Régulation de température d une soufflerie

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1 Régulation de température d une soufflerie Mise en situation La figure suivante donne le schéma de principe d une soufflerie. Une turbine aspire de l air ambiant, et le refoule avec un débit constant dans un cylindre de section constante. Cet air passe à travers un élément chauffant constitué d un fil résistif, commandé par une tension u(t) à travers un amplificateur de puissance. On dispose de deux points de mesure de la température : le premier () est situé au voisinage de l élément chauffant, et le second () est au bout du cylindre, à la distance du premier. On admettra que le cylindre est bien isolé, et qu il n y a pas d échange de chaleur entre le corps du cylindre et le milieu extérieur. On a ainsi la relation temporelle : ()= ( ), où est le temps mis par l air pour parcourir la distance. Les températures sont mesurées à l aide de thermocouples ; l étage d adaptation et d amplification permet de délivrer en sortie une tension continue image de la température du thermocouple. La consigne est élaborée à partir d un potentiomètre (rhéostat) linéaire qui délivre une tension de 15 pour une consigne de 25. On donne les valeurs numériques suivantes : =1 ; =0,1² ; =0,1 / 1/3

2 Régulation de température d une soufflerie Questions : A. Etude des différents organes du système 1. La figure suivante rappelle le schéma fonctionnel d un système asservi. Repérer et entourer sur la figure précédente, les blocs 1 à On donne la courbe représentative de la réponse indicielle () à une entrée de tension en échelon d amplitude 3. Donner la fonction de transfert ()/(). Justifier l ordre du système. 2/3

3 Régulation de température d une soufflerie 3. On donne la courbe représentative de la caractéristique statique de la sonde de température fonctionnant avec son étage d adaptation et d amplification. On négligera le temps de réponse de la sonde. En déduire la fonction de transfert ()/ (). 4. L ampli-op est supposé idéal. Isoler le circuit électrique (ampli, la résistance et les deux résistances ), et en déduire une relation entre, et!. 5. Exprimer la relation! ()/! () sachant que le potentiomètre est linéaire et délivre 15 pour une température de Exprimer la fonction de transfert ()/ (). 7. Faire le schéma fonctionnel de l ensemble. Le transformer pour obtenir un schéma à retour unitaire. B. Amélioration de l asservissement On ajoute une deuxième boucle de réaction selon le schéma fonctionnel suivant : 8. Calculer la valeur de ", pour laquelle l erreur statique de position est nulle. 3/3

4 Système de copie de pièces Mise en situation Le schéma montre un système de régulation automatique de position appliqué à la copie de pièces. Un modèle (à gauche) est fixé rigidement sur une table d usinage. La surface du modèle est parcourue par un palpeur à vitesse constante : la position () de ce palpeur est convertie en tension par un capteur potentiométrique linéaire de constante ( () =. () avec = 0,1/). La position () correspondante de l outil est mesurée par un capteur potentiométrique linéaire de même type, qui délivre une tension () ( () =.()). La différence de ces deux tensions () est amplifiée d un facteur proportionnel ( () =.()). La tension () alimente un moteur à courant continu qui déplace l outil dans un plan vertical par l intermédiaire d un réducteur à vis sans fin et d une crémaillère. L ensemble transforme la vitesse angulaire du moteur en vitesse linéaire de translation selon avec un rapport : () =.() avec = 1/50. L outil de coupe est entraîné à vitesse constante par un moteur qui n intervient pas dans le processus de régulation. Questions : A. Etude du moteur de positionnement de l outil Les équations qui décrivent le fonctionnement du moteur M sont les suivantes : () = ()+".#()+$. %#() % & ' () = (. %() % & ' () =.#() () = *.() +).() Où () est la force contre-électromotrice, " la résistance de l induit, $ la self de l induit, & ' () le couple moteur, ( l inertie du système (on supposera que ( comporte l inertie propre du rotor et l inertie ramenée du système porte-outil), ) représente le coefficient de frottement visqueux, la constante de couple, et * la constante de vitesse. 1. En supposant toutes les conditions initiales nulles, transformer les équations précédentes dans le domaine de Laplace. 1/4

5 Système de copie de pièces 2. En déduire le schéma bloc du moteur. Compléter : 3. Ecrire successivement les expressions des fonctions de transfert de la chaîne directe, de la FTBO et finalement de la FTBF. Mettre l expression de la FTBF sous forme canonique d une fonction du second ordre. En déduire l expression des paramètres caractéristiques en fonction des constantes du moteur. Application numérique : Calculer les valeurs des paramètres caractéristiques avec les valeurs suivantes : R=0,52 Ω L=2, H K c = Nm/A K e = V/rd/s J=1, kg.m² f= Nm/rd/s Calculer le dépassement en réponse à un échelon de tension unitaire (). On rappelle : +% = / 01-/² A partir de l abaque, déterminer le temps de réponse 3. 2/4

