Université Abdelmalek Essaâdi. École Nationale des Sciences Appliquées de Tétouan. Mécatronique. Travaux dirigés de Résistance Des Matériaux

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1 Université Abdelmalek Essaâdi École Nationale des Sciences Appliquées de Tétouan 1ère Année CI Travaux dirigés de 211/212 M. Sanbi

2 Exercice 1 : Trois barres de même section S, construites du même matériau de module d Young E sont suspendues à un bâti supposé indéformable. Les liaisons en A, B, C et O sont des liaisons pivots parfaites (sans adhérence) d axe z. Le poids des barres est négligé. On donne α = 3. En O, on suspend une masse de poids P. N 1 N 2 et N 3 désignent l effort normal dans les barres. 1-1) Étudier l équilibre de l axe O et montrer que le système est hyperstatique. 1-2) Exprimer la relation entre les allongements des trois barres. On négligera la variation de α. 1-3) Exprimer les efforts normaux dans les barres. 1-4) On donne S=1mm 2, P=6 N, α = 3. Calculer les contraintes d extension dans les trois barres. Exercice 2 : Axes principaux d une section droite Calculer pour les sections droites suivantes les moments statiques, les moments quadratiques par rapport aux axes passant par leurs centres de gravité et les moments polaires correspondants. 2

3 Exercice 3 : Flexion Plane Simple En supposant que la section droite est la même pour toutes les poutres (1mm 2mm), tracer les diagrammes relatifs aux efforts tranchants et moments fléchissants des différentes situations de poutres présentées suivantes (poutres non- ou partiellement chargées) : Exercice 4 Soit une poutre OB en liaison pivot en O et appuyée en B et soumise à une charge répartie triangulaire. 4-a) Déterminer les inconnues de liaison. 4-b) Calculer le torseur des efforts intérieurs puis tracer les diagrammes des efforts intérieurs. 4-c) Calculer la contrainte normale maximum. Exercice 5 : Les arbres (1) et (2) de la figure ci-dessous ont des rayons identiques de 1 mm et sont en acier (R pg = 22 MPa). Ils sont montés dans un même système mécanique non représenté ici. Les chargements extérieurs de torsion pris en compte dans cette étude sont les suivants : Travaux Dirigés 3/8 m. Sanbi

4 sur l arbre (1), en A un couple M 1 = 3 Nm, en B un couple -M 1 = -3 Nm, sur l arbre (2), en C un couple M 2 = 17 Nm, en D un couple -M 2 = -17 Nm 5-a) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans les deux arbres. 5-b) Calculer la contrainte maximale pour chaque arbre et déterminer son cœfficient de sécurité. 5-c) Proposer un nouveau dimensionnement de l arbre (1) pour que son cœfficient de sécurité soit le même que celui de l arbre (2). Exercice 6 : Soit la poutre ABC (A encastrement, B appui simple). On veut déterminer la dimension h de la poutre sachant que : La contrainte normale admissible est de 3 dan/mm 2, La flèche maximale est limitée à 2 cm, On donne E=21 dan/mm 2 (acier courant). Travaux Dirigés 4/8 m. Sanbi

5 Exercice 7 : Poutre Hyperstatique Un atelier est desservi d un palan électrique 5 se déplace sur un monorail 1. La figure cidessous montre le monorail 1 reposant sur trois appuis doubles sans adhérence repérés 2, 3 et 4 et situés respectivement en A, B et C. Le plan (A, x, y ) est un plan de symétrie pour la poutre et pour les forces qui sont lui appliquées. (A, x ) est porté par la ligne moyenne de la poutre et B, C et D sont situés sur (A, x ). L action mécanique sur 1 du palan 5 et de sa charge est modélisable en D par : { } {T 5 1 } = On néglige le poids de la poutre qui est constituée par un IPN en acier pour lequel E = Les caractéristiques de cet acier sont données par le tableau ci-contre. D Pour cette construction, on adopte les contraintes limites d élasticité et la limite de déformation en D suivantes : σ p = 9MP a ; τ p = 9MP a ; y D AC 75 7-a) en appliquant le principe de superposition, déterminer les actions mécaniques de liaison A 2 1, B 2 1 et C b) déterminer les équations de l effort tranchant T y et du moment. En déduire leurs valeurs maximales. fléchissant M fz 7-c) à partir de la condition de résistance, déterminer la valeur minimale du module de flexion I G,z v. 7-d) à partir de la condition de déformation limite en D, déterminer la valeur minimale du moment quadratique I G,z Travaux Dirigés 5/8 m. Sanbi

