Lectures recommandées : Givone / sections 2.1 et 2.2 Lectures facultatives : Givone / section 2.3

Transcription

1 1.1 - Définitions Lectures recommandées : Givone / sections 2.1 et 2.2 Lectures facultatives : Givone / section 2.3 Forme générale d un nombre : (système de numération pondérée) [ a ] n 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m ( b ) partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Transparent 1.1

2 1.1 - Définitions [ a ] n 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m ( b ) b b L b b b b L b n 1 n m Valeur : a b + a b + L + a b+ a n 1 n 2 n 1 n a b + a b + L + a b m m Transparent 1.2

3 1.1 - Définitions SYSTÈME BASE CHIFFRES BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL a a i i i a a i { 0,1} { 0,1,2,3,4,5,6,7} { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Exemples : 1011,101 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 45,36 = ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) 243,6 = ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 12A,4 = A ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) Transparent 1.3

4 1.2 - Réalisation technique BINAIRE OCTAL DÉCIMAL HEXADÉCIMAL A B C D E F 10 Transparent 1.4

5 1.2 - Réalisation technique Réalisation technique : 1 manipulation de nombres binaires représentés par des tensions électriques 5 volts 0 v(t) +5 volts (bit «1») ou 0 volt (bit «0») Diagramme temporel v(t) 5 volts 0 volt t Information binaire : Transparent 1.5

6 1.2 - Réalisation technique Conversion analogique à numérique / sortie sérielle x(t) CONVERTISSEUR ANALOGIQUE À NUMÉRIQUE v(t) x(t) t v(t) 5 V V t Transparent 1.6

7 1.2 - Réalisation technique Conversion analogique à numérique / sorties parallèles x(t) CONVERTISSEUR ANALOGIQUE À NUMÉRIQUE v 3 (t) v 2 (t) v 1 (t) v 0 (t) v 3 (t) v 2 (t) v 1 (t) v 0 (t) 5 V 0 V 5 V 0 V 5 V 0 V 5 V 0 V t t t t Transparent 1.7

8 1.3 - Conversions Lectures recommandées : Givone / sections 2.4 à 2.6 Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE Exemple : binaire en décimal 1011,101 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 1011,101 = ( 2) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 1011,101 = 11,625 ( 2) ( 10) Transparent 1.8

9 1.3 - Conversions Exemple : octal en décimal 45,36 = ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) 45,36 = ( 8) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 45,36 = 37, ( 8) ( 10) Exemple : hexadécimal en décimal 12A,4 = A ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) ( 16) 12A, 4 = ( 16) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) 12A,4 = 298,25 ( 16) ( 10) Transparent 1.9

10 1.3 - Conversions Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE (Les parties entière et fractionnaire d un nombre sont traitées séparément) Partie entière : E = a b + L+ a b + a b + a b n n E n a0 a0 = an reste b b + L+ a b + a b + = Q + = Q a b b 0 Q1 n 3 0 a1 a1 = an reste b b + L+ a b + = Q + = Q a b b 1 Q2 n 4 0 a2 a2 = an reste b b + L+ a b + = Q + = Q a b b 2 (le processus est appliqué jusqu à l obtention du reste a n-1 ) Transparent 1.10

11 1.3 - Conversions Exemple : 57 (10) =? (2) Exemple : 637 (10) =? (16) 57 2 = 28 reste 1 (10) ou 1 (2) 28 2 = 14 reste 0 (2) 14 2 = 7 reste 0 (2) 7 2 = 3 reste 1 (2) = 39 reste 13 (10) ou D (16) = 2 reste 7 (16) 2 16 = 0 reste 2 (16) d où 637 (10) = 27D (16) 3 2 = 1 reste 1 (2) 1 2 = 0 reste 1 (2) d où 57 (10) = (2) Transparent 1.11

12 1.3 - Conversions Partie fractionnaire : F = a b + a b + a b + L+ a b m m bf = a b + a b + a b + L+ a b m m Partie entière Partie fractionnaire F 1 bf = a b + a b + a b + L+ a b m m Partie entière Partie fractionnaire F 2 (le processus est appliqué jusqu à l obtention d une seule partie entière qui sera a -m ) Transparent 1.12

13 1.3 - Conversions Exemple : 0,6875 (10) =? (2) 0, = 1,375 partie entière = 1 (10) ou 1 (2) 0,375 2 = 0,75 partie entière = 0 (2) 0,75 2 = 1,5 partie entière = 1 (2) 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 (2) d où 0,6875 (10) = 0,1011 (2) Exemple : 0,8125 (10) =? (8) 0, = 6,5 partie entière = 6 (10) ou 6 (8) 0,5 8 = 4,0 partie entière = 4 (8) d où 0,8125 (10) = 0,64 (8) Transparent 1.13