6 Système de copie de pièces B. Simplification du modèle On suppose que la self L peut être négligée. 4. Montrer que la FTBF du moteur se réduit à une fonction du premier ordre dont on précisera les paramètres, et calculer la nouvelle valeur du temps de réponse 3. Comparer avec les valeurs de la question Dans toute la suite du problème, on prendre pour fonction de transfert du moteur 4(5) telle que : 12,54 4(5) = 0, Montrer que le schéma bloc de l ensemble complet a la forme : Transformer ce schéma pour le mettre sous la forme d un schéma-bloc à retour unitaire et en déduire la FTBF : 9(5)/9 (5). 6. Mettre cette FTBF sous la forme canonique d un second ordre et exprimer les paramètres caractéristiques en fonction du gain. 7. On souhaite minimiser le temps de réponse : quelle valeur faut-il donner à l amortissement :? En déduire la valeur du gain, celle du temps de réponse, et la valeur du dépassement +%. Dans le problème qui nous occupe, quelle est la conséquence d un dépassement du déplacement? 8. Si l on souhaite annuler ce dépassement tout en ayant un système rapide, quelle valeur faut-il donner à :? En déduire la nouvelle valeur de et la valeur correspondante de 3 à 5%. 3/4

7 Système de copie de pièces C. Etude de l erreur de traînage Le signal d entrée est une rampe de pente 2/;. 9. Montrer qu il existe une erreur () = () () et faire l application numérique avec les hypothèses de la question 8. Quelle est la conséquence de cette erreur sur la pièce usinée par rapport au modèle? 10. On veut diminuer cette erreur d un facteur 10 ; pour cela on va utiliser un retour tachymétrique (instrument de mesure des vitesses) sur le moteur, de coefficient =. Le nouveau schéma bloc prend alors l allure suivante : Déterminer tout d abord la fonction de transfert >(5) correspondant à la boucle interne, puis la FTBO de l ensemble du système, et enfin la FTBF. 11. Calculer les valeurs de et de = pour obtenir une erreur de traînage diminuée d un facteur 10, tout en conservant un système rapide sans dépassement. 4/4

8 Régulation de niveau Mise en situation On considère la régulation de niveau d un liquide dans une cuve cylindrique, de section = 0,5². On note h la hauteur de consigne et h le niveau de la cuve à eau à réguler. Le débit entrant dans la cuve (m 3 /s) est réglé par une vanne motorisée ; il est proportionnel à l angle d ouverture de la vanne (rad) : =. avec = 0,1m 3 /(s.rad). Le débit représente le débit de fuite de la cuve et sera considéré dans la suite comme une perturbation. Le moteur est alimenté par l induit sous la tension, crée par l amplificateur de gain : =.. Il tourne alors à la vitesse. La position angulaire de l arbre moteur. Le moteur sera modélisé (entre son entrée et sa sortie ) par une fonction de transfert du premier ordre de gain statique = 4,78!/#. $ et de constante de temps % = 0,1&. Ce moteur va ouvrir ou fermer la vanne par l intermédiaire d un réducteur = ' () *+. Le potentiomètre d entrée, gradué en mètres, délivre une tension proportionnelle au niveau de consigne h demandé : =. h = 20$/). Le flotteur mesure le niveau h dans la cuve. Il déplace le curseur du potentiomètre de sortie,. La tension est proportionnelle à h : =. h (les potentiomètres, et, sont identiques). La cuve à eau sera modélisée dans la suite par le schéma-bloc ci-contre : 1/2

9 Régulation de niveau Questions : 1. Quelle est l entrée de ce système? Quelle est la sortie de ce système? Donner le schéma fonctionnel de cet ensemble. 2. Le principe de conservation de la masse permet d écrire l égalité entre : La variation de masse dans la cuve. pendant un temps. Et la différence entre la masse entrante et sortante pendant.. En déduire une relation entre h/,, et. Appliquer la transformée de Laplace à l équation obtenue, et en déduire une relation entre h0, 0 et 0. Compléter le schéma-bloc présenté ci-dessus. 3. En déduire le schéma-bloc complet du système. Montrer qu il peut se mettre sous la forme d un système à retour unitaire. 4. Le système précédent est modifié : On mesure avec un autre potentiomètre la position de la vanne ; celui-ci délivre une tension : = 1. avec 1 = 20$/!2.. Le signal de commande est élaboré grâce à un comparateur-amplificateur de gain *. Dessiner le schéma-bloc du nouvel asservissement. 5. Calculer la fonction de transfert du second ordre de l ensemble moteur : 0/3 0. Donner son gain statique, son coefficient d amortissement, ainsi que sa pulsation propre. Calculer * pour avoir un coefficient d amortissement de 0,7. En déduire la pulsation propre non amortie. 6. On considère = 0 4 /&. Exprimer la FTBO du système (entrée h 0, sortie h0). 2/2

10 Commande de radar Mise en situation Une antenne radar est entraînée à la vitesse () par un actionneur constitué d un groupe «Ward-Léonard». L ensemble radar et actionneur peut être représenté par le schéma-bloc ci-dessous : Avec : () : tension de commande du groupe Ward-Léonard, () sa transformée de Laplace ; () : vitesse de rotation angulaire du radar, Ω() sa transformée de Laplace ; (): couple dû à l action du vent sur le radar, () sa transformée de Laplace ;,, et constantes réelles positives. On se propose d étudier l influence d une rafale de vent lorsque : - Le système n est pas asservi ; - Le système est asservi ; - Le système est asservi et comporte un correcteur. Questions : A. Détermination de et En partant d une position de repos avec ()=0 donc ()=0, le système est soumis à une rafale de vent, assimilée à un échelon d amplitude Nm. 1. Tracer le schéma-bloc du système lorsque ()=0. 2. Donner l expression de Ω(). 3. Etablir l expression de la valeur finale de (). 4. Déterminer la pente de la tangente à l origine à la courbe représentative de (). 5. Etablir l expression de () sachant que la décomposition en éléments simples de Ω() est de la forme : Ω()= Déterminer la valeur de () en =. 7. En utilisant la courbe ci-dessous qui représente l enregistrement de () pour = 1., déterminer graphiquement la valeur de K et T. 1/4

11 Commande de radar B. Détermination de En partant d une position de repos avec ()=0 (absence totale de vent), le système est maintenant soumis à un échelon d amplitude volts. 1. Tracer le schéma-bloc du système lorsque ()=0. 2. Etablir l expression de la valeur finale (). 3. En utilisant la courbe ci-dessous qui représente l enregistrement de () pour =10, et la valeur de trouvée en A7, déterminer la valeur de. 2/4

12 Commande de radar C. Asservissement du système On considère dans cette question le système en l absence de vent, soit ()=0. On souhaite asservir la vitesse de rotation () de l antenne. A cet effet, () est mesurée à l aide d une génératrice tachymétrique fournissant une tension! () proportionnelle à la vitesse :! ()=".(). Cette tension est comparée à une tension de consigne # (). L écart $()= # ()! () est amplifié par un amplificateur de gain A alimentant l entrée () de l actionneur : ()=%.$(). 1. Tracer le schéma bloc de l asservissement en précisant la fonction de transfert dans chaque bloc. 2. Donner l expression littérale de la fonction de transfert en boucle ouverte &(). 3. Donner l expression littérale de la fonction de transfert en boucle fermée ' () que l on mettra sous la forme : ( ' ()= 1+) +) ² En explicitant les coefficients ),) et B en fonction de,,,,% et ". D. Intérêt de l asservissement On suppose dans cette question que l antenne radar est au repos ( # ()=0) soit ()=0. Pour étudier l influence d une rafale de vent, on considère () comme l entrée principale du système. Le système peut alors être représenté par le schéma bloc ci-dessous : 1. Etablir l expression littérale de la fonction de transfert ' ()= +(,). On mettra ' -(,) () sous la forme :. +. ' ()= / +/ +/ ² En explicitant les coefficients.,.,/,/ et / en fonction de,,,,% et ". 2. Le système est maintenant soumis à une rafale de vent, assimilée à un échelon de couple d amplitude. Déterminer la valeur de () au bout d un temps suffisamment long. 3. On donne : %=1,5 =10,47 pour une vitesse de rotation de /56 =17 =27 =12,5.. 9 =0,4 3)/ = 1 Calculer la valeur finale de (). Comparer à la valeur de la question A. Conclure quant à l intérêt de l asservissement. 3/4

13 Commande de radar E. Intérêt de l asservissement On incorpore dans le système un correcteur de fonction de transfert :()= ; <, où # est un coefficient constant. Le système est alors représenté par le schéma bloc : 1. On pose Ω()=& (). # ()+& ().(). Etablir les expressions littérales de & () et de & (). On écrira sous les formes suivantes : = A.(1+A.) & ()= ;& (1+> )(1+> )+> ()=? (1+> )(1+> )+>? Où A B,> B. = B sont des coefficients réels qui seront exprimés en fonction de %, #,,, ", et. 2. En partant d une position de repos avec # ()=0 soit ()=0, le système est soumis à une rafale de vent, assimilée à un échelon d amplitude. Déterminer la valeur de () au bout d un temps suffisamment long. Conclure quant à l influence du correcteur. 4/4