Préambule : Deux petits problèmes

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1 Chapitre 1 : Introduction à la théorie des graphes Trouver un outil pour résoudre des problèmes Tle ES Préambule : Deux petits problèmes PB 1 : Sept amis se rendrent à leur salle de répétition de danse. Voilà comment elles s organisent, sachant que les temps indiqués correspondent aux temps de déplacements maximaux. Anne s y rend en trois quarts d heure. Doris attend trois de ses amies : Béatrice passe d abord chez Camélia en 10 minutes, puis elles viennent ensemble chez Doris en 10 minutes ; Emilie se rend chez Doris en un quart d heure. De chez Doris, le groupe de quatre amies rejoint la salle en un quart d heure. En dix minutes, Fatima rejoint Gaëlle et les deux amies mettent alors une demi-heure pour aller à la salle de danse. Anne, Béatrice, Emilie et Fatima partent à la même heure. Qui peut prendre les clés pour ouvrir la salle la première? Combien y a-t-il de réponses possibles? PB 2 : Une chaîne de cinq magasins A, B, C D et E décide d ouvrir ses magasins en nocturne avec les contraintes suivantes : Les deux premiers magasins ne peuvent pas être ouverts ensemble. Il en est de même pour les deux derniers Au plus un seul magasin peut être ouvert parmi les magasin A, C et D. Trouver un état qui maximise le nombre de magasin ouverts en nocturne, tout en respectant les contraintes. Applications 1) Sur le plan ci-contre du RER de la ville de Paris, Pierre a étudié les trajets pour se rendre à la gare de Lyon. Il habite à Saint Quentin en Yvelines. a) Trouver un trajet passant par 6 gares ( terminus compris) entre ST Quentin et gare de Lyon. b) Donner le nombre de gares du trajet le plus court entre ST Quentin et la gare de Lyon. c) Pierre doit accompagner sa sœur à la gare de l Est avant de prendre son train à la gare de Lyon. Trouver un des trajets le plus court entre ST Quentin et gare de Lyon, passant par la gare de l Est. 2) Le plan ci-contre, indique le sens de circulation des rues d un lotissement. Déterminer tous les trajets qui partent de A et arrivent à F en suivant : a) 2 rues b) 3 rues c) 4 rues. 3) à 6 heures, à son entrepôt de Grenoble un camionneur reçoit sa feuille de route pour la matinée. Dessiner un schéma représentant son circuit de livraison. 1

2 4) Comparer des trois schémas des questions précédentes. Expliquer pourquoi, on a besoin de représentations différentes. Etude 2 : organisation d un tournoi de rugby Au cours d un week-end, un tournoi de rugby doit être organisé. Les organisateurs prévoient que 4, 5, 6 ou 7 équipes peuvent être engagées dans le tournoi, et ils doivent élaborer un calendrier des matchs dans chacune des hypothèses. 1) s il y a 4 équipes engagées : Noter A, B C et D les quatre équipes et représenter les rencontres du tournoi par un graphe que vous appellerez G 1. Combien de matchs devra disputer chaque équipe? Combien de matchs seront disputés ce week-end? 2) S il y a 5 équipes engagées :On note E la cinquième équipe. Représenter par un graphe G 2 les rencontres du tournoi de façon que chaque équipe joue 4 matchs. Combien de matchs seront disputés? Aurait-on pu organiser le tournoi de telle façon que chaque équipe ne joue que 3 matchs? 3) S il y a 6 équipes engagées : On note F la sixième équipe. Représenter les matchs du tournoi par un graphe G3 de façon que chaque équipe dispute 4 matchs. On appelle graphe complet, un graphe simple dont tous les sommets sont adjacents les uns avec les autres. Ce graphe est-il complet? Combien de matches seront disputés? 4) S il y a 7 équipes engagées :On note H la dernière équipe engagée. Est-il possible d organiser le tournoi de telle façon que chaque équipe joue exactement 4 matchs? 5 matchs? Représenter une telle situation par un graphe, lorsque c est possible. Combien de matchs seront disputés. Le tournoi est enfin organisé : Le graphe ci-contre indique les matchs à jouer entre 6 équipes, A, B, C, D E et F. Il est proposé de répartir les matchs sur quatre demi-journées du week-end de façon à ce que chaque équipe joue un seul match par demi journée. Réaliser un graphe G où les sommets sont les matchs à jouer ( exemple AC désigne le match entre l équipe A et l équipe C)et où les arêtes indiquent que les matchs ne peuvent pas se dérouler simultanément. Choisir un sous-ensemble de sommets de G et les arêtes les reliant les uns aux autres. On dit que le graphe ainsi obtenu est un sous-graphe de G. Donner un sous-ensemble de sommets G qui ne sont reliés par aucune arête. On dit que le graphe obtenu est un sous graphe stable de G. Trouver une partition de G en 4 sous graphes stables et en déduire une organisation précise du tournoi. Applications : 1) Le plan ci-contre représente le réseau de pistes cyclables desservant divers cites d une agglomération. 1. Construire le graphe associé à ce réseau. 2. Décrire ce graphe. 3. Indiquer dans un tableau, le degré de chacun, des sommets. Le graphe est-il complet? Justifier. 4. Combien de pistes cyclables la municipalité doit-elle construire pour que deux cites quelconques de l agglomération soient liés directement. 2