6 7-e) dans le tableau extrait des normes ci-dessus, choisir l IPN qui convient et préciser la condition déterminante. Exercice 8 : Sollicitations Composées: Traction+Torsion+Flexion La figure ci-dessous représente la modélisation d un réducteur à deux étages qui permet la transmission de mouvement de rotation entre un arbre moteur 7 et un arbre récepteur 1 de section constante et circulaire via un arbre de transmission 6. L arbre 1 est guidé en rotation dans les paliers 3 et 5 et transmet un moment entre les roues 2 et 4 à dentures hélicoïdales. Le dessin illustrant la construction et les actions mécaniques mises en jeu sont données ci-après. Action mécanique de la roue 2 sur l arbre 1 est modélisable en A par { A } {T 2 1 } = 2 1 M A,2 1 avec 1 A 2 1 = 15 ; M A,2 1 = Action mécanique de la roue 4 sur l arbre 1 est modélisable en C par { C } {T 4 1 } = 4 1 M C,4 1 avec X C C 4 1 = 45 ; M C,4 1 = A C Travaux Dirigés 6/8 m. Sanbi

7 Action mécanique de liaison en B de 3 sur l arbre 1 est modélisable en B par { B } {T 3 1 } = 3 1 M B,3 1 B avec B 3 1 = Y B ; M B,3 1 = Z B Action mécanique de liaison en D de 5 sur l arbre 1 est modélisable en B par { D } {T 5 1 } = 5 1 M D,5 1 D X D avec D 5 1 = Y D ; M D,5 1 = Z D Cet arbre est en acier 18CD4 pour lequel : σ e = 88MP a ; τ e = 68MP a On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s= a) déterminer les actions mécaniques en B et D. 8-b) déterminer les équations de l effort de traction/compression N, de l effort tranchant T y, du moment fléchissant M fz, du moment de torsion M t et la position des sections droites correspondantes. Construire les diagrammes correspondants. En déduire leurs valeurs maximales. fléchissant. 8-c) dans la section la plus sollicitée, déterminer le diamètre minimal de l arbre pour que la condition limite relative aux contraintes normales soit vérifiée. 8-d) dans la section la plus sollicitée, déterminer le diamètre minimal de l arbre pour que la condition limite relative aux contraintes tangentielles soit vérifiée. 8-e) en déduire le diamètre minimal de l arbre 1 pour que celui-ci résiste en toute sécurité aux sollicitations qui lui sont appliquées. Exercice 9 Une console est soumise à une charge concentrée Q verticale à son extrémité libre. Elle est formée d un bois en sapin (section rectangulaire 1 cm x 2 cm) ou d un profilé laminé en acier doux (IPE2). Dans les deux cas et par un calcul à la flexion, déterminer la charge Q que cette poutre peut supporter (poids propre négligé) lorsque la section droite est disposée : a) en hauteur et b) à plat. Travaux Dirigés 7/8 m. Sanbi

8 Univ. Abd. Essaa di ENSA de Te touan Me catronique 1e re Anne e C. d Inge nieur Re sistance Des Mate riaux Exercice 1 Un arbre de transmission ABCD, de diame tre d, est guide en rotation en A et C par deux paliers a roulements et porte en B et D deux roues dente es supportant les charges indique es ( F1 et F2 en H et E) de direction verticale y. On note R A et R C les re actions verticales aux deux paliers. Le mate riau utilise a une limite d e lasticite en traction et cisaillement de : σe = 25 MPa ; τe = 112,5 MPa et le coefficient de se curite a appliquer est : k=2,5. 1-a) En e tudiant l e quilibre de l arbre, montrer que : RA = 857 y et RC = 9857 y puis montrer que l arbre est soumis a un couple de torsion de 6 N.m. 1-b) De terminer le long de l arbre les variations des sollicitations (efforts, moments de torsion et de flexion); Construire les diagrammes correspondants et indiquer les valeurs maximales de ces sollicitations ainsi que les sections dans lesquelles elles interviennent. 1-c) Dans la section droite la plus sollicite e et a partir de la condition de re sistance relative aux contraintes normales et tangentielles, de terminer le diame tre minimal de l arbre. Ce crite re s e crit : σmax Rptraction et τmax Rpcisaillement. FIN Travaux Dirige s 8/8 m. Sanbi

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