BOUSSOLE DES TANGENTES

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1 - - Expérience no 30 BOUSSOLE DES TANGENTES I. INTRODUCTION La boussole des tangentes est un instrument qui permet la mesure de champs r magnétiques et en particulier du champ magnétique terrestre H T (en général, sa composante horizontale), par comparaison de l action de ce champ sur une aiguille aimantée et d un champ auxiliaire H r facilement déterminable, produit par un courant au voisinage de la boussole. Dans le cas qui nous occupe, ce courant circule dans une spire unique circulaire centrée sur l aiguille aimantée. Le cas général du champ magnétique produit par un courant se détermine en faisant usage de la loi de Biot et Savart: d r H = J 4 π d r s r r 3 Pour le champ au centre 0 d une spire la situation est simple, tous les ds r sont perpendiculaires à r et il suffit de faire la somme des dh r sur la circonférence de la spire: dh est au plan de la spire: dh = J ds r. r 4π r 3 H = dh = spire J 4πr spire ds donc

2 - - H = J r Am - () L aiguille aimantée est horizontale. On oriente le plan de la spire selon le plan du méridien magnétique (direction nord-sud). Lorsqu un courant J circule dans la spire le champ H r (J) s ajoute vectoriellement au champ terrestre H r T. Le dipôle magnétique que constitue l aiguille s oriente donc dans une direction donnée par la résultante des deux champs. Puisqu on a choisi une direction telle que H r soit perpendiculaire à H r T alors la grandeur de H r T est donnée simplement par: tgφ = r H r H T Il suffit donc de mesurer l angle φ de déviation de l aiguille lorsqu on applique un courant J dans la spire et de calculer le champ produit par ce courant. On voit ainsi la raison du nom donné à cet instrument. II. CALCUL DU CHAMP PRODUIT PAR UNE PORTION DE FIL RECTILIGNE Si le champ terrestre est connu, la boussole permet, inversement, de déterminer des champs magnétiques (conditions: champs statiques et du même ordre de grandeur que H r T). Déterminons le champ produit par un courant J passant dans un conducteur rectiligne et vertical: dh = J 4π d r s r r 3 H = J 4π L L dxsin α r r = d + x et x = - d cotgα dx = d dα sin α

3 - 3 - H = J 4π π α sin α d dα = J d ( + ctg α)sin α 4πd α π α α sin α dα = - J 4πd [cos(π-α )-(cosα )] cosα = L d + L et cos(p-α ) = - cosα = - L d + L donc H = J 4πd [ L d + L + L d + L ] Dans notre cas L = L = L/ où L est la longueur du fil vertical, il vient finalement: H = J 4πd L d + L 4 () III. EXERCICES a) Déterminer la composante horizontale du champ magnétique terrestre H r T en mesurant la déviation φ de l aiguille aimantée pour 8 valeurs différentes du courant circulant dans la spire. Inverser chaque fois le sens du courant et noter les valeurs φ + et φ - correspondantes. Faire la représentation sur le même graphique de tgφ ± =f(j ± ) en indiquant pour chaque point (J +,tgφ + ) et (J -,tgφ - ) les barres d erreur correspondant à l incertitude sur tgφ ± et à celles sur J ±. En tirer H r r T ± H T à partir de la pente de la meilleure droite et de celles des droites extrêmes. Pour tous les étudiants sauf les médecins: calculer la contribution de l'incertitude I sur l'incertitude de tgφ et obtenir H r T par la méthode des moindres carrés. (Voir calcul d erreur, Mémo et Exercices). Comparer le résultat obtenu par l une et/ou l autre méthode à la valeur de H r T à Neuchâtel:.3 Am -.

4 - 4 - Remarque: la valeur mesurée peut varier d une salle à l autre ou de laboratoire en laboratoire par suite de la présence de masses métalliques magnétiques dans les murs ou de courants parasites. b) Vérifier la relation () pour deux valeurs de courant J parcourant un fil rectiligne vertical de longueur L. Placer la boussole dans le plan nord-sud contenant le fil en donnant plusieurs valeurs à d la distance boussole-fil. Pour chaque valeur de d, déterminer H expérimentalement de la même façon que sous a), connaissant H r T (ex.a). Veiller à respecter les conditions de validité r de la méthode (champ appliqué du même ordre de grandeur que H T tg(φ)~!) Calculer d autre part H par l expression () pour les différentes valeurs de J et de d. Reporter sur le même graphique les courbes expérimentales et calculées de H en fonction de d d + L 4 pour les différentes valeurs de J. Discuter l accord des résultats et les influences relatives des paramètres (L, d et J) sur H calculé et mesuré (ainsi que les conditions de validité de la méthode). Il ne serait pas rigoureux de déterminer φ + puis φ -, de calculer φ = / (φ + + φ - ) et d en prendre la tg. En effet, on sait que tg φ tgφ. La méthode préconisée de reporter sur un graphique (ou d utiliser dans un calcul de moindres carrés) les points mesurés (J,tgφ + ) et (J,tgφ - ) permet de prendre une moyenne de manière correcte et/ou de constater des erreurs systématiques.

5 Montage expérimental: B : boussole A : ampèremètre R : rhéostat C : inverseur T : tableau (5 V) Sp : spire (exercice a) F : fil de longueur L (exercice b) Attention : tenir les téléphones portables distants à plus de m de la boussole, et utiliser un mètre en bois (pliable) près de la boussole. Alignements: exercice a exercice b M.Tesei