3 2) Trois pays envoient chacun à une conférence deux espions. Chaque espion doit espionner tous les espions des autres pays. Représenter cette situation par un graphe. Ce graphe est-il complet? 3)Pour chacun des graphes suivants, donner l ordre du graphe, le degré des sommets (1) et (5), le nombre d arêtes. Ces graphes sont-ils complets?justifier. 4)Quel est le degré de chacun des sommets d un graphe complet d ordre 6? Quel est le nombre d arêtes de ce graphe? 5) Parmi les graphes suivants quels sont ceux susceptibles de représenter une même situation. 6) Peut-on construire un graphe dont les degrés des sommets sont a) 5 ;7 ;3 ; 3 ;2 b) 2 ;3 ;3 ;12 c) 0 ;0 ;0 ;2 7) Peut-on construire un graphe simple d ordre 7 ayant 10 arêtes, un seul sommet de degré 6 et les autres de degré impair( pas forcément le même degré)? Construire un tel graphe si cela est possible. 8) Peut-on installer 9 ordinateurs de telle sorte que chaque ordinateur soit relié à exactements trois autres postes. 9) Sept amis se rencontrent dans une soirée. Combien de poignées de mains sont alors échangées? 10) Jérémie souhaite organiser un tournoi de baby foot entre 6 joueurs où chacun d eux joue 4 parties. Traduire la situation par un graphe. Ce graphe est-il complet? Combien de parties supplémentaires doivent être jouées pour que pour que tous les joueurs se soient rencontrés? 11) Un grand magasin embauche cinq étudiants : A,B,C D et E pour compléter l équipe de caissières pour la fin de l année. Un responsable envisage de les affecter aux caisses (1), (2) (3) (4) et (5), mais il estime qu il ne pourra affecter, d une part ni B ni E aux caisses (1) et (2) et d autre part, ni C ni D aux caisses (4) et (5). Représenter par un graphe les différentes possibilités d affectation de ces étudiants. 3

4 Etude 3 : Des parcours Définitions : On appelle chaîne d un graphe, une suite d arêtes mises bout à bout reliant deux sommets. Lorsque le graphe est orienté, l extrémité terminale d une arête est toujours l extrémité initiale de la suivante. Il peut arriver qu une arête soit utilisée plusieurs fois. On appelle longueur d une chaîne le nombre d arêtes constituant cette chaîne. Attention la longueur de la chaîne n a aucun lien avec une quelconque distance représentée sur le dessin. Application : Dans le graphe ci-contre citer une chaîne dont le départ est le sommet (1) et l arrivée le sommet (4). Y a-t-il plusieurs possibilités? Trouver celle de longueur minimale. Retour à l application 1 Le graphe (1) représente un réseau non orienté de pistes cyclables reliant les six points de l agglomération et le graphe (2) un réseau orienté. Proposer une chaîne reliant les sommets S et M dans le graphe (1). Même question dans le graphe (2). Proposer une chaîne de longueur 3 dans le graphe (1) ; une autre de longueur 6. Proposer une chaîne de longueur 3 dans le graphe (2) ; une autre de longueur 5. Peut-on trouver une chaîne de longueur 7 reliant les sommets S et G. Si oui, la citer. On appelle cycle dans un graphe, une chaîne dont les extrémités coïncident. Proposer un cycle partant de S et revenant à S dans le graphe (1)? Peut-on trouver un cycle au départ de S de longueur 4? Si oui le citer. Peut-on trouver un cycle au départ de S de longueur 8? Si oui le citer. Proposer un cycle orienté partant de S et revenant à S dans le graphe (2)? Peut-on trouver un cycle orienté au départ de S de longueur 4? Si oui le citer. Peut-on trouver un cycle orienté au départ de S de longueur 8? Si oui le citer. Question subsidiaire:peut-on trouver un cycle dans ce graphe qui passe par toutes les arêtes du graphe une et une seule fois? 4

