures 3- Etude de l axe 1 Variables : On retient les variables telles que la coordonnée de u1 (premier vecteur propre) est supérieur en valeur absolue à 1/racine(nombre de variables)= Il n y a pas de problème de représentativité car ce sont les variables qui contribuent le plus qui sont le mieux représentées. loadings(acp)[,1] Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur [1,] L axe1 isole les modèles ayant de fortes valeurs de toutes leurs caractéristiques aux autres (effet taille)

12 ACP Voitures 3- Etude de l axe 1 Conclusion pour l axe 1: l axe 1 est un axe de «taille». Il oppose les grosses berlines puissantes et de grande dimension aux citadines de faible dimension et peu puissantes.

13 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 Individus : Contribuent essentiellement les individus dont les coordonnées sur l axe 2 (composantes principales) sont > en valeur absolue à la racine de la valeur propre d ordre 2, égale à , sous réserve qu ils soient bien représentés sur l axe.

14 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 qlt=(acp$scores^2/apply(acp$scores^2,1,su m))[,2] tab=cbind(contrib=acp$scores[,2],qlt) tab1=tab[tab[,1]<0,] contrib qlt Renault_ e-02 Fiat_Tipo e-02 Peugeot_ e-01 Renault_ e-01 Citroen_BX e-02 Opel_Omega e-01 Ford_Sierra e-01 Ford_Scorpio e-03 Renault_Espace e-01 Nissan_Vanette e-01 VW_Caravelle e-01 Ford_Fiesta e-02 Fiat_Uno e-05 tab2=tab[tab[,1]>0,] contrib qlt Honda_Civic Bmw_530i Rover_827i Renault_ Peugeot_405_Break Bmw_325iX Audi_90_Quattro Peugeot_ Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport

15 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 L axe 2 oppose les voitures familiales (vans ou volumineuses) - VW caravelle, Nissan caravelles et accessoirement ford fiesta et renault espace-, aux sportives (et accessoirement routières) - Bmw_325iX, Audi_90_Quattro Peugeot_205_Rallye, Seat_Ibiza_SX_I et Citroen-axsport -

16 Vitesse Bmw_325iX Peugeot_205_Rallye Citroen-ax-sport Audi_90_Quattro Comp Puissance Bmw_530i Rover_827i Cylindre Poids Longueur Largeur Renault_25 Ford_Scorpio Seat_Ibiza_SX_I Peugeot_205 Honda_Civic Peugeot_405_Break Fiat_Uno Renault_19 Citroen_BX Ford_Sierra Peugeot_405 Fiat_Tipo Renault_21 Opel_Omega Renault_Espace Ford_Fiesta Nissan_Vanette VW_Caravelle Comp.1

17 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 Variables : On retient les variables telles que la coordonnée de u2 (deuxième vecteur propre) est supérieur en valeur absolue à 1/racine(nombre de variables)= Il n y a pas de problème de représentativité car ce sont les variables qui contribuent le plus qui sont le mieux représentées.

18 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 tab1=loadings(acp)[loadings(acp)[, 2]<0,2] tab2=loadings(acp)[loadings(acp)[,2]> 0,2] Poids Longueur Largeur Cylindre Puissance Vitesse

19 ACP Voitures 4- Etude de l axe 2 Conclusion : L axe 2 oppose les voitures familiales (VW caravelle, Nissan caravelles et accessoirement ford fiesta et renault espace), imposantes mais lentes aux sportives (Bmw_325iX,Audi_90_Quattro Peugeot_205_Rallye, Seat_Ibiza_SX_I et Citroen-axsport), de petit gabarit (moins larges que la moyenne et aussi accessoirement moins longues et moins lourdes) mais roulant vite et puissantes.

20 Classification 1- Méthode Ici, il y a peu d individus et n-p est raisonnable. La méthode la plus appropriée est la CAH. On va utiliser la métrique inverse des écartstypes (tableau centré réduit, puis utilisation de la métrique Euclidienne), et la distance de Ward comme stratégie d agrégation. >voi=scale(voit)*sqrt(24/23) On peut vérifier que l inertie du nuage de points individus=nombre de variables (car le tableau est centré réduit ): > sum(voi^2)/24 [1] 6

21 Classification 1- Méthode > cl=hclust(dist(voi)^2, method="ward") Perte d inertie inter-classes (distance d agrégation) à chaque agrégation : >dib=cl$height/48 [1] [7] [13] [19]

22 Classification on vérifie: >sum(dib) [1] 6 Ainsi, l inertie interclasses passe de 6 (=inertie totale) à 6- sum(dib)=0.