14 1.3 - Conversions Exemple : 0,7 (10) =? (2) 0,7 2 = 1,4 partie entière = 1 (10) ou 1 (2) 0,4 2 = 0,8 partie entière = 0 (2) 0,8 2 = 1,6 partie entière = 1 (2) 0,6 2 = 1,2 partie entière = 1 (2) 0,2 2 = 0,4 partie entière = 0 (2) RÉPÉTITION d où 0,7 (10) = 0, (2) Transparent 1.14

15 1.3 - Conversions Conversion entre les bases binaire et octale L+ a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + L ( a5 a4 a3) ( a2 a1 a0) ( a 1 a 2 a 3) = L ( a5 a4 a3) ( a2 a1 a0) ( a 1 a 2 a 3) = L L L Conclusion : Chaque groupe de trois bits d un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre octal correspondant. Transparent 1.15

16 1.3 - Conversions Exemple : , (2) =? (8) , (2) 1 3 5, (8) Exemple : 27,56 (8) =? (2) 2 7, 5 6 (8) , (2) Transparent 1.16

17 1.3 - Conversions Conversion entre les bases binaire et hexadécimale L+ a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + L ( a7 a6 a5 a4) ( a3 a2 a1 a0) = L ( a7 a6 a5 a4) ( a3 a2 a1 a0) = L L L Conclusion : Chaque groupe de quatre bits d un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre hexadécimal correspondant. Transparent 1.17

18 1.3 - Conversions Exemple : , 011 (2) =? (16) , (2) Exemple : 1A2,B (16) =? (8) 1 A 2, B (16) 2 A, 6 (16) , (2) Exemple : E2,0D (16) =? (2) , (2) E 2, 0 D (16) , 5 4 (8) , (2) Transparent 1.18

19 1.3 - Conversions Problèmes suggérés : Givone / #2.10bdfh #2.13 #2.14acd #2.17ad #2.18ad #2.19ad RÉPONSES : #2.10 b) 55,625 (10) d) 142,333 (10) f) 829,25 (10) 173,875 (10) #2.13 base 6 #2.14 a) ,11 (2) , (2) c) 243,6 (8) 312, (8) d) A3,C (16) CA,E66 (16) #2.17 a) 771,172 (8) 1F9,3D (16) d) 3446,5 (8) 726,A (16) #2.18 a) 11111,101 (2) d) , (2) #2.19 a) 11100,0011 (2) d) , (2) Transparent 1.19

20 Lectures recommandées : Givone / sections 2.7 à 2.9 Complément d un nombre : illustration du concept -10 ORIGINE DÉCALÉE ORIGINE 7 est le «complément à 10» de 3; il peut être utilisé pour représenter -3 Cette façon de représenter des valeurs négatives est utilisée puisque facilite la réalisation de certaines opérations arithmétiques en binaire. Transparent 1.20

21 Définition : le «complément à 2» d un nombre binaire Soit un nombre binaire positif : [ 0 ] n 2 1 0, 1 2 m ( 2 ) N = a L a a a a L a Le «complément à 2» de N est : N = 10 n 2 ( ) N ( ) Remarque : N = N Transparent 1.21

22 Exemple : N = 0101, 011 ( n = 4, m = 3 ) ( 2) N = 10000, , 011 = 1010,101 ( 2) ( 2) ( 2) Remarque : Pour obtenir le «complément à 2» d un nombre binaire, on inverse chacun des bits et on additionne 10 m ( 2) (c est-à-dire, on ajoute 1 au bit le moins significatiof). 1. Inversion de 0101, 011 ( 2) : 1010,100( 2) 3 2. On ajoute 10 : 1010, ,001 = 1010,101 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) Transparent 1.22

23 Définition : le «complément à 1» d un nombre binaire Soit un nombre binaire positif : [ 0 ] n 2 1 0, 1 2 m ( 2 ) N = a L a a a a L a Le «complément à 1» de N est : N 10 n m = 10 ( 2) ( 2) N Remarque : ( N) = N Transparent 1.23

24 Exemple : N = 0101, 011 ( n = 4, m = 3 ) ( 2) N = 10000, 000 0, , 011 ( 2) ( 2) ( 2) N =1010,100( 2 ) Remarque : Pour obtenir le «complément à 1» d un nombre binaire, on inverse chacun des bits. Inversion de 0101, 011 ( 2) : 1010,100( 2) Transparent 1.24