5 Le fameux problème d Euler Le problème des sept ponts de Königsberg est un problème mathématique historique, qui fit la célébrité de la ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad). Sa résolution fut recherchée par ses habitants tout au long du XVIII e siècle. Le problème est le suivant : Étant donné que la ville est construite sur deux îles reliées au continent par six ponts, et entre elles par un pont, trouver un chemin quelconque permettant, à partir d'un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu'on ne peut traverser l'eau qu'en passant par les ponts. Modéliser la situation par un graphe. Pour résoudre ce problème que faut-il rechercher? Enoncer la ou les conditions nécessaires pour qu un graphe admette un tel cycle. On dira qu un graphe est connexe lorsque, pour chaque paire de sommet du graphe, il existe une chaîne reliant des deux sommets. D autres problèmes : 1) Peut-on parcourir une fois et une seule les arêtes des graphes ci-dessous sans lever le crayon? 2) Un agent doit contrôler le stationnement dans un quartier récent dont le plan est donné schématiquement ci-contre. Peut-il effectuer sa tournée en ne passant qu une seule fois dans chacune des rues? 5

6 4)Traversée de frontières Cinq pays sont représentés ci-dessous avec leurs frontières. P1 P2 P3 P4 P5 On se propose de résoudre le problème suivant (P) : Est-il possible de partir d'un pays et d'y revenir en franchissant chaque frontière une fois et une seule? 1. Représentez cette situation par un graphe G dans lequel les sommets représentent les pays et les arêtes représentent les frontières. 2. Expliquez pourquoi le problème (P) équivaut au problème suivant: «Le graphe G admet-il un cycle eulérien»? 3. Résolvez le problème (P). 5) On considère le plan d une maison de cinq pièces A, B, C, D et E. On désigne l extérieur par X. La communication entre les pièces et avec l extérieur se fait par l intermédiaire des portes. Vous êtes quelque part (à l intérieur ou à l extérieur). Vous est-il possible de traverser toutes les portes une et une seule fois? Applications : Graphes connexes, chaînes et cycles eulériens Exercice 1 : Dans chaque cas donner l ordre du graphe. Parmi les chaînes données lesquelles ne sont pas eulériennes. 1) a) b) c) d)

7 2) a) b) c) d) Exercice 2: Dans le graphe ci-contre, si elle existe, trouver une chaîne eulérienne. a) d extrémités 7 et 2 b) d extrémités 2 et 3 c) d extrémités 4 et 5 Exercice 3 : Dans une famille composée du père, de la mère et de leurs quatre enfants, on s intéresse à la relation : «a les mêmes parents que» Construire le graphe représentant cette situation. Est-il connexe? Exercice 4 : M et Mme Dupont ont eu ensemble deux enfants, puis divorcés, ils se sont remariés et ont eu chacun de leur côté trois enfants. A une réunion familiale, les huit enfants se retrouvent. On considère les graphes dont les sommets représentent chacun des huit enfants. G : deux sommets sont adjacents, si les deux enfants ont même père et même mère. G2: deux sommets sont adjacents, si les deux enfants ont même père ou même mère. Ces graphes sont-ils connexes? Ces graphes sont-ils complets? Exercice 5 : Une grande surface est conçue de façon à ce que 6 secteurs soient reliés par des allées selon le graphe suivant : 1. Dresser le tableau donnant le degré de chaque sommet. Le graphe est-il connexe? Pourquoi? 2. Un visiteur désire parcourir l ensemble des allées en ne passant qu une seule fois par chacune d entre elles. Démontrer que son souhait est réalisable et donner un exemple d un tel parcours. 7

8 Exercice 6 : Le graphe ci-contre représente les allées d un jardin public, les sommets sont les massifs. Un visiteur entrant dans le jardin par la porte D désire parcourir toutes les allées du jardin pour admirer tous les massifs, avant de sortir par la porte S. Un tel parcours est-il possible? Si oui proposer un itinéraire pour le visiteur. Exercice 7 : Dans le réseau de rues d une ville moderne, l architecte a prix en compte la demande des services publics : «Pouvoir passer dans ce réseau en empruntant chaque rue une fois et une seule, ce qui permet le nettoyage, le ramassage des poubelles, la tournée du facteur» Vérifier que les deux plans proposés remplissent bien le cahier des charges. Indiquer les carrefours où commence et se termine une tournée du facteur. Donner un itinéraire possible pour le facteur. A retenir : * Dans un graphe, une chaîne composée de toutes les arêtes du graphes prises chacune une seule fois est appelée chaîne eulérienne. * Une chaîne eulérienne dont les extrémités sont confondues est appelée cycle eulérien. * Un graphe admet une chaîne eulérienne entre deux sommets X et Y à condition que : - le graphe soit connexe - les sommets X et Y soient de degré impair * Un graphe admet un cycle eulérien à condition que ce graphe soit connexe et n ai aucun sommet de degré impair 8