23 Classification 2- Choix du nombre de classes Pourcentage d inertie inter conservé à chaque itération > r2=(6-cumsum(dib))/6;r2 [1] e e e e e-01 [6] e e e e e-01 [11] e e e e e-01 [16] e e e e e-01 [21] e e e-16 >r2=r2[24-1:24] > plot(r2,type="b", main="r² : % de variance inter expliquée", cex=0.5, xlab=«nombre de classes")

24 Classification 2- Choix du nombre de classes Pourcentage de variation perdu à chaque itération > sprs2=dib/6;sprs2 [1] [6] [11] [16] [21] >sprs=sprs2[24-1:24] > plot(sprs2,type="b", cex=0.5, main="r² semi-partiel",xlab=«nombre de classes")

25 Classification 2- Choix du nombre de classes

26 Dendogramme

27 Classification 2- Choix du nombre de classes Conclusion : Avec le R2 : La première chute notable du % de variance interclasses eu lieu au passage de 7 à 6 classes, où l on passe de 91% à 87% de l inertie totale. Un deuxième décrochement du % de variance interclasses a lieu lorsque l on passe à deux classes. Jusqu à 3 classes, la perte d inertie inter est tolérable 3 classes restituent encore 75% de l inertie totale (ie, de l information contenue dans les données). Il semble que le bon choix soit 7 classes, mais si cela fait trop ou qu elles ne sont pas interprétables, on peut en choisir 3. Avec le R2 semi-partiel : le pic suivi d un creux dans le graphe se fait au passage de 6 à 7 classes, ensuite la perte est beaucoup trop importante, ce qui conduit par ce critère à choisir 7 classes. On retrouve un saut sur le dendogramme au passage de 7 à 6 classes.

28 Classification 3- Identification des classes >plot(cl,hang=-1,cex=0.7); rect.hclust(cl, k=7, border="red"); rect.hclust(cl, k=7, border=«blue")

29 Classification 3- Identification des classes Vérification de la stabilité des classes par partitionnement km=kmeans(voi,7) ; sort(km$cluster) Renault_19 Fiat_Tipo Peugeot_405 Renault_ Citroen_BX Bmw_325iX Audi_90_Quattro Opel_Omega Peugeot_405_Break Ford_Sierra Renault_Espace Honda_Civic Peugeot_205_Rallye Seat_Ibiza_SX_I Citroen-ax-sport Bmw_530i Rover_827i Renault_25 Ford_Scorpio Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_205 Nissan_Vanette VW_Caravelle

30 Classification 3- Identification des classes

31 Classification 3- Identification des classes C1(n=4) C4 C2(n=5) C1 C3(n=4) C5 C4(n=4) C3 C5(n=2) C2 C6(n=2) C7 C7(n=3) Petites Berlines Grandes volumin routières vans petites sportives moyennes routières euses Honda_Civic Peugeot_205 _Rallye Seat_Ibiza_S X_I Citroen-axsport Renault_19 Fiat_Tipo Peugeot_405 Renault_21 Citroen_BX Bmw_530i Rover_827i Renault_25 Ford_Scorpio Opel_Omega Peugeot_405 _Break Ford_Sierra Renault_Esp ace Bmw_325iX Audi_90_Qu attro Nissan_Vane tte VW_Caravell e C6 Ford_Fiesta Fiat_Uno Peugeot_205

32 Classification 4- Caractérisation Calcul des moyennes par classes sur le tableau centré réduit > km$center (classes de la k-means) Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur On compare les moyennes à 0.

33 Classification 4- Caractérisation Calcul de l excentricité des classes= distance renormalisée du centre de gravité de la classe au centre de gravité du nuage= distance du centre de gravité du tableau centré réduit à 0 apply(km$centers^2,1,sum) Calcul des moyennes par classes du tableau brut tab= cbind(voit,class=cutree(cl,k=7)) t=matrix(rep(0,49),7,7) for(i in 1:7){t[i,]= apply(tab[which(tab[,7]==i),],2,mean)}

34 Classification 4- Caractérisation Moyennes brutes (avec classes de la CAH) C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 total Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur excentricité

35 Classification 4- Caractérisation

36 Classification 5- Représentation dans les axes factoriels de l ACP (programme n 3 du cours modifié cl=hclust(dist(voi), method="ward") p = princomp(voi) u = p$loadings x = (t(u) %*% t(voi))[1:2,] x = t(x) plot(x, col=cutree(cl, k=7), pch=3, lwd=3, xlab="caractéristiques fortes--- faibles", ylab="volumineuses---puissantes") text( x[,1], x[,2], attr(x, "dimnames")[[1]],col=cutree(cl, k=7),cex=0.7 )

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38 Classification

39 Discrimination >tab= cbind(voit,class=cutree(cl,k=7)) >library(mass) >a=lda(class~cylindre+puissance+vitesse+poids+longueur+largeur,dat a=tab) Call: lda(class ~ Cylindre + Puissance + Vitesse + Poids + Longueur + Largeur, data = tab) Prior probabilities of groups:

40 Discrimination Group means: Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur

41 Discrimination Coefficients of linear discriminants: LD1 LD2 LD3 LD4 LD5 Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur

42 Discrimination Proportion of trace: LD1 LD2 LD3 LD4 LD5 LD Deux axes conservent à peu près 87% de l information donc on n interprètera que les deux premiers axes.

43 Discrimination > rbind(a$mean,mean(voi)) Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur

44 Discrimination > D=matvoi%*%a$scaling > cor(voi,d[,1:2]) LD1 LD2 Cylindre Puissance Vitesse Poids Longueur Largeur L axe 1 oppose les voitures dont les caractéristiques sont faibles à celles dont toutes les caractéristiques sont fortes. L axe 2 oppose les voitures lourdes et peu rapides aux autres.

45 Discrimination >plot(a, col = as.numeric(tab[,7]),dimen=2,xlab="faible-----forte",ylab=" lourdes et lentes")

46 Discrimination