AUTOUR DE L AIRE. Rep + Saint Chamond 2016

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1 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. AUTOUR DE L AIRE Rep + Saint Chamond 2016

2 DES ACTIVITÉS Résoudre à votre niveau, individuellement ou par deux, les cinq activités suivantes : Quel est le plus lourd? Forme Modifier la figure Le double L aire du triangle

3 QUEL EST LE PLUS LOURD? Ces formes sont celles de gâteaux de même épaisseur, faits dans la même pâte. Si on les pesait, lequel serait le plus lourd? Lequel serait le moins lourd?

4 FORMES Range les formes A, B,C,D de la plus petite à la plus grande, suivant leur aire puis suivant leur périmètre.

5 MODIFIER LA FIGURE Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même périmètre mais un carreau de plus

6 MODIFIER LA FIGURE Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même périmètre mais un carreau de moins

7 MODIFIER LA FIGURE Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire que A mais un périmètre plus grand

8 MODIFIER LA FIGURE Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire que A mais un périmètre plus petit

9 LE DOUBLE Dessine un rectangle dont le périmètre est le double de celui de ce rectangle Dessine un carré dont l aire est le double de celle de ce carré

10 L AIRE DU TRIANGLE Quelle est l aire de ce triangle?

11 LES DIFFICULTÉS

12 DIFFICULTÉS D ÉLÈVES DE PRIMAIRE Évaluation entrée en 6 eme 2001 Réponse correcte 16% Rectangle d aire 12 carreaux (confusion aire et périmètre) 35,7% Autres réponses 44,6% Absence de réponse 3,7%

13 DIFFICULTÉS DE COLLÈGIENS A B C D

14 DIFFICULTÉS D ÉTUDIANTS

15 QUELLE PROGRESSSION EN CYCLE 3?

16 LES PROGRAMMES 2016 Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de taches (comparer, estimer, mesurer). Aire Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure. Différencier aire et périmètre d une surface. Déterminer la mesure de l aire d une surface à partir d un pavage simple ou en utilisant une formule (carré, rectangle, triangle, disque) Estimer la mesure d une aire par différentes procédures. Unités usuelles d aire : multiples et sous-multiples du m 2 et leurs relations, are et hectare

17 REPÈRES DE PROGRESSIVITÉ 2016 Les aires : Tout au long du cycle, il convient de choisir la procédure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces, pour déterminer la mesure d une aire avec ou sans recours aux formules. Dès le CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire. La mesure ou l estimation de l aire d une surface à l aide d une surface de référence ou d un réseau quadrillé est ensuite abordée. Une fois ces notions stabilisées, on découvre et on utilise les unités d aire usuelle et leurs relations. On peut alors construire et utiliser les formules pour calculer l aire d un carré, d un rectangle, puis en 6ème, calculer l aire d un triangle rectangle, d un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d un disque.

18 PROGRESSION POUR LES AIRES 1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc que l on peut découper. Comparaison Il s agit de comparer des surfaces planes selon leur «étendue» pour comprendre la relation «avoir même aire».

19 PROGRESSION POUR LES AIRES 1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc que l on peut découper. Construction de surfaces de même aire qu une surface de référence et de formes différentes, des surfaces d aire double ou triple.

20 PROGRESSION POUR LES AIRES 2) Avec des surfaces dessinées sur papier quadrillé ou pointé. Comparaison On accède alors à la mesure de l aire, par comptage d unités d aire Distinction aire / périmètre C A D B

21 PROGRESSION POUR LES AIRES 3 ) Des unités usuelles Des «formes différentes» pour le centimètre carré

22 PROGRESSION POUR LES AIRES 4) Calcul d aires Il n existe pas d instrument usuel de mesure directe des aires. La mesure d aires résulte très souvent d un calcul, réalisé à partir d une formule. La connaissance de l aire du rectangle est importante car elle permet d en déduire l aire de nombreuses autres surfaces : triangle rectangle, polygone

23 L AIRE DU TRIANGLE La partie hachurée est-elle la moitié du rectangle?

24 L AIRE DU DISQUE π R π R R R

25 PROGRESSION POUR LES AIRES Le tableau dit «de conversion des unités» ne doit pas être proposé avant qu un certain nombre d exercices de transformation de mesures ait permis aux élèves de prendre conscience des régularités, dues à la compatibilité du système métrique avec l écriture décimale numérique.

26 A VOUS En imaginant quelques activités phares, donnez les grandes lignes de ce que pourrait être une progression au cycle 3 : Sur les périmètres Sur les angles Sur les volumes Sur les masses Sur les durées

27 A PROPOS DES CONVERSIONS

28 DES CONVERSIONS Convertir 1.combien y a-t-il de mètres dans 27 km 3 hm? 2.combien y a-t-il de g dans 0,5 hg? 3.combien y a-t-il de cl dans 5/4 de L? 4.combien y a-t-il de cm² dans 3 m²? 5.combien y a-t-il de minutes dans 2,40 h? 6.combien y a-t-il de mètres dans 27,3 km?