25 Attention! Il existe une différence entre «faire» le complément d un chiffre et le «format» complément. Format complément : permet d exprimer à la fois des nombres positifs et des nombre négatifs. valeurs positives sont représentées en binaire naturel et se limite à la demie inférieur des code disponible (le bit le plus significatif est 0). valeurs négatives sont représentées par le complément de la valeur absolue du chiffre que l on veut représenter (le bit le plus significatif est 0). Faire le complément : obtenir la valeur inverse d un nombre qui est déjà dans le format complément. Transparent 1.25

26 Soit un nombre binaire entier de 4 bits ( n = 4, m = 0 ) VALEUR BINAIRE AVEC SIGNE BINAIRE COMPLÉMENT À 1 BINAIRE COMPLÉMENT À ou ou Transparent 1.26

27 Remarques : En binaire avec signe, chaque nombre est constitué d une valeur exprimée par 3 bits précédés d un bit de signe 0 (positif) ou 1 (négatif). En binaire avec signe et en binaire à complément à 1, il y a deux façons d exprimer la valeur 0. En binaire à complément à 2, il y a une valeur négative supplémentaire (-8) qui peut être représentée. Toutefois, la valeur positive correspondante (+8) ne l est pas. Transparent 1.27

28 Addition et soustraction Ces deux opérations sont similaires car la soustraction peut être vue comme une addition avec l inverse du diminuteur comme cumulateur : ( ) N N = N + N où N 1 et N 2 sont des nombres positifs Il y a deux cas à étudier : on exprime la valeur négative par un complément à 1, on exprime la valeur négative par un complément à 2. Transparent 1.28

29 1 er cas : on exprime la valeur négative par un complément à 1 Soit N 2, le complément à 1 de N2 ( n m ) n m ( 2) 10( 2) ( ) N + N = N + N = + N N ( ) ( ) Conclusion : n m 10( ) 10 2 ( 2) + N1 N2, si N1 N2 est positif = n m 10, si ( 2) 10 N ( 2) N1 N2 1 N2 est négatif Si l addition engendre une retenue, on l élimine et on ajoute le bit 1 au bit le moins significatif ; le résultat est une valeur positive. Si l addition n engendre aucune retenue, le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 1. Transparent 1.29

30 Exemple : N = 29,5 = ,10 ( n = 6, m = 2 ) ( ) ( ) N 1 =100010,01( 2) N = 12, 25 = ,01 ( ) ( ) N 2 =110011,10( 2) N1 N2 = N1 + N , , , 0 0 N2 N1 = N2 + N , , , 1 0 On élimine la retenue ; le résultat est : ,00 (2) + 0,01 (2) = ,01 (2) ou 17,25 (10) Il n y a aucune retenue ; le résultat négatif est exprimé par le complément à 1 de ,01 (2) ou 17,25 (10) Transparent 1.30

31 2 e cas : on exprime la valeur négative par un complément à 2 Soit N 2, le complément à 2 de N2 ( n ) n ( 2) ( ) N + N = N + N = + N N ( ) Conclusion : n 10 ( 2) + N1 N2, si N1 N2 est positif = n 10, si N ( 2) N1 N2 1 N2 est négatif Si l addition engendre une retenue, on l élimine ; le résultat est une valeur positive. Si l addition n engendre aucune retenue, le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 2. Transparent 1.31

32 Exemple : N = 29,5 = ,10 ( n = 6, m = 2 ) ( ) ( ) N 1 =100010,10( 2) N = 12, 25 = ,01 ( ) ( ) N1 N2 = N1 + N , , , 0 1 N 2 =110011,11( 2) N2 N1 = N2 + N , , , 1 1 On élimine la retenue ; le résultat est : ,01 (2) ou 17,25 (10) Il n y a aucune retenue ; le résultat négatif est exprimé par le complément à 2 de ,01 (2) ou 17,25 (10) Transparent 1.32

33 Addition de deux valeurs négatives Soient N 1 et N 2, deux nombres positifs, avec les compléments à 1 : ( ) ( ) N + N = N + N ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) N + N = N N n m n m n m n m ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( ) N + N = N + N N + N = N + N n m ( 2) ( 2) ( ) Conclusion : On élimine la retenue et on ajoute le bit 1 au bit le moins significatif ; le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 1. Transparent 1.33

34 avec les compléments à 2 : N + N = 10 N + 10 N n n ( 2) ( 2) ( ) ( ) n n ( 2) ( 2) ( ) N + N = N + N N + N = 10 n + N + N 2 ( ) ( ) N + N = N + N Conclusion : On élimine la retenue ; le résultat est une valeur négative exprimée par un complément à 2. Transparent 1.34

