Nombres fractionnaires en BINAIRE

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1 Nomres Fractionnaires inaires Nomres fractionnaires en BINAIRE Nomres fractionnaires en virgule fixe. Généralités Un nomre fractionnaire comporte deux parties :!"Une valeur entière,!"suivie d une valeur fractionnaire. Les deux parties sont séparées par une virgule qui se place à droite du chiffre le moins significatif de la partie entière (chiffre de poids unité). EXEMPLE : Le nomre π est un nomre fractionnaire, il s écrit :,46 entière fractionnaire. Pondération de la partie fractionnaire De même que le système de numération décimal, le système de numération Binaire est un système pondéré. Comme nous l avons vu pour la représentation des nomres entiers, chaque it d un nomre inaire a un poids fonction de son rang (Numération et représentation des nomres). La pondération d un nomre fractionnaire inaire se décompose comme suit : 4, 4 5 Partie entière Partie fractionnaire Exemple : Soit le nomre inaire, Rang Poids Nomre Position de la virgule Partie entière ( ) + ( ) + ( ) ( Partie fractionnaire ) + ( ) + ( ), = ( ), 465() Philippe HOARAU /6

2 Nomres Fractionnaires inaires Conversions. Conversion Binaire / Décimal La conversion Binaire / Décimal se fait en additionnant les produits des its à par leur poids respectifs comme développé dans le chapitre précédent.. Conversion Décimal / Binaire Effectuer des multiplications successives par de la partie fractionnaire en conservant à chaque fois la partie entière du résultat : Exemple : soit le nomre,4à convertir en Binaire : Partie entière () Partie fractionnaire (.4),4. =,8 = +,8,8. =,56 = +,56,56. =, = +,,. =,4 = +,4 ( ) = (),4. =,48 = +,48,48. =,96 = +,96,96. =,9 = +,9,9. =,84 = +,84,4 = ( ), () On voit immédiatement que, contrairement à la partie entière, la partie fractionnaire peut s exprimer par une suite non finie, ce qui impose de définir un critère d arrêt. Ce critère est la précision qui doit être équivalente dans les deux ases. Dans l exemple précédent, la précision décimale étant de ± 5., le développement en puissance de doit donc s arrêter au nième terme tel que : n < 5. Log( n n soit >,. ) > Log() nlog() > Log() Log() n > Log() n > 7,64 On s arrêtera donc au 8 éme rang Vérification : Partie entière ( ) = () Partie fractionnaire =,5 +,785 +,965 =,67875 La précision attendue est ien otenue. Nomres fractionnaires en virgule flottante Tout nomre N peut s écrire sous la forme : dans laquelle : #" N représente le nomre fractionnaire #" M la mantisse #" B la ase du système de numération N = M B e Philippe HOARAU /6

3 Nomres Fractionnaires inaires #" e la caractéristique ou exposant Exemple : Sous la forme virgule flottante, le nomre décimal positif 4,56 peut s écrire : mantisse 4,56 x Ou,456 x Ou,456 x.. Ou,456 x 4 Ou 456 x Rappel : en représentation signé, le it le plus à gauche du nomre inaire représente le signe () pour le signe + et () pour le signe - exposant De la même façon, le nomre inaire positif s écrira : mantisse Signe (+) x Ou, x Ou, x Ou, x exposant. Norme IEEE 754 #" La norme IEEE 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers) définit les règles de représentation des nomres en virgule flottante. #" Cette représentation se fait soit sur BITS (format simple) ou sur 64 BITS (format doule) Le format simple IEEE 754 se compose de trois champs:. its représentant la mantisse (f). 8 its représentant l'exposant (e). it représentant le signe Ces champs sont stockés de façon contiguë dans un mots de its. (s) Exposant ( e ) Mantisse ( f ) Les its à représentent la mantisse (f), avec le it comme LSB de la fraction et le it comme MSB. Les its à représentent exposant ase (e), avec le it comme LSB et le it comme MSB. Le it contient le signe (s) avec s= pour le signe positif et s= pour le signe négatif. Pour rendre portales des programmes utilisant les nomres flottants, la norme IEEE 754 décrit non seulement les ornes des nomres flottants, mais elle donne aussi une convention pour représenter des valeurs spéciales: ±, NaN (Not a Numer) qui permettent de donner des valeurs à des divisions Philippe HOARAU /6

4 Nomres Fractionnaires inaires par zéro, ou à des racines carrées de nomres négatifs par exemple. Les valeurs spéciales permettent d'écrire des programmes de calcul de racines de fonctions éventuellement discontinues. Le taleau suivant donne la correspondance entre les valeurs des champs s, e, f et la valeur représentée par le format simple. de s, e, f numérique < e < 55 (-) S x e-7 x.f (normal N) e = ; f (au moins un it de f non nul) e = ; f = (tous les its de f sont à ) (-) S x e-6 x.f (sunormal N) (-) S x. ( signé) s = ; e = 55; f = + s = ; e = 55; f = - s = u; e = 55; f NaN (Not-a-Numer) Lorsque <e<55, la valeur du nomre est otenue en insérant un point immédiatement à gauche du it le plus significatif de la fraction, et en insérant un it à implicite à gauche du point. Si e=, un est inséré implicitement à gauche du point. Les its de la partie fractionnaire cominés avec le it implicite donnent un nomre de 4 its.. Nomres caractéristiques dans le format IEEE 754 Nom commun Représentation its Représent. Hexa. décimale F8. 4. Normal N maxi 7F7FFFFF.4847e+8 Normal N positif mini e-8 Sunormal N maxi 7FFFFF.75494e-8 Sunormal N positif mini.49846e F8 + infini - FF8 - infini Not-a-Numer 7FC NaN Philippe HOARAU 4/6

5 Nomres Fractionnaires inaires Un NaN (Not-a-Numer) peut être représenté par plusieurs autres cominaisons de its satisfaisant la définition du NaN.. Exemples de nomres au format IEEE 754 Représentation its Représent. Hexa 44 (, x 8-7 ) () = (, x ) () = () () EA 47A BF (, x 5-7 ) () =(, x - ) (), () =,5 () = (, x 4-7 ) () = (, x 7 ) () =, () =5,65 () -(. x 6-7 ) () = -(. x - ) () -(.) () = -.5 () On dit d une mantisse qu elle est normalisée lorsqu elle est fractionnaire et ne comporte qu un seul à gauche, l exposant étant ajusté en conséquence. Ainsi, les nomres,46 d une part, -,6 d autre part présentent une mantisse normalisée lorsqu ils s écrivent respectivement,46 x et,6 x -. Philippe HOARAU 5/6

6 Nomres Fractionnaires inaires Nomres fractionnaires en virgule fixe.... Généralités.... Pondération de la partie fractionnaire... Conversions.... Conversion Binaire / Décimal.... Conversion Décimal / Binaire... Nomres fractionnaires en virgule flottante.... Norme IEEE Nomres caractéristiques dans le format IEEE Exemples de nomres au format IEEE Philippe HOARAU 6/6

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