29 UNE PROBLÈME DE 4ÈME PROPORTIONNELLE 1 hg 100g 0,5 hg? 1 L 100 CL 5 4 L? 1 h 60 min 2,4 h? 28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon

30 DES PROCÉDURES COMPLEXES 27,3 km = 2 7km + 3 dixièmes de km = 27 km + 3 hm = 27 km 300 m millier centaine dizaine unité dixième centième millième km hm dam m dm cm mm /04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon

31 MÉTHODES DE CONVERSIONS Les manuels de cycle 3 montrent plusieurs méthodes : Groupement et échange (J apprends les maths CM1, capmaths) Multiplication/division par 10, 100 ou (J apprends les maths CM2) Tableau de conversion (presque tous les (autres) manuels)

32 GROUPEMENTS ET ÉCHANGE Une unité est présentée comme un groupement d unités plus petites (10, 100, 1 000) L observation des instruments gradués rend les équivalences visibles : il suffit de compter combien de mm dans 1 cm, de cm dans 1 m, de mm dans 1 m, de m dans 1 dam. Les équivalences usuelles doivent être mémorisées. La conversion est un échange. Comme 1 cm = 10 mm ; 25 cm = 25 paquets de 10 mm = 250mm 4 cm 5 mm = 4 paquets de 10 mm et 5 mm = 45 mm ; 30 mm = 3 paquets de 10 mm = 3 fois 1 cm = 3 cm. 1 mm apparaît comme 1 cm partagé en dix parties égales, donc 1 mm = 1/10 cm (un dixième de cm) 35 mm = 3 fois 1cm + 5 dixièmes de cm = 3,5 cm

33 MULTIPLICATION/DIVISION PAR 10, 100 OU 1000 Il faut avoir intégrer la valeur d une unité en fonction d une autre : 1 mm est 10 fois plus petit qu un 1 cm ; 1 cm est 10 fois plus grand qu 1 mm. Si une longueur est donnée en cm et que je veux l exprimer en mm, j en aurai plus, et même 10 fois plus, je multiplie par 10. Donc 25 cm = 250 mm. Si une longueur est donnée en mm et que je veux l exprimer en cm, j en aurai moins et même 10 fois moins, je divise par 10. Si une longueur est donnée en m et que je veux l exprimer en km, j en aurai moins et même 1000 fois moins, je divise par 1000.

34 TABLEAU DE CONVERSION Le tableau sert souvent à présenter les unités. Ensuite son usage est dicté comme un moyen technique possible ou obligatoire, souvent sans plus de sens. A portée de maths. Remarque : une utilisation exclusive de cette méthode est aberrante : la conversion 4 km =.m demandée à l évaluation CM2 doit être faite sans tableau de conversion!!!

35 TABLEAU DE CONVERSION

36 DES ACTIVITÉS AUTOUR D UN MATÉRIEL Consigne Construire une situation-problème dans le domaine que vous expérimenterez en classe ou en activité interclasse et qui s'appuie ou non sur une partie de ce matériel. Préciser : le problème posé, les variables, les procédures possibles, le niveau de classe les compétences travaillées ( voir programme de maths) la situation : les consignes, la présentation du problème, l'évolution de la situation, les variantes suivant le moment du cycle. Recherche par groupe multiniveau, sur ordi. 1h

37 SITUATION-PROBLÈME D après Problème ouvert et Situation-Problème IREM de Lyon, Gilbert Arsac, Gilles Germain, Michel Mante

38 L élève doit pouvoir s engager dans la résolution du problème ; l élève peut faire des essais, des erreurs qui sont considérées comme des étapes de l apprentissage, les échanges entre élèves sont favorisés.

39 Les connaissances de l élève sont insuffisantes pour qu il résolve immédiatement le problème ; La connaissance que l on désire voir acquérir par l élève doit être l outil le plus adapté pour la résolution du problème au niveau de l élève ;

40 La situation doit permettre à l élève de décider si une solution trouvée est convenable ou pas ; La comparaison entre sa production et le but à atteindre est un moment essentiel

41 A propos de la manipulation (extrait programme 2002) Il faut se convaincre que ce n est pas la manipulation d un matériel qui constitue l activité mathématique. mais les questions qu elle suggère. Il convient de distinguer les tâches de constat ou d observation qui invitent l élève à lire une réponse sur le matériel des tâches d anticipation qui lui demandent d élaborer, de construire par lui-même une réponse dont il pourra vérifier la validité. avril 16 48

42 ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Matériel Favorise l appropriation de la situation et du problème Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Anticipation Incite à l'expérience mentale Oblige à élaborer des procédures avril 16 49