35 Dépassement de capacité («Overflow») Si une addition ou une soustraction engendre un résultat trop grand (positivement ou négativement), on dit qu il y a dépassement de capacité (ou débordement). Soit un nombre binaire comportant n = 6 bits dans la partie entière et m = 2 bits dans la partie fractionnaire. Les plus grandes valeurs pouvant être représentées sont : ,11 = 31,75 ( 2) ( 10) et ,00 ( 2) -31,75( 10), pour un complément à 1 = -32,00( 10), pour un complément à 2 Transparent 1.35

36 Soient : N = 20 = ,00 ( ) ( ) N = 15 = ,00 ( ) ( ) N 1 =101011,11( 2) N 1 = ,00( 2) N 2 =110000,11( 2) N 2 =110001,00( 2) N + N , , , 0 0 Le résultat correspond à une valeur négative (débutant par 1) alors que c est la somme de deux valeurs positives (débutant par 0). Il y a donc eu dépassement de capacité ; le résultat n est pas valable. Transparent 1.36

37 N1 N2 = N1 + N , , , , , 1 1 N1 N2 = N1 + N , , , 0 0 Les résultats correspondent à des valeurs positives (débutant par 0) alors que ce sont des sommes de deux valeurs négatives (débutant par 1). Il y a donc eu dépassement de capacité ; les résultats ne sont pas valables. Transparent 1.37

38 Réalisation technique possible x 0 x 1 a 0 AFFICHEUR x 2 a 1 x 3 y 0 UNITÉ ARITHMÉTIQUE a 2 a 3 y 1 y 2 y 3 d TÉMOIN DE DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ c COMMANDE D OPÉRATION 0 = ADDITION / 1 = SOUSTRACTION Transparent 1.38

39 Remarque concernant le dépassement de capacité Dans une suite de plusieurs opérations (additions ou soustractions), la présence de dépassements de capacité dans des résultats intermédiaires n affecte pas la validité du résultat final si globalement cette suite correspond à une opération sans dépassement de capacité. Exemple : N = 20 = ,00 ( n = 6, m = 2 )* ( ) ( ) N = 15 = ,00 ( ) ( ) N = 5 = ,00 ( ) ( ) N 3 = ,00( 2) N + N + N = ,00 = 30 * Valeurs limites : -32,0 (10) et +31,75 (10) ( ) ( ) Transparent 1.39

40 Exemple : N1 + N2 N3 = N1 + N2 + N , 0 0 N + N 1 2 (qui doit donner +35 (10) ) , , 0 0 Le résultat correspond à une valeur négative (débutant par 1) alors que c est la somme de deux valeurs positives (débutant par 0). Il y a donc eu dépassement de capacité ; le résultat n est pas valable , , , 0 0 ( ) N + N + N (qui doit donner +30 (10) ) Le résultat est correct même s il y a eu dépassement de capacité lors de l opération précédente. Transparent 1.40

41 Multiplication et division par des puissances de 2 Pour un nombre binaire naturel, une multiplication par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la gauche et une division par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la droite. Exemple : Soient n = 7, m = 3 (dimensions fixes) et N = ,010( 2 ) N 10 ( 2) : N 10 ( 2) : , , (perdu) , , (perdu) Transparent 1.41

42 Pour un nombre binaire naturel, il y a dépassement de capacité si le bit 1 le plus significatif est perdu. Il y a troncation si le bit le moins significatif perdu a la valeur 1. N 100 ( 2) : N 100 ( 2) : , , , , , , DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ TRONCATION Transparent 1.42

43 Pour un nombre binaire en complément (à 2 ou à 1), une multiplication par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la gauche. Une division par 2 est réalisée par un décalage des bits vers la droite, excluant le bit le plus significatif qui garde la même valeur. Exemple : N 10 ( 2) : Soient n = 7, m = 3 (dimensions fixes) en complément à 2 et N = ,010 = 18,75 ( 2) ( 10) N 10 ( 2) : , , ,75 (10) 1 (perdu) -18,75 (10) , ,5 (10) -9, , (10) (perdu) Transparent 1.43

44 Pour un nombre binaire en format complément (à 1 ou à 2), il y a dépassement de capacité si le bit le plus significatif change de valeur. Il y a troncation si le bit 1 le moins significatif est perdu. N 100 ( 2) : N 100 ( 2) : , , ,75 (10) 1-18,75 (10) , ,375 (10) , ,5 (10) -4,75 (10) , , DÉPASSEMENT DE CAPACITÉ 53 (10) TRONCATION Transparent 1.44

45 Problèmes suggérés : Givone / #2.22acef #2.29 #2.31 Dans les problèmes #2.29 et #2.31, on considèrera le bit de signe comme partie intégrante du nombre. Ex : 0 S = S = RÉPONSES : #2.22 a) c) e) 101,00 101,01 f) 00100, ,100 #2.29 a) b) c) d) #2.31 a) b) c) d) Transparent